P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 1 Strani 2-7
Janez Strnad:
ARHIMED IN SEŽIG LADIJ
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1160-Strnad.pdf
© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ARHIMED IN SEŽIG LADIJ
Arhimed je i i vel od 285 do 212 pred našim štetjem v Sirakuzah na Siciliji in je bit uspešen fizik in matematik. V Šoli se pri fiziki z njim srečamo, ko obravnavamo vzvod, vzgon, zrcala.
Poznal je izrek, po katerem je v ravnovesju ravnega vzvoda produkt bremena in ročice na eni strani osi enak produktu bremena in ročice na drugi strani. Na osnovi te ugotovitve je izjavil: "Dajte mi trdno točko, pa bom dvignil Zemljo."
Odkril je zakon o vzgonu: Mirujoča tekočina deluje na telo, ki ga obdaja z vseh strani, navpično navzgor s silo. enako teži izpodrlnjene tekočine Preblisk naj bi dobil v kopalni kadi, nakar naj bi od navdušenja pomanjkljivo oblečen stekel na ulico in vpil: "Heureka, heureka!" (Odkril sem, odkril sem!) Odkritje mu je omogočilo, da je določil gostoto vladarjeve krone in s tem delež zlata v ziitini s srebrom
Ukvarjal se je z ravnimi in ukrivljenimi zrcali Poznal je rotacijski paraboloid in vede! za njegove lastnosti. Z zrcali naj bi usmeril sončno svetlobe na rimske ladje in jih zažgal.1
Bizantinski zgodovinar Tzetzes je v 12. stoletju zapisal: "Ko se je Marcellus umaknil z ladjami za streljaj od obale, je starec postavil nekakšno šestkotno zrcalo in je v razdalji v sorazmerju z velikostjo zrcala namestil manjša pravokotna z njim povezana zrcala na tečajih tako, da jih je bilo mogoče premikati. Naredil je steklo za središče sončnih žarkov - opoldanskih žarkov poleti ali pozimi Potem ko so se žarki odbili, se je vnel na ladjah strašen ogenj in jih spremenil v pepel."
Podobno zveni zapis drugega bizantinskega zgodovinarja Joannesa Zo-narasa iz istega časa; "Nekakšno zrcalo je nagnil proti Soncu in zgostil z njim žarke, da seje zaradi debelega in gladkega zrcala vnel od njih zrak in je nastal velik plamen. Usmeril gaje proti zasidranim ladjam, dokler jih ni vseh uničil."
Veliko prej je grški zgodovinar Polibij sicer poročal o Arhimedovem sodelovanju pri obrambi mesta, toda sežiga ladij ni omenil. Tudi rimska zgodovinarja Plutarh in Livij omenjata zgolj hlode, ki so jih metali na ladje, da so
1 Na zgodbo pogosto naletimo v revijah, kt so posvečene pouCevanju in zgodovini fizike. Starejši je na primer prispevek D.L.Simmsa Arhimedes and burning mirrors (Arhimed in zažigalna zrcala) v Physics Education 10 (1975) 517. Z vprašanjem seje podrobno ukvarjal R.Clift v magistrski nalogi na univerzi v Leicestru v Angliji, ki jo je naredil pod vodstvom A. A. M i lisa; Reflections on the 'burning mirrors od Archimedes' with a consideration of the geometry and intensity of sunlight reflected from plane mirrors (Razglabljanje o Arhimedovih zažigalnih zrcalih' z obravnavanjem geometrije in gostote energijskega toka sončne svetlobe, ki jo odbijejo ravna zrcala) v European Journal of Physics 13 (1992) 268 - 279.
potonile, ati vzvode, s katerimi so dvignili ladje in jih obrnili, da so mornarji popadali iz njih.
Slika 1. Lesorez po arabskem viru iz knjige o optiki Federica Risnera, ki je ijSla v Baslu leta 1543.
Čeprav Tzetzes in Zonaras nista na najboljšem glasu, je sporočilo od nekdaj vznemirjalo fizike. Obdobjem, v katerih so mu verjeli (slika 1), so sledila obdobja, ko so ga odklanjali. Dandanes mu ne verjamemo, ker govorijo proti njemu fizikalni razlogi. Morda so Sirakužani zažgali rimske ladje z grškim ognjem, vnetljivo mešanico, s katero so obmetavali ladje. Metalne naprave si je najbrž zares zamislil Arhimed. Rimski vojskovodja Marcellus je po neuspehu leta 213 pred našim štetjem Sirakuze oblegal in jih naslednje leto zavzel. Vojakom je ukazal, naj pripeljejo Arhimeda. Tistemu, ki je vdrl
k njemu, je Arhimed, zatopljen v svoje račune rekel: "Ne dotikaj se mojih krogov." To je vojaka tako razhudilo, da je Arhimeda ubil
Noben pisec kriminalnih zgodb ne bo prezgodaj razkril konca, pisec fizikalne zgodbe pa si to lahko privošči, ker je pot do konca pomembnejša od konca samega. Ta pot je dandanes, ko poskušamo izkoristiti sončno energijo, še posebej zanimiva.
Z majhno zbiralno lečo je mogoče s sončno svetlobo zažgati papir Leča ima podoben učinek kot zbiralno ali konkavno (vdrto) zrcalo. Čim večje je zrcalo, tem bolje uspe poskus. Toda ladje so daleč, vsaj zunaj dometa lokov Sonce vidimo kot drobno ploščico. Že Babilonci so vedeli, da ustreza premeru ploščice kot pol stopinje. Ta kot se med letom nekoliko spreminja, ker oddaljenost Zemlje od Sonca ni stalna. V povrečju navadno vzamemo, da vidimo premer Sonca pod kotom 0, 53°. Sonce je zelo oddaljeno od zrcala in slika nastane v goriščni ravnini. V enačbo za zbiralno zrcalo ali lečo
1 1 _ 1
a + b ~ f
vstavimo za razdaljo predmeta a —* oo, pa dobimo za razdaljo slike b goriščno razdaljo f. Za velikost slike y' velja enačba y = yb/a = yf/a. če je y velikost predmeta. Premer slike Sonca je potem
i _y f_ 0,53-2* _f_ y a	360	107
Prt tem kota ne merimo po babilonsko v stopinjah, ampak z lokom, ki ga izreže iz kroga z radijem 1. Kot, pod katerim vidimo v razdalji a premer Sonca y, je potem y/a ali 0, 53° ■ 2tt/360° (slika 2). Polnemu kotu 360° ustreza namreč lok 2-k ■ 1, kotu 1° lok 2ir ■ l°/360° in kotu 0, 53° lok 0, 53° ■ 2-ir - 1/360°. Kot je tako majhen, da lahko spregledamo ukrivljenost loka.
Slika 2. Premer Sonca vidimo po kotom 0.53° v babilonski meri ali pod kotom 0,53-2tt/360 = 0,0093 v ločni meri. Zbiralno zrcalo v razdalji b = f da sliko v obliki kroga s premerom 0, 0093f = f /107.
Na vrh zemeljskega ozračja prihaja skozi 1 kvadratni meter veliko ploskev pravokotno na smer svetlobe s Sonca moč 1,35 kW (1 kilowatt je 1000 wat tov, 1 watt pa je 1 joule na sekundo). Nekaj se je v ozračju absorbira in nekaj sipa, tako da je na morski gladini, ko je Sonce v zenitu, pravokotno na smer svetlobe gostota energijskega toka j = 0,93 kW/m'\ Vzemimo, da zrcalo z radijem R vso vpadno svetlobo odbije in leča vso prepusti. Na zrcalo ali lečo pade svetlobni tok trR^j, ki pade tudi na sliko nGostota energijskega toka na sliki je
, 4R2 /jR\*
J ~ y'2 ~ \ f J 1073 Gostoti energijskega toka toka, ki pade na zrcalo ali lečo, je enaka, ko velja
2 R
= 107.
Približno lahko rečemo, da v večji razdalji od stokratnega premera zbiralno zrcalo ali leča ne zgostita več sončnega energijskega toka.
To spoznanje je omenil René Descartes v Dloptiki že leta 1637. Zato ni verjel vesti o Arhimedovem sežigu ladij s sončno svetlobo. Pozneje pa so na spoznanje pozabili.
Da bi dobili veliko gostoto energijskega toka, moramo uporabiti zrcalo ali lečo z majhno goriščno razdaljo in velikim premerom. Velika zrcala in še posebno velike leče pa imajo napake, zaradi katerih je slika Sonca popačena, tako da je gostota energijskega toka manjša od izračunane. Današnje naprave za izkoriščanje sončne energije pri visoki temperaturi imajo zato paraboloidna zrcala z majhno goriščno razdaljo in razmerje f /2R med 0,8 in 1. V razdalji, ki je večja kot stokratni premer, zbiralno zrcalo ali leča ne zbira več sončne svetlobe.
} 2R+ 0,0093 È
odbiti curek
Slika 3. Presek curka sončne svetlobe, ki se odbije na krožnem ravnem zrcalu s premerom 2R na zaslonu v razdalji b od zrcala.
Premislimo, kako je z ravnim zrcalom. Vzemimo ravno zrcalo v obliki kroga s premerom 2R v razdalji b od zaslona, na katerega usmerimo odbiti curek. Na tem zaslonu ima curek premer 2R(1 + | fa/107) (stika 3). Svetlobni tok v tej razdalji ttR2(1 +	je enak svetlobn emu toku na zrcalu
ir/?2Ji če je j gostota svetlobnega toka na zrcalu. Gostota svetlobnega toka v odbitem curku na zaslonu je tedaj
Jb~ (1+ ifa/107ff}2'
V majhni razdalji od zrcala (b <K 2 ■ 107/i) velja približno = j in je gostota energijskega toka v odbitem curku taka kot v vpadnem curku. Presek curka se ujema z obliko in velikostjo zrcala, je na primer pravokotnik, Če je zrcalo pravokotnik, V veliki razdalji od zrcala (b 2 ■ 107/?) pa je gostota energijskega toka v odbitem curku približno obratno sorazmerna s kvadratom razdalje: = j(2 ■ 107R)2/b7. Tako odvisnost poznamo od svetila, ki seva enakomerno na vse strani V tem primeru velikost zrcala ne vpliva na odvisnost gostote energijskega toka od kraja, nanjo vpliva le razdalja od zrcala. V tem primeru je presek curka krog, ne glede na obliko zrcala.
Vojak lahko brez večjih težav premika ravno zrcalo v obliki pravokotnega Ščita z višino | m, širino | m in ploščino 1 m3 Zrcalo je podprto z drogom, da ni treba prenašati njegove teže. Njegova zglajena bakrena ploskev odbije približno polovico vpadnega energijskega toka.
Vzemimo, da so Rimljani napadli Sirakuze okoli spomladanskega enako-nočja, ko je bilo Sonce v Sirakuzah opoldne 37° od zenita. Svetloba prepotuje v ozračju večjo razdaljo kot tedaj, ko je Sonce v zenitu, in je zato ozračje nekaj več zadrži. Na kvadratni meter veliko ploskev pravokotno na smer svetlobe pade samo energijski tok 0,87 kW, ne 0,93 kW. Z zemljevida je mogoče razbrati, da so priplule rimske ladje od vzhoda. Zato je moralo zrcalo za 90° preusmeriti sončno svetlobo, tako da sta bila vpadni in odbojni kot skupaj enaka pravemu kotu in je bil vpadni kot torej 15°. Efektivna širina zrcala je tedaj merila samo ^ m-cos45° = 0,53 m in efektivna ploščina | - | cos45° m2 = 0,7 m2.
Računajmo za ladje v razdalji b — 60 metrov. V tolikšni razdalji sta bili višina in širina odbitega svetlobnega curka za b ■ 0, 53 ■ 2rr/360 = 0,56 m večji od višine in širine zrcala. Presek curka je meril {| -f- 0, 55)m -(0, 53 + + 0,55) m = 2 m?. Ker seje presek curka povečal od 0,7 m2 na 2 m2, se je gostota energijskega toka zmanjšala v enakem razmerju, torej za faktor 0,7/2 — 1/2,86 Gostota energijskega toka v razdalji 60 m od zrcala je
bila tedaj zaradi izgub pri odboju in povečanega preseka samo ^ * " ^ kW/m2 = 0,15 W/m2,
Poskusi v šestdesetih letih so pokazali, da se suh les vžge v 10 sekundah, ko preseže gostota energijskega toka 63 kW/m2. Les spočetka nekaj svetlobe odbije, a ko se osmodi in počrni, je odbije vse manj. To je 420-krat več od gostote energijskega toka, ki jo da opisano zrcalo v oddaljenosti 60 m. S sončno svetlobo v navedenih okoliščinah bi bilo potemtakem mogoče zažgati po! kvadratnega metra velik kos lesa, če bi usmerili nanj 420 zrcal. Prt tem bi moralo 420 mož usmerjati svoja zrcala popolnoma ubrano. To je bilo komaj mogoče doseči. Vrhu tega toliko mož ne bi moglo kako drugače sodelovati pri obrambi. Navsezadnje pa bi mornarji na ladji z vodo brez težav pogasili smodeči se les.
Po vsem tem uvidimo, da zgodbi o Arhimedovem sežigu rimskih ladij s sončno svetlobo ne kaže zaupati. Enako je tudi z nekaterimi drugimi zgodbami o Arhimedu, posebno s tisto, da je pomanjkljivo oblečen tekel po Sirakuzah in vpil "Heureka!". Takšnih zgodb je v zgodovini fizike še nekaj, denimo, da je Galileo Galilei spuščal kamne s poševnega stopla v Pisi ali da je Isaacu Newtonu prišel na misel gravitacijski zakon, ko je na vrtu opazil padajoče jabolko. Vendar so zgodbe poučne in velja navadno zanje italijanski pregovor: "Če ni res, je vsaj lepo povedano."
Janez S trna d