9 770351 665838 3 M A T E M A T IK A +F IZ IK A +A S T R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ T V O # ISSN 0351-6652 9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 8 3 8 PR E S E K L E T N I K 4 8 ( 2 0 2 0 / 2 0 2 1 ) Š T E V I L K A 3             ̌     ̌                  P                     Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 48, šolsko leto 2020/2021, številka 3 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Naročnina za šolsko leto 2020/2021 je za posamezne naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij. Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2020 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 2127 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri- ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu.         ̌           b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b     ̌         P 48 (2020/2021) 32 Skrivnostne solzice na vinskih kozarcih Mnogi, še pre- den popijejo ne- kaj kozarcev vi- na, premišljuje- jo, kaj povzroča solzice (imeno- vane tudi noge ali potoček), ki se naberejo na stenah kozarca. Nekateri verja- mejo, da so sol- zice znak dobre kakovosti vina, v resnici pa v glavnem nastanejo zaradi vsebnosti al- kohola v vinu. To sicer ni popolna razlaga. Nedavno so matematiki s pomočjo teorije, ki temelji na dife- rencialnih enačbah, pokazali, da se najbolj spekta- kularne solzice pojavijo, ko kombinacija gravitacije, izhlapevanja alkohola in površinske napetosti ustva- rijo majhne udarne valove v vinu na stenah kozarca. Valovi, ki jih povzroči sukanje kozarca, pomagajo pri vzponu vina po stenah, pri čemer nestabilnosti valov ustvarijo obliko solzic. Odkritje učinka nenavadnih udarnih valov, ki jih imenujemo obrnjeni podstisnjeni udarni valovi, ni le razjasnilo, kaj povzroča solzice, ampak je odprlo tudi nove možnosti kreativne uporabe. Oblika ko- zarcev izkorišča geometrijo, optimizira dvig vina po stenah in aromo. Ta odkritja lahko uporabimo tudi v primeru tankih slojev, ki so pomembni pri izdelavi mnogih elektronskih komponent, npr. pri integrira- nih vezjih. Odkritje je koristno tako za vino kot tudi za elektronske čipe. Je očarljivo združenje, ki ga je omogočila matematika. Več o temi si lahko preberete v knjigi A theory for undercompressing shocks in tears of wine, ki je izšla leta 2019 in so jo napisali Y. Dukler, H. Ji, C. Falcon ter A. L. Bertozi. ˆ ˆ ˆ ̌  2 Skrivnostne solzice na vinskih kozarcih  4 In memoriam: dr. Marjan Jerman (Karin Cvetko Vah) 5–8 Kitajske naloge (Marjan Jerman) 9–11 Regresijska premica (Peter Legiša) 12–14 Fizika pomaga matematiki (Boris Bašić in Alija Muminagić)  15, 18–20 Vrtinci v toku kapljevin in plinov (Andrej Likar)  21–26 Kako daleč je Luna ali skupinska naloga na spletni astronomski olimpijadi (Vid Kavčič) ̌̌ 27–28 Kratek pregled kvantnega strojnega učenja (Bojan Žunkovič)  8 Križne vsote 16–17 Nagradna križanka (Marko Bokalič) 29 Rešitev nagradne križanke Presek 48/2 (Marko Bokalič) 30–31 Naravoslovna fotografija – Kje se konča senca? (Aleš Mohorič in Barbara Rovšek)  priloga 30. tekmovanje iz razvedrilne matematike – šolsko tekmovanje      P 48 (2020/2021) 3 3 Kazalo       P 48 (2020/2021) 34 In memoriam Dr. Marjan Jerman K C V Kako lepo bi bilo romati vse življenje skozi zeleni gozd in se ne ustaviti. Biti kot gozdna ptica, ki ne pozna poljan. Biti človek z dobrim, dobrim srcem. (Srečko Kosovel) Težko je pisati v slovo prijatelju. Nekako sem pri- čakovala, da se bomo hkrati postarali, se še na stara leta tu in tam srečali, morda kaj podebatirali in se nasmejali spominom. A v življenju je žal težko kar koli napovedovati. Marjan je bil sprva moj učitelj, ko je pri komaj dvaindvajsetih letih prevzel vodenje vaj iz Algebre 2, kasneje pa tudi sodelavec in prijatelj. Kot študentje smo ga, komaj kaj starejšega od nas, takoj vzljubili in z zanimanjem obiskovali njegove ure. Naučil nas je resnično veliko; tako o matematiki in pristopanju k matematičnim problemom, tudi najzahtevnejšim, kot tudi o življenju; z zgledom nas je učil prijaznosti do sočloveka. Redko se zgodi, da se v isti osebi združijo tako raznoliki darovi, kot so izjemna matematična nadar- jenost in natančnost, pedagoški eros, rahločutnost, vredna najodličnejšega pesnika, človeška toplina, igrivost, družabnost in smisel za humor. V tem po- gledu je bila usoda Marjanu izrazito naklonjena, saj ga je bogato obdarila z vsem naštetim. Raziskovalno se je ukvarjal z linearno algebro in urejenimi algebrskimi strukturami; njegovi članki s teh področij so objavljeni v uglednih mednarodnih matematičnih revijah. Velik del Marjanovega poklic- nega udejstvovanja je bil vezan na poučevanje mate- matike. Je avtor številnih člankov o poučevanju ma- tematike, njeni zgodovini in popularizaciji, vrsto let je vodil ekipe slovenskih študentov na mednarodnih matematičnih tekmovanjih ter bil urednik revij Pre- sek in Matematika v šoli. Zaradi svojega širokega in poglobljenega znanja kakor tudi človeške topline je bil izjemno priljubljen med študenti, o čemer pričajo številni zapisi na spo- minskem zidu, ki so mu ga v spomin postavili štu- dentje. Na njem se vrstijo zapisi hvaležnosti o tem, da je verjel vanje in jih spodbujal, ko so že skoraj obupali nad študijem. Neka študentka je zapisala: Hvala za vso ljubezen do geometrije, teorije števil ter matematike nasploh. Kot bodoča profesorica mate- matike si želim, da bi lahko učila s takim žarom, pri- jaznostjo in razumevanjem, kot je profesor Jerman učil nas. Velik človek s še večjim srcem. Hvala. Vsi bomo nekoč odšli in najpomembnejša dedi- ščina, ki jo lahko zapustimo, je prav pečat, ki ga pu- stimo v tistih, s katerimi so se križale naše poti. Če kdo, je bil prav Marjan Jerman kot gozdna ptica, ki ne pozna poljan, človek z dobrim, dobrim srcem. Na svidenje nekoč, dragi prijatelj! ˆ ˆ ˆ       P 48 (2020/2021) 3 5 Kitajske naloge M J Zaradi geografske izoliranosti, večtisočletne sa- mosvoje kulture in številčne populacije se je kitaj- ska matematika zelo dolgo razvijala skoraj popol- noma neodvisno od drugih civilizacij. Prve zametke matematike najdemo že v mitih, ki izvirajo iz predzgodovinskega obdobja. Najbolj zna- na je legenda o cesarju Yuju, ki se je ohranila tudi preko tradicije feng shuija. Cesar je z darovi želel pomiriti boga reke Lou, ki je pogosto povzročala ka- tastrofalne poplave. Po eni izmed inačic zgodbe ni pomagalo prav nobeno darovanje, dokler ni iz reke prilezla želva. Na oklepu je imela zapisano naslednjo nenavadno tabelo s števili od 1 do 9: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Cesar je opazil, da je vsota vsake vrstice in vsota vsakega stolpca v tabeli enaka 15. Potem, ko je reki ponudil 15 darov, se je reka umirila. To je verjetno prva omemba magičnih kvadratov. Zanimivo je, da je to edini magični kvadrat velikosti 3 ˆ 3. Večji del našega védenja o kitajski matematiki iz- vira iz približno desetih knjig, ki povzemajo doteda- nje znanje matematike. Najstarejša je bila napisana približno 180 let pred našim štetjem. Verjetno naj- pomembnejša med njimi je knjiga z naslovom Devet poglavij matematične umetnosti. Knjigo so skozi sto- letja spreminjali in dopolnjevali. Njena zadnja ver- zija je iz leta 200 našega štetja, vsebuje pa odkritja iz približno 1200-letne preteklosti. Za razliko od današnjega razumevanja matema- tike, ki izvira iz starogrške tradicije in ga je prvi dokončno izoblikoval Evklid v svojih Elementih pri- bližno 300 let pred našim štetjem, je bila kitajska matematika predstavljena kot zbirka konkretnih pro- blemov. Številski podatki v problemih so skrbno iz- brani, tako da rešitve problemov delujejo tudi z dru- gačnimi podatki in se v bistvu obnašajo kot današnje spremenljivke. Tako lahko s pomočjo analogije na- loge posplošimo in dobimo nekaj takšnega, kot so naši izreki. Kako različna od naše je bila starokitajska kultura, pokaže tudi njihov sistem izobraževanja. Cesarska akademija je med nižjimi sloji izbrala 30 študentov, med katerimi jih je 15 študiralo abstraktno, 15 pa uporabno matematiko. Po sedmih letih študija so na zelo strogih izpitih za državne uradnike morali re- šiti nekaj nalog iz obravnavanih knjig. Študentje ab- straktne matematike so morali dodatno še pravilno dopolniti vsaj šest od desetih naključnih stavkov iz knjige Devet poglavij matematične umetnosti. Za ilustracijo tedanjega poznavanja matematike si poglejmo nekatere izmed značilnih nalog. Polnjenje ribnika V šestem poglavju je zapisana še danes zelo popu- larna naloga s polnjenjem ribnika. Ribnik napaja pet kanalov. Prvi kanal napolni rib- nik v tretjini dneva, drugi v enem dnevu, tretji v dveh dneh in pol, četrti v treh dneh in peti v petih dneh. Hkrati odpremo vse kanale. Kdaj bo poln ribnik? Naj bo x število dni, potrebnih za napolnitev rib- nika. Potem je 3x ` x ` 2 5 x ` 1 3 x ` 1 5 x “ 1. Tako je x “ 15 74 , kar je približno 4 ure, 51 minut in 54 sekund. Kovanci V sedmem poglavju so naloge, ki so povezane z reše- vanjem sistemov linearnih enačb. Na prvem kupu je devet zlatih, na drugem pa enajst srebrnih kovancev. Oba kupa tehtata enako. Iz vsakega kupa vzamemo po en kovanec in ga damo na drugi kup. Kup, ki je v glavnem sestavljen iz zlatih kovancev, sedaj tehta 13 utežnih enot manj kot kup, ki vsebuje večino srebrnih kovancev. Poišči teži zlatega in srebrnega kovanca.       P 48 (2020/2021) 36 Če z s označimo težo srebrnega in z z težo zlatega kovanca, dobimo sistem enačb 9z “ 11s 8z ` s ` 13 “ 10s ` z. Sistem ima enolično določeni rešitvi s “ 29 14 , z “ 35 3 4 . Kvadratno mesto V zadnjem, devetem poglavju, so naloge, ki so pove- zane z znanjem o pravokotnih trikotnikih. Med bolj zanimivimi je naslednja: Mesto je obdano s kvadratnim obzidjem. Na vsaki stranici zidu so na sredini vrata. Dvajset korakov pred severnimi vrati je drevo. Če mesto zapustimo pri južnih vratih, naredimo 14 korakov proti jugu in nato 1775 korakov proti zahodu, prvič zagledamo drevo. Kako veliko je mesto? P O J S D V x 2x 1775 14 20 SLIKA 1. Kvadratno mesto Skicirajmo mesto in uporabljajmo oznake s slike 1. Naj bo 2x njegova širina. Ker sta trikotnika POD in VSD podobna, je 20 x “ 34 ` 2x 1775 . Razmerje je ekvivalentno kvadratni enačbi x2 ` 17x ´ 17750 “ 0 z rešitvama x “ ´17 ˘ 267 2 . Za širino mesta moramo vzeti pozitivno rešitev 2x “ 250 korakov. Oddaljeni otok Liu Hui je leta 263 med komentarji knjige zapisal naslednjo nalogo o merjenju oddaljenega otoka: Palici velikosti pet pujev sta postavljeni 1000 pujev narazen (en pu ustreza približno dvema metroma). Če se postavimo med palici 123 pujev za prvo palico, ki je bližje otoku, sta vrh prve palice in vrh otoka po- ravnana. Če pa se postavimo 127 pujev za drugo palico, sta poravnana vrh otoka in vrh druge palice. Kolikšna je višina otoka in koliko je otok oddaljen od prve palice? Naloga bo bolj jasna, če dodamo, da z obale vi- dimo visok klif nad morjem, ki je hkrati najvišja toč- ka otoka. Povedati je treba tudi, da je obala sicer po- ložna in da vrhova obeh palic ter vrh otoka vidimo s točk na tleh. Situacija je ilustrirana in skicirana na sliki 2. Naj bo v višina klifa in d oddaljenost prve palice od otoka. Trikotnika BP1Q1 in BOV sta si podobna, zato je 5 v “ 123 123 ` d . Prav tako sta si podobna tudi trikotnika AP2Q2 in AOV , zato je 5 v “ 127 d` 1000 ` 127 . Od tod dobimo sistem enačb 615 ` 5d “ 123v 5635 ` 5d “ 127v z rešitvama v “ 1255 in d “ 30750. Otok je visok 1255 pujev in je 30750 pujev oddaljen od prve palice.       P 48 (2020/2021) 3 7 AP2BP1O 127123d Q2Q1 V 55 v SLIKA 2. Merjenje otoka z obale Košara z jajci Sun Zi je v petem stoletju med komentarji knjige za- pisal naslednjo nalogo: Če iz košare jemljemo po tri jajca, v košari osta- neta dve jajci. Če jemljemo po pet jajc, ostanejo tri. Če pa jih jemljemo po sedem, ostaneta dve. Koliko jajc je v košari? Naj bo x število jajc v košari. Besedilo pravi, da je ostanek pri deljenju x s 3 enak 2, ostanek pri delje- nju x s 5 enak 3 in ostanek pri deljenju x s 7 enak 2. Danes to krajše zapišemo kot sistem kongruenc: x ” 2 pmod 3q x ” 3 pmod 5q x ” 2 pmod 7q Izkaže se, da je takšen sistem zagotovo rešljiv, če so moduli paroma tuji. Danes ta rezultat imenujemo Kitajski izrek o ostankih. Kitajci so vedeli, da morajo v tem primeru rešitev iskati v obliki x “ 3 ¨ 5 ¨ a` 3 ¨ 7 ¨ b ` 5 ¨ 7 ¨ c. Zaradi tujosti modulov bi se dalo pokazati, da je prav vsaka rešitev te oblike. Vsak od seštevancev je pre- meteno nastavljen tako, da preostala dva data osta- nek 0 po drugih dveh modulih. To pomeni, da mora hkrati veljati: 15a ” 2 pmod 7q 21b ” 3 pmod 5q 35c ” 2 pmod 3q Ker je 15a “ 2 ¨ 7a ` a, 21b “ 4 ¨ 5b ` b in 35c “ 11 ¨ 3c ` 2c, dobimo a “ 7a1 ` 2, b “ 5b1 ` 3, 2c “ 3c1 ` 2. Če preverimo vse možne ostanke pri deljenju s tri, vidimo, da mora biti c oblike c “ 3c2 ` 1. Ko rešitve vstavimo v nastavek za x, dobimo x “ 3 ¨ 5 ¨ 7pa1 ` b1 ` c2q ` 128 “ 105n` 128. Najmanjšo smiselno naravno rešitev dobimo v pri- meru n “ ´1. Takrat je x “ 23. Naslednja je že 128. Vse ostale rešitve dobimo s prištevanjem večkratni- kov števila 105. Perutnina Yang Hui je v trinajstem stoletju pazljivo predelal De- vet poglavij matematične umetnosti in med komen- tarji zapisal zanimivo nalogo, ki je povezana z reše- vanjem linearnih diofantskih enačb: Petelin stane pet čienov, kokoš tri čiene in trije pi- ščanci en čien. 100 glav perutnine kupimo za 100 čienov. Koliko petelinov, koliko kokoši in koliko piščan- cev smo kupili? Naj bo x število petelinov, y število kokoši in z število piščancev, ki smo jih kupili. Potem je 5x ` 3y ` 13z “ 100 , x `y ` z “ 100 .       P 48 (2020/2021) 38 Če odpravimo spremenljivko z, dobimo enačbo 7x ` 4y “ 100. To je enačba premice v ravnini, na kateri leži ne- skončno točk s koordinatama px,yq. Za rešitev na- loge bodo zanimive le točke, ki imajo za koordinate nenegativna cela števila. Kitajci so, enako kot Grki in Indijci, že znali reševati t. i. diofantske enačbe. Naj- prej je treba v celih številih rešiti diofantsko enačbo 7x ` 4y “ Dp7,4q, kjerDp7,4q “ 1 pomeni največji skupni delitelj števil 7 in 4. Zelo lahko je uganiti eno od celih rešitev, re- cimo x0 “ ´1 in y0 “ 2. Indijski matematik Brahma- gupta je v sedmem stoletju pokazal, da so vse ostale celoštevilske rešitve enačbe 7x ` 4y “ 1 oblike x “ x0 ` 4k “ 4k´ 1 , y “ y0 ´ 7k “ 2 ´ 7k . Poskušajte opaziti idejo, da sta rešitvi nastavljeni tako, da se dodana 4k in 7k odštejeta. Iskani reši- tvi originalne enačbe 7x ` 4y “ 100 pa sta 100 krat večji: x “ 100x0 ` 4k “ 4k´ 100 , y “ 100y0 ´ 7k “ 200 ´ 7k . Da bosta rešitvi smiselni, mora seveda veljati x ě 0 in y ě 0. To pomeni, da mora biti 25 ď k ď 28. Za smiselne k dobimo kar štiri ustrezne rešitve: 28 12 4 84 27 8 11 81 26 4 18 78 25 0 25 75 k x y z Prva rešitev odpade, če vemo, da smo kupili vsaj enega petelina. Naloge Če nam je uspelo z nalogami navdušiti katerega od bralcev, se lahko loti še naslednjih kitajskih nalog. 1. Hitri tekač preteče 100 korakov v enakem času kot počasni 60 korakov. Hitri tekač da počasne- mu 100 korakov prednosti, nato starta tudi on. Čez koliko korakov bo ujel počasnega? 2. Kubični kun žada tehta sedem liangov, kubični kun peska pa šest liangov. V kocki s stranico tri kune je mešanica žada in peska, ki tehta 11 jinov. Kolikšni sta teži žada in peska v kocki? (1 jin=16 liangov) 3. Okroglo mesto z neznanim premerom ima na vsa- ki od strani neba vrata. Oseba A starta pri zaho- dnih vratih in naredi 480 pujev proti jugu. Oseba B pa starta pri vzhodnih vratih. Ko naredi 16 pu- jev proti vzhodu, zagleda osebo A. Poišči premer mesta. 4. Če neznano število kroglic postavimo v sedem enako dolgih vrst, nam ostane ena; če jih posta- vimo v osem vrst, ostaneta dve; če jih postavimo v devet vrst, ostaneta tri. Koliko je vseh kroglic? 5. V isto kletko damo fazane in zajce. Naštejemo 35 glav in 94 nog. Koliko fazanov in koliko zajcev je v kletki? ˆ ˆ ˆ Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na za- četku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 5 7 8 11 11 15 8 11 ˆ ˆ ˆ       P 48 (2020/2021) 3 9 Regresijska premica P L̌ Denimo, da imamo v pravokotnem koordinat- nem sistemu na ravnini tri točke, T1px1, y1q, T2px2, y2q, T3px3, y3q, ki sicer ne ležijo na isti pre- mici. Ampak v mislih si vseeno lahko narišemo premico, od katere bodo vse le malo oddaljene. Ilu- stracijo imamo na sliki 1. SLIKA 1. Tri točke, ki ne ležijo na isti premici. Denimo, da so te tri točke rezultati treh meritev para količin px,yq in vemo, da je zveza med količi- nama teoretično linearna v obliki y “ f pxq “ px`q. Tu sta p in q neznana in ju moramo še določiti. Za- radi slučajnih napak pri meritvah prihaja zmeraj do rahlih odstopanj od pravih vrednosti in zato točke niso kolinearne. Kako bi kar najbolje izkoristili rezultate vseh treh meritev in določili premico, ki se »najbolje« prilega vsem trem meritvam? Radi bi, da premica kar naj- bolje podaja rezultate meritev, se pravi, da je f pxiq kolikor je mogoče blizu yi za i “ 1,2,3. Odstopanja, to so vrednosti |f pxiq ´yi|, naj bi bila kolikor je mo- goče majhna. Na sliki 2 smo narisali premico, ki se na oko kar dobro prilega danim podatkom. Dolžine debelo narisanih navpičnih rdečih daljic so veliko- sti odstopanj meritvenih vrednosti od ustreznih vre- dnosti na premici. Nekatera odstopanja so navzgor, druga navzdol. Nekako moramo minimizirati ta od- stopanja v celoti. Obstajajo močni razlogi (ki jih pa tu ne moremo razlagati), da uporabimo metodo naj- manjših kvadratov. To pomeni, da skušamo mini- mizirati vsoto kvadratov odstopanj, torej vsoto kva- dratov dolžin rdečih daljic na sliki 2. SLIKA 2. Rdeče so narisana odstopanja.       P 48 (2020/2021) 310 Števili p in q moramo torej izbrati tako, da bo vsota W “ py1´f px1qq 2`py2´f px2qq 2`py3´f px3qq 2 (1) minimalna. Premico, ki zadošča tem pogojem, ime- nujemo regresijska premica. To lahko posplošimo. Če imamo točke T1px1, y1q, T2px2, y2q, . . . , Tnpxn, ynq, je regresijska premica y “ f pxq “ px ` q tista, za katero je vsota W “ py1 ´ f px1qq 2 ` py2 ´ f px2qq 2 ` . . . ` pyn ´ f pxnqq 2 (2) najmanjša. V programu Geogebra je regresijska premica ime- novana trendna črta. Napišemo seznam točk in ukaz Trendna črta nam nariše regresijsko premico in da njeno enačbo. Uporabimo lahko tudi program za preglednice Excel. Grafična računala znajo potegniti tako premico. Z vektorji bomo izpeljali enačbo regresijske pre- mice v primeru treh točk. V ta namen se bomo pre- selili v trirazsežni prostor. Če vas zanima le rezultat, lahko nadaljujete pri enačbah (3) in (4). Število W v enačbi (1) je kvadrat razdalje med znano točko Y py1, y2, y3q s krajevnim vektorjem á́y “ py1, y2, y3q in neznano točko Zpf px1q, f px2q, f px3qq s krajevnim vektorjem á́ z “ pf px1q, f px2q, f px3qq. Ta W mora biti minima- len. Zato mora biti razdalja med Y in Z minimalna! Vektor á́z lahko zapišemo, kot lahko takoj preve- rite, zaradi f pxiq “ pxi ` q (za i=1,2,3) takole: á́ z “ ppx1, x2, x3q ` qp1,1,1q. Označimo px1, x2, x3q “ á́ x , p1,1,1q “ á́c . Torej je á́ z “ p á́x ` q á́c . Tako točka Z leži na ravnini, napeti na znana vek- torja á́x in á́c . Z drugimi besedami, točka Z leži na ravnini Σ skozi izhodišče ter točki Xpx1, x2, x3q in Cp1,1,1q. Iščemo torej točko Z na ravnini Σ, ki je najmanj oddaljena od točke Y . To je točki Y naj- bližja točka na ravnini Σ. Geometrija nam pove, da je iskana točka Z pravokotna projekcija točke Y na ravnino Σ. Vektor á́ YZ “ á́z ´ á́y “ p á́x `q á́c ´ á́y je torej pra- vokoten na vektorja á́x in á́c , ki razpenjata ravnino Σ. Tako je skalarni produkt pp á́x `q á́c ´ á́y q¨ á́x “ p á́x ¨ á́x `q á́c ¨ á́x ´ á́y ¨ á́x “ 0. Še pp á́x `q á́c ´ á́y q¨ á́c “ p á́x ¨ á́c `q á́c ¨ á́c ´ á́y ¨ á́c “ 0. Dobili smo sistem dveh linearnih enačb za p in q: p á́ x ¨ á́x ` q á́c ¨ á́x “ á́y ¨ á́x p á́ x ¨ á́c ` q á́c ¨ á́c “ á́y ¨ á́c ... Izračunamo skalarne produkte v zadnjih dveh enač- bah: á́ y ¨ á́x “ y1x1 `y2x2 `y3x3, á́ x ¨ á́x “ x1 2 ` x2 2 ` x2 2, á́ y ¨ á́c “ py1, y2, y3q.p1,1,1q “ y1 `y2 `y3, á́ x ¨ á́c “ x1 ` x2 ` x3, á́ c ¨ á́c “ 3. Sistem enačb za p in q lahko tako prepišemo v enačbi ppx1 2 ` x2 2 ` x3 2q ` qpx1 ` x2 ` x3q “ y1x1 ` y2x2 ` y3x3 (3) ppx1 ` x2 ` x3q ` 3q “ y1 `y2 `y3. (4) Primer Vzemimo točke (1,4), (3,3), (5,0) v ravnini. Tako je x1 “ 1, y1 “ 4 itd. Če te podatke vstavimo v (3) in (4), dobimo 35p ` 9q “ 13, 9p ` 3q “ 7.       P 48 (2020/2021) 3 11 Pomnožimo drugo enačbo z ´3 in prištejmo prvi, pa dobimo 8p “ ´8 in tako je p “ ´1. Izračunamo še q “ 163 . Premica, ki se najbolje prilega danim trem točkam, ima torej enačbo y “ ´x ` 163 . Narisana je na sliki 3. SLIKA 3. Regresijska premica Brez težav boste verjeli, da formuli (3) in (4) lahko posplošimo na primer n točk in dobimo za parame- tra p in q regresijske premice enačbi: ppx1 2 ` x2 2 ` . . .` xn 2q ` qpx1 ` x2 ` . . .` xnq “ y1x1 `y2x2 ` . . .`ynxn, ppx1 ` x2 ` . . .` xnq `nq “ y1 `y2 ` . . .`yn. Na koncu povejmo še nekaj o zgodovini metode naj- manjših kvadratov. Izvira iz potreb astronomov in geodetov po povečanju natančnosti z večkratnimi meritvami. Dubrovčan Rudjer Bošković je leta 1757 predlagal kriterij za najboljšo aproksimacijo, ki bi na sliki 2 pomenil najti premico, pri kateri je naj- večje odstopanje najmanjše, se pravi, največja med rdečimi daljicami naj bo kolikor je mogoče kratka. Slavni francoski matematik Pierre Simon Laplace (1754–1827) je avtor izredno vplivne monografije (v petih knjigah) o nebesni mehaniki Traité de méca- nique céleste. Laplace je predlagal minimiziranje vso- te dolžin rdečih daljic na sliki 2. Francoz Adrien-Marie Legendre je leta 1805 prvi jasno predstavil metodo najmanjših kvadratov. Nare- dil je tudi primerjavo z Laplaceovo metodo pri raču- nanju oblike Zemlje. Uporabil je kar Laplaceove po- datke. Astronomi in geodeti so hitro razumeli prednosti nove metode. Matematik Carl Friedrich Gauss (1777–1855), ki je kasneje dobil naziv knez matematikov, je že leta 1801 uporabil metodo najmanjših kvadratov pri do- ločitvi orbite pritlikavega planeta Cerere. To je odkril italijanski astronom Giuseppe Piazzi. V dobrem me- secu je opravil 24 opazovanj. Potem je zbolel, med njegovo boleznijo pa je Cerera izginila v siju Sonca. Podatke je Piazzi kasneje poslal trem drugim astro- nomom. Ko naj bi bilo opazovanje spet mogoče, pla- neta niso več mogli najti. Štiriindvajsetletni Gauss je izdelal novo metodo za približno določevanje orbit in po intenzivnem računanju s Piazzijevemi podatki eno leto po odkritju sporočil, kje naj iščejo Cerero (Ceres). Dejansko so jo našli pol stopinje od predvi- denega mesta. Takratni astronomi si verjetno niti v sanjah niso mogli predstavljati, da bo dobri dve stoletji kasneje (leta 2015) Cerero obiskala in jo od blizu proučila vesoljska sonda Dawn. Vsi prej omenjeni so bili del znanstvene skupnosti, ki je postavila temelje, da je bilo to sploh mogoče. Gaussova trditev, da je metodo najmanjših kvadra- tov razvil že leta 1795 (a tega ni objavil), je vodila v spor z Legendrom. Kasneje pa je Gauss veliko upo- rabnost metode utemeljil z verjetnostnim računom in to tudi objavil. ˆ ˆ ˆ Križne vsote R  ̌            8 5 7 8 2 6 11 11 3 1 7 15 8 1 7 11 3 8 ˆ ˆ ˆ       P 48 (2020/2021) 312 Fizika pomaga matematiki B B̌́  A M́ V tem kratkem prispevku bomo pokazali, kako uporabimo znanje o poševnem metu za dokaz adicijskega izreka sinpα˘ βq “ sinα cosβ˘ cosα sinβ. Žoga se na začetku nahaja na vznožju klanca z naklonom β. Vržemo jo po klancu navzgor z začetno hitrostjo v0 in pod kotom 90° ě α ą β glede na vodoravnico. Žoga pade na klanec v točki T , kot kaže skica na sliki 1. Izhodišče koordinatnega sistema O postavimo v točko, v kateri se nahaja žoga na začetku, ko začnemo meriti čas t “ 0. Koordinatna ravnina xy je navpična, tako da tirnica žoge leži v njej, os x je vodoravna, os y pa navpična. Zračni upor zanemarimo. Znanje fizike nam pomaga izraziti lego žoge ob poljubnem času t: xzptq “ v0 cospαqt (1) yzptq “ v0 sinpαqt ´ 1 2 gt2. (2) x1 y 1 O x y Ppv0 cosαt,v0 sinαtq P 1 T pxT , yT q xT |PT | “ 12gt 2 |OP | “ v0t |P 1T | “ 12gt 2 cosβ d v0 α β α´β β v0 α v0 cosα v0 sinαv0 α´β v0 cos pα ´β q v0 sin pα ´β q SLIKA 1.       P 48 (2020/2021) 3 13 Žoga pade na klanec v točki T ob času tT . Koordinate točke T ´ v0 cospαqtT , v0 sinpαqtT ´ 1 2gt 2 T ¯ določimo na sledeč način. Označimo domet žoge |OT | “ d. V pravokotnem trikotniku OxTT je cosβ “ xT d ðñ d cosβ “ xT ðñ d cosβ “ v0 cospαqtT (3) in sinβ “ yT d ðñ d sinβ “ yT ðñ d sinβ “ v0 sinpαqtT ´ 1 2 gt2t . (4) Če pomnožimo enačbo (3) s sinβ in enačbo (4) s cosβ ter izraza med seboj odštejemo, dobimo v0 cospαq sinpβqtT “ v0 sinpαq cospβqtT ´ 1 2 gt2T cosβ, od koder sledi tT “ 2v0psinpαq cospβq ´ cospαq sinpβqq g cosβ . (5) Če koordinatni sistem zasukamo za kot β v nasprotni smeri vrtenja urinih kazalcev v sistem x1y 1, ki je na sliki 1 označen sivo, v tem sistemu enačbo gibanja žoge zapišemo takole: x1zptq “ v0 cospα´ βqt ´ 1 2 g sinpβqt2 “ d (6) y 1zptq “ v0 sinpα´ βqt ´ 1 2 g cospβqt2 “ 0. (7) Upoštevali smo, da ima v zavrtenem sistemu težni pospešek komponenti različni od nič vzdolž obeh osi in gibanje vzdolž vsake od osi je enakomerno pospešeno. Zadnja dva izraza ustrezata pogoju, da žoga pade na klanec, to je ob času tT . Iz enačbe (7) izrazimo čas, ob katerem žoga pade na klanec: tT “ 2v0 sinpα´ βq g cosβ . (8) Iz enačb (5) in (8) sledi sinpα´ βq “ sinpαq cospβq ´ cospαq sinpβq, to je zveza, ki smo jo želeli dokazati. Nadalje lahko iz (1) in (2) zapišemo (glej sliko 1) d “ b x2T `y 2 T “ c v20 cos2pαqt 2 T ` v 2 0 sin 2pαqt2T ´ v0 sinpαqgt 3 T ` 1 4 g2t4T “ c v20 pcos2α` sin 2αqt2T ´ v0 sinpαqgt 3 T ` 1 4 g2t4T “ c v20 t 2 T ´ v0 sinpαqgt 3 T ` 1 4 g2t4T . (9)       P 48 (2020/2021) 314 Iz enačbe (6) sledi d2 “ v20 cos 2pα´ βqt2T ´ v0 cospα´ βqg sinpβqt 3 T ` 1 4 g2 sin2pβqt4T . Iz enačbe (9) pa sledi d2 “ v20 t 2 T ´ v0 sinpαqgt 3 T ` 1 4 g2t4T . Izraza izenačimo in po krajšanju t2T dobimo v20 cos 2pα´ βq ´ v0 cospα´ βqg sinpβqtT ` 1 4 g2 sin2pβqt2T “ v 2 0 ´ v0 sinpαqgtT ` 1 4 g2t2T . Enačbo preuredimo v ´ v0 cospα´ βqg sinpβqtT “ v 2 0 p1 ´ cos 2pα´ βqq ´ v0 sinpαqgtT ` 1 4 gt2T p1 ´ sin 2 βq, upoštevamo zvezo 1 “ cos2α` sin2α in izraz nekoliko preuredimo v v0 sinpαqgtT ´ v0 cospα´ βqg sinpβqtT “ v 2 0 sin 2pα´ βq ` 1 4 gt2T cos 2 β. Iz (8) vstavimo čas in sledi v0gpsinα´ cospα´ βq sinβq 2v0 sinpα´ βq g cosβ “ v20 sin 2pα´ βq ` 1 4 g2 ˆ 2v0 sinpα´ βq g cosβ ˙2 . Okrajšamo kvadrat začetne hitrosti in težni pospešek v psinα´ cospα´ βq sinβq sinpα´ βq cosβ “ sin2pα´ βq. Pomnožimo s cosβ in delimo s sinpα´ βq: sinα´ cospα´ βq sinβ “ sinpα´ βq cosβ. Iz zadnjega izraza, če vstavimo α´ β “ γ ðñ α “ β` γ, končno sledi sinpβ` γq ´ cosγ sinβ “ sinγ cosβ ðñ sinpβ` γq “ sinβ cosγ ` cosβ sinγ. S tem smo pokazali, da adicijski izrek velja tudi za vsoto kotov. Literatura [1] A. Muminagić, MiŠ, matematika i škola, časopis za nastavu matematike, 100 20 (2019), str. 214, Element, Zagreb. [2] B. Pavković in D. Veljan, Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 1995. ˆ ˆ ˆ       n a d a lje va n je n a st ra n i 18 P 48 (2020/2021) 3 15 Vrtinci v toku kapljevin in plinov A L V potokih in rekah opazimo vrtince za ovirami ali nenadnimi razširitvami struge. Pri slednjih teče voda v nasprotni smeri glavnega toka. Kajakaši na divjih vodah radi poiščejo vrtince in zapeljejo vanje, da si malo odpočijejo. Tudi v krožniku juhe se pokažeta vrtinca za žlico, ki jo delno potopljeno povlečemo po gladini. Velike vrtince opazimo pri tornadih, vrtinčastih tropskih viharjih (hurikanih) in ciklonih. SLIKA 1. Vrtinec v reki Izračunavanje gibanja kapljevin in plinov ni pre- prosto. Čeprav velja za njihovo gibanje le Newto- nov zakon, ki povezuje silo na majhen delec teko- čine ali plina z njegovim pospeškom, so enačbe, ki jih izpeljemo, zapletene in jih v večini inženirsko po- SLIKA 2. Vrtinca za lopatico, ki jo delno potopljeno povlečemo po vodni gladini. Levo vidimo vrtinca v odbiti svetlobi, ker se gladina v vrtincu nekoliko vdre, na desni pa v prepuščeni svetlobi na dnu. posode membnih primerov obvladamo le z velikimi računal- niki. V področju hudo zvrtinčenega toka (turbulence) pa tudi ti odpovedo. Do popolnega razumevanja teh enačb se tudi matematikom še ni uspelo dokopati, zato je gibanje tekočin in plinov eno redkih še nere- šenih področij klasične fizike. Kljub tem načelnim težavam pa so praktiki razvili kopico dobro delujočih navodil (algoritmov), po ka- terih kar natančno izračunamo tok tekočin. Z izra- zom tekočina zajamemo tako kapljevine, torej teko- čine v vsakdanjem pomenu besede, kot tudi pline. V Preseku se teh podrobnih navodil ne bomo lotevali, lahko pa pokažemo nekaj izidov takih računov. Spet ne bomo računali zapletenih nalog, omejili se bomo na dobro pregledno dvodimenzionalno gibanje, kot ga opazimo pri vodnem toku v rekah in potokih ali pri žlici v juhi.           P 48 (2020/2021) 316 Nagradna križanka ˆ ˆ ˆ      Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 1. februarja 2021, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo pre- jeli knjižno nagrado.           P 48 (2020/2021) 3 17       n a d a lje va n je s st ra n i 15 P 48 (2020/2021) 318 Najprej si oglejmo vodni tok pri nenadni veliki pra- vokotni razširitvi struge. Na sliki 3 je prikazan tok reke iz ptičje perspektive z vektorji hitrosti površine. Pri dovolj veliki hitrosti vode v glavnem toku opa- zimo vrtinec za razširitvijo. Glede na hitrost vode v strugi pred razširitvijo so hitrosti v vrtincu sicer majhne, a vrtinca ni moč spregledati. Na sliki 4 je prikazan tok pri nenadni razširitvi in poznejši zoži- tvi struge. Tu je vrtinec zasedel celotni razširjeni del struge. Pri tretjem primeru na sliki 5 pa imamo v strugi prečno oviro, ki prisili tok, da se razdeli na dva dela skozi obe ožini ob bregovih struge, na sredi pa miruje. Za oviro vidimo dva izrazita vrtinca, ki ju vidimo tudi za žlico v juhi. SLIKA 3. Izračunane hitrosti delov vode pri nenadni razširitvi struge. Vi- den je vrtinec ob razširitvi. Nekoliko preseneča, da so enačbe za opis tokov tako zapletene. Saj vemo, da je Newtonov zakon pre- prost, tudi enačbe za posamezne primere, ki slonijo na njem, navadno niso zelo nepregledne in zamo- tane. A vemo, že pri gibanju togih teles, npr. vrtavk, enačbe niso več preproste, vpeljati moramo vrtilno količino, pa vztrajnostne momente, navore . . . Pri te- kočini so njeni deli v tesnem stiku, drsijo drug mimo drugega, se prerivajo in delujejo s silami drug na drugega. Vpeljati moramo od kraja odvisen tlak, ki to prerivanje dovolj dobro opiše. Pri kapljevinah je res tako, pri plinih pa je med molekulami dovolj pro- stora in se te večinoma prožno odbijajo druga od druge. Kaj, ko bi poskusili izračunati tok plina kar na tej osnovi? Prožni trk ni zelo zapleten pojav, znamo SLIKA 4. Tok vode pri razširitvi in poznejši zožitvi struge. V razširje- nem delu kraljuje vrtinec. Vektorji hitrosti v vrtincu so zaradi preglednosti nekoliko povečani. ga natančno obravnavati. Tlaka nam ni potrebno vpe- ljevati, saj bo gostota molekul povedala, kolikšen je na danem mestu, če nas bo to kaj zanimalo. Več mo- lekul na nekem kraju bo s trki poganjalo molekule na mesto, kjer jih je manj. Kljub povsem elastičnim tr- kom pa viskoznost plina ni enaka nič, saj se s trki in potovanjem med trki prenaša tudi gibalna količina. Tako je tudi pri ploščicah. Pa poskusimo! Obravnavali bomo prožni trk okro- glih ploščic, ki se brez trenja in vrtenja gibljejo po vodoravni ravnini med bregovi struge. Prožnega trka dveh enakih ploščic ni težko obravnavati, saj je to del rednega pouka fizike. Na sliki 6 sta ploščici ravno v stiku, enotski vektor, ki povezuje njuni središči, smo označili z á́e . Po trku se obema ploščicama spremeni gibalna količina. Prvi za, denimo ´G á́e , pri drugi pa zaG á́e zaradi tretjega Newtonovega zakona, ki pravi, da je sila ene ploščice na drugo nasprotno enaka sili druge na prvo, čas de- lovanja obeh sil pa je enak. Sili delujeta le vzdolž vektorja á́e , ker se ploščica pri trku vda le pravoko- tno na obod. Če bi želeli vpeljati dodatno viskoznost, bi vpeljali tudi sili, pravokotni na á́e . Da določimo velikost G gibalne količine G á́e , upoštevamo, da se skupna kinetična energija pri trku ohrani, torej 1 2 mv21 ` 1 2 mv22 “ 1 2 mp á́v1 ´ G m á́ e q2 ` 1 2 mp á́v2 ` G m á́ e q2 . Na levi strani smo zapisali kinetično energijo ploščic       P 48 (2020/2021) 3 19 SLIKA 5. Izračunana vrtinca za ploščato oviro v strugi. Zaradi preglednosti so vektorji hitrosti v vrtincu povečani, v režah med strugo in oviro pa močno zmanjšani. SLIKA 6. Ploščici med trkom – izmenjana gibalna kolǐcina G á́ e je v smeri veznice obeh središč. Enotski vektor á́ e kaže od enega središča do drugega, vektor, ki ju povezuje, je torej 2r á́e , kjer je r polmer ploščice. pred trkom, na desni pa po njem. Ko maso ploščice m pokrajšamo, sledi po krajšem računu G m “ á́e ¨ p á́v1 ´ á́ v2q , SLIKA 7. Povprečene hitrosti ploščic v strugi z razširitvijo. Dobljene hi- trosti v razširjenem delu struge so presenetljivo podobne tistim na sliki 4. iz tega pa takoj dobimo hitrosti ploščic po trku. Enotski vektor á́e je lahko v poljubni smeri, določiti ga moramo za vsak trk posebej. Pri sledenju ploščic zaznamo trk, ko se središči približata bolj kot na razdaljo premera. Vmes ploščice premikamo glede       P 48 (2020/2021) 320 SLIKA 8. Povprečena hitrost ploščic, ki naletijo na ploščato oviro. Primerjaj s sliko 5. na njihove hitrosti in čas med zaporednimi koraki. Na meji struge se ploščice odbijejo po odbojnem za- konu. Strugo v mislih pregradimo na zgornjem in spodnjem koncu toka. Ko doseže ploščica spodnjo pregrado, jo vrnemo na zgornjo z enako hitrostjo. Tako ponazorimo tok tekočine. Pri prečni oviri mo- ramo le del ploščic vračati na začetek, ostale odbi- jemo nazaj v strugo. Tako zagotovimo razmere, ko je dovolj ploščic za oviro, da pridemo do smiselnega tlaka tekočine za oviro. Prav tako po trku ploščice s to oviro postavimo njeno vodoravno komponento hi- trosti na nič, kar ustreza polzenju tekočine ob oviri. Pri naših računih smo spremljali gibanje stotih ploščic, bile pa so kar velike, njihov premer je bil kakšno desetinko širine reke. Ploščice se gibljejo na- videz zelo neurejeno, vrtince lahko le slutimo. A pri povprečenju njihovih hitrosti na danem mestu hitro pridemo do slik, ki so zelo podobne slikam, ki smo jih dobili z računanem. Tako sta sliki 7 in 8 dvoj- čici slik 4 in 5. Dalj ko sledimo trkom ploščic, manj je neskladja med slikami. Seveda slednje kažejo na- ključne nepravilnosti, ki pa se s časom zmanjšujejo. Naključnost je posledica zelo majhnega števila plo- ščic v primeri s številom molekul v plinu. A podob- nost med slikami je prav presenetljiva. Pri sledenju ploščic nismo upoštevali dodatne vi- skoznosti tekočine. Pri plinih je že vgrajena s trki, pri vodi pa je prav majhna in jo lahko zanemarimo. Pri numeričnem računanju je ne smemo, drugače po- stanejo postopki nezanesljivi in ne pridemo do konč- nih rezultatov. Števila v računalniku namreč hitro narastejo preko obsega, ki ga računalnik še zmore. Brez težav pa lahko vpeljemo dodatno viskoznost tako, da trk ni več elastičen, temveč ena ploščica ne- koliko potegne za sabo drugo. S to spremembo smo izračunali tok plina v ravni strugi brez spremembe njene širine. Na sliki 9 smo prikazali rezultate. In res je potek povprečenih hitrosti preko struge blizu paraboličenga, kar dobimo tudi z natančnim analitič- nim računom. Takemu toku pravimo laminarni tok, v njem ni vrtincev. SLIKA 9. Povprečne hitrosti ploščic v vseskozi enako široki strugi, ko smo med ploščicami vpeljali viskozno trenje. ˆ ˆ ˆ         P 48 (2020/2021) 3 21 Kako daleč je Luna ali skupinska naloga na spletni astronomski olimpijadi V K̌̌ V letošnjem letu so zaradi še preveč znanih ra- zlogov mednarodna tekmovanja odpadla ali pa bila prestavljena v virtualni prostor. Tako je redno mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofi- zike, 14. po vrsti, nadomestila spletna različica Ge- CAA. Dijaki slovenske ekipe so na olimpijadi dobili kar nekaj koščkov žlahtnih kovin. Domen Lisjak je osvo- jil srebrno medaljo, Vid Kavčič, Urša Mati Djuraki in Urban Razpotnik (vsi Gimnazija Bežigrad) bron, Simon Bukovšek (Gimnazija Kranj) pa pohvalo. Na GeCAA, ki so jo organizirali estonski astrono- mi, je sodelovalo več kot 300 dijakov in dijakinj iz 40 držav. Uvodnik v prispevek Tradicionalno je del astronomske olimpijade tudi t. i. tekmovanje skupin (Team Competition), v okviru ka- terega se, bolj za zabavo kot zares, z astronomskimi zagonetkami soočajo skupine naključno izbranih di- jakov iz vseh sodelujočih držav. Letos so bili zaradi tekmovanja na daljavo člani vsake ekipe razporejeni po vsem svetu, kar pa je bila dobra priložnost za izvedbo astronomskih meritev s hkratnimi opazovanji iz različnih krajev na Zemlji, katerih cilj je bil določitev razdalje do Lune. Oddaljenost Lune od Zemlje se sčasoma spremi- nja zaradi ekscentričnosti njene tirnice. Ko je Luna Zemlji najbližje (je v perigeju), je od nje oddaljena približno 360 000 km (Če je takrat Luna tudi v fazi ščipa oz. polne Lune, jo zaradi največje navidezne velikosti imenujemo kar Superluna.), največja odda- ljenost Lune od Zemlje (apogej) pa je približno 405 000 km. Naloga letošnje GeCAA je bila sledeča: Z ekipnim načrtovanjem in izvajanjem vrste opazovanj ter izračunov določite razdaljo središča Lune od središča Zemlje ob 12.00 UT 6. oktobra 2020, natančno, kot le lahko. Vsaka ekipa je tako morala pripraviti predstavitev o opazovalnem delu in meritvah ter njihovo obde- lavo. Zagotovo je bil to precejšen izziv. Poskusimo torej predstaviti nekaj idej, kako bi ta- kšno nalogo lahko teoretično rešili, prav tako pa bo- mo predstavili, kako so zadeve dejansko potekale. SLIKA 1. Polna Luna, posneta na dan reformacije.         P 48 (2020/2021) 322 SLIKA 2. Pri fotografiranju Lune nam zagodejo oblaki. Kljub zakritju lahko včasih napravimo kar dobre posnetke. Oblaki so vidni kot neobǐcajni potemnjeni deli. Teoretični poduk – metode merjenja oddaljenosti Lune od Zemlje Oddaljenost do Lune je mogoče izračunati na več raz- ličnih načinov; predstavimo nekaj različnih. Paralaksa Razdaljo do relativno bližnjih vesoljskih telesnih te- les lahko določamo s paralakso. Paralaksa je razlika v navidezni legi objekta. Objekt namreč opazujemo iz različnih smeri, opazo- vališči se tudi razlikujeta glede na ozadje in sta med seboj oddaljeni za določeno dolžino. Le-to podamo kakor kot med premicama, ki opisujeta ti dve smeri pogleda na vesoljsko telo. Razdaljo med opazovali- ščema pa imenujemo baza. Čeprav se tega redko zavemo, ja paralaksa zelo pomembna za naše življenje. Imamo dve očesi, ki sta razmaknjeni za določeno razdaljo, bazo, kar nam omogoča, da (bližnji) predmet s posameznim oče- som vidimo pod drugačnim kotom. To nam nudi ob- čutek globine. Če pogledamo npr. svinčnik, ki ga dr- žimo pred seboj, enkrat samo z levimo, drugič samo z desnim očesom, svinčnik glede na ozadje vidimo na različnih mestih. Paralakso pri Luni je opazil že starogrški astro- nom Hiparh (okoli 190–120 pr. n. št.). Ker je poznal razdaljo med obema lokacijama in imel zabeležke v zvezi z lego Lune glede na Sonce med mrkom, je lahko s pomočjo trigonometrije določil razdaljo do Lune. Sledimo torej Hiparhu in razmislimo, kako bi se izziva lotili v naši nalogi. Določitev baze V splošni astronomiji poznamo dve posebej imeno- vani vrsti paralakse, ki se imenujeta na podlagi tega, kaj vzamemo za bazo ´ za telesa na večjih oddalje- nostih je za natančnost izračuna priporočljivo vzeti večjo bazo. Kot paralakse, pri katerem iz opazovanega telesa vidimo polmer Zemlje (bazo), ki stoji pravokotno na zorni smeri, imenujemo horizontska/dnevna para- laksa telesa. Uporabljamo jo pri računanju oddalje- nosti Sonca, Lune in ostalih teles v Osončju. Kot paralakse, pri katerem iz opazovanega telesa vidimo srednjo razdaljo med Zemljo in Soncem (1 astronomsko enoto; 1a.e. « 150 000 000 km), ime- nujemo letna paralaksa telesa. Uporabljamo jo pri merjenju oddaljenosti bližnjih zvezd, ki na nebesni sferi med letom opisujejo t. i. paralaktične elipse. Pri našem projektu pa se pojavi težava, saj nismo mogli izbrati nobene od zgornjih standardnih mo- žnosti. Oddaljenost med kraji opazovanja, med ma- no in posameznim kolegi v ekipi ni bila enaka pol- meru Zemlje. Našo bazo oz. baze je bilo treba izračunati. Za po- enostavitev problema predpostavimo, da je Zemlja krogla s polmerom R “ 6370 km. Koordinate opa- zovališč so T1 (ϕ1, λ1) in T2 (ϕ2, λ2). Ob predpo- stavki, da je površje Zemlje sferično, lahko uporabim         P 48 (2020/2021) 3 23 SLIKA 3. obrazce sferne trigonometrije, da dobimo kotno od- daljenost med krajema. Narišimo dovolj verno skico in poiščimo trikotnik, iz katerega bi lahko dobili ko- tno oddaljenost med krajema. Kosinusni izrek v sferični trigonometriji v splo- šnem zapišemo kot cosa “ cosα sinb sin c ` cosb cos c. (1) Poglejmo sferični trikotnik T1T2X in zanj zapišimo kosinusni izrek: cos 2θ“cospλ1 ´ λ2q sinp90 ˝ ´ϕ1q sinp90 ˝ ´ϕ2q ` cosp90˝ ´ϕ1q sinp90 ˝ ´ϕ2q cos 2θ“cospλ1 ´ λ2q cosϕ1 cosϕ2`sinϕ1 sinϕ2 2θ “ arccos rcospλ1 ´ λ2q cosϕ1 cosϕ2 ` sinϕ1 sinϕ2s . Dobili smo izraz za kotno oddaljenost med krajema na Zemlji 2θ. Iz nje moramo dobiti bazo za parala- kso. Baza je tako dolžina zveznice med krajema, ki SLIKA 4. gre skozi Zemljo in ne razdalja med krajema na po- vršju Zemlje. Označimo jo z b. Iz skice 4 izpeljemo enačbo. Velja b “ 2RC sinθ. Enostavni razmislek, zakaj je temu tako, pa prepu- ščam bralcu. Bazo b torej imamo. Določitev kota paralakse Kot paralakse dobimo tako, da vsak od opazovalcev izmeri navidezne nebesne koordinate Lune iz svo- jega kraja, še najlažje s pomočjo teleskopa. Kotna oddaljenost med izmerkoma predstavlja paralakso. Predstavimo to še računsko. Naj bodo izmerjene ko- ordinate I1pδ1, α1q in I2pδ2, α2q. Kotno oddaljenost smo, sicer na primeru Zemljinega površja, že izpe- ljali, zato se tokrat izognimo izpeljavi in kar zapi- šimo p “ arccos rcospα1 ´α2q cosδ1 cosδ2 ` sinδ1 sinδ2s         P 48 (2020/2021) 324 Določitev razdalje Lune od opazovalca Ko imamo tako bazo in kot paralakse, lahko ocenimo oddaljenost Lune: d “ b p . V enačbi je p v radianih. Kotna velikost Oddaljenost Lune lahko določimo tudi iz kotne ve- likosti Lunine ploskvice. Ta metoda je tako račun- sko kot izvedbeno enostavnejša od paralakse, ven- dar pri njej koristimo podatek po Luninem polmeru; če npr. podamo podatek o Luninem polarnem pol- meru RL “ 1736 km in kotno velikost (kotni polarni premer) Lune δ, potem njeno oddaljenost od opazo- valca v tem trenutku s pomočjo skice 3 opišemo z izrazom d “ RL tg δ2 « 2RL δ , kjer poudarimo, da v zadnjem koraku zahtevamo, da je kot δ v radianih. Paziti moramo, da pri taki nalogi razmislimo o vplivu ozračja, ki povzroča lom svetlobe (refrakcijo). Ker je refrakcija odvisna od višine nad obzorjem, je Luna (tudi Sonce, mimogrede) navidezno nekoliko sploščena, kar je najbolje vidno, ko je Luna nizko nad obzorjem. Spremembo (povečanje) kotne višine nebesnega te- lesa nad obzorjem R za telesa z višino, večjo od 15˝, lahko približno opišemo z enačbo Rph ą 15˝q “ P T ¨ 0,00452˝ coth. Spremembo (povečanje) kotne višine nebesnega te- lesa nad obzorjem R za telesa z višino, manjšo od 15˝, približamo z drugačno enačbo, saj moramo po- sebej upoštevati ukrivljenost ozračja: Rph ď 15˝q “ P T 0,1594 ` 0,0196h` 0,00002h2 1 ` 0,505h` 0,0845h2 . V enačbah zgoraj je h kotna višina v primeru od- sotnosti ozračja v kotnih stopinjah, P atmosferski tlak v milibarih (oziorma hektopaskalih) in T tempe- ratura v Kelvinih. Pri sploščenosti igra veliko vlogo razlika refrakcije na dololočenem intervalu, npr. za zgornji in spodnji del Lunine ploskvice. Razlika je na obzorju veliko opaznejša kot takrat, ko je Luna višje na nebu. V na- šem izračunu bomo razliko omenjenih refrakcij za- nemarili, saj je bila višina Lune v času fotografiranja okoli 30˝. Vrnimo se torej k izrazu za oddaljenost Lune od opazovalca v danem trenutku. Seveda pa, ker nas zanima oddaljenost med sre- diščema Lune in Zemlje, in ne oddaljenost med opa- zovalcem in Luno, moramo dobljeno razdaljo malo prilagoditi, kar pa s pomočjo skice 4 niti ni težko. Naj bo torej iskana, prava, razdalja D. Po kosinu- snem izreku za trikotnik iz skice velja D2 “ R2C ` d 2 ´ 2RCd cosp90 ˝ ` hq D “ ` R2C ` d 2 ` 2RCd sinh ˘ 1 2 , s tem pa smo izpeljavo zaključili. Ostale metode Obstaja še vrsta metod, s katerimi bi lahko izraču- nali iskano oddaljenost. V primeru Luninega mrka bi si lahko pomagali z velikostjo Zemljine sence, v pri- meru boljše opremljenosti pa bi oddaljenost lahko izračunali iz časa potovanja radarskih valov do Lu- ne in nazaj. Podobno bi lahko storili tudi z laserskim žarkom, ki bi se odbil od zrcala, ki ga je na Luni pu- stila misija Apollo v letu 1969. SLIKA 5. S to vinjeto si lahko pomagamo pri izpeljavi razdalje. Upoštevamo, da je Luna daleč stran.         P 48 (2020/2021) 3 25 SLIKA 6. Skica za pretvorbo v pravo razdaljo In kako smo rešili nalogo? Pri praktični izvedbi se je, vsaj pri naši skupini, ne- koliko zapletlo. Astronomski kolegi so namreč imeli težavo, da položaja Lune s teleskopom niso mogli izmeriti. Prav tako so se ocene kotne velikosti Lune lotili s posnetka, ki so ga napravili s svojim mobilnim telefonom, kar pa je premalo natančno. Sam sem izvedel meritev oddaljenosti Lune na dan 4. 10. 2020 ob 23.19. Podatke o fotoaparatu in objektivu prikazuje ta- bela 1. Pri fotografiranju je bil objektiv nastavljen na naj- manjšo goriščno razdaljo; fmin “ 200 mm. Kotna velikost stranice slikovne točke v radianih je ϕ0 “ x0 fmin . Iz analize posnetka ugotovimo, da na posnetku Lu- nin premer predstavlja N “ 405 slikovnih točk. Ko- tna velikost je tako ϕ “ N x0 fmin « 0,49774˝. SLIKA 7. Fotografija Lune iz Ljubljane dne 4. 10. 2020 je nastala (zaradi okoliščin) brez stojala. Največja goriščna razdalja objektiva fmax 500 mm Najmanjša goriščna razdalja objektiva fmin 200 mm Goriščno razmerje objektiva F 5,0 Premer objektiva D 86 mm Koeficient efektivne goriščne razdalje k 1,61 Velikost ene slikovne točke x0 4,29 µm Krajša stranica čipa b 14,9 mm Daljša stranica čipa a 22,3 mm EOS CANON 1200D TABELA 1. Podatki o fotoaparatu in objektivu, s katerim smo fotografirali v Ljubjani 4. 10. 2020 ob 23:19, ko je bilo to še dovoljeno. Izračunano vstavimo v enačbo za oddaljenost Lune od nas, opazovalca: d “ RL tg δ2 « 2RL δ « 399666 km. Računamo naprej, za podatke vzamemo h “ 30˝ in RC “ 6370 km: D “ ` R2C ` d 2 ` 2RCd sinh ˘ 1 2 « 402889 km. (2)         P 48 (2020/2021) 326 Rezultat je več kot zadovoljiv, saj je bila prava od- daljenost Lune dne 4. 10. 2020 ob 23.19 od središča Zemlje 402307 km, kar je izjemno blizu našemu iz- računu. Razlog za odstopanje bi lahko bila refrak- cija, vendar ima tu verjetno večji vpliv nenatančnost pri fotografiranju (odsotnost stojala, za objektiv bi lahko uporabil teleskop) in obdelava posnetka. Določevanje razdalje na točno določeni trenutek Vrnimo se k prvotni nalogi. Ta je zahtevala, da izra- čunamo oddaljenost Lune na točno določen datum in uro, to je 6. 10. 2020 ob 12.00 UT. Že po teore- tičnem razmisleku je stvar težko dosegljiva. Ob tej uri iz naših krajev Lune sploh ne bi mogli opazovati, spet druga težava pa je vreme v naših krajih in prav tako vreme v kraju, v katerem prebiva naš astronom- ski kolega (če se odločimo za metodo paralakse). Torej moramo iz več opazovanj konstruirati Lu- nino orbito, iz katere lahko s spodnjo enačbo do- bimo razdaljo v poljubnem trenutku: r pθq “ ap1 ´ e2q 1 ´ e cosθ . (3) Enačba podaja odvisnost razdalje od kota θ med zve- znico perigej-Zemlja in zveznico Luna-Zemlja. Kot θ lahko prav tako dobimo iz Lunine faze. Ekscentrič- nost e pa dobimo iz ocene orbite, ki jo dobimo iz opazovanj. Veliko polos a pa poznamo, saj je kon- stanta. Na tak način lahko predvidimo oddaljenost Lune 6. 10. 2020 ob 12.00 UT. Naloge za bralce Iz podatkov, ki jih lahko najdeš v članku, izraču- naj srednjo horizontsko paralakso Lune. Izračunaj, kako daleč je Soncu najbližja zvezda Proksima Kentavra, če je njena letna paralaksa 768,5 ˘ 0,2 mas. Rezultat podaj v svetlobnih le- tih z napako. Opomba. Oznaka mas pomeni mili ločna sekun- da; torej tisočinka kotne sekunde. Eden od načinov, ki jih astronomi uporabljajo za merjenje oddaljenost Lune, je merjenje s pulzom laserske svetlobe, ki ga proti Luni pošljejo skozi teleskop. Svetloba se odbije od posebnih zrcal, ki so jih astronavti postavili na Luni, in se po od- boju vrne v teleskop. Astronomi izmerijo čas med trenutkom, ko laserski pulz zapusti teleskop, in trenutkom, ko s teleskopom zaznajo vrnjeni pulz. Kolikšna je razdalja med teleskopom in zrcali na Luni, če so astronomi ugotovili, da je bil čas med oddajo pulza in sprejetjem odboja 2,5 sekunde? Za hitrost svetlobe vzemi vrednost 300 000 km/s. Kolikšna pa je razdalja med središčema Zemlje in Lune? Zgodila se je čarovnija! Luna se zmanjša v kro- glo s polovico svoje prvotne prostornine. Na nebu opazimo, da je njen kotni premer prav tako prepo- lovil. Izračunaj, za koliko je čarovnija spremenila oddaljenost Lune od Zemlje. S fotoaparatom, opisanim v članku, in z Newtono- vim reflektorskim teleskopom z goriščno razdaljo f “ 1000 mm in premerom zrcala D “ 20 cm smo fotografirali Mars dne 13. 10. 2020, ko je bil v opo- ziciji s Soncem. Izmerili smo, da njegov premer na posnetku 20 slikovnih točk. Na podlagi teh me- ritev izračunaj premer Marsa. Predpostavi, da Ze- mlja in Mars krožita okoli Sonca po krožnih orbi- tah. Vzemi, da polmer Marsove tirnice dM “ 1,52 a.e. Pokaži, da kosinusni izrek za sferični trikotnik preide v običajnega, ki ga poznamo iz gimnazij- ske trigonometrije, če upoštevamo, da so stranice trikotnika izrazito majhne. V skrajnem primeru velja zveza sinx “ x. *Izpelji enačbo elipse v polarni obliki (3) iz defini- cije elipse. Izpelji podobni enačbi še za parabolo in hiperbolo iz njunih definicij. Literatura [1] F. Avsec in M. Prosen, Astronomija, DMFA – za- ložništvo, Ljubljana, 1969. [2] H. Karttunen in drugi, Fundamental astronomy, Springer, Berlin; New York, 2007. ˆ ˆ ˆ www.dmfa-zaloznistvo.si www.presek.si   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 3 27 Kratek pregled kvantnega strojnega učenja B Ž̌ Kvantno strojno učenje je interdisciplinarno raz- iskovalno področje. Da bi ga lahko razumeli, se bomo posebej posvetili najprej strojnemu učenju in nato kvantnemu računanju. Šele nato bomo po- gledali, kako sta področji prepleteni in zakaj je smi- selno govoriti o kvantnem strojnem učenju. Uvod Strojno učenje je proučevanje algoritmov za opisova- nje pojavov na podlagi podatkov. Gre torej za nabor algoritmov, s pomočjo katerih lahko iz podatkov iz- luščimo uporabno znanje v obliki verjetnostnih po- razdelitev, relacij, pravil ali enačb. Osnovna lastnost algoritmov strojnega učenja je neodvisnost od inter- pretacije podatkov, zato je domena njihove uporabe zelo široka. Algoritmi strojnega učenja so postali ne- pogrešljivo orodje v industriji, logistiki, ekonomiji, medicini in farmaciji, kjer se uporabljajo za medi- cinsko diagnostiko, zaznavanje prevar, za določanje priporočil, prevajanje, razpoznavanje govora in pi- save, klasifikacijo tekstov in slik, za nadzor dinamič- nih procesov in sistemov, igranje iger, avtonomno vožnjo. Najpomembnejši prednosti strojnega učenja v primerjavi z drugimi pristopi sta, da za uspešno rešitev problema le-to ne potrebuje poznavanja po- drobnosti in da se dobljena rešitev izboljšuje s koli- čino podatkov. Poleg zmogljivejših računalnikov je ravno hitro naraščanje količine podatkov tisto, ki je omogočilo zadnji razcvet strojnega učenja. Uspeh slednjega pa je še povečal potrebo po zmogljivejših računalnikih, kar je tudi najpomembnejši motiv za pospešen razvoj kvantnih računalnikov. Čeprav bi lahko trdili, da so vsi osebni računal- niki kvantni, je razlikovanje med klasičnimi računal- niki in kvantnimi računalniki upravičeno. Bistvena razlika je v tem, da klasični računalniki operirajo s klasično informacijo, zakodirano v niz ničel in enic, medtem ko kvantni računalniki manipulirajo osnov- ne kvantnomehanske objekte, valovne funkcije. Prednost kvantnih računalnikov temelji na dejstvu, da je opis valovnih funkcij s pomočjo klasičnih ra- čunalnikov zelo zahteven. Najpomembnejša naloga teoretičnega kvantnega računalništva je torej iskanje načinov izražanja zahtevnih klasičnih operacij s po- močjo dinamike valovnih funkcij, ki jo lahko simuli- ramo s kvantnim računalnikom. Najznamenitejši pri- mer klasično zahtevne operacije, za katero obstaja učinkovitejši kvantni algoritem, je faktorizacija šte- vil. Toda ta, kot tudi drugi znani kvantni algoritmi, potrebuje zmogljiv kvantni računalnik, ki bi mu uspelo manipulirati valovno funkcijo dovolj dolgo, kar trenutno še ni izvedljivo. Težava pri obvlado- vanju valovne funkcije je, da mora biti dovolj dobro izolirana od okolice, torej samih naprav, ki jo spremi- njajo in na koncu izvedejo meritev. Vsak šum, ki se pojavi zaradi interakcije z okolico, se zelo hitro raz- širi in pokvari želeni algoritem. Trenutne naprave niso primerne za znane kvantne algoritme, ki potre- bujejo veliko kvantnih operacij. Ravno nasprotno je s strojnim učenjem, ki je prilagojeno za delo z ve- likimi količinami zašumljenih podatkov. Algoritmi strojnega učenja tako predstavljajo naravno (ustre- zno) izbiro za uporabo trenutnih kvantnih računalni- kov. Vzajemna uporabnost strojnega učenja in kvan- tnega računanja je vzpodbudila prepletenost obeh področij. Govorimo ne le o uporabi kvantnih raču- nalnikov za pohitritev klasičnih algoritmov strojnega učenja in prenosa slednjih v kvantno domeno, am- pak o splošni razširitvi obzorja obeh področij v smi- slu uporabe teoretičnih orodij in zastavljanja novih vprašanj. Raziskovalno področje kvantnega strojne- ga učenja lahko glede na algoritem (klasični ali kvan- tni) in podatke (klasični ali kvantni) ločimo na štiri podpodročja, kot prikazuje slika 1.   ̌      ̌    P 48 (2020/2021) 328 SLIKA 1. Razdelitev področja kvantnega strojnega učenja glede na algo- ritem in podatke Opisovanje klasičnih podatkov s klasičnimi algo- ritmi spada v področje kvantnega strojnega učenja. Sem uvrstimo raziskave, ki uporabljajo metode z enega področja za reševanje problemov na drugem področju. Metode za kompresijo kvantnih stanj lah- ko npr. uporabimo tudi za kompresijo globokih ne- vronskih mrež, kar ima zelo veliko praktično vre- dnost zaradi prenosa globokih nevronskih mrež na računsko manj zmogljive naprave. Iste metode se lahko uporabljajo tudi za reševanje tipičnih proble- mov strojnega učenja, kot so klasifikacija, generira- nje novih podatkov ali prevajanje. Po drugi strani pa predstavljajo klasične metode strojnega učenja, kot so Boltzmanovi stroji, nevronske mreže in avto- regresivni modeli, nov variacijski pristop k simulaciji večdelčnih kvantnih sistemov, ki omogoča učinkovit opis visoko prepletenih kvantnih stanj. Modeli stroj- nega učenja so uporabni tudi pri zaznavanju faznih prehodov. V prvo podpodročje kvantnega strojnega učenja lahko uvrstimo tudi klasifikacijo ekspresivno- sti nevronskih mrež s pomočjo metod za klasifika- cijo kvantnih stanj ter druge formalne povezave med koncepti strojnega učenja in kvantne mehanike. Algoritmi strojnega učenja pa niso uporabni le za obdelavo klasičnih podatkov, ampak tudi kvantnih. Na tem področju lahko izpostavimo dve uporabi strojnega učenja. Prva je kalibracija eksperimentov. Tukaj gre za majhne prilagoditve eksperimentalnih naprav tako, da so pravilno naravnane. Velikokrat je to zelo dolgotrajen postopek, ki ga lahko avto- matiziramo s strojnim učenjem. Poleg kalibracije je strojno učenje uporabno tudi pri določanju valovne funkcije ali pri kvantni tomografiji. Kvantna tomo- grafija se ukvarja z vprašanjem, kako lahko naju- činkoviteje izmerimo stanje kvantnega sistema (va- lovno funkcijo). Število meritev, ki jih moramo opra- viti, da določimo stanje kvantnega sistema, zelo hi- tro narašča z njegovo velikostjo. Zato je kvantna to- mografija večdelčnih kvantnih sistemov zelo težak problem, pri katerem lahko uporaba strojnega uče- nja bistveno zmanjša število potrebnih meritev. Trenutno najaktivnejše področje kvantnega stroj- nega učenja je uporaba kvantnih računalnikov za re- ševanje problemov strojnega učenja. Kvantni raču- nalnik pri tem uporabljamo kot računski pospeševal- nik (podobno kot GPU ali TPU), ki implementira za- poredje kvantnih vrat z več parametri. Ti parame- tri se podobno kot pri standardnem strojnem uče- nju nevronskih mrež prilagajajo glede na vhodne po- datke. Poleg optimizacije parametrov kvantnih vrat sta pri tem pristopu zelo pomembna tudi kodiranje klasične informacije v kvantno stanje ter meritev. Čeprav je opisani postopek eksperimentalno zelo zahteven, so kvantne računalnike že uporavili za re- ševanje lažjih problemov strojnega učenja, kot je kla- sifikacija števk (MNIST). Čeprav so ti problemi s stali- šča standardnih metod strojnega učenja zelo prepro- sti, moramo poudariti, da se zmogljivost kvantnih algoritmov hitro veča z velikostjo kvantnih računal- nikov. Ta pa v zadnjih letih močno narašča, zato je zelo težko napovedati, kdaj bodo kvantni algoritmi uspešnejši od klasičnih. Zadnje podpodročje kvantnega strojnega učenja, obdelava kvantnih podatkov s kvantnimi algoritmi, je zaenkrat še v povojih. Sem spadajo naloge, kot sta obdelava rezultatov kvantnih eksperimentov ali pomoč pri kvantni kriptografiji. Prednost tega pri- stopa je neposredna manipulacija valovne funkcije brez vmesnega koraka meritve, s katerim lahko za- radi prisotnosti šuma izgubimo veliko informacije. Predstavljena podpodročja kvantnega strojnega učenja se med seboj prepletajo in dopolnjujejo, nova dognanja pa vplivajo tudi na druga širša področja, kot so fizika, kemija in farmacija. Ravno uporabnost in splošnost kvantnega strojnega učenja sta glavni vzrok za vse večje zanimanje strokovne in širše jav- nosti za kvantno strojno učenje, ki se mu obeta zani- miva prihodnost. ˆ ˆ ˆ           P 48 (2020/2021) 3 29 Astronomska literatura Govert Schilling, Lars Lindberg Christensen OČI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 ˆ 24 cm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR Guillaume Cannat GLEJ JIH, ZVEZDE Najlepši prizori na nebu v letu 2021 format 16,5 ˆ 23,5 cm mehka vezava 23,90 EUR Ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na naslovu: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/astro/ Individualni naročniki revije Presek imate ob naročilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje cene. Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. ̌  ̌  48/2 Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz druge številke Preseka je Leb- denje. Izmed pravil- nih rešitev so bili iz- žrebani Andrea Ažman iz Blejske Dobrave, Mar- jan Kurnik iz Poljčan in Goran Vujović iz Lju- bljane, ki bodo razpi- sane nagrade prejeli po pošti. ˆ ˆ ˆ                                  P 48 (2020/2021) 330 Kje se konča senca? A̌ M̌  B R̌ Oglejte si fotografijo na sliki 1. Kje se konča pes in kje se začne njegova senca? Težko rečemo. Te- mno pomeni na fotografiji odsotnost svetlobe, do ka- tere lahko pride zaradi vpijanja svetlobe na površini (pes) ali zato, ker svetloba do površine niti ne pride (senca). Vseeno pa se nekaj svetlobe od teh povr- šin odbije in nam pomaga pri razločevanju. Fotogra- SLIKA 1. Nočna fotografija črnega psa pod svetilko fija ima visok razpon svetlosti, a hkrati majhen delež srednjih. To najlažje vidimo na histogramu fotogra- fije. Histogram kaže število slikovnih elementov (pi- kslov) z dano svetlostjo, ki jo pri digitalnih slikah obi- čajno predstavijo s celim številom v intervalu od 0 do 255. Svetlost slikovnega elementa digitalne fotogra- fije lahko izračunamo kot aritmetično sredino RGB vrednosti elementa. RGB vrednosti predstavljajo barvo elementa, ki jo dobimo z aditivnim mešanjem rdeče R, zelene G in modre B. V digitalni fotografiji običajno barvo tvorimo z 255 odtenki posamezne glavne barve, kar nam omogoča predstaviti 255 ˆ 255 ˆ 255 ą 16 milijonov različnih barvnih odten- kov. Tako npr. R = 255, G = 0, B = 0 pomeni čisto rdečo barvo, R = 100, G = 0, B = 0, temnejšo rdečo, R = 255, G = 255, B = 0 pa rumeno barvo. Svetlost 255 ima bela barva z R = 255, G = 255 in B = 255, črna pa ima svetlost 0. SLIKA 2. Histogram fotografije na sliki 1           P 48 (2020/2021) 3 31 Histogram prikaže boljši fotoaparat hkrati, ko de- lamo fotografijo, prikaže pa ga tudi vsak boljši pro- gram za obdelavo slik. Na histogramu fotografije na sliki 2 vidimo dva izrazitejša vrha, enega na levi, pri nižjih vrednostih (pes in senca), drugega na desni, pri višjih (svetla cesta). Pri fotografijah, na katerih so hkrati zelo svetli in temni deli, imamo težavo z nastavitvijo časa osvetli- tve slikovnega tipala. Če nastavimo daljši čas, bodo na sliki vidne podrobnosti temnih delov (psa in sen- ce), svetli pa bodo čisto beli – nadosvetljeni. Če že- limo razbrati podrobnosti na svetlih delih (cesti), fo- tografijo osvetlimo manj, vendar so potem temni deli (pes in senca) čisto črni. V takih primerih si lahko pomagamo tako, da na- redimo eno nadosvetljeno in eno podosvetljeno foto- grafijo, potem pa sliki združimo, tako da od podo- svetljene obdržimo svetle dele, od nadosvetljene pa temne dele fotografije. Združimo jih lahko tudi s po- sebnimi algoritmi, ki primerno obtežujejo slikovne elemente posameznih slik. Tako obdelavo digitalnih fotografij imenujemo HDR (high dynamic range – vi- soko dinamično območje). Če imamo na voljo le eno samo fotografijo, lahko temnejše dele naredimo bolj razločne tako, da pove- čamo svetlost in kontrast slike. S tem postanejo sve- tli deli skoraj beli in na njih ne vidimo več podrob- nosti. Slika 3 kaže tako spremenjeno fotografijo. Na desni je prikazan tudi histogram, na katerem so zdaj svetli deli vidni kot ozek vrh čisto na desni, temni deli pa so raztegnjeni čez večino intervala svetlosti. Iz temine sence in psa se nekoliko razločijo obrisi prednje leve tace. Vidimo, da obstaja način, kako pogledati v senco, toda kakovost fotografije s tem ni večja; na to bi mo- rali misliti že takrat, ko smo fotografijo posneli. SLIKA 3. Fotografija z močno povečano svetlostjo in povečanim kontrastom. Svetli deli fotografije so beli, v temnih pa se začenjajo pojavljati obrisi leve sprednje tačke. ˆ ˆ ˆ Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Lju- bljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je pri- znanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega časa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je različica imena Marija, v čast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poučne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrečenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlično prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja ‚ Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter ‚ Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poučna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred- stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.