ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 6 Strani 344-347 Marijan Prosen: TRIJE NAČINI DOLOČITVE TEŽNEGA POSPEŠKA Ključne besede: astronomija, fizika, merjenja, težni pospešek, nitno nihalo, prožna vzmet. Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1423-Prosen.pdf © 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo TRIJE NAČINI DOLOČITVE TEŽNEGA POSPEŠKA Pospešek prostega pada oziroma težni ali gravitacijski pospešek na površju kakega vesoljskega telesa je pomemben podatek za to telo. Težni pospešek na zemeljskem površju je g = 9,8 m/s2 ali približno 10 m/s2, sicer pa se s krajem (zemljepisno širino) spreminja (glej preglednico). V Ljubljani meri 9,805 m/s2. zemljepisna širina težni pospešek 0° (ekvator) 9,780 m/s2 najmanjši 10° 9,782 m/s2 20° 9,786 m/s2 30° 9,793 m/s2 40° 9,802 m/s2 50° 9,811 m/s2 60° 9,819 m/s2 70° 9,826 m/s2 80° 9,831 m/s2 90° (pol) 9,832 m/s2 največji Težni pospešek ob morski gladini v odvisnosti od zemljepisne širine. Težni pospešek določimo na več načinov. Omenili bomo tri. Vse lahko opravijo že osmošolci. 1. Določitev z nitnim nihalom Izhajamo iz enačbe za nihajni čas ¿o nitnega (matematičnega) nihala z znano dolžino i. Za majhne amplitude velja: Vzamemo eno ali dve nitni nihali (lahko tudi več, vendar ne pretiravajmo) in vsakemu izmerimo nihajni čas. Najbolje je, da izmerimo čas desetih nihajev in nato ta čas delimo z 10, da dobimo čim natančnejšo povprečno vrednost to- skrajne lege na. drugi strani (2) in nazaj do (1). Nihajni čas je čas, v katerem nihalo (utež) naredi en nihaj. 4 2 l Enačbo za fo preoblikujemo v g = ^pr1. Vstavimo vrednosti za to in l v u enačbo in izračunamo g. Teli meritev laliko naredimo veliko. Izračunamo povprečno vrednost težnega pospeška. Sestavimo tabelo: 1 to t2 z0 4 TTJ-l 9= t2 r0 2. Določitev s prožno vzmetjo Za prožno vzmet (vzmetno tehtnico) v območju prožnosti velja Hookov zakon: podaljšek s je sorazmeren z natezno silo (obremenitvijo) F = ks, kjer je k znana konstanta vzmeti (enota N/m). Če k ne poznamo, ga pred meritvami težnega pospeška še določimo. Na vzmet obesimo nekaj (tri do pet) uteži in vsakič izmerimo podaljšek. Vsak kvocient da k. Izračunamo povprečno vrednost. Si il sr r r Naj se vzmet podaljša za s, Če nanjo obesimo utež z maso m oziroma če na utež deluje sila teže FH = mg. Vzamemo eno ali dve prožni vzmeti (lahko tudi več, a ne pretiravajmo), nanju obesimo utež z znano maso m in vsakič izmerimo podaljšek s, ko pride do ravnovesja med F in Fg. //// //// s = O "O" lega Slika 2. Prožna vzmet z znano konstanto vzmeti k, na katero obesimo utež z maso m. Dol vleče Fa — mg, gor pa F — ks. V ravnovesju je mg — ks, od koder sledi g — V enačbo g — — vstavimo izmerjene vrednosti za s, m in k ter izračunamo g. Naredimo lahko veliko meritev in izračunamo povprečno vrednost težnega pospeška. Sestavimo tabelo: k m s ks Primerjamo povprečni vrednosti težnega pospeška po prvem in drugem načinu. Kritično razpravljamo o posameznem načinu, 3, Določitev po teoriji Ker je sila teže enaka gravitacijski privlačnostni sili med dvema telesoma v vesolju, velja mg = G1Jj^f. če je 777, masa telesa, M masa Zemlje, R polmer Zemlje, G gravitacijska konstanta. Po krajšanju z m dobimo g = G . To je znana enačba. Iz nje pri znanih G, M in R z lahkoto izračunamo g. Vendar vzemimo, da G in M ne poznamo, poznamo pa R — 6400 km (ta podatek učenci dobro poznajo). Pomagamo si z gibanjem Lune okrog Zemlje. Vzamemo, da se giblje po krožnici s polmerom r = 384 000 km = 60 R in da je obhodni čas to = 27,3 dneva. Radialna sila pri kroženju Fr = m— (če je m masa krožečega telesa, njegova hitrost v, razdalja od središča kroženja pa r) je gravitacijska privlačna sila. Za Luno z znanimi gornjimi podatki velja m^r = , od koder sledi M — kar vstavimo v prvotno enačbo za r* a a g = ■ SJ- = . Za izračun težnega pospeška potrebujemo vrednosti za v in r. Ker pa je hitrost {« = = aT.s^^so^ = 1 km/s; Luna se giblje s hitrostjo 1 km/s) odvisna od obhodnega časa to, dejansko za izračun potrebujemo le t in ig. Sedaj v enačbo vstavimo vrednosti za v, r in R ter izračunamo težni pospešek poljubno natančno, odvisno od tega, s kako natančnimi podatki razpolagamo. Pred leti smo si na astronomskem taboru zadah nalogo, da izračunamo g samo s podatki, ki jih znamo na pamet. Težni pospešek smo ocenili takole; g ft! (1M° "ffi 'G0 R = ^ou-io» m" ~ 9'4 • Pri tem smo naredili 4% napako, kar pa je v okviru pouka fizike v osnovni šoli sprejemljivo. Težni pospešek smo izračunali, ne da bi uporabili vrednost gravitacijske konstante, to je podatka, ki ga redko znamo na pamet. Ob koncu naj povem še drobno zanimivost. Luna je zelo zapleteno vesoljsko telo. Čeprav nam je od vseh vesoljskih teles najbliže, težko obvladamo vse njene muhavosti. Merjenja količin v zvezi z Luno so zelo zahtevna, saj se stalno in zelo hitro spreminjajo. Seveda to velja tudi za vrednosti to in r. Vrednosti r — 60/v in to — 27,3 dneva pomenita povprečni vrednosti, dobljeni iz zares številnih opazovanj Lune, ki jih astronomi ne opravijo v enem tednu ali mesecu, ampak v dolgih desetletjih. (Opomba: Ti dve vrednosti pravzaprav nihata, r = = 60R ± 3R in to = 27,3 dneva ± 0,5 dneva.) Da bi preveril veljavnost svojega gravitacijskega zakona, je Newton, ki vrednosti gravitacijske konstante še ni poznal, nujno potreboval podatka za to in r. Zanju je prosil prvega kraljevega (greenwiškega) astronoma Flamsteeda, ki je veliko opazoval Luno in je edini razpolagal s tema podatkoma. Newton in Flamsteed nista bila v prijateljskih odnosih. Podatka je Newton dobil, vendar šele po dolgem prepričevanju in prosjačenju. Tako je bila Luna prvo vesoljsko telo, na katerem je Newton uspel potrditi ta, v vesolju splošno veljavni zakon. Marijan Prosen