Kip N.H. Ab ela, delo kiparja Vige- landa , k i stoj i na Abelovem griču pr ed kra ljevo palačo v Oslu . I Novice NORVEŠKA USTANAVLJA ABELOVO NAGRADO ZA MATEMATIKO Lan i avgust a je norveška vlad a naznanila ust an ovitev Ab elove nagrade, nove med- narodne nagrade za matemat iko. Nagrado so Norvežani poimenovali po svoj em ro- jaku Nielsu Henriku Ab elu (1802 - 1829), enem največjih matematikov vseh časov. Prvič jo bo do po delili let a 2003. Začetni kapital nagradnega sklada je 200 mi- lijonov norveških kro n , kar je približno 23 milijonov ameriških dolarjev. Višina vsakolet ne nagrade bo odvisna od donosa sklada in bo pr ibližno to likšna kot pr i Nob elovi nagradi (ki je, kot vemo, za mat emat iko ne podeljujejo) . Ocenjujejo jo na 5 milijonov norveških kron . Sama ideja Ab elove nagrad e za matemat iko je st ara že sto let , sega v čas ustanovitve Nobe love nagrade. Prvi pobudnik je bil norveški matematik Saphus Lie konec 19. stolet ja. Let a 1902 je Oscar II , kralj unije Švedske in Norveške, predlagal ust a- novit ev take nagrad e, vend ar je predlog zamrl , ko je let a 1905 zveza med nar odoma (miro ljubno) raz- padla. Zadnjo pobudo je podal matematični odde- lek Univerze v Oslu , ki bo, od 3. do 8. junija letos, gostitelj mednarodne konference v počastitev 200- let nice Abelovega rojstva. Tedaj bo t udi slovesno obj avljena ust an ovitev nagrade. Z Abelova nagrad o bo upravljala Norveška akademija za znanost in humanist iko v Oslu . Ime- novala bo petčlanski izbirni odbor in širše sveto- valno te lo, ki ga bo sestavljalo dvajset do tride- set članov. Sestavi odbora in svetovalnega t elesa bosta mednarodni z opaznim deležem nenorveških matematikov . Vseh pr avil v zvezi s po deljeva- njem nagrade še niso določili . Gotovo pa je, da za dodelit ev nagrade ne bo nobene starostne omejitve, kakršna npr. velja za Fieldsovo medaljo , najpresti žnejšo ma- tematično nagrad o doslej . To lah ko prejmejo le matem atiki, mlajš i od štirideset let . Prav tako ne bo nobene omejitve glede matematičnih področij , za katere naj bi nagrado podeljevali. Norvežani žele z Abelova nagrado po eni st rani dvigni ti splošni ugled mate- matike, ra di pa bi se t udi predstavili kot narod z bogato kult urno in znanstveno tradicijo . Upravičeno lah ko post avij o mate matika Nielsa Henrika Abe la ob st ran drugim velikim rojakom, kot so pesn ik in dr amat ik Henrik Ibsen , slikar Ed var d Munc h ali skladatelj Ed vard Grieg. Marija Vencelj IPRESEK list za mlade matematike, fizike, a stronome in računalnikarje 29. letnik, leto 2001/02, številka 5 , st r a n i 257-320 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA ASTRONOMIJA RAČUNALNIŠTVO NOVICE ZANIMIVOSTI, RAZVEDRILO NALOGE REŠITVE NALOG TEKMOVANJA NA OVITKU Krist a lne mreže - 1. del (P et er Legiša) 264-269 Ime rože, labirint in pregled grafa (Šte fko Miklavič , Martin Juvan) 292-297 At om i in Perrinova merj enja (Janez Strnad ) 274-279 Avogadrov zakon (J anez Strnad ) 285-287 Zenit ne zvez de - reš. na str . 291 (Marija n Prosen) 280-284 Pozabljen a naloga (Martin Juvan) 290-29 1 Norveška ustanavlja Abe lovo nagrado za m at em atiko (M arija Ven celj) II Niels Henrik Ab el (1802- 1829) - Ob dvestol etnici ro jst va (Marija Vencelj) . . . . . . . . . . . . 259-263 Skor aj gotov dogodek - Utrinek (Duš an Murovec ) 258 Binet u je vroče (Jože Paho r) 270-273 Kr ižanka "Mat em at iki ant ike" - reš. na st r. 299 (Mar ko Bokalič) 288 Produkt = vsota - Nagradna naloga (Mart in J uvan) 258 Črke in števila 2 - reš. na str. 299 (Boštjan Jaklič) 284 T im , Fer m at in količniki - Rešitev s str. 203 (Marija Vence lj) 298-299 Rešitve nalog z državn ega tekmovanj a iz srednješolske fizike v šolskem letu 2000/2001 - s st r. 251 (Bojan Go lli) 300-307 22. mednarodno matematično tekmovanje mest - Naloge pomladanskega kroga (Gregor Cigler) . . . . 307-311 22 . med narodno matematično t ekmovanje mest - Rešitve nalog poml adanskega kroga s st r . 307 (Gregor C igler) 311-3 18 42. med narodna matematična olimpiada - reš itvi izbranih nalog s str. 149 (Matjaž Željko) . . 318-320 Nil je bil, je in bo vir življenja (foto J ože Pahor ) I Slika k č lanku na str. 270 (foto Jože Pahor) III Motivi iz dan ašnje Norveške, do movine matemat ika Nielsa H. Abela (vse fotogr afije Matjaž Vencelj) IV Za vsakogar nekaj I NAGRADNA NALOGA Zar adi spremenjenega urnika te kmovanj prihaja 5. št evilka letošnjega P re- seka k naš im br alcem pr ej kot pretekla let a . Zato v njej ne objavljamo rešit ve nagra dne naloge Tri enice in enajst fižolčkov iz 4. št evilke, ker ob oddaji pričujoče številke v t iskarno še ni potekel raz pisani rok za njeno rešit ev . Pač pa vam ponuj amo novo nagrad no nalogo Produkt = vsota, ki jo je sestavil Ma rtin J uvan. Izmed reševalcev, ki nam bodo poslali pr avilno rešit ev naloge, bomo izžrebali nagraj enca , ki bo prejel knjižno nagrado. R ešitve pošljite naj kasneje do 30. aprila na naš n aslov: P r esek, Jadranska c . 19, 1001 Ljubljana, p.p. 2964. Rešit vi in rezul tate nagrad nega razpisa za obe nalogi, iz te in IZ 4. številke, bomo objavili v 6. šte vilki. Marij a Vencelj , odg. ur. PRODUKT = VSOTA - Nagradna naloga Za vsa ko naravno število k ~ 2 ima enačba rešit ev al = k , a2 = 2, a3 = . . . = ak = 1 . Če enačbo reš ujemo v naravnih št evilih in od rešitve zahtevamo še al ~ a2 ~ . .. ~ ak > O, potem je za k = 2, 3 in 4 to t udi edina rešitev . Pri k = 5 pa obstaja več rešit ev. Poskusite jih poiskati ! Ma rtin Juvan SKORAJ GOTOV DOGODEK - Utrinek J anez ne ve, kaj bi počel. Pa vzame kovan ec in sklene: "Tale kovanec bom vrge l v zra k. Če pad e cifra, grem na nogometno te kmo . Če pade mož, grem v kino. Če bo kovan ec obstal na robu, grem spat . Če pa bo kovan ec ostal v zrak u, se bom učil. " Dušan Murovec INovice NIELS HENRIK ABEL (1802-1829) Ob dvestoletnici rojstva A belova zapuščina bo zaposlovala ~'odove m atem atikov še petsto let . Charles Hermi te, fr . mat . 19. stol. Niels Henrik Abel se je ro dil 5. av- gusta 1802 na otoku Finney na jugoza- hodu Norveške. Bil je drugi od sedmih ot rok prot estant skega pastorj a Serena G. Abela , ki je let a 1804 nasledil svojega očeta v župniji Gjerst ad blizu Riserja , Pastor Abel je bil v odmaknjenem Gjer- stadu tudi pr vi učitelj svojih otrok. Niels je odraščal v nemirnih letih Nap oleonovih vojn. Norveška je bila za- radi tedanj e skupne države z Dansko pri - tegnj ena v vojno na strani Francije, kar je plačala s hudim pomanjkanj em zaradi britanske blokade svoje obale. Po Kielski mirovni pogod bi je Danska pr epustil a Norveško Švedom. Norvežani so se želeli osamosvojit i, tod a po kratki in jalovi vojni , v kat eri slabo oboroženi Norvežani niso mogli biti kos Švedom pod Bernadottovim poveljstvom , je bila ust anovljena personaln a unija Švedske in Norveške, v kateri je imela Norveška lastno ustavo. Nielsov oče je imel vidno vlogo v nacionalnem gi- banju in je bil eden od članov izrednega stortinga, norveškega parl amenta , ki je bil jeseni 1814 sklican za dokončno oblikovanj e nove ustave. Ko je bilo Nielsu Ab elu 13 let , so ga poslali v škofijsko šolo v Kri- stianiji, dan ašnj em Oslu. Let a 1817 je bil za učitelj a matematike na šoli nastavljen Bernt Holmboe, le sedem let starejši od Ab ela, ki je hitro odkril Abelov izjemni t alent za matematiko. Skupaj sta začela št udirati Euler- jeva in kasnej e Lagrangeova ter Laplaceova dela o integralnem računu. Ab elov napredek je bil t ako hiter , da je v kratkem času prekosil svo jega učitelja . Holmb oe, ki je uvidel, da ima pred seboj enega največjih mate- matikov vseh časov , je na vse načine poskušal svojemu mlad emu varovancu in prij atelju naj ti materialno podporo. Toda v osiromašeni Norveški je vladala lakota in denarja za podporo ni bilo . Ab elove razmere so se dodatno poslabšale km alu zatem, ko je bil pastor Abel po dveletnem premoru leta 1818 ponovno izvoljen v stort ing. Njegovi neutemeljeni in grobi nap ad i na ostale predstavnike parl amenta , Novice I združe ni z alkoholizmom, so bili razlog za njegov politični in osebnost ni propad. Ko je let a 1820 umrl, je bilo to za okolico pravzaprav ola jšanje . Družin o je zapustil z m ajhno pokojnino in globoko v dolgovih. Nielsu je bilo tedaj 18 let . Ker je bil starejš i brat duševno bolan , je skr b za številno družino padla na Nielsova rame na. Optimistični mladi genij je nepričakovano odgovornost brez oklevanj a spreje l. Z vso pravico je računal, da bo v nekaj let ih , kot usp ešen in sp oštovan matem atik , dosegel akadems ko kariero . To bi njega in njegovo družin o potegnil o iz revščine . Med tem je privat no poučeval in matematično delal , kolikor je mogel. V t a čas revščine in neprestanega dela , s kat er im si je matematik Abel po- stavil neminljiv spomenik, segajo, ža l, t udi za metki t uberkuloze, bolezni revežev, ki ga je ubila , preden je napol opravil svoje delo. Leta 1821 se je Abe l vpisal na Det Kongelige Fred eriks Universitet v Kristianij i in venem letu dosegel stopnjo Candidatus P hilosophiae. Od t u dalje je bil samou k. Na univerzi ni bilo nobenega nad aljnega kurza iz matemat ike ali fizike, a kaže, da pomoči učitelj ev sploh ni potreboval. Bral je in prebral vse razp oložljive matematične vse bine , pom embne in nep o- membne. P ri t em je dela svojih predhodnikov dop olnjeval in nadgrajeval. Let a 1823 je nova norveška znanstvena revija Magazin for Naturvidenska- be n objavila prvi Abelov članek o funkcijskih enačbah in nekaj kasneje članek, ki je vseb oval prvo rešit ev kake integralske enačbe sploh . Pozimi 1822- 1823 je sestavil dalj še de lo o integraciji eleme ntarnih funkcij in ga predložil univerzit etnemu kolegiju , a so ga izgub ili. Verjetno pa nekatera kasnejša Abelova dela vsebujejo v te m delu prikazane rezul t ate. Poleti 1823 mu je Rasmu ssen , edini profesor matem atike na univerzi v Kristi aniji , finančno omogočil obisk pri odličnem danskem matematiku Ferd inandu Degenu v Kebenhavnu. Tam je Abel spoznal svo jo bodočo zaročenko Christine Kemp. Po vrnitvi v Kristi anijo se je Ab el vrnil k problemu , s kat erim se je ukvarj al že prej. Še pr ed vstopo m na uni verzo se je namreč z vso mlados t no vnemo lotil iskanj a algebraične rešitve enačbe pete sto pnje, naloge, s katero so se neusp ešno ukvarj ali dom ala vsi veliki mat em atiki od 16. stolet ja dalje . Sprva je verj el , da je našel izr az, ki podaj a rešit ev. Kasneje je sam odkr il, da metoda ni korektna , in problem odložil na st ran. Po obisku na Danskem je na nalogo pogledal z druge strani in premagal stolet ja star problem . Dokazal je, da splošne algebraične enačbe pete ali višje st opnje niso reš lj ive z radikali, t.j. , rešit ve t akih enačb niso algebraično izrazljive s koeficient i enačb (za enačbe do vklj učno četrte stopnje taki izrazi obst aj aj o). Abel se je zavedal pomembnosti svojega rez ultata, za to je na lastne stroške delo nat isni l in ga poslal največj im živečim evrops kim matem atikom . Da bi zmanjšal st roške, je ves dokaz INovice skrčil na šest strani. Morda je bilo zato delo teže razumljivo. Kakorkoli , odgovora ni dobil od niti enega tujega matematika , tudi od velikega Gaussa ne. V te m času je Ab el pr avzaprav živel od podpore svojih profesorj ev . Vendar se je želel finančno osamosvojit i. Toliko bolj , ker se je zaročil s Christ ine Kemp, ki je pri šla na Norveško za guvernanto k družini , ki je živela blizu Kri sti anij e. Zaprosil je za dr žavno potovalno podporo, ki mu je bila dodeljena let a 1825. Potoval naj bi v Gi:ittingen h Gaussu in v Pariz, t edanjo svetovno prestolnico matem atike. Pustimo ob st rani razloge, zar adi katerih se je Abel , namesto v Gi:itt inge nu, znašel v Berlinu, kjer je ostal pet mesecev . Gaussa t udi kasneje ni obiskal. Za Abela, ki je bil vsekakor sposob en v matem atiki delati sa m, je bila to pr avzaprav srečna odločitev. V Berlinu je srečal Augus ta Leopolda Crella , vplivnega inženirja , ki ga je matem atika zelo zanimala . Crelle je tedaj ustanavlj al Journ al fur die reine und angewandte Math ematik, imenovan tudi Crellov Journal, ki je bil v 19. stoletju vodilna nemška matematična revij a. Cr elle je že v pr vi zvezek vklj učil sedem Ab elovih člankov in v naslednje še veliko več . Šte vilni med njimi so bili izjemnega pom ena za razvoj matem atike. Med prvimi deli je bil v J ournalu objavlje n t udi razširj eni dokaz t rditve, da splošna rešitev enačbe pet e ali višje stopnje z radikali ni možna. V članku je Ab el izp eljal tudi potrebno algebrsko ozadje, vključno z algebraičnimi razširitvami obsegov. Trditev poznamo pod imenom Ab el- Ruffinijev izreklo V berlinski čas sodi med drugim posplošitev binomske formule in npr. integriranj e izrazov, v katerih nastopaj o kvadratni koreni . Abel je presenečen odkril veliko pomanjkanj e st rogosti v sodobni ma- te matiki. Prij at elju Holmboeju je pisal : "Če izvzamem o najpreprostejše primere, ni v vsej matem atiki ni ti ene neskončne vrste, katere vsota bi bila st rogo definirana. Številni pomembni deli matematike so neutemeljeni. Res je, da številni med njimi veljaj o, kar je zelo pr esenetljivo. Pred menoj je izjemno zanimiv pr oblem , da z zamudo odkrijem razloge za to. " Rezultat tega odkrivanja z zamudo je Ab elovo klasično delo o potenčnih vrstah s številnimi pom embnimi splošnimi izreki. Medtem je v Crist ianij i profesor Rasmussen , ki je bil t udi pomemben javni delavec, zaradi pr eobremeni tv e zapus t il mesto na univerzi. Na izpraznj eno mes to, na katero je Ab el v prihodnosti z gotovostjo računal , je fakultet a imenovala Bernta Holmboeja. Ab el je :Svojem~ prvemu učitelju 1 Kaže, da je trd itev po skušal dokaza ti t ud i ital ijansk i matematik Ru ffini , a je nj egov članek tako zapleten , da je težko pr eso dit i korektnost njegovih sklepov . Novice I toplo čestital in ostala sta dobr a prijatelja. Očitno pa je bil Abel od tedaj dalje v skrbe h za svojo prihodnost . V njegovi lastni domovini ni bilo na obzorju zanj nobenega znanstvenega po ložaja, ki bi mu zagotavljal finančno gotovost. V P ar iz je Abe l dopotoval julija 1826 in dož ivel veliko razočaranje . Najpomembnejši francoski matematiki niso pokazal i nikakršnega zanima- nja za neznanega Norvežana. Mimogrede se je srečal edino z Legendrom, ki se je v poz nih letih ukvarj al zeliptičnimi int egrali , področjem , ki je bilo tudi Abelova specialnost. Vend ar je Abel svoj čas v P arizu do- bro izkoristil. Dokončal je svoje najpomembnejše delo o algebraičnih integralih . Rokopis, za katerega je pričakoval, da ga bod o natisn ili, je oktobra predl ožil francoski akademiji znanosti. Ocenila naj bi ga Cauchy in Legendre, Cauchy kot predsednik. Abe l je vso jesen čakal na odgovor , toda zaman. Njegovo de lo so izgubili, oziroma, kot se je kasneje izkazalo, za ložili. Konec let a si je Abel z zadnjim denarjem plačal vožnjo iz Pariza v Berlin. Kmalu po prihodu v Berlin je zbo lel. Verjetno je šlo za prvi napad tuberkuloze. Hrepenel je po Norveški, toda čutil se je do lžnega, da ostane v t ujini, dokler ne poteče čas , za katerega mu je bi la podeljena št ipendija. Nekaj denarj a mu je poslal Holmboe, verjetno mu je pomagal tudi Cre lle, Crelle je Abe la želel zadržati v Berlinu, dokler mu ne bi našel mesta na berlinski univerzi. Za vmesni čas mu je po nu dil mesto urednika svojega Journala. V Berl inu je Abel z veliko vnemo pisal nov članek , razpravo o elip- tičnih funkcijah, ki je njegovo najobsežnejše delo . V tem delu je radi- kalno prevedel teorijo eliptičnih integralov na teorijo eliptičnih funkcij, pri čemer je izhajal iz nj ihove medsebojne inverznosti. Ker je večino teorije eliptičnih funkcij razvil že kot št udent v Kristianiji, jo je bil sposoben predstaviti z vsem bogastvom detaj lov, vključno z dvojno periodičnostjo, razvoji v neskončne vrste in v neskončne produkte ter z ad icijskimi izreki. V Kristi anij o se je Abel vrnil konec maja 1827 in spoznal, da se je upravičeno bal t emne priho dnosti . P rost ega mes ta zanj na univerzi ni bilo , imel je obi lo dolgov. P rošnjo za podaljšanje štipend ije je državni finančni oddelek zavrnil, dobil je le majhno po dporo iz skromnega univer- zitetnega fonda. V tem času je njegova zaročenka dobila novo zaposlitev pri prijateljih njegove družine v Frolandu, daleč od Kristi anij e. Nas led nje leto se je stanje izboljšalo. Vodilni znanstvenik na univerz i, astronom Hansteen , ki je pred aval t ud i matematiko, je za dve leti odpo- toval raziskovat zemeljski magnetni pol v neraziskano Sibirijo. Abel ga je nadomestil na univerzi in na norveški vojaški akademiji. Novice Medtem je septembra 1827 v Crellovem Journalu izšel prvi del Ab e- love razprave o eliptičnih fun kcijah , drugi del je Ab el dop oln il preko zime . Živel je izoliran v Kristianiji , kamor pozimi ni prišla nob ena pošta. Tako ni ni ti slu ti l, kakšno zanimanje je zbudila njegova razprava med evropskimi matem atiki, niti ni vede l, da je na področju eliptičnih funkcij dobil konkurenta. Zgodaj let a 1828 mu je Hansteen pokazal septembrsko izdajo Astronomische Nachr ichten , v kater i je mlad i nemški matem atik Carl Gust av J acob J acobi brez dokaza navedel nekaj t rdit ev v zvezi s tran sformacijsko teorijo eliptičnih integralov. Ab el je v naglici dodal drugemu delu svoj e razprave op ombo, v kateri je pokazal, kako Jacobij evi rezultati slede iz njegovih. To je bil začetek silovit e matematične bitke med dvema pomembnima matem atikoma, ki sta se medseb oj no spoštovala in spoštovala delo drug drugega . Abe l je zaradi tega matematičnega dvoboja celo pr ekinil s pisanj em daljšega članka o določitvi vseh enačb , ki jih lahko rešimo z radikali. Objavljen i del vsebuje teorijo enačb, ki j ih danes imenujemo Ab elove enačbe. V naglem zaporedju je napisal ser ijo člankov o eliptičnih funkcijah. Pripravil je tudi obsežen Pregled teori je eliptičnih funk cij , ki je izšel po njegovi smrti. Nasprotno je Jacobi objavljal le kr atke not ice z rezultati , ki niso razkrivali njegovih metod. Te so bile rezerviran e za njegovo knj igo Nove osnove teorije eliptičnih funkcij. Ni pomembno, kdo je dobil bitko, ki jo je evropski matematični svet z občudovanjem opazoval. Pomembno je, da je teorija eliptičnih funkcij v enem sa mem let u napredovala bolj , kakor v pr et eklih 50 letih . Kljub čedalje slabšemu zdravju je Ab el z neverj etno naglico pisal članek za člankom. Za božič 1828 je v hudem mrazu s konj skimi sanmi odšel na nakajdn evno pot v Frolands Verk na obisk k svoji zaročenki , Po lep em božičnem pr aznovan ju je obležal. Zdravnik je ugotovil t uberkulozo in pr edpisal daljše počivanje. Kmalu se je bo lezen poslabšala in Ab el je 6. aprila 1829 umrl , star komaj dobrih 26 let . Pokopan je v Fro landu. Pismo, ki ga je dva dni kasneje Ab elu iz Berlina pos la l Crelle , je vse- bovalo naslednje sporočilo : "Minist rst vo za vzgojo vas je sklenilo poklicati nazaj v Berlin in vam ponudit i mes to profesorja matematike na Un iverzi v Berl inu ." Leta 1830 je francoska akademija znanosti podelila svojo veliko na- grad o Ab elu in Jacobiju za njune izjemne matematične dos ežke. Na pr it isk nor veške vlade so let a 1841 v Pari zu po intenzivnem iskanju našli založeni Ab elov rokopis o algebraičnih integralih in ga natisn ili. Med t iskom je rokopis spet izgini l, očitno je bil ukraden. Ponovno so ga naš li v Firencah leta 1952. Marija Vencelj Matematika I KRISTALNE MREŽE - 1. del V ravnini imamo nekolinearna vekto rja a in b. Izberemo ju tako, da je nj~izho~išče t udi izhodišče koordinatnega siste ma (slika 1), t orej a= = OAl in b = OBl . p Slika 1. Na premi ci p skozi O in A l izb erem o še točke A _l , A2 , A _2 , A3 , A _3 , . . . t ako, da je za vsako celo število k OAk = ka . P rav t ako na premici q skozi O in Bl izberem o še točke B _l , B 2 , B _2 , B 3 , . . . t ako, da je za vsako celo število ti OBn = nb. Skozi točke Ak konstruiramo vzporednice premici q, skozi točke B n vzpo- rednice premi ci p . Te premi ce razreže jo ravnino na skladne paralelograme (slika 2). Dobili smo tlako vanje ravnine s skladnimi par alelogrami. Presečišča dobljenih pr emi c sestavljajo neskončno mrežo točk v rav- mm. Krajevni vektorji točk v mreži so natančno vektorji ka+ nb , (k,n E ~) . (Seveda mreža tu pome ni nekaj drugega kot mreža poliedra , ki je površje poliedra , razgrnjen o v ravnino.) IMatematika Slika 2. Del dvorazsežne mreže. Dobimo jo z zlaganjem sklad nih paralelogramov. Vzemimo še vektor C, ki ne leži v ravnini II vektorjev o, in b. Naj bo c= OCl . Na premici T skozi O in Cl izberemo še točke C- l , C2 , C- 2 , C3 , C-3 , . .. t ako , da je za vsako celo število p Skozi vse točke prej doblj ene ravninske mreže konstruiramo vzporednice premici T (slika 3). r Slika 3 . 266 Skozi točke ep pa iz- beremo ravn ine, vzporedn e ravnini II . Presečišča t eh ravn in in narisa nih vzpored- nic pr em ici r sestavljajo ne- skončno trirazsežno mrežo točk v prostoru (slika 4) . Krajevn i vektorj i točk v mreži so natančno vektorji kjer so k , n , p cela števila. P ravimo, da je t a mr eža na- peta na vektorje a,b in c.. Mat ematika I Slika 4. Del trirazsežn e mr eže , napete na vekt orje ii, bin c , Dobimo jo z zlaganjem skladnih par a lele- piped ov . Ob enem smo dobi li razdelitev prostora na skladne paralelepipede. Mreže ste srečali pri pouku kemije in fizike. Točke mr eže so npr. središča atomov ali ionov v kr ist alu . Če so vektorji a,b,cenako dolgi (a = b = c) in paroma pravokotni , je ustrezna mr eža enostavni kubični sklad . Temu ustreza razdelitev prostora na sklad ne kocke (slika 5). a a / / / / / / / / 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ J/ 1/ 1/ I~ Iz ,V 1/ I~ a a a Slika 5. Del enost avnega kubičnega sklada, ki ga dobimo z zlaganje m sk lad nih kock z robom a . Matematika Vsaka točka te mreže naj bo središče krogle s pr emerom 2R = a. Vsaka krogla se dotika šestih sosednjih kr ogel. Tak sestav skladnih krogel prav tako imenujemo enostavni (primit ivni) kubični sklad (slika 6) . Slika 6. Krogle, zlože ne v enost avni kubični sklad . Do tega sklada lah ko pridemo t ud i takole: Vsaki krogli očrtamo (namišljeno) škatlo v obliki kocke. Nato te škatle tesno zlagamo, tako da se sosednji ploskvi povsem prekr ivat a . Na sliki 6 so škat le narisane črtkano . Delež prostora, ki ga zavzemajo krogle v tem skladu, je enak količniku med prostorn ino krogle in prostornino njej očrtane škatle, torej :!.7r R3 7r (2R)3 = "6 === 52,4 %. Če moramo zlagat i pomaranče, verj etno ne bomo uporabili zgoraj opisanega načina. Tudi v naravi je enostavni kubični sklad izredno redek. Radioaktivn i element po lonij lahko kristalizira v tej obliki . Sp et vzamemo kocko ABGDA' B'G'D' z robom a in s središčem S (slika 7). Paralelepiped ABGDUVST ima za osnovno ploskev kvadrat ABGD, st ranski rob je SG. Pri tem je IGSI = ~I GA' I = ~av'3 po lovica telesne diagonale kocke. Matematika I D' C' A' ?-- - - - - - --4' B' a T s a Ba , v A D "Q- - - - - -- u ek- -----+- -~~ Slika 7. Naredite iz papirja model paralelep ipeda ABCDUVST (slika 8)! Slika 8. ~ ~ ~ Tr irazsežno mrežo, napeto na vektorje C B, CD in CS , do bimo t ud i z zlaganjem skladnih kopij par alelep iped a ABCDUVSl' . Takoj vidimo, da je A' točka naše mreže. Z nekaj risanj a , računanja ali z zlaganjem modelov ugotovimo, da ta mreža vsebuje tudi točke B', C ' in D' in da jo lahko dobimo t udi t ako, da zlagamo skladne kop ije osnovne celice na sliki 9. V te j osnovni celici je 9 točk mreže: A, B, C , D , A' , B' , C' , D' in središče S kocke . Pravimo, d a j e osnovna celica telesno centri- rana kocka. Vsaka točka naše mreže naj bo središče krogle s polmerom Potem se krogla s središčem v S dotika krogel s središči v preostalih točkah osnovne celice (slika 10). Matematika A'~ ,........:'r--- -- O) lahko v naših krajih (z zemljepisno šir ino ip > O) pridejo v zenit , da to rej gredo čez kr ajevni neb esni poldnevnik (meridian) natanko v zenit u . To pomeni , da se njihova zgornja kulminacij a (prehod čez poldnevnik) odigra v zen it u kakega kraj a . Višinski kot takšnih zvezd meri 900 • Brez t ežav izp eljemo 900 -

O, če j ih opaz ujemo iz kr aj a z zem ljepisno širino ep > O. P - severn i neb esni pol , Z - zenit , O - opazovališče , pf _ južni neb esni pol , P pf - neb esn a os , okrog kater e se vrti neb esn a krogla , ep - višinski kot severnega nebesn ega pol a (približno Severnice), kar je enako zemljepisni širini kraja na severn i zemeljs ki poluti; N S - p oldnevnica , oz . shema za obzorje , QQf - sh em a za neb esni ekvator. Opomba: Če debela dalji ca se ka NS , gre za vzhajalko , če ne, pa za nadob zornico . Kljub temu, da je pogoj 8 = sp preprost in skoraj vse pove, pa si za boljšo predstavo le oglejmo še nekaj pos ebnih primerov. • Razmere na zem eljskem ekvatorju (

lA5KE Računalništvo - Naloge I POZABLJENA NALOGA Večji del januarja in v začetku februarja imam o na uni verzi zimske počit­ nice. To sicer ne pomeni , da počivamo, ni pa predavanj in vaj za št udente, še vedno pa moramo poskrbeti za kolokvije in izpite, govorilne ure ipd. No, to zimo sem si vzel nekaj časa in pregledal enega od kupov, kam or odlagam zadeve, ki se mi sicer zdijo zanimive, a ne zahtevajo takojšnje obravnave . Tako sem naletel tudi na kopijo naslednjega e-pisma, ki mi ga je že jeseni let a 1995 iz Amerike pos lal kolega Ma rko Petkovšek. Takole prav i: Za Presek pa tale naloga: Se spomniš tiste z S-mestnimi praštevili, kjer odmetavaš cifre in imaš ves čas sama praštevila? No, če ne zahtevaš, da so vse cifre različne, lahko dobiš precej daljše prim er(k )e. Vprašanje je, kolikšno j e maksimalno število cifer? (Domnevam, da ne moreš imeti polj ubno dolgih rešitev, čeprav tega ne znam dokazati .) Z Mm a sem ugotovil, da je največja dolžina S, če odmetavaš cifre le na koncu; 23, če jih odmetavaš le na začetku . Ko sem dovolil odmetavanje na obeh koncih, sem (prek noči) dobil primer dolžine 30. Ko pa sem pognal iskanje v globino na celotnem drevesu in pustil teči prek noči, se j e Macintosh sesul. Mm a je seveda zelo počasna, po drugi strani pa bi bilo treba v C-j u ali pascalu napisati dolgo aritmetiko in testiranje praštevil. Kaj praviš na to? Nekaj časa sem potreboval , da sem razvozlal , katera naloga je "t ista z S-mestnimi praštevili" . Gre za Uga nko gospoda Kukrike v reviji Monito r, in sicer iz oktobrske številke letnika 1994. V pismu je uporabljena tudi kratica Mma, ki označuje programski paket Mathernatica. To je zmogljiv program, ki med drugim omogoča udobno računanje z velikimi števili. V pismu so torej omenjene t ri vrste prašt evil: taka, pri katerih lahko s konca po vrsti odmetavamo števke, doblj ena števila pa so vseskozi pr aštevila (npr. 7333, sa j so števila 7333, 733, 73 in 3 praštevila) , taka , pri katerih odmetavamo števke na začetku (npr. 2137, ker so 2137, 137, 37 in 7 praš tevila), in taka, pri katerih na posameznem koraku dovolim o odstranitev števke na začetku ali na koncu (npr. 7229, saj so 7229, 229, 29 in 2 praštevila). Seveda nas zanimajo čim daljša pr aštevila z omenjenimi lastnostmi. Ne spomnim se, kaj sem odgovoril na pismo, očitno pa sem kasneje na nalogo pozabil. Leta so minila, zamenjalo se je kar nekaj generacij procesorjev, pa nekaj različic Oken in tudi Mathematica je doživela nekaj poso dobitev. Računalniki so tako postali pr ecej zmoglivejš i in iskanj e odgovora na vpra šanje iz pisma danes ne bi smelo več biti pretežko. Računalništvo - Naloge - Rešitve nalog Z nekaj sreče bom usp el nagovoriti Marka, da za naslednj o številko Preseka napiše odgovor in kratko razlago t rditev iz pism a . Vam pa seveda ni treba čakati do naslednje številke. Če ste radovedni in radi premet avate šte vila, lahko poskusit e poiska ti odgovore tudi sami. Martin Juvan ZENITNE ZVEZDE - Rešitve nalog s strani 284 1. V kr ajih na Zemlji z zemljepisno širino 89,250 • 2.a) Zvezde ležijo na nebesnem vzpo- redniku (severn em nebesnem po- vratniku) z deklin acijo 23,50 • So vzhaj alke. Sonce pride v teh kr ajih v zenit v začetku poletj a, t. j. okoli 21. 6., ob kresu (slika 1). 2.b) Zvezde ležijo na nebesnem vzpo- redniku z b = 300 • So vzhaj alke. Sonce ne pride v teh kr ajih v ze- nit , sa j lahko doseže le deklinacijo b = 23,50 (slika 2). z Q Nt-- --f-'-.k"--"'-=--'-k- - ---,--- - -iS z ;v s z" Slika 1. Po skic i poskusi č im natan- čneje opisa t i dnevno pot te h zenit nih zvezd . z Nt------'~~"'--- _r.=::::;_____i s Q Slika 2. P ' Slika 3 . Po skici poskusi opisa t i dnevn o pot t eh zenit n ih zvezd . 2.c) Zvezde ležijo na nebesnem vzporedniku z J = 600 • So nadobzornice. Sonce ne pride v teh kr ajih nikoli v zenit (slika 3) . Marijan Prosen Matematika I IME ROŽE, LABIRINT IN PREGLED GRAFA V znanem detekti vsko-zgodovinskem romanu it alij an skega pisatelja Um- berta Eca Im e rože [1] menih Viljem in njegov pisar Adson raziskuj eta niz skrivnost nih um orov v sa mostanu nekje v severn i It aliji. Ključ do razrešitve skrivnosti je knji ga v samostanski knji žnici. Knjižnica je zgra- jena kot labirint ; ima namreč 56 sob, od katerih so nekatere povezan e z vrati, druge pa ne. Ko se v noči z drugega na t ret j i dan Viljem in Adson izgubita v te j knji žnici, pr avi Viljem Adso nu: "Samo en način je, kako najdeš po t iz labirin ta. Na vsakem novem križišču , se pravi takem , kj er še nisi bil, j e tre ba mesto, kj er si vstopil, zaznamovati s tremi znaki. Če p o znam enjih na svoji poti vidiš, da si že bil tam , označiš kraj , skozi katerega si prišel tj a, z enim samim znakom. Če so vsi prehodi že označeni, se moraš vrniti po isti poti nazaj. Če pa je kakšen prehod še brez znakov, izb ereš tega in ga označiš z dvema znakoma. Če greš skoz i prehod , ki nosi en sam znak , mu dodaš še dva, tako da bo im el tisti prehod po tlej tri. Prehodil si vse dele labirin ta, če takrat, ko prideš do razp otja, nikdar ne greš skozi prehod s tremi znaki, razen če ni še kakšen prehod neoznačen . " Recept je podan zelo nejasn o in nenatančno . V literaturi in na internetu se po javljata dva algoritma, ki bi lahko "ust rezala" zgornjemu opisu. Prvega je leta 1882 objavil fran coski inženir Tremaux . Njegov opis lahko br alec najde v članku Marije Vencljeve Hoj a po labirin tu [2] ali pa na internet nem naslovu www .ast rolog .org/labyrnth/algrithm.htm. Drugi algoritem, ki se zdi nekoliko bližji opisu iz knji ge, je let a 1895 pr edst avil Gaston Tar ry ". Ta algor it em je s sicer bolj skopo raz lago opisan v knji gi Wil sona in Watkinsa Uvod v teorijo grafov [3]. Pri te m naj bo bralec pozoren na dr obno napako ob koncu pravila (a) . V tem pr ispevku pa bomo Tarryjev algoritem natančno opisali in podrobno ut emeljili , da nas res zmeraj pripelje iz labirinta . Algorit em sestavljajo tri skupine pravil: po pr vi skup ini pr avil se ravnamo pri odhodu iz križišča, drugo skupino up orablj amo ob prihodu v križišče , zadnje pravilo pa uporabimo le te daj , ko zaidemo v slepo ulico. Pravila so naslednj a: 1 Gaston Tarry (1843- 1913), francoski matem atik I Mat ematika o1: Če obst aja izhod iz križišča, ki še ni označen , ga izberi in ga označi z dvem a znakoma. 02: Če neoznačen izhod ne obstaja, izb eri izhod z enim znakom ter mu dod aj še en znak. 03: Če neoznačenih izhodov in izhodov z enim znakom ni , izberi izhod s tremi znaki t er mu izbriši en znak. PI : Če prideš v križišče , kjer še nisi bil, označi vhod , skozi katerega si prišel, s t remi znaki. P2 : Če prideš v že obiskano križišče po poti, po kateri še nisi šel, označi vhod , skozi katerega si prišel, z enim znakom. S: Če prideš v slepo ulico, se obrn i in pojdi nazaj po isti po ti (kaj pa t i sploh preost ane drugega). Zgornja pravila naj bi nam omogočila, da obiščemo vsa križišča labirinta, ne da bi šli po katerikoli poti več kot dvakrat. Pa poglejmo, ali ta trditev drži. Najprej opišimo matematično formulacij o problem a. Labirint pred- stavimo z grafom; križišča labi rinta bodo točke grafa , poti med kri žišči pa povezave grafa. Pri t em nas ne moti , če ima tako doblj eni graf zanke ali večkratne povezave (če je, recim o, kako križišče s povezavo povezano samo s sabo ali pa če sta dve križišči povezani z več povezavami). Morebi tne slepe pot i v labirintu v grafu predst avimo s povezavo in točko na koncu (to si lahko predst avljamo t udi tako, da sm o na koncu slepih hodnikov naredili sobe ; po taki razširitvi labirint a pravila S ne potrebujemo več). V nadaljevanju bom o pri vzeli, da je tako dobljeni graf povezan, da se torej iz vsake točke grafa da priti po povezavah v vsako drugo točko . Če t o ne drži, potem imamo opravka z več povsem ločenimi labirinti. Nahajamo se torej v neki točki grafa , radi pa bi prišli v neko drugo, "odlikovano" točko grafa (to je, recimo, izhod iz labirint a ). Če bi po nekem postopku znali obiskati vse točke gr afa , po tem bi slej ko prej na šli t udi odlikovano točko. Pri t em ne smemo po zabiti pomembnega dejstva, da graf vidimo samo lokalno. Namreč, v vsaki točki je edina informacija, ki jo imamo o grafu , št evilo povezav , ki izhaj ajo iz t e točke , in podatek , kolikokrat smo že šli po teh povezavah. To je kar huda omejite v , ki nam močno ot eži iskanj e izhoda. Poglejmo si labirint in njemu prirejeni graf s slike 1. Recimo, da se nah aj amo v točki 1, radi pa bi prišli v točko 4. Na začetku izberemo po pravilu Ol eno od dveh povezav , ki vodita iz točke 1, recimo, povezavo do točke 2. Ta povezava dobi na svojem koncu pri točki 1 dva znaka, 4 4 5 2 2 3 ~ Slika 1. Labirint in njemu prirejeni graf. Matematika I 5 3 pri točki 2 pa tri znake. Po pravilu 01 imamo sedaj dve možnosti. Izberimo , recimo, povezavo do točke 3. Ta povezava dobi spet dva znaka na koncu pr i točki 2 ter tri znake pri točki 3. Od točke 3 spet po 01 izberemo npr. povezavo do točke 1 (povezava dobi dva znaka pri točki 3 ter en znak pri točki 1 - glej sliko 2(a), kjer polni krožec pomeni t renut ni položaj). Zar adi pravila 0 2 se moramo vrniti v točko 3 (povezava ima sedaj pri točki 1 dva znaka - glej sliko 2(b)) . Ostane nam še povezava do točke 5, ki dobi dva (oziroma tri) znake - glej sliko 2(c). Od t u se zaradi pravila 03 spet vrnemo v točko 3 ter pr i tem izbri šemo en znak pri točki 5 (slika 2(d)) . Po pravilu 03 gremo nazaj v točko 2 in tej povezavi izbrišemo en znak pri točki 3. Od tu pa gremo po pravilu 01 končno do točke 4 (slika 2(e)). Seveda je br alec že sam ugotovil , da je šte vilo povezav, ki jih prehodimo, preden dosežemo želeno točko , prec ej odvisno tudi od sreče, ki jo imamo pr i izbiri povezav . (a) (b) (c) (cl) (e) Slika 2. Spreh od po labirintu. Mat ematika V nadalje vanju bomo naredili natančno analizo obnašanj a Tarryje- vega algoritma in pri tem opisali nekaj lastnosti , ki veljalo med pregledo- vanjem grafa . Začnimo z nekaj preprostimi ugotovitvami. Povezave grafa med pregledovanj em na obeh koncih označujemo z izbr animi znaki (npr. pikami ali črticami). Pravila so postavljena t ako, da povezava bodi si na nobenem koncu nima nob enega znaka (povezava še ni bila prehojena ne veni ne v drugi smeri) bodisi je označena na obeh koncih (kar pomeni , da je že bila prehojena vsaj veni smeri) , pri čemer sta na enem koncu dva znaka, na drugem pa en, dva ali trije znaki. Nadalje velja , da se koncu povezave, ki je že označen z dvema znakoma, šte vilo znakov ne bo več spremenilo. Ker nobeno pr avilo ne dopušča, da bi trenu tno točko zapust ili po povezavi, ki ima začetek že označen z dvema znakoma, hkrati pa ob odhodu vedno poskr bimo, da začetek izhodne povezave pos tane označen z dvema znakoma, od tod sledi, da nobene povezave v nob eni smeri ne prehodimo več kot enkrat . Med sprehajanjem po grafu se premikamo iz točke v točko in pri tem spreminjamo oznake na koncih povezav. Naša an aliza temelji na naslednjih ugotovitvah : (i) Med sprehajanjem v vsakem trenu tku za vsako točko v velja , da smo jo doslej zapustili natanko tolikokr at , kot je koncev povezav, ki so pri v označeni z dvema znakoma. Utem eljitev. Točko vedno zapustimo po enem od pravil 01-03. To pa so tudi edina pravila, ki omogočajo (in vedno tudi dosežejo) postavitev dveh znakov. (ii) Med sprehajanjem v vsakem trenutku za vsako točko v velja , da smo doslej vanjo pri šli natanko tolikokrat, kot je takih povezav s koncem pri v , kat erih drugi konec je označen z dvema znakoma. Lastnost utemeljimo na enak način kot točko (i) . Opozorimo, da nam v (i) in v (ii) zanka v točki v, ki ima na obeh koncih dva znaka , pomeni dva prihoda in dva odhoda iz točke v, zanka z dvema znakoma le na enem koncu pa en odhod in prihod . Naj bo z točka, v kat eri začnemo pregled grafa . Kd aj pa se Tarryev algorite m konča? Takrat , kadar ne moremo uporabi ti nobenega pravila več . T o r ej tedaj, ko iz t ren utne točke sprehoda n e moremo več n adalje va ti. To pa pomeni , da imaj o vsi izhodi , ki vodijo iz točke , kjer se t renutno nahajamo, dva znaka. Ali se to lahko zgodi v točki , ki je različna od z? Seveda ne. Če bi se to zgodilo , potem bi morali v končno točko priti enkrat več , kot smo iz nje odšli. To pa po (i) in (ii) ni mogoče, saj v točko ne moremo priti večkrat, kot je koncev povezav pri tej točki , vsi ti pa so označeni z dvema znakoma in po (i) predstavljajo odhode. Pokazali sm o to rej naslednjo lastnost Tarryjevega algoritma: Mat ematika I Lastnost 1. Tarryjev algoritem se vedno konča v začetni točki z. Iz las tnosti 1 sledi, da smo ob koncu algorit ma iz vsa ke točke odšli natanko tolikokrat , kot smo v njo pri šli . Od tod pa ob upošt evanju (i) in (ii) že sledi naslednja lastnost: Lastnost 2. Če so ob zaključku Tarr yjevega algorit ma v neki točki vsi konci povezav označeni z dvema znakoma, potem so z dvema znakoma označeni tudi vsi nasprotni konci teh povezav. Za konec pokažimo , da s Tarryjevim algorit rnom res prehodimo vsako povezavo gra fa nat anko dvakrat , po enkrat v vsaki smeri. P a recimo, da temu ni tako. •• Slika 3. Prva obiskana, a slabo pr egledana točka. Potem ob koncu algoritma obstaja povezava , ki ni na obeh kon- cih označena z dvema znakoma. Imenujmo take povezave nepregledane, točkam, ki so krajišče nepregledane povezave, pa bomo rekli slabo pregle- dan e. Zaradi povezanosti grafa obstaja vsaj ena slabo pregledan a točka, ki smo jo med sprehodom po grafu obiskali. (Premisli te, da t ako točko lahko dobimo npr. tako, da vzamemo prvo obiskano točko na poljubni poti od kat erekoli slabo pregledane točke do začetne točke z.) Med vsemi obiskanimi, a slabo pregledanimi točkami, naj bo v tis t a , ki jo s Tarryjevim I Matematika algoritrnom obiščemo prvo . Gotovo v ni točka Z , sicer se pregled grafa še ne bi končal. Ker točko zapustimo po povezavi, označeni s tremi znaki, šele tedaj , ko ni več nobene druge mož nosti, pr i v obstaja nepregledana povezava, ki ima tri znake (glej sliko 3) . Naj bo točka u drugo krajišče te povezave (u =1- v, saj zanka nikoli nima treh znakov) . Točka u je prav tako bila ob iskana me d pregledom grafa, in sicer ne posredno pred prihodom v točko v (morda pa tudi že kdaj prej) . Ker pa je hk rati u t udi kraj išče nepregledane povezave med u in v, je tudi u ena od slabo pregle danih točk . To pa je v protislovju z izbiro točke v, ki naj bi bila med vsemi slabo pregledanimi točkami prva ob iskana. Lastnost 3. S Tarryjevim algoritrnom prehodimo vsako povezavo grafa natanko dvakrat. Tako, analiza algoritma je opravlje na in njegova pravilnost dokazana. Seveda pa podani opis algoritma ni edini mož ni. Če nas npr . mo ti br isanje znakov, lahko označevanje koncev povezav zasnujemo tako, da imamo ob koncu namesto dve h povsod po tri znake (in znake me d sprehajanjem ves čas samo dodajamo). V bis tvu je treba le zamenjati vlogo dveh in t reh znakov (ter primerno prilagodit i pravila). Poskusite sestaviti tako prilagojena pravila ! Na konc u pa še povabilo: Če knj ige Ime rože še nist e preb rali , si vsekakor vzemite čas zanjo. Lahko pa si ogledate t udi istoimenski film s Seanom Conneryjem v glavni vlogi. Zemlj evid samostanske knjižnice , ki je omenjena na začetku tega sestavka, lahko dobite na www.uni-weimar .de/-kleppe/studium/rose/. Za vajo lahko pos kusite, ali znate pregledati labirint z opisanim algorit - mom . Izhod je v sedemkotni sobi des no zgoraj . Literatura [1] U. Eco: Im e rože, Mladi nska kn jiga, Ljublj ana , 1985 [2] M. Vence lj: Hoja polabirin tu , Presek, let nik 17 (1989/90), št . 3, st r. 154- 159 [3] R. J. Wilson in J. J. Wat kins : Uvod v teorijo grafov , Knjižn ica Sigma 63, DMFAS, Ljub ljana, 1997 Štefko Miklavič, Martin Juvan Rešitve nalog I TIM, FERMAT IN KOLIČNIKI - Rešitev s str . 203 Pravilo vedno velja . Lahko ga zaokrožimo takole: Trditev. Kvocient deljenja naravnega števila a s produktom bl b2b3 · · .b., naravnih št evil je zadnji kvocient , ki ga dobimo, če a delimo z bl , dobljeni kvocient z b2 , novi kvocient z b3 itd. Res. Kvocient q in ost anek r , ki ju dobimo, če nar avno število a delimo z nar avnim št evilom b, sta natanko določeni nenegativni celi števili, ki ustrezata pogojema a=bq +r , O::; r 1 velja n = (n - 1) + n, zato iz n po opisan em postopku lah ko dobimo n - 1 = 1 · (n - 1) . Od tod sledi rešit ev naloge. Število 2001 lah ko dobi mo po opisan em postop ku. Rešit ev pr ikazuj e zapo redje števil 21, 20, 19, 18, 77, 670, 2001. 2. Denimo, da je srednjica E F daljša od težiščnice A D (glej sliko na levi). Označimo z G presečišče dalj ic AD in E F . Tedaj je AG < E G = F G , zato je 90° . Dru gi pr imer pr ikazuje desn i del slike. Denimo , da je srednjica E F daljša od težiščnice BE. Potem je ao, je vsota m + n vsaj 2002 , za število a ~ ao pa je vsota m + n kvečjemu 500+1500 = 2000 . Odgovor na zas tavljeno vprašanje je zato nikalen . 3. Izberimo na dalji ci CY točko T z lastnost jo ITCI = lAZI. Ker je IAYI = ICYI, iz sim et rij e sledi, da je lATI = ICZI in O, bi dobili T > O. Protislovje! (b) Analogno kot pri (a), bi dobili T < O, zato tudi to ni mogoče . 6. Konstruirajmo tako množico poliedrov. Najprej postavimo v koor- dinatni sistem z izhodiščem O 'navzgor' obrnjen stožec z osjo Z in nato izberimo 2001 tvorilko plašča, ki so enakomerno razporejene po plašču in jih označimo z lI, la, . .. ,hODl ' Za vsako realno število t > O ravnina z enačbo Z = t seka te premice v točkah Ai ,A~, . . . , A~OO l ' Izberimo t > O in z Dl označimo krog, ki ga stožec od reže od ravnine Z = tI ' Naj bo Bl razpolovišče loka na robu Dl med Ai l in Ati O v · M · '1 ' č k t 'k AtiAti Ati O .2 ' znacimo z 1 pravi ni vec o m 1 2 ' .. 2001' pazujmo neskončno prizmo PI z bazo Ml in s stranskimi robovi, vzporednimi daljici OBI . Zgornjo osnovno ploskev, vzporedno Ml, lahko določimo nekje nad ravnino Z = t200l (glej kostrukcijo v nadaljevanju) . Za do- volj velik t bo razdalja med razpoloviščem loka AiA~ in daljico AiA~ večja od premera kroga Dl , kar pomeni, da PI ne seka večkotnika Ai A~ . . . A~OO1' Izberimo tako vrednost t -: in z D 2 označimo krog , ki ga stožec izreže iz ravnine z enačbo z = t2 . Naj bo B 2 razpolovišče loka A~2 A~2 . Naj bo M 2 večkotnik Ai2A~2 ... A~OO1 ' če se ta že dotika PI , sicer pa med oglišči Ai2 in A~2 vrinimo dodatno oglišče, ki leži na robu PI in znotraj D 2 . Zopet tvorimo prizmo z osnovno ploskvijo lvh in robovi , vzporednimi daljici OB2 , in jo na koncu odrežemo nad ravnino z = t200l . Znova izb eremo tako velik t3 , da P2 ne seka večkotnikaAi3A~3 . . . A~OOl' Znova definiramo večkotnik M 3 z oglišči Ai3,A~3 . .. ,A~OO1' ki mu po potrebi dodamo oglišči na robu, tako da se dotika PI in P2 . Za 1 :::; i < j < k :::; 2001 pri taki konstrukciji velja, da im at a poliedra P i in P j edine skupne točke na ravnini z = t i, torej na robu. Ker po lieder Pk ne seka te ravnine , je presek poliedrov P i, P j in P k prazen . 7. (a) Konstruirajmo usmerj eni graf. Vozlišča naj bodo pari , ki imajo na prvem mestu razporeditev kroglic po škatlah in na drugem mestu oznako škatle, iz katere moramo v naslednji potezi pobrati kroglice . 318 Tekmovanja I Vozlišči A in B povežemo s povezavo od A do B , če iz stanj a , ki ga pr edstavlja vozlišče A, lahko v eni po tezi pridemo do st anj a, predstavljenega z vozliščem B . Jasno je, da je izhodna stopnja (t.j . šte vilo povezav , ki izhajajo iz vozlišča) vsakega vozlišča ena ka lo Prepričajmo se, da je t udi vhodna stopnja vsakega oglišča enaka lo Ker vemo, kater a škat la je na vrsti v naslednji po tezi, smo zadnjo kroglico položili v škatlo pred njo. Če začnemo pobirati po eno krogli co iz škatel, ki si sledijo zapored v nasprotni smeri urinega kazalca , in se ustavimo, ko nalet imo na pr azno škatlo, je ta pr azna škatl a tista, iz katere smo v prej šnji potezi pobrali kro glice. Zbran e kroglice položimo v to pr azno škatlo in pred nami je pr edhodna razporedi tev kroglic. To škatlo še označimo kot t isto, v kateri moramo v naslednji pot ezi pobrati kro glice, in dobimo pr edhodno vozlišče . Ker je število vozlišč končno , je graf disjunktna unij a ciklov. Če to rej začnemo pri nekem stanju, se vzdolž cikla, ki to stanj e vsebuje, po končno korakih znova vrnemo v to st an je . (b) Znova definirajmo usmerjeni graf. Vozlišča naj sedaj pr edst a- vljajo razporedi tev kro glic po škatlah , vozlišče A pa povežem o z vozliščem B , če je možno iz stanja A v eni potezi prit i do stanja B. Tako vhodna kot izhodna stopnja po ljubnega vozlišča je enaka šte vilu nepraznih škatel stanja , ki ga pr edstavlja to vozlišče . Gra f je tedaj sestavljen iz krepko povezanih komponent (t .j. za vsako pot med vozliščema A in B obstaja tudi pot med B in A ). Ker lahko iz vsakega st anja pr idemo do stanja , v katerem so vse kroglice veni škat li (to dosežemo tako , da kro glic iz te škatle ne jemlj emo), ima graf le eno komponento in sta vsaki dve stanji s potj o povezani . Gregor Cigler 42. MEDNARODNA MATEMATIČNA OLIMPIADA - Rešitvi izbranih nalog s str. 149 1. naloga Naj bo o: = <[CAB, (3 = <[ABC, , = <[B CA in 6 = <[COP . Označimo z A' in P' zrcalni sliki točk A in P pri zrcaljenju čez simetralo dalj ice B C . Označimo z R polmer t rikotniku ABC očrtane kro žnice. Pot em je 10Al = lOBI = 10CI = 10A' I = R. Ker je AA'P'P pravokotnik, velja [PP' I = IAA' I. Sledi <[AOA' = <[AOB - <[A' OB = <[AOB - - <[AOC = 2, - 2(3 2: 60° . I Tekmovanja A c ~=-----+-+-----~~ B / / / / / / / / /, A' Skupaj z 10AI = 10A'I = R to pomeni , da je IAA' I = IP P'I 2': R. Po trikotniški neenakosti tako velja lOPI + R = 10P'I + 10CI > IP'CI= = IP'PI+ IPCI 2': R + IPCI · Torej je lOP I> IPCI in zato v t rikotniku COP velja J. Nazadnje iz o: = ~ 1 očitno ni deljiva z n!. Prišli smo do protislovja, torej pri izračunu vsoteI: S(a) v drugem načinu ne bi smeli privzeti , da n! ne deli S(a) - S(b) za nobeni permutaciji a i= b. Matjaž Željko PRESEK list za mlade m a t ematike , fizike , astr o n o me in računalnikarje 29. letnik, šols ko le t o 2001 /02 , štev ilka 5, stran i 257-320 UREDNIŠKI OD BOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezi kovni pregled) , Mirko Dobovišek (glavni urednik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bojan Golli , Marjan Hribar, Boštjan Jaklič (tehnični urednik) , Martin Juvan (računal­ ništvo) , Sandi Klavž ar, Boris Lavrič , Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar, Franci Oblak, P et er Petek, P rimož Potočnik (novice) , Marijan Prosen (as t ronom ija) , Marija Vencelj (matematika, odgovorna urednica ). Dopisi in naročnine : DMFA - za ložništvo, Presek, Jadranska ulica 19, 1001 Ljublja- na , p.p. 2964, tel. (01) 4766-553, t elefaks (01) 2517-281, št . ŽR 50106-678-47233. Naročnina za šolsko leto 2001/02 je za posamezne naročnike3.000 SIT (posamezno ' naročilo velja do prekli ca) , za skupinska naročila šol 2 .500 SIT, posamezna št evi lka 750 SIT, t ematska št evi lka 1.500 SIT, stara številka 650 SIT, let na naročnina za tuj ino 25 EUR, devizna nakazila SKB banka d .d . Ljubljana , Ajdovščina 4, Ljubljana , SWIFT: SKBASI2X , številka računa 042961. List sofinancira MŠZŠ Založi lo DMFA - založništ vo T isk: DELO Tiskarna, Ljub ljana © 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1483 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana