Smallest snarks with oddness 4 and cyclic connectivity 4 have order 44 - Goedgebeur, Jan (Ars mathematica contemporanea, 2019)
Družina snarkov - povezanih brezmostnih kubičnih grafov, ki se jih ne da 3-povezavno pobarvati - je dobro znana kot možni vir protiprimerov za več pomembnih in dolgotrajnih domnev v teoriji grafov. Med njimi so domneva o dvojnem pokritju s cikli, Tuttejeva domneva o 5-toku, Fulkersonova domneva in več drugih. En način pristopa k tem domnevam je raziskovanje strukturnih lastnosti snarkov in konstruiranje majhnih primerov z danimi lastnostmi. V tem članku obravnavamo problem določitve najmanjšega reda netrivialnega snarka (takega, ki je ciklično 4-povezavno-povezan in ima ožino najmanj 5) in čudnost najmanj 4. S kombiniranjem strukturne analize in izčrpnih izračunov dokažemo, da je najmanjši red snarka s čudnostjo najmanj 4 in ciklicno povezanostjo 4 enak 44. Prej je bilo znano, da mora imeti takšen snark najmanj 38 točk, in en tak snark na 44 tockah so konstruirali Lukot'ka, Mácajová, Mazák in Škoviera leta 2015. Dokaz zahteva določitev vseh cikličnih 4-povezavno-povezanih snarkov na 36 točkah, kar razširja predhodno zbrani seznam vseh takšnih snarkov z največ 34 točkami. Ta novi seznam uporabimo tudi za testiranje veljavnosti več domnev, kjer so snarki lahko najmanjši protiprimeri.
Keywords: ciklična povezanost; computation; cubic graph; cyclic connectivity; čudnost; edge-colouring; kubičen graf; oddness; povezavno barvanje; računanje; snark