Finite actions on the 2-sphere, the projective plane and I-bundles over the projective plane - Kalliongis, John (Ars mathematica contemporanea, 2018)
V članku obravnavamo končne grupe, ki delujejo na 2-sferi ?$\mathbb{S}^2$? in projektivni ravnini ?$\mathbb{P}^2$?, in pokažemo, kako vizualizirati ta delovanja, ki so eksplicitno definirana. Dobimo njihove kvocientne tipe z razlikovanjem fundamentalne domene za vsako delovanje in identificiranjem njenega roba. Če ?$G$? deluje na ?$\mathbb{P}^2$?, potem je ?$G$? izomorfna eni od naslednjih grup: ?$\mathbb{S}_4$?, ?$\mathbb{A}_5$?, ?$\mathbb{A}_4$?, ?$\mathbb{Z}_m$? ali Dih( ?$\mathbb{Z}_m$?). Za vsako grupo obstaja samo en ekvivalenčni razred (za konjugiranje) in pri delovanju ?$G$? je zanka, ki obrne orientacijo, invariantna, če in samo če je ?$G$? izomorfna bodisi ?$\mathbb{Z}_m$? bodisi Dih( ?$\mathbb{Z}_m$?). Z uporabo teh preliminarnih rezultatov klasificiramo in enumeriramo, do ekvivalence natančno, končne grupe, ki delujejo na ?$\mathbb{P} × I$? in zasukanem I-svežnju nad ?$\mathbb{P}^2$? . Na primer, če je ?$m > 2$? sodo celo število in je ?$m/2$? lih, potem obstajajo na zasukanem I-svežnju nad ?$\mathbb{P}^2$? trije ekvivalenčni razredi Dih( ?$\mathbb{Z}_m$?)-delovanj, ki obrnejo orientacijo. Če pa je ?$m/2$? sod, potem sta takšna ekvivalenčna razreda le dva.
Keywords: akiralna simetrija; ekvivalenca delovanj; izometrija; kiralna simetrija; končno delovanje grup; orbifold; simetrija