     
P 48 (2020/2021) 312
Fizika pomaga matematiki
B B̌́  A M́
V tem kratkem prispevku bomo pokazali, kako uporabimo znanje o poševnem metu za dokaz adicijskega
izreka
sinpα˘ βq “ sinα cosβ˘ cosα sinβ.
Žoga se na začetku nahaja na vznožju klanca z naklonom β. Vržemo jo po klancu navzgor z začetno
hitrostjo v0 in pod kotom 90° ě α ą β glede na vodoravnico. Žoga pade na klanec v točki T , kot kaže skica
na sliki 1. Izhodišče koordinatnega sistema O postavimo v točko, v kateri se nahaja žoga na začetku, ko
začnemo meriti čas t “ 0. Koordinatna ravnina xy je navpična, tako da tirnica žoge leži v njej, os x je
vodoravna, os y pa navpična. Zračni upor zanemarimo.
Znanje fizike nam pomaga izraziti lego žoge ob poljubnem času t:
xzptq “ v0 cospαqt (1)
yzptq “ v0 sinpαqt ´
1
2
gt2. (2)
x1
y 1
O x
y
Ppv0 cosαt,v0 sinαtq
P 1
T pxT , yT q
xT
|PT | “ 12gt
2
|OP | “ v0t
|P 1T | “ 12gt
2 cosβ
d
v0
α β
α´β
β
v0
α
v0 cosα
v0 sinαv0
α´β
v0
cos
pα
´β
q
v0
sin
pα
´β
q
SLIKA 1.
     
P 48 (2020/2021) 3 13
Žoga pade na klanec v točki T ob času tT . Koordinate točke T
´
v0 cospαqtT , v0 sinpαqtT ´
1
2gt
2
T
¯
določimo
na sledeč način. Označimo domet žoge |OT | “ d. V pravokotnem trikotniku OxTT je
cosβ “
xT
d
ðñ d cosβ “ xT ðñ d cosβ “ v0 cospαqtT (3)
in
sinβ “
yT
d
ðñ d sinβ “ yT ðñ d sinβ “ v0 sinpαqtT ´
1
2
gt2t . (4)
Če pomnožimo enačbo (3) s sinβ in enačbo (4) s cosβ ter izraza med seboj odštejemo, dobimo
v0 cospαq sinpβqtT “ v0 sinpαq cospβqtT ´
1
2
gt2T cosβ,
od koder sledi
tT “
2v0psinpαq cospβq ´ cospαq sinpβqq
g cosβ
. (5)
Če koordinatni sistem zasukamo za kot β v nasprotni smeri vrtenja urinih kazalcev v sistem x1y 1, ki je na
sliki 1 označen sivo, v tem sistemu enačbo gibanja žoge zapišemo takole:
x1zptq “ v0 cospα´ βqt ´
1
2
g sinpβqt2 “ d (6)
y 1zptq “ v0 sinpα´ βqt ´
1
2
g cospβqt2 “ 0. (7)
Upoštevali smo, da ima v zavrtenem sistemu težni pospešek komponenti različni od nič vzdolž obeh osi in
gibanje vzdolž vsake od osi je enakomerno pospešeno. Zadnja dva izraza ustrezata pogoju, da žoga pade
na klanec, to je ob času tT .
Iz enačbe (7) izrazimo čas, ob katerem žoga pade na klanec:
tT “
2v0 sinpα´ βq
g cosβ
. (8)
Iz enačb (5) in (8) sledi
sinpα´ βq “ sinpαq cospβq ´ cospαq sinpβq,
to je zveza, ki smo jo želeli dokazati. Nadalje lahko iz (1) in (2) zapišemo (glej sliko 1)
d “
b
x2T `y
2
T
“
c
v20 cos2pαqt
2
T ` v
2
0 sin
2pαqt2T ´ v0 sinpαqgt
3
T `
1
4
g2t4T
“
c
v20 pcos2α` sin
2αqt2T ´ v0 sinpαqgt
3
T `
1
4
g2t4T
“
c
v20 t
2
T ´ v0 sinpαqgt
3
T `
1
4
g2t4T . (9)
     
P 48 (2020/2021) 314
Iz enačbe (6) sledi
d2 “ v20 cos
2pα´ βqt2T ´ v0 cospα´ βqg sinpβqt
3
T `
1
4
g2 sin2pβqt4T .
Iz enačbe (9) pa sledi
d2 “ v20 t
2
T ´ v0 sinpαqgt
3
T `
1
4
g2t4T .
Izraza izenačimo in po krajšanju t2T dobimo
v20 cos
2pα´ βq ´ v0 cospα´ βqg sinpβqtT `
1
4
g2 sin2pβqt2T “ v
2
0 ´ v0 sinpαqgtT `
1
4
g2t2T .
Enačbo preuredimo v
´ v0 cospα´ βqg sinpβqtT “ v
2
0 p1 ´ cos
2pα´ βqq ´ v0 sinpαqgtT `
1
4
gt2T p1 ´ sin
2 βq,
upoštevamo zvezo 1 “ cos2α` sin2α in izraz nekoliko preuredimo v
v0 sinpαqgtT ´ v0 cospα´ βqg sinpβqtT “ v
2
0 sin
2pα´ βq `
1
4
gt2T cos
2 β.
Iz (8) vstavimo čas in sledi
v0gpsinα´ cospα´ βq sinβq
2v0 sinpα´ βq
g cosβ
“ v20 sin
2pα´ βq `
1
4
g2
ˆ
2v0 sinpα´ βq
g cosβ
˙2
.
Okrajšamo kvadrat začetne hitrosti in težni pospešek v
psinα´ cospα´ βq sinβq
sinpα´ βq
cosβ
“ sin2pα´ βq.
Pomnožimo s cosβ in delimo s sinpα´ βq:
sinα´ cospα´ βq sinβ “ sinpα´ βq cosβ.
Iz zadnjega izraza, če vstavimo α´ β “ γ ðñ α “ β` γ, končno sledi
sinpβ` γq ´ cosγ sinβ “ sinγ cosβ ðñ sinpβ` γq “ sinβ cosγ ` cosβ sinγ.
S tem smo pokazali, da adicijski izrek velja tudi za vsoto kotov.
Literatura
[1] A. Muminagić, MiŠ, matematika i škola, časopis za nastavu matematike, 100 20 (2019), str. 214, Element,
Zagreb.
[2] B. Pavković in D. Veljan, Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 1995.
ˆ ˆ ˆ