IPRESEK list za mlade matematike , fizike , astroname in računalnikarje 23. letnik, leto 1995/96, številka 6, st ran i 321-384 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE NALOGE REŠITVE NALOG ZANIMIVOSTI RAZVEDRILO PISMA BRALCEV NOVE KNJIGE TEKMOVANJA LETNO KAZALO NA OVITKU Konst ruk cija za poredja x 2 , x 3 , • • • (M atej Men cin ger ) 340-342 Pozor, črne lu knj e! (M . Ecker, prev . in prir . D . Osredkar) 348-351 F izika let en j a (A ndrej Likar) 330-334 Kaj bo videl komet Hyakutake, ko bo naslednjič priše l naokoli ? (M irjam Galičič) 326-329 Mlečn i voz (Marijan Prosen) 344-346 Ap ril skega Luninega mrka nismo videli (Gregor Bav dek in Klemen Bučar) 354-355 O koledarju, petkihin številu 13 (Mart in J uva n) 334-337 Re ne Descartes - Ob štiristoletnici rojstva vel ikega misleca in matematika (Marija Ven ce lj) 321-325 Dve sporočil i (Iz uredništva) 329 Vodikovi antiatomi (J anez Strnad) 358-360 Praštevilska - reš . str. 365 (Boris Lavrič) 325 Magično m noženje celi h štev il za ml a j še bralce - reš. str. 365 (Ma rija Vencelj) 333 Naraščajoča in padajoča četa števk - reš . str. 364 (Marija Vencelj) 338 Še enkrat sam sebe - reš . str. 367 (Martin J uvan, Matjaž Zaveršn ik ) 338 Trikotniš ka števila in popolni kvadrati - reš . str. 366 (Ivan Lisac) 342 M iln i mehurčki na snegu (A lojz Kodre) III Konstrukcija brez u pora be podobnosti - s str. 269 (Dušan Modic) 347 Kri ža nk a "Fiziki" - s st r. 288 (Ma rk o Bokal ič) 36 1 Ne ka j zavi tih za odvijanje - s st r. 298 (Martin J uvan) 362-364 Živi poletni termometri (Marija Vencelj) 343 Križa nka "Ob 400-letnici rojstva velikega m isleca" - reš . str. 368 (Marko Bokali č) 35 2-353 Veriga - reš . str. 369 (V ilko Do majnko] 355-357 Nemogoči pred met za zdrave oči nikakor ni mogoč (Zvonimir Devide] 337-338 Pravili za delj ivost s številoma 7 in 13 (Dušan Jan, Ma rija Vencelj) 360-361 Omladič M. in Omladič V., Matematika in denar (Zvonimir Bohte) 339 Bohte Z., Uvod v numerične metode (Bor P lestenjak) .. 351 17. mednarodno matemati čno tekmovanje mest - pomladans ki krog (Matjaž Že ljko) 372 -3 74 17. mednarodno matematično te kmovanje mest - jesens ki krog - reš it ve s str. 318 (Matjaž Željko) 374-379 .. ... .. .... . .. .. . ... .. .. . .. .. .. . . .. .. ..... ... . . .. . . 380 -384 Kom et Hyak u ta ke , posnet s CCD kamero 28 . marca na Ob- servatorij u Črni vrh nad Id rij o (foto Herman Mi kuž) 1 Dve fotogra fiji: kom eta Hyakutake, ki smo ga videli , in Lu- n inega mrka, ki ga nismo videli . Glej tudi prispevka na stra- neh 3 26 in 354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV I Novice RENE DESCARTES Ob štiristoletnici rojstva velikega misleca in matematika Cogito, ergo sum . Mislim , tor ej sem . Rene Descartes Rene Descartes, z latinskim imenom Cartesio, je bolj znan kot filozof in manj kot mat ematik, čeprav gre njegovi filozofiji oporekati in so ji tudi oporekali, njegova matematika pa je popolna in korektn a. Novice I Čas , v katerem je živel, j e bil čas velikih verskih in političnih spr e- memb v Evrop i. Po drugi strani pa je bilo to tudi eno največjih intelektu- alnih obdobij v zgodovini civilizacije: Fermat in Pascal sta bila Descarte- sova matematična sodobnika. Shakespeare je umrl , ko je bilo Descar tesu dvajset let. Descartes je za osem let preživel Galilea in umrl, ko je bilo Newtonu osem let . V njegovem času sta živela tudi Gilbert , začetnik vede o elektromagnet izmu , in Harvey, ki je odkril krvni obtok. Rene Descar tes du Perron se je rodil 31. marca 1596 v kraju La Hay e blizu Toursa v Franciji . Izhaj a iz stare ugledne fran coske družine. Njegov oče je bil svetovalec v parlament u v Bretaniji. Po materi , ki j e umrla km alu po njegovem rojstvu, je Rene podedoval naziv du Perron in posestvo v Poitouju, ki mu je nudilo finančno neodvisnost . Ni bil bogat , a dovo lj premožen, da je v življenju lahko počel stvari, ki so ga veselile in zanimale. Oseml etnega so pos lali na šolanje k jezuitom v La Fleche, kjer je bil deležen odlične izobrazbe v filozofiji, l atinščini , grščini in govorništvu ter moderne v m atematiki in fiziki, vklj učujoč Galileova ast ronomska odkri- tja. Slab otnemu dečku so dovo lili, da je ostajal zjutraj v postelj i , dok ler je želel. Razmišlj anj a v t ist ih dolgih mirnih jutranj ih ur ah so bila za- metki njegovih dognanj v filozofij i in matem at iki . Navado, da je ostajal v postelji, kadar je želel razmišljat i , je Descar tes ohranil vse življenje. Za to raz košje je bil, žal s tragičnimi posledicami, pri krajšan šele ob koncu življenja. Šolanje je nadalj eval v Poitiersu . Diplomi ral je iz prava, ki ga je študiral brez posebnega navdušenja. Nato je, osemnajstlet en , sklenil spo- znati 'pravo' življenje iz prve roke. Sledi lo je krajše obdobje veseljačenja in hazardiranja v Parizu , nakar se je , sit praznoglave družbe in jalovega početja, za dve leti zakopal v matematične raziskave. Let a 1617 se je kot plemič odločil za vojaško kariero. V vojskujoči se Evropi je bilo za to obi lo pril ožnosti. Služboval je v Holandij i in na Bavarskem , se leta 1620 udeležil velike bitke za Prago in kasneje sodelo- val na fran cosk i strani pri slavnem obleganj u La RochelIe. Tam je tudi srečal svojega kasnej šeg a pokrovitelja kard in al a Rich elieua. Vendar pa Descartes ni bil pr avi poklicni voj ak. Med kratki mi obdobj i vojs kovanja je neodvisno potoval po Evropi, se ' učil iz knji ge sveta' in užival v sve- tov ljanskem življ enju . Na svojih potovanj ih je spoznal nekatere vodilne učenjake tistega časa, na prime r Faulhaberja v Nemčiji in Desarguesa v Fra ncij i . Ni pa mu uspelo, da bi na svoje m potovanju v Italijo srečal Gali- lea . V Parizu se je Descartes udeleževal srečanj kroga znanstvenikov, ki so kritično razpr avlj al i o Aristotelovi filozofski šoli. Tu je našel vzpodbudo, INovice da je predstavil svoj novi neavtoritativni pogled na svet. S tem je kot prvi kritični in sistematični misl ec nove dobe postal 'oče moderne filozofije' . Od vojske se je dokončno poslovil leta 1628. Zapustil je Francijo in se nas elil na Nizozemskem , kjer naj bi bil varn ejši pred morebitnim verskim preganjanjem , kot v domovini. Tam je preživel naslednjih dvajset let. To so bila njegova naplodovitejša leta. Leta 1649 je sprejel povabilo švedske kraljice Kris tine, naj pride v Stockholm, da bi jo poučeval v filozofiji in osnoval v Stockholmu akademijo znanosti. Descartes ni bil nikoli prav trdnega zdravja. Ostra skandinavska zima in špartanske navade ml ade kralji ce (za filozofska razpravljanja se ji je zdel primeren čas peta ura zjutraj v nezakurj eni knjižnici na dvoru , kamor se je moral Descartes še pripeljati iz mesta) so bile zanj prehud napor. Že prvo zimo je zbolel za pljučnico in umrl 11. februarj a leta 1650. Najbolj znano Descartesovo delo je Discours de la m ethode paur bien eanduire sa raisan et ehereher la verite dans les seienees (Razprava o metodi za boljše vodenje razuma in iskanja resnice v znanosti) . Delo je izšlo let a 1637, potem ko so Descar tesovi prij at elji zlomili filozofovo vztraj anj e, da ne bo objavlj al svojih del. Ko je namreč leta 1634 zvedel , v kakšno ponižanje je inkvizicija prisilila Galilea , je iz previ dnosti ustavil tiskanje svojih fizikalnih razmišljanj o svetu z naslov om Le m ande, au Treite de la lumiete (Svet ali Razprava o svetl obi) in to svojo odločitev razširil tudi na druga dela. Razprava o metodi je temelj nove evropske filozofije. Descar tes gradi na dveh osnovnih idejah. Prvič: če naj odkrije neko znanstveno resnico, se mora zanesti le na svoj zdravi razum in vso pot do resnice izpeljati sam . Drugič: načrtno mora dvomiti o vsem , kar je učila tedanja filozofija ; sprejet i le jasne in tako očitne sklep e, da o njih ni mogoče dvomiti , in na njih ponovno zgraditi vso znanost. Te ideje so bile prava revolucija v mišlj enju in filozofiji tistega časa . Odziv na usp eh in popularnost novega antiavtoritativnega pogleda na svet je bil različen. Cerkev, ki se je je Descartes bal , čeprav ga ni nikoli pre- ganjala, mu je priskočila na pomoč. Kardinal Richelieu je dal Descar tesu dovoljenje, da sm e tiskat i v Franciji ali kje drugje, karkoli bo napisal. Nasprotno pa so ga v liberalni Holandiji protestantski teologi obsodili bogoskrunstva in ateizma. Razpravi o metodi je Descartes priključil t ri dodatke, s kat erimi je želel ilustrirati svojo splošno metodo filozofije znanosti . To so Geome- t rij a (La geametrie), Veda o lomu svetlobe (La diaptrique) in Pojavi Novice I v zraku (Les Meteores) . Z znanstvenega vidika najpomembnejše delo je Geometrija. V njej so postavljeni temelji analitične geometrije. Uveden je koordinatni sistem, izvedena povezava geometrije z algebro. Descartes pokaže, kako lahko nekatere krivulje, na primer stožnice, predstavimo z enačbami, ki povezujejo koordinate točk na teh krivuljah. S tem preve- demo slabo pregledne probleme, ki so prej zahtevali veliko matematične iznajdljivosti, k rutinskemu reševanju. Čeprav delo najpogosteje opisujejo kot uvedbo uporabe algebre v geo- metriji, bi ga lahko označili tudi kot način prevedbe algebraičnih operacij v geometrijski jezik. O tem pričata tudi naslova prvih dveh razdelkov: Kako je aritmetičnoračunanjepovezano z geometrijskimi operacijami? in Kako lahko produkt, kvocient in kvadratni koren predstavimo geometrij- sko? Geometrija je najzgodnejši matematični tekst nasploh, ki mu tudi dandanes lahko sledimo, ne da bi naleteli na težave z oznakami. Descartes uporablja črke z začetka abecede za parametre, tiste s konca abecede za neznanke. Nadalje uporablja eksponente pri označevanju potenc in nemška simbola + in - za seštevanje in odštevanje. Edino znak za enačaj je drugačen od današnjega. Težko bi na kratko opisali pomen Geometrije za razvoj matematike. Namesto tega navedimo misel francoskega matematika Lagrangea, ki je živel poldrugo stoletje za svojim velikim rojakom: Dokler sta se algebra in geometrija razvijali po ločenih poteh, je bil njun napredek počasen in njuna uporaba omejena. Ko pa sta se ti vedi združili, sta druga od druge prejeli sveže vitalnosti. Odtlej stopata s hit- rimi koraki popolnosti naproti. Žal moramo z vidika matematike ugotoviti tudi tole: Po matematič­ nih sposobnostih je bil morda Descartes najgenialnejši mislec svoje dobe, toda po srcu ni bil pravi matematik. Njegovo ukvarjanje z geometrijo je le epizoda v življenju, posvečenem filozofiji znanosti. Če ne štejemo pisem, v katerih je svojim sodobnikom priložnostno pisal tudi o svojem delu v matematiki, ni na matematičnempodročju zapustil poleg Geometrije nobenega drugega velikega dela. Kot kažeta že naslova drugih dveh dodatkov k Razpravi o metodi, se Descartes ni posvečal samo matematiki in filozofiji. Ko je živel na Nizo- zemskem, se je ukvarjal z domala vsemi naravoslovnimi vedami. Zanimala ga je kemija; v fiziki predvsem optika in magnetizem; v medicini anato- mija in embriologija; veliko časa je posvetil astronomskim opazovanjem in INovice - Naloge meteorologiji. Dandanes bi vsakdo, ki bi trošil svoje moči in čas na tako različnih področjih, veljal za zmedenega šušmarja. V Descartesovem času pa je talentirani posameznik še lahko našel kaj nerazloženega in vredno razmišljanja v vsaki znanstveni veji, ki je pritegnila njegovo pozornost . Navedimo posebej nekaj Descartesovih fizikalnih dosežkov: Skupaj s Snellom velja za odkritelja lomnega zakona; prvi je razložil pojav primarne in sekundarne mavrice kot posledice loma in notranjega odboja sončnega žarka na okrogli dežni kapljici . Ukvarjal se je z nihanjem strune. S poskusi je potrdil svojo domnevo o teži zraka. Odklanjal je Galilejeva zakona o prostem padu in nihanju nihala, ker sta opisovala pojava v brezzračnem prostoru. Descartesov idealni svet je bil realni svet, v katerem vakuum ni imel mesta. Povsem upravičeno pa je s tem v zvezi kritiziral Galilejev izračun poti topovske krogle, ker v njem ni bil upoštevan zračni upor. Rene Descartes je začetnik mehaničnega pogleda na svet. Zamislil si je univerzalni mehanični model, ki naj bi razložil dogajanje okrog nas. Predpostavljal je, da svet sestavlja zgoščena (povezana) snov, ki se ne- prestano vrtinči. Vse pojave v njej je razlagal z mehanskimi vplivi med neposredno sodelujočimi telesi; ta naj bi medsebojno učinkovala le s pre- nosom gibanja. Njegova ideja je skoraj stoletje uživala veliko popularnost (kot del gibanja, imenovanega kartezijanstvo) , nato pase je nujno morala umakniti Newtonovim z matematiko podkrepljenim razlagam. Ironično je prav Descartesova matematika veliko prispevala k porazu te njegove ideje . Več uspehov je Descartes žel v statiki. Venem njegovih pisem naj - demo opis petih preprostih strojev za dvigovanje težkih tovorov, v njego - vih zgodnjih spominih jasno razlago pojava vezne posode. Marija Vencelj Astronomija I KAJ BO VIDEL KOMET HYAKUTAKE, KO BO NASLEDNJIČ PRIŠEL NAOKOLI? Letošnjo zgodnjo pomlad nas je prij etno pr esenetil kom et Hyakutake. Ko- nec j anuarj a letos ga j e v ozvezdju Vodne kače z daljnogledom odkril j a- ponski ljubiteljski astronom Yuji Hyakutake. Kot je v navadi , j e kom et dobil im e po svojem odkritelju. Tedaj je bil kom et še precej teme n objekt, saj je im el magni tudo 10. Za primerjavo: s prostim očesom vidimo zvezde do 6. magnitude, najsvetl ejša zvezda, Sirij v ozvezdj u Velikega psa (Canis Major) , pa im a navidezni vizualni sij magnitude -1.5. Kom et se je 25. marca najbolj približal Zemlji. Od nje je bil oddaljen le približno desetinko ast ronomske enote (oddalj enosti Zemlj e od Sonca), v kilom etrih je to 15 milij onov km. Po neka terih ne preveč uspešnih napovedih o svetl osti in velikost i kom etov v preteklosti, so astronomi zdaj pr evidnejši. Napovedali so sicer , da utegne biti kom et Hyakutake zar adi svoj e bližine Zemlji zelo svete l, vendar nas je prijetno presenetil. To je bil najsvetl ejši kom et v zadnjih dvajsetih letih! Vreme v drugi polovici m arca opazovalcem v naših krajih ni bilo preveč nakl onj eno. Zar adi popolne oblačnosti j e moralo Ast ronoms ko društvo Javornik javno opazovanj e, napovedan o za soboto, 23. m arca , pr eložiti na naslednji dan . Tudi v nedeljo so se oblaki vztrajno zadrževali na nočnem nebu , vendar so bili opazovalci vztrajnejši . Približno sred i noči se je pokazalo jasno nebo, na njem pa čudovit prizor : sam kom et je bil svete l, imel je magnitudo okrog O, t ank a sled njegovega repa , j asno razdeljenega v plinasti in prašni del, pa se je raztezala čez tretj ino nebe- snega svod a! V naslednjih nočeh , ki so bile povečini oblačne , je kom et počasi blede l, nj egov rep pa je postaj al vse krajši. Konec meseca je bil na severozahodnem nebu, pod Severn ico, tako da ga je bilo pr av lahko najti. Žal pa se je prav v te h dneh začela Luna "deb elit i" in je ostajala vsak dan dlj e na nočnem nebu . V noči z 28. na 29. m arec sm o t ako s Toškega čela vid eli le še kakih 20 ločnih stopinj dolg plinasti rep , komet pa je bledel in je im el le še magnitudo okrog 1. Vsem , ki ste zamudili gledanje kom eta v živo in ki im ate dostop do In terneta , priporočam ogled posnetkov, ki j ih je s CC D kamero posnel Herm an Mikuž z AGO Golovec, in fotografij , ki sta jih posnela Herman Mikuž in Boj an Kambič (glej tud i sliki na ovit ku) . Ustrezni naslov je http://www.fiz.un i-Ij .si/herman/hyaku tak.html . na za- pisanih stran eh pa bost e našli tudi kazalce na druge, medn arodne stra ni o kom et ih. Tudi naslednj o sliko sta s širokokotno kamero posnela omenjena av to rja, in sicer v Slovenskih goricah 27. marca 1996 okrog 3h zj ut raj . Na sliki lahko na desnem robu prepoznamo Severnico. I Astronomija 327 1 Za opazovalce s severne polute je bil v aprilu Hyakutake vid en vedno krajši čas. Ker se je oddaljeval od Zemlj e, j e njegov navidezni sij upadal. Komet je bil vedno niže na severozahodnem nebu , dokler ni po 20. aprilu izginil v večerni zarji . Odtlej so ga lahko opazovali le še opazovalci na južni poluti. Pri nas naj bi bila ena zadnjih , za opazovanje še posebej primernih, priložnosti v noči s 3. na 4. april , med popolnim Luninim mrkom. Na žalost j e opazovanje, tako kometa kot Luninega mrka, preprečilo slabo vrem e. Najbliže Soncu je bil kom et 1. maja, ko je bil od Sonca oddaljen 0.23 astronomske enote. Nato je nadalj eval svojo dolgo pot v temne in hladne pr edele Oson čja. Dosedanja opazovanja kažejo , da je njegova pot okrog Sonca zares dolga, saj naj bi se vrnil šele čez dolgih 20000 let . To pomeni , da se bo od Sonca močno oddaljil , približno I8-krat bolj stran bo , kot je od Sonca oddaljen zadnji planet Sončnega sistema, Pluton. Če bo Hyakutake preživel to dolgo dobo, bo ob povratku na Zemlji zagotovo videl stvari , o katerih danes še sanjamo ne! Poglejmo še nekaj profesionalnih opazovanj kometa. Z ameriškega inštituta JPL (Jet Propulsion Laboratories) so proti kometu poslali ra- darski signal. Po 107 sekundah so sprejeli odmev na kometu odbitega radarskega pulza. Z njim so otipali kom etovo jedro ter velikost in hitrost delcev v okolici jedra. Poleg tega so na ta način zelo natančno izm eri li komet ovo lego, kar je pripomoglo k boljši določitvi kometove orbite. Ko- met so posneli tudi s Hubblovim vesoljskim teleskopom . Z dobljenih slik Astronomija I poskušajo natančnej e določiti velikost in st rukturo jedra . Še posebej za- nimiva so opažanja fran coskih astronomov z observatorija Pic du Midi. Opazil i so namreč , da so se od jedra kometa ločili posamezni fragme nt i. Vendar ne gre za pravi razpad kometa v dva večja dela, kot so novi co ob- javili nekateri mediji, ampak so odlomljeni fragmenti bistveno manjši od jedra. Fragmentacijo so potrdila tudi opazovanja s Hubblovim vesoljskim teleskopom ter z italijanskim infrardečim tel eskopom. Za kon ec povejmo še nekaj besed o kometih in o našem astronomskem razumevanju teh objektov, ki so v zgodovino človeštva zanesli nemalo skrb i in hudih strahov . V preteklost i , ko so tedanja ljudstva o nar avi vede la precej manj , kot vemo danes, so nenadni pojavi na sicer nespremenljivem nebu , po katerem sta Sonce in Luna pravilno potovala vsak dan in vsak mesec znova in znova, pomenili hudo vznemirjenje. Prihod svetlega kom eta , ki ni bil po novljiv (praviloma vsaj za človeškega življ enja ne) , pa tudi sicer j e bil komet drugačen od običajnih nebesnih luči - zvezd, so zato največkrat razumeli kot znamenj e, raje česa slabega kot česa dobrega. Danes vemo, da se nam komet ov ni preveč bati. Posnetih je bilo že veliko sp ektrov kom et ov , zato vemo, iz česa so sestavljeni. Poenostavljeno si jih lahko predstavljamo kot umazan e kepe ledu , ki so mu v manj ših količinah primešane kovine, npr . natrij , železo itd . Nj ihovo vid no podobo, torej t isto, kar opazimo, ko gledamo komet na nebu , pa opišem o takole: j edro, glava in rep . J edro kometaje omenje na umazana ledena kepa, to rej samo te lo kometa. Gl ava in rep se poj avita šele, ko se komet dovolj približa Son cu. Glava obdaja jedro kom eta , sestavljajo jo pr ašni delci . Ravno zaradi glave vidimo komet nekako difuznega, "razpacanega" v primerj avi z zvezdami, in večj ega. Tako ga ni t ežko ločiti od zvezd , če j e le dovolj svet el. V repu so prašni in plinasti delci. Zar adi bližine Sonca in s tem povezane visoke temperature namreč delci in molekul e iz kom etove kepe izpar evajo. Tako se v periheliju , ko je kom et najbližje Soncu , lahko segreje t udi na tisoč in več st opinj Celzija . Prašni rep je kraj ši od plinastega in zakrivljen , saj so delci , ki ga tvorijo, težj i in zato zaostaj aj o. Rep je obrnjen stran od Sonca, kar j e najbrž posledica sončnega vet ra, ki "piha" stran od Sonca. Ko se komet od Sonca zadosti oddalji , njegov rep izgin e. Kometi so del našega Oson čj a , torej ne prihaj aj o iz bolj oddalje nih predelov Galaksij e ali celo iz medgalaktičnega prostor a . Njihov nastan ek še ni povsem raziskan . Nekateri se strinjajo z nemškim astronomom Oor- tom, ki meni, da je daleč stran od Sonca , onkraj planet ov, velik oblak komet ov , pravimo mu Oortov obl ak , od kod er včasih kakšen komet pob e- gne v notranjost Oson čja, IAstronomija - Novice Komete ločimo glede na velikost njihove orbite ozirom a glede na ob- hodni čas, po katerem se vračajo. Nekateri prihaj ajo naokrog vsa kih nekaj let , drugi pa na dolga tisočletj a. Včasih kakega kometa , ki ga pričakuj emo , ni več na spregled. To je povezano z dvojim: Komet v bližini Sonca vsa kokrat izpareva in ga je zato vedno manj . Včasih pa komet zmotijo grav itacijs ke sile objekt ov, mimo katerih potuj e. Tako se lahko zgodi , da se komet raztrešči . Razbitine se nato lahko še naprej gibljejo po precej podobni tirn ici, po kakr šni se je pred tem gibal kom et. Možno je, da je razbitj e kometa povezano z nas tankom meteorskega roj a. Kom eti so to rej predstavniki našega Sončnega sistema. Za astronome so sicer zanimivi , saj se z njihovim preučevanjem zagotovo lahko naučimo kaj o sestavi in morda celo o nastanku Oson čj a , ne predstavlj aj o pa velikih skrivnost i astronomij e. S svojimi vznemirljivimi pojavitvam i so lahko m arsikomu zanimiv povod za sprehod v naravo in njihovo občudovanje na nočnem nebu . Čez približno eno leto pričakujemo še en svetel kom et po im enu Ha le- Bopp. Mirjam Galičič DVE SPOROČILI Naročnikom Vse Presekove bralce, ki končuj ej o redno šolanje ali iz kakšnega dru- gega razloga ne bodo im eli pril ožnost i , da se priključij o skupinskemu naro- čilu na našo revijo, vabimo, da se nanj o naročijo osebno. To svojo željo (s polnim naslovom , na katerega želijo prejem ati Presek) naj sporočijo na naslov: Komisija za tisk DMFAS , Jadranska 19, 1001 Ljubljana , p .p. 2964 ali po te lefonu (061 ) 1232-460. Avtorjem Avtorje, ki svoje prisp evke pišejo z računalnikom , prosimo, da p o možnosti pr ipravijo datot eke v TEXu ali Js\TEXu, oziroma tudi v ASC II form atu , če v tekstu ni veliko formul. Ker Presek stavimo v TEXu , bi nam s tem zelo olajšali delo. Seveda je to le prošnja tistim, ki to možnost im ajo, so pa še vedn o dobrodošli vsi prispevki, ne glede na form at , v katerem so pripravljeni. Iz uredništva Fizika I FIZIKA LETENJA Let ptic gledamo z občudovanjem in zavistjo . Kaj bi morali narediti , da bi tudi sami lahko let eli? Na misel nam pridejo um etna kr ila , morda taka , ki sta jih v prav lji ci uporabila Dedal in Ikar. Kljub mnogim poskusom pa se tako še nikomur ni posrečilo dvigniti v zrak . S padali in zmaji jadrajo izurj eni letalci v do line , z vzgonskim vetrom se lahko tudi dvigajo. Z zelo lahkim let alom se je celo posrečil let preko Rokavskega preliva in to le z lastno močjo letalca. Kaž e, da tako kot ptice človek ne more let eti . Kaj pravi o letenj u fizika? Omej ili se bomo na lebd enje v zraku , ki ga je v prib ližku lahko obravnavati . O lebdenju je Presek že pisal v sestavku Čebela na paši (P resek 20 (1992/ 1993) , str . 322 - 324) . Na kratko ponovimo tamkajšnje razmišljanje. Pri lebdenju mora ptica s krili ustvariti curek zraka s hitrostjo v navzdol, nasprotna sila zraka na krila pa pr i tem uravnovesi njeno težo . Silo izračunamo iz enačbe Tu j e S pr esek curka, {} gostota zraka , v pa hitrost zraka v curku. Sila je pri lebdenju enaka teži ptice mg F =mg , kjer smo z m označili maso ptice, g pa je pospešek prostega pada. Za hi trost zraka v cur ku dobimo v = J;;. Mehanično moč, potrebn o za lebdenje, dobimo tako, da izračunamo sprem embo kinet ične energije zraka v cur ku v danem času t. Zrak najprej miruj e, na koncu pa se giblj e s hitrostjo v. Kineti čna energija zraka z m aso mz se torej spremeni za I Fizika Maso zraka m z dobimo t ako, da pomnožimo prostornimo zraka , ki jo je ptica v času t potisnila navzdol , z gostoto zraka {! m z = S vt{!. Tako je v2 .6.Wk in = S vt{!2 . . hani č - P AWk ,lil iz tega me amena mo e = --t""" : 1 P = - S{!V3 . 2 Človek lahko kratek čas dela z mehanično močjo 1 kW. Za ptice dobro velja ocena, da je mehanična moč sorazmerna z njihovo maso m , in sicer bomo privzeli : P' = p = 10 Wk g- 1 . m Količino P" im enuj emo specifična moč . Tako bomo človeka in ptice obr av- navali hkrati . Pri dolgotrajnejšem delu je mehanična moč , ki jo zmore človek, manjša. Športnik z maso 80 kg zmore moč 300 W , če dela eno uro , pri celodnevnem naporu pa pade moč pod 100 W. V enačbo, ki povezuje moč P in hitrost v, vstavimo hitrost, ki om o- goča lebdenje, v = vfi in dobimo: m 4p·2 {! S g3 Količino ~ im enujemo specifična obremenitev kril. S pri vzeto vrednostjo za P' velja: m - 2 S = 0,5 kgm . V naslednji preglednici lahko vidimo nekaj izmerjenih vrednosti za spe- cifično obremenitev kri l. Presek curka S so izračunali po enačbi za ploščino kroga s polmerom , ki je enak do lžini kril a b: S = rrb2 (glej sliko 1). Fizika I ži val ~[kgm-2 ] netopir 0,15 čigra 0,21 kralj iček 0,43 kolibri 0 ,46 postovka 0,56 čmrlj 0,92 golob 1,0 divja raca 1,7 fazan 2,9 Slika 1. Presek zračnegacurkaje kar ploščina kroga , ki im a polmer z do lžino krila b. Naš račun kar dobro oceni razmerje mfS, Rekorder je faza n, ki kar 6 krat presega oceno. V izrazu za mlS nastopa kvadrat P * . Vse kaže, da lah ko nekatere vrste ptic za nekaj sekund razvijejo tudi več kot dvojno specifično moč od pr ivzete 10 W Ikg. Če prestrašimo fazana, se dvigne navpično v zrak s hitrostjo blizu 1 mis, kar terja še dodatno moč. Vemo pa, da fazan ne more lebdet i dlje časa . Človek z maso 80 kg bi za lebdenje potreboval kri la, ki bi ustvarila curek zraka s presekom 160 m' . Orjaška kri la bi morala biti trdna in brez teže. Dolžino b enega kri la izračunamo iz enačbe 7rb 2 = 160 m 2 in dobimo b = 7 m . Razpon kril , to je razdalja od konca enega kr ila do konca drugega je torej kar 14 m. V primeri s pticami ali žuželkami bi bil obris let alca nesorazmeren (glej sliko 2). Krilo ptic je tako dolgo kot nji hovo te lo, pri letalcu pa je ~ Slika 2. Ptica in letalec nista sorazmerna, če pri obeh privzamemo enako specifično moč P* = 10 Wkg- 1 . I Fi zika - Nalog e to ra zm erj e 1:4. Ker je velikost krila b obratno sorazmerna s specifično močjo , bi moral letalec, ki bi bil sorazmeren pticam, razviti 4 krat večjo moč od privzete, to je 4 kW . Te pa ne zmorejo nit i najbolj treni rani športniki . Ni verjetno, da bi kmalu izdelali krila takšnih razs ežnosti . Lebdenj e tudi ne bi bilo udobno, saj delati z močjo blizu 1 kW ni prij etno. Kril ne bi mogli pritrditi le na roke , ker z njimi takšne moči ne bi mogli razv iti. Imeti bi morali nerodno napravo, ki bi jo nekako poganjali z rokami in nogami, neke vrste helikopter brez motorja. Poleg vseh nevšečnosti ne smemo pozabiti na nevarnosti, ki bi nam pr eti le v zraku , na primer na nevarne vrtince in veter. Andrej Likar MAGIČNO MN OŽENJE CELIH ŠTEVIL ZA MLAJŠE BRALCE • Položimo žeto n (ali kaj podobnega) na po ljubno število v spodnjem številskem kvadratu . Nato po ložimo drugi žeton na število , ki ni v isti vrsti ali v istem stolpcu kot prvi žeton. Tretji žeton položimo tako, da ne bo v isti vrsti in ne v istem stolpcu kot prvi ali drugi žeton. 12 3 -15 -24 -6 30 8 2 -10 • Poglejmo pod žetone in izračunajmo produkt prekr itih števil. • Postopek ponovimo, tako da začnemos pokrivanjem drugj e kot prvič. Vp rašanja: 1. Ko liko razl ičnih pokrivanj je možnih? 2. Kakšne produkte dobimo pr i različnih pokrivanjih? 3. In še neko liko težje vprašanje: Kje je razlog, da je odgovor na drugo . vprašanje takšen , kot je? Marija Vencelj Računalništvo I o KOLEDARJU, PETKIH IN ŠTEVILU 13 Petek , trinajstega. Saj veste, dan, ki gaje najbolje preležati v postelji. Pa še tam ne moremo biti povsem prepričani, da nas ne bo doletela nesreča. Se vam ne zdi , da je trinajsti v mesecu kar preveč pogost o petek? Da? Tudi mene že dolgo preganja ta občutek. Zato sem se odločil , da bom zad evo znanstveno raziskal. Začnimo z opisom koledarja, ki velja v naših krajih. Gre za gregori- j anski koledar , ki gaj e leta 1582 v katoliških deželah vp eljal papež Gr egor XIII . Danes ga uporabljajo v večini držav sveta. Po tem koledarju se leta delijo na običajna in prestopna . Vsako leto ima dvanajst mesecev . Meseci im ajo po 30 ali 31 dni, izjem a je le februar , ki ima v običajnih letih 28, v prestopnih pa 29 dni . Praviloma je leto, ki je deljivo s 4, prestopno. Izjema so le let a , ki so delj iva s 100, a ne s 400. Ta niso prestopna. Tako leta 1700, 1800 in 1900 niso bila prestopna, leto 2000 pa bo prestopno. Običajna let a im ajo 365, prestapna pa 366 dni. Vsi vemo, da je vsa k sedmi dan petek. Med 400 zaporednimi leti je 97 prestopnih . Zato ima štiristoletno obdobje 400·365 +97 = 146097 dni. To število pa je deljivo s 7, zato se naš koledar skupaj z dnevi , ob katerih nastopijo posamezni datumi, ponavlja speriodo 400 let . Našo analizo lahko torej omejimo na obdobje 400 let . Prešt eli bomo, kolikokrat v tem obdobju pride trinajsti v mesecu na posamezni dan v tednu . Seveda lahko to šte tje op rav imo s svinčnikom in papirjem, ampak z uporabo računalnika bo preprosteje, hitreje in bolj zaneslji vo. Poznati moramo le Zellerjev obrazec, ki nam pove, na kateri dan v tednu pride izbrani datum. Nato za vseh 12· 400 = 4800 tr inajstih dni v mesecih i z računamo , na kateri dan v tednu nastopijo , seštejemo rezultate in že imamo odgovor. Opi šimo najprej , kako uporabljamo Zellerjev obrazec. Recimo , da nas zanima, kateri dan v tednu je izbrani datum dd.mm.ll , na primer 1. 3. 1996, pr i čemer je dd dan , mm mesec in II leto. Postavimo d = dd ter m = mm - 2, če je mm > 2, in m = mm + 10 sicer. V zadnjem primeru tud i zmanjšamo II za 1. Naj bo še 1 = II mod 100 število, ki ga pomenita zadnj i šte vki let a , in s = li div 100 število , ki ga d asta prvi dve števki let a , torej za 1 zmanjšano stoletj e, v kat erem leži izbrano leto. Nato izračunamo obr = d + (13 . m - 1) div 5 + (5 · 1) div 4 + (21 . s) div 4 In dan = obr m od 7 I Računalništvo te r ugotovimo, za kat eri dan v tednu gre. Pri tem dan = Opomeni nedeljo, dan = 1 pon edeljek , . . . in nazadnje dan = 6 soboto. Za naš poskusni datum 1. 3. 1996 imamo d = 1, m = 1, 1 = 96 in s = 19. Vstavimo v obrazec: obl' = 1 + (13 . 1 - 1) div 5 + (5 . 96) div 4 + (21 . 19) div 4 = 1 + 2 + 120 + 99 = 222 in zatem še dan = 5. Prvega marca naj bi bil torej petek. Pogled na koledar in res, bil je petek! Naslednji odstavek je nekoliko bolj zapl eten in je namenjen t ist im , ki jih moj e zagotovilo o pravilnosti Zellerjevega obrazca ni povsem pre- pričalo . Ostali ga lahk o brez škod e preskoči te. Znanstveni pristop zahteva , da vse uporabljene prijeme natančno utemeljimo. Zato si oglejmo nekaj raz logov, zakaj Zellerjev obrazec vrn e pravi dan v tednu . Takoj opazimo, da je pomemben le ostanek izraza obl' pri deljenju s 7. Preverili smo že, da obrazec velja za 1. 3. 1996. Induk- tivno lahko pokažemo, da velja tudi za 1. marec poljubnega leta. Člen (5 . 1) div 4 iz obrazca zapišimo kot l + l div 4. Običajno leto ima 365 dni , to št evilo pa ima ostanek 1 pri deljenju s 7. Za ust rezno povečanje št evila obl' za ena posk rbi člen l . Pri prestopnih let ih dodatno enico pri- nese l div 4. Bolj zapleteno je, ko prestopimo v novo stoletj e. Spet lahko zapišemo (21 . s) div 4 = 5 . s + s div 4. Če je l = 99, potem j e (5 . ·1) div 4 = 123. Število 123 ima pri deljenju s 7 ostanek 4. Leto kasneje je l = O, zato je (5 . l) div 4 = O. Vendar pa se pr i spr emembi leta za ena poveča tudi s, to pa poveča obl' za 5. Celotna sprememb a je tor ej v običajnih letih ravno prava: - 4 + 5 = 1. Če pa je ustrezno leto tudi pres topno, dobimo še dodatno enico iz s div 4. Podobno preverimo, da obrazec velja za prvi dan poljubnega meseca . Ker imajo meseci po 30 ali 31 dni, mo ramo pri prehodu v nov mesec obl' povečati za 2 oziroma 3. To storimo s členom (13 . m - 1) div 5. Izjema je le februar, ki ima le 28 oziroma 29 dni. Zanj poskrbimo tako, da se pr i računanju pretvarjamo, da je februar zadnji mesec v letu (m = mm - 2 oziroma m = mm + 10 in sprememba il ). Tako koncu februarj a sledi sprememba leta. Za spr e- membo obl' pr i spreminjanju dn i v posameznem mesecu skrbimo s členom d. Zapišimo še prog ram, s kat erim preštejemo, ob katerih dnevi h tedna nastopajo trinajsti dnevi v posameznih mesecih . 336 Računalništvo I p r o gram Petek-.l3 ; { Preš teje, ob katerih dn evih v te dn u nastopijo 13. v m esecu . } var dan ,mesec,let o: in teger ; {pomožn e sprem en ljivke za hranjenje da t umov } s te vilo: a r r ay[0..6] of int eger; { s tevilo{5} j e š te vilo p etkov trina j stega} function Zeller{dd ,mm ,lI: integer ) : inte ger ; { Vrne , kat eri dan v tednu j e datum dd .mm.II. } { Pri tem j e O n edelja, 1 ponedeljek , ... , 6 pa sob ota. } var m, l,s,o br: in teger ; begin if m m >2 then m := mm - 2 e lse b egin m := mm-l-lO; Il := 11-1 ; e n d ; 1 := Il m od 100; s := Il div 100; o br := dd+{13*m-1 ) div 5+{ 5*1) div 4+{2hs) div 4; ZeBer := obr m od 7; e n d; { Ze Iler} b e gin fo r dan:= O t o 6 d o st ev ilo[dan] := O; { ini ciali zacij a š te vcev} for leto:=1600 t o 1999 d o for mesec:=l t o 12 do b e gin dan := Zeller{13 ,mesec, leto ); stev ilo[dan] := stevilo[dan]+ 1; e n d; { Izp is rezul tatov. } writeln(' Porazdel i tev trinajstih dni v mesecu po dn evih t edn a : ' ); . writeln(' ponedelj ek ' ,stevilo[l ]: lO); writeln(' t orek ',s te vilo[2]:1O); writ eln (' s reda ' ,stevi lo[3]:1O); wr it eln(' cetrtek ' ,st evilo[4]:1O); wri teln (' petek ' ,st evilo[5]:1O) ; wri t eln {' sobota ',s te vilo[6]:1O) ; writ eln(' nedelja ' ,st evilo[O]:lO) ; e n d . Program izpiše naslednjo razpredelnico: Porazdelitev ponedeljek torek sreda cetrtek petek sobota nedelja trinajstih 685 685 687 684 688 684 687 dni v mesecu po dnevih tedna: Računalništvo - Pisma bralcev Občutek nas to rej ni varal. Trina jsti v mesecu je res najpogosteje v petek. Res pa je tudi, da razlika do števila nastopov v ostalih dn evih tedna ni prav velika. Z majhnimi sprememba mi gornjega pro grama lahko izračunamo še kopico zanimivih st vari. Tako st a v letu 1996 dva petka t rinajstega: 13. september in 13. december. V letu 1997 bo en, v letu 1998 trij e, v letu 1999 pa zopet le en tak petek. Preverimo tudi lahko, da je vsako leto vsaj en petek trinajstega , v nobenem letu pa niso več kot trij e. Na- tančnej e , med 400 zaporednimi leti je 171 let z enim , 170 let z dvem a in 59 (nevarn ih) let s po t remi petki t rinajstega. Ma rtin Ju van NEMOGOČI PREDMET ZA ZDRAVE OČI NIKAKOR NI MOGOČI a D Slika 1. ln 2R f g(g - f) r av 3 < gos = R 2J2 _ r 2(g - f )2 . (R = polmer leče , f =goriščna raz- dalj a leče, 9 =razd alj a predmeta od leče , r = polmer raztresnega kro- ga , ki na zaslonu (mr ežnici očesa) še daj e vtis ostre slike.) Nemogoči predmet se zdi 'mogoč ' , kadar se v optični ravnini slike pred- meta dotikata sliki dveh ' kritičnih' točk, ki sta v resnici na predmetu od- dalje ni (pri Penr osovem trikotniku je ta odd aljenost enaka av'3 (slikal) ) . Vsaka zbiraina leča preslika v ravnino slike ost ro le tiste točke predmet a , ki leže v ustrezni optični ravnini predmet a. Večji je prem er leče , večja je razlika med ost rinama slik dveh točk , ki ne ležita v isti optični ravnini predmeta. Če pa premer take leče zmanj- šuje mo (npr. s pomočjo irisne za- slonke) , se globi na ostrine slike gos veča , in ko postane večja od odda- ljenosti 'kritičnih ' točk, pos taneta obe točki na sliki enako ostri. Za Penrosov trikotnik to pomeni 1 Odmev profesorja biologije iz Zagreba na prispe vka v 1. in 3. številki let ošn j ega letnika Preseka. P isma bralcev - N aloge I Camera obscura, katere odprt ina je zm anjšana na najmanj šo možno mero, j e edina fotokamera, ki ne zmore ra zlikovati med dvema točkama, ki ne ležit a v ist i optični ravnini predmeta, njuni sliki pa sovpadata. Foto- aparat z lečo pa to zmore pri dovolj veliki ' kritični razd alji ' točk na pred - metu in dovolj veliki odprtini zasl onke. Ist o velja za pos amezno človeško oko! V kolikor pa opazuj emo nemogoči predmet z obema očesoma, j e pro- st orski odnos še ot iplj ivejš i. Ni mogoče , da bi od dveh različnih točk ena ležala na obeh krakih kota , ki ga oklepata optični osi obeh očes, druga pa v njunem presečišču . Nemogoči predmet za zdrave oči torej ni mogoč , raz en če j e prem aj- hen , da bi oči razliko lahko še dojele, V ta namen bi bil m odel iz žice, ki so ga predl agali kamniški najstniki , izredno dob er . V hipu se ga da t udi izdelati v vseh mogočih velikostih in se tako prepričati o resničnosti t ukaj napi san ega . Zvonimir Deoul č NARAŠČAJOČA IN PADAJOČA ČETA ŠTEVK Števila 136 , 13578 ,789 imajo skupno lastnost , da je v njihovem de- setiškem zapisu vsaka naslednja števka večja od prejšnj e. Kaj menite, koliko j e naravnih št evil s to lastnostjo? Naj prej rezultat ocenite, nato nalogo natančno rešit e. Koliko pa je naravnih števil z lastnostjo, da je v njihovem de- setiškem zapisu vsaka naslednja števka manjša od pr ejšnj e? Marija Vencelj ŠE ENKRAT SAM SEBE Pravijo , da se dandan es spodobi, da pozn am o osnove programskega je- zika C . Zanimiv preizkus našega poznavanj a tega programskega jezika in tudi naše splošne programerske razgledan osti j e sest avlj anj e programa , ki izpiše sam seb e. Seveda br ez up orabe datotek . Nekaj kori stnih nasvet ov lahko pod naslovom "Sa m sebe" poiščete v lanskem letniku Preseka . Martin Juvan, Matjaž Zaveršnik INove knjige Bohte Z., UVOD V NUMERIČNE METODE, Knjiž- nica Sigma, DMFA Slovenije, Ljubljana 1995, 138 str. Verjetn o se vam je že kdaj zgodilo, da ste z žepnim računalom nekaj računali , pa niste dobili ravno rezul tata , ki st e ga pričakovali . Kdor misli , da se to ne more zgoditi , naj vzame v roke računalo in izračuna naslednji Izraz : (1000/3 - 333) * 1000 - 1000/3. Izračunaj te pr avilno vrednost in jo primerjajte s tisto , ki jo izračuna vaše računalo! V resnici z vašim računalom ni nič narobe, problem je le v tem, da ne zna računati simbolno, temveč računa numerično. Glavni problem numeričnega računanja pa je, da računalnik ne more predstaviti vseh števil, ampak le končno mnogo. Tako pri numeričnem računanju vedno računamo s približki, po vsaki računski operaciji pa se rezultat ponovno aproksimira s predstavljivim številom. Zaradi tega se pri računanj u pojavijo zaokrožitvene napake, ki lahko na koncu pripeljejo do tega , da se rezultat popolnoma raz likuj e od pričakovanega . Če želimo z numeričnim računanjem priti do spodobnih rezultatov, moramo zato poznati ozadj e nastanka zaokrožitvenih napak in račune pre- oblikovati tako, da ostanejo napake znotraj željenih mej . S tem se ukvarja analiza zaokrožitvenih napak , katere osnove so predstavljene v knjigi Uvod v numerične metode. Knjigo je nap isal profesor Zvonimir Bohte, izdalo pa jo je Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenij e v Knjižnici Sigma. V knjigi zvemo vse o problemu predstavitve št evil v računalniku . Predstavljena sta zapis s st alno piko in pa zapis s premično piko, ki se uporablj a v veliki večini današnjih računalnikov. S št evilnimi zgledi je predstavljeno , kako se lahko s preoblikovanj em računskih pro cesov izognemo numerični nestabilnosti. Glavna krivca za numerično nestabilnost sta delj enje z majhnimi števili in pa odštevanje približn o ena kih št evil, zato se moramo temu po možnosti izogniti . Knjigaje nastala kot razširitev razdelka Računanje s približki v učbe­ niku Petra Legiše, Matematika: Prvi letnik . Pojmi iz tega razdelka so v knjigi pogloblj eni in posodobljeni, zato je knj iga med drugim dobrodošla tudi za srednješolske učitelje. Bor Plestenjak KONSTRUKCIJA ZAPOREDJA x 2 , Matematika I 3 X , • •• o konstrukciji geometrijske sredine števil je bilo v Preseku 1 že veliko napi- sanega. Najprep rostejša je konst rukcij a s pomočjo višinskega in Taleso- vega izreka. Vi šinski izrek pravi, da je v pravokotnem trikotn iku kvadrat višine enak produktu pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo (glej sliko 1) . A v =~ Slika 1. c Talesov izrek pa nam pove, da je po ljubni obodni kot nad premerom pravi (slika 2) . Slika 2. Konstrukcija geometrijske sredine števil x in y j e sledeča (glej sliko 3) : • Nad dalj ico AB dolžine x + y , ki jo točka N razdeli na daljici z dolž inama x in y (AN = x in N B = y) , na rišemo krožnico s preme- rom A B = x+ y . • Presečišče te krožnice s pravokotnico na daljico AB v točki N ozna- čimo s C. 1 G lej Neža Mramor: Mal o geometr ijske sredine, Presek, letnik 22, št. 1, 54-61 in Uroš Milutinovič : Kaj so sre d ine in kako j ih uporabljamo , P resek, le t n ik 20 , št. 6, 332-342 . IMatematika v = VX-:Y A x Slika 3. Daljica NC je geometrijska sredina števil x in y . Posebni primer, ko j e y = 1, nam da konstrukcijo števila vx =~. Kvadrat števila x konstruiramo še enostavneje; uporabimo le višinski izrek. Konstrukcija poteka v dveh korakih (glej sliko 4): • Načrtamo pravokotni trikotnik s katetama N C in N B dolžine x in lo • Točka A naj bo presečišče nosilke daljice N B in pravokotnice na daljico CB v točki C. Če za trikotnik ABC uporabimo višinski izrek , dobimo AN = x2 . C A ?x- Slika 4. NIB C3 A 2 Al ;;;2 N I C _x4~ •__-----------X8-------------;~ Slika 5. Konstrukcijo lahko ponovimo na daljici AN, tako da daljica AN pre- vzame vlogo daljice NC, in dobimo število (x 2 ) 2 = x4 . Na ta način lahko dobimo tudi števila x 8 , x 16 , .. . (slika 5). N A l = NC2 = x 2 NA 2 = NC3 = :1.: 4 NA3 = NC4 = x 8 Matematika - N aloge I Toda kako konstruirati šte vilo x 3? Rešit ev je na dlani , saj je x 3 geomet rijska sredi na šte vil x 2 in x 4 (~ = # = x 3 ) . V nas lovu smo ob lj ubili konstrukcijo zaporedja x 2 , x3 , x 4 , .. . Pa poglejmo, kako daleč smo že: narisati znamo že števi la x 2 , x3 , x 4 pa x 8 , x 16 , x 3 2 , .. . in, če d b . l' t di 6 12 .. 6 (3) 2 12 ( 6 )2 Po ro premIs Imo , u I X , X , •• •, saj Je x = x , x = x ,. . . rve tri (in nekatere nadaljnj e) člene željenega zaporedja že imamo, razmislimo še sp lošno! Recimo, da smo uspeli konstruirati števila x 2 , x 3 , . • • , z" . Ali lahko konstruiramo število x n +1? Če j e n liho število , j e ~ naravno število; ustr ezno potenco že imamo, zato lahko dobimo x n +1 s kvadriranjem števila x~ . Če pa je n sodo, je nt2 naravno število, zato lahko xn+2 dobimo s kvadriranjem števila x~, x n +1 pa nato konstrui ramo kot geometrijsko sredino števil x n in x n+2 . Bralec naj sam ugotovi , kako bi konst ru irali x- I ! "Oprem ljen" še s to konstrukcijo bo znal konstruirati števila x m , m E IZ (saj za vsako naravno število n velja x-n = (x n )- I ). Matej Mencinger TRIKOTNIŠKA ŠTEVILA IN POPOLNI KVADRATI Na ravnino položimo nekaj kvadratov tako, da tvorijo trikotnik, kot kaže spodnja slika. V vsa ki vrstici j e en kvadrat več kot v prejšnji vrstici . Skupno število po ložen ih kvadratov (lahko so tudi pike, krogi , . . . , da le ob likujejo trikotnik na opisani način ) imenujemo trikotniško število. S spodnje slike sledi , da je npr . 21 = 1+ 2+ 3 +4 +5+ 6 trikotniško št evilo : o DO OOD OODD ODDDO ODDDDD Trikotniška št evila so torej vsote pr vih nekaj zaporedn ih naravnih št evil. Naj bo m naravno št evilo . Dokaži: m je trikotniško št evilo natanko takrat, ko j e 8m + 1 popolni kvadrat. Ivan Lisac IZanimivosti - Razvedrilo ŽIVI POLETNI TERMOMETRI Toplej ša je poletna noč, hitreje se oglašajo č rički . Iz hitrosti njihovega oglašanja lahko celo zelo natančno ugotovimo zunanjo temperaturo. Američani poznajo takle preprost recept za njen izračun : Če deliš število čričkovih cvrketov v minuti s 4 in prišteješ 40, dobiš zunanjo tem- peraturo. V Fahrenheitovih stopinjah , seveda. Nam bi bolj ustrezalo pravilo, ki bi podajalo temperaturo v Celzijevih stopinjah . Poiščimo ga! Če z F označimo Fahrenheitovo temperaturo in z n število oglašanj črička v minuti , opisuje ameriško pravilo formula Temperaturo Tv °C dobimo iz Fahrenheitove z enačbo 5 T = -(F -32) , 9 kar skupaj z zgornjo formulo da Vsekakor je ta formula prezapletena za poletne večere. Lahko jo poenosta- vimo, tako da vzamemo 3 56 ~ ~ in ~O ~ 4. Tako dob imo dokaj preprosto pravilo tudi za izračun temperature v °C: Število čričkovih cvrketov v minuti delimo s sedem in prištejemo štiri . Rezultat je zunanja temperatura. Razlike med rezultati, ki jih dajeta obe formuli, praktično ni. Za n = = 147 dobimo po naši formuli 25°C, po ameriški pa 76.75°F, kar ustreza 24.86°C. Zaokrožena na cela mesta, sta rezultata enaka. Pred nami so počitnice, ko bomo lahko formulo v živo preverili. Če le niso naši črički preveč različni od ameriških! V tem primeru pa poiščite njihovo formulo . Marija Vencelj Astronomija I MLEČNIVOZ Sredi po letja se v večernih urah na naše nebo povzpne mlečni trak Rimske ceste tako, kot da bi opasal vse nebo, saj poteka od j uga prek zenita do severa. Ne zamudite priložnosti in občuduj te to lepo naravno znameni tost . Slika l . Rimska ces ta - risb a. Slika 2. Ozvezdj e St relec - Sagittarius (lat .) in Mlečni voz v nj em je pri nas zvečer naj b olj e vid no od junija do septem bra . Mlečni voz je v najprimernejši legi za opaz ovanje pol eti. Izsle- d imo ga nizko na južni strani neba . Predlagamo, da v polet- nih večerih in nočeh opazu- jete in občudujete Rimsko cesto. Nato poskusite razpoz- nati ozvezdje Strelec in v njem ugotoviti zvezde, ki se- stavljajo Mlečni voz. Z daljnogledom manjse povečave poglejte zvezde iz- ven Rimske ceste, na to pa zvezde v Rimski cest i. Kaj opazite? Z daljnogledom opazujte še druge vesoljske objekte: zvezdne kopice in meglice, ki ležijo v ozvezdju Strelec. Ko gledate proti ozvezdju Strelec, se morat e zavedati , da je vaš pogl ed usmerjen pro t i središču naše Galaksij e. Astronomija Nizko na južnem delu ne- ba, tam, kjer se Rimska ce- st a skoraj navpično pogrezne v tl a in se navidezno dotika obzorj a, leži ozvezdje Strelec. Je nekoliko težje razpoznavno ozvezdje, vendar če si zapo- mnimo lego njegovih značil­ nih zvezd , ga ne moremo spre- gledati. V ozvezdju Strelec lahko opazujemo znameniti Mlečni VOZ, ki ga oblikuje se- dem svetl ih zvezd približno v osrednjem delu ozvezdja. To je eden izm ed petih nebesnih voz, ki jih opazuje mo na ne- bu. Pravijo mu tudi Mlečna skleda ali Mlečna zajem alka. To im e mu kar pristoja, saj leži venem najbogatejših z vesoljskimi te lesi napolnjenih delov Rimske ali Mlečne ces- te. A stronomija I .'-'< 9- • ,< . ';" . Labod ,':--'. o fioooo s ce tl : Let I Slika 3. Naša Ga la ksij a . Zgor aj po gled z boka, sp od aj pogled v sme ri vrtiIne osi . Ma rijan Prosen IRešitve nalog KONSTRUKCIJA BREZ UPORABE PODOBNOSTI - Rešitev s str. 269 Pri konstruiranju tega trikotnika uporabimo konstrukcijo trikotniku očr­ tane krožnice iz znane stranice a in kota nasproti njej o' (obodni kot o' nad tetivo a) Kt«, 0'). Razčlenitev konstrukcije: Načrtamo trikotnik ABC in ga čez stranico BC dopolni- mo v paralelogram ABCD. Razpoloviščestranice BC oz- načimo z Al . Diagonala pa- ralelograma je AD = 2ta , dvojna težiščnica ta' Kot A <}:ABAl = (3 leži v trikotniku ABAl stranici AAl = ta nas- proti . Njegov vrh B je na tri- kotniku ABAl očrtani krož- nici JC(t a , (3). Kot <}:ABD = = 1T -0' leži v trikotniku ABD stranici AD = 2ta nasproti . Zato je njegov vrh B na trikotniku ABD očrtani krožni ci K(2ta, 1T - 0'). Oglišče B iskanega trikotnika je torej od Arazlično presečišče krožnic K(ta, (3) in K(2ta,1T- 0'). Tretje oglišče C je na premici skozi B in Al , od Al oddaljeno za A1C = = BAl. Konstrukcija: Narišemo te- žiš čnico AAl = ta in jo čez Al podaljšamo za Aj D = AA1 • Na- črtamo krožni ci nad ta oziroma 2ta kot tetivama z obodnima ko- toma (3 oziroma 1T - 0', K(t a, (3) in K(2ta, 1T - 0') . Od Arazlična skupna točka je oglišče B. Pre- mico skozi B in Al podaljšamo čez Al za Al C = BAl. Iskani trikotnik je trikotnik ABC. Dušan Modic Matematika I POZOR, ČRNE LUKNJE ! Sizifov niz V grškem mitu se je Sizifu ne glede na to , kako močno se je trudil , težka skala, ki jo je moral valiti na hrib , pod vrhom vedno izmuznila in se skotalila po hribu navzdol. Podobno se lahko zgodi tudi v matem atiki: Začnite s katerim koli pozitivnim celim številom, zap isanim z nizom števk - na primer z 9288759 . Prešt ejte število sodih števk, št evilo lihih števk in število vseh števk v tem nizu. V danem primeru so 3 sode števke , 4 lihe števke, vseh št evk pa je 7. Iz teh števil sestavite niz, 347. Če ponovite postopek s številom 347 , dobite 1, 2 in 3. In če postopek ponovite s številom 123 , zopet dobite število 123. V vesolju št evil je število 123, glede na ta postopek, črna luknja! Ali res vsako št evilo konča v matematični črn i luknji, številu 123? Vzemite zelo veliko število, na primer 122333444455555666666777777788888888999999999. Če zapored zapišete št evilo sodih števk (20) , lihih št evk (25) in vseh števk (45), dobit e št evilo 202545 . Ponov itev postopka z 202545 da 4, 2 in 6, naslednji kora k z 462 da 303 in zadnji s številom 303, da 123. Glavni lastnost i te črne luknje sta dve: prv a - ko se enkrat znajdete pri številu 123, ne pridete več iz črne luknj e - in, druga - vsak elem ent, ki ga črna luk nja privlači (vsako pozitivno celo število) , potegne le-ta vase. Če le dovo ljkrat ponovite postopek z nekim št evilom, prid et e v končni fazi do števila 123. Druga lastnost potiska v črno luknjo, prva pa zagotovi, da se vanjo ujamete. Kako deluje Sizifov niz? V primeru črne luknje 123 lahko sklepamo takole: če je začetno število večj e od 999 , potem je število, ki ga sestavimo s štetjem števk, manjše od začetnega števila . Če začnete s 1000 ali več, vas postopek prej ali slej privede pod 1000. Z računalnikom se da enostavno preveriti, da vsako št evilo, ki j e manjše od 1000, vodi do 123, vendar je dokaz s "papirjem in svinčnikom" hitrejši in enostavnejši. Tr imestno število ima nasl ednj e mož nosti za št evilo sodih št evk, število lihih št evk in število vseh števk: (O , 3, 3) , (1,2,3) , (2, 1,3) in (3, O, 3) . S katerim koli t rimestnim številom začnete , dobite po enem koraku eno od teh štirih troj ic. Uporabite pravilo za vsako teh trojic in videli boste, da vedno dobite (1,2 ,3) - Sizifovo št evilo 123. IMat ematika Besede v številke Vzemite katero koli celo število in zapišite njeno ime v angleščini , recimo "five" za 5. Preštejte črke v imenu , v tem primeru so 4. Ponovite postopek s 4: im e števila "four" im a štiri črke, s čimer st e se ujeli v črno luknjo 4. Poizkusite z drugim št evilom, recimo 163. Da se izognete nepre- glednosti , vključite v št etje še presledke in pomišljaje: tako ima 163, z imenom "one hundred and six ty-three" , seštevek 27. Ta da 12, potem dobimo zapored 6, 3, 5 in končno 4. Jasno je, da je ta črna luknj a odvi- sn a od angleščine , vendar je mo žno , da imajo tudi drugi jeziki podobno las tn ost . Ni pa nujno, da je črna luknja ravno število 4. Tudi slovenščina im a takšno črno luknjo, število 3. Preverite! N arcisna števila Edina cela števila, poleg Oin 1, ki so enaka vsoti kubov svojih števk so 153, 370, 371 in 407. Ustvarimo si lahko last en svet , v katerem eno teh št evil postavimo za črno luknjo. Da postane število 153 črna luknja, začnete s katerim koli pozitivnim celim številom, ki je večkratnik št evila 3. Vsako števko kubirate in sešt ejet e kube , da dobite novo število. Začnete , na primer , s št evilom 432 .. . 43 + 33 + 23 = gg g3 + g3 = 1458 13 + 43 + 53 + 83 = 702 73 + 03 + 23 = 351 33 + 53 + 13 = 153 13 + 53 + 33 = 153 . .. in padete v črno luknjo! To deluje, ker se dovolj velika števila med postopkom manjšajo, po drugi strani pa na vsakem koraku dob imo št evilo, ki je tudi večratn ik števila 3 (zakaj?), in se tako ognemo ostalim črnim luknjam, ki niso večkratniki števila 3. Trik s kartami Ta primer je na prvi pogled precej drugačen od prejšnj ih, vendar izpo lnjuje zah tevi, ki sta značilni za črne luknje. Gre za klasični t rik s kartami. Vzemite 21 kart in jih uredite s podobami navzgor v sedem Matematika I vodoravnih vrst, da dobite tri navpične stolpce. Prosite prijatelja naj si v mislih izbere karto, vendar naj vam ne pove, katero si je izbral. Pove naj le, v katerem stolpcu leži izbrana karta. Stolpce nato zberite v tri kupčke, pri čemer se vrstni red kart posameznega stolpca ne sme zmešati. Kupček kart, ki vsebuje izbrano karto, položite med preostala dva in karte znova razvrstite v sedem vrstic po tri karte. Ponovite proces - vprašajte , v katerem stolpcu je karta, zberite stoplce, postavite stolpec z izbrano karto med ostala dva in razvrstite karte. Nato ponovite proces še enkrat, zadnjič. Izbrana karta bo od tod naprej vedno v sredini, karta v četrti vrstici v drugem stoplcu. Vsaj dve poti sta, s katerima to lahko dokažete, najlažje pa to storite tako, da si narišete diagram, ki prikazuje, na katerem mestu izbrana karta vsakič konča. Kaprekarjeva konstanta Kakorkoli že, v večino črnih lukenj so vpletena števila. Vzemite ka- tero koli štirimestno število, da le nima vseh štirih števk enakih. Pre- uredite števke izbranega števila tako, da dobite največje in najmanjše število, ki ju iz teh števk lahko sestavite. Potem izračunajte razliko teh dveh števil. Postopek ponovite z razliko, ki ste jo pravkar izračunali. Začnite na primer s številom 8028 . Največje število, ki ga iz njegovih števk lahko sestavite, je 8820, najmanjše pa 0288. Njuna razlika je 8532. Ponovite postopek z 8532 in izračunate razliko: 8532 - 2358 = 6174. V kakem drugem primeru boste morda potrebovali več korakov, vendar boste vedno v največ sedmih korakih prišli do Kaprekarjeve črne luknje - števila 6174. Nerešeni problemi Celo klasični nerešeni matematični problemi imajo opravka s števili, ki so črne luknje, ali pa se za njih domneva da so. Primer je Collatzova domneva. Izvira iz leta 1930 in je še vedno odprto vprašanje. Proces je takšen: začnite z naravnim številom. Če je liho, ga potrojite in prištej te ena. Če je rezultat sodo število, ali če ste začeli s sodim številom, ga razpolovite. Nato postopek ponavljajte. Če začnete s 5, dobite 16, nato 8, 4, 2 in nazadnje 1, potem pa 4, 2, 1 in spet 4, 2, 1. Vsi poskusi kažejo, da vedno končate v ciklu 4, 2, 1 ne glede na to, s čim začnete - vendar to še nikoli ni bilo z dokazom potrjeno ali ovrženo. Matematika - Nove knjige Kakorkoli že, to je cikel z dolžino tri , nas pa zanimajo črne luknj e, ki so cikli z dolžino ena. Do takega cikla pridete tako, da začetno število razstavite na prafaktorje . Na primer, 84 = 2·2 ·3·7. Potem vzamete največji lihi faktor izbranega števila, v tem primeru je to 3 . 7 = 21. Potrojite t a največji lihi faktor in prištejte 1. Rezultat je začetno št evilo za nas lednji korak. Če postopek preizkusite z nekaj št evili, boste ugotovili, da vedno pridete do števila 4. Ko pa enkrat pridete do števila 4, pri njem tudi ostanete, kajti največji lihi faktor števila 4 je 1, 3 . 1 + 1 pa je 4. Kdorkoli dokaže Collatzovo domnevo, bo hkrati dokazal, da je tudi ta varianta črna luknja. Vesel lov na črne luknje! Po članku Micha ela Eckerja v New Scieniistu prevedel in priredil Damjan Osredkar Omladič M. in Omladič V.: MAT EMAT IK A IN DE- N AR , Knjižnica Sigma, D M FA Slove nije, Ljublj an a 1995, 142 str. Ob koncu preteklega leta je izšla v Knjiž nici Sigma kot 58. po vrsti zelo zanimiva knjižica MATEMATIKA IN DENAR. V to zbirko sodi zaradi nezahtevn ega predznanja, dostopnosti podajanja in tudi zaradi zanimivo- sti za širši krog bralcev. Knjižica obravnava snov , ki spada na široko področje uporabe mate- matike v ekonomij i, posebej pa na tisti del , ki je povezan z denarjem in ustreznimi poslovnimi odločitvami. Poleg očitne povezave matematike z denarjem prek obrestnega in obrestno obrestnega računa obsega vsebina tudi mnogo drugih problemov, kot so problemi ujemanja, optimizacije in odločanja. Pri tem spoznamo, kako so ti problemi rešljivi s sorazmerno preprostimi matematičnimi sredstvi. Za raz umevanje večine snovi zadošča predznanje v okviru srednješol- ske matematike. Podajanje je izredno živahno in zasnovano na mnogih primerih iz poslovnega življenja posameznikov ali majhnih podjetnikov. Posamezna pog lavja so med seboj precej neodvisna in bral ec lahko skoraj vsako preskoči brez škode za razumevanje drugih, če se mu zdi nezanimivo ali prezahtevno . Vsem bralcem Preseka to knj ižico toplo priporočamo v branje, saj bodo ob prebiranju spoznali, da matematika ni namenjena samo "kravž- ljanju možganov", ampak da se da tudi koristno uporabiti v življenju, ki se na žalost vse bolj vrti okoli denarja. Zvonimir Bohte $KOTSKO =~(lOCH) TENORIST CARUSO Zanimivosti - Razved~ilo I ~ OZIlISOVA MATI SL 08RAI0I.= ~TER ~ OČE.(JElKO) KISlINE ATAPOTOMEC lAESTO MA.HlA ~ V'N SlADKOV. TRžNICA ROMUIU RI8A NAJBOl~ VJ,LO' SlCMNSIO BOKSAR lA1f1lNlK PO» Sl OG iGRAl.EC VSEHt,t,. OOBE~K(!MiA) sovtYJ. RAZL~ HAMMAD) SlovASKA NEOEI.AV· REKA NOST BERl.U 0Rž. USLU- 2BENAA VASPRI ElSA SMlEONIKU UORAHTE BLJE TUlI. .. ITAL. NADZORHII( MATEMATIK POLOPlCA (BONAVEtI- OOLGQ. TIJRA) PRSTE2 @ IT.F LU. NJUSKO ZVEZDA VKOUIK lAESTOZ ORlU STANE ZIW«J KRAJ PRI UREK GROOIfCO lAEOVOOAH N3 ..... I __• R H o N E _t,~ ~ K o L o V o z ~-, ze· =: A o R I A N A == E E R o 1-""'- G S ~ K o N T A ~ o p s ~ Z L o= -, ~. Z I E L o N A :G o R A ~ L E S L I "'1::.- o S E L~ E ~ -, U S A ~ B o H R = o N o ~ S L A V K o W ~ I A L E o E R M A N - E c V I T A N ~ S T R A N o-, = 1::\ - T N A L o ~ R I S ~. A A R E == C P ~ S E P S A .=. A B .oo ~ K R o Š L ~~ L I T ~ K o D ~ L o T ,'l;,.'ll'. - N E Ž A ~ o v Č I C A ~ o I M .~ G A L I L E I $( T R I N K L - A K U S T I K A =I R A K L I S- A G R A F A - K A K T E J A @ =: N E W T o N @ Rešitve nalog I NEKAJ ZAVITIH ZA ODVIJANJE - Rešitev s str. 298 Predstavljene rešitve niso edine mogoče , so pa tiste, ki sem jih imel v mislih, ko sem sestavlja l naloge. Takole sem si zamislil: Skoraj kvadrati: Členi zaporedja so popolni kvadrati z alternirajočim predznakom . Nas lednj i člen je 25. Zmanjšane poten ce: Elementi zaporedja so števila oblike 2n - 1. Na- slednji števili sta 31 in 63. Združitev: Število v zgornjem trikotniku je vsota št evil v obeh spodnjih tri kotnikih . Manjkajoče štev ilo je 731+ 682 = 1413. Več kot štev il a : Zaporedje sest avljajo praštevila. Naslednji prašt evili sta 17 in 19. Prepletanj e: Člene zaporedj a dobivamo tako, da izmenično prištevamo 3 in odštevamo 1. Naslednja člena sta 8 in 7. Ulomki: Zapo redje je sestavljeno iz ulomkov oblike n 2,t1. Nadaljnja ulomka sta 2 5 6 in 3 67 . Četrtina levo in desno: Srednje št evilo dob imo tako, da vzamemo četrtino vsote levega in desnega števila . Manj kajoče št evilo je 15. Ob rat i in še kaj: Naslednje št evilo v zaporedju dobimo tako , da prejšnje- mu prištejemo ena in ga obrnemo. Naslednja tri števila v zaporedju so 6322 , 3236 in 7323 . Plesoče števke: Število na levi dobimo tako, da vzamemo prvo in zadnjo, število na desni pa tako , da staknemo srednjo in prvo št evko števila , ki je med oklepajema na sredini vrstice. Manjkajoči št evili v zadnj i vrsti ci sta 19 in 81. Trojke: Ulomki v zaporedju so oblike (k +1 )~(k+2)' Števec naslednjega ulomka je enak vsoti števil v imenovalc u prejšnjega . Naslednji ulomek je 29 3 0+31 . Z nogami brez r ok: Število na glavi figure dobimo, če od vsote št evil, zapisanih pod nogama, odštejemo števili , zapisani poleg rok: 8 = (5 + 8)- - (3 + 2) . Manjkajoče št evilo je 2. N eznana osn ova: Označimo z b osnovo, v kateri velja 12 + 12 = 101. To nam da enačbo (b+ 2) + (b + 2) = b2 + 1 oziroma b2 - 2b - 3 = O, ki ima rešitvi b = 3 in b = - 1. Iskana osnova je tor ej b = 3. V njej je 22 + 22 = 121. I Rešitve nalog Lepljenje: Število na sredini trikotnika dob imo tako, da staknemo števke v vogalih. V sred ino desneg a trikot nika moramo vpisati št evilo 316. Dvojiški vzorci: Števila iz zaporedj a 2, 11 in 47 imajo dvojiške zapise 10(2), 1011(2) in 101111(2)' Slediti jim mora število z dvoj iškim zap isom 10111111(2)' to pa je število 191. Na elemente zaporedj a lahko pog ledamo tudi drugače; to so ravno števila oblike 3 . 4n - 1. Dvodelna torta: Št evilo -28 je po absolutni vrednosti enako prod ukt u štev il 4 in 7. Ker je - 36 = -(6 ·6), manjka število 6. Vsote: Števila na desni strani so vsote števk št evil na levi. Manjkajoče število je 9. Prafaktorji: Števila na desni pomenijo št evilo raz ličnih prafakt orj ev v pr aštevilskem razcepu števil z leve. Ker je 1996 = 22.499, manj ka št evilo 2. D odaj ali odvzemi: Rezul tat dobimo tako, da števko, ki leži nižje od prejšnj e, odštejemo, štev k0 4 ki leži višje, pa prištejemo. Začetna vredn ost je enaka prvi števki. Iz 123 po zgornj em navodilu dobimo 1+ 2- 3+4 = 4. Vedno več: Števila v kvadratih so doblj ena iz sheme a a+1 a+ 6a+ 3 Drugi in t retj i kvadra t sestavljajo št evila ~~ ~~ Koordinate: Štev ilo v razpredelnici izračunamo t ako, da od št evilke vrstice, v kateri je zapi sano , odštejemo številko sto lpca, v katerem se nah aj a . V drugi vrstici manjka število -2, v t retj i število O, v zadnj i pa število 3. Druga na prvo: Št evila v t retj i vrst ici dobimo, če elemente iz druge vrstice potenciramo z eksponentom , ki ga določa št evilo iz prve vrstice. Tako je (_1)5 = -1,13 = 1 in 32 =9. Manjka št evilo 3, saj je 23 =8. Stikanj e tako in drugače: Če staknemo števki iz levega in desnega trikotnika , dobimo vsoto števil v zgornj em in spodnjem trikot niku. Manj- kajoči števili v desnem kvadratu sta 3 in 7. Omejeni prafaktorji: Zaporedje vsebuj e natanko tista števila , ki v raz- cepu na prafaktorje vsebuj ejo kvečj emu praštevili 2 in 3. Naslednje tako število j e 27 = 33 . R ešit ve nalog I Stiska: Predpis, po katerem iz števila dobimo rezultat , j e i zračun pro- dukta števk. Produkt šte vk štev ila 456 je 120. Združeni kvadrati : Elementi tr etje vrstice so vsote kvadr atov št evil iz zgornjih dveh vrstic. Ker je 25 = 42 + 32 , j e manjkajoče št evilo enako 3. Nerodna pisava: Pravilno zapisana se pr va enakost glasi 256 = 28 . Iskan o število je 9 = 32 . Martin Juvan NARAŠČAJOČA IN PADAJOČA ČETA ŠTEVK - Rešitev s str. 338 Št evilo 123456789 je naj večje šte vilo, ki im a v deseti škem zapisu vsako naslednjo števko večjo od pr ejšnje. To je tudi edino 9-mestno število s to lastnostjo. Vsa ostala taka št evila dobimo iz zapisa števila 123 456789 z opu š č anjem ene, dve h , t reh , . . . , sedem števk , pri čemer ohranjene števke obdržijo svoj vrst ni red . Če opustimo po eno št evko, dobimo še 9 = G) 8-mestnih števil. Po dve števki lahko opustimo na to liko načinov , kolikor j e kombinacij drugega reda v množici z deveti mi elementi, to rej dobimo G) 7-mestn ih števil , itd. Nazadnje dobimo še G) 2-mest nih štev il. Vseh je torej 1 + G) + G) + G) + G) + (:) + (:) + G)= = 1 + G) + 2 [ G) + G) + (:)] = 1 + 9 + 2(36 + 84 + 126) =502. Največj e število , ki izpolnjuje pogoj drugega dela naloge, je lO-mestno število 9 876 543 210 . Ostala št evila dobimo spet z opušč anjern števk v tem številu . Št evilo vseh daje to pot vsota ~ 1 + 10 + 2(45 + 120 + 210) + 252 = 1013. Mar ija Vencelj IRešitve nalog MAGIČNO MNOŽENJE CELIH ŠTEVIL ZA MLAJŠE BRALCE - Rešitev s str. 333 1. Različnih pokrivanj j e 36 , če upoštevamo tudi vrstni red po laganja žetonov. Če pa nas zanim ajo le na koncu postopka pokrita štev ila, j e možnih šest različnih t roj k po kr it ih števil. 2. Vsi produkti so enaki 720, torej med seboj enaki. 3. Da bi vid eli , za kaj so vsi dobljeni produkti med seboj enaki, zapišimo šte vila številskega kvadrat a nekoliko drugače: 12 3 - 15 -24 -6 30 8 2 -10 3 · 4 3·1 :3 · (-5) - 6 · 4 -6 · 1 - 6 · (- .5) 2 ·4 2 . 1 2 · (- .5) Vsako število se je dalo zapisati kot produkt dveh faktorjev , pri čemer imajo vsa števi la iz iste vrstice enak prvi faktor , vsa števi la iz istega stolpca pa enak drugi faktor . Posamezni dobljeni produkt j e produkt treh šte vil, izbranih iz vsake vrstice po eno , pa tako , da je t udi iz vsakega stolp ca natanko eno. To pomeni, da nastopaj o v produk tu vsi prvi (vrstični) fak torj i 3, -6,2 , pa t ud i vsi drugi fak torj i (faktorj i stolpcev) 4,1 , - 5 nat anko enkrat . Vsi produkt i so torej enaki 3 · (-6) · 2· 4· 1 . (-5) = 720. Marija Vencelj PRAŠTEVILSKA - Rešitev s str. 325 Kvadrat polj ubnega lihega števila lahko zapišemo v obliki (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1, k E 7/." od koder zaradi 2jk (k + 1) t akoj sledi, da je ostanek pr i deljenj u kvadr at a lih ega števila z 8 enak l . Denimo, da so Xl, X2, ..• , Xl 996 različna praš tevila. Če so vsa lih a , j e vsota xI + x~ + ...+ XI9 96 soda in večja od 4, zato ne more biti kvadrat Rešitve nalog I praštevila. Če pa niso vsa liha, je eno enako 2, druga pa so liha. Tedaj po prvem delu rešitve vsota x i + x~ + ...+ xi99 6 pri deljenju z 8 da enak osta- nek kot št evilo 22 + 1995. Ta ostanek je 7, zato vsot a x i + x~ + . . .+ x I996 ni popolni kvadrat. Naj bo zdaj p praštevilo iz drugega dela na loge. Če so p i, P2, .. . , P1 996 prašt evila in velj a p2 = pi + p~ + ... + PI996' je p2 ~ 1996 · 22 > 892 . Najmanjše praštevilo, ki presega 89, je 97, zato velja P ~ 97. Denimo, da Je P = 97, Pl = ...= Pn = 2 in Pn+l = .. .= P1 996 = 3. Potem je 4n + 9(1996 - n) = 972 , od tod pa že dobimo n = 1711 in tedaj 972 = 1711 . 22 + 285 . 32 . Iskano število P je torej enako 97. Boris Lavrič TRIKOTNIŠKA ŠTEVILA IN POPOLNI KVADRATI - Rešitev s st r. 342 Število m je trikotniško natanko tedaj, ko je n (n + 1) m =I+2+ ... + n= 2 za neki naravni n. Iščemo torej naravno število n, ki reši enačbo n2 + n - - 2m = O. Pozitivna rešitev te kvadratne enačbe je n = ~(-I +J8m + 1) in je nar avno število natanko takrat, ko je 8m + 1 popolni kvadrat . Trditev smo dokazali. Veljavnost t rditve pa lah ko spoznamo tudi po geo- metrijsk i poti. Na sliki vidimo , kako lahko z osmimi ' t rikotniki' in enim kvadratkom zapolnimo veliki kva- drat. P rikazan je primer za m = 6: 8· (1 + 2 + 3) + 1 = 49 = 72 , idejo pa očitno lahko uporabimo za poljubno trikotniško število. Ivan Lisac IR ešitve nalog ŠE ENKRAT SAM SEBE - Rešitev s str. 338 V progr amskem jeziku C želimo napisati program, ki bo izpisal sam sebe. Seveda bi radi to storili brez up orabe datotek. Ker st a C in pascal po svoj i naravi zelo po dobna prog ramska jezika , je osnovna ideja enaka kot pr i programu , ki isto na logo reši v pascalu. Ogledate si ga lahko v 5. številki lanskega letnika Preseka na st ra neh 308 in 309. V C-j u tak program izgleda takole: #include int main (void ) { int i, j ; char *ukaz [ ] = { "#include ", "int mafn Cvo Ld )?", II{ " , II int i , j ; II , " c h a r *ukaz [] {" , II } ; II , 1111 " for (i = O; i < 6 ; ++i ) printf (!%s?n!, ukaz[i] ) ;" , " for ( i = O; i < 17; ++i ) printf ( ! ?!%s?! ,?n ! , uk az[i] ) ;" , " for (i = 8 ; i < 15 ; ++i)" , for ( j = O; ukaz[i] [j] ; ++j )" , if ( ukaz [i][j] == 33) ukaz[i][j] = '?! ' ; ", else if ( ukaz [i][j] == 63 ) ukaz [i][j] = ' ?? ' ;" , " for (i = 6 ; i < 17 ; ++i) pr intf5 I S E i--""-- N E ==: M M K A C I N A T E - o ~- I A S I - o K U N ,- ~~ G I B ~ = A T o ~ C R .00 S T I L ~ :;:;.st. 3. T 1 T~ U K L o N ~ R A D U H A= '= ~, L E N o B A "".~ T R V A ISfj!j' 1 L I P A ~ P R E M ~ E ~ V A L B U R G A ~ B R E Z E ~ T R N .- ~M ~. I ::i:-~: ~ = E T A P AC A V A L I E R I ~~ R E V I Z o R ~ W~ ~ R~ J E Z U I T ~ R NT o T o A T A I I ~~u p..,~... S I J ~ H A M D I J A ~ J A N E ~ M A N D A T ~ ~ N K A .-~ M E R ~ A L V A_. U K A Z G E N "~ E -1 ;~K o o R D I N A T N 1: s I s T E M~ E N N10 1 ..1' F R A N C 1 J A ~ L I E s K A T p E T I T '=' o A Z E ~ A l N T o N ~- B o K AF o ,- , I Rešitve nalog VERIGA - Odgovori na vprašanja s str. 355 3 2 4 [Ij ~ 1 a lJ c d b ca Najprej na sliki 1 objavljamo celotno ve- rigo, ki j e ostala bralcu za vajo še iz pri- mera v tekstu. Obstajajo trije različni osnovni tipi verig v tabeli 3 x 3: O. 1. Slika 1. Število sploh vseh verig n = na + nb + ne = 4 . 2 . 2 + 4 . 2 . 2 + 2 . 2 . 2 = 40 dobimo, če upoštevamo vse njihove zasuke za večkratnike pravega kota okrog središča kvadrata, zrcaljenje čez eno od simetrijskih osi kvadrata (denimo - navpično) in dejstvo, da je vsaka od teh verig v resnici "orientirana" , saj lahko vpisujemo števila v tabelo vzdolž verige v dveh smereh. 2. Takšne verige ni. O tem se zlahka prepričaš tudi sam - lahko s preverjanjem vseh možnih verig v tabeli, oziroma z odgovorom na prejšnje vprašanje, lahko pa tudi s pomočjo odgovora na naslednje vprašanje. 3. Verige z začetkom in koncem v dveh diagonalno ogliščnih poljih ni. Da se o tem prepričamo, pobarvajmo najprej po lja tabele tako kot šahovnico, torej črno-belo. Vsaka veriga v tabeli ima natanko 15 pre - hodov iz enega polja na drugo in vsak prehod veže polji različnihbarv. Če začnemo šteti prehode od začetnega polja v verigi naprej, dobimo po vsakem lihem številu prehodov polje, ki je z izhodiščnim različno obarvano , po vsakem sodem številu prehodov pa po lje z enako obar- vanostjo. Končno polje dobimo na ta način po petnajstem prehodu, in ker je 15liho število, se mora torej veriga v vsakem primeru končati na polju z drugačno barvo, kot jo ima njeno izhodiščno polje. Toda ob e diagonalno ogliščni polji tabele sta obarvani enako! To pomeni , da iskane verige pač ni mogoče sestaviti . Seveda lahko uporabimo ta dokaz tudi za potrditev sp lošnejše trditve , da ne obstaja veriga, ki bi se začela in končala na po ljih, ki sta v smislu šahovnice enako obarvani . I370 Rešitve nalog I 4. Vseh verig je 552. Preštevanja se lotimo podobno kakor pri verigah v tabeli 3 x 3 v prvem vprašanju. Vseh 10 osnovnih tipov verig prikazuje slika 2. V osnovi so razvrščeni z ozirom na različna začetna oziroma končna polja. Tedaj je: n = na + nb + ne + nd + n e + n f + n g + nh + ni + nj = = 96 + 64 + 64 + 128 + 32 + 32 + 8 + 32 + 64 + 32 = = 552, kjer je, denimo: nb = 4 . 2 . 2 + 4 . 2 . 2 + 4 . 2 . 2 + 4 . 1 . 2 + 4 . 1 ·2 = 64. Ostale delne vsote pa bo lahko bralec s pomočjo risbe in navedenega primera brez težav sestavil tudi sam. c: i: e, f: [IlD ll!Jj~I II ~~~~I1I;..'jji,/1:&;l;,Ij lli;ll,;J j: Rli g, h: a: [I Uli fi mm liJ Em b: mi ml lI!llIm II l i ml ~ rl: 1)]rtifl Hll rmI.rm~ lJ c Slika 3. a 2. 3 1 Slika 2. Omenjene verige bralcu ni treba ravno "pretirano" iskati, saj mu je na voljo kar uvodni primer v članku . V prvih dveh po- 4 tezah je treba vprašati tako, kot kaže sli- ka 3. Iz obeh odgovorov (1680 in 24024) je moč z gotovostjo sestaviti navedeno verigo in jo napovedati v naslednji potezi . Podobnih verig, ki jih je mogoče z gotovo- stjo napovedati že v tretji potezi, je še pre- cej. Vendar je potrebno kar precej igral- ske rutine, da se igralec nauči postavljati učinkovita vprašanja za hitro odkrivanje teh verig, dober nasprotnik pa najbrž tudi ne bo sestavil verige, ki se jo da zlahka uganiti . 5. Vilko Domajnko PRVA SLOVENSI b, izgubi, če je a < b, in igra neodločeno, če je a = b. Ali ima prvi igralec strategijo, pri kat eri ne glede na poteze drugega igralca (a) nikol i ne izgubi; (3 točke) (b) vedno zmaga? (3 točke) (3 točke) (2 točki) I Tekmo vanj a Druga skupina 1. Pri raziskavi javnega mn enja so vprašali 100 oseb, ali mislijo, da bo novi predsednik boljši od sedanjega. Označimo število tistih oseb, ki so odgovorile "boljši" z a , "enak" z b in "slabši" s c. Ind eks "dru žbenega optimizma" pod aj ata števili m =a + b/2 in n =a - c. Določi število n , če j e m = 40. (3 točke) 2. Zap išim o št evke 1, 2, .. . ,9 v poljubnem vrs tnem redu. Vsake t ri za- poredne štev ke določajo neko t rimestno število. Kolikšna je največj a mož na vrednost vsote vseh sedmih, tako določenih t rimestnih števil? (3 točke) 3. Oglej mo si produkt števil 1!, 2!, . . . , I DO!. Ali lahko iz tega produkta izpust imo tak fak tor , da bo dob ljeno štev ilo popolni kvadr at? (n! = = 1 . 2 . . . . . n , l! = 1) (4 točke ) 4. Ali lahko razrežemo prostor na pravilne tetraedr e in oktaedre? ( Plašč t et raedra je sestavljen iz 4 enakostraničnih t rikot nikov, pl ašč oktaedra pa iz 8 ~nakostraničnih t rikotnikov.) (4 točke) 5. Nad st ra nicam i trikotnika ABC so načrtani kvadrati ABMN , B CJ(L in ACP Q, ki ležijo zun aj tega t rikotnika. Nad daljicama N Q in P J( sta načrtana kvadra ta N QZT in P J(X Y . Razlika ploščin kvadratov ABMNin B CJ( Lje d. Koliko meri razlika ploščin kvadratov N QZT in PJ(XY, (a) če j e t rikot nik ABC pravokoten ; (b) pri poljubnem trikotniku ABC? V drugem delu spomlad anskega kroga tekmovanj a mest pa so tekmo- valci izbir ali med šestimi nalogami . Kot običaj no , t ud i letos objavljamo po dve na logi za vsa ko skupino . Prva skupina 1. V ravnini ležita disjunktn i krožnici s središčema v Ol in O2 . Skup na tangenta se dotika krožnic zaporedoma v točkah Al in A 2 • Dalji ca 0 102 seka krožnici zaporedoma v točkah B l in B 2 • Presečišče premic A 1B1 in A 2 B 2 označimo s C . lzberimo še tako točko D na prem ici A 1A2 , da sta premici CD in B 1B2 pravokotni. Dokaži, da je IA 1D I = = IDA 2 1· (3 točke) 2. Igralca zaporedoma premikata tr dnjavo po tabli dimenzij m x n . Igra- lec, ki je na potezi, lahko prem akn e trdnjavo eno ali več polj bodisi vodoravno ali pa navpično . Vsako polje, preko katerega t rdnj ava gre ali pa se na njem ustavi, pobarvamo . Trdnjava ne sme prečkati ali se ustaviti na nobenem pobarvanem polju . Igralec, ki ne more več Tekmovanja I na redit i poteze, izgubi . Na začetku stoji t rdnjava v kotu. Kdo lahko vedno zmaga, če oba igrata preudarno? Opiši zmagovalno st rategijo! (5 točk) Druga skupina 1. Naj bo D taka točka na stranici AB enakokrakega trikotnika ABC s kotom Q' pri vrhu A , da je lADI = ~ lABI , kjer je n naravno šte vilo. Točke Pl , P2 , .. • , Pn - 1 naj razdelijo stranico BC na n ena kih delov. Izračunaj vsot o 4.DP1A + 4.DP2A + ... + 4.DPn - 1A (a) pri n = 3; (3 točke) (b) za poljubno nar avno število n > 2. (4 točke) 2. V vsako polj e tab ele dimenzij 2n x n vpišimo število 1 ali - 1 tako, da je vseh 2n vrstic različnih, nato pa nekatera vpisana šte vila spre- menimo v O. Dokaži, da lahko izberemo eno ali več vrsti c tako, da je (a) vsota vseh števil v izbranih vrsticah enaka O; (4 točke) (b) vsota izbr anih vrstic enaka ni č elni vrstici (vrst ice seštevamo kot vektorje) . (5 točk) Matjaž Željko 17. MEDNARODNO MATEMATIČNOTEKMOVA- NJE MEST - JESENSKI KROG - Rešitve s str. 318 Poročilo s tekmovanja in izbrane naloge smo obj avil i v prejšnji številki Preseka . Rešitve nalog prvega dela Prva skupina 1. Dve vpr ašanj i seveda ne zadoščata , ker dve premici ne določata ome- jenega območja v ravnini . Tri vpr ašanj a zadoščaj o: pri prvih dveh izberemo za "test ni" premici diagonali kvadrata , pri tretj em pa no- silko tiste strani ce, ki leži v istem kvadrantu , ki ga določata testni premici, kot točka P. 2. Naj bo n E lN. Oglejmo si števi la 1, 2, 22,23 , • . . , 22n +1 in 3,3·2, 3 . 23 , 3 .2 5 , . . . , 3 · 22n - 1 ; skupaj torej 3n +3 šte vil. Nj ihov najmanjš i sku pni večkratnik je očitno 3 . 22n +1 , vsota pa Tekmo vanja BE D' r...... F / . A Pri n = 33 im amo torej 102 števili: 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . ., 267 in 3, 6, 24, 96, . . ., 3 . 265 . Ko v tem naboru števil zamenjamo 4 in 8 z 12, števi li 16 in 32 pa s 48, dob imo iskanih 100 števil. Ker pri pr epogibanju vzdol ž E F ogliš- če A sovp ade z ogliščem G, j e IDFI < JA F I = IGFI in zato ploščina t rikot nika ADF ne doseže 1/4. Ker poteka E F skozi sre- dišče pravokotnika , je ploščina št iri- kotnika BEFG enaka 1/2. Ploščina dob ljenega petkot nika je res manj ša od 3/4 . 3. 4. Kot 1.KAB med tetivo AB in tangento AK j e enak obodnemu kotu 1.BGA nad to tetivo. Upoš tevamo še, da je AM notranja simetrala kota pr i A, pa im amo 1.KAM = ~ ab(l- cosv) in zato v tem primeru za premico m vzamemo zunanjo simetralo kota 98 prvi igralec ne more zmagati . Predpostavimo torej , da je prvi igralec zmagal pri nekem n 2: 99. Analizirajmo zadnj i dve potezi. Predpostavimo, da je bi lo pr i predzadnji potezi prvega igralca na tabli a l +.. .+ak = m , n - 16 < m ::; n (zato je k > 2) , žetonov in da so bili razporejeni takole: a l a 2 ak-l ak ,...-A-... ,...-A-... ,...-A-... ,...-A-...*...* * ...* ... *...* * ... *. (Med posameznimi bloki je lahko tudi več praznih mest.) Predpo- stavimo lah ko tudi, da je ta postavitev taka, da lahko pr vi igralec zmaga pri poljubni potezi drugega. Potem pa za vsak i = 1, . . . , k velja a; ::; 17 - (n - ml , saj bi v nasprotnem po preudarni potezi drugega v škatli bilo več kot 17 žetonov in potem prvi v nasl ednji potezi ne bi bil zmagal. Ker je a l + ...+ ak = m , obstaj a ind eks i , 1 < i < k, pr i katerem je ai (k - 2) 2: m - 2 (17 - (n - m)) = 2n - m - 34 2: n - 34 2: 65. Ker po predpostavki prvi igralec zmaga ne glede na potezo drugega , bo zmagal tudi, če drugi igr alec vzame s table ai žetov iz i-t ega bloka. Tekmovanja Da bi potem prvi lahko zmagal , mora veljati a j + (k - 1) < 17, saj mora pri naslednji zapolniti še vse vrzeli med bloki. Sledi 65 k _ 2 + (k -1) ~ a j + (k - 1) ~ 17. Po drugi strani pa z upoštevanj em neenakosti med aritmetično in geometrično sredino izpelj emo neenakost (k~2+(k-2))+1~2J65+1 >17. P rotislovje dokazuj e, da je bila predp ost avka n ~ 99 napačna. Druga skupina 1. Predp ostavimo, da gledalec B , ki ima na vstopnici odt isnjeno število b, prispe na tekmo neposredno za gledalcem A , ki im a na vst opnici odtisnjeno število a, in dokažimo, da bi bilo število vzdihov enako tudi , če bi prispel B na tekmo neposredno pred gledalc em A . (Ker so sedeži vzdolž te kaške steze post avljeni krožno, je možno, da neki gle- dalec najde prost sedež šele pri drugem obh odu. Zato za poljubnega gledalca X definir amo: Ox = O, če j e ta gledalec našel nezasedeni sedež že na pr vem obhodu, in Ox = 1000 v nasprotn em prim eru. ) Predpostavimo lahko, da je a < b. Če je a = b, j e trdi tev očitna. -N aj bo sedaj a < b in gledalec A naj se usede na sedež s številko a', a ~ o'+ OA. Če j e a'+ OA < b+ OB , se bosta gledalca A in B posedia na isti mesti , t ud i če prispe B pred gledalcem A , in tako ostane število vzdihov pri obeh gledalcih enako. Ce paje a' +OA~ b+oB , bost a pri obratnem vrs tn em redu prihodov gledalca A in B zamenjala mesti , vendar bo ostalo skupno število vzdihovena ko. Vrstni red prihodov gledalcev opisuje neka permutacija št evil 1, 2, . . ., n . Ker lahko iz te permutacije dobimo poljubno drugo s končno mnogo transpo zicijami (tj . zamenjavami sosednj ih elementov) , je na- loga tako dokazan a. 4. Postavimo koordin atn o izhodišče v središče otoka. Če imaj o palme kr aj evne vektorj e rA , rB, rc , rD, rE in rF, ima višinska točka trikot - nika ABe kraj evni vektor rA + rB + i;'c , višinska točka t rikot nika D E F pa krajevni vektor ro + rE + fF. Na zaklad potem takem kaže vektor ~(rA + rB+ rc+ rD + rE+ rF). Pustolovcu zadošča izkopati le eno luknjo, saj je gornji izraz neodvisen od označevanja palm . Matjaž Že ljko Letno kazaLo I PRESEK - list za mlade matematike, fizike , astro- name in računalnikarje - 23. letnik, leto 1995/96, številka 1-6, strani 1-384 MATEMATIKA Na obisku pri Barbari (Janez Žerovnik ) 2-4 Množenje za tiste, ki poznajo le poštevanko števila 2 (Mirko Dobovišek) 30-31 Geometrijska in harmonična vrsta (Anton Cedilnik) 40-45 Matrike - ali skladišča informacij (Olga Arnuš) 65-69 Pregradimo trikotnik, 1. del (Boris Lavrič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86-88 Vsakdanje funkcije (Anton Cedilnik) .. oo oo oo 100-104 O praštevilih (Boru t Zalar) . oo oo oo . oo oo oo oo oo . oo oo oo oo oo oo oo . . . 110-113 Obstojna praštevila (Jože Grasselli) 134-136 Pregradimo trikotnik, 2. del (Boris Lavrič) 148-154 Zgodba opravokotnem tet raedru (Primož Potočnik). . . . . . . . . . . . . . . 193-196 O delitvi dediščine (Ivan Vidav) oo oo oo 270-276 Najmanjši krog [Stane Indihar) oo oo oo oo oo 294-297 Konstrukcija zaporedja x2 , x:, (Matej MenCinger) 340-342 Pozor, črne luknje! (M. Ecker, prev. in prir. D. Osredkar) 348-351 FIZIKA Prvi parni stroji (Janez Strnad). oo oo oo 5-11 Presenetljivi prikaz popolnega notranjega odboja (Tilka Jakob) 26-29 Veter in zvok (Andrej Likar) 72-75 Atwoodov škripec (Janez Strnad) .. oo 90-94 Vibracijski transporterji (Milan Ambrožič) 108-109 . Naredimo škržata (Andrej Likar) oo oo oo oo 129-132 , Past za delce (Janez Strnad) oooooo oo oo • . 142-146 Skrivnostni izbruhi vode (Zoran Arsov) 200-205 Natančno merjenje s pastjo (Janez Strnad) 220-221 Violina in lok (Andrej Likar) XIII , 226-228 Vožnja po bankini (Mitja Slavinec) oo 264-267 Gibanje delca v pasti (Janez Strnad) oo oo oo. 302-307 Fizika letenja (Andrej Likar) 330-334 ASTRONOMIJA Nos (Marijan Prosen) oo.oo oo oo 20-22 Usta (Marijan J:>rosen).oooooooooooo. oo oo . oo oo oo . . 76-77 , Koza (Marijan Prosen) oo oo 138-139 Samotna (Marijan Prosen) 208-209, XVI Ptič (Marijan Prosen) 268-269 ILetno kazalo Kaj bo videl komet Hyakutake, ko bo naslednjič prišel naokoli ? (Mirjam Galičič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XXI , 326-329, XXIV Mlečni voz (Marijan Prosen) 344-346 Aprilskega Luninega mrka nismo videli (Gregor Bavdek in Klemen Bučar) 354-355 , XXIV RAČUNALNIŠTVO o preslikavah ravnine, praproti in stiskanju podatkov (Matija Lokar) 34-38 , V, VIII Napake v prikazovanju števk (Darko Zupanič) 78-82 Saj ni res, pa je (Martin Juvan, Matjaž Zaveršnik) . .. . . .. 140 Problem trdnih zakonov (Martin Juvan) 212-215 Iskanje širokih števil (Martin Juvan) 282-285 O koledarju, petkih in številu 13 (Martin Juvan) 334-337 ZANIMIVOSTI - RAZVEDRILO Penrose - Escher - Reutesward (Vilko Domajnko) 1,12-19 Moč - pesem Marka Budiše, študenta fizike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IV Križanka Starogrški matematiki - reš . str. 77 (Marko Bokalič) 32-33 Križanka "Očetje fizikalnih enot" - reš. str. 163 (Marko Bokalič) 96-98 Sosonce in 22° halo (Jože Rakovec) IX, 140-141 Križanka "Matematične krivulje" - reš . str. 230 (Marko Bokalič) .. 160-161 Kako si predstavljamo štiridimenzionalno kocko? (Olga Arnuš) ... . 216-219 Prva znana astronomka (Marijan Prosen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223 "Astro" križanka - reš . str. 293 (Marko Bokalič) 224-225 Neskončnost (David Bedrač) XV Tridimenzionalne težave gospoda Ploščaka (Marija Vencelj) 257-263 Računalo Rimljanov (Veselko Guštin) XVII, 278-279 Križanka "Fiziki" - reš. str. 361 (Marko Bokalič) 288-289 Newtonova metoda in lepi fraktali (Milan Ambrožič) 290, XIX Živi poletni termometri (Marija Vencelj) 343 Kri žanka "Ob 400-letnici rojstva velikega misleca" - reš. str. 368 (Marko Bokalič) 352-353 Veriga - reš. str. 369 (Vilko Domajnko) 355-357 REŠITVE N AL OG Na obisku pri Barbari - s str. 4 (Janez Žerovnik) 89 Penrosov trikotnik - s str. 18 (Vilko ·Domajnko) 98 Pregradimo trikotnik, 1. del - s str. 86 (Boris Lavrič) 162-163 Vsakdanje funkcije - s str. 100 (Anton Cedilnik) 165 Pregradimo trikotnik, 2. del - s str. 148 (Boris Lavrič) 205-207 Letno kazalo I TEKMOVANJA Lepi uspehi slovenskih dijakov na olimpiadah iz matematike, fizike in računalništva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 31. tekmovanje za' Zlato Vegovo priznanje v šolskem letu 1994/95 (Aleksander Potočnik) 47-48 10. državno tekmovanje iz znanja računalništva za osnovnošolce (Ivan Gerlič) 48-50 Državno tekmovanje osno vnošo lcev iz fizike za Zlata Stefanova priznanja 1994/ 1995 (Jelisava Sakelšek) 50-52 39. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenije (Matjaž Željko). 52-54 33. tekmovanje iz srednješolske fizike (Ciril Dominko) 54-57 Tekmo vanje iz računalništva za srednješolce (Marko Gro belnik) 57-59 16. mednarodno matematično tekmovanje mest - pomladanski krog - rešitve iz XXII , P-6, str. 374 (Matjaž Željko) 59-64 15. področno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce - reš . str. 169-171 (Vesna Harej , J elisava Sakelšek) oo 114-116 30. občinsko tekmovanje za srebrno Vegovo priznanje - reš . str. 171-172 (Aleksander Potočnik) 117-121 Izbirno tekmovanje iz matematike - reš . str. 173-177 (Matjaž Željko) 121-123 Naloge s predtekmovanja iz srednješolske fizike - reš. str. 177-182 (Ciril Dominko, Jure Baj c) .. oo oo • • •• • • oo • • • • • • • • • oooo •• • oo ••• • 123-128 Urnik tekmovanj v let u 1996 (Darjo Felda) 167-169 15. državno tekmovanje iz fizike za osnovnošolce - reš. str. 234-242 (Mojca Čepič) 182-187 Naloge z državnega tekmovanja iz srednješolske fizike - reš . str. 243-245 in 309-311 (Ciri l Dominko, Jure Bajc) 187-192 Rešitvi izbranih nalog s 36. matematične olimpiade (Matjaž Željko) 246-247 4. državno tekmovanje osnov nošolcev v znanju matematike - reš . str. 312-313 (Aleksander Potočnik) 247-248 10. državno tekmovanje iz znanja računalništva za osnovnošolce (Ivan Gerlič) 249-253 39. matematično tekmovanje srednješolcev Slovenij e - reš . str. 313-318 (Darjo Felda) . oo . oo oo oo oo .. oo. oo oo • oo oo • oo .. oo 254-256 17. mednarodno matematično tekmovanje mest - reš . str. 374 (Matjaž Željko) 318-320 17. mednarodno matematično tekmovanje mest - po mladanski krog (Matjaž Željko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372-374 P ISMA BRALCEV Nemogočipredmet za zdrave oči nikakor ni mogoč (Zvonimir Devide) 337-338 Pravili za deljivost s številoma 7 in 13 (Dušan Jan, Marija Vencelj) 360-361 Letno kazalo NALOGE Čakanje na avtobus - nagradna nal oga - reš . str . 69-71 (Mari ja Vencelj). 1 Deljivost - reš. str. 82 (Marija Vencelj) 4 Trikotniki s pos ebno lastnostj o - reš. st r. 83-85 (Ivan Vidav ) 19 Manjkajoče število - reš. str . 104-105 (Martin Juvan) 25 Iz družinske kronike - reš. str. 104 (Marija Vencelj ) 29 Slamica re š. str. 94-95 (Matjaž Vencelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Devet vprašanj o širokih številih - reš. str. 106-107 (Martin Juvan) ..... 39 Na koliko načinov se policist lahko zmoti - reš. str. 75 (Anton Suhadolc ) 45 Pocenitev, podražitev - reš. str. 155 (Vinko Horva t ) 85 Funkc ijska enačba - reš . str . 141 (Roman Drnovšek) 88 Najdaljša četa - reš. str. 164-165 (Martin Juvan) 89 Poiš či šte vilo - reš. str. 156 (Ivan Lisac) 95 Ena finančna - reš . str. 156-158 (Martin Juvan) 99 Manjkajoči šte vili - reš. str. 136-137 (Martin Juvan) 99 Nalogi o 1996 - reš . str. 199 (Roman Drnovšek) 133 Največji zorni kot - reš . str. 232-233 in 276-277 (Marija Vencelj) 158 Kdaj je lahko vsota zaporednih naravnih števil kvadra t ? - reš. str. 280--281 (J ože Grasselli) oooooo.oo . oo oo 207 Pet razbojnikov - reš. str. 281 (Marija Vencelj) 209 Prevrtani krogli - reš. str. 279 (Vilko Domajnko) 210 Določi vloge - reš. str. 301 (Neža Mramor - Kosta) 210 Malo in veliko preprosto število - reš. str. 291-293 (Martin Juvan) 219 Nekaj nalog za mlade Vegovce - reš. str. 285-287 (Pavel Zaj c) 221-22 2 Kaj kdo poučuje? - reš . st r . 287 (Neža Mramor - Kosta) 231 Razreži tetraeder - reš. str. 307 (Vilko Domajnko) 231 Konstrukcija brez uporabe podobnosti - reš. str. 347 (Dušan Modic) . . 269 Nekaj zavit ih za odvijanje - reš. str. 362 (Martin Juvan) 298-301 Praš tevilska - reš . st r . 365 (Boris Lavrič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Magično množenje celih števil za mlajše bralce - reš. st r. 365 (Marija Vencelj) 333 Naraščajoča in padajoč a četa števk - reš. st r. 364 (Marija Venc elj) 338 Še enkrat sam sebe - reš. str . 367 (Martin Juvan, Matjaž Zaveršnik) . . 338 Trikotniška šte vila in po polni kvadrati - reš. str . 366 (Ivan Lisac) 342 Milni mehurčki na snegu (Alojz Kodre) XXIII NOVICE Quantum in Kvant (Janez Strnad) oo • • • • • • oo 22-25 Nemogoči predmet je mogoč (Marta Zabret ) 132-133, XI Poročilo s 36. mednarodne matematične olim piade (Matjaž Željko) 147, XII 26. mednarodna fizikalna olimpiada (C iril Dominko) 154--155, XII 384 Letno kazalo I Sto let radioaktivnosti - Odkritje Henrija Bequerela (J anez Strnad) 197-199 F izika1na olimpiada z netekmovalne plati (Martin Klanjšek) 228-23 0 Rene Descartes - Ob štiristoletnici rojstva velikega misleca in matematika (Marija Vencelj) 321-325 Dve sporočili (Iz uredništva) 329 Vodikovi antiatomi (Janez Strnad) 358-36 0 NOVE KNJIGE Željko M. s sodelavci, ·Altius, citius, fortius (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . 46 Strnad J. , Fiziki (Andrej Likar) 159 Cedilnik A ., Matematični priročnik (Anton Suhadolc) 297 Hladnik M ., Modema kvadratura kroga (Matj až Željko) 308 Omladič M. in Omladič V. , Ma tema t ika in denar (Zvoni mi r Bohte) 339 Bohte Z., U vod v numerične m etode (Bor Plestenjak) 351 PRESEK list za mlade matematike, fizike , astronome in računalnikarje 23. letnik, šolsko leto 1995/96, š t evilka 6, s t r a n i 321 - 384 UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj , Tanja Bečan (jezikovni pregled), Dušica Boben (oblikovanje teksta) , Vilko Domajnko, Rom an Drnovšek (novice), Darjo Felda (t ekmovanja) , Boj an Golli, Marjan Hribar, Boštjan Jaklič (tehnični uredn ik), Martin Juvan (računalništvo), Sandi Klav žar , Boris Lavrič, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Bojan Magajna (glavni ure dnik) , Fran ci Oblak, Pe te r Petek, Mari- jan Prosen (as tronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fot ografijo), Miha Štalec, Marija Vencelj (mate matika, odgovorna uredni ca) . Dopisi in naročnine: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - Po- družnica Ljubljana - Kom isija za tisk, P resek, Jadranska c. 19, 1001 Ljubljana, p.p. 2964, tel. (061) 1232-460, št. ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šolsko leto 1995/96je za posamezne naročnike 1.250 SIT, za skupinska naročila šol 1.000 SIT, posamezna šte vilka 250 SIT, za tuj ino 25.000 LIT , devizna nakazila SKB banka d .d . Ljubljana, val-27621-42961/9, Ajdovščina 4, Ljubljan a. List sofinancirata MZT in MŠŠ Ofset t isk DELO - T iskarn a, Lj ubljan a Po mnenju MZT št. 415-52/92 z dn e 5.2.1992 šteje revij a med proizvode iz 13. točke tarifne št . 3 zakona o prometnem davku , za katere se plačuje 5% davek od pro meta proizvod ov. © 1996 Društ vo matemati kov, fizikov in astronomov Slovenije - 1278 I N aloge M~NIMEHURtKINASNEGU Zgodaj spomladi sm o na nedeljskem izletu na Nanos opazili zanimiv na- ravni poj av . Bil je lep sončen dan , planot a je bila pokrita z zasreženim snego m. Ko smo posedli k malici na klopi pred lovsko kočo , j e Jure v žepu svojega nahrbtnika našel pozablj eno plastično posodico z milnico za pih a- nje mehurčkov. Lesketajoči se mehurčki so veselo poplesavali v lah ni sapi. Sem ter tja je kakšen pristal na snegu . Večina jih je takoj ob pristanku popokala, nekateri pa so obstali. Ti so začeli plahneti, sprva neopazno , potem pa vse hitreje, tako da je po nekaj sekundah ostala na snegu le še ploska mrenica milnice, ki je takoj nato izginil a. Poskus smo ponavlj ali naslednji tede n, vendar se nikoli ni posrečil. Površina snega ni bila več čista , na njej je bilo polno drobcev, ki jih je vet er nanesel iz gozda: ostankov iglic, listja in skorje . Vsi mehurčki so ob pri stanku popokali. Kako bi razl ožili , zakaj mehurčki na snegu splahnijo? Sp odnjo sliko smo posneli nekaj tednov kasneje v Lju bljani po obil- nem sneženj u na začetku aprila . A lojz K odre Slika kometa Hyakutake, posneta v noči s 26. na 27. marec , ko j e komet pot oval mimo Severnice. S prenosno as t ro fotogra fsko op re mo st a j o posnela Herman Mi kuž in Boj an Kambič v Slov ens kih . go ri cah , kamor st a se odpravila za korn etom, ker j e b ilo t o ti sto noč eno redkih j asnih območij v Sloveniji . Eden redkih posnetkov Luninega mrka v noči s 3 . na 4. april (foto Ken Fye) . Večino Evrope j e tisto noč prekrivala debela plast obla kov.