     
P 46 (2018/2019) 3 19
Zakaj planinec Andrej vedno
zamuja?
M M̌
Andrej Šifrer v Gorski roži prepeva, da v gor-
skih vaseh čas »bije« drugače. Čeprav vemo, da v
planinah čas teče povsem enako kot v dolini, pa je
v pesmi vseeno nekaj fizikalne resnice.
SLIKA 1.
Ura s težnim nihalom kaže na Triglavu drugačen čas kot v Pi-
ranu. Zaradi manjšega težnostnega pospeška nihalo na gori
niha počasneje, zato ura tam zamuja za tisto na obali. Nav-
pǐcna črtkana črta nakazuje ravnovesno lego nihala.
Zamislimo si dve enaki staromodni uri s kukavico,
ki za enakomeren tek urnih mehanizmov uporablja-
ta težni nihali. Vsako od nihal sestoji iz lahkega
vzvoda, na katerega je na eni strani pritrjena utež,
druga stran pa je vrtljivo vpeta v urni mehanizem.
Ko nihalo zmaknemo iz ravnovesne lege, to zaniha.
V približku matematičnega nihala in ob predpostav-
ki, da nihalo ni dušeno, lahko njegovo gibanje opi-
šemo s sinusno funkcijo:
ϕ(t) = A0 sin(ωt) ,
kjer ϕ(t) predstavlja trenutni odmik nihala ob času
t, A0 pa je amplituda oziroma začetni odmik. Kotna
frekvenca ω pove, kako hitro nihalo niha okrog spo-
dnje ravnovesne lege in jo izračunamo po obrazcu:
ω = 2πν =
√
g
L
. (1)
Kotna frekvencaω je v neposredni zvezi s frekvenco
nihanja ν in je odvisna od dolžine nihala L ter težno-
stnega pospeška g. Ker je težni pospešek v gorah,
g, drugačen od težnega pospeška na morski gladini,
g0 = 9,81 m/s2, bo ura v gorah kazala drugačen čas.
Da bi ocenili, kako velika je ta razlika, naravnamo uri
na isti čas, nato pa eno odnesemo v Piran, drugo pa
obesimo v Aljažev stolp na Triglavu (glej sliko 1).
Silo teže, s katero Zemlja privlači nihalo z maso
m, ki visi na višini h nad zemeljskim površjem, izra-
čunamo po Newtonovem zakonu o težnosti:
Fg =mg = G
Mm
(R + h)2 ,
pri čemer sta M in R masa in polmer Zemlje, G pa
je splošna gravitacijska konstanta. V naslednjem ko-
raku težnostni pospešek na Triglavu izrazimo s te-
žnostnim pospeškom ob morski gladini in dobimo
         
P 46 (2018/2019) 320
izraz, ki pove, kako težnostni pospešek pada z nad-
morsko višino:
g = g0
R2
(R + h)2 .
Zvezo sedaj vstavimo v izraz (1) in določimo raz-
merje frekvenc obeh nihal, ki je:
ν0
ν
=
√
g0
g
= 1+ h
R
.
Če predpostavimo, da nihalo v uri v Piranu niha
s sekundnim taktom, ter upoštevamo, da je
h = 2,864 km in R = 6400 km, ugotovimo, da je na
Triglavu leto, v primerjavi s Piranom, kjer je t0 =
8760 h, daljše za
∆t = t − t0 = t0
(
ν0
ν
− 1
)
= t0
h
R
= 3,9 h ,
kar je vse prej kot zanemarljiv popravek. Ker pla-
ninec Andrej ne želi več zamujati, se je odločil, da
uro na Gori popravi. Kaj naj stori, da bo kljub manj-
šemu težnostnemu pospešku ostal v koraku s ča-
som? Kako velika mora sprememba biti?
SLIKA 2.
×××
www.dmfa.si
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
3 19
11
17 8
5
16 23
13
13
9
18
20
15
̌ ̌ 
319
11
29
178
5
14
1623
13
85
13
67
9
18
693
20
938
15
69
×××