 P50(2022/2023)6 8 Nalogebralcu 1. Roˇ cno koreni: (a) √ 2989441 (b) p 9,8596 (c) 8 √ 5764801 2. Poišˇ ci prvih 5 decimalnih mest √ 2. 3. Dana števila zapiši v obiˇ cajnem desetiškem se- stavu. (a) 1(23)4(56)7(89) (b) (123)(45)(6789) (c) (12)345(67)89 Literatura [1] »Ruˇ cno« izraˇ cunavanje kvadratnog korena, dostopno na http://forum.matemanija.com/ viewtopic.php?f=46&t=317, ogled 19. 5. 2023. [2] Methods of computing square roots, dostopno na https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_ of_computing_square_roots, ogled 19. 5. 2023. [3] F. Moˇ cnik, Aritmetika za uˇ citeljišˇ ca, Kleinmayr & Bamberg, Ljubljana, 1885. ××× SLIKAKMATEMATIČNEMUTRENUTKU. ××× EDMO 2023 A M D  L H VPortorožujeod13.do19.aprila2023potekala 12. Evropska dekliška matematiˇ cna olimpijada (EDMO). Na tekmovanju je sodelovalo 213 tekmo- valk iz 54 držav (do 4 najboljša srednješolska de- kletaizvsakedržave). Vkljuˇ cnozvodjiekip,koor- dinatorji (ocenjevalci), prostovoljci, organizatorji ipd. je bilo udeležencev dogodka 504. To je bil najveˇ cji tovrstni dogodek v Sloveniji od leta 2006 naprej, ko smo v naši državi gostili Mednarodno matematiˇ cno olimpijado. Organizacija,potek Evropska dekliška matematiˇ cna olimpijada (EDMO) je namenjena spodbudi deklet k pripravi in udeležbi namatematiˇ cnihtekmovanjih,sajjerazmerjespolov nadrugihtekmovanjihzeloneuravnoteženo–deklet je na olimpijadah, kot je Mednarodna matematiˇ cna olimpijada,leokoli10%. EDMOdekletomdamotiva- cijozapripravonatekmovanjanavišjiravnitersluži kot dogodek, kjer si lahko dokažejo, da so sposobne reševanja olimpijskih nalog. Poleg tega olimpijada tudi pripomore k ustvarjanju prijateljstev med de- kleti s podobnimi interesi, kar dekletom, ki na svoji šoli med ljubitelji matematike morda vidijo le fante, pokaže, da niso edine s tem hobijem. Poleg tega pa lahkonaEDMOdekletaspoznajotudiuspešnemate- matiˇ carke, ki jim lahko služijo kot vzornice. Slovenija na EDMO sodeluje vsako leto od leta 2013. V teh letih je Slovenijo zastopalo 28 deklet, nekatera celo trikrat ali štirikrat. LetosjeEDMOorganiziralaSlovenijapodokriljem DMFA Slovenije.  P50(2022/2023)6 9 Dogodek je bil organiziran v Portorožu, podprli pa so ga tudi predsednica RS dr. Nataše Pirc Musar, Ministrstvo za vzgojo in izobraževanje, Ministrstvo zadelo,družino,socialnezadeveinenakemožnosti, ter univerze – Univerza na Primorskem, Univerza v Ljubljani in Univerza v Mariboru. V organizacijskem odboru tekmovanja pod vod- stvom Lucijane Kraˇ cun Berc so bili Gregor Dolinar, Klavdija Kutnar, Ana Meta Dolinar, Ciril Dominko, Tanja Labus, Sanja Sandiˇ c, Doris Keršiˇ c, Sandra Ci- gula, Mateja Grašiˇ c in Špela Kumer. Za izvedbo tekmovalnega dela so poskrbeli Kle- menŠivic(predsednikkomisijezaizbornalog),Luka Horjak (vodja koordinacije), Brigita Mastnak (glavna nadzornica) ter Ana Meta Dolinar (predsednica ži- rije). Eden izmed dogodkov v okviru tekmovanja je bila tudi okrogla miza – Uspešne ženske, pri kateri so svoje izkušnje predstavile prof. dr. Nežka Mramor Kosta, matematiˇ carka na Univerzi v Ljubljani, prof. dr. Dunja Mladeni´ c, vodja Odseka za umetno inteligenco na Institutu Jožefa Stefana, Rosana Ko- lar,letalskamehaniˇ carkavAdriaTehniki,inprof.dr. Maryna Viazovska, prejemnica Fieldsove medalje 2022. Tekmovalke so v govorkah gotovo lahko na- šle vzor in navdih. Za vodje ekip je bila organizirana tudi delavnica Enakost, raznolikost, vkljuˇ cenost. Na njej so men- torjiizrazliˇ cnihdržav, kultur, ozadijtervernapod- lagi primerov iz resniˇ cnega sveta razpravljali, kako se spopasti z delikatnimi situacijami ter kako zago- toviti, da bo okolje matematiˇ cnih tekmovanj prija- zno do vseh. SLIKA1. Skupinska slika tekmovalk na otvoritveni slovesnosti Po tekmovanju so se dekleta udeležila razliˇ cnih prostoˇ casnih aktivnostih, od plesa in odbojke do ustvarjalnih in glasbenih delavnic. Na ekskurzijah v Ljubljano in Postojnsko jamo so spoznala slovenske turistiˇ cne znamenitosti, veliko pa je bilo tudi prilo- žnosti za druženje s tekmovalkami iz drugih držav. Tekmovanje,dosežkislovenskihtekmovalk inrezultati Kot država gostiteljica je Slovenija lahko poslala dve ekipi,torej8tekmovalk. SlovenijosozastopaleKata- rina Grilj s SŠ Slovenska Bistrica, Kaja Rajter z II. gi- mnazije Maribor, Nives Gošnjak in Ema Hojan s ŠC Velenje, Gimnazija, Patricia Király, Zara Barbari´ c in Neca Camlek z Gimnazije Bežigrad ter Ekaterina Chizhova z Osnovne šole Trnovo, Ljubljana. Ekipo so spremljali Jaka Vrhovnik, Lana Prijon in Jan Pantner. Tekmovanjepotekavoblikiindividualnegareševa- nja nalog z razliˇ cnih podroˇ cij matematike – algebra, geometrija, kombinatorika in teorija števil. Tekmo- valke dva zaporedna dni po 4 ure in pol rešujejo po tri naloge na dan, skupno 6 nalog, vsaka ocenjena z do 7 toˇ ckami. Tako je najvišje možno število dose- ženih toˇ ck 42. Ocenjevanje nalog se izvede prek procesa koordi- nacije, kjer koordinatorji (neodvisni strokovnjaki, ki jih izberejo organizatorji) z vodji ekip vsake države uskladijo število toˇ ck, ki so jih tekmovalke dosegle na posamezni nalogi. SLIKA2. Tekmovalke pred zaˇ cetkom tekmovanja  P50(2022/2023)6 10 Ekipno je med evropskimi državami zmagala Ukrajina, absolutno pa Kitajska. 14 tekmovalk je do- seglovsetoˇ ckeinzapopolnrezultatprejeloposebno nagrado. Skupno se je podelilo 119 medalj (26 zla- tih, 36 srebrnih in 57 bronastih) ter 42 pohval. Slovenske tekmovalke so se na tekmovanju izvr- stno odrezale. Katarina Grilj je prejela srebrno me- daljoins47.mestom(32.medEvropejkami)osvojila najboljšo relativno uvrstitev v zgodovini slovenske udeležbe na EDMO. Poleg tega so Kaja Rajter, Neca CamlekinEmaHojanprejelepohvalozapopolnore- šitev naloge. Vsem našim tekmovalkam ˇ cestitamo za dosežen uspeh! Nalogistekmovanja Dasibomolažjepredstavljaliizzive,skaterimisose sooˇ calenašetekmovalkenatejolimpijadi,sioglejmo dve nalogi s tekmovanja in njuni rešitvi: Naloga 2. Naj bo ABC ostrokoten trikotnik in naj boDtakatoˇ ckananjegovioˇ crtanikrožnici,dajeAD premer. Recimo, da toˇ cki K in L zaporedoma ležita na stranicah AB in AC ter da sta DK in DL tangenti na krožnico oˇ crtano trikotnikuAKL. Dokaži, da premica KL poteka skozi višinsko toˇ cko trikotnikaABC. Rešitev. Kot pri vsaki geometrijski nalogi si tudi tu najprej narišimo natanˇ cno skico. SLIKA3. Tekmovalke s Katarinino srebrno medaljo in ekipno maskoto Kozo Dobra intuicija nam pove, da bo višinska toˇ cka H najverjetneje kar razpolovišˇ ce daljice KL. V takih primerih je zelo dobra strategija ta, da oznaˇ cimo to razpolovišˇ ce z M in dokažemo, da leži na višinah trikotnika ABC. Pravzaprav je dovolj dokazati že BM ⊥ AC. Po enakem razmisleku bo namreˇ c sle- dilo CM ⊥ AB, kar že implicira to, da je M višinska toˇ cka. Oglejmo si trikotnik DKL. Ker sta DK in DL tan- genti na krožnico oˇ crtani trikotniku AKL, po izreku o kotu med tangento in tetivo dobimo ∠DKL = ∠KAL = ∠KLD. Od tod sledi, da je tri- kotnikDKL enakokrak, zato jeDM ⊥KL. Ker jeDA premerkrožnice,poTalesovemizrekusledi∠DBA= 90 ◦ . Po obratu Talesovega izreka tako sledi, da so toˇ ckeB,D,M inK koncikliˇ cne. Naj bo toˇ cka X preseˇ cišˇ ce premic BM in AC. Oglejmo si kote v trikotniku ABX. Iz koncikliˇ cno- sti toˇ ck B, D, M in K sledi, da je∠MBA=∠MDK = 90 ◦ −∠DKM = 90 ◦ −∠BAX. Tako dobimo, da je ∠AXB=90 ◦ ,oziromaBM ⊥AC. PremicaBM jetako višinavtrikotnikuABC,stempajedokazzakljuˇ cen. Naloga 5. Dano je naravno številos>2. Za vsako A B C D H K L SLIKA4. Višinska toˇ cka leži na premiciKL  P50(2022/2023)6 11 naravno številok definiramo njegov zasuk k ′ na sle- deˇ c naˇ cin: zapišemok v oblikias+b, kjer staa inb nenegativnicelišteviliinb 0. Tako lahko sklepamo, da sta zaporedjid 1 ,d 3 ,d 5 ,... ind 2 ,d 4 ,d 6 ,... padajoˇ ci. Še veˇ c, enakostk=k ′′ ve- lja natanko v primeru p = 0, oziroma a < s, kar je ekvivalentnok