i
i
“kolofon” — 2010/5/7 — 13:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2010, letnik 57, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan
Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir
Bensa (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2010 DMFA Slovenije – 1786 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
SCHNIRELMANNOV IZREK
VINKO MEDIC
Šolski center Novo mesto
Math. Subj. Class. (2010): 11P32
Lev Schnirelmann1 (1905–1938) je leta 1930 dokazal, da je vsako naravno število,
večje od ena, vsota končnega števila praštevil. To je zelo pomemben izrek in hkrati prvi
odmevneǰsi rezultat v zvezi z Goldbachovo domnevo. V tem članku bo predstavljen dokaz
z njegovim kriterijem za celoštevilske množice kot baze s končnim redom.
SCHNIRELMANN’S THEOREM
In 1930 Schnirelmann proved that every integer greater than one is the sum of a finite
number of primes. This is a great theorem, the first significant result on the Goldbach
conjecture. In this contribution we shall apply Schnirelmann’s criterion for a set of integers
to be a basis of finite order.
1. Uvod
Goldbachova domneva je eden najstareǰsih problemov v teoriji števil
in nasploh v matematiki. Hilbert jo je leta 1900 uvrstil na seznam triin-
dvajsetih največjih matematičnih izzivov dvajsetega stoletja. Goldbachova
domneva je zapisana na osmem mestu, skupaj s splošno Riemannovo hipo-
tezo, in je eden od redkih problemov s tega seznama, ki ni rešen. Originalna
domneva je bila prvič zapisana v pismu, ki ga je Christian Goldbach (1690–
1764) 7. junija 1742 poslal Eulerju. V njem je trdil, da lahko vsako naravno
število, večje od 5, zapǐsemo kot vsoto treh praštevil. Euler je odgovoril, da
se strinja z domnevo, vendar je ne zna dokazati. Kasneje jo je spremenil v
drugo obliko, ki pravi, da lahko vsako sodo naravno število, večje od dve, za-
pǐsemo kot vsoto dveh praštevil (isto praštevilo lahko uporabimo dvakrat).
Primeri: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7,
14 = 3 + 11 = 7 + 7, . . . Ta oblika je danes znana kot krepka Goldbachova
domneva. Obstaja tudi šibka oblika Goldbachove domneve, ki pravi, da je
vsako liho naravno število, večje od 5, vsota treh praštevil. Obe domnevi
sta do sedaj ostali nerešeni, čeprav je rešitev šibke domneve bliže kot rešitev
krepke. V tem članku bo predstavljen Schnirelmannov pristop k reševanju
problema.
1Ruski matematik, Luzinov učenec
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
2. Schnirelmannova gostota
Naj bo A množica nenegativnih celih števil. Za vsako realno število x
naj pomeni A(x) število pozitivnih elementov množice A, ki ne presegajo x,
tj.
A(x) =
∑
a∈A
1≤a≤x
1.
Funkcijo x 7→ A(x) imenujemo števna funkcija množice A. Za x > 0 velja
0 ≤ A(x) ≤ [x] ≤ x, kjer označuje [x] največje celo število, ki ne presega x.
Definicija 1. Schnirelmannovo gostoto množice A definiramo s predpisom
σ(A) = inf
n∈N
A(n)
n
.
Ker je σ(A) ≤ A(n)n za vsak n ∈ N, je 0 ≤ σ(A) ≤ 1.
Poglejmo si nekaj primerov množic naravnih števil in jim določimo šte-
vno funkcijo ter Schnirelmannovo gostoto.
(a) Za množico A = N vseh naravnih števil je A(n) = n za vsak n ∈ N,
njena Schnirelmannova gostota pa je σ(A) = 1. Ker tudi obratno hitro
vidimo, je σ(A) = 1 natanko takrat, ko je A = N.
(b) Za množico B, ki vsebuje vsa naravna števila razen enega, npr. B =
N \ {m}, je števna funkcija B(n) = n za n < m in B(n) = n − 1 za
n ≥ m, zato velja σ(B) = inf
n∈N
B(n)
n =
m−1
m = 1 −
1
m . Če je m = 1, je
B(1) = 0 in zato σ(B) = 0.
(c) Za množico C, ki vsebuje vse večkratnike naravnega števila d in šte-
vilo 1, tj. C = {1} ∪ {kd; k ∈ N}, smo za primer, ko je d = 1, že
ugotovili, da ima množica C gostoto 1. Če pa d 6= 1, je števna funk-
cija C(n) =
[
n
d
]
+ 1 za vsak n ∈ N, zato velja σ(C) = inf
n∈N
[nd ]+1
n =
1
d .
Vidimo, da z večanjem razlike d v aritmetičnem zaporedju Schnirelman-
nova gostota pada, vendar ostaja pozitivna.
(d) Za množico D, ki vsebuje potence danega naravnega števila k, tj. D =
{1}∪{kn;n ∈ N}, je za k = 1 očitno σ(D) = 0, saj je v D le eno število.
V primeru, ko je k > 1, pa je števna funkcija D(n) = [logk n] + 1. Tako
je njena gostota σ(D) = inf
n∈N
[logk n]+1
n = 0.
2 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
(e) V zadnjem primeru si oglejmo še množico P , ki vsebuje 1 in vsa prašte-
vila. Tokrat se števna funkcija P (n) za velika števila n obnaša približno
kot izraz c nln n , pri čemer je c pozitivna konstanta (praštevilski izrek, glej
[1]), zato je njena gostota σ(P ) = inf
n∈N
c
ln n = 0.
Schnirelmannova gostota je pomembna mera za velikost podmnožic ne-
negativnih celih števil. Za nadaljevanje potrebujemo nov pojem baze konč-
nega reda.
Definicija 2. Podmnožica A nenegativnih celih števil se imenuje baza re-
da h, če hA vsebuje vsa nenegativna cela števila (tj. če lahko vsako nene-
gativno celo število zapǐsemo kot vsoto h, ne nujno različnih števil iz A).
Množici A pravimo baza končnega reda, če je baza reda h za neko število
h ≥ 1.
Če so A1, . . . , Ah podmnožice nenegativnih celih števil, je vsota A1 +
· · · + Ah sestavljena iz vseh nenegativnih celih števil oblike a1 + · · · + ah,
kjer je ai ∈ Ai za vsak i = 1, . . . , h. Če je Ai = A za vse i = 1, . . . , h, pa
naj bo hA = A + · · ·+ A︸ ︷︷ ︸
h-krat
.
Po točki (a) z začetka razdelka je podmnožica A baza reda h natanko
tedaj, ko je σ(hA) = 1. Schnirelmann je prǐsel do preprostega, vendar
pomembnega odkritja, da je podmnožica nenegativnih celih števil, ki vse-
buje 0 in ima pozitivno gostoto, baza končnega reda (glej izrek 8 na koncu
tega razdelka). Preden pa to dejstvo dokažemo, si oglejmo najpomembneǰse
lastnosti Schnirelmannove gostote.
Trditev 3. Naj bosta A in B podmnožici celih števil, ki vsebujeta 0. Če je
n ≥ 0 in A(n) + B(n) ≥ n, je n ∈ A + B.
Dokaz. Če je n ∈ A ali n ∈ B, je očitno n ∈ A + B; zato predpostavimo
n 6∈ A ∪ B. Definirajmo množici A′ = {n − a : a ∈ A, 1 ≤ a ≤ n − 1} in
B′ = {b : b ∈ B, 1 ≤ b ≤ n−1}. Potem je moč množice A′ enaka |A′| = A(n),
ker n 6∈ A, in moč množice B′ je |B′| = B(n), ker n 6∈ B. Očitno velja
A′ ∪B′ ⊆ [1, n− 1] .
Ker je
|A′|+ |B′| = A(n) + B(n) ≥ n ,
1–10 3
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
mora biti
A′ ∩B′ 6= ∅ .
Torej je n− a = b za neka a ∈ A in b ∈ B oziroma n = a + b ∈ A + B.
Trditev 4. Naj bosta A in B podmnožici celih števil, ki vsebujeta 0. Če je
σ(A) + σ(B) ≥ 1, je n ∈ A + B za vsako nenegativno celo število n.
Dokaz. Če označimo σ(A) = α in σ(B) = β, je za n ≥ 0
A(n) + B(n) ≥ (α + β)n ≥ n ,
zato iz trditve 3 sledi n ∈ A + B.
Posledica 5. Če je A množica celih števil, ki vsebuje 0 in za katero je
σ(A) ≥ 1/2, je A baza reda 2.
Trditev 6. Naj bosta A in B takšni podmnožici celih števil, ki vsebujeta 0.
Potem je
σ(A + B) ≥ σ(A) + σ(B)− σ(A)σ(B) . (1)
Dokaz. Za utemeljitev te lastnosti ocenimo, koliko naravnih števil, ki ne
presegajo n, vsebuje množica A + B. V ta namen razdelimo interval [0, n]
na k + 1 delov, pri čemer je k = A(n). Torej naj bo n ≥ 1, a0 = 0 in
0 = a0 < a1 < · · · < ak ≤ n
k pozitivnih elementov množice A, ki ne presegajo n. Ker je 0 ∈ B, je
ai = ai + 0 ∈ A + B za vse i = 1, . . . , k. Sedaj pa poǐsčimo na vsakem
intervalu (ai, ai+1) števila, ki pripadajo množici A + B. Tako naj bo za
i = 0, . . . , k − 1,
1 ≤ b1 < · · · < bri ≤ ai+1 − ai − 1
ri = B(ai+1 − ai − 1) pozitivnih elementov množice B, ki so manǰsi od
ai+1 − ai. Potem je
ai < ai + b1 < · · · < ai + bri < ai+1
in
ai + bj ∈ A + B
4 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
za vse j = 1, . . . , ri. Nadalje poglejmo še števila na zadnjem intervalu
(ak, n]. Naj bo
1 ≤ b1 < · · · < brk ≤ n− ak
rk = B(n − ak) pozitivnih elementov množice B, ki ne presegajo n − ak.
Potem je
ak < ak + b1 < · · · < ak + brk ≤ n
in
ak + bj ∈ A + B
za vse j = 1, . . . , rk. Vendar ni nujno, da po zgornjem postopku dobimo
vsa števila, saj lahko obstajata takšni števili ai in bj , da njuna vsota ni
enaka nobeni vsoti iz naše razdelitve, pa vseeno ne presega števila n. Iz
tega razloga je v množici A + B več števil, ki ne presegajo števila n, kot pa
v naši razdelitvi na k+1 delov. Označimo σ(A) = α in σ(B) = β pa imamo
(A + B)(n) ≥ A(n) +
k−1∑
i=0
B(ai+1 − ai − 1) + B(n− ak) ≥
≥ A(n) + β
k−1∑
i=0
(ai+1 − ai − 1) + β(n− ak) =
= A(n) + β(a1 − a0 − 1 + a2 − a1 − 1 + · · ·+
+ ak − ak−1 − 1) + β(n− ak) .
V tej vsoti se veliko členov odšteje. Od preostanka izpostavimo β in dobimo
(A + B)(n) ≥ A(n) + β(−a0 − k + n) .
Upoštevamo, da je a0 = 0 in k = A(n)
(A + B)(n) ≥ A(n) + βn− βA(n) = (1− β)A(n) + βn .
Ker je A(n) ≥ αn, velja
(A + B)(n) ≥ (1− β)αn + βn = (α + β − αβ)n .
Tako je
(A + B)(n)
n
≥ α + β − αβ
in
σ(A + B) = inf
n∈N
(A + B)(n)
n
≥ σ(A) + σ(B)− σ(A)σ(B) .
1–10 5
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
Neenakost (1) lahko zapǐsemo tudi kot:
1− σ(A + B) ≤ (1− σ(A))(1− σ(B))
in jo posplošimo na vsoto poljubnih končnih podmnožic naravnih števil.
Trditev 7. Naj bo h naravno število in A1, . . . , Ah takšne podmnožice celih
števil, da je 0 ∈ Ai za vsak i = 1, . . . , h. Potem je
1− σ(A1 + · · ·+ Ah) ≤
h∏
i=1
(1− σ(Ai)) . (2)
Formalni dokaz z indukcijo na število množic prepustimo bralcu. Na
koncu si oglejmo še najpomembneǰso lastnost Schnirelmannove gostote.
Izrek 8. Naj bo A podmnožica celih števil, ki vsebuje 0 in ima pozitivno
Schnirelmannovo gostoto. Potem je A baza končnega reda.
Dokaz. Če je σ(A) = α > 0, je 0 ≤ 1 − α < 1; zato obstaja tako naravno
število l ≥ 1, da je
0 ≤ (1− α)l ≤ 1/2 .
Potem je po trditvi 7
1− σ(lA) ≤ (1− σ(A))l = (1− α)l ≤ 1/2
in tako
σ(lA) ≥ 1/2 .
Po posledici 5 je množica lA baza reda 2 in zato A baza končnega reda 2l.
3. Schnirelmannov izrek
Sedaj se bomo posvetili dokazu Schnirelmannovega izreka. Pokazali
bomo, da ima množica, sestavljena iz 0, 1 in naravnih števil, ki jih lahko
predstavimo kot vsoto dveh praštevil, pozitivno Schnirelmannovo gostoto.
Za to pa potrebujemo različne ocene za povprečno število predstavitev na-
ravnega števila kot vsote dveh praštevil. Preden začnemo, moramo vpeljati
nekaj novih oznak.
6 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
Naj bo f poljubna realna ali kompleksna funkcija in g pozitivna funkcija.
Zapis f  g naj pomeni, da obstaja takšna konstanta c > 0, da velja
|f(x)| ≤ cg(x)
za vse x iz definicijskega območja funkcije f . Oznaka f  g pa naj pomeni
isto kot g  f .
Naj r(N) označuje število predstavitev naravnega števila N kot vsote
dveh praštevil, pri čemer ločimo vrstni red sumandov. Naj bo x ≥ 2 po-
ljubno realno število. S π(x) označimo število vseh praštevil, ki ne prese-
gajo x (glej [1]). Če sta p in q praštevili, ki ne presegata x/2, njuna vsota
p + q ne presega x. Sedaj tvorimo vse možne vsote s tema dvema prašte-
viloma. Ker je do x/2 natanko π(x/2) praštevil, dobimo natanko π(x/2)2
urejenih parov vsot manǰsih ali enakih x. Vendar to niso vse vsote dveh
praštevil, ki ne presegajo x, saj bi lahko veljalo p + q ≤ x tudi za praštevili,
ki nista obe manǰsi od x/2. Torej velja∑
N≤x
r(N) ≥ π(x/2)2.
Uporabimo izrek Čebǐseva, (glej [1], str. 173), ki pravi, da je π(x/2) 
x/2
log x/2 , pa imamo∑
N≤x
r(N) ≥ π(x/2)2  (x/2)
2
(log(x/2))2
 x
2
(log x)2
. (3)
V [2] najdemo izrek (Theorem 7.2 na strani 186), ki pravi, da za vsako
sodo naravno število N velja
r(N)  N
(log N)2
∏
p|N
(
1 +
1
p
)
≤ N
(log N)2
∑
d|N
1
d
. (4)
Ta neenakost velja tudi za liha naravna števila, saj je liho naravno število N
vsota dveh praštevil natanko tedaj, ko je N − 2 praštevilo. Za takšno liho
naravno število je torej r(N) = 2. Naj bo x ≥ 1 poljubno realno število. Z
uporabo neenakosti (4) dobimo
∑
N≤x
r(N)2 
∑
N≤x
N2
(log N)4
∑
d|N
1
d
2 .
1–10 7
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
Ker je funkcija N
2
(log N)4
naraščajoča, jo navzgor ocenimo z največjo vredno-
stjo pri x. Vsoto
(∑
d|N
1
d
)2
pa zapǐsemo v ekvivalentni obliki
∑
d1|N
1
d1
∑
d2|N
1
d2
 = ∑
d1|N
∑
d2|N
1
d1d2
.
Zdaj imamo
∑
N≤x
r(N)2  x
2
(log x)4
∑
N≤x
∑
d|N
1
d
2 = x2
(log x)4
∑
N≤x
∑
d1|N
∑
d2|N
1
d1d2
.
Zamenjamo vrstni red seštevanja in dobimo
∑
N≤x
r(N)2  x
2
(log x)4
∑
d1,d2≤x
1
d1d2
∑
N≤x
d1|N,d2|N
1.
Zadnja vsota je različna od 0 samo v primeru, ko d1 in d2 hkrati delita N . To
pomeni natanko takrat, ko njun najmanǰsi skupni večkratnik [d1, d2] deli N .
Vsoto ocenimo navzgor, pa dobimo
∑
N≤x
r(N)2  x
2
(log x)4
∑
d1,d2≤x
1
d1d2
∑
N≤x
[d1,d2]|N
1 ≤ x
2
(log x)4
∑
d1,d2≤x
1
d1d2
x
[d1, d2]
.
Izpostavimo x, upoštevamo oceno [d1, d2] = d1d2(d1,d2) ≥ (d1d2)
1/2 za najmanǰsi
skupni večkratnik [d1, d2] in največji skupni delitelj (d1, d2) števil d1 in d2
ter zopet uvedemo sumacijsko spremenljivko d:
∑
N≤x
r(N)2  x
3
(log x)4
∑
d1,d2≤x
1
d
3/2
1 d
3/2
2
=
x3
(log x)4
∑
d≤x
1
d3/2
2 .
Zadnja vsota konvergira, ko gre x čez vse meje, ker je eksponent v imeno-
valcu večji od ena. Tako dobimo
∑
N≤x
r(N)2  x
3
(log x)4
. (5)
8 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Schnirelmannov izrek
Po Cauchy-Schwarzevi neenakosti velja∑
N≤x
r(N)
2≤ ∑
N≤x
r(N)≥1
1
∑
N≤x
r(N)2.
Vsota
∑
N≤x
r(N)≥1
1 prešteje vsa naravna števila N , ki ne presegajo x in jih lahko
vsaj na en način zapǐsemo kot vsoto dveh praštevil. Torej je ta vsota enaka
števni funkciji A(x) za množico A vseh naravnih števil, ki se dajo zapisati
kot vsota dveh praštevil. Tako imamo∑
N≤x
r(N)
2≤ A(x) ∑
N≤x
r(N)2.
Iz neenakosti izrazimo A(x), tako da je
A(x) ≥
( ∑
N≤x
r(N)
)2
∑
N≤x
r(N)2
.
Po deljenju z x dobimo
A(x)
x
≥ 1
x
( ∑
N≤x
r(N)
)2
∑
N≤x
r(N)2
.
Upoštevajmo oceni (3) in (5), pa od tod sledi
A(x)
x
 1
x
x4
(log x)4
x3
(log x)4
 1 .
Prepričajmo se, da ima množica A = {0, 1} ∪ {p + q : p, q praštevili}
pozitivno Schnirelmannovo gostoto. Pravkar smo videli, da obstaja takšno
število c1 > 0, da je A(x) ≥ c1x za vsa dovolj velika števila x ≥ x0. Ker pa 1
pripada množici A, obstaja takšno število c2 > 0, da je A(x) ≥ c2x tudi za
1 ≤ x ≤ x0. Torej A(x) ≥ cx za vse x ≥ 1, pri čemer je c = min{c1, c2}. Iz
tega lahko sklepamo, da je Schnirelmannova gostota množice A pozitivna.
1–10 9
i
i
“”schnirelmannov izrek”” — 2010/5/10 — 13:54 — page 10 — #10 i
i
i
i
i
i
Vinko Medic
Izrek 9 (Schnirelmann). Obstaja takšno naravno število H, da lahko vsa-
ko naravno število, večje kot ena, zapǐsemo kot vsoto kvečjemu H praštevil.
Dokaz. Pokazali smo, da ima množica
A = {0, 1} ∪ {p + q : p, q sta praštevili}
pozitivno Schnirelmannovo gostoto. Zato obstaja po izreku 8 takšno na-
ravno število h, da je vsako nenegativno celo število N vsota natanko h
elementov množice A. Naj bo N ≥ 2 oziroma N − 2 ≥ 0. Zapǐsimo N − 2
kot vsoto k enic in l parov praštevil pi, qi, pri čemer velja k+l ≤ h (k, l ≥ 0).
Torej je
N − 2 = 1 + · · ·+ 1︸ ︷︷ ︸
k
+(p1 + q1) + · · ·+ (pl + ql) .
Če je k sodo število, to je k = 2m, potem po prenosu števila 2 na desno
stran dobimo
N = 2 + · · ·+ 2︸ ︷︷ ︸
m+1
+(p1 + q1) + · · ·+ (pl + ql) .
Vidimo, da je tedaj N vsota m + 1 + 2l praštevil. V primeru, da je k liho
število k = 2m + 1, pa imamo
N = 2 + · · ·+ 2︸ ︷︷ ︸
m
+3 + (p1 + q1) + · · ·+ (pl + ql) .
Torej je tudi v tem primeru N vsota m + 1 + 2l praštevil. Ker števili l in
m+l ne presegata h, velja m+1+2l ≤ 2h+1. Ugotovili smo, da lahko vsako
naravno število N > 1 zapǐsemo kot vsoto kvečjemu 2h + 1 = H praštevil.
Število H se imenuje Schnirelmannova konstanta in je po Schnirelman-
novih izračunih znašala 300 000. Kasneje so konstanto z natančneǰsimi oce-
nami močno zmanǰsali. Najbolǰsi rezultat doslej je leta 1995 dosegel Olivier
Ramaré, ki je pokazal, da je Schnirelmannova konstanta enaka največ 6.
Torej lahko vsako naravno število, ki je večje od 1, zapǐsemo kot vsoto kve-
čjemu šestih praštevil.
LITERATURA
[1] J. Bračič, Uvod v analitično teorijo števil, Podiplomski seminar iz matematike 26,
DMFA-založnǐstvo, Ljubljana, 2003.
[2] M. B. Nathanson, Additive Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 164,
Springer-Verlag, 1996.
[3] Goldbach Conjecture, http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html .
10 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 11 — #1 i
i
i
i
i
i
DETEKCIJA NEVIDNIH INTERFERENČNIH SLIK
Z MICHELSONOVIM INTERFEROMETROM
IVO VEROVNIK
Zavod Republike Slovenije za šolstvo
Ljubljana
in
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g
Pri poskusih z Michelsonovim interferometrom so interferenčne proge vidne s polnim
kontrastom le, če sta kraka interferometra enako dolga. Z večanjem razlike dolžin krakov
se kontrast interferenčnih prog manǰsa in te popolnoma izginejo pri razlikah, ki so znatno
večje od koherenčne dolžine uporabljene svetlobe. Če za detekcijo svetlobe uporabimo
senzorje, ki se dovolj hitro odzivajo na njene spremembe, lahko izmerimo razmike med sicer
nevidnimi interferenčnimi progami tudi pri velikih razlikah dolžin krakov interferometra.
Predstavljen je eksperiment, ki sva ga načrtovala in izvedla, didaktični modeli ter orodja
za razlago pojava.
DETECTION OF INVISIBLE INTERFERENCE PATTERNS
USING MICHELSON INTERFEROMETER
In experiments with Michelson interferometer the interference pattern can be seen at
full contrast in case of equidistant position of the both mirrors. When the difference of
the lengths of both arms increases, the contrast fades away due to incoherence of light
and the pattern diminishes completely when the difference is substantially bigger than the
coherence length of the light. When using fast enough detectors, the distance between
invisible interference fringes can be detected even at large difference of the length of the
interferometer arms. The experiment, which we carried out, and the didactical models
and tools to explain the phenomenon are presented.
1. Uvod
Pri obravnavi interferenčnih pojavov s svetlobo v šoli poudarimo, da se
interferenca pojavi le, kadar sestavljamo dva koherentna snopa svetlobe. Z
razmeroma skromno eksperimentalno opremo, dosegljivo tudi šolskim labo-
ratorijem, lahko pokažemo, da interferenčni pojavi nastanejo tudi pri upo-
rabi nekoherentnih virov svetlobe. Prve eksperimente te vrste, ki so po svoji
naravi sorodni z interferenco svetlobe po prehodu skozi dvojno režo, sva že
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 11
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 12 — #2 i
i
i
i
i
i
Ivo Verovnik in Andrej Likar
opisala v nekaterih člankih [1 do 4]. Poročila o drugačnih eksperimentih,
ki opisujejo interferenco svetlobe iz nekoherentnih virov, pa najdemo tudi
v člankih drugih avtorjev [5 in 6]. V nadaljevanju bova opisala način, kako
lahko z uporabo Michelsonovega interferometra opazujemo in merimo inter-
ferenčne slike, dobljene z nekoherentnimi snopi svetlobe. Pri tem je ugodno
predvsem to, da z Michelsonovim interferometrom razmeroma preprosto
nadziramo ključne eksperimentalne parametre. Namesto tehnǐskih podrob-
nosti eksperimenta, ki jih lahko najdemo v članku [7], bodo tu predstavljene
predvsem didaktične rešitve in orodja za razlago tega pojava.
Kontrast interferenčnih slik, ki jih dobimo z Michelsonovim interfero-
metrom, je odvisen od dolžine njegovih krakov. Poln kontrast dosežemo,
ko sta zrcali kraka postavljeni simetrično glede na polprepustno zrcalo. Če
dolžini krakov nista enaki, se pri večanju njune razlike zmanǰsuje kontrast
interferenčne slike. Interferenčna slika se popolnoma zabrǐse, ko je razlika
dolžin krakov mnogo večja od koherenčne dolžine uporabljene svetlobe.
Obstaja dokaj splošno prepričanje, da je v primeru popolnoma zabrisane
interferenčne slike izgubljena tudi vsa informacija o interferenčnih progah,
npr. tudi o njihovi medsebojni razdalji, ki je pogosto pomemben podatek pri
meritvah z Michelsonovim interferometrom. Da to ne drži, bova pokazala,
da lahko izmerimo razmike med interferenčnimi progami tudi v popolnoma
zabrisani interferenčni sliki.
Pojav sam in rezultate meritev podrobno pojasnimo z uporabo relativno
zapletenih matematično-fizikalnih izpeljav. To je seveda nujno, ko želimo
natanko opisati eksperiment. Pri tem je za bolǰse razumevanje koristno, če
razlago podpremo z gradivi, ki omogočajo bolǰso vizualno predstavo o doga-
janju med izvajanjem eksperimenta. Še posebej je to pomembno, ko gre za
zapleteno sočasno časovno in prostorsko spreminjanje fizikalnih količin, ki
so ključne za izid eksperimenta. Včasih se lahko zadovoljimo tudi s tem, da
študenti na kvalitativni ravni razumejo dogajanje in izid eksperimenta, ne
da bi se jim bilo treba prebijati skozi zahtevne izpeljave. V takih primerih
si lahko pomagamo z mehanskimi analogijami eksperimenta, ki jih lahko s
čutili neposredno zaznavamo, ali pa uporabimo ustrezne računalnǐske simu-
lacije in animacije. V nadaljevanju bodo predstavljene nekatere take rešitve,
ki omogočajo razumevanje izida našega eksperimenta.
12 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 13 — #3 i
i
i
i
i
i
Detekcija nevidnih interferenčnih slik z Michelsonovim interferometrom
2. Zvočni ekvivalent eksperimenta z dvojno režo
Kot primer, ki bo podprl razumevanje našega eksperimenta z Michelso-
novim interferometrom, vzemimo najprej zvočni ekvivalent uklona in inter-
ference svetlobe po njenem prehodu skozi dvojno režo.
Dva zvočnika, ki sta drug od drugega oddaljena okoli enega metra, pri-
ključimo na tonski generator s sinusnim signalom frekvence okoli 800 Hz. V
tem primeru dobimo interferenco, pri kateri lahko slušno zaznavamo podro-
čja ojačitev in oslabitev preprosto tako, da se premikamo po prostoru pred
zvočnikoma. Eksperiment spremenimo tako, da na en zvočnik priključimo
signal s frekvenco 800 Hz, na drugega pa signal z nekoliko vǐsjo frekvenco,
denimo 801 Hz. Če pred izvedbo tega eksperimenta vprašamo študente, kaj
bodo slǐsali, lahko v večini primerov pričakujemo pravilen odgovor - utri-
panje s frekvenco 1 Hz. Nadaljujemo lahko z dodatnim vprašanjem, ki se
nanaša na energijo zvoka: Kam gre energija zvoka ob trenutkih tǐsine, med-
tem ko poslušamo utripanje zvoka? Odgovor na to vprašanje ni preprost.
Slika 1. Trenutna slika animacije, ki prikazuje obračanje interferenčnega polja, če se
frekvenci zvoka iz zvočnikov na spodnjem robu slike (nista prikazana) nekoliko razlikujeta.
Ob razlagi pomena relativnih faz dveh izvirov valovanja uporabimo ani-
macijo interferenčnega polja pred zvočnikoma, ki pripomore k razumevanju
tega pojava. Pri različnih frekvencah se celotno interferenčno polje obrača v
določeno smer, tako da se v katerikoli izbrani točki v prostoru pred zvočni-
koma energijski tok zvočnega polja spreminja s periodo, ki je enaka frekvenci
11–19 13
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 14 — #4 i
i
i
i
i
i
Ivo Verovnik in Andrej Likar
utripanja, v našem primeru s frekvenco 1 Hz (slika 1).
3. Eksperiment z dvojno režo in Michelsonov interferometer
Pri razlagi originalnega eksperimenta z dvojno režo, imenovanega tudi
po avtorju kot Youngov eksperiment, je treba poudariti pomen konstan-
tne fazne razlike svetlobnega valovanja iz obeh rež, ki zagotavlja statično
interferenčno sliko. Reži namreč osvetljuje en sam, ustrezno majhen izvir
svetlobe. Če namesto dveh rež vzamemo dva neodvisna svetlobna izvira, se
relativna fazna razlika obeh izvirov naključno spreminja. To ima za posle-
dico naključne spremembe lege interferenčnega polja. Senzorji, ki se počasi
odzivajo na spremembe energijskega toka svetlobe, kot je npr. naše oko,
ne morejo zaznavati hitrih sprememb interferenčne slike, tako da je zaslon
videti enakomerno osvetljen. Hitri senzorji, kot so npr. polprevodnǐske
fotodiode, pa lahko pri ustreznih pogojih registrirajo svetlobne fluktuacije.
Uporabila sva Michelsonov interferometer, ki omogoča relativno prepro-
sto kontrolo parametrov, ki določajo lastnosti interferenčne slike. Deko-
herenco dveh svetlobnih snopov, ki ju pri Michelsonovem interferometru
dobimo s pomočjo polprepustnega zrcala, dosežemo s povečanjem dolžine
enega od krakov interferometra tako, da je razlika svetlobnih poti iz obeh
krakov mnogo večja od koherenčne dolžine svetlobe. Kot svetlobni izvir
smo v našem eksperimentu uporabili polprevodnǐski laser, ki oddaja rdečo
svetlobo valovne dolžine 660 nm.
Relativna faza obeh svetlobnih snopov se na zaslonu, kjer opazujemo
interferenčno sliko, sedaj zelo hitro naključno spreminja, kar povzroča zelo
hitro spreminjanje lege interferenčnih prog. S prostim očesom ne vidimo
interferenčne slike, saj je zaradi hitrih naključnih premikov popolnoma za-
brisana.
4. Merjenje svetlobnih fluktuacij z dvema senzorjema
Namesto enega samega hitro odzivnega senzorja, ki lahko meri naključne
spremembe energijskega toka svetlobe, uporabimo dva senzorja. V tem pri-
meru je stopnja korelacije izmerjenih signalov iz obeh senzorjev odvisna od
njune medsebojne razdalje. Ta medsebojna odvisnost omogoča neposredno
določitev razdalje med za oko nevidnimi interferenčnimi progami. Slika 2
prikazuje postavitev eksperimenta.
14 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 15 — #5 i
i
i
i
i
i
Detekcija nevidnih interferenčnih slik z Michelsonovim interferometrom
Slika 2. Razširjeni laserski snop svetlobe z valovno dolžino λ obravnavamo kot ravno
valovanje. Na zaslonu interferometra svetlobni valovanji iz obeh krakov interferirata, tako
da nastanejo vzporedne interferenčne proge v medsebojni razdalji λ/α, kjer je α kot
med obema snopoma svetlobe. Kontrast interferenčne slike izginja z večanjem razlike
dolžin krakov interferometra in popolnoma izgine pri razliki dolžin, ki so mnogo večje
od koherenčne dolžine svetlobe lc. Informacijo o medsebojni razdalji interferenčnih prog
dobimo z merjenjem fluktuacij seštetega signala iz dveh senzorjev v medsebojni razdalji D.
5. Animacija kot pomoč pri razlagi delovanja fluktuacijskega
interferometra
Ker si je sočasno spreminjanje več količin med meritvijo relativno težko
predstavljati, si pri razlagi lahko pomagamo z animacijo. Ta ponazarja
spreminjanje seštetega signala iz dveh senzorjev pri različnih medsebojnih
razdaljah, medtem ko se lega interferenčnih prog spreminja. Pripravila sva
dve animaciji, kjer sta senzorja v dveh ekstremnih legah glede na velikost
fluktuacij (slika 3).
Animaciji nazorno pojasnjujeta velikost seštetega signala iz dveh sen-
11–19 15
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 16 — #6 i
i
i
i
i
i
Ivo Verovnik in Andrej Likar
Slika 3. Seštevanje signalov dveh senzorjev: trenutni sliki dveh animacij, pri katerih se
interferenčna slika skupaj z diagramom na spodnjem delu enakomerno premika proti desni.
Senzorja A in B v obeh primerih ostajata na istih mestih. Vǐsina črt nad senzorjema kaže
trenutno velikost izmerjenih signalov. Levo: Razdalja med senzorjema je enaka razdalji
med sosednjimi interferenčnimi progami. Sešteti signal A+B v tem primeru maksimalno
fluktuira. Desno: Razdalja med senzorjema je enaka poldrugi razdalji med sosednjimi
interferenčnimi progami. Sešteti signal je v tem primeru konstanten.
zorjev v odvisnosti od njune medsebojne razdalje. Levi del slike 3 prikazuje
razmere, ko dobimo največje fluktuacije seštetega signala. Razdalja med
senzorjema A in B, ki med meritvijo ostajata na istih mestih, je enaka raz-
dalji med sosednjimi interferenčnimi progami. V animaciji se interferenčni
vzorec enakomerno premika v desno skupaj z diagramom, ki prikazuje osve-
tljenost zaslona. Črti nad senzorjema kažeta velikost izmerjenih signalov,
ki se v tem primeru sinhrono periodično spreminjata od nič do maksimalne
vrednosti. Vsota obeh signalov A+B se zaradi tega spreminja od nič do dva-
kratne maksimalne vrednosti signala enega senzorja. Fluktuacije seštetega
signala so v tem primeru maksimalne. Enake fluktuacije dobimo pri vsaki
razdalji med senzorjema, ki je enaka večkratniku razdalje med sosednjimi
interferenčnimi progami.
Desna stran slike 3 prikazuje podobno situacijo kot leva, le da je tu razda-
lja med senzorjema enaka poldrugi razdalji med sosednjimi interferenčnimi
progami. Sedaj spreminjanje signalov iz senzorjev ni več sinhrono. Ko iz-
meri senzor A maksimalno vrednost, je velikost signala senzorja B enaka nič
in obratno. Če velikost signala iz enega senzorja narašča, signal iz drugega
senzorja v enaki meri pada. Sešteti signal A + B se ne spreminja in je po
velikosti enak maksimalni vrednosti signala iz enega senzorja. Konstanten
signal oz. signal z minimalnimi fluktuacijami dobimo vedno v primerih,
ko je razdalja med senzorjema enaka lihemu večkratniku polovične razdalje
med sosednjimi interferenčnimi progami.
S senzorji, ki lahko sledijo spremembam energijskega toka svetlobe v
16 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 17 — #7 i
i
i
i
i
i
Detekcija nevidnih interferenčnih slik z Michelsonovim interferometrom
interferenčni sliki, izmerimo različno amplitudo fluktuacij seštetih signalov
pri različnih medsebojnih razdaljah senzorjev. Povprečna vrednost sešte-
tega signala v vseh primerih ostaja enaka, ne glede na medsebojno razdaljo
senzorjev. Z merjenjem velikosti fluktuacij lahko torej določimo medsebojno
razdaljo med interferenčnimi progami v hitro se premikajočih interferenčnih
vzorcih. Ta razdalja je preprosto enaka spremembi dveh zaporednih razdalj
med senzorjema, kjer izmerimo maksimalne ali minimalne fluktuacije.
6. Simulacija meritev pri naključnih spremembah relativnih faz
svetlobnih snopov
Interaktivno računalnǐsko simulacijo meritev lahko izdelamo tako, da je
po vsebini še korak bliže pravemu laboratorijskemu eksperimentu. Slika 4
kaže posnetek dela računalnǐskega zaslona s programom, ki simulira velikost
seštetih signalov iz dveh senzorjev pri naključnem spreminjanju relativnih
faz dveh svetlobnih valovanj. Pri tem lahko razdaljo med senzorjema zvezno
spreminjamo s pritiskanjem tipke na tipkovnici. Sešteti signal se sproti
izrisuje na spodnjem delu računalnǐskega zaslona.
Slika 4. Interaktivna animacija z naključno premikajočo se interferenčno sliko. Razdaljo
med senzorjema (na sredini slike) lahko nastavljamo s pomočjo tipkovnice računalnika.
Izmenična komponenta seštetega signala se izrisuje na spodnjem delu zaslona.
11–19 17
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 18 — #8 i
i
i
i
i
i
Ivo Verovnik in Andrej Likar
7. Eksperiment
Slika 5. Fotografija postavitve eksperimenta, ki je shematično prikazan na sliki 2.
Eksperiment s tehnǐskimi detajli je pojasnjen v objavljenem članku
[7], zato ga tu v podrobnostih ne opisujeva. Shematično je njegova posta-
vitev prikazana na sliki 2, fotografija interferometra pa na sliki 5. Najpo-
membneǰsi pa je rezultat meritve, ki je reproduciran na sliki 6. Podobnost
dobljenih rezultatov meritev z rezultatom interaktivne animacije na sliki 4
je očitna.
Slika 6. Velikost fluktuacij izmerjenega signala se periodično spreminja z naraščajočo
razdaljo D med svetlobnima senzorjema – fotodiodama. Perioda (okoli 6 mm) je enaka
razdalji med begajočimi (nevidnimi) interferenčnimi progami.
18 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Detekcija” — 2010/5/10 — 13:56 — page 19 — #9 i
i
i
i
i
i
Detekcija nevidnih interferenčnih slik z Michelsonovim interferometrom
8. Sklep
Eksperiment in predstavljena multimedijska didaktična gradiva imajo
namen osvetliti možnosti izvedbe in razlage interferenčnih poskusov z ne-
koherentnimi svetlobnimi izviri. Opisani pojav dodatno opisuje lastnost
svetlobe, ki v različnih okolǐsčinah kaže svojo bodisi delčno ali pa valovno
naravo. Delčne lastnosti svetlobe se izražajo pri interakciji svetlobe s snovjo,
pri njeni emisiji in absorpciji. V prostoru med izvirom svetlobe in mestom
absorpcije pa se svetloba vede kot valovanje, kjer se elektromagnetno polje,
tudi táko, ki ga prispevajo različni fotoni, sestavlja po načelu superpozi-
cije. Eksperimente, ki so sorodni zgoraj opisanemu, sva namreč izvedla
tudi s svetlobo dveh neodvisnih laserjev [1 do 4]. Poskusi te vrste nape-
ljujejo študente na razumevanje delovanja zelo dolgih velikih Michelsonovih
interferometrov, ki jih gradijo za zaznavanje gravitacijskega valovanja in
intenzitetnega zvezdnega interferometra.
LITERATURA
[1] I. Verovnik in A. Likar, Fluktuacijski interferometer, Obzornik mat. fiz. 34 (1987) 3,
str. 79–86.
[2] I. Verovnik in A. Likar, A fluctuation interferometer, Am. J. Phys. 56 (1988), str. 231–
234.
[3] I. Verovnik in A. Likar, Continuous fluctuation interferometer, Am. J. Phys. 67 (1999),
str. 354–356.
[4] I. Verovnik, A. Likar in J. Strnad, Interfernz zweier Laser: ein neuartiges Schulexpe-
riment, Prax. Nat. wiss. Phys. 41 (1992), str. 20–24.
[5] L. Basano, R. Chittofrati, S. Crivello, E. Piano in C. Pontiggia, Simple setup for
detecting interference fringes produced by independent lasers, Am. J. Phys. 65 (1997),
str. 996–1000.
[6] F. Louradour, F. Reynaud, B. Colombeau in C. Froehly, Interference fringes between
two separate lasers,, Am. J. Phys. 61 (1993), str. 242–245.
[7] I. Verovnik in A. Likar, The Michelson interferometer – how to detect invisible inter-
ference patterns, Eur. J. Phys. 25 (2004), str. 801–806.
11–19 19
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 20 — #1 i
i
i
i
i
i
INTERVJU
TOMAŽ SCHARA
Tomaž Schara je leta 1987 diplomiral iz
uporabne matematike na Oddelku za mate-
matiko takratne Fakultete za naravoslovje in
tehnologijo. Kmalu zatem je bil med sousta-
novitelji uspešnega podjetja Hermes Softlab.
Študijsko se je izpopolnjeval na področju po-
slovodenja in je opravljal različne odgovorne
poslovodne funkcije. Bil je celo direktor Slo-
venskih železnic (SŽ). Trenutna gospodarska
kriza je, upamo, primeren trenutek za ob-
javo pogovora z matematikom in uveljavlje-
nim poslovnežem.
Tomaº, kako kot matematik in poslovneº gleda²1 na dana²njo gospodarsko
krizo?
Kriza je pač neko svetovno dogajanje, proces. To je čas, ko se govori o krizi,
o prelomu, o izginotju denarja. A denar ni izginil, denar je menjalna vre-
dnost, energija, ki poganja ekonomski sistem. Trenutna situacija je posledica
dejanske narave kapitalističnih ekonomskih odnosov. Poslovno trgovanje in
komuniciranje se je delno zaustavilo. Denar ni izginil, le ugotovilo se je – kar
naenkrat –, da ga imajo nekateri preveč in drugi premalo. V vsaki družbi
so ljudje, ki zaslužijo malo in drugi, ki zaslužijo veliko, ter – kar ni vedno
isto – eni, ki imajo malo, in drugi, ki imajo veliko. Prelivanje denarja vselej
povzroča razmisleke o tem, kaj je pošteno in kaj ni in v kriznih časih po-
stanejo nepoštenosti bolj opazne kot običajno. Ključna so vprašanja o vlogi
politike, ki oblikuje sistem gospodarstva. Torej vprašanja, kaj so naloge
zaposlenih in gospodarstvenikov na eni strani in kaj so obveznosti politike
in nacionalnih vlad na drugi. Vlade naj bi oblikovale pravila gospodarskega
obnašanja. Naloga politike je, da ščiti interes družbe kot celote in da izraža
voljo ljudstva, ki naj bo širša in primarneǰsa od poslovnih interesov posa-
meznika. Ne nazadnje davkoplačevalci z davki plačujemo tudi zaščito svojih
in družbenih interesov ter pravic ”malega“ človeka.
1Tikanje gre pripisati spominu na skupna študentska leta sogovornikov
20 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 21 — #2 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
Je dana²nja kriza druga£na od prej²njih?
V današnji krizi se ne dogaja nič novega. Iste stvari zasledimo že v zelo
starih knjigah. Npr. v Sun Tzujevi knjigi Umetnost vojne2 , ki je stara že
tisočletja, ali v Plutarhovem Življenju velikih Grkov, pa tudi v Machiavelliju
in drugod. V jeziku starih Rimljanov bi tudi današnji konflikt lahko opisali
kot konflikt državne administracije v Rimu na eni strani in vojskovodij na
drugi, ki se s svojimi vojnimi uspehi vedno bolj oddaljujejo od centra obla-
sti. Podobno je danes v demokraciji in v modernem kapitalizmu: državna
administracija, ki skrbi za komunalo (v naǰsiršem smislu), je v veliki meri
ohranila vlogo rimske države, vlogo vojskovodij pa so prevzeli gospodarstve-
niki, katerih osvajanja so nekoliko drugačna od tistih v rimskem času. V
bistvu pa multinacionalna podjetja delujejo podobno, saj je glavni cilj ve-
čanje bogastva s hkratnim ustreznim obvladovanjem ”osvojenih področij“.
Investicije kapitala in inovacije so v marsičem podobne pohodom iznajdljivih
vojskovodij, ki so s pohodi večali bogastvo in zaslužke. Včasih so vojsko-
vodje nosili domov zlato in materialna bogastva, danes prinašajo dividende
in druge vrste kapitalskih zaslužkov. V bistvu gre za zelo podobne procese.
Trenutno je postalo jasno, da je treba nekatere stvari urediti drugače, da
morajo vlade na nekaterih mestih drugače urediti pogoje dela in obveznosti
svojih vojskovodij in ustrezno urediti in se odzvati na socialno nezadovolj-
stvo in pritiske. To je težka naloga. Poskrbeti je treba za dobre vojskovodje
in ustrezno obvladati tiste preveč pohlepne. To se dogaja in je pomembno
predvsem v velikih ekonomijah sveta. Mi smo premajhni, da bi zares lahko
začutili te dileme. Seveda pa čutimo posledice in podobne igre v precej po-
manǰsani obliki. Mogoče celo preveč gledamo hollywoodske filme in včasih
razmeroma majhne zgodbe napihnemo tako zelo, da povzročijo paniko.
Ampak za male ljudi so lahko tudi posledice dogajanj, kot jih v Sloveniji
poznamo pod blagovno znamko MIP, Mura, Prevent ali Istrabenz, precej
kriti£ne?
Seveda, posledice so za ljudi lahko pomembne. Smo ”kontrabantski narod“
Martina Krpana, katerega povest veliko pove o ”ponarodelih vrednotah“, o
preživetju, ki je temeljilo na zvitosti, pametnosti in iznajdljivosti naroda.
Povest nam govori o preživetju v teh rovtah s kontrabantstvom soli in ne
2Sunzi (tudi Sun Zi ali Sun Tzu): Umetnost vojne, (Sunzijeva načela vojskovanja).
Knjiga je bila napisana v 6. stoletju pred našim štetjem. Že več kot 2000 let se knjiga
uporablja kot izhodǐsče vojaške, poslovne in življenjske strategije (predvsem na Vzhodu).
Slovenska izdaja (Mladinska knjiga, 2009) knjigo podnaslavlja: kitajska knjiga življenja.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 21
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 22 — #3 i
i
i
i
i
i
Intervju
peska. In kontrabantstvo je bilo narejeno na način, ki ga je celo cesar pozneje
ovrednotil in izrabil v boju proti Brdavsu. To je seveda bolj mit kot resnica,
a v zavesti ljudi je taka iznajdljivost vrednota. In še posebej v kriznih časih
se ljudje vselej obrnejo k povečanemu iskanju koristi zase. In kdor pač lahko,
to stori. Zato potrebujemo sistem, ki je pametneǰsi in pravičneǰsi, čeprav
je težko definirati, kaj to pomeni. Krize so lokalna in globalna priložnost,
da iz njih kot posamezniki in kot družba izidemo pametneǰsi. Pametneǰsi v
smislu pametneǰse distribucije dobrin, ki jih ljudje potrebujemo za življenje.
Poleg Bojana Dremlja, z njim smo objavili intervju pred leti, in ²e koga . . .
si v Sloveniji vsaj formalno najbrº med najbolje pla£animi matematiki. Se
kot matematik po osnovni izobrazbi in kot poslovneº v svojem poklicnem
ºivljenju ²teje² (tudi) za matematika?
Študij matematike sem vedno jemal zelo resno, to je zagotovo študij, ki
je zelo fundamentalen, ki te nauči razmǐsljanja. Priznam pa, da že med
študijem sebe nisem videl kot nekoga, ki bi živel za matematiko. Nikoli
nisem čutil nagnjenja, poslanstva ali sposobnosti, da bi deloval predvsem
kot matematik, niti ne kot raziskovalni matematik in tudi ne kot učitelj.
V tem smislu bi bilo neprimerno trditi, da sem prvenstveno matematik. V
petindvajsetih letih, odkar sem diplomiral matematiko, sem bil predvsem
menedžer in podjetnik. Vedno pa sem čutil ne samo simpatijo, ampak tudi
globoko hvaležnost do matematike in matematikov, h katerim sem ”hodil
v uk“, kot rad rečem. Od njih sem dobil svobodo, globino in širino razmi-
šljanja. Pridobil sem sposobnost razmǐsljati zelo hitro v zelo kompleksnih
prostorih - kot bi temu rekli matematiki. Ekonomisti razmǐsljajo drugače,
kot da se sploh ne bi zavedali, kako zelo povezane in kompleksne so stvari.
Mnogi ekonomisti in pravniki, ki zasedajo najpomembneǰse državne in po-
slovne funkcije, so navajeni razmǐsljati zelo drugače. To so ljudje, ki nam v
veliki meri krojijo usodo, so se pa v svoji izobrazbi večinoma učili stvari na
pamet, od računovodskih standardov do pravnih aktov. Res je, v svojem
poslovnem življenju ne potrebujem algebre ali topologije, ki sem se ju učil
na fakulteti. Toda nisem se učil izrekov na pamet, saj s takim znanjem
takrat ne bi naredil izpitov. Učil pa sem se sklepanja in razmǐsljanja, kar je
pomembneǰse od faktografije, ki se danes še posebej hitro spreminja. Škoda,
da se z enako globino, kot se uči razmǐsljanja pri študiju matematike, ne uči
razmǐsljanja tudi na bolj aplikativnih področjih. Gospodarski subjekti, go-
spodarske družbe so vpete v makroekonomski sistem, ki že davno presega
lokalne nacionalne okvire. V teh kompleksnih sistemih je nujna sposobnost
abstraktnega razmǐsljanja, ki zmore fleksibilno preskakovati z globalnega na
22 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 23 — #4 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
lokalno in obratno. V tem kompleksnem in pogosto zelo abstraktnem svetu
globalnih soodvisnosti je treba sprejemati hitre konkretne lokalne odloči-
tve. Po znanem izreku je dober menedžer tisti, ki sprejme 65% pravilnih
odločitev, opica, ki meče kocko, pa se pravilno odloči v 50%. Zato je meja
med dobrimi in slabimi menedžerji zelo ozka. Kar se tiče zaslužka, pa je
še posebej težko govoriti o sebi. V življenju sem bil za svoje delo zagotovo
dobro nagrajen. Največja nagrada zame je bila to, da sem si v veliki meri
lahko sam izbiral dejavnosti, ki sem jih opravljal. Finančno sem bil plačan
tako, da mi je bilo omogočeno zelo dostojno življenje. Bila so tudi obdobja,
ko je bilo težko, dovolj pa tudi takih, ko sem bil več kot zadovoljen. V smi-
slu spodbude mladim bi vsekakor rekel, da je matematiko zagotovo vredno
študirati, saj zahteva veliko, daje pa še veliko več in odpira številna vrata
za raznolike priložnosti kasneje v življenju. Še posebej je ta študij primeren
za mlade, ki so bolj ”generalisti“ in ki niso usmerjeni zgolj v neposredno in
konkretno. Seveda je pozneje v življenju neposrednega in konkretnega dela
zelo veliko, a sposobnost generalizacije in širšega dojemanja je ključna.
Takoj po diplomi si postal podjetnik in soustanovitelj Hermes Softlaba. To
je bil zelo uspe²en projekt. V za£etku ste bili med ustanovitelji ²tirje ma-
tematiki, Miro Germ, Pavle Knai£, Rudi Bric in ti?
Ustanovitelji smo bili Andrej Kuščer in Zoran Zagorc, ki sta študirala ele-
ktrotehniko in računalnǐstvo, ter Rudi Bric in jaz, ki sva bila matematika.
Nekoliko kasneje sta se pridružila Miro Germ in Pavle Knaflič, oba mate-
matika.
V poznih osemdesetih letih prej²njega stoletja je Hermes Softlab poslovno
blestel in prejemal raznolike nagrade od nagrade Republike Slovenije za
poslovno odli£nost do evropske Marshall Award leta 1998. Leta 1997 vas
je Svetovni ekonomski forum celo razglasil za Global Growth Company v
srednji in vzhodni Evropi. Kaj se je pozneje zgodilo s Hermesom?
Leta 1990 ali 1991 smo bili štirje. Takrat smo zajahali zlati čas razvoja
izdelave specializirane programske opreme, ki se je iz podjetij, ki so prej
imela svoje računalnǐske centre, začel seliti v specializirane računalnǐske
institucije. Spremembe so se vrstile tako hitro, da so samostojno lahko
sledila le večja podjetja, srednja in majhna pa so za računalnǐske potrebe
začela iskati zunanjo pomoč. Zato so se začele pojavljati računalnǐske firme,
ki so za naročnika izdelovale programsko opremo po naročilu. Mi smo bili
takrat v čudoviti poziciji, saj smo že imeli ustanovljeno in utečeno firmo, ki
je počela prav to, kar je trg potreboval. V začetku smo zmogli zagotoviti
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 23
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 24 — #5 i
i
i
i
i
i
Intervju
tudi potrebni kapital, da smo lahko zaposlovali in dosegli tako enormno rast.
Takrat smo se vsako leto po številu zaposlenih več kot podvajali, pozneje pa
smo se še kar nekaj let približno podvajali. Vse to je bilo mogoče, ker smo
delali tudi za odlična tehnološka in finančna podjetja v Evropi in Severni
Ameriki, pa tudi drugod. Od njih smo se učili ne samo tehnologije, temveč
tudi zakonitosti poslovanja.
Naš takratni veliki uspeh je temeljil tudi na delu sistema pobotov, ki smo
ga dobili in opravljali za takratno SDK3 ali po domače za nove slovenske
državne organe. Prej so za jugoslovanske državne organe to delo opravljali
na Hrvaškem in tudi s sodelovanjem Beograda. Po razpadu Jugoslavije
teh poravnav država Slovenija ni mogla več zaupati tuji državi, saj bi s
tem dala v tuje roke preveč zaupnih gospodarskih informacij in celotno
strukturo zadolženosti slovenskega gospodarstva. Takrat smo mi v Hermesu
premislili in pripravili celoten sistem in ponudbo s programom in njegovim
vzdrževanjem. Delo smo dobili tudi zato, ker je bila naša ponudba približno
desetkrat ceneǰsa od tiste, ki jo je slovenska SDK prej plačevala Hrvaški. To
je bil za nas velik in pomemben projekt.
Za kaj je pravzaprav ²lo pri teh poravnavah? Za optimizacijo in koordinacijo
medsebojnih dolgov podjetji?
Da, šlo je za izdelavo sistema pobotov ali tako imenovanih multilateralnih
kompenzacij pri poravnavanju medsebojnih dolgov podjetij. Matematično
je šlo bolj ali manj za trivialnosti, ki smo jih rešili tako, da sem se jaz
malo poglobil v knjige in našel uporabne povezave med linearno algebro in
teorijo grafov. Glede na takrat relativno nezmogljive računalnike je bilo
treba nekoliko paziti pri uporabi numeričnih metod, a tudi te stvari so bile
v matematiki dobro obdelane. ”Obračuni“ so morali biti opravljeni v eni
noči, vključno s takratnim branjem podatkov s trakov. Program je našel
”maksimum pobota“, ki je bil ”enoličen“ in globalno maksimalen. ”Pobot“
sam pa ni bil nujno enoličen, saj se je lahko absolutni pobot dolga različno
razporedil med posamezna podjetja.
3SKD – Služba družbenega knjigovodstva je bila ustanovljena leta 1959. Leta 1994
jo nadomesti Agencija Republike Slovenije za plačilni promet, nadziranje in informiranje,
ki se leta 1996 preoblikuje v Agencijo Republike Slovenije za plačilni promet(APP). Z
letom 2002 pa nastaneta Uprava Republike Slovenije za javna plačila in Agencija Republike
slovenije za javnopravne evidence in storitve, ki skupaj s poslovnimi bankami in Banko
Slovenije koordinirajo in nadzirajo plačilni promet v državi.
24 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 25 — #6 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
Ta maksimalni pobot je pomenil, da se v mreºi medsebojnih odnosov in
dolgov izra£una dejanski absolutni dolg . . . ?
Da, tako se je ugotovil dejanski neto dolg in tudi sistem optimalnega po-
ravnavanja dolgov med podjetji z vzajemnimi poravnavami. To je bilo tudi
psihološko zelo pomembno za državo, saj se je šele po taki obravnavi spo-
znala dejanska zadolženost gospodarstva. Točna preglednost mreže vzaje-
mnih dolgov je imela lahko tudi negativne in ne samo pozitivnih učinkov,
a matematično operativni sistem, ki je državnim organom omogočal pregle-
dnost in lažjo koordinacijo, je bil postavljen.
Je torej za£etni uspeh Hermesa delno pripisati tudi delu za SDK?
Delo in vir dohodkov, povezana s SDK, sta bila za Hermes pomembna po-
sebej na začetku. To je bil zanesljiv, dokaj stalen vir dohodkov, ki je sku-
paj z drugimi poslovnimi odločitvami pomagal oblikovati uspeh podjetja.
Predvsem nam je uspelo vzpostaviti dobro kadrovanje in zbrati solidno in
vrhunsko znanje ter se oblikovati ne samo kot vodilna institucija, ki je pod-
pirala bliskovit razvoj računalnǐstva v tistem času doma, ampak smo svoje
znanje zelo uspešno prodajali tudi v tujini. Podjetje je tako zraslo iz šti-
rih zaposlenih na začetku na okrog 800 v povprečju zelo visoko izobraženih
uslužbencev na vrhuncu svojih moči. Zagotovo smo bili eno največjih ali
celo največje podjetje v devetdesetih letih glede na hitrost rasti in glede na
visoko izobrazbeno raven. Za primerjavo bi omenil, da ima Klinični center
v Ljubljani zaposlenih približno 800 zdravnikov (in seveda še nekaj dru-
gih visoko izobraženih kadrov). Podobno velikih podjetij je najbrž še nekaj:
Krka, Ljubljanska banka, . . . Če bi pri teh podjetjih primerjali delež izvoza,
bi Hermes zasedel še bolj častno mesto.
Kaj se je zgodilo potem? Hermesova slava po£asi zbledi . . . ?
Takrat sem se jaz tudi zaradi želje po večji iznajdljivosti v kompleksnem
poslovnem svetu odločil za nadaljevanje študija menedžmenta, ki sem ga
opravil na Poslovni šoli Brdo4. Večina predavateljev na šoli je bila iz tujine,
predavanja so bila v angleščini; ta šola mi je omogočila nadaljnje in globlje
poznavanje poslovnih konceptov, ki so bili v tujini razviti že mnogo prej.
Študij je potekal predvsem na podlagi analize konkretnih primerov, to je
tako imenovani ”case study“. Poslovanja Hermes Softlaba takrat ni ome-
jeval niti trg niti naše ambicije ali pomanjkanje sposobnega kadra. Širili
4Današnji IEDC (International Executive Development Center) – Poslovna šola Bled.
Poslovna Šola Brdo je bila ustanovljena leta 1985 na pobudo Gospodarske zbornice Slo-
venije. Leta 2000 se šola preimenuje v IEDC in se z Brda pri Kranju preseli na Bled.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 25
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 26 — #7 i
i
i
i
i
i
Intervju
smo se na vse strani, odpirali smo svoja podjetja v tujini, ampak glede na
naravo kapitalskega trga nam je primanjkovalo predvsem denarja za takšno
rast. Potrebe in poslovni načrti so zahtevali velike vložke kapitala, ki jih
kljub dobremu zaslužku v podjetju, ki je pred nekaj leti začelo iz nič, še
ni bilo. Zato se je takrat začelo ne samo bančno zadolževanje, ampak smo
se začeli ozirati tudi po novih investicijah lastnǐskega kapitala. Procesi ta-
kega iskanja investitorjev pa so bili v majhni Sloveniji, kjer smo bili edino
podjetje te vrste, negotovi. Podobni procesi v Silicijevi dolini so lahko ve-
liko bolj načrtovani, saj je tam veliko takih podjetij, veliko investicijskega
kapitala, ki ǐsče ustrezne priložnosti, in tudi veliko ustreznih revizorjev, ki
so sposobni taka podjetja preveriti in oceniti. Skratka, tam je na voljo vsa
korporativno-finančna infrastruktura, ki omogoča normalno nadaljnjo rast
uspešnega podjetja, seveda v različnih lastnǐskih oblikah. Mi smo takrat
po vso to pomoč morali čez mejo in zato je bil to relativno naporen in
tudi drag proces, ki je trajal kar nekaj let in se je (uspešno) končal pred-
vsem z različnimi bančnimi dokapitalizacijami. Pomagale so tuje banke,
kot npr. Nomura5, ki je ena največjih investicijskih bank v svetu, pa ne-
kaj angleških privatnih skladov, od naših Ljubljanska banka, Zavarovalnica
Triglav in druge institucije. Ta proces nam je vzel nekaj energije, a glede
na naravo poslovanja je bil nujen, saj smo bili sicer zaradi pomanjkanja ka-
pitala obsojeni na ustavitev rasti. Podjetje je kot živ organizem in narava
poslovanja danes je taka, da se stvari hitro spreminjajo. Podjetja, ljudje
in ideje hitro odhajajo in prihajajo in se odzivajo na globalne in strateške
poslovne tokove. Mogoče bi bil Hermes Softlab danes uspešneǰsi, če ne bi
leta 2000 prǐslo do relativno močnega borznega zloma prav v IT sektorju, po
katerem so se bančni lastniki obnašali precej drugače, kot bi se podjetniki z
lastnim denarjem.
In je pri²lo do disperzije lastni²tva . . .
Ja in po mojem mnenju se je takrat začelo preveč konzervativno upravljanje,
ki se na področju IT ni obneslo.
Ste prvotni lastniki in ustanovitelji podjetja lastni²ko in poslovno v Hermes
Softlabu ²e kaj prisotni?
Jaz sem podjetje zapustil leta 2000, ker sem imel druge načrte in ideje.
Nekateri drugi so ostali. Smo pa vsi prvotni lastniki dokončno odšli iz
5Nomura koropracija in banka je ena večjih industrijskih in finančnih družb na Japon-
skem in v svetu. Ustanovljena leta 1919 je prerasla v veliko investicijsko banko, ki deluje
v vseh večjih finančnih centrih sveta.
26 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 27 — #8 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
podjetja leta 2008, ko je regijski strateški investitor kupil podjetje, se pravi
vse delnice.
Po Hermesu si direktoroval v raznih podjetjih?
Po Hermesu sem najprej delal v hčerinskem podjetju Hermesa. Šlo je za po-
skuse, da bi se Hermes povezal s konzultantskimi hǐsami. V igri je bila neka
švicarska konzultantska firma, ki pa jo je pozneje kupil Deloitte & Touche6.
Za Hermes je zato posel postal nezanimiv in s kolegi, ki smo delali v tej
skupini, smo se odločili, da podjetje, ki ga je Hermes želel prodati, kupimo
in nadaljujemo z razvojem konzultantsko-svetovalne firme, ki bi podjetjem
pomagala na področju IT. Nastalo je podjetje Bi-solutions. Zaradi majh-
nosti slovenskega trga smo se po obsegu zelo omejili in se posvetili manj
tehnološki in bolj poslovni plati poslovanja. Vse bolj pa me je zanimalo
delo v upravah podjetij, kjer delo ni samo ”abstraktno svetovanje“, ampak
ima človek tudi pooblastila in direktne odgovornosti. Tako me je pozneje
pot vodila do formalnih funkcij direktorja ali finančnega direktorja v podje-
tjih, ki so se tako ali drugače znašla v kočljivem stanju. Naj ob tem omenim,
da se mi je vedno zdela združena funkcija direktorja in finančnega direktorja
v podjetjih malce ”incestna“, saj gre za dve v marsičem nasprotni funkciji.
Upravni direktor mora biti vizionar in strateg, finančni direktor pa mu drži
zrcalo realnosti. Pogosto v poslih prav strah pred odločitvami, ki niso lahke,
pripelje podjetje v brezupno situacijo stečaja. Posredi so lahko tudi drugi,
pogosto skriti interesi. V poslih je treba biti matematično racionalen. Pod-
jetje se rodi, živi in umre – to je normalen proces. Le zakaj bi umrlo danes,
če lahko umre šele jutri . . .
Ali po rojstvu £esa novega . . .
Da, ali po rojstvu česa novega, kar je realno. Mnoga podjetja dosežejo neko
stanje, v katerem taka, kot so, ne morejo več preživeti. Lahko se pa iz njih
razvijejo nova in pogosto s tem podjetje dopolni svoje poslanstvo in potem
lahko umre.
Bil si celo direktor podjetja Bori, ki se je ukvarjalo s kmetijsko mehanizacijo?
To je bilo eno izmed podjetij, ki sem ga pomagal rešiti. Njihov osnovni adut
je bilo varilstvo. To je na videz zelo preprosta zadeva. Tehta in meri se ”var-
jene materiale“ in cene za to delo so znane povsod po svetu. V podjetju Bori
6Deloitte & Touche, ali le Deloitte, ustanovljena leta 1845, je ena največjih svetovnih
svetovalnih firm, ki po vsem svetu zaposluje več kot 150 000 ljudi in ima letni prihodek
skoraj 30 miljard dolarjev.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 27
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 28 — #9 i
i
i
i
i
i
Intervju
so imeli tehnologijo varjenja dobro razvito. Preprosto povedano: računal-
nǐske načrte za varjenje so tako prilagodili, da so korigirali termične vplive
varjenja in je bil ”output“ in ne ”input“ točno po načrtu. Osnovne načrte
so točno in premǐsljeno ”pokvarili“ ravno toliko, kolikor so iz lastnih teh-
noloških izkušenj vedeli, da jih bodo termične spremembe varjenja ukrivile.
Šlo je predvsem za varnostne kabine traktorjev in težkih terenskih delovnih
strojev, ki so zaradi tako premǐsljenega dela šele po ohladitvi po konča-
nem varjenju natančno ustrezale načrtom. S tako preprosto inovativnostjo
in tehnično spretnostjo jim je uspelo dosegati bolǰse rezultate končnega iz-
delka kot marsikateremu tehnološko zelo izpopolnjenemu in robotiziranemu
konkurenčnemu obratu. Pogosto v podjetjih opazǐs, kako pomembna je
iznajdljivost in široko razumevanje celotnega procesa. Pravzaprav gre za
nekakšno sposobnost sistemskega, jaz mu rečem kar matematičnega razmi-
šljanja.
Bil si med kandidati za direktorja Univerzitetnega klini£nega centra, pa
direktor Sš. Gre vendar za tako razli£na podro£ja; je upravljanje kljub
vsemu zelo podobno ne glede na veliko razli£nost dejavnosti?
Pri vodenju podjetja je, neodvisno od področja, treba biti skromen oziroma
spoštljiv do področja dela. Namreč, ko prideš do konkretnih problemov
področja, neodvisno za katero gre, je vedno najbolǰsi tisti, ki se s tem pro-
fesionalno že dolgo ukvarja. Morebitna menedžerska nadutost se zagotovo
ne obnese. Je pa pri vodenju podjetja in pri delu z ljudmi mnogo generič-
nih, večnih resnic in pravil. Psihologija in sociologija dela z ljudmi se malo
spreminjata in sta enaki, kot lahko vidimo v že zelo starih knjigah. Saj gre
za nekakšen zgodovinski razvoj, a ”bistvena nit“ ostaja ista. Metodologija
in sistem dela z ljudmi sta od praveka enaka. Dobro vodenje pomeni zmo-
žnost povezati pravi tim specialistov in generalistov v podjetju v sistemsko
skladno delujočo celoto. Pogosto se uspešna pot poslovneža ali podjetja ne
začne pri velikih projektih, ampak čisto na začetku pri neki poslovni ideji
ali inovaciji, okrog katere se zberejo ljudje s primernimi dopolnjujočimi se
specialističnimi in generalističnimi pogledi. Od ideje do tržne uspešnosti je
seveda dolga pot. Danes lahko vsakdo, tako potrošnik kot poslovnež, izbira
med mnogo dobrimi izdelki, in zakaj bi izbral ravno tvojega? Zato samo
ideja ali dober izdelek nista dovolj. Tu postanejo najpomembneǰsa gene-
rična pravila, ki so precej neodvisna od specifičnosti dela v nekem podjetju
in so vezana na splošna načela poslovanja in upravljanja.
Pred tvojim direktorovanjem v Sš in po njem se je zamenjalo ºe nekaj di-
28 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 29 — #10 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
rektorjev. Tvoj naslednik je bil po osnovni izobrazbi zik, Matic Tasi£. Tudi
on je medtem ºe odstopil. V upravljanju podjetja, kot so Slovenske ºele-
znice, bi ²e posebej morala prevladovati dolgoro£na vizija in ne kratkoro£ni
(politi£ni) interesi . . .
Žal so pri teh zadevah pomembneǰse menjave slovenske vlade kot pa dol-
goročni interesi ali nacionalne vizije. Upravljanje takega podjetja, ki je v
lasti državljanov Republike Slovenije, je zaradi mnogih razlogov in interesov
težko. Globalno gledano bi z dobrim dolgoročnim poslovanjem SŽ zagotovo
lahko izkoristili svojo strateško geografsko lego in hkrati ohranili razmeroma
neokrnjeno naravo, veliko gozdov in pitne vode. Na teh premisah bi se v
moderni Evropi zagotovo dalo zgraditi moderno in uspešno logistično struk-
turo, v kateri bi železnica imela ključno vlogo. Da se izrazim v paraboli in s
simboliko znanih mitov, da bi lahko kot Martin Krpan tovorili sol in ne ka-
menja. A za to ne bi potrebovali več premisleka, premisleki so bili že večkrat
narejeni, potrebovali bi resne in odgovorne odločitve ter strokovno ekipo, ki
bi to lahko speljala, ne ozirajoč se na razmeroma kratke cikle vedno novih
političnih vlad. Vlade se zamenjujejo vsake štiri leta, medtem ko železnǐski
sistem potrebuje razvoj in vlaganja, ki jih ni mogoče celovito izpeljati prej
kot v desetih ali dvajsetih letih. V Švici so se na primer lastniki železnic, to
je državljani, na referendumu odločili, kaj od železnic hočejo in pričakujejo.
Postavili so pravno, kadrovsko in finančno strukturo, ki je to lahko izpeljala.
Pa tudi tam imajo težave. Švicarski tovorni železnǐski promet je zabredel v
četrt milijardne izgube. Naše menjave vodstva SŽ na vsake pol leta, milo
rečeno, niso produktivne.
Neproduktivne? Neresne?
Najbrž so povsem neresne. A po svoje so razumljive. Na državnem nivoju
sploh nimamo jasne strateške odločitve, kaj hočemo. Taka ključna nacio-
nalna strategija bi morala biti sprejeta v parlamentu, če ne celo potrjena na
referendumu.
Kdaj bo Slovenija imela vlake, ki bodo vozili s hitrostjo 300 km/h?
Narejeni so osnovni načrti, po katerih bi vlaki vozili s hitrostjo 160 km/h,
in to bi bilo dovolj za rešitev vseh ključnih problemov, ki se nanašajo na
hitrost. Danes je povprečna hitrost tovornega prometa 25 km/h, potnǐskega
pa 50 km/h. Dvotirni pretočni promet z vso potrebno moderno opremo, ki
omogoča večjo frekvenco vlakov, kot jo imamo danes, bi pri hitrostih 160
km/h povsem zadoščal. A to so strateška vprašanja. Tak železnǐski promet
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 29
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 30 — #11 i
i
i
i
i
i
Intervju
bi omogočal veliko večji prevoz tovora na račun ceste. Cestni lobi je pa zelo
močan. Če je na celotni železnici zaposlenih 10 000 ljudi, jih je samo v ka-
mionskem prometu zaposlenih več kot 60 000 (imamo 60 000 tovornjakov).
Celovit državni razvoj bi zahteval tudi ekološko obnašanje in preusmeritev
tovornega prometa na železnico. Obenem je z železnico in s frekventnimi
vožnjami vlakov mogoče ustvariti drugačen, bolj ekološki način življenja, ko
ljudje lahko živijo na bližnjem podeželju in se z vlakom vsak dan vozijo v
službo. A vse to bi zahtevalo strateško načrtovanje in dolgoročne gospo-
darske načrte. Tako pa se, poleg zelo neekološkega obnašanja, drenjamo in
pobijamo po cestah. Tudi če bi s hitrostjo 160 km/h prǐsli do Dunaja ali
Benetk, od koder bo kmalu mogoče potovati s hitrostjo 300 km/h, bi bilo
to povsem v skladu z modernimi železnǐskimi standardi. Ne smemo namreč
pozabiti, da je Slovenija zelo hribovita in da po takem terenu tudi drugod
vlaki ne vozijo s hitrostjo 300 km/h. Vsekakor nas čaka cikel okrog pet-
najstih let, da se bomo vsaj na osnovnem nacionalnem križu vozili s času
primernimi hitrostmi in standardom. Problem bo tudi izgradnja ljubljanske
železnǐske obvoznice za tovorni promet.
Kot si omenil, do²tudiral si MBA7 na Poslovni ²oli Brdo?
Takrat sem razmǐsljal, kako bi nadaljeval poslovni študij. Razmǐsljal sem o
možnostih na Ekonomski fakulteti, pa tam zame ni bilo primernih možno-
sti. Glede na moje poslovne izkušnje pri Hermesu in načrte pri Softlabu
je bil študij MBA ob delu zame najprimerneǰsi. Študij mi je dal angleško
izrazoslovje in tista znanja, ki sem jih potreboval. Seveda bi bilo za moje
potrebe krasno, če bi bil lahko že med študijem matematike pridobil nekaj
teh mejnih znanj, ki se bolj vežejo na ekonomijo.
Danes imamo na Fakulteti za matematiko in ziko zelo popularen ²tudij
nan£ne matematike.
To je vsekakor dober razvoj. Vsi resni ekonomisti, s katerimi sem kdaj go-
voril po svetu, pravijo, da danes resen študij ekonomije brez zelo temeljitega
znanja matematike ni mogoč. Sam menim, da nekaj osnovnega vedenja o po-
slovanju dandanes potrebuje vsak človek, tako tudi raziskovalni matematik
ali učitelj. Zato res ne bi bilo napak, če bi nekaj osnov poslovanja, ekono-
mije in organizacije dela spoznal vsak študent, še posebej tako celovitega in
resnega študija, kot je študij matematike.
7MBA iz angleščine Master of Business Administration
30 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 31 — #12 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
Sta ti ²tudij in diploma MBA pomenila vir novih poslovnih znanj ali pred-
vsem vstopnico v poslovni svet?
Meni je takrat zagotovo primanjkovalo poslovnih znanj, ustrezne terminolo-
gije in tudi teoretičnega poznavanja poslovnih zakonitosti. Tu gre za termi-
nologijo tudi v vsebinskem pomenu. Podobno kot v matematiki, ko najprej
postavimo natančno izrazoslovje, definicije in izreke, da točno vemo, o čem
sploh govorimo, je tudi v poslih ustrezna terminologija šele dober začetek.
Ti temelji so ključni za začetek jasnega komuniciranja na vsakem področju,
ne samo v poslovanju. Seveda se šele v nadaljevanju pokaže, kdo poleg ter-
minologije razume in obvlada tudi vsebino. Sicer pa diploma MBA formalno
nikakor ni bila vstopnica nikamor. Nikoli me ni nihče pogojujoče vprašal,
kaj sem študiral, v poslih je pomembno, kaj znaš pokazati. Vselej pa se je
poslovnim ljudem zdelo zanimivo, da sem se šolal kot matematik. Sicer se
pa nikoli v poslih nisem skliceval na svoje diplome, niti nisem uporabljal
svojih nazivov, ne spredaj ne zadaj (nasmeh).
Kako bi komentiral mnenja, da je stil ameri²kega MBA poslovneºa kriv za
dana²njo nan£no in gospodarsko krizo?
Seveda ima vsakdo pravico imeti svoje mnenje. Moje mnenje je, da so taki
pogledi na vzroke krize zelo poenostavljeni in brez argumentov. Vzroki za
krizo in prerazporejanje bogastva so tektonski premiki v trendih svetovnega
gospodarstva. Če na razvoj pogledamo časovno in geografsko globalno, brez
dvoma ugotovimo, da je bil na svetu narejen napredek, kar se tiče kvalitete
življenja (ne le preživetja). Čeprav je nepravičnosti še veliko, se (globalno
gledano) socialne razlike manǰsajo. Tudi na vseh drugih za življenje ljudi
pomembnih področjih, kot so prehrana, izobraževanje, zdravstvena nega,
delovne razmere, . . . se stvari izbolǰsujejo. Seveda pa prihaja do kriz in
občasnih težav, kot je trenutna kriza, a to je narava človeškega razvoja. Ne
more iti vedno le na bolje, in to za vsakega izmed nas in ves čas. Verje-
tno nas marsikaj nepredvidenega, predvsem na Zahodu, še čaka. Zakaj bi
namreč vsaka slovenska družina imela lepo hǐso, skoraj vsak Slovenec udo-
ben avto, za Kitajce pa naj to ne bi veljalo? Pri hrani so razlike še večje.
V Sloveniji in na Zahodu iz supermarketov vozimo polne vozičke hrane in
najrazličneǰsih izmǐsljotin potrošnǐske družbe, medtem ko marsikje v Afriki
nimajo niti najosnovneǰsega. Tu nas, če se ne bomo znali globalno kot
družba obnašati bolj racionalno, čakajo še mnogi pretresi. Ali so za to krivi
(amerǐski) MBA-jevci? Ne vem, nekateri izmed njih zagotovo nosijo krivdo
za posamezne napačne odločitve. Najbrž predvsem tisti, ki so v pohlepu
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 31
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 32 — #13 i
i
i
i
i
i
Intervju
prestopili rubikon8 legalnih in moralnih norm.
Med ljudmi se postavlja prav to vpra²anje meje med odgovornostjo in etiko
v poslovanju, kjer se zdi vse mogo£e in dopustno, kjer je kljub tiso£em
predpisom vselej tudi prostor za bolj ali manj o£itne prevare, ki so pogosto
po £rki zakona legitimne, po etiki pa primitivne, brezobzirne in zgrajene le
na pohlepu po denarju.
Seveda, med ljudmi na vseh področjih so vselej bili, so in tudi bodo preva-
ranti. Bistvo MBA šol so ”case studies“; teorija predstavlja le kakih 15%
študija, vse drugo je obravnava konkretnih primerov v skupinah, kjer se
študenti učijo spoznavati kompleksnost ne samo problemov, ampak tudi
usklajevanja, pogajanja in doseganja soglasij v skupinah. Nekateri so ali
jih pač splet okolǐsčin oblikuje v agresivce, če že ne morilce. Taki ”morijo“
že v študijskih skupinah in najbrž tudi pozneje v poslovnem ali siceršnjem
življenju. A tu je ključna vloga države s pravom in zakonodajo. Zakoni in
sankcioniranje države bi morali slediti splošnim moralnim normam. Država
bi morala družbo regulirati tako, da bi obenem omogočala ekonomski na-
predek in hkrati zagotavljala pravičnost in enake možnosti za vse. Enake
možnosti za vse je seveda politična floskula, ki lahko pomeni kvečjemu enake
možnosti v startu. Te enake možnosti potem ljudje glede na svoje sposobno-
sti seveda različno izkoristijo. Pravni sistem ne bi smel biti nič drugega kot
dogovor med ljudmi, kaj je prav in kaj ne. In tu je država s svojim forma-
liziranim pravnim sistemom v mnogočem popolnoma odpovedala. Človeška
narava je taka, da gredo mnogi do roba in tudi čez. Vloga regulative je, da
te ljudi opozori, da so se robu približali in da jim ne pusti, da ga prestopijo.
Na bolj²ih MBA ²olah imajo tudi poslovno etiko in bodo£e poslovneºe ne
u£ijo samo, kako neopazno priti do roba in £ez, ampak tudi, kaj je v poslo-
8Rubikon, reka v starem Rimu, ki jo je bilo po rimskem pravu prepovedano prečkati
rimskim vojskovodjem in njihovi vojski (ob povratkih z osvajanj). Zakon naj bi ščitil
Rimsko republiko pred vojaškim udarom. Reko je leta 49 pred Kristusom prečkal Julij
Cezar s svojo vojsko in s tem začel upor in državljansko vojno pred svojim pohodom
na oblast. Po tem dogodku se je v svetovnih jezikih ohranil pomen
”
prečkati Rubikon“
kot prestopiti mejo, od koder ni več povratka. Danes, zaradi sprememb tokov rek v tem
delu, ni povsem jasno, za katero reko je šlo. Rubicone naj bi bila komaj 30 km dolga
reka od Apeninov do Jadranskega morja, in sicer v južnem delu dežele Emilia-Romagna,
z izlivom med mestoma Ravena in Rimini. Na istem področju danes tečeta majhni reki
Uso in Fiumicino. Slednja se v zgornjem delu razdeli v Pisatello, Rugone in Plusa (ali
Fiumicino). Izliva rek Uso in Fiumicino sta le nekaj kilometrov narazen in ulice na gosto
poseljenih obrežjih ob obeh vodotokih nosijo ime Via Rubicone. Nekoliko v notranjost ob
vodotoku Fiumicino je tudi manǰse mesto z imenom Savignano sul Rubicone.
32 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 33 — #14 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
vanju eti£no sprejemljivo in kaj ne . . .
Zagotovo, na MBA šolah nikjer ne učijo nelegalnega obnašanja. Uči se
predvsem to, kako narediti največ, kar je možno glede na legalne okvire.
Da, ampak vsega ni mogo£e zregulirati. Vedno obstaja ²e £love²ka odgovor-
nost in odlo£itev. Morala.
Ja, zato res na mnogih šolah učijo tudi poslovno etiko. A tu se ne more
zanikati tudi pomena širšega okolja, to je odnosov in etike v družbenem in
še posebej v družinskem okolju, kjer je nekdo odraščal. Kako se oblikuje
etično obnašanje posameznikov, je odvisno od kompleksnega spleta okoli-
ščin, od družine in osnovnega izobraževanja do vrednot družbe. Seveda je
vprašanje, koliko je v procesu celotne vzgoje uspelo v človeku vzbuditi čut
in svetopisemsko odgovornost, da nikar ne počni drugim tistega, kar ne bi
rad, da počnejo drugi tebi.
Kako komentira² zahodnja²ko doktrino razvoja, ki govori o 23 odstotni
gospodarski rasti kot o idealni stopnji rasti. Je razumno in odgovorno idealni
dolgoro£ni napredek denirati kot eksponentno funkcijo?
To so temeljne filozofske in civilizacijske debate. Gotovo na Zemlji živimo
z določenimi zgornjimi mejami: koliko hrane lahko pridelamo, koliko ljudi
lahko preživimo. Mogoče pa je, da so te meje dejansko drugačne, kot se nam
zdi. Kdaj bo na primer zmanjkalo nafte, čez 10, 50 ali 100 let, je najbrž
nemogoče napovedati. A energije, če bi jo znali uporabljati, je veliko. Na-
vsezadnje, sredǐsče Zemlje je vroče in polno energije, Sonce je v primerjavi
z nafto na Zemlji skoraj neskončen vir energije. Tudi razmǐsljanja, kako ta
rast na dolgi rok ne more zdržati, so vprašljiva, saj glede na inflacijo in sicer-
šnje ekonomske procese ni povsem jasno, kaj v smislu nekega dolgoročnega
razvoja dejansko pomenijo. Pomembneǰsi od same stopnje rasti je dejanski
razvoj, ali preprosto vprašanje, kaj je danes bolje, kot je bilo včeraj, in kam
svet dejansko gre.
Ali nas moderni potro²ni²ki razvoj ne sili prav v to, da vedno ve£ tro²imo,
ne da bi se ob tem imeli bolje . . . Na Kitajskem menda ºe dolgo ni ve£
lakote, a po nekaterih podatkih na prebivalca porabijo tudi do ²tirikrat
manj hrane kot na Zahodu. Ali bolj natan£no, na Zahodu v primerjavi s
Kitajci zavrºemo tri £etrtine hrane. ƒe od hrane preidemo na najrazli£nej²i
potro²ni²ki ki£, naj bi na Zahodu tega proizvedli in niti ne porabili  saj ga
je porabiti nemogo£e  ampak ga le £ez £as zavrºemo, deset do stokrat ve£
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 33
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 34 — #15 i
i
i
i
i
i
Intervju
kot v revnej²ih deºelah. Razvoj gre v smer, da bi vseh ²est milijard ljudi
porabljalo enako, kot po£nemo zahodnjaki. Lahko to Zemlja zdrºi?
Obstajajo meje. Kako se bo ves sistem samo – reguliral, da bo ostal znotraj
možnega, nihče ne ve. Upajmo, da bomo zmogli nekako ”zvezno razviti
modrost in odgovornost“, da bi lahko odpravljali družbene probleme, sicer
bo pač prǐslo do ”singularnosti“. Upam, da bomo zmogli toliko pameti, da se
bomo znali tudi odreči stvarem, ki dejansko nič ne pomenijo. Ko pride pravi
čas, ne bo nič lažjega, kot se odreči kupovanju stvari, ki niso nič vredne ali
so nam celo v breme. Saj pogosto kar nekaj kupujemo le zato, ker lahko, in
sploh ne vemo, zakaj . . .
Verjame² torej, da se bomo zahodnjaki pripravljeni odre£i privilegijem po-
tro²ni²tva tudi brez huj²ih pretresov?
Mislim, da je del te pripravljenosti vedno bil in da ga je čutiti tudi sedaj.
Banalno konzumiranje je kljub vsemu vedno manj samo na sebi vrednota.
So obdobja, ko je v nekaterih predelih nujno imeti nekatere stvari, a minejo.
V Ameriki so bila obdobja, ko je bilo nujno imeti konja in pǐstolo. Konj že
ni več nuja, upajmo, da tudi pǐstola kmalu ne bo več. Čez nekaj časa ljudje
ugotovijo, da jim je en televizor povsem dovolj, čez čas pa mogoče celo, da
jim je še ta odveč.
Ima² otroke?
Hči bo imela 18 let. Rojstni dan bosta praznovali skupaj z našo mačko, ki
bo imela 20 let. Z ženo se poznava še iz gimnazijskih let. Je uspešna in
priznana kirurginja . . . ja, imam prijetno in urejeno družino.
Kako bi kot poslovneº uredil ²ole, da bi se na²i otroci v njih dobro po£utili
in se obenem v njih primerno pripravili na ºivljenje?
Zase vem, da sem v življenju šel skozi obdobja, ko sem si želel, da bi bil
lahko hodil v drugačne šole. Ob odraščanju hčere sem na šolanje seveda
pogledal še drugače. Če pod vsemi svojimi pogledi na šolanje potegnem
črto, mislim, da bi formalno šolanje v začetku človekovega življenja moralo
dati predvsem uravnotežen pogled na najbolj temeljne stvari. Tega seveda
mlad človek ne more razumeti ali ceniti. Poleg tega naj bi šola mlademu
človeku dala tudi nekaj osnovnih pragmatičnih veščin, ki pozneje laǰsajo
vsakdanje samostojno življenje. Kakšno je pravo razmerje fundamentalnih
razmislekov o življenju in pragmatizma, ne vem. Najbrž je tudi pri vsakem
človeku nekoliko drugače. A v pravem odnosu med tema dvema poloma je
zmagovita formula, ki naj bi človeku pomagala k uspehu. Šolski sistem, ki
34 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 35 — #16 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
ljudi nauči primerno misliti in ustrezno ukrepati, je dober. Če pomislim na
šole, skozi katere sem šel sam, menim, da so bile zelo dobre. Ne pravim, da
danes ni tako. Ne vem. Iz tega, kar sem videl pri hčeri, lahko sklepam, da
so tudi danes naše šole povsem solidne. Tudi uspešnost Slovencev doma in
po svetu potrjuje, da nimamo slabega šolskega sistema.
Je otrokom, kot je tvoja h£i, ki odra²£ajo v druºinah zelo uspe²nih star²ev,
pozneje v ºivljenju teºko? Po eni strani imajo solidno startno pozicijo, po
drugi strani pa je verjetnost, da bi se taki otroci s svojim delom in sposob-
nostmi ponovno prebili med elito najuspe²nej²ih, majhna. Ni pri£akovanje,
da bi se uvrstili med elito, kar so dosegli star²i, za take otroke frustracija?
Na splošno najbrž to drži. Sam se te nevarnosti ne bojim. S soprogo Karin
sva v življenju nedvomno bila uspešna, tako da sva svoji hčeri dala tudi
solidno in varno okolje v otroških letih, da bo lahko pozneje v življenju
z marljivim delom dosegla tisto, kar bo želela. Ne verjemem, da sva z
ženo prǐsla v tako ozek krog uspešnih, da bi bil podoben uspeh za hčerko
nemogoč. Bolj bistveno je, da dobi otrok temeljne vrednote in varnost. Prej
sva govorila o krizi in o Ameriki, kjer je do krize najprej prǐslo. Mislim, da
ima Amerika zelo zdrav odnos do dedovanja. Tam imajo namreč zelo visoke
davščine na dedovanje. Veliko vǐsje kot v Evropi. Mislim, da celo več kot
50 odstotkov. Otroci na primer tako bogatih ljudi, kot je Bill Gates, niti
ne morejo podedovati tako velikega premoženja, saj morajo davke plačati v
denarju, medtem ko dedujejo delnice. Če bi pri tako velikih zneskih dedič
začel prodajati delnice, da bi poplačal davke, bi le-tem vrednost tako padla,
da bi bankrotiral. Nekje sem bral, da taki bogataši od vseh silnih milijard
dolarjev vrednega premoženja ponavadi otrokom zapustijo le nekaj deset
milijonov za dober start. In to je to.
No, nekaj deset milijonov dolarjev je ºe zajetna vsota in gotovo se da boga-
stvo ºe prej transformirati tako, kot ºeli lastnik!?
To je res, a ponavadi tako bogati ljudje upravljajo z denarjem prek skladov
in seveda je koristnik ugodnosti lahko tudi otrok. Zanimivo pa je, da ko
so želeli v ZDA visok davek na dedovanje zmanǰsati, da bi bil primerljiv
z evropskim, so najbolj nasprotovali največji bogataši na čelu z Warrenom
Buffettom9 , ki je osebno lobiral v senatu, da so ohranili visoko stopnjo
obdavčenja dedǐsčine.
9Warren Edward Buffet, leta 1930 rojen vpliven amerǐski poslovnež, je eden najbo-
gateǰsih zemljanov in med največjimi darovalci različnim dobrodelnim organizacijam. V
letu 2008 je bilo njegovo bogastvo ocenjeno na več kot 60 milijard dolarjev.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 35
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 36 — #17 i
i
i
i
i
i
Intervju
S kak²nim motivom?
Američani so drugačni od Evropejcev. Oni uživajo, da so uspešni, da delajo
denar. Ni pa denar končni cilj. Ko ga ustvarijo, ga veliko bolj radodarno
kot Evropejci vračajo v skupnost v obliki donacij. Imajo podjetja, ki se
ukvarjajo z donacijami, prek katerih seveda širijo svoj vpliv, a je obenem
etika politike donacij zelo dodelana in pri vsej stvari temeljna.
Kako pomembne so v poslovni uspe²nosti sposobnost, trdo delo, ambicije,
socialne spretnosti, sre£a?
Mogoče sva še kaj izpustila, a to so ključne vrednote pri vsakem in seveda
tudi pri poslovnem delu. Pri poslovodenju je mogoče še posebej pomemben
občutek za medčloveške odnose, saj ne gre drugače, kot da ljudi vodǐs, da
ti zaupajo, da jih znaš prepričati in pridobiti.
Kaj po£ne² v prostem £asu? Ga kaj ostane?
Predvsem v vmesnih obdobjih, med različnimi projekti je nekoliko več časa.
Takrat rad smučam, kolesarim z gorskim kolesom, igram tenis, jadram . . .
V huǰsih časih, ko je veliko dela ali ko se kot poslovnež znajdeš s podjetjem v
težki situaciji, takrat je od zore do mraka ena sama skrb in delo in tudi noči
so pomešane z blodnjami o nujnih odločitvah. Takrat se za šport namesto
stereotipnega golfa poslovnežev (nasmeh) ponoči zbujaš moker od skrbi, kje
boš zbral denar za naslednjo plačo zaposlenih.
Kdaj kaj prebere²?
Rad posežem po starih klasikih, kot je že omenjeni Sun Tzu. Zgodovina
se namreč ponavlja. Sprotne novice spremljam selektivno, ker so le redke
pomembne. Bistveni zgodovinski procesi se dogajajo počasi in človeštvo se
le počasi spreminja na bolje. Ko sem prost, rad berem, da zaposlim mo-
žgane. Rad berem tudi pol-strokovno literaturo. The Economist10 ponavadi
preberem vsak teden. Leposlovje berem v bolj sproščujočih časih, kot so po-
čitnice. Rad posežem po literaturi, ki ima bolj filozofsko noto ali prikazuje
kak nov pogled na svetovno dogajanje.
Pred 25 leti sva skupaj gulila ²tudentske ²olske klopi. Jaz jih po svoje, pre-
novljene, ²e vedno. Vsakdo se nekam uvrsti na socialno lestvico in ponavadi
gleda navzgor z zavistjo. ƒe jaz razmi²ljam o svoji karieri, me marsikdo
10The Economist je londonski tednik, ki izhaja od leta 1843. Je eden najbolj vplivnih
svetovnih časopisov za mednarodno politiko in ekonomijo, ki izhaja v preko 1,3 milijona
izvodih.
36 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 37 — #18 i
i
i
i
i
i
Tomaž Schara
zagotovo vidi kot uspe²nega. Sem u£itelj na ugledni fakulteti ljubljanske
univerze, rad imam svoj poklic, pa so vseeno trenutki, ko bi bil rad kdo
drug in kje drugje. Splo²no socialno gledano si ti ²e veliko uspe²nej²i od
mene. Moja in tvoja poklicna pot sta precej razli£ni. Zase dobro vem, kaj
imam in £esa ima² ti ve£. Si ti tudi poklicno ºeli² biti kdo drug in vsaj v£asih
kje drugje? ƒesa si ºeli²? Ti v poklicu £esa primanjkuje?
Nedvomno so v poklicu vsakogar trenutki, ko je težko. Z leti se na težke
stvari navadǐs, ker se ti ne dogajajo več prvič in niso videti več tako grozne.
Veš tudi, da za dežjem posije sonce in da se v gospodarstvu cikli menjujejo.
Veš, kaj je treba storiti in kam usmeriti svoje sile, da bi lahko pričakoval
izbolǰsanje. Želim si zanimivih projektov, kjer bom lahko produktivno in
uspešno delal. Gotovo se bodo z leti moje vloge spreminjale. Glede bolj
zasebnih oziroma človeških želja mislim, da sem se leta 2000 pravilno odlo-
čil, ko sem se zavestno odrekel pretiranim službenim potovanjem. Zato sem
tudi zapustil Softlab. Želel sem biti bolj navzoč pri odraščanju hčere. To
so bila za našo družino ključna leta v osebnem in poklicnem smislu. Človek
mora pač vedeti, kaj si poklicno in tudi intimno želi in oboje smiselno zdru-
žiti. Čisto vsega pač ne moreš imeti. To, da se moraš kot drugi drenjati v
običajnem avionu za ”business“ ali celo za ”economy class“, medtem ko se
”najpomembneǰsi poslovneži“ vozijo z osebnimi poslovnimi letali (nasmeh),
je pač nekaj, kar se naučǐs sprejeti. Seveda si po kakih napornih srečanjih,
ko so ”najpomembnješi poslovneži“ doma že po nekaj urah, ti pa še pol
dneva čakaš in se presedaš na Dunaju, preden prideš domov, želǐs, da bi bil
v njihovi vlogi. To so pač male človeške zavisti, ki so v bistvu zelo podobne,
kjerkoli na socialni lestvici si. Potem se pač moraš odločiti, koliko ti kaj
pomeni. Jaz raje z zavistjo gledam mladeniče, ki se z gorskim kolesom s
polno hitrostjo spustijo čez korenine . . . , sem pa tudi zadovoljen, ko grem
po isti poti počasi in previdno za njimi . . . in se mi zdi že to uspeh. Ali
dobra smučarija. Ni treba iti ravno v Kanado na ”heliski“
11 . . . , pred leti
je bila krasna in dovolj drzna smuka po celem snegu že na Starem vrhu.
Smučanje po celem snegu je namreč moja strast.
Kaj so glavni izzivi v poklicu poslovneºa?
Glede na smeri razvoja gospodarstva in potrošnǐstva postaja nujno, da zna
prodajalec česarkoli svoj produkt ali storitev oblikovati in ponuditi tako, da
11Heliski, ali heli-ski, zvrst prostega smučanja po neutrjenih snežnih in ledenǐskih te-
renih, ponavadi z visokih gora, kamor smučarja dvigne helikopter. Kanada je znana po
svojih heli-ski smučinah.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 37
i
i
“Schara” — 2010/5/10 — 16:34 — page 38 — #19 i
i
i
i
i
i
Intervju
jo kupec prepozna kot nekaj, kar potrebuje, kar rešuje njegov problem, in jo
je zato pripravljen naročiti in plačati. Zaradi konkurence je to še težje, saj
moraš to storiti bolje od drugih. In v tem osnovnem principu poslovanja,
ponudbe in prodaje so vse branže na istem, pa naj gre za prevoz tovora
ali za matematično znanje, ki ga želimo v obliki neke aplikativne uporabe
ponuditi v uporabo, ali celo, zadeva najbrž ni dosti drugačna, če želimo
matematično znanje ”prodati“ v obliki vrhunskega znanstvenega članka. In
karkoli izmed tega počnemo, gre vse bolj za sodelovanje, kjer je zelo po-
membno delo organizirati tako, da smo uspešni kot celota. Pri tem je enako
pomembna kvaliteta izdelave produkta kot njegovo plasiranje na trg. Če ti
kupca ne uspe prepričati, da je tvoj izdelek zares bolǰsi od konkurenčnega,
ti kvaliteta prav nič ne pomaga. V tem smislu je poslovanje podobno dvema
najstareǰsima ”biznisoma“: vojskovanju in (nasmeh) . . . da niti ne imenujem
drugega . . .
Je, kot si vljudno zamol£al, bistvo (modernega) uspe²nega biznisa res po-
dobno na£elom najstarej²ih £love²kih obrti, vojskovanja in  ugibam  pro-
stitucije? Lahko, £etudi z zamol£animi besedami, razloºi²?
Ja, vojskovanje temelji na motivaciji in strahu . . . strategiji in taktiki, kako
ljudi usmeriti, da bodo vsi stremeli v isto smer in se zavzeto žrtvovali za
dosego postavljenih ciljev. To so tudi načela uspešne proizvodnje oziroma
ustvarjanja produktov, neodvisno od dejavnosti, pa naj gre za proizvodnjo
avtomobilov ali za delo v šoli. Potem pa je treba produkt prodati. To
je marketing, katerega najbolj grobo bistvo je podobno kot pri (nasmeh)
prostituciji, to je, da skušamo kupca prepričati, da dobro plača naš produkt
kot dragocen in težko dostopen, čeprav ga je mogoče (tudi zastonj) dobiti
na vsakem koraku (nasmeh) . . .
Naj bi podobno prodajali tudi matematiko?
Ja, škoda, da ne znamo ali da matematiki ne znate matematike bolje pro-
dajati. Mogoče bi tedaj pogosteje vedeli, o čem sploh govorimo. Hudo je,
ko lahko velja ”JA“ in ”NE“ hkrati in to ljudi niti ne moti. Fino bi bilo,
če bi matematiki znali tudi drugim ali vsaj tistim, ki so za družbeni ra-
zvoj najodgovorneǰsi, prodati in jih prepričati o vrednosti svojega blaga, to
je v nujnost natančnega, globokega, doslednega, korektnega in prodornega
razmǐsljanja. S tem bi matematiki storili največ koristnega . . .
Tomaº, hvala za pogovor.
Pogovor je pripravil Damjan Kobal
38 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“teorija stevil” — 2010/5/7 — 13:00 — page 39 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Jože Grasselli: ELEMENTARNA TEORIJA ŠTEVIL, Knjižnica
Sigma 87, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana 2009, 168 strani.
Teorija števil je matematično področje,
ki raziskuje lastnosti in odnose v množici ce-
lih števil. Glede na to, kakšne probleme v
teoriji števil matematiki rešujejo in kakšne
prijeme pri tem uporabljajo, jo je po moder-
nem pojmovanju smiselno na grobo razdeliti
na elementarno, analitično, algebraično, ge-
ometrično, kombinatorično, verjetnostno in
računsko teorijo števil. Knjižica prof. Gras-
sellija se ukvarja s prvo, torej z elementarno
teorijo števil. To ni avtorjevo prvo delo s
tako vsebino, že davnega leta 1966 je na-
mreč prav tako v zbirki Sigma izšla njegova
knjižica z naslovom Osnove teorije števil, ki
je v isti zbirki, le nekoliko predelana, izšla še
leta 1975.
Kratkemu uvodu, v katerem so razloženi osnovni pojmi, sledi glavna
vsebina, ki je razdeljena na šest poglavij. V prvem je govor o deljivosti celih
števil, kamor seveda spadajo največji skupni delitelj, Evklidov algoritem,
reševanje enačbe ax + by = c v celih številih, najmanǰsi skupni večkratnik
in praštevila. Drugo poglavje obravnava aritmetične funkcije in njihove la-
stnosti: število in vsota deliteljev celega števila, znamenito Eulerjevo funk-
cijo ϕ(n), funkcijo celi del, Möbiusovo funkcijo in funkcijo π(ξ), ki pove,
koliko je praštevil, ki ne presegajo realnega števila ξ.
Tretje poglavje se ukvarja s kongruenco števil, kongruenčnimi razredi
in sistemi ostankov, pa tudi s Fermatovim, Eulerjevim ter Wilsonovim iz-
rekom. Poglavje se konča z obravnavo reda števila glede na dani modul.
V tem poglavju se lahko med drugim naučimo reševati tekmovalne naloge,
pri katerih je treba najti ostanek pri deljenju kakšnega zelo velikega celega
števila z danim naravnim številom.
Četrto poglavje nas najprej vodi skozi reševanje linearnih kongruenc
in sistemov linearnih kongruenc. Tu srečamo znameniti kitajski izrek o
ostankih. Ne zadržuje pa se le pri linearnih kongruencah, ampak kar obsežno
nadaljuje z vǐsjimi kongruencami in konča pri modulih s primitivnimi koreni
ter indeksih števila za dani primitivni koren po izbranem modulu.
Peto poglavje je v resnici kar zahtevno, prinaša namreč kvadratni re-
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 39
i
i
“teorija stevil” — 2010/5/7 — 13:00 — page 40 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
ciprocitetni zakon. Njegov dokaz poteka elementarno, korak za korakom.
Najprej uvede Legendrov simbol in opǐse njegove lastnosti. Nato navede
in dokaže Gaussovo lemo ter formulira in dokaže kvadratni reciprocitetni
zakon. Poglavje se konča s splošno kvadratno kongruenco.
Zadnje, šesto poglavje se ubada z diofantskimi enačbami. Pri teh ǐsčemo
celoštevilske rešitve algebraičnih enačb, ki imajo celoštevilske koeficiente.
Najprej so na vrsti linearne diofantske enačbe, katerim sledi Lagrangeev
izrek, ki pravi, da je vsako naravno število vsota štirih kvadratov celih števil.
Izvemo tudi, kdaj se da naravno število zapisati kot vsota dveh kvadratov
celih števil. Poglavje na koncu z Legendrovim izrekom odgovarja še na
vprašanje o rešljivosti diofantske enačbe ax2 +by2 +cx2 = 0 in o racionalnih
točkah na stožnicah, katerih enačbe imajo racionalne koeficiente.
Knjižica je napisana v lepem, klenem slovenskem jeziku, je primerno
strukturirana, izreki so oddvojeni in oštevilčeni, opremljena je s številnimi
zgledi, nalogami in opombami. Definicije niso posebej razvidne, ampak
so vtkane kar v besedilo. Prav tako dokazi, za katere pa je popolnoma
evidentno, kje se začnejo in kje končajo.
V dodatku lahko preberemo precej zanimivih zgodovinskih podatkov, ki
povejo, kako se je razvijala teorija števil. Natančneje je opisana Abelova
grupa G(m), ki je izomorfna reduciranemu sistemu ostankov po modulu m,
in na kratko so tudi podane osnovne ideje, kako se elementarna teorija števil
uporablja v kriptografiji. Ne manjkajo niti rešitve nalog, ki so podane sproti,
na koncu poglavij, knjigo pa skleneta seznam literature in stvarno kazalo.
Delo je namenjeno vsem, ki se v teorijo števil šele vpeljujejo, torej tudi
dijakom, saj za razumevanje ni treba posebnega matematičnega predznanja.
Začetnik bo morda včasih moral malo pogledati v kakšen učbenik ali pa se
vrniti za nekaj strani nazaj, da bo potem laže napredoval. V roke pa bodo
knjižico radi vzeli tudi tudi tisti, ki so elementarno teorijo števil nekoč že
obvladali, a so z leti že marsikaj pozabili.
Knjižico lahko naročite pri DMFA–založnǐstvo po članski ceni 11,99 EUR.
Marko Razpet
VESTI
MATEMATIČNE NOVICE
MathJax – nova možnost prikazovanja matematičnih formul na
spletu?
Kot vsi vemo, je prikaz matematike na spletnih straneh pogosto neza-
dovoljiv. Pregled dosedanjih načinov upodabljanja matematičnih formul
40 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1
i
i
“teorija stevil” — 2010/5/7 — 13:00 — page 41 — #3 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
najdemo na [1].
Zdaj imamo novo možnost: MathJax [2]. Poskusna različica tega pro-
grama ima obseg: pol MB samega programa in 13 MB fontov. V HTML
dokumentu lahko, kot pravi navodilo, uporabimo podmnožico LATEXovih
ukazov. V večini brskalnikov naj bi se formule lepo vključile v besedilo.
Rezultat je mogoče povečevati. Na poskusni strani sem z ukazom Ctrl+
dejansko dobil brezhibne povečave pri nekaterih vrednostih, pri določenih
vmesnih stopnjah pa so bile nekatere formule rahlo porezane. Program
naj bi omogočal kopiranje in lepljenje formul. V bližnji prihodnosti naj bi
MathJax podpiral tudi MathML in tako omogočal mnogo lepšo predstavi-
tev formul. Pri razvoju sistema sodelujejo AMS (American Mathematical
Society), SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) in APS
(American Physical Society), podpira pa ga tudi založba Elsevier.
LITERATURA
[1] Writing Math on the Web, American Scientist,
http://www.americanscientist.org/issues/pub/2009/3/writing-math-on-the-web .
[2] MathJax, domača stran, http://www.mathjax.org/.
Peter Legǐsa
STROKOVNA EKSKURZIJA
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira (pred-
vidoma) v soboto, 18. septembra 2010, strokovno ekskurzijo v TRST. Če
želite prejemati nadaljnja obvestila, prosim, da to sporočite čimprej na na-
slov Mitja.Rosina@ijs.si. Obenem se lahko preliminarno (neobvezujoče) pri-
javite; prijave bodo možne tudi pozneje.
Okvirni program:
8:00 Odhod iz Ljubljane z avtobusom
9:30 Miramar – Hǐsa eksperimentov
11:00 Miramar – grad in arboretum
13:00 Rilkejeva pot po pečinah od Sesljana do Devina
14:00 Devinski grad
15:00 Naravni rezervat za ptice ob ustju Soče ”Isola di Cona“ (s stro-
kovnim vodstvom)
18:00 Večerja nekje na Krasu
Prisrčno vabljeni!
Mitja Rosina
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 1 III
i
i
“kolofon” — 2010/5/10 — 16:47 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2010
Letnik 57, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Schnirelmannov izrek (Vinko Medic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10
Detekcija nevidnih interferenčnih slik z Michelsonovim interferometrom
(Ivo Verovnik in Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–19
Intervju
Tomaž Schara (pripravil Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–38
Nove knjige
Elementarna teorija števil (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39–40
Vesti
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III
Strokovna ekskurzija (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
CONTENTS
Articles Pages
Schnirelmann’s theorem (Vinko Medic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10
Detection of invisible interference patterns using Michelson interferometer
(Ivo Verovnik and Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11–19
Interview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–38
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39–40
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–III
Na naslovnici: Na vodni gladini v posodici, pod katero je močan magnet, nastane
drobna vdolbina. Divergentni curek laserske svetlobe, ki se odbija od sten vdol-
bine, ustvarja na zaslonu zanimiv interferenčni vzorec (avtor: Gorazd Planinšič).
Glej članek na strani 11.