LIST ZA MLADE MATEMATIKE ·0 O FIZIKE ASTRONOME IZDAJA DMFA SRS . i P R E S E K - li s t za ml ade matema t ike , fi zik e in a s t ronom e . 1 (1 9 73/74) , š tev . 2 . , s t r . 65 - 12 8 . K A Z A L O 6 5 MATEMATIKA 6 9 72 77 FIZIKA 81 8 7 ZANIMIVOSTI 9 1 ASTRONOMIJA 92 STRIP 96 POGOVORI 98 PREMISLI IN 10 2 REŠi LABORATORIJ 10 5 ALGORITEM 10 8 109 11 2 NALOGE- 11 3 TEKMOVANJA REŠiTVE. 11 8 NALOG 120 122 SLOVARČEK 123 MLADI 1 24 RAZISKOVALEC NAPAKE. -- 126 BOLJ ZA ŠALO 12 8 KOT ZARES Vagaja M.: Ob s toletn i c i r oj stv a J.P l e ml ja Ob lak F . : Zače tni po j mi geomet r ije . S.d . Rakove c J.: Neka j o mnogoko t n ik i h Ob l ak F . Neka j o š tevi lskih sestavih Pahor J . : l o + 111 = 10 01 Sk u l j T . : Kako r e ši š f iz ikalno n a logo Pro s e n M.: Obi ska l n a s bo svete l kome t Prose n M. : Kome t i Sk u lj 'r . : Teža Pi san s ki T .: Razgovor s p rof. Križaničem Re z u l tat i prve g a n a gra dne ga r a z p i sa v r e š e vanju na log " P r e mi sli i n r e š i " i n ob java no v e nagradne naloge " 1 97 3" Fe rb a r J . : Stehta jmo las Ba t age lj v. : Ulmova sp i ra l a Ob l ak F . : Eratos tenovo r e š eto Repovš D. : Predav a n je z a s redn ješo l ce Za j c P . : Os no v noš o lsko t e kmovanj e za Vegovo p r iznan je v š o l . l e t u 1 972 /7 3 Za j c P . : Reš itve nalog Prosen M. : Reš i tve na log iz ast ronomije Obl ak F . : Ses tav l jenka Presekov s l ovarček Ra z iskoval na n a l oga " Ko houtk o v komet" Sk u l j T . : Napake , p omote , ne s misl i . . . Skulj T .: Pros t i pad . Vodoravni me t Sl i ka na n a s l ovn i strani : mreža Ulamove s pirale ~ 1 9 73 Dr uštvo ma tema t i k ov , f izikov i n astronomov SR Sl oven i je OB STOLETNICI ROJSTVA MATEMATIKA JOSIPA PLEMLJA Pred sto leti, ll.decembra 1873, se je v kmečki družini na Bledu rodil veliki slovenski matematik Josip Plemelj. Ker mu je oče umrl zelo zgodaj in zaradi finančnih težav, v katerih se je znašla po očetovi smrti njegova družina, je njegovo šolanje "vi- selo na nitki" . Ker pa si je šolanja zelo želel, ga je mati ven- darle dala v gimnazijo v Ljubljano. Tu se je preživljal s pouče­ vanjem matematike. Poučeval pa ni le svojih sošolcev, temveč tudi dijake, ki so bili v višjih razredih kot on. Kot četrtošolec je na primer poučeval osmošolce za maturo. To je zmogel zato, ker je že kot dijak nižje gimnazije sam študiral snov višjih razre- dov. V kasnejših gimnazijskih letih pa je že študiral višjo ma- tematiko, ki jo poučujejo na visokih šolah . Prof. J osip Plemelj (skrajno de s n i v p redz adn j i v r s t i ) s sošolci v g im n a z i j i Leta 1894, po končani srednji šoli, je odšel na visoko š o l o na Dun a j . Prvotno je nameraval študirati astronomijo, v matema- tiko pa ga je usmeril njegov akademski učitelj profesor Esche- rich, ki ga je že po njegovem prvem nastopu v matematičnem semi- narju visoko cenil in predvidel za akademsko kariero. 65 Leta 1898 je profesor Plemelj promoviral za doktorja matema- tičnih znanosti in odšel na nada Ljnj e strokovno izpopolnjevanje najprej v Berlin in nato v Gottingen. Njegova učitelja sta bila slavna matematika Klein in Hilbert. V tem času, leta 1901, je objavil svojo prvo znanstveno razpravo o linearnih diferencial- nih enačbah. Prof~ dr.Josip Plemelj na Dunaju, .1 90 4 Leta 1902 je postal privatni docent na dunajski univerzi, le- ta 1908 pa že redni profesor na univerzi v Černovicah. V tem ob- dobju je objavil več znanstvenih razprav s področja diferencial- nih in integralnih enačb, teorije potenciala in funkcijske teo- rije. Leta 1908 je objavil rešitev Riemannovega problema o ana- litičnih funkcijah, s katerim so se matematiki ukvarjali dolgih 50 let. Rešitev profesorja Plemlja je splošna in enostavna. Ob reševanju Riemannovega problema je profesor Plemelj izpeljal formule, ki dajo robne vrednosti analitičnih funkcij. Te formu- le se po njem imenujejo Plemljeve formule. Rešitev Riemannovega problema cenijo matematiki za največji dosežek profesorja Plem- lja. Na področju teorije potenciala je dosegel višek z razpravo "Potentialtheoretische Untersuchungen", ki je izšla 1911 v Leip- zigu in dobila nagrado znanstvenega društva kneza Jablonowskega v Leipzigu. Naslednje leto je priobčil preprost in eleganten do- kaz Fermatove trditve za pete potence. 66 Nato je prišlo obdobje prve svetovne vojne, ko profesor Ple- mel j n i pisal. Ko t zaveden Slovenec in nasprotnik režima je bil neka j časa celo konfiniran. Po ko nc u prve svetovne vojne, ki se je končala s p r o pad om av- stroogrske monarhije, s e j e prof esor Plemelj vrnil v domovino - v Ljubljano, kjer so pričeli s pripravami za ustanovitev sloven- s ke univerze. V p r v em letu njenega obstoj a (1 919 /20) je postal njen rektor in redni p r o f e s o r za matemat iko. Tedaj se j e priče­ lo d r ugo o bdobje v njegovem ž i v l j e n j u - vzgo ja cele kopice ge- nerac i j slovenskih ma t ema t i ko v . Na ljubljanski univerzi je pre- da v a l nepretrgoma š tirideset let. V tem obd o b ju j e še vedno ob- javljal znanstvene sestav ke, vendar redkeje , ke r j e i zgubi l s tik z matematičnim s v e t om in je bil zaradi maj hne univerze strokov- no osamljen. Njego v a z adn j a objavljena raz prava , k i je izšla Pr of. J os ip Plemel j s š tudenti zadn jih t reh l etn i k o v v Ljub l jani 1956 l e t a 1936, je s področ ja t eor i j e linearnih diferencialnih enačb . V v isoki starosti je profesor Plemelj na prigovar janj e svojih nekdanjih učencev n a p i s a l s v o ja p r edavan ja, ki so izšla v treh delih: Teorija analitičnih funkcij (1953), Diferencialne in in- tegralne enačbe (1 960 ) in Algebra in teorija števil (1962). To trilogijo je profesor Plemelj posvetil svojemu prvemu univerzi- tetnemu učitelju profesorju Gustavu Escherichu. 67 Na svoj 90.rojstni dan, Il. decembra 19 63 je bil profesor Ple- mel j promoviran za častnega doktorja matematičnih in tehniških znanosti na ljubljanski univ erz i ; i stočasno pa odlikovan z re- dom r e p ublike z zlatim vencem na ukaz PEedsednika SF RJ Josipa Broza-Tita. • \ Na s l e dn j e leto (1964) , je izšlo zadn je njegovo\ tiskano delo z n a s l o vom Problems in the Sense of Ri ema n n and Klein . Po tem j e živel l e š e tri l eta in umrl 22 .maja 19 67 v LjUbl jani, k j e r je t udi pokopan . Lj ub lj a n s k a univerza j e 'profesorju Pl e!TIl ju o b 50-let nic i svoj e ustanovitve , (1 96 9 ) postav ila s pomeni k, k i sto j i p red zgradbo današnje pravne 'f a k u l t e t e . Odkri l ga je profesor Ivan Vidav, k i j e t e d a j rekel : " I'1islim , da govor im v imenu v s e h na - ših ma t e ma tikov, k i smo bili nekoč učenc i profesorja Pl emlj a i n smo ga imeli r a d i , ko izraža m v e l i ko zadovol j stvo , d a je univer- za ob petdesetletnici ustanovitve postavila spomenik , č loveku , ki je bil matematik velikeg~ formata, prvi rekto r naše univ e rze in skoraj 40 let njen profesor ." Letos je bil v Plemljevem,rojstnem k r a j u na Bled u o b 1 00-le t- nici njegovega rojstva, mednar~dni simpozij o d iferencialnih i n i n t e g r a l n i h enačbah . uruštvo ma t e ma t i kov, f i z i kov in a stronomov pa bo 100-letnico rojstva profesorja Plemlja počastilo s spomin- skifu občnim zborom, ki bo tudi na Bledu. '~ - , Profesor Plemelj je b i l izjemen č lovek. Bil j e odličen s t ro- l \ ri.~ T ' , kovnj,ak't'/sijajen p r e d a va t e l j s k l e no besedo in e stetsko pisavo in\v~{.li k\"~~ značaju. Z v s a k i m j e r ad pokraml j a l in mu privoščil dobr o bese~o . Za zgled naj navedem en sam p r i me r . Čeprav je bi- lo 4. novembr a že prec ej mr az , sem na diplomski izpit prišel brez suknje. Prvo vprašan je profesorja Plemlja je bilo: "Kje imate suknjo? Saj se boste vendar prehladili !" In šele, ko me je do- dobra "okr ega l ", se je začel diploms ki i zpit. Zaradi vse h kvalitet, ki jih je pokojn i profesor Plemelj i- mel , s mo ponosni vsi , ki nam je bilo dano , d a smo bili njegovi učenci. (V podtisu: rl.Pečar, J.Pleme lj) 6 8 Marijan Vagaja MATEMATIKA ZAČETNI POJMI GEOMETRIJE Franci Oblak 5. LASTNOSTI RAZDALJE NA PREMICI Narišite premico in na njej izberite tri različne točke. Ta- koj vidite, da ena od njih leži med drugima dvema. N.pr. na sli- ki 5 leži točka B med točkama A in C. Slika 5 Med geometrijskimi pOJm~, ki smo jih izbrali za osnovne, ni pojma "leži med". Ta pojem pa ni vštet med osnovne zato, ker smi- sel izraza "točka B leži med točkama A in C" lahko definiramo z uporabo pojma "razdalja". Kar poglejmol Na sliki 5 vidimo, da je razdalja AC enaka vsoti razdalj AB in BC. To bo veljalo vedno, kadar bo točka B ležala med točkama A in C. Definicija "leži med": Toeka T teži med točkama A in B. ee 80 te tpi 'točke pazUčne in je AB = AT + TE. Slika 6 tole : Dobro veste, da točka, k L leži na premaca , "razdeli" premico na dva "poltraka". Pojasniti moramo, kaj to pomeni, seveda pa smemo uporabiti samo osnovne geometrijske pojme in pojem "točka T leži med točkama A in B" , ki smo ga že definirali. Najprej pa prikažimo to nazorno. Na sliki 6 je narisana premica p in na njej je narisana točka O. Ozna- čimo z M mno žico vseh točk pre- mice p, ki leže na levi strani točke O in z N točke, ki leže desno od točke O. Takoj v id imo al točka O leži med poljubnima točkama, od katerih ena pripada 69 množici M, druga pa množici N. N. p r . O leži med A in B, bl če dve točki p r i pa d a t a eni in isti množici (M ali pa N) , potem ena od teh dveh točk leži med drugo točko in točko O. N. pr. točka A leži me d C i n O (Slika 7al . To lastnost ureditve točk na premici moremo tudi posploši t i. za t o spre jmimo brez dokazovanja naslednje: l. Poljubna točka O, ki leži na premici, razdeli množico točk premice, ki so različne od točke O, na dve neprazni podmnožici tako, da; po'l,j'~bn:ima različnima podmnožicama, , b l od dveh točk, k i pripadata istipodmnožici, Zeži ena med drugo točko i n točko O. Vsako od pod mno žic , na kate ri r a zd e l i točka O pr e mico , imenu- jemo odprti poltrak z izhodiščem O. Seda j moremo def i nirat i po l- t rak. Definic i ja poltraka: Unijo odp r tega po l t raka in n jegovega izhodišča menujemo po l t r ak z i z hodiščem (z ače t k om ) O. točko O - i- Na v sakem poltraku moremo pois ka t i (določiti) točko, ki je za dano razdaljo oddaljena o d izhodišča . To lastnost poltraka ste večkrat uporabljali pr i načrtovanj u. Sprejmimo to l a s t no s t brez dokaza. 2 . Pr i po l j ubni ~azda lji a obs ta ja na danem poltraku z začet­ kom O natanko ena točka A, ki je od to čk e O oddaljena z a a. Iz pove daneqa pa sledi. da sta na dan i p r e mi c i. ki v s e bui e točko O i n pri d a n i razdalj i a na tej premici natanko d ve toč~ ki, ki l ežita od O a daleč. Do b i mo jih s pomočjo šes tila, če na- nesemo razdalj o a na vsako stran točke O. 2. i z r e k: Od tre h različnih točk premice leži vedno ena med d rugima d ve- ma. Doka zova n j e : Točka A d e l i p r emico na dva poltr a k a . Če točki B i n C pr i pa- data različnima pol t r a koma , leži A med B i n C (s lika 7b) . Če -7 0 točki B in C pripadata enemu poltraku, potem ena od njih leži med drugo in točko A (slika 7c). B ~A B C Vft..s.J 1(. t. C A $'1.,..1Sl. of .. V obeh primerih smo 'med našimi , tremi točkami našli eno, ki lp- ži med drugima dvema (kar je bilo treba dokazati). Za zaključek poglejmo še tr i točke A, B i n C, ki ne leže na isti premici (slika 7d) . V tem primeru je vsaka od razdalj AB, BC in AC man jša od v s o t e drugih dveh. Za t o spet privzemimo brez dokaza: Vprašanja in naloge l. Katere geometrijske po jme smo uporabili za definici jo pojma "leži med"? 2. Ka j moremo povedati o ure- ditvi točk X, Y, M, če ve- mo: 5. Al i sta različni: a) dalj ici AB in BA, b ) poltrak a (A; B) in (B;A)? 6 . Ko l i ko potrakov določata na premici (A, B) dve njeni točki A i n B? XY + XM > MY '3 . Točka X leži med točkama A in B. Ali lež i tudi me d toč­ kama Bin A? 4. Iz česa sledi, če točka X leži med točkama A in B, da te tri točke l eže na eni premici? 7 . Dan je krog. Dve točki krož- nice veže daljica AB. Leži med točkama A in B a) k a k r š na ko l i tocka k r o ž - nice, b) kakršna koli točka tega kroga? 71 NEKAJ O MNOGOKOTNIKIH Janez Rakovec (a) Medsebojna Zega dveh trikotnikov. Dva trikotnika na ravnini se lahko sekata (sl. la), lahko pa nimata nobene skupne točke (sl. lb) . Slika 1 Posebej nas zanimata primera, ko se dva trikotnika sekata (o- ziroma stikata) v skupni stranici (slika 2a) ali v skupnem og- lišču (slika 2b). KompZeks trikotnikov. Na ravnini imejmo končno skupino tri- kotnikov, za katero velja: poljubna dva trikotnika iz te sku- pine se bodisi stikata v skupni stranici ali skupnem oglišču, bodisi nimata nobene skupne točke. Vsako tako skupino trikot- nikov imenujemo kompZeks (trikotnikov). Primer: vsi trikotniki na sliki 3 sestavljajo kompleks . - H kompleksu štejemo poleg 72 trikotnikov navadno tudi vse njihove stranice (imenujemo jih daljice kompleksa) in vsa njihova oglišča (imenujemo jih ogli- šča kompleksa). Mnogokotnik. Poljuben trikotnik lahko pojmujemo kot množico . vseh točk, ki leže v njegovi notranjosti ali na njegovem robu. Vzemimo zdaj neki kompleks trikotnikov na ravnini in zberimo vse točke, ki spadajo v kak trikotnik tega kompleksa .- Dobljena množica je unija vseh trikotnikov iz kompleksa in jo imenujemo mnogokotnik (tega kompleksa). Ta definicija se lepo ujema z iz- kustvenim pojmom "mnogokotnik", t.j. lik z "mnogimi" stranicami. Tak lik lahko namreč razdelimo na trikotnike (slika 4); ti tri- kotniki sestavljajo kompleks, njihova unija je ravno ves lik. Na sliki 4 imamo dva izvoda istega mnogokotnika, ki smo ga se- stavili iz trikotnikov na dva različna načina. Torej nam lahko Slika 4 (a) (b) različni kompleksi dajo isti mnogokotnik. Ze zato moramo med pojmoma kompleks in mnogokotnik dobro ločiti. In še nekaj: z na- šo definicijo dobimo poleg običajnih konveksnih in konkavnih mnogokotnikov tudi mnogokotnike, ki se drže skupaj le veni toč­ ki ali celo sestoje iz več ločenih kosov (slika 3). Robne in not ranje da~jice. Poljuben kompleks trikotnikov na ravnini ima očitno tole lastnost: vsaka dalj ica kompleksa je stranica en~ga ali dveh trikotnikov k0~pleksa. Daljico, ki je stranica le enega trikotnika, imenujemo robno da~jico, n.pr. AB , 73 BC, CD ••• na sliki 4b. Daljico, ki je stranica dveh trikotnikov, pa imenujemo notranjo da~jico, n.pr. AH. HI. DI ... na sliki 4b. Vsak kompleks določa seveda neki mnogokotnik. Robne daljice kom- pleksa so ravno stranice tega mnogokotnika, njihova unija je rob mnogokotnika. Množica vseh tistih točk mnogokotnika, ki ne leže na robu, pa je notranjost mnogokotnika. Paschev aksiom. V nadaljevanju našega razmišljanja nam bo ko- ristil ta aksiom, zato si ga prikličimo v spomin. Aks II/5: Če leži premica v ravnini trikotnika in ne gre sko- zi nobeno oglišče ter seka eno stranico, potem seka samo še eno izmed drugih dveh stranic. Premica in komp~eks. Premica p naj leži v isti ravnini kot da- ni kompleks trikotnikov in naj ne gre skozi nobeno oglišče kom- pleksa. Premica p lahko seka posamezno daljico kompleksa kvečje­ mu veni točki. Sečišče premice z robno daljico imenujemo robno sečišče (n.pr. A na sliki 5), sečišče premice z notranjo dalji- co pa imenujemo notranje sečišče (n.pr. n na sliki 5). Slika 5 število vseh sečišč, robnih in notranjih, je seveda končno, saj ima kompleks le končno število daljic. O številu robnih se- čišč pa lahko povemo še nekaj več. Trdimo: števi~o robnih sečišč je Bodo. - Preden se lotimo dokaza te trditve, označimo število robnih sečišč z r, število notranjih sečišč pa z n; vseh sečišč je tedaj n+r • Izmed trikotnikov kompleksa se odslej zanimajmo samo za tiste, ki jih premica p seka; množico teh trikotnikov o- značimo z M, število teh trikotnikov pa s t. Poiščimo zvezo med 74 številom t in številom vseh sečiščl Po Paschevem aksiomu seka premica p natanko dve stranici vsakega trikotnika iz M. torej vsak trikotnik iz M prispeva dve sečišči. Toda če bi postavili, da je število vseh sečišč kar enako 2t, bi pri tem vsako notra- nje sečišče šteli dvakrat - saj je vsaka notranja dalj ica skup- na dvema trikotnikoma iz M. Da dobimo število vseh sečišč, mora- mo torej od 2t odšteti število notranjih sečišč. število vseh se- čišč je zato 2t-n. (Bralec lahko preizkusi pravilnost našega sklepanja na sliki 5.) Ker pa je število vseh sečišč tudi enako n+r, dobimo: n+r = 2t-n, od tod pa:r = 2(t-n). Torej je število robnih sečišč res sodo. Kako premica seka rob mnogokotnika. Za poljuben mnogokotnik velja: Iarek l. Naj premica p leži v ravnini mnogokotnika in naj ne gre skozi nobeno njegovo oglišče. Potem seka premica p rob mnogo- kotnika v sodem številu točk. Dokaa. Mnogokotnik moramo najprej razdeliti na trikotnike,da lahko uporabimo spoznanja iz prejšnjega razdelka. V splošnem pridobimo pri tem še oglišča v notranjosti. Očitno pa lahko mno- gokotnik razdelimo na trikotnike tako, da nobeno od notranjih {al Slika 6 p (b) oglišč ne bo ležalo na premici p (glej sliko 6). Zato sledi naš izrek neposredno iz trditve v prejšnjem razdelku, saj so robna sečišča pri kompleksu ravno sečišča premice z robom mnogokotni- ka. Za konec prepuščamo bralcu še tri naloge. njih rešitve bomo objavili v naslednji številki "Preseka". 75 Na~oga 1: Dokaži: Izrek 2: Naj premica p leži v ravnini mnogokotnika in seka njegov rob v neki točki, ki ni oglišče. Potem seka premica p rob mnogokotnika vsaj še v neki drugi točki. (Opozorilo! Upoštevati moraš obe možnosti, ~i lahko nastopita: al premica p ne gre skczi nobeno oglišče mnoqckotmLkaj bl premica p gre skozi l-akšno oglišče mnogokotl,ika. \ Na ~oga 2 . Al i premica in mnogokotnik na sliki 7 nasprotu jeta izrek u 2? Al i spl o h zadoščata pogoju i z r e ka 2? Od gov o r utemelji! Slika 7 B c F p Na~oga 3 . Premic o p na sliki 8 premikaj vzporedno samo s se- bo j in ugotovi , kako se pri tem spreminja število sečišč p r emi- ce z r o bom mnogoko tnika. Preveri na tem prime ru veljavnos t iz- r ekov 1 i n 2 ! E Slika 8 G o'-------rc B A p NEKAJ O ŠTEVILSKIH SESTAVIH Franci Oblak S številkami zapisujemo števila. Dobro poznamo desetiške šte- vilke, n.pr. številka 23078 pomeni število, ki ga sestavljata 2 desettisočici, 3 tisočice, O stotic, 7 desetic in 8 enic, to je: 2.10000 + 3.1000 + 0.100 + 7.10 + 8, ali če uporabimo zapis s potencami števila 10: 2.10 4 + 3.10 3 + 0.10 2 + 7.101 + 8. Osnova desetiškega sestava j~ število deset. Številke zapisujemo z zna- ki, ki jih imenujemo cifre. V desetiškem sestavu je deset cifer: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kaj pomeni številka 3000020? Zapiši tel Osnovo deset uporabljamo predvsem zato, ker je to število prstov na obeh rokah. Lahko pa bi vzeli za osnovo poljubno dru- go naravno število, ki ni l. Pravimo, da imamo opraviti z nede- setiškimi sestavi. Če vzamemo za osnovo 5, bo to petiški sestav. In številke bodo petiške številke. Poskusimo: katero število predstavlja petiška številka 342l? To je število 3.5 3 + 4.5. 2 + + 2.51 + l. Da ločimo zapis števila v petiškem sestavu od zapi- sa v desetiškem sestavu, zapišemo osnovo sestava v oklepaju de- sno spodaj poleg številke. IJ.pr. 216(8) je številka vosmiškem sestavu. Število, ki ga predstavlja, pa je: 2.82 + 1.81 + 6. številke v drugih sestavih beremo glasno tako, da zaporedoma preberemo cifre in da povemo osnovo: n.pr.: 314(5) preberemo: tri ena štiri v petiškem sestavu. Koliko različnih cifer lahko uporabimo v sestavu z osnovo n? *Očitno samo n • N.pr. v trojiškem sestavu so lahko samo cifre O, 1, 2. Število 3 je namreč že 10(3) = 1.3 + O. Kako pridemo iz nedesetiškega sestava v desetiški? Število 3772 (9) bi radi zapisali v dese t i.šken, sestavu. Ker je 3772 (9) = 3.9 3 + 7.9 2 + 7.9 + 2, je treba samo izračunati zapisano vso- to produktov. 9 3 = 729, 9 2 = 81, torej 3.9 3 + 7.9 2 + 7.9 + 2 = = 3.729 + 7 .81 + 7.9 + 2 = 2187 + 567 + 63 + 2 = 2819(10)' zapi- sali smo v desetiškem sestavu. Vendar se dogovorimo, da deseti- *Dokaze poišči v: F.Križanič: Aritmetika, algebra in analiza I.del, stran 36 in dalje. 77 ški sestav ne označimo posebej , ke r g a sta lno upora b l j amo . Poskusimo še nekaj primer ov prepisati v desetiški sestav! 1234( 5) 1.5 3 + 2.5 2 + 3.5 + 4 = 1.125 + 2.25 + 3.5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 194 1.2 4 + 0 .2 3 + 0.2 2 + 1.2+ 1 1.16 + 2 + 1 = 19 1.3 4 + 2.3 3 + 0 .3 2 + 2. 3 + 1 81 + 2.27 + 6 + 1 142 1. 42 f- 2.4 + 3 = 16 + 8 + 3 27 10011 (2) = 12021 (3) = 123 (4 ) 1046(7) 1.73 + 0.7 2 + 4.7 + 6 343 + 28 + 6 = 377 . Seveda je osnova sestava lahko tudi večja od 10, n .pr . 11. Sedaj p a s i moramo zamisliti novo cifro za 10, n.pr. a. 21a8(11) = 1.11 + 10.11 + 8 = 121 + 110 + 8 = 239 ( č i taj : ena a osem v sestavu enajst ) poskusimo poiskati algoritem, s kat e r i m bomo l ahko hitreje pre vedli številko iz nedesetiškega sestava v desetišk i se~tav. Vzemimo primer: 2 31 40 2 (5 ) = 2 .5 5 + 3 .5 4 + 1 . 53 + 4 .5 2 + 0. 5 + + 2. To lahko izračunamo takole: «« 2.5+3) .5+1).5+4).5+0).5+ +2 = «(13 .5+1) .5+4)5+0).5+2 = « 66.5+4).5+0). 5+2 = (3 34.5+0) • • 5+ 2 = 1670 .5+2 = 8350 + 2 = 835 2. rezultat - I 2 $1 3 ,c, 1 e. 1""", 4 O 2 osnova 10 65 330 1670 835 0 I""''' 5 I 2 13 6 6 334 1670 I 835 21 Hi t r e je p a p r i dem o po isti poti do r ezultata s t ako le shemo (Hornerj ev algorite m!): V prvi v rsti so zapi- sane p o vrst i c i fre š t e v i lke , v tretj i v r s ti l e vo je o snova siste- ma . V drugi vrsti do- biQO š tevilo, če os- novo množ imo s tret- j o vrsto i n rezu l t a te vpisujemo v okenček de s- no navzgor. Tr e t j o vrs to dobimo z navp~cn~m seštevanjem, razen prve š tevi lke , ki jo dobi~o s p r e p isova n j em . Poskus imo še en prim er: 32 4560 1 (7) I 3 2 4 5 6 O 1 21 161 1155 8120 56882 39 8174,. ., ' I 7 I 3 23 165 1160 8126 5,6 88 2 1, 39 815 I 'r o r e j j e: 32 4 560 1 (7) 78 39 817 5 . Kako preidemo iz desetiškega sestava v nedesetiški? Število 325 bi radi zapisali v šestiškem sestavu. Pripravimo si zapored- ne potence števila 6: 6, 36, 216, 1296, ••• 3 2 325 = 1.2:6+109 = 1.216+3 .36+1 = 1.6 +3.6 +0.6+1 = 1301(6)' Vsak ostanek je treba zaporedoma deliti z naslednjo manjšo potenco števila 6. Lažje 'gre po taki shemi: 6 325 325 ostanki 54 1 9 O 54 1 3 325=1301 (6) 9 O 1 1 2 6.54+1 = 6 (6. (6. (6 .0+1) +3) +0)+1 0.6 4+1 · 63+1 · 62+Q. 6+1 = 1301(6) .0, 6.9+0 6.1+3 6.0+1 Primera: 9 87 6 9876 = 10011010010100(2) 4938 O Preskus: 10011010010100 = 1 .2 1 3+ 24"9 O +1.210+1.29+1.27+1.24+1.22 = 1234 1 8192 + 1024 + 512 + 128 + 16 + 617 O + 4 = 9876. 308 1 15 4 O Preveri š e s Hornerjevo shemo! 77 O 1 4 38 4444 1 9 O 1111 O 9 1 277 3 4 1 69 1 4444 1011130 (4)2 O 17 1 1 O 4 1 O 1 1 O O 1 Preskus · I 1 O 1 j 1 1 3 O 4 16 68 276 . 1108 4444 r 4.,A.. l 4 n 69 f,77 1111 14 444 1 79 Vaje: lo Na p iš i v desetiškem sestavu naslednje številke: a) 3333(4) c) 3210(5) e) 1010101(2) g) 4765(8) b) 12345(6) d) 1201(3) f) 564321(7) h) 810(9) i) 4a33 (11) j) lab03(12) 2. Nap i š i v danem sestavu naslednje desetiške številke: a) 735 v petiškem f) 98 v d v o j i š k e m b) 6 21 v šestiškem g) 888 v devetiškem c) 341 vsedmi š kem h ) 999 vosmiškem d) 2 8 v štiriškem i ) 300 v enajstiškem (a=l O) e) 33 v trojiškem j ) 80 347 v d v a n a j s t išk em (a=lO, b=l1) • Toliko zaenkrat, kdaj drugič p a si bomo ogledali š t e t j e , se- š t e v a nk o in poštevanko v nedesetiških sestavih. P R E S E K, list za mlade ma t e ma t i ke , fizike in astronome. I. letnik, šolsko leto 1 973/74, 2. številka, december 1973. IZdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije. V šolskem letu izidejo štiri številke. List sofinancirajo: Kulturna skupnost SRS, Izobraževalna skup- nost SRS in Ten~ljne izobraževalne skupnosti. Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Jože Dover, l-1a r j an Hribar, Jože Kotnik, Biserka Mikoš, Franci Oblak (pomočnik odgovornega urednika), ' Tomaž Pisanski, Marijan Prosen, Tomaž Skulj (odgovorni urednik), Davorin Tomažič, Marijan,Vagaja in Ciril Velkovrh (teh- nični urednik). Rokopis je natipkala Ma r t i n a Fabjančič, jezikovno pregledala pa Sandra Oblak. Slike so narisali: Borut Pečar, Roman Lupinc, Davo- rin Tomažič i~ Višnja Kovačič. Naročnina za šolsko leto : za posa~eznike 20.-din, za učence in d i j ake , ki list naročajo preko poverjenika 18.-din, za inozemstvo 2 $ = 34.-din. Posamezna številka stane 5.-din. ~opise pošiljajte in list naročajte na naslov: Komisija za tisk DMFA SRS - PRESEK, Jadranska c. 19, pp 227, 61001 Ljubljana, tel. štev. 61-564, interna 53. Številka žiro računa: 50101-678-48363. Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje "DELO", Ljubljana. Naklada 13.000 izvodov. Po sklepu Republiškega sekretariata za prosveto in kulturo številka 421-1/73 z dne 12. 7. 1973 je list oproščen prometnega davka. 80 FIZIKA ___II 10 +111 =1001 Jože Pahor Koliko je dva in sedem? Devet, porečete. Pa ne velja, saj ni- ste računali. Seštevanje do dvajset al i več obvladate na pamet, šele ob večjih številih si pomagate s pismenim seštevanjem, pri katerem uporabljate z n a n j e iz osnovne z ak ladnice in pravila za seštevanje. Računaln ik ali kompjuter , k i ga d a ne s občuduj e vesoljni svet, ne zna na pamet ni t i to l i k o seš t e van j a . Na pamet obvlada le se- števanje do dva, se p r a v i do 1 0 . š t evilke 2 namreč ne pozna, njegova številčna abeceda obsega le simbola O in l. Za zapis preostalih števi l si .poma g a s koffiO inacijami ten dveh simbolov,, pri seštevanju pa izkorišča znanje iz svoje zakladnice in pra- vila za seštevanje večjih š t evil. Poglejmo, kako se l o t imo p os t avl jene nal o ge v dvojiškem si- stemu, ki ga uporablja tudi računa lnik! Dve zapišemo dvojiško kot 10, sedem pa kot 111. Obe števili postavimo drugo pod dru- go in se lotimo dela! 2 10 +7 +111 9 1001 ~1 Seštevamo z desne: ena in nič je ena, kar zapišemo pod čr­ to." Ena in ena je dve, torej 10. Ničlo zapišemo spodaj, enoj- ko si zapomnimo in jo po r a b i mo na naslednjem mestu . Spet da ena in preostala ena 10. Ničlo zapišemo spodaj, enojka ostane. Seštevanca se tod že iztečeta, zato pripišemo spredaj prihra- 1 njeno enojko. Dvojiški rezultat 1001 prepoznamo kot devet. Da nalogo namesto nas opravi računalnik, potrebujemo vezje, ki bo zgrajeno takole: 81 \ /- \1 + ) 1 t) 1 tJ 1 1 žarnicaW ol"f/J@,Svetla žarnica pomeni 1, ugasnjena pomeni O, znak I~ I pa tipko. Če jo pritisnemo, priključi­ mo na vhod vsakega enomestnega seštevalnika napetost, to pomeni l. Tipka, ki ne sklene kroga, ne priključi napetosti, torej po- meni O. Tako se z računalnikom sporazumevamo. Z električno napetost- jo na ustrezni enoti označimo 1, z napetostjo nič pa O. Računal­ nik odgovarja s prižganimi ali temnimi žarnicami. Kaj pa notranjost računalnika? Enote znotraj računalnika ni- majo težav s sporazumevanjem. Njihove izjave v qbliki napeto- sti druge enote lepo razumejo, kadar jih privedemo na njihove vhode. Sestav računalnika smo torej spoznali, le škatle z imenom e- nomestni seštevalniki so za zdaj še skrivnost. v u z x y ENOMESTNI SE~TEVALNIK t Y Z u V O O O O O O O 1 O 1 O 1 O O 1 1 O O O 1 1 1 O 1 O 1 O 1 1 O O 1 1 1 O PREGLEDNICA I 82 Kaj naj te škatle počno, vemo. Napetost na vrhnjem izhodu v po- me n i enico, ki jo dobimo, če je vsaj eden od obeh spodnjih vho- dov x ali y, ali pa vhod na desni z l. Če sta katera k o l i dva od treh vhodo v 1, potem smo v stopnji zbrali že 2, kar pove ška- tla kot 10. Ničlo pokaže na vrhu, enico pa podtakne svoji levi sosedi . Še poslednja možnost je - zadeli smo terno: na o beh spod- nj ih vhodih sta enici in tudi predhodna enota odriva enico. Sku- paj smo zbrali tri, kar pove enota kot 11, torej z enojko na le- v i in enojko na vrhu . Zahteve, ki se stavijo enomestnemu sešte- valniku, so zbrane v nepregledni preglednici I. Očitno postane, da je poslovanje zamotano in da smo za zače­ tek izbrali kar pretežak račun. Začnimo torej pri osnovah! Pri računanju naletimo na naslednje štiri možnosti : O + O = O, O + 1 = 1, 1 + O = O in 1 + 1 = 10 , ki b i j ih moral obvladati tudi računalnik. Potrebujemo torej vezje z dvema vhodoma x i n y, kjer vložimo podatke o obeh se- števancih, ter z dvema izhodoma u in v, kjer se pokaže, koliko smo nabrali. Zahteve, zbrane v preglednici II obetajo, da bo u- strezno vezje laže sestaviti. x y u V PREGLEDNICA I O O O O O 1 O 1 1 O O 1 1 1 1 O V elektroniki poznamo namreč preprosta vezja, ki se na različne načine odzivajo dvema vhodnima signaloma. Taka preprosta vezja bomo uporabili za sestavo zahtevnejših vezij. Poglejmo na pri- mer vezje na naslednji sliki, kjer smo uporabili tranzistor. O- snovna lastnost tranzistorja je, da električni tok na progi ba- za-emiter sproži tudi do nekaj stokrat večji tok na progi ko- lektor-emiter. 83 x o O 1 1 y o 1 O 1 z 1 O O O Če sta napetosti na obeh vhodih x in y nič, toka na progi baza-emi ter ni. Zato tudi ni toka na progi kolektor-emiter in je izhod z na napetosti, ki je približno enaka napajalni nape- tosti Uo • Dajmo zdaj na enega od vhodov napetost, pa steče tok skozi tranzistor in skozi zaporedno zvezani upor R. Na slednjem pride do znatnega padca napetosti, tako da je napetost na izho- du z blizu ničle. Enak je odziv vezja tudi v primeru, če prive- demo napetost na oba vhoda. Novo vezje uporabimo lahko tudi tako, da spojimo s k up a j oba vhoda. Tedaj preostaneta le mo ž no s t i : = -m-zO 11 O Novo vezje z imenom inverter, obračalec, rišemo takole: INVERTER o x Pri tem smo opustili risanje spodnje, debelejše črte, kamor vežemo drugi pol vhodne oziroma izhodne napetosti. 84 Pa se poigrajmo! Priključimo na vsak vhod prejšnjega vezja po en inverter. Delovanje dobljenega sistema p onazarjata slika in preglednica: X y U V Z VRATA IN O O 1 1 O =:D O 1 1 O O Ua 1 O O 1 O y 1 1 O O 1 Vezju pravimo vrata IN. Ime je umljivo, saj odgovore vrata le, če občutita vhodni signal 1 oba vhoda. Vrata IN lahko neposred- no uporabimo v računalniku, saj zmorejo natanko tisto, k ar je terj ala v stolpcu u preglednica II. Tako je računalnik že delno sestavljen. Potrebujemo le še vezje, ki se bo odzivalo v s k l a d u s predpisom za v. Prejšnjo igro s koristnim rezultatom borno po- novili, le da borno t ok r a t priključili inverter n a izhod tranzi- storskega vezja. Do b l j e no vezje se odziva na vhodna signala ta- ko, kot kaže stolpec z v naslednji preglednici. Tudi za novo do b l j e no vezje, k i ga poimenujemo vrata ALI, uvedemo poseben simbol : X Y u Z O O 1 O VRATA ALI O 1 O 1 Ua x=D1 1 O O 1 y 1 1 O 1 Ime je umljivo . Izhod je 1, če je prvi vhod 1, če je drugi vhod 1 ali če sta o b a vhoda l . ž a l nova vrata za naš sešteval- nik niso nepos redno uporabna, tako kot so bila prva . Stolpec v v preglednici II in odziv teh vrat iz zadnje vrste se razliku- jeta. Na vhodno kombinacijo 1,1 potrebujemo odgovor O in ne l. Vseeno poskusimo s temi vrati, saj nimamo boljših. Trije pra- 85 -- - - - - - - --- vilni odzivi in en napačen je boljše kot nič . Ra z mi s l i mo , k ak o b i popravili odgovor ! Pogled na p r e g l edn i c o II nas pouči , k ako popravimo napako v r a t ALI. Enojka, k i jo dajo vrata IN, naj ne pomeni le r e zul tata 2 , amp ak naj tudi ugovarja napačni enoj k i, s k a tero se odzovej o v r a ta ALI na vhodno ko mbinacijo 1, 1 . Po- t rebu jemo t orej ve z je , ki s e bo na kombinacij o x,y odzivalo tako l e : 86 = z o 1 1 O Preos t ane še zadnj i korak. Kako n a j up o rab i mo ' no vo seštevalno e- noto v računalniku? Pri računa­ n ju z adnjega mesta je enota ne- dvomno uporabna , saj rezul tat ne more preseči vrednosti dve . Naslednjega mesta pa ne obvla- dam o več . Kadar namreč sosednja enota pošlje odvečno enojko, ni- mamo k am z njo. y O 1 1 1 x O O O 1 v Tako imamo slednjič računalnik za s e š t eva n j e do dva: u Brez težav s e prepričamo, d a i ma zahte v ano las t no st n as led- nje vezj e : z y v x ENOMESTNI ,....-----+----. SEŠTEVALNIK Pa bo vseeno šlo! Česar ne moremo storiti veni sapi, zmo- remo na obroke. V prvem vezju bomo zbrali enojke, ki stoje n a drugem mestu v obeh sešte- vancih, dobl jeni rezultat pa bomo kombinirali v naslednjem takem vezju po potrebi še z e- nojko iz prejšnje stopnje . Ta- ko smo dobili enomestni sešte- valnik. Njegovo delovanje bo- lje tolmači slika, kot daljše besedilo. Slednjič razumemo potek računa 10 + 111 = 1001 v računalniku, le da poteka resnično računanje mnogo hitreje kot pojasnjevanje. Kakšno stomilijonino sekunde bi po t r e bov a l današnji računalnik za samo seštevanje in tudi pri večjih številih ne bi bil počas­ nejši. Edino hitrost bi mu navadni zemljani lahko zavidali. KAKO REŠIŠ FIZIKALNO NALOGO Tomaž Skulj NALOGO MORA Š RAZUMETIl NAPIŠI DANO I N ISKANO. NARI ŠI SKICOl Besedilo naloge preberi večkrat, dokler naloge popolnoma ne razumeš. Izpiši si vse podatke! Pri tem uporabi ustaljene sim- bole za količine. Prepričaj se, da nisi kakega podatka izpustil. Če je treba, pretvori enote, tako da so enote vseh količin ubra- ne z mednarodnim sistemom enot. Nariši skico in vnesi vanjo vse podatke! Za izbrano količino uporabi isti simbol pri 'podatkih, na skici in v računu. Če je treba, skiciraj še podrobnosti. Sk i- ca mora biti pregledna, dovolj velika in jasna. Ponovno j o nari- ši, če je slaba. Včasih k razumevanju pripomorejo prostorske ski- ce . 87 Posebej označi, katere količine so znane in katere iščeš! Po- polnoma jasno mora biti, kaj iščeš, kaj je neznano, kaj je treba določiti. Tudi to vnesi v skico. POIŠČI ZVEZO MED ISKANIM IN DANIM. NAREDI NAČRT ZA REŠEVANJE NALOGE. Premisli, v katera področja sodijo pojavi v nalogi. Spomni se količin in pojmov, ki so v nalogi in poišči zakone, izreke, e- načbe, ki jih povezujejo. Če takoj ugotoviš zveze med količina­ mi, jih napiši in skušaj iskana količino izračunati. Če ne najdeš zveze, se spomni, ali si tako ali podobno nalo- go .že videl. Še enkrat premisli, kaj iščeš in poskusi najti zna- no nalogo, ki vsebuje to ali podobno neznanko. Našel si nalogo, ki je podobna tvoji. Naloga je rešena. Ali lahko uporabiš rezultat ali metodo, način reševanja? Ali lahko z majhnimi spremembami v svoji nalogi uporabiš rešeno nalogo? Ali lahko nalogo drugače zastaviš in jo rešiš? Če nikakor ne moreš rešiti naloge, reši najprej podobno laž- jo nalogo. Ali znaš rešiti del naloge ali poenostavljeno nalogo? Ali lahko najdeš drugačne podatke, s katerimi bi se ti zdela na- loga laže rešljiva? Ali lahko spremeniš neznano ali znano tako, da boš lažje našel zvezo med novo neznanko in novimi podatki? Ali lahko uporabiš izkušnje, ki si jih pri tem dobil? Spet se spomni fizikalne vsebine problema in še enkrat preudari, ali si res izkoristil vse, kar je dano v nalogi in ali ti je res jasno, kaj iščeš? Če še sedaj ne znaš naloge rešiti, še enkrat prouči vso snov, ki je z njo v zvezi in se naloge loti ponovno! Končno se ti je posrečilo najti zvezo med iskanim in danim. IZVRŠI NAČRT. REŠI NALOGO. TO JE, ZAPIŠI ZVEZO MED ISKANIM IN DANIM. Najprej poskusi predvideti, kakšen bo rezultat. Ali rešuješ nalogo po svojem načrtu? Kontroliraj vsako stopnjo izvrševanja načrta. Vsaka stopnja mora biti pravilna! Lahko to dokažeš? Zveze med fizikalnimi količinami napiši s simboli in nalogo izpelji do rešitve samo z njimi. Rešitev napiši popolnoma sploš- 88 no samo s simboli. Na kraju vstavi podatke. Vse podatke vstavi v končno enačbo hkrati. V enačbi ne smeš mešati fizikalnih sim- bolov in številskih podatkov. Najbolje je, da merska števila na- pišeš v obliki produkta enocelomestnega števila ter desetične potence. Tako boš lažje računal. Rezultat najprej oceni, tako da določiš red velikosti, nato ga natančneje izračunaj! PREVERI DOBLJENa REŠITEV. Ali lahko preskusiš rezultat? Ali lahko dobiš rezultat še na kakšen drugačen način, po neodvisni drugi poti? Ali lahko rezul- tat dobiš na pamet? Ali je rezultat smiseln, je fizikalno smi- seln? Ali si tak rezultat pričakoval? Ali so enote prave? Ali obstajajo mejni primeri problema? Preizkusi ali se ujemajo z dobljenim rezultatom! Če je vse prav, potem je naloga rešena! ZAPOMNI SI REŠEVANJE. Ali lahko reševanje in rezultat uporabiš še pri kakšni dru- gi nalogi? Ali znaš rešiti nalogo tako, da zamenjaš dano in i- skano? Ali lahko sestaviš podobno težjo nalogo in jo rešiš? Pri tem uporabi vse, kar si se pri reševanju naučil! Poskusi sestaviti in rešiti še drugačne naloge upoštevajoč okolnosti, ki si jih prej zanemaril! Preskusimo, kaj smo se naučili in rešimo tole nalogo: Kroglico spustimo, da prosto pada. V določenem trenutku je hitrost kroglice 490 cm/s. Kolikšno pot napravi kroglica od te- ga trenutka dalje v 1/25 sekunde? LITERATURA 1 M.Gros, M.Hribar , A.Kodre, J.Strnad: Izbrane naloge iz fizi- ke (Odsek za fiziko FNT , Ljubljana, 1972) - glej Uvod 2 I.Kuščer, A.Moljk: Fizika, I.del (DZS, Ljubljana 1958) 3 I .Kuščer:Matematične naloge fiz ike , I.del (Univerza v Ljub- ljani 1972) - glej § l. Sp lošna navodila 4 F .Kvaternik: Fizikalni priročnik. (DZS, Ljubljana 1960) 5 G.Polya: Kako cu riješiti matematički zadatak (p r e v od , Škol- ska knjiga, Zagreb 1966 ) 89 t~ tz t: u4H2 t: S"'tTsi "-1.-' '" li'.; + v1 ,+ i t .t. z- a V1 !- ~ f 'li 2 .s • 't,90 /"1/$ , ~O.40-1S +- + 0,& , 9,91 Mt/s 1-. (4,o.10 2.s)2", "'1~' .10-1."" T' i 2. f .14 .10~jIr1, , Dr..a t 1:1'", ja.llko Ir p,,'i'I1~ rjQ.1f\ s pr ..r", zlln12""l!r i~o! Tetk .. o""~i,,,o: S ie pr;biižno 20 ew. lJi=Vi+9t s'" 1("it + v.i +~t ,k). '" 1(zv.H ~ ·eJ.. ,. lf4t + i 9 t2.. .s ,. lJ~1: '" ir,flll 1. • -2.-' '" -1 (er,i 't1t,tJ U; = "iO '-- Is" 4, 90 M'ljs t • 11l- S os '" ~O~O S • "IO.,\Oz.s ~ • 9, EN ,...,jsz S '" ? -2.. -2 S .. /f'J,f.,1(} NIl + 11'1.10 ll>1 .. Zo,2 7,10-2.."..,., RulJ/ra.t : S" ZO,:!> """" Nalogo preberemo. Pojav, o ka- terem govori naloga, je prosti pad, to je enakomerno pospeše- no gibanje s pospeškom g = 9,81 m/s 2• Napišimo podatke! Pretvorimo enote! Zveza med danima v, in t in i- skanim 8 je še skrita. Spomni- mo se, da gre za en~omerno pospešeno gibanje. Pri njem se hitrost enakomerno veča. Na začetku poti je hitrost v, in na koncu V2. Srednja hitrost je aritmetična sredina obeh hitrosti. IzraZimo V 2 z v, in t, pa smo n aLooo rešili. Narisimo skico! Hitrost v toč­ ki A je v,. Hitrost v točki ~ ki je za razdaljo 8 nižja, je V2>V,. Za pot 8 porabi krogli- ca čas t. KaJ je e srednja hitrost? To je kvocient poti 8 s časom t, v katerem je kroglica padla za to pot. edaj imamo načrt. Iz druge e- načbe izrazimo pot . Za srednjo hitrost vstavimo izraz iz pr- ve enačbe. Tako imamo zvezo med 8, v, in t. Računajmo do konca s ,.s i mbo l i! V enačbo vstavimo podatke. Rezultat najprej ocenimo! Nato qa izračunaimo! Preverimo rešitev! Enote so prave. Poti do rešitev je še več. Lahko na primer najprej izračunamo čas t ,; v tem času j e padla kroglica do točke A, v kateri ima hitrost v, . Iz znanega časa izračunamo pot 8, Podobno naredimo za točko-B in upoštevamo 8 = 82-8,. Nalogo lahko rešimo tudi gra- fično. Narišimo graf hitrosti v odvisnosti od časa! Hitrost v, v točki A je dana, hitrost v točki B je V2 = v,+gt. poti, L- ~~~~~~----------~ za katero kroglica pade, ustreza v grafu ploščina trapeza. Rešitev lahko preizkusimo tudi s sliko ob stripu TEŽA na str.98. Za pomnimo si reše vanje! Ml ad i bralci, sami si zastavite težje naloge in p ri reševanju uporabite , kar ste se ob PRESEKU naučili. 90 NOVICE-ZANIMIVOSTI- -~ OBISKAL NAS BO SVETEL KOMET Marijan Prosen V k r a t kem bomo lahko na našem nebu opazovali Koh o u t k ov komet . Z daljnogledom je viden na j u t r a n j e m nebu že sedaj . Dne 12.12. 1973 se bo komet gibal blizu zvezde a v Tehtnici, 19 .12.1973 pa bo blizu Antaresa, najsvetlejše zvezde v Škorpijonu. Kome t se bo navidezno približeval Soncu in se vse bolj izgubljal v nje- govi svetlobi. Dne 28.12.1973 se bo najbolj približal Soncu, na- to pa se bo od njega oddal jeval in bo viden zvečer. V januarju 1974 bo komet po vrsti v ozvezdjih Strelca, Kozoroga in Rib, ka- sneje ' v ozvezdjih Ovna, Bika in naprej, bo vse šibkejši in bo vi- den le z močnejširni daljnogledi. Astronomi napovedujejo, da bo v decembru in januarju komet viden tudi s prostim očesom. Kr i ž c i označujejo p r i b l i ž ne lege Kohoutkovega kome t a , k r ožc i pa približne lege Sonca ob označenih datumih. 91 ASTRONOMIJA KOMETI Marijan Prosen f9t,8 1970Hat/ey- - - - - + -f980 \ \ \ Čeprav pravimo kometom po domače zvezde repatice , nimajo ni- česar skupnega z zvezdami, saj so vezani na naše Osončje. Ver- jetno prihajajo kometi iz velikanskega oblaka, ki se razprosti- ra okrog Osončja do razdalje približno 150000 astronomskih e- not. V njem je velika zaloga ledenih delcev, iz katerih so ko- metna jedra. Domnevajo, da je n astal ta " k ome t n i hladilnik" ob rojstvu planetov. Pod vplivom bližnjih zvezd se o d t r g a j o manj- ši delci iz oblaka. Nekateri zaidejo po zelo sploščenih elip- tičnih tirih tudi v bližino Sonca. Tako nastanejo kometi. V 0- sončju privlačijo komete planeti, zlasti Jupiter in Saturn. To kometom pogosto spremeni dolge raztegnjene tire. Opazovanja ka- žejo, ~ prihajajo kometi k Soncu iz v seh mogočih smeri. \ \ \ \ ~--- ,, '\,, '\ '\ "",'\ Sl. 1: Tir Enckej evega, Halleyeveg a in Kohoutkovega kometa o- koli Sonca, na tiru Halleyevega kometa so vrisane lege k ome t a v označenih letih. Krožec na tiru Kohoutkovega kometa označuje približno lego ob odkritju, t.j. v za- četku marca 1973. Afel je na sliki približno 2 m daleč. 92 Astronomi so doslej opazili več kot 2000 kometov. Podrobne- je jih poznajo okoli 200. Navadno se .gibljejo kometi okoli Son- ca v isti smeri kot planeti. Tako se giblje Enakejev komet, ki ima obhodni čas okoli 3,3 leta. Najbolj znani komet - HaLLeyev - z obhodnim časom okoli 76 let, pa se giblje v nasprotni smeri. Njegov povratek k Soncu so opazovali zadnjikrat 1910. leta. Pri- hodnjič ga pričakujejo leta 1986 (sl. 1). Vsako leto odkrijejo in opazujejo nekaj novih kometov, od katerih pa jih je večina vidna le z daljnogledi. Po statistiki se jih od znanih kometov okoli 70 vrača k Soncu v manj kot 50 letih; okoli 50 se jih vrača vsakih 50 do 1000 let, drugi pa po izračunih še mnogo poredkeje. Zaradi vpliva velikih planetov je težko napovedati zanesljiv tir kometa (sl. 2). Sl. 2: Komet bi se gibal po črtkani poti (paraboli), če ga ne bi privlačil planet. Tako pa se spremeni prvotni parabo- lični tir veliptičnega. Tak komet postane član družine kometov, ki jim je tir spremenil planet (n.pr. Jupitro- va družina kometov). 9a Komet, ki j e daleč od Sonca, vidimo z daljnogledom kot iz- redno šibko okroglo megličasto pego. V blizini Sonca pa se ko- met zelo poveča (sl. lj. Ob tem začne iz jedra iztekati curek plinov in prahu v smeri proč od Sonca. To je kometov rep. Praš- ni delci odbijajo Sončevo svetlobo. Plini pa jo najprej absor- birajo in nato izsevajo z valovnimi dolžinami, ki so značilne za pline. S preučevanjem te svetlobe so ugotovili, da je med plini v repu največ ioniziranega ogljikovega monoksida in io- niziranega dušika. Enako so ugotovili, da obdajajo glavo kometa cian (CN), ogljikov monoksid in dioksid. Jedro kome t a sestav- ljajo prašni in kamniti de lci , ki so verjetno zlepljeni z zmrz- njenimi plini. Kometi so zelo veliki. Celo najmanjši med kometi, ki jih vi- dimo le z daljnogledi, so mnogokrat večji od Zemlje. Glave več- Slo 3: "Anatomija" kometa (levo); komet ima lahko v bližini Son- ca več repov (desno); lahko pa je viden le kot razmazana pega (sredina). Slike so narisane shematično. jih kometov so lahko celo večje od Sonca, njihovi repi pa da- ljši od premera Zemljinega tira. Navzlic temu je masa kometa navadno manjša od milijardinke Zemljine mase. Včasih so se kometov bali. Mislili so, da napovedujejo kuž- ne bolezni ali vojne. Celo izobraženi ljudje so v 17. in lB.sto- letju verjeli, da so to čudeži. Mislili so, da kometi prinašajo posebna sporočila. Tudi dandanašnji vzbudi komet zanimanje lju- di. Posebno se zanimajo zanje astronomi, ki skušajo z najrazlič­ nejšimi opazovanji zvedeti kaj več o tem še ne do kraja razi- skanem naravnem pojavu. Zdaj se astronomi pripravljajo na opazovanje novega svetle- ga Kohoutkovega kometa, ki bo prišel decembra 1973 v bližino Sonca. Tudi sedaj si nameravajo pri opazovanju pomagati s sa-· teliti in raketami, kakor so pred tremi leti opazovali Bennettov komet (sl. 4). Opazovali ga bodo tudi iz vesoljskega laborato- rija. Pripravili so načrte, po katerih naj bi v prihodnosti na bližajoče se komete izstrelili vesoljske sonde. Te naj bi spro- ti sporočale, kaj se dogaja s kometom med potjo v bližino Son- ca, in posredovale natančnejše podatke o sestavi in razmerah kometov. Astronomi pričakujejo, da bodo vsa ta prizadevanja prinesla nova spoznanja tudi o Osončju in prostoru okoli njega. Sl. 4: Bennetov komet, ki je kra~il naše nebo spomladi 1970. Fo- tografiral M.Prosen 4.4.1970 ob 3.uri na Astronomsko-geo- fizikalnem observatoriju v Ljubljani. Osvetlitev je 4 mi- nute. 95 Težo me r imo n p r . s teht n i co n a vijačno vzme t , Na vZ~le t obe~ imo u t ež i n posk rb i mo , da utez m~ruJ e . Če na k a teri b i v i- se l laboratorij, pretrg ala , bi z a - če l laboratori j z v s emi me r i lni - mi napravami p ro- s to pad a t i . Kak o j e s e da j s t e ž o ? Vzmet v zme t ne t e htnice o s tane neraz tegnj ena. Pravi mo , da so t eles a v prosto padajočem labora - t o r iju v "bre z- t e žne m stan j u" . Al i r e s n anj e ne de l u je t e ža? De- lu j e: z a r adi nj e t elesa p r o s t o pa- d a j o . Te ž a 100 g rams ke ute ži j e 1 N (n e wton). Enot a za s i l o newton j e .v r a bi š e l e neka j de s etle ti j . Vč a s ih je b i l a v f iziki, d ane s pa je še ve d n o v t e hni k i v r abi e nota k i- l opond (k p ). Tež a u t e ži z ma s o 1 k g j e 1 kp . Na mi r u j oče telo de l u je Ze ll'l j a s t e žo navpično navz do l , po d l ag a , n a kateri s t o j i , a li v rvca , n a kate ri j e obeše- no , pa de l uj e na t e lo s silo , ki j e po ve l ikosti enaka tež i, a i ma s mer navpi čno navzgor . o teži go vo r i ti n i l ah ko , o j e t ež ko? Pravi mo: "Danes s rno dob i l i t e ž - k o nalogo. " Pri teži nal oge s e z a n ašamo n a ob- č utek . Tež a t e- lesa, o k a t e r i govo r i mo v f izi - k i , p a mo r a b i t i določena nedvo-' umno . Teža t e l e- sa j e s i la, s k atero de l uje Ze r.tl j a n a o p a zo- vano t elo . Teža povz roč i, da t e lesa p r osto p a - d a j o , če niso ~odp rt a ali o be- sena . Pro s to pa- da n j e j e e n ako- me r no pospeše no giban je s težnim po s peškom g v s meri t e že. o Po Newt ono vem za- k onu : " Si la je ma s a k ra t pospe- š e k , " s ta t e ž a o - pazovane ga t ele s a F in težni po- s~ešek g pove z a n a z enačbo : F g = mg (m je ma s a opazo- vanega t e l esa). 96 'l'a k o s mo umeri- li t e htnico in z nj o lahk o t e- STR I P h t amo telesa. V veso l j u , daleč s t r a n o d k a t e re - g a kol i nebesne- ga t elesa, je vs o t a g ravi t a c i j - skih s i l , s ka t e - rimi de l u je j o na opazovano t elo d r ug a t elesa , za- ne marljiVO majh- na. Al i s amo ZeQl ja de l u j e s pri vl ačno silo na d r ug a t e l es a? Ne , vsako telo de l u je s p rivl ačno silo n a vsa drug a t elesa. So n- ce de l u j e s pri vlačno si- l o n a p l ane t e , k i se g ibl je jo o koli njega. P ri vl ačna s i l a med t ele- s oma , tako i menovana g ra- v i t a c i jska s i l a , je so- raz merna s p r oduk t om ma s obeh t ele s in obratno s orazmerna s kvadratom r azda l j e : 111 1 111 2 F 12 '"~1'12 To j e g r a v i t ac i j s k i z a- k o n . Telesa v umetne m satelitu , k i kroži oko- li Zeml je , s o tudi v "br e z t e ž ne m s t an j u" . ~03-../lIh," TO llla ž Sk ul j Al i de l u je Zeml j a s tež o t udi na Luno ? Seveda : Lu~ n a b i s e g i b a l a pre mo in e n a kome r no , če ne b i na- n jo 6e l o v a l a t e ža. ----- f r»; /. "QkoJetlJ>Z egQ >Z 1< v"Q_ _ Pl:"i.l1l ač ':'ZkQ Ila Ze1Tl l ~ Lu- Ilaspl:" ]0 z / atilo eIlako f s i. lo:/, -: # . P a še eno ute ž i n š~ e no ! I 97 • POGOVORI RAZGOVOR S PROF. KRIŽANIČEM Spoštovani tov. profesor. čeprav poučujete na univerzi. vas dijaki dobro poznajo . Vsak dan so v stiku z vami preko učbe­ nikov. ki ste jih napisali zanje. Kako pa vi skrbite za stik z mladimi? Vprašanje zveni kakor očitek. Tega, kar mi očita, ne tajim in se ne kesam. Res je: prav nič ne skrbim za stik z mladimi. Živim z matematiko - matematika pa živi na mnogih ravneh. Ob njej se srecuJem z mladimi, kadar me zanima elementarna matema- tika. Čeprav srečanje z mladimi ni cilj, me neizrečeno veseli . Pa ne zato, ker sem se srečal z njimi, zato, ker so se pribli- žali matematiki. Vaši srednješolski učbeniki pomen~Jo revolucijo v poučevanju matematike na naših šolah. Ali mislite. da jih bo treba po- pravi ti. ko bodo v gimnazije prišli današnji prvčki? Revolucija je premogočna beseda za moje skromno dejanje. Na- vsezadnje sem zgolj pomagal pri nas doma uresničiti vsaj šest- deset let stare sanje Feliksa Kleina in mnogih za njim. V Av- stroogrski smo imeli prav tako odkrite učbenike, ki jih je na- pisal Slovenec Franc Močnik. Sčasoma pa so metodiki pouk mate- France Močnik (1814 Cerkno - 1892 Gradec), slovenski matema- tik, reformator v avstrijskem šolstvu. Zahteval je, da učenec pridobiva znanje s samostojnim razmišljanjem, ne pa da mehanič­ no računa po naučenih pravilih. V letih 1846 do 1853 je izdal številne učbenike za osnovne šole in gimnazije, ki so bili pre- vedeni v vse jezike Avstroogrske monarhije. Skupaj z njegovimi metodikami ~o jih uporabljali tudi v Srbiji in na Hrvaškem vse do konca prve svetovne vojne. Feliks Klein (1849-1925), nemški matematik. Med drugim se je ukvarjal z geometrijo in teorijo grup. Znan je njegov Erlangen- ski program. 98 matike povsem pokvarili in jo ponižali na eksercir. Če sem te stvari poskusil nekoliko popraviti in Slovencem lepo kašo sku- hal, to še ni revolucija. Kar pa prvčkov tiče, se bojim, da se za njimi sramežljivo skriva "nova matematika". Zaradi nje, prav gotovo ne bo treba v gimnaziji ničesar spreminjati, še manj po- pravljati. Seveda pa ni nemogoče, da bomo morali še k~j uvozi- ti, da nam postane matematika bolj domača, saj kaj je dandanes bolj slovensko kot je uvoz na vrat na nos. Mladim ste poleg učbenikov namenili še druge knjige. Omenim naj le vaše sodelovanje v SIGMI. Občutek imam. da se aadnje čase bolj posvečate študentom. Ali je to res? K matematiki, ki me zanima zadnje čase, prihaja res več štu- dentov kot dijakov in učencev. Po pravici povedano, to, kar me zanima danes, me zanima že od nekdaj. Le prej tem poglavjem ni- sem bil kos in sam sem bil. Danes je matematično življenje pri nas bolj razgibano in tudi študentje so, ki jih zanimajo ista poglavja kot mene. Zato so mogoča predavanja in seminarji, na katerih pa se, ponavljam, ne srečujem jaz s študenti, ampak se jaz in študenti srečujemo z matematiko, z matematiko, s katero bi se sam, brez njihovega sodelovanja, veliko teže seznanil. Nikdar nisem nikogar vodil v matematiko - kadar koli se je komu to zazdelo, mi je zameril - rad pa vsakemu, ki sam sili vanjo, po svojih močeh pomagam. Bral sem nekoč, ne spominjam se več či­ gava, navodila za profesorja, kjer je bila naloga še bolj ome- jena: ne voditi in ne pomagati, glavna naloga profesorja je ne motiti študenta pri razvoju. Ali načrtujete aa srednješolce oairoma osnovnošolce kakšno novo knjigo? Matematika je velika, morda se bomo še kdaj srečali. Kaj me n i t e o PRESEKU? Ali boste aktivno sodelovali v njem? Veseli me zagnanost uredništva. Pisati matematiko za PRESEK je težko, teže kot za OBZOfu~IK. Pisati za OBZORNIK je spet te- že, kot pisati poljudne knjige, poljudne knjige je teže pisati kot srednješolske učbenike, le-te spet teže kot univerzitetne Obaornik aa matematiko in fiaiko, strokovna revija, ki jo iz- daja Društvo matematikov, fizikov in astronomov v Ljubljani. gg Božo Pečar: prof. dr. France Križanič - karikatura, 1973 100 učbenike, te pa spet teže kot monografije. O PRESEKU in o mono- grafijah ne govorim iz svojih izkušenj, ne enega ne drugega še nisem poskusil. Upam pa, da bom za PRESEK od časa do časa kaj zmogel, monografije napisal gotovo nobene ne bom. Kaj mislite o krožkih na šolah in o tekmovanjih? Sam sem zrasel iz prirodoslovnega krožka na ljubljanski real- ki. Prepričan sem, da je šolski krožek, v katerem sodeluje di- jak zavzeto in aktivno kot sodelavec in soorganizator, izredno pomembna oblika šolskega dela in lahko odločilno pripomore k ob- likovanju osebnosti in k zasnovi življenjske poti. O tekmova- njih ne znam dosti povedati, s športom se nisem nikdar ukvarjal. Morda še nalogo, zgodbiao, nauk ali sporočilo bralaem PRESE- ~? Kaj bi sporočal, kaj bi nauke delil, naloge zastavljal. Zgod- bico pa lahko povem, ne eno, kar dve, v obeh bo pouk. Prva govo- ri o koristi matematike, druga o lagodni poti v njen svet . Vstal je nekoč Evklidov učenec in vprašal: lepo je in prav , kar me učiš, dragi učitelj, le to mi še razodeni, kaj bom od vse" ga tega imel. Evk l i d pa je vzel novčič, ga dal asistentu in re- kel: daj, nesi tole učencu, da se ne bo zastonj ubadal z matema- tiko. Drugo, prav tako iz antike, gotovo poznate, imena sem poza- bil. Tiran si je najel učitelja matematike in zahteval kar naj- lažji pouk zase. Pa je dobil odgovor: Ni kraljevske poti v ma - tematiko. Nauk obeh zgodbic pa je: brez lastnega veselja in brez trde- ga dela nihče ne pride v matematiko. PRESEK in Križanič in vsi drugi so lahko le pomočniki. In vendar so ljudje, ki jim je matematika nu jno zlo, orodje, da z njim rešujejo svoje probleme. Kaj pa oni? Ti pač veselje in moč črpajo iz potrebe. Ra z g o v or pri pravil : Toma ž Pisanski 101 102 REZULTATI PRVEGA NAGRADNEGA RAZPISA V REŠEVANJU NALOGE "PRE:lISLI I N REŠI" Pravilno s o nalogo rešili: Mo j c a Barl e, osnovna šola S.Jenka, Smlednik ; Marija Berdon, pedagoška gimnazija Ljubljana; Vi ki Be- zek, osnovna šola Z.Runko, Ljubljana; Aleksander Camlek, gimna- zija Ravne; Mo j c a Čepič, osnovna šola b r a t o v Polančičev, Ma r i - bor; Jana Debeljak, osnovna š ola V. Miklavca, Ljubljana; Mart i n a De b e l j ak , osnovna šola S.Jenko, Smlednik. Mi nka Ferfila, osnov- na šola Do b r ov a ; Fr a n c i Forstnerič, gi~~azija Še n t v i d ; Ire na Ga- bršček, osnovna š o l a V.Miklavca, Ljubl jana; I van Go r enj e c, gim- nazi ja Celje; Zdenka Grm, pedagoška gimnazija, Ljubljana; Maj da Hrovat, gimnazija Šubičeva, Ljubljana; S tan i s l a v Hrovat, gimna- zija Jeseni ce; Ba r b a r a J eri n, gimnazija Še n t v i d ; Mar j an a Ke jža r , osnovna šola F.Prešeren, Kr a n j ; Moj ca Klemenčič, osnovna š o l a !1ok r o nog ; Bo r i s Komp a re , 1. gimnazija Ljubljana; Dari nko Ko re s , osnovna š ola M. Du r j av a , Ma r i bo r ; Dušan Koser , VI.gi~~azija Ljub- ljana; An drej Ko vač , g imnazija Celje; Št e fa n Kožar, s rednja teh- niška šola, Kranj; Vojko Kr a š e vec , gimnazija Trbovlje; Mar j an Lep, osnovna šola F.Rozman-S tane, Ma r i b o r ; Mi r an Marč ič , gimna- zija Ptuj; Vilma Mer j as e c , pedagoška gimnazija Lj ub l j a n a ; Pri- mo ž Ml ak a r , osnovna šola M.V r ho vn ik , Ljubl jana; Bog dan Oblak , osnovna šola Dol.Logatec; J an k o Pe t rovčič , osnovna šola Gor.Lo- gatec; Di an a Prez el j, gimnazija To lm i n ; Mi l a n Prošek , osnovna š o l a Z.Runko, Lj ubljana; I van Ra vnik, s r e d n j a t ehni ška šo l a , Kr a n j ; Ana Ro tar , osnovna š o l a Dobrova; J o š t Rupnik, osnov n a šo- la Črni vrh nad Idrijo; Mar je t a Saje, g im n a z i ja No vo mesto ; Me- 55 rešitev. Nekaj bralcev je po- teh smo upoštevali samo eno. Tako od katerih jih je 43 pravilno re- PREMISLI IN REŠi smo prejeli rešitev, od reševalcev, Do l S . o k t o b r a slalo več enakih je sodelovalo 50 šilo nalogo. to d S a je , osnovna šola K.Rupena, No v o me s t o ; Ksen i j a Saraži n, FNT , Ljubljana; Br a n k o Starič , osnovna š o l a Mo k r o no g ; Fra n c š v i rt , gimnazija Črnomelj; An dreja Urbančič , osnovna šola I . Ro- ba, Še mp e t e r pri Novi Gorici; Menci WeiZguny, pedagoška gimna- zija Ce lje; Cvetka Za Zokar , osnovna šola V.Perko, Domžale; Fa ni- ka Znidaršič , osnovna šola dr. J.Potrča, Ljubljana. Ob j av l j amo rešitvi, ki sta ju poslala Vo jko Kr a š e ve c in Jan- ko Petrovčič . ~ ~~.l'.~-nalxf .0Vl",""""" vn re/>f 10mb~ ~ 11 fd ~-'ofu h ~ t.o. 1:>1)11 M~ ~~J ~i3n ~';;tQ. M-li u<:. MF-Sui ~ -nlA(. MA-lO ul,. A-15lA~ FA- t ci lo.m1r A -5u C: ..... - -- -- ....... ., Skica iz rešitve, katero nam je poslal Vojko Kr a š ov e c 15 -5:10 iO-40'O i-O'~ 10+.3 ~~,~ ~~~ 3-1-2 fH2<~' 3)=(, lH2