G


G









̌


G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 4 29
Kotaljenje kolesa in število π
B̌ K
14. marec, Mednarodni dan matematike, ki ga je
na pobudo Mednarodne matematične unije (IMU)
razglasila organizacija UNESCO, že kar nekaj let
popestrijo z zabavnimi matematičnimi dejavnost-
mi tudi v nekaterih slovenskih šolah. Neuradni
dan števila π zato obeležujemo tudi v tokratnem
GeoGebrinem kotičku, z vizualizacijo števila π s
pomočjo dolžine loka na kolesu, ki se zakotali po
ravni podlagi. Morda ste zelo podobno animacijo
že videli kje na internetu? Sama ideja res ni več
izvirna, toda izdelava animacije je lahko nadvse
zabavna tako za dijake in dijakinje kot tudi za nji-
hove profesorice in profesorje.
Osnovna ideja animacije je naslednja: narisali bo-
mo barvno kolo s polmerom 1, ki se kotali po ravni
podlagi v odvisnosti od časa t. Ob kotaljenju naj
kolo na podlagi pušča barvno sled, katere dolžina
bo ob enem zasuku kolesa natanko 2π . Z nekaj do-
SLIKA 1.
Kolo s polmerom 1 pri kotaljenju pusti sled dolžine 2π .
datnimi podrobnostmi in animacijo bo število π na
zaslonu kar oživelo. Konstrukcijo dobimo z nasle-
dnjimi koraki.
V kot risalne površine postavimo drsnik t, ki naj
zavzame vrednosti od 0 do 5 z majhnimi koraki
0,01.
Površina kotaljenja naj bo os x, torej premica y =
0, ki jo vnesemo z enačbo v algebrskem oknu in
obarvamo z izbrano barvo, denimo zeleno.
S spremembo nastavitev koordinatne mreže na osi
x izberemo enoto π namesto 1, os y in mrežo pa
odstranimo.
Po premici y = 0 bomo kotalili kolo z radijem 1,
torej naj bo središče kolesa točka S=(t,1), kolo
pa narišemo z ukazom Krožnica(S,1).
Zdaj razmislimo o gibanju izbrane točke A na obo-
du kolesa. Taka točka kroži enakomerno okrog
središča, ki se giblje po premici. Če ima točka A v
času t = 0 koordinati (0,0), ima pri pomiku sredi-
šča S za t v desno koordinate (t − sin t,1− cos t)
(slika 2). Morda ste opazili, da smo zapisali para-
metrično enačbo kolesnice oz. cikloide. Pravilnost
dosedanje konstrukcije lahko preverimo s pomi-
kanjem drsnika levo in desno.
SLIKA 2.
Točka A na obodu kolesa ima po času t koordinati (t −
sin(t),1 − cos(t)), saj je pomik središča enak dolžini ustre-
znega krožnega loka oziroma kotu t v radianih.
         
P 49 (2021/2022) 430
Na kolesu označimo še točko B, kjer se kolo do-
tika podlage, torej B=(t,0). Sled, ki jo pušča kolo,
naj predstavlja Daljica((0,0),B). Obarvamo jo
rdeče in odebelimo.
Zdaj na kolesu narišemo še krožni lok med B in
A z ukazom KrožniLok(S,B,A) in ga prav tako
obarvamo rdeče.
Kotaljenje preizkusimo s pomikanjem drsnika in
opazimo še nekaj pomanjkljivosti.
Ko je t = 0, je rdeči krožni lok izrojen, na sliki
pa želimo videti rdečo krožnico. To lahko popra-
vimo tako, da narišemo še eno krožnico z ukazom
Krožnica((0,1),1), jo ustrezno obarvamo in v
nastavitvah objekta pod menijem Dodatno nasta-
vimo pogoj prikaza t = 0.
Ko je t > 2π , na kolesu ne želimo več rdeče
obarvanega loka, zato ustrezno nastavimo po-
goj prikaza t < 2π . Prav tako želimo, da se
rdeča daljica na podlagi daljša le do časa t =
2π . To lahko popravimo s pogojnikom: ukaz
Daljica((0,0),B) zamenjamo z If(t>2*pi,
Daljica((0,0),(2*pi,0)),Daljica((0,0),B)
Morda bi si želeli našemu kolesu dorisati še radi-
alne špice, da bo bolj podobno kolesarskemu kolesu?
Potem potrebujemo še nekaj dodatnih korakov.
Na risalno površino najprej dodamo drsnik n za
število špic, ki naj bo celo število med 6 in 20.
Z ukazom tocke=Zaporedje(S+(sin(t+2*pi/
k),cos(t+2*pi/k)),k,0,n-1) narišemo zapo-
redje točk, ki predstavljajo krajišča špic.
Z ukazom precke=Zaporedje(Daljica(
Element(tocke,k),S),k,1,n) vsako krajišče
povežemo s središčem kolesa.
Če smo pravilno sledili vsem korakom, je pred nami
kolo, podobno tistemu na sliki 1. Lahko ga preizku-
site tudi na spletnem naslovu www.geogebra.org/
m/zjjsykmj. Najbolj ustvarjalni navdušenci pa bodo
z delom nadaljevali in morda na risalni površini do-
risali še drugo kolo in nekaj daljic za ogrodje običaj-
nega kolesa, ali pa celo kolesarja, ki dviga in spušča
kolena ob pritiskanju na pedala. Z nekaj matematič-
nega znanja je možnosti neskončno.
×××
̌

̌
 49/3
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz tretje
številke Preseka letnika
49 je Cisoida. Med pra-
vilnimi rešitvami smo iz-
žrebali naslednje reše-
valce: Andrej Oder iz
Ljubljane, Vlasta Pospeh
Fischer iz Celja in Marko
Žerdin iz Maribora, ki
bodo nagrade prejeli po
pošti.
×××