LIST ZA MLADE MATEMATIKE OO FIZIKE ' ASTRONOME IZDAJA DMFA SRS L-t:h lošketovarne hladilnikoYškofja loka . Toplotna črpalka VTČ-2 'YU , Toplotna crpka VTČ-2 Yl.J 147 MAT EMATIKA 99 108 115 NOV E KNJI GE 118 UGANKE 120 121 FIZIKA 124 KRIžANKA 128 ASTRONOM IJA 136 TEKMOVANJA - NALOGE 143 Igra živ lj enja (Roman Roj ko) Nared imo si pl animete r (Andrej Li kar ) Vsota kubov (Dragol j ub M. Mi loševic , pre vedel Pet er Pete k) (Ci r il Ve lkovr h) še enkrat o uganki o lovcu (Roman Ro jko) š tev i lcn ic a , Enacba , Iskal ni ca "števi la" , dopolnjeva nka s štev i l i (Pavle Gregorc) Hl adilni stroji in t oplotne crpal ke (Janez St rnad) "števil a" (Pavl e Gregorc) Osoncj e nekdaj in danes (Tomaž Pisansk i) Izbra ne naloge za u č ence vi šj i h raz redov osnovne šole (Pavle Zajc) XX I I I. mednarodna matematič na ol impiada (A leksa nder Jur iš ic) Razpis 7. republiškega tekmovanja srednješo lc ev iz ra čuna l rri š t ve (Peter Petek, Izidor Haf ner ) Uganke ( Pav le Greqorc) Izbra ne naloge za u če n ce vi šji h ra zredov osnovne šole (Pavle Zaj c) (Ci r il Vel kovrh)160 152 155 156 151 PRESEKOV šKRAT PREI~I SLI IN REšI REšITVE NALOG Fot ogr a fi j a pl a ni metra , ki ga r a bi jo geometr i pr i svo j em de lu (Foto Marjan Sme rke) II Topl otn a c rp a l ka VTf-2 YU Loš ki h to va rn hl adiln i kov . Dova ja t i j i j e treba elektri č n o moc 0,92 kW, odda ja pa top lo t ni tok oko l i 2 ,5 kW . Grel no štev i lo je ma lenkost manjše kot 3 . Toploto j emlje oko l nemu zr a ku, ki mora i me t i te mp e r a t ur o nad 70 C, in jo oddaja vodi s tem pe r at ur o do 520C. Kot hl adiln o snov rab i d i klo rdi f lu ormeta n. I I I Bis trovi dec - Praš tev i ls ke og r lice (Vladim i r Batagelj) IV Zodiak (živa lski kr oc ) , il us t r a ci j a iz 16 . stoletja. Glej č la nek na 136 . str an i . 97 PR E S E K - l i s t za mlad e matematike, fizik e i n as tro no me. 10 . l e tn i k , šolsko l e t o 19 8 2 / 8 3, 3. šte vilk a, s tr .97- 160 Ur edniški o d bo r: Vlad i mi r Bat age l j ( b l s r r-o v l d e c l , Danij el Be z ek, Andr e j č e de ž ( a s t ro nomi j a) , Jo ž e Do ve r , Rado Flegar (te h n i č n i u r edn ik ) , F ranci F o r s t n e r i č, Bojan Gol l i (t ek mov a n j a - n a l o g e i z fi z ike ) , Pa vel Gre g orc ( ug a n ke , k r iža nke), Ha rJa n Hrib a r , Metka l u z a r - Vl a c h y (po skus i-p r e misli -odgovo r i), Andrej Kmet, lju bo Ko s t r ev c , J o ž e Ko t n i k, Ed v ar d Kra ma r ( g l a v n i u r e dni k ) , Mati I d a lena rčič (pis ma bralc e v ), Go razd leš n j ak (tek mova n ja - n a l o 9 ~ iz matema ti k e ), Andre j lika r ( o d g o v o r n i u r e d n i k , Pre s e k o v a kn j iž n ic a - fi z i ka ) , No r ma M a n k o č-B o r š t n i k , F ranc i Ob la k . Pe t e r Pe t ek ( na lo ge b ra lcev , p re mi s li i n r e š i ) , To ma ž Pi s a n sk i ( ma t e mat i ka ), To ma ž š k u l j , Zv o nk o Tr on t e l j ( f iz i ka), Mar j a n Vagaja , Ci r i l Ve l ko - v r h (nove . kn j i ge, novice - zani mi vo s t i ) . Ro kop is j e .n a t l pk a l a Ivank a Bre z n i ka r , jez ikov no g a ' j e p r e g l ed a l a I van k a Š i rc el j , slike je n a r i sa l Vi l i Vr ho v ec. Dopise po š iljajte in li st na ročajte na naslo v : Komisi ja za t i s k p ri Dru štvu ma - te mat ik ov, fiz ikov i n 'a s t r o no mo v SRS - Pre sek , Jad ranska c , 19 , 6111 1 ljubljana, pp 6 . te l .š tev . ( 06 1) 265 - 061 /53 . Stev o žiro r a č u n a : 50101 - 67 8- 4 72 33 . devi z n i r a č un p ri l ju b l j a n s k i banki š te v . 50 100 -620 -107- 257 300 -569 4/ 4. N a r o čn in a za šol - s ko l e t o j e z a posamez na naroč i la 12 5 . - di n, za s k upinska pa 100 . - d in, za in o - z ems tvo 5 S, 10 . 0 0 0 lit , 1 0 0 Asc h . Posa me z na šte v i lk a s ta ne 4 0 . - d in, z a č l a n e 32 .- d in . li st s of i na nc i rata I z o br a ž e val na s k up nos t S lov e n i j e i n Raz isko valn a s k u p no s t S l o - ve n i j e. Of s e t t is k: č e s o p l s n c i n gra f ičn o pod je tje " DELOII, ljub l jana . l i s t . i zh aj a št i r i d o š es t k r at le t no . Na kl ada 20 .000 iz vod o v . © 19 8 3 Druš t v o matemat i k o v , f i zi ko v i n ast ronomo v SRS - 617 L A O I N T A M p O N A O I K A E N I G M A P O S S T O .~ A ~~ "".~ E O O M I N K L E M E L J R IY j~ E O i ..... e.~ L A N ,.. R A A ~ P I vo,~ K A N A~.~; ~~ u._.=- Ž ""'_11.&. A O A "",ot. STlc.... S T O K." ( '''S' (1'' n- A r~ ;*;,~., Ž E P O A .~ O K O ~~. A R L C S"." c I 'r~;r R K a ""'ll ~. 1"AlI O E ,.~ S S T A So·" g U",,(~, S R " SO, T A L E S ~. E J 'RANA I R A N E C N A . " AUSCE H A O K M 98 MATEMATIKA IGRA 2IVLJENJA V drugi š t e vi lki Prese ka iz l et a 1977/7 8 sem prebral članek o ploskavcih. Tudi sam sem se z njimi ukva rjal in mis li m, da je njihovo ži vlj enj e ta ko zani mi vo, da bi bilo o njem vredno pove - dati še kaj več. Ploskavce je izumil ameriš ki profesor J ohn Con - way. Zamisli l si jih je kot KOLON IJ E CE LIC, ki s e po do ločenem pravilu ra zv ijajo iz roda v r od. Temu r azvi j anj u je rekel IGRA · ZI VLJ ENJ A. Tudi mi bomo namesto imena plos kave c raje uporab lja- li ime kol oni j a celic ali ka r rod. Ro čno računanje rodov j e v večj ih primerih kar brezupno oprav i- lo , za t o smo vanj vpregl i r ačun aln i k. Za njegovo uspešno progra - miranje se moram zahvaliti sode lavcu šte fan u Ki r n u . Preden pred- stavimo i zsled ke naše ga razis kovanja, pa moramo seved a obnovit i zn anje o igri življenja . Pred seboj imejmo kvadratno mrežo (nizki kar o ) . V vs akem kvad - rat ku te mreže lah ko ž i vi ceZi ca . Njene sose de so tiste celi ce, ki ž i vi j o v s osednj ih (dotik a jo č ih se) kvadr at ki h . Vs a ka ce lica i ma ta ko največ 8 sosed . Rodove bomo več kr at hotel i šteti, začet­ ni koloniji celic bomo rek li prvi rod. Pravilu ; po katerem i z ne- kega rodu na stane naslednji rod, pa bomo ~ek li r odo vn i zak on. Opišem o ga t a kole : - Ce lice se rodijo v t istih pr az nih kvadr a t k i h, k i imaj o na tan čno 3 sos ede. Cel ke pr ež ivijo, če imajo 2 al i 3 sosede, dr u g a č e odmre j o , 99 ve 1 i k i s EE Rodovni zako n pot r e buj e doda t no r az la 90 . Ce l i ca pre ž iv i l e te - daj, ka da r i ma r avno pra všn je š t e vi l o s osed. če jih je preveč (4 a l i več), imamo opr a vka s prenase ljen ostjo , ce lica ni ma do- vo l j hkr ane in odmr e . Kada r pa j e so sed pre malo (nič a l i ena), pa l ahk o s klepa mo, da so ce l ice meds eb ojn o odv is ne in potrebuj e vs aka za s voj obs t oj pom o č vsaj dve h s os ed, s ic e r zara di prev e- l ike osaml j enos t i odmre . Kako pa j e z rojs t vom nove ce lice? Zanj so potre bne tr i s osede . Tu si bomo dovol i li š a l o. Za ro js tvo č lo v eka sta potre bna dva odra s la človeka dve h ra z l ič n i h spo lov . Za r ojst vo ce l ic e pote m- t akem t ri odras l e ce l i ce tr e h raz l i č n i h sp ol ov . Na j š a l o nada - l j uj em. Ka da r j e š te vi l o sose d pre ve l iko (4 a l i ve č), pa sto pi v veljavo zn an pre govor "Mnogo babi c , ki lavo de t e " in se ce l ica sp lo h ne ro di . Spre hodi mo se s eda j me d ne kater imi primer , ' 9r e ž iv lj enj a . Za zače tek pogl ej mo ne ka t er e pos eb ne ob l i ke kol oni j ce l i c . 1) STALN ICE so kolo nije , ki se pri pre hodu v nas lednji rod ne spre menijo . Celice ne odm irajo nit i se ne rojevajo. Sl ik a 1 pri - kazuje ne kat e r e z nač il n e osnov ne sta l nice . ~92~ qpqpEtE~ s p lav pušč i c a čo l n ma 1 i s z aboj S l ik a 1. Osnovn e st a l n ice . Neka tere s talni ce , na pr imer s p l a v , p ušči c a , č oln i n ma l i S , i - majo zan imivo l as t nos t , l ahko j ih n am r e č polj ubno podalj š amo, 100 pa so še ved no sta lnice. Slika 2 prikaz uje tr i poda lj šane sta l- nice. podalj šan ma 1 i s podaljšana puš čic a poda ljšan hleb S I ika 2. Nekaterep oda Ljš an e s ta l n i c e Nekatere stalnice pa l ah ko zlagamo drugo poleg druge in z njimi pokr ijemo vso ravnino. Pravokotna skladovnica zabojev, ki so med seboj oddaljeni po en kvadratek, je primer take stalnice . Pozneje jo bomo zopet srečali. 2) NIHA LA so kolon ije ce l ic , ki se s icer sprem injajo, vendar i- majo po p s pr ememba h s pe t t ako ob liko, kakršno s o imele na za - č etku. število p je per i oda nihala. [IT] se ma for s mer o k a z S l i k a 3. Nekaj nih a l spe ri odo 2. 101 Slika 4 pa kaže samo začetne oblike treh nihal. perioda 2 S I ika 4. Nihala rr=§ II1§=U '''IOd'~ perioda 8 Tudi stalnice imamo lahko za nihala, ki se ne spremlnJaJO in i- majo zato periodo 1 (naslednji rod, po enem prehodu, ima isto ob1i ko) . 3) POTNIKI so taka nihala, ki se pri nihanju še premikajo v do- ločeno smer. Potnika z imenom letalo smo že spoznali v omenje- nem prispevku o ploskavcih. Na sliki 5 so prikazani vsi znani potniki. Zanimivo je, da imajo os i periodo 4, torej imajo po štirih spremembah prvotno obliko, le da se nahajajo premaknjeni za en kvadratek v smeri. ki jo nakazuje puščica. 102 raketa 1 raketa 3 raketa 2 Slika 5. Potniki Pri potnikih se pojavi zanimivo vprašanje : Kaj se zgodi, če kam trčijo? Z računalnikom smo si nekatere trke ogledali. Zaradi ob- širnosti te teme povejmo le na kratko, da lahko iz "karambolira- nih" potnikov nastane marsikaj, celo novi potniki, lahko pa tudi po nekaj rodovih vse celice odmrejo in kolonija izgine . Za pod- robnosti pa nimamo ne časa ne prostora. Sedaj pa pridejo na vrsto kolonije celic, ki ne sodijo v nobeno od zgornjih treh vrst . 4) Oglejmo si najprej črto . Ta je lahko le žeča (ali pokončna, če papir tako obrnemo ) ali diagonalna . Diagonalna črta ni zani- miva, saj kmalu izgine, kot se lahko sami prepričate. V vsakem rodu namreč izgubi po dve krajni celici in jo tako pobere po (n+1J/ 2 rodovih . Tu je n števi.lo celic v črti (dolž ina črte). Z ležečo črto pa je drugače. Na sliki 6 si lahko ogledate~ kaj na- stane iz pokončne črte z dolžino 60 ce l ic. Prikazani so 15 .,16., 29 .,30.,31. in 116. rod. Zadnji rod je sestavljen iz 16 zab o - jev , 4 panjev in dveh sema f orje v . Pri naših poskusih se je izka- zalo, da se pri dovolj velikem številu rodov ležeča črta razvije v POSamezne skupine, ki so stalnice, nihala (predvsem se ma f or ) in potniki (zlasti le tala ) . Dobili smo celo občutek, da se to pripeti kakršnikoli koloniji celic, če taka kolonija sploh ne izgine . Zelo verjetno ne obstaja kolonija celic, ki bi slej ko prej preras la vso ravnino. , .o o;,!' ~~ liiI~~~~ -=;" ,p I~ .:. • •~ ~I ~ ., rod 15 rod 16 103 r od 2 9 r od 30 ~. :: :: -:) .,. r o d 31 rod 11 6 S I i ka 6 . Ra zv o j pokonč ne č r te d o l ž in e 60 5 ) Pos ebno za nimi ve kolo nije celic so PUSKE. Te po do ločenem št ev ilu r odov " i zst r e lijo" ene ga al i več potnikov . Na s l i ki 7 so tr i puške. Dve " izstrel it a " po dve l e t a l i , iz ene pa nas ta - nej o ce l o štir i l etala . 2 1e t a 1 i 4 l e t a l a 2 1e ta 1 i S l ika 7 . P u š k e 104 6) Se bolj zani mivi pa s o MITRALJ EZI. To so n a m r e č niha la , ki so hkra t i tudi pušk e . Na žal ost poznam o s amo en mitra l je z, ki i zstr e l j uje Leta La . Tega prikaz uj e s l ika 8 . Tu bomo ' ome nil i še e no kolon ijo ce l i c z imenom poži raLnik . če ga postavimo na pra- vo mest o k mi tr aljezu, po "pož r l " vs a Le t a La , ki i z mit ra l j eza pr ihajaj o. Ta požira lnik j e tudi nih al o ( CJlej s li ko 4 ), prik a- zan pa j e na s l iki 8 /b . a ) • b) • S l i ka 8 . Mit ral j ez • . mi t r a l j e z s po ž i ra 1n i k om 7) Na s liki 2 s mo vide li , kak o l ahko poda ljšamo ma Li s . če se- da j zamenjam o spodnji konec s t i m dru gim ( kot na sli ki gia), dobimo kol onijo celic, ki ni več s ta lni ea, ima pa ze lo zab av en ra z voj. V nas ledn jih rodovi h se n a mr e č novi s podn ji kone c v ob- l i ki motn je pom i ka pr ot i zgorn j emu in pr i tem pod ira bi vš i ma- Li s . Nek ate r e mot nj e pu š ča j o za sebo j s t a l ni ce . Kolo ni j e s ta- ko motnj o se imenuj e jo kosiLn i c e . Tr i si l ahko ogledate na s li - ki 9. a) b ) S l i ka 9 . Ko sil nje e 105 8) Vem o že , da j e pravoko t na sk la dovn ica za boje v , ki so med se - boj oddaljen i za en kvadratek , s t al ni ca . Med dva zaboja posta - vi mo no vo ce l ic o i n i z gubi l i smo staln ico . Nova ce l ica, rečemo ji virus , povz r oc t motn j o ( okužb o) , ki se š i r i na vse s t r an i in n a čen j a bivšo sk la dovnico . Za tako ko lon ijo se kar ponuja ime virusna okužba . ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::......ii. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;!;:::::::::::::::::::::•••••••••.••••••...•••.••••••..•••••••••••••.••••••••••••••••=.= I I ~.I••••II ••• I •••• :::::::::::::::::i~:"~'RJ~=::::::::::::::::::::::::::::::::1;.;& '1::'~~:: : : : : : : : : : : : : I ; ; : ::: : : : :::: : : : ~.~ ~ ~ >~.~ : :: : : : : :: : :: : : : : ::::::i:::::::~~-v. :" r. .~-~I~ :::::::::::::: •• ••••••••••••••• '-~~ .,:I" · i" A t:lI ~r- It. "i .. •••••••••••••••• • •• ••••••••••••••••••••••••• . y y . • • • • • • • • • • • • • •••••••••••••••• I I .............................. •~~ ~ ..••••••••••••••••i.~~ ,~ ~ V""~ .:. v(:~•••••••..•... :::::::::::::!i::Fl~ ~ ~",ti: ::: : : :: : : : : :::: " ::::::::::::::i_~':. ~·A. ~:::::::::::::: :::::::::::::::::••~~•••::::::::::::::::' ::::::::::::::~,:,,~. :-"I ·rN~~J::: :: :: : :: :: : : :•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••:~ :....~ -:Y'....:: :ili:•••••••••••••• .............................................. , ••••••••••••••••• I I ••••••••••••••••• •............................................ , ............................................. ., :.: :.: ~ , . : !:~~::~~:::::::::::::::::::::::::::::::: *En::a:~: : :: : : : : :: : : : :: : : : ::: :: : :: :::::::: S li ka 1 0 . V i r u sn a ok už ba Se ved a lahko na z a čet k u vne s emo tu di v e č ce l ic, a l i pa kak za boj odn esemo, v vsa kem' pr i me r u dobim o viru sn o okuž bo . Izjema je l e ena . Skladov ni ca zabojev je n amre č i muna za viru s, ki ga post a - vi š na sr edo med š t i r i so se dnj e zaboje, t a ko da s e dotik a nj i ho - vih og l iŠč . Sam ugot ovi, zakaj. Na slik i 11 j e pr ikaza nih nekaj ro dq v ž i vlje nj a virusne okuž be , ki se je za če l a z odv ze mom pe t i h za boje v. Pos e ben čar i gre ži vlje nja je l ep ot a vzo rc ev , ki j i h ses t a vl j a j o ce li ce. Včasih so pres enet lj i vo podobni ornamen tom z or ie nt a l - skih pre pr og . Tu moramo omeniti še pre cej o čitno l a s t nos t : pri pre hodu iz ene ga v nas l ed nji rod s e ohran i s i metrija. če s o na m- re č v neki ko lo ni j i ce l ic t e r az vr š če n e s imet r ičn o , velja i s t o ,t udi za ce l i ce na slednj ega r odu. Ko opazuje mo ži vl jenj e kake ko lon ij e cel ic , nam pr i de neh ot e na mise l , da bi bilo zanimivo obrni ti živ ljenje v nasprot no smer - naza j. Zal tu nal e timo na nep re maglj ivo ovi r o, pot nazaj ni e no - l i č n a . Do d o l o čene ko l oni je ce l ic l ahko pr idem o na v eč n a čin o v . 106 - - --............... ......... ............ ........ - ..... •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 1 .......................................................................................... ,•••• I •• I •• II••••••••••••••• !! ••••••••••••••••• U •••••••••••• l a __ ............................ 11•••• 11 •••••• 11 ••••••••••••••••••••••••••• "11 •••••••••••••••••••••••••••••• 11•••••••••••• • 11.11 •••••••••• 111••••••••••••••••••••••••• ..................1.1.1.1••••1.1. II .11••••••• 11••••••••••••••• 1111••••••••••••••••••••••••............................................ ••••••••••••••••••••• 11••••••••••••••••••••• , ~•• I •••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••• ............................................1............................................ ............................................,............................................ ......................., ,.............................................................. ••••••••••••••••••••••• 111 ••••••••••••••••••............................................ ~:::::::::::::::::::::~V...f::::::::::::::::................................................................. .......................................... ..................... ::::::::::::i:::i::~? ~ ~:::i:::: ii::::..................... .................................................................. ::::::::::::::::::::::~A~::::::::::::::::........................................................................................ I:::::::::::::::::::::::l·~::::::::::::::::::.......................................................................................... Ji:::::i:i:::::::::::::::::::::::::::::::::::....................................................................................................................................... .......................................................................................... ......................................................................................... a••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••............................................. 1I· ;~~·l~i5~··················· ··· ··········:t~!Qn:t:::::::::::::::::::::::::::::::::i; ..... ... ................................. 'r.n - ::: • :::.....................:::::::::, .:•....•.•................................... .:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::............................................;••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••1:....................., ,....................••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••1~:::::::::::::::::i~-~::::::::::::::::............................................,.........................................................................................' '::i::::::::::::=.v:;r:. .7,:~ii:::::::H::.....................:.......................,...............~ ,....................................... .................... ............~. . ~~ ..~~............................ . ................... ••••••••••••• It"~ • "1' •••••••••" ::Hi:Hi::i::::'· .oJ'Jo~'.... ·~=ii::ii:::::::i: ;:::::::::::: 1'" \ J .. , :::::::::: ••••••••••••••-1 . • 1"···••••••••••• ::::::::::::"c '. ol f::::::::1 ::::::::::::::~~ . ~ ,,> ':~::: : :: : : ::: : :::: ::::::::::m~~ .~ f.' ~~:::::::::: 1.................. .(; . • .. . . . . . . . . . . . . . . . . . ............. ( .. .........,.................... . ... ................. ~............. I~ ' • • ..~I •••••••••• ' ::::::::::::::::::~n...It::::::::::::::::::: :iHii:::::::::i:}"J • . ... .. ~ : : ::i::i :: ::~......................':'................................................................... ,................. .- ..-' .......................................................... 111••••••••••••••••1- L - l ............................................................ : : : : : : :: : :: : : :: : : : :~-~::: : :: : :: : : : : : :............................................. , ;rJi;r.::i ~::i::ii:iii:;i::::::;::::::::~~~~: :HtiE::~*:i:iiiii:::::ii::i::::i:::::iiii............................................. ~:::::::::::::::::i:ii::::::::::ii:::::::iii:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ,............................................. II •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••............................................. ............................................. , ••••••••••••••••••••• 1' •••••••••••••••••••••• • :::::::::::::::::::::~::::::::::::::::::: I...................~~...................................... .................. ::::::::ii:::::::ii~ ~:iiiiiii::ii::::i:::::::::::::::::: ~:. ~ ::.:.1 ~ : : : : : ::: :: : ::::: ::::::iiiii::i:~: ..' j.~ 1 ~:!~ : i : ::: iii::::i l •••••••••••••• ••~.......i'JI ;.~•••••••••••••••::::::::::::::;~~" I~} ..... ifj::::::::::::: .............~' ,,*. " . ' '.~ ............ ..................."'::1 -.:::--., ...........................~ ',' ., ........... ::ii::::i::::~:~ ~): t~::::::ii:::............. _ 10•• • • •• • •• ••11............... 1.'1~............"............. ). .. - ............ .............. ~~• •0 .. .. .• ..............••••• ;:. . . . . . . . i ,. • •••••••••••• ••••••••••••••• .<.. .',. ~~•.••••••••••••••.................:., ... :................ ::::::::::::::::. .:"~'~...:~':::::::::::::::'.................. . . I "lo • • " ••••••••••••••• ::::::::::::::::::~i.yj::::::::::::::::: .................. ~ ~••• I •••••••••••••,................... .................., ::::::::::::::::::::' .:::::::::::::::::.................... . . ................... 1 ::::::::::::::::::::::l:f::::::::::::::::::::.............................................. ·· ;!a~······································ 1••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ~~. ::!i;i!i:i::::::::::::::::::::ii:::::::1 r*l ;~!~~~r.................................n :: .. ::::::::::::::::::::::::::::::::: Sl i ka 1 1 . Slika 12 pr ikazuj e štiri kolon jce ce lic, ki vse buj e j o po tri ce - l i ce . iz nj ih pa nastane v vsakem primeru ena ce li ca (na sli ki je oz načena s piko ) . CD o O Sli ka 12 . D O o O Roman Rojko 107 NAREDIMO SI PLANIMETF.R Prav gotovo znate izračunati pl oščino kvadrata, trikotnika, kroga .. . Za ta ke "lepe" li ke imamo na voljo r a č u n s k e izraze, ki povezujejo ploščino z dolžinami stranic, višin , s polmerom ... , ki j ih prav enostavno izmerimo. Pa znate izmeriti tud i plo- ščino? šlo bi z milimetrsko mrežo, na pr imer (g lej s li ko 1). Na l i k položimo prozornico z milimetrsko mrežo in preštejemo kvad- ratke, ki ležijo znotraj li ka . Nekaj sitnosti je s kvadratki . na robu l i ka , a tam ocenjujemo. Ce lik le ni pre več "čuden", dobi - mo kar natančen rezulta t. Ploščino l a hko i zme r imo tud i tako, da lik prerišemo na pap ir in ga s š ka r j ami i zr ežem o ter ste hta mo. Nato stehtamo še lik, ki mu ploščino poznamo. Ce je papir homo- gen, je razmerje mas obeh likov enako razmerju ploščin . Iz raz- merja izračunamo neznano p loščino . Ce imate bujno domišljijo, si l ahko iz mis l it e še kakš en nači n, S katerim bi mer ili plošč i ­ ne r avni ns kih li kov. S I ika 1 . P lošči no l a h ko izmerimo t a ko , da na 1 i k po ložimo pro- zornico z mi l i me t r s ko mrežo in seštejemo kvadratke, ki so z notraj 1 i ka . V na šem primeru je ploščina lika 3520 mm 2 . Geometri imajo napra vo, s katero igraje izmerijo p loščino po- lj ubnem u ravni nske mu li ku. Te j napravi pravi jo p l a nime te~ . Na- 108 tančna izvedba takega instrumenta je na naslovnici.Planimeter spo - minja na škarje, ker ima gibljiva kraka. Konec enega kraka je v točki P vrtljivo vpet. Tej točki rečemo pol, kraku pa pol arn i krak . Na koncu drugega kraka - pravimo mu obhodni k r ak - je po- večevalno steklo z označeno obh odno točko O. S tem krakom drsi- mo po krivulji, ki obdaja lik tako, da je obhodna točka ves čas na krivulji . Ko prevozimo lik in pridemo spet v izhodiščno točko, preberemo ploščino na kolescu K. To kolesce med obhodom delno drsi, delno pa se kotali, saj je os, okrog katere je kolesce gibljivo, vzporedna z obhodnim krakom. Skala na kolescu je umerjena , da lahko preberemo ploščino obje- tega lika kar v kvadratnih milimetrih. Pred odhodom moramo po- staviti kolesce na O in tudi šteti polne obrate kolesca, ko me- rimo like z večjo ploščino . števnik obratov je pri boljših in- strumentih vgrajen. Navadno se ne trudimo, da bi postavili ko- lesce na O, temveč ga odčitamo pred obhodom in po njem, razlika pa pove ploščino lika (glej sliko 2). a) b) Slika 2. Lega kolesca pred obhodom (a) in po njem (b) . Številka v desnem okencu se poveča za 1 , ko kolesce naredi cel obrat okrog svoj e osi . Pred obhodom (a ) je odčitek 1255 delcev, po obhodu (b ) pa 3647 delcev. Raz] ika je torej 2392 delcev. V zgornjem okencu vidimo .. da je dol ž ina obhodnega kraka postavljena na dolžino 10,0. Pla- n imeter je v tem primeru tako nastavljen, da pomeni 1 delec 10 mm 2 . Pl6ščina merjenega lika je torej 23920mm 2 109 Zakaj je zasuk kolesca kar sorazmeren s ploščino objetega lika? Oglejmo si načelo, po katerem ta zanimiva naprava deluje. Planimeter si nekoliko poenostavimo (glej sliko 3). Polarni in obhodni krak sta gibljivo speta v točk i K, po- larni pa je vrtljivo vpet v polu P. Kolesce bomo namestili tako, da se vrti okrog obhodnega kraka, papirja pa naj se dotika ravno pod točko K. Na ta način se izognemo vrtenju kolesca, kadar premikamo le obhodni krak. V resnici ta o- mejitev ni pomembna, le razlago nam olajša. 51 ika 3. Poenostavljen plani meter . Najprej si oglejmo, kolikš no razdaljo prekotali kol e s ce , ko se točka K premakne za kra tk o- ra zdaljo ~8 . S slike 4 vidimo, da bo kolesce prekotalilo le pot ~y = ~8 cos ~, vmes pa bo ves čas še drselo. Pokažimo, da s tem instru- mentom lahko izmerimo ploščino zelo ozkemu liku, ki ga 0- 110 B obluulni krak A 5 1 ika 4 . Ko lesce pr ek o t a l i po t ~ y , p red r s a p a p o t ~ X , k o se t o č ­ ka K p r e ma k n e za ~ s i z t o č k e A v ' t o č k o B. 5 1 i k a 5 . 5 p la n i met ro m l a h k o i z meri mo p l o š č in o z e l o o z kem u l i - ku, ki g a ome j u je t a kr ožn ic i s s r e di š če m v polu . mej ujeta krožni ci s sred iščem v polu (glej s liko 5). S ioč­ ko O obhodimo lik od točke S do SI in nato po spodnji krož- nici nazaj v s . Ko potujemo po zgornji krožni ci od s do SI , prepotuje t očka K razdaljo p ~~JI / 1 80 . Kot {} je namreč skoraj ves čas enak, kot ~ pa se spremeni od začetnega ~z do kon čn e qa e j, , torej za. M . Točka K opiše de l krožni ce s pol- 111 me rom, ki j e enak do lž in i polarn ega kraka . V bližin i točke SI se s ic e r kot ~ prav ma lo spre meni , ka r pa zane mari mo, ke r j e obrRvnavani lik zelo ozek . Ko l esce zab e l e ž i raz da - lj o tllII / 18 0 . c o s ~, ker deloma drsi . Iz Pit agor ove ga izreka za p oč r ta n t rik otni k na s li ki 5 dobimo: 1'12 = ( Zsi n~) 2 + ( t - Zcos l1' ) 2 ( Ne kat e ri mor da pozn a te t o e n a č b o kot kos i nusov i z r e k. ) Vidimo , da velja t cos ~ Ko gr emo od S I na za j k S , s e ko l e s ce s pet kotali , a t o pot v ob ra t no smer. Podobno kot zgora j je nj kqov za s uk li = 1. [ 1I ( Z 2 +t 2 ) 11 1' 22 ] Y2 Z 360 ll - ~ ll l e da s eda j names to 1' 1 p i še ~o 1'2 ' t ore j man j ši radij, ker dr - s i mo po s podnj i kr ožni ci . Ko t ll j e seve da e na k, s a j pr i demo s pe t v za četno t o č k o , kj e r se obhod kon ča. Ko l esc e poka že raz - l i ko poti lly = li II 1 [ Il (1' 1 2 - l' l ) ]Y2 - Y I = T 360 ll. V okl e pa j u hi tro sp ozna mo p lošč ino na še ga lik a, saJ J e l e-t a r azl ika med p loščinama krož ni h i z s e kov s kotom ll . Ko lesce t o- rej pr ekota l i pot , ki j e so ra zm e r na s · p lošč ino obkro žen ega li - ka . Iz zad nje en ač be s l ed i IIp = Zll y Pol ju ben li k se daj r azr e žemo na ozke pas ove , za ka tere smo pokazal i, da j i m s pl anime t rom l a hko iz mer imo p lošč i no (g le j s l iko 6 ) . Seda j me ri mo plošč ino vsakem u l iku pos e be j , kol es - ce pa s e š t ev a de lne p lošč i n e . Obkro žat i mor amo ve dno v i s t em s mis l u , r ecim o v smer i , nasp r otni s mer i urin ega ka za l ca, pri 112 ne za- smeri. Oba 'obhoda sku - ,. %: · ·c u ni treba delati. ga Plo- da~ega. l~ka, pa dviganja kolesca . taka kot prej: po zgornji s edn j sq a zqo r aj, pa ravno v n rothi pa.i ,seveda hepremakneta k ol esc a, Vse mučno delo odpade,ostane le lahko obkrož imo ~rez pr~stavljanja ščina merJenega 1ikl jQ potemtakem p • S l i k a 6. Pol ju b e n 1 i k r a z de l i mo n a p a s o v e , k i 50 ome j e n i 5 ko n ce n t ri č n imi k rogi. Ta k i m pasovom l a hk o lz rn e r imo p lošČ i no 5 p la n imet ro m. Hitro se da pokazati, da del 'uje "pl anijce t e r tako, kot smo o- pisali, četudi kolesce kje venda,r je njegova os vzporedna obhodnim krakom. na ovitku ima kolesce kar č od točke K. Plan imeter s i po vzo rc u na ov i tku l ah ko izd el at e sami . Namesto 1upe uporabi te kar konico, s katero buste obkroža l i li ke . Z ma - l o s pre t nost i boste uspe li t udi z montažo kol e sca , kjer mor at e paziti l e na to, da je njegova os vzpor ed na z obhodnim krakc m. Za pol spet uporab ite konico , polarn i krak pa na polu obte ž ite, 113 da bo po l res trdno pripe t, a vrt ljiv. Kraka se mora ta me hko prem ikat i. Pi ši t e nam , fp vam je uspe lo i n nam pp iš ite svoj p l~ ni met e r . Napiš ite tudi, kakšno n at an č n o st ste doseg l i z njim . To na jl a že pre veri te na li ki h , ki j i m p lošč i no že pozna te . Na konc u vi dite preg ledn ico, kjer so ~o leg i me ri l i š tev i lo IT tako, da so s pl a n i me t r orn , k i ga vidi te na ov i tku, i zme rili pl o š č i no kroga s po lmerom 10cm. PRE GLEDN ICA - MERJENJ E 5TEV I LA IT S PL ANIME TROM Meri 1ec l l ega kol es ca Pi [cmZ ] ~ [cm] Pi -(e n de lec = 10 mmZ ) -;:;L = IT . LlIT i = IT i - ITr i 1Ipred po . ob hodom obhodu . Matjaž 7255 10412 315,7 10 , OO 5 3 ,154 - 0,001 Da ni l o 423 3592 316,9 10 , OO 3, 169 O, O14 Dar ko 6757 9917 316, O 10, OO 3, 160 0,005 Bogda n 4236 7392 315,6 10, O15 3, 147 - 0,008 Rafae l 3593 6756 316 ,3 10 ,02 3, 150 - O, OO 5 Ma tej 4584 7745 316, 1 10 , OO 3 , 16 1 0 ,006 Fr an c 2809 596 4 315,5 10 , O1 3, 149 - 0,006 Andrej 8069 11228 315,9 10, O15 3, 150 - 0,005 ff "" 3 , 1551Mi1"" 0,006 Vsi mer i lc i s o me r il i p lošč ino i n polm er i s t e ga kroga. P o p r e čn a vr edn ost za š t e v i 1o IT i z t eh mer it e v j e 3, 155, odmi k od p op r e č j a pa 6, 10 - 3 , Na natančnos t merit ve sk l epa mo i z \LI IT IT 1'" 2 , 10- 3 l i O n Ol._ a l, L lo , Ke r so vse meri t ve nekoliko nad pra vo vred nostjo za š tev i lo IT, je verj e tn o, da i mamo opravka s s istema tsko napako ( napako me - r i l nega pr ibo ra), An dre .] Li ka r 114 VSOTA KUBOV V'ma t ema t i ki pogosto naletimo na važno nalogo: sešteti je treba k-te potence prvih n naravnih števil: Sk(n) = l k + 2k + 3k + .• , + nk n in k sta seveda naravni števili. Pokazali bomo. into na tri razl i čne nači ne, kako 1ahko poiščemo S3(n) = 13 + 2 3 + + n 3 če poznamo formuli za vsoto prvih n naravnih števil in za ustrez- no vsoto kvadratov 1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2 S2(n) 12 + 2 2 + '0' + n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 Prvi nači n S pomočjo lihih naravnih števil 1, 3,5,7,9, oo, sestavimo za- poredje al' a2, a3, 000 an takole "'-,----".""~,.."..-- al" a2 3 + 5' a3 = 7 + 9 ' + 1 1 ali 13, + "15 + 17 + 19 itd •........~---~._- Ce seštejemo vse člene zaporedja an' dobimo ravno vsoto prvih n(n + 1)/2 lihih števil al + a2 + .. o an = 1 + 3 + 5 + ., . +(n 2 + n - 1) Tu smo na koncu kar zapisali n 2 + n - 1 kot zadnje liho število, ki še pride v poštev. Res, liha števila sestavljajo aritmetično zaporedje s prvim členom 1 in razliko 2, zato je liho število z zaporedno številko n(n + 1)/2 enako 1 + (n(n + 1)/2 - 1).2 n 2 + n - 1 To liho število je zadnji sumand člena an0 Prvi sumand v tem členu pa je za 2 o (n- - 1) manjši, torej enak n 2 + n - 1 - 2 (n - 1) = n 2 - n + 115 elen an j e vsota ar i t me t i č n e ga zaporedja z n č l e ni, prvi sumand je n 2 - n + 1, zadnji n 2 + n - 1. Zat o + n 2 + n - 1 ) . n/2 = n 3 To pa pome ni, da je vs ota pr vi h n kubov r avn o enaka vs oti prvih n (n + 1)/2 l ih i h naravn ih š t e vi l. Opr a vka imamo to re j z aritme- tičnim"zaporedjem, š t e vi l o č l eno v j e n (n + 1) /2 , prvi člen je ena k 1, zadnji n 2 + n - 1. S3 ( n ) = «1 + n 2 + n - l). n ( n + 1) / 2 Uredimo in dobimo formulo Drugi nači n Vzemimo najprej, da je š t e vi l o n liho in preured i mo č l e n e v vso- ti S3 (n ) : S!. n ) = (13 + ( n - 1) 3 ) + (2 3 + ( n - 2) 3 ) + •••• + n 3 = + •. . n 3 3n 2(1 + 2 + ., . + ( n - 1)/ 2) + 3n(1 2 + 22 ~ . o' + « n - 1")/ 2) 2) V zgornJl vsot i nastopa n 3 najp rej (n - 1)/2-k r at iz vsakega 0- kl e pa j a ; potem pa še n 3 , ki smo ga pisali poseb ej. Zato je ena- ki h sumando v n 3 vsega sku paj ( n - 1) /2 + 1 = ( n + 1) / 2. To upo- štev am o , vs ote v oklep a j ih pa i zraz i mo s S I ozi roma S2 : S 3 ( n ) = n 3 . (n + 1)/2 - 3n 2 . Sd( n - 1) / 2) + 3n, S2« n - 1)/ 2) Uporabimo znan a rezulta ta" (l)in ( 2) in ure di mo S3 (n ) = n 3 ( n + 1)/2 - 3n 2 .}( n - 1)/ 2.« n - 1)/2 + 1) + + 3n.}( n - 1)/ 2.« n - 1)/ 2 + 1 ) (2 (n - 1)/2 + 1) S3 ( n ) = n 2 (n + 1 ) 2/4 Bralcu prepuščamo, da premisli , kaj se spremeni, če je štev il o n sodo in da sam izpelje isto fo rmulo tudi v te m primeru . 116 Tretj i na č i n Uporabimo enakosti 1" 2" (1+1) " 3"=(2+1) " 1 " + 4.1 3 + 6.1 2 + 4.1 .+ 1 2" + 4.2 3 + 6 .2 2 + 4.2 + (n + 1) " = n" + 4. n3 + 6 . n2 + 4. n + Seštejemo vse zgornje e n ačbe, pri tem se vse četrte potence ra- zen (n + 1 )" uničijo in os t a ne (n +1) " = 4(1 3 + 2 3 + + 4(1 + 2 + ' " + n ) + n + od tod dobim o 4S 3( n) (n + 1)" - 6S 2( n) - 4S 1(n) - (n + 1) Vstavimo (1) in (2) in spet dobimo . S3 (n ) = n 2 (n + 1 ) 2/4 1. Dokaži , da je vsota kub ov ka t e r i hko l t m zaporednih naravni h števil deljiva z vsoto t e h števil . 2. Dokaži , da nobena od š t e vi lk 2, 3 ,7, 8 ni zadnja številka od S 3( n). Dragoljub M.Miloševi6 prevedel Peter Petek 117 NOVE KNJIGE AKTI VOMMATEMAT IKOVINFIZ IKOV NAOSNOV NIH IN SREDNJIHŠOLAH Druš t vo ma tematikov, f i zi kov in ast ronomov SRS je v zadnji h dveh le t i h ob pomoči Izobr aževal ne skupnosti Slovenije in Raziskovalne skupnosti Sloveni - je izda lo nekatere publikacije, ki bodo zanimive za učence osnovnih šol , dijake sredn j ih šol, č lane društva, uč itelje matematike in fizike, kakor tudi za šolske knj iž nice . Zato vam bomo v te h dneh pos l al i na šolo paket naš ih publ ik aci j , za katere vas prosi mo , da ji h pr i po ročite vsem-inte rese n- t om. Knj i ge , ki j i h boste pre je l i p reveč, nam pros i mo vrnite . Za vse vr njen e knj ige in za vsa nova n a ročil a, ki nam j i h l ahko poš l j ete kadar kol i, pa vam bomo po 1. maj u 1983 posla li račun , v kol ikor nam ustreznega zneska ne bos- te že prej sami nakaza l i na žiro račun števi lka 50101 -678-47233. V paketu vam poši l j amo nas l ednj a de l a v skupni vrednos ti KN JILN ICA SIGMA 900. - din 32. We inberg S., Pr ve t r i minute - sodobni pogl ed na nastanek vesolja (Prev . S.Oblak ) 240. - 34. Laue M. , Kratka zgodovina f izike (Prev . J.Strnad ) 240. - 35. M i lankov ič M., Kratka zgodovina astronomije , 1. del do l . 1727 (Prev . č.Zupa nč ič ) 240. - PRESE KOVA KNJ IŽNICA 7. 11. 12. Križan ič F. , Uk roče na matemat ika Zajc P. , Tekmuj mo za Vegova pr iznan ja: Zbirka rešeni h nalog i z matematike za učence 5. i n 6. razrednov Ranzinger P. , Naše nebo 1983, Astronomske efemer ide 40. - 40 . - 100. - 118 PRESE K - dve starejš i števil ki b re z pl a č no V nadaljevanju je pregled, kat ere sta rejše št evi l ke Preseka imamo še na za- l ogi. Naročnikov našega ml adinskega l ista je še vedno vel iko, zato bodo no- vi naročn i ki prav gotovo z veseljem posegl i po omen j eni h št evi l kah, ki vam jih danes pon ujamo . žal bi nam bi l o, da bi jih mora li čez čas odpel ja t i v papirni co. NAšE NE BO j e brošura z obili co astronoms kih podatkov za leto 1983, ki bodo zanimivi predvsem za čl ane astronomskih krožkov in druge l j ubitel j e ast ro- nomije. Brošura bo let os iz šla p rv ič pri našem društvu, zato želimo doblti čimveč naročni kov . V KNJ IžNICI SIGMA pa smo v tem letu zapolnili vel iko vrze l v s lovenski l i- t era t uri na področ j u zgodovine naravosl ovnih ved. V pr i hodnj em letu bomo pripravili tudi 2. del zgodov ine ast ronomi j e , ki bo obsegala obdobje od l . 1727 do današnjih dni . Priporočamo vam tudi druge brošure iz PRES EKOVE KNJ IžNIC E in kn j igo i z KNJ IžNICE SIGMA Osnove matematične logike ; 1. del (N.Prijatelj), ki smo vam j o že lan i posla l i. Tako jo boste l ahko pokazal i tudi novim i nteresentom. Iz te zbirke so na razpolago še druga del a . PRESEKOVA KNJIŽNICA 1. Vidav I., Jos ip Plemelj - Ob stoletn ici ro jstva 3. Prosen M., Astronomska opaz ovan ja 4. Strnad J ., Začetki sodobne fizike 5. St rnad J., Rela t ivn ost za za četni ke 6 . Landau L.D. , Kaj je t eo r i j a re lativnos t i 8. Ranzinger P., Presekova zvezdna ka rta 9 . Strnad J ., Začetki kvantne fizike 10 . Kuščer I ., Enajs ta šola i z fizi ke PRES EKOV KO LEDAR PRESE K - navajamo letnik in posamezne številke, ki so še na zalogi (v oklepaju so cene posameznih štev ilk v l et ni ku) 11 /4 (5.-di n), 111/ 1, 3 (5 .-din), IV/4 (5.-din), V/2, 4 (8 . -din), VI /l, 2, 3,4 (10.-din) , VII/l , 2, 3, 4 (10.-di n) , VI II /1, 2, 3, 4 (15.-din), IX/l, 2, 3, 4 (21 .-d i n), X/ l , 2 (32.-din ) . 40. - 48.- 48. - 48.- 48.- 40.- 40.- 40. - 32.- Ci riZ VeZkovrh 119 UGANKE šE ENKRAT OUGANK I OLOVCU V Preseku št . 1 (1 981 / 82 ) smo obj a vi l i ugan ko o l ovcu , ki se j e mora l spre ha jati po vz porednikih in pol dnevnikih, da j e po treh ki lometr ih pešačenja prispe l na začet no toč k o . Iz Stare Pazove smo prejeli zanimiv o pis mo , v ka t er em nam profe sor V .Je Čmen preQ la ga ne kat ere pos ploš i tve te uga nke. Tudi nam j e priš lo na misel vpr aš an j e , ka j se zgodi , če l ove c na svoji poti proti j ugu pr eko rači ju žni te č a j . Pri pogoj i h u- gan ke se t o ne more zgo di t i, sa j gre od j užnega te č a j a napre j pro t i seve r u, č etu di hodi ves ča s nar avno st. Ce lo če bi l ovcu dovolj ev al i tu di t ak šn o pot, bi moral t a po preh ojen em ki l ome t- r u po vzpo r edn i ku zav i t i na s eve r , t o pa j e s tra n od zače t n ega mesta. Ven dar lahk o l o v če v o uganko za s t avimo dru ga če: Naj se lovec obr ne pro t i j ugu, preh odi 1 km, nat o prot i vzhod u , zope t 1 km, konf no pa naj se obrn e proti j ugu , pr e hodi 1 k m in s e znajde na s t a r tu. Tu za ht e vamo sa mo to, da hodi l ovec ves ki lo meter na r avn ost , to r e j sme (m or a?) če z te ča j . Kje so zd a j vsi s t ar t i? Bra lce vabi mo , da sami po iščejo reši t ve. Ali ima jo reš itve obeh ugan k kaj sk upneg a? Ko l iko se obe ugan ki sp remenit a , č e razda l je ni so 1 k m, ampak na pri me r a , b in o? ,Roman Ro j k o 120 šTEVILčNICA Š tev i lčn i c a s odi me d naj laž je ug anke. Vsa k a š t ev i lk a po me n i n a m- re č eno in vedno is t o č rk o in se na jman j enk ra t pono v i . Ko od- k r ijemo , k a t ero č r k o p r edstavl j a posame z na št e v ilka , u ga n ke n i t e ž ko r eši t i do kon c a . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 · 13 14 15 16 + + 3 9 8 13 3 16 14 1 13 8 3 6 12 14 3 19 10 11 2 11 11 6 1 6 7 6 10 4 5 1 6 1 4 5 16 15 2 4 2 7 2 7 13 2 17 6 8 s 20 12 9 3 8 5 15 2 9 1 5 14 6 18 5 17 5 2 11 10 10 19 2 4 1 10 9 10 11 5 9 6 15 8 6 7 13 6 3 18 10 7 2 4 2 3 6 20 2 13 4 3 9 1 Ir 2 19 nn 6 9 li; 1 4 ~~ I~ff 1 6 l~~ 1:: Samo na vplcno : 1. vrsta uganke , ki je sestav lj ena po principu šahovskega skakača, 2. tr igl ava miš i ca na nad l a ktu, 3. zači mbna rast l ina s su ličast imi l i s ti in drobnim i be lk a s t i mi cvetov i v koških, 4 . č ipkarsk i vzorec, 5 . mora lno, značajsko pozi t ivna l a s t nos t , 6. kartaž anski vojs kovodja, ki j e osvoj il s koraj vso zqornjo I t a l i j o, znan pa je pre dvsem po svojem pre hodu preko Alp ce lo z bo j ni mi sloni (24 7- 182 pr .n . š. ), 7 . ml eku pod oben sok nekaterih rast l i n, 8 . pogovorno i me za ze lo d i šečo rast li no sivko, 9. ele ktromagnetno va l ovanj e , za ka t e r eg a je občutljiv o č loveško oko, 10 . ruski zdr avni k i n f i z i ol og, ute melj itel j nau - ka o poqoj nem ref leksu ( Ivan, 1849-193 6 ), 11. srebrno be l a ko- vina (Sn), 12 . okrasna rast l ina z raznobarvn imi cv etov;' vetrni- ca , 13. tobačni izde lek, 14. enoletn i poganjek l e s nat e rast l ine, 15 . premoženj e v de nar ju; glavn i ca, 16 . zavarova na omar ica za shranjevanje dena r j a . 121 Črke v debeleje ob robljenih vrsticah za puščicami se stavlja jo h r va škega knjiže vn ika in politika Anteja Starčevida . E N A č B A ( a - b) + c + ~ + ( e - f) + 9 + (h - i) + j (k - 1 ) + ~ + ~ + ( o - e) + p x V enačbi pomeni v saka črka eno be sedo . Pojavljajo se kot s amo- st o j ne be s e de ; v n ak a z an i: ",az lik i , k at e re vre dnos t ,fe črk a a l i črk ovn a skup i n a; in v u l o mk u , Ul o me k p r e de t av l i a č r k a vno skup i - no , ki je p a l i n dr om ( ob rnjena beseda ) be sede v imeno valcu ( pri - me r : če j e a = roka , j e lla = ak o r- ) , "S e š t e t e (zapo l'edoma b rane) s amost o j n e s k up i n e in "i zračunan e " črk o vne s k u p i n e s e s t a v l j a j o r eši t e v u ga n k e . Pr i r e š e v a n j u si pomagajte s polji lika. ITIllJ ITIllJ ITI] ITIllJ ITD ITIIllJ ITD ITIIJ ITIIJ c = i ~ e sl ovenske operne oev ke Ognj anovi ceve, b = prečni dr og v kozo l c u , c = kraška pl anot a , ki del i Postojn s ko kotlino od Vipavske doline, d = pr ipadnik zahodne sk upine stari h Slovanov, e = prv i prs t na rok i, : = ime ang leškeg a film s ke ga igra lca Guinn essa , g = šolska ocena , h = enigma, i = preb iva lka afriške države z glavnim mestom Gana, j = odmev, k = ma jhna oma ra, l = mi li čni ško vozilo, m = nekd an ji t r govec z moko, n = naš a pi- sava fr anc oske re ke, ki t e č e s kozi Pa riz, o = mOš ki pri kopa nju, p = glob oka, dolgotraj na nezavest , x = misel an gleškeg a zgodovi - narja Thoma sa Macaulaya ( i zg . mekol ij a ). 1 2 2 ISKALNICA "STEVILA" BENARES - SPOMENIčAR - ARTRITIS - KRIT0 SEMENKA - SERENADA - PARAPET - INTRIGANT - DE NARNI CA - K A R N I č N IK ,- PUSTOST - SESTRIč­ NA - SENATOR - PREDVAJANJE - POL PETA - BOL NIčARKA V vsaki gor nj i besedi je s kr i to eno število. Poišči ga, nato pa obkro ž i črko, ki je v besedi pr ed tem š t e vi l om. Primer,: v bese- di vr e mE NA r se s kriv a ENA , obkro ž il pa bi č r k o r·1. Zaporedoma brane obkro žen e črk e sestavljajo ime in priimek ang- le ške ga ma t emati ka, fil oz ofa in humanista. (Ime sestavlja 8 , priime k pa 7 č rk ) . Leta 1950 j e prejel Nobe l ovo nagrado za knji- ževnost, ž i ve l pa je v obdobju od 1872 do 1970. DOPOLN JE VANKA S STEVI LI MOJ S VREM C ER , KI JE VI AR , SE ZA , SAJ BO S DE2E VALO. NJ VESELI LEPEGA Na črtice vpi ši imena šestih š t evi l tako, da boš dopolnil bese- de in prebr al smis e l n stave k. Pa vle Gr e gorc KRATKO čASNE V2IGALICE* 11. Ta en ačba ne dr ži. Iz bol jšaj jo ta ko , da prestaviš eno vžigalico! .-_..• ................... ._IiiliiOOOOil.... \/1 i· • * V tretji števi 1ki deve tega l j a t i to zbirko nalog , ki j o Se na dalj uje . (Op.ur . ) letnika smo za čeli po de l ih objav - j e za Pr es ek napis a l Roma n Rojko . 123 FIZIKA HLADILNI STROJI INTOPLOTNE čRPALKE Na obisku v šoštanjski e l ektr a rni smo s pozna l i, ka ko de luje topZotni stroj (P re s e k X, 1. š t ev . ) . Za to , da oddaja delo, mu je t r eba pr i višji te mp e rat uri dova ja t i to pl ot o in jo pr i ni ž j i temperaturi odvajati (slo 1) o Dovedemo več to plote, kot j e odve - demo; razlik a j e odve den o de lo: -A = 02 - 101I o To raz beremo iz ene rgijskega z a k ona za s tro j, ki de lu je periodično in mu pri vi~ ji temperatur i dovedemo toploto 02 in od njega pri nižji tempe- ra t uri odvede mo top loto ° 10 Da mora top loto n eizkoriščeno odda- j ati okolici , j e neizogibn o za r adi entropij skega zakona ( dr uge- ga zakona te rmodinamike ) o Ka ko lah ko to to ploto uporabimo za d~ l j i ns ko ogrevanje, smo ugot ov i li med ob isko m v l jublj a ns ki top- l a r ni (Presek X, 2. š t ev . }. Sl i ka 1 Toplotn i stroj ( a ) in h la d l J n l stro j ( b ). En e g a dobimo i z drugega, č e obr nemo de lov anje - n a r i s bi s p r e me n i mo le s mer puš čic . 124 Zdaj nas zan i majo h ladilni stroji. Morda mis li kdo, da ne kaže 9ovar i ti v ist i sap i o top lot nih i n h1adi 1nih s tr aj i h. Gos po- dinjsk i hladi lnik ni na videz ni t i ma lo podoben top lotni elek- tr arni . Vendar bomo vide li, da sta oba v veliko tesne jšem sorog stvu, kot kaže videz . Pr emi sl i mo ! V hl adi l ni k damo živi la, da se ohlad i jo, os tanejo hladna in se ne pokvarijo . V notranjosti hladilnika je nižja temperatura kot v okolic i ih vedno uhija nekaj toplote iz oko- lice v notranjost . Sicer poskrbimo, da je notranjost kol ikor mogoče dobro toplotno izo lirana, vendar se uhaja njutop lote ne moremo povsem izogniti. č e bi hladilnik neha l delati, bi se ži- vila prej ali slej seqre la na t em pe r a t ur o oko lice in pokvari la . To se zares zgodi , če zm anjka elek trike . Naloga hlad ilnika je torej, da črpa toploto iz notranjosti, kjer je temperatura nižja , v oko lico , kjer j e višja . Vemo , da teč e top lota sa ma od sebe z mesta z višjo temperatu ra na mesto z niž- jo , denimo i z okolice v notranjost hladi lnika . Ta trditev je e- na iz med oblik en tropijskega zakona . Ali ne zahtevamo tedaj od hladilnika nečesa nemogočega? Ne , toplo to je mogoče črpa ti z me s t a z nižjo temperaturo na mesto z višjo, če ob t em dovajamo delo . Hlad iln iku dovaja mo de lo z elektromotorjem, prav s tisti m, ki preneha de lati , če zmanjka elektrike. Zdaj se nam posv eti . Hlad iln i st roj preje ma toploto pri nl ZJ l temperatu ri in jo oddaja pri višji , če mu dovaja mo d e l o ~ De lu je torej rav no obratno (s l. 1b) kot toplotni s troj . Pravimo , da je hladilni stroj obrnje ni top lotni stroj. Za hl adi l ni stroj , ki deluje periodično, pove energijski zakon, da mu moramo dovest i delo (2 ) če pri vi šji temperaturi odvedemo toploto Q2 i n mu pr i nižji do vedemo toploto Q1 ' Seveda ne kaže obračat i delovanja toplotne elektrarne, da bi jo upora bil i na prime r kot hladilnico, a li delovanja gospodinjskega hladilnika , da bi z nj im poganjali na primer vr talni strojček. 125 Vendar obstajajo manjš e napra ve, ki j i h je Mog ofe upor a bi t i kot to plotni ali kot hladilni stroj. Se posebno je taka možnost dobrodošla v rafunih. Denimo, da neki stroj odda delo A, ko de- luje kot toplotni stroj, in mu dovedemo toploto Q2 i n odvedemo od njega toploto Q1' če odda enako toploto Q2' ko deluje kot hladilni stroj, in mu dovedemo enako delo A in enako toploto Q1 ' imamo opraviti z rev e rz ibilnim strojem . Reverzibilni st r o j , ki prejme ali odda toploto samo pri višji temperaturi T2 in odda ali prejme toploto samo pri nižji temperaturi T1 je ideal en. To pomeni, da odda najvefje mogofe delo, ko deluje kot toplotni stroj, in prejme najmanjše mogoče delo, ko deluje kot hladilni stroj. Ze zadnjič (Presek X, 1. š t e v . , str. 31) smo ugoto vili, da sta pri idealnem stroju toploti Q2 in Q1 v razmerju temperatur: (2 ) Idealnemu hladilnemu stroju moramo potemtakem dovesti delo č e prejme pri nižji temperaturi toploto Q1 ' Vzemimo, da damo v hladilnik s temperaturo OoC kilogram vode s to temperaturo in -bi radi spremenil i vodo v led pri DoC. če ima rebra sta cev na hrbtni strani hladilnika temperaturo 30 0C i n če deluje hladilnik kot idealni st r oj, mu moramo za to dovesti de - lo: A = 0, 34 MJ ( 303 K/27 3 K - 1) = 0,037 MJ. Pri tem odda pri višji temper aturi toploto IQ2 1 = A + Q1 = 0 ,34 MJ + 0,0 37 MJ = 0,38 MJ . Upoštevali smo, da je taliln a toplota ledu 0,34 milijonov jou- lo v (megajoulo v, MJ) na kilogr am in da j~ treba vstaviti v ena ~ bo absolutno temperatur o . Go sp odinjski hladilnik s ev eda ne delu j e kot ide alni stroj in P9 rabi pre cej vef dela, da zamrz ne kilogram do l edišfa ohl a je ne vod e , po oceni kako des etink o MJ . Do slej smo razpravljali o namišljenem hladilnem stroju , zdaj pa 126 0p ls lmo r esn lc ne9a. Pr i tem se ne spusca mo v te hn ične podro bno- st i . V stroju teče po sk lenjenem krogu (s l.Z) h l adi l na s nov, ki j e v navadn ih oko lišči nah pl in , a ima pri nava dnem z r a č n e m tl a - ku ra zmeroma visoko v re lišče . Kompre s or (č) stisne pli n (te hni- ki 90vori j o v tem pri me ru o pari) do višjega t laka ne kaj ba rov. 51 ika 2 Moč no poenostav l je na risba hladi l neg a s tr o j a : Č ko m- preso r, Ko ko nde nzator , V eks- pa n z i j s ki v en til , U u pa r j aln i k . Na desn i s tra n i kroga j e tl ak v išj i, na l e vi ni ž ji . P 2 j e .----\ p l i n p r i v išjem tl a k u i n P l pr i ~ ni ž j em , K2 j e kap l jevi na p r i v iš - Q 2 je m t laku in KI pri niž jem. V u - par ja l n iku p re jema h l ad i l n i st ro j t o p l ot o p r i nižji temperatu r i i n- jo v ko nde nza t or j u p ri viš j i od - da ja . v Pl in ( PZ) i ma ne kaj V 1S JO t empe r a t ur o od vre l išča pri t em tl a ku (g lej okvir 1) . V ko ndenzatorj u (Ko) oddaja top loto hl adn e j š emu okolnem u zraku i n se ob te m pos top no ohla di do v re l išča, uteko- čini in napos led ohlad i še nekol iko pod vre l išče. Kapl jevi na pr i višjem t lak u (KZ) dospe do e kspan zij skega v entil a (V) i n pre ide skoz i nj e90ve šobe v del cevi z niž j i m tlako m. Po pre ho- du i ma kap ljevina (K1) temperat uro mal e nkos t na d vre l išče m pr i ni ž j em t laku, nekaj pa je že me d preho dom i zpa r i. Preosta la ka p- l j e vi na pri niz ki temperatur i v uparja l nik u (U) prejema top loto od okolice i n postop no izpar i ter se napos led se9 re je še neko l i- ko nad vrel išče. S tem vzd ržujemo v bl iž in i uparj a lnika v no tra- njosti hladilnika (po domače _pr a vi mo uparja l nik u zmrz ov a lni k) nižjo temperaturo. Pl in pri n i z j em t laku ( P1) kompresor . zopet st isne do višjega tlaka in i qr e se ponov i . Vrelišče se spreminja s tlakom Da je vrelišče odvisno od tlaka, se najhitreje p r e p r i c amo z vodo, za katero vemo, da vre pri navadnem zračnem tlaku 1 bar pri temperaturi 100 oC . Vodo iz vodovodne napeljave nalijemo v steklenico in segrejemo na kakih 2S oC. Ko s č r­ palko na vodni curek znižamo tlak- v steklenici ,začne voda 1Z7 SLIKOVNA KRI2ANKA "šTEVILA" G P~~1lK.< . PISAT E- DESN I VRSTALJ ICA LI Č iLO PRITOK UČENJE I PEROCI VOLGE RAZCVETA 5 32 ~ ~ . NARAVNA ..... POTOK V .... .... SMOLA I Š KEM "-iZA LAKE VINTGARJU ~ MAR K M. PEVSKI DELO TWAIN GLA S TLAČANOV SVET LO OBROK VIN O OD PL AČIl.t SANITETNI EVA LOJZE PRITRD IL- SL.GLED. MATERIAL IGRALEC JA N C KRAKA R N IC A (VOLODJA) RIJEKA P~ GEOMET . Z LI TINA ~ TELO Fll IN Ni LC K ŽENSKO NAUK O SPOZNA-IME VANJU LADKO REDKEJŠE ŽE NSKO OVNOVA ALJA KOROŠEC Ž. IM E IME SA MICA TKAČEVA SVETO ZELENICA MESTO OB MESlO MU- V PU ŠČAVI TANTAL Ž ENEV. 'Jr SlIMANOVJE ZERU IZBRANA DRUŽBA OSE BN I DEBE L .... ZAIMEK TOVARIŠiCA KAR TON (OTROŠKoJ VOJAŠKI STRAN PRATEŽ 3 ~ .... PREBIVALC ILJUŠIN IRSKE POD IVAN VIN KO ČARGO GLOBOKA!' MAJHNE AVTORANE PREBIVALEC JEZERO V JUŽNItTAK E AFRIKI -. 128 DOLGA INDIJSKO ROBERT NAJViŠJA 4lČ FAZA OSNOVNA pSf~JJ4č1H Ž ENSKO PREVZETA GORA ME RA · OBLAC ILO FISCHER DOLZNOST TURCU E VOZIL -.... a: 4 + Si lEZIVAL 1 ~ ..... ..... IZDELOVA - ~ LEC ŠKAroI ILER LANTAN TRENJE TOVARNA V MARIBORU PLAST TRANSI - STORJA OSTOR, ANTONIO VOJNA :JER VI VALDI POŠTA vm~N)10111010 MEDMET AMEN OČKA SMEHA GRSKI ZMAGA PRI SAHU JUNAK PRED TROJO KRAVJI MLADiČ DEL SMliČ . SKAKALNI. ~~JI~~~gGL.MESTO EGIPTA 1.414:1f2 SLONOV Č E KAN PRIPADNIK ANARTOV,...,. NA STAVA S~~Jt& SLIKARJEV V PASTI IZDE LEK KRUTI RIM. GLEDA L. CESAR IGRALEC JEZIK BAN BANTU ČRNCEV RADIJSKI RIMSKA SPREJEMN1 BOGIN JA JEZE GRŠKA ANA ČRKA FRANK ANGL. POVRŠiN. MERA VZDEVEK GOETHEJE- POBA. VE MATERE DEČEK 129 vreti pri tej temperaturi. Voda pri VI s j e m tlaku kot 1 bar V tlačnem loncu (loncu ekonom) pa vre pri višji temperaturi od 100°C (jed se pri tem hi treje skuha). O tem, da voda vre, priča para, ki uhaja skozi ventil. Vrelišče se potemtakem z naraščajočim tlakom zviša, s poje - majoč im tlakom pa zniža. Tako je pri vseh snoveh, tudi pri hladi.1nih snoveh, ki jih uporabljamo v hladilnih strojih. Na jbolje se obnesejo kZopofZuo~oogZjikovodiki,ki niso str~ peni in vnetljivi in se jim vrelišče zviša od nekaj deset s topinj pod ničlo na "nekaj deset stopinj nad ničlo, ko se tlak poveča od 1 bara na nekaj barov (51 .3). Slika" 3 Odvisnost vre lišča od tlaka z a dik lordifluormetan (12) in kl o r d i f l uorm e t a n , ki i ma t a pri navadnem tlaku vre l išče (V) pr i - 3 0 ° C in - 41 ° C. Za prime rjavo: met i lklor id vre pri navadnem t la- ku pri -24°C , eter pri - 2 5° C, žveplov dioksid pr i -73°C , amo n i ak pri -78 °e, og 1j i ko v dio k sid pa pri - 7 8 , 5 ° C s u b l i mi r a. Kompres or je pr ik ljuten na majhen elektromotor, ki ne deluje ng prek injeno, ampak ga vkljut i termostat, ko temperatura v hladi! niku naraste do do l otene meje . Ta ko smo opisa li glavne sestavne de le gospodinjsk ih hladi lnikov in najpomembnejše poja ve , ki s e v njih dogaja jo . HZadiZne ek.r-i ni e (s1.4) se od likujejo le po nižji temperaturi. V današnjem tasu pomanjkanja ene rgije kaže posebej raz mis liti o zan imivi možnosti. Kondenzator na hrbtni strani hladi lnika odda- ja top loto pri temperaturi, ki je neko l ik o višja kot temperatu - 130 r a oko l nega zraka . Zato je v prostoru s hla di ln ikom nekol iko top leje , čepra v nih č e ne bo t r di l, da · se da s hl adil ni kom ogre - va ti kuhinjo . če pa se n a č r t a lotimo dovo lj vel i kopot ez no, do - sežemo la hko prav to . Prej moramo hlad i ln ik preuredi t i , saj nam zdaj ne gre v e č za toploto , ki jo jemlje živ i lom v zmrzovaln iku, ampak za toploto , ki jo oddaja v kondenzatorju . Sl ika 4 Hl ad i lna sk r i n ja 25 - 2 2 0 Lo š ki h t ov a r n h ladi l n l k o v , Kot h l a - di l no snov u por ablj a d i k lor d i f l uo r - me ta n. Komp reso r poga nja e le k t ro mo - tor z mo čj o 14 0 W in s k r i nja por a bi v p o v p reč ju o kol i 1 , 6 k Wh e lekt r ič­ ne ga d el a n a 24 u r . Skr i nja vz drž uje v r a z l i č nih p r e da l i h tem pe rat u ro o d -1 8 do -2 8° C. Hl ad i lnemu s t roju , ki ga r a bi mo za ogre vanj e , prav imo topLotna črpa l k:a, Topl ot o je ml je zrak u a l i vodi v oko l ici , jo "op lemeni - ti " s s voj im del om in jo odda pri višji tempe r a tu r i . To, da se zrak a l i voda v oko l ici ohladita za nekaj s t opi nj , n ikogar ne mo ti : top loto dobimo t a ko rekoč za s t onj . Toploto pri vi šj i tem- perat ur i lahko i zkor ist imo za ogre vanj e vode v napeljavi za cen - t ralno ogre vanje a l i san itarne vode za um i vanje i n pom ivanje. Na red imo kratek rač u n! Kako bi b i lo, "če bi top lotna č rpa lka de - l ova l a kot idea ln i hl a di l ni stroj? I z en a čb (1 ) I z zqodovi ne V st a r i h čas i h 50 u po ra b lja l i za oh l a ja n j e j e d i l i n pi j a č le d , ki 50 g a pozi mi nal o mil i na r ekah in j e z e r I'h . Okol i l e ta 1600 50 ugot o vi 1 i, d a je mogoče zmrzni ti vo do z .z me s - j o k u hin j 5 k e 5 oli i n 5 tol če n eg a 1e du ali 5 nega. Le Ri m1j a - 131 n i so · o hlajal i prostore z gl i n a sti mi vrč i , s kozi ste ne k a - terih j e pronicala vo d a in izhla p evala . Leta 1775 je Gu11en v Edinburghu z zračno ra z~ed~~val ko zniž a l t lak in do se g el, d a je vo d a v r e l a p r i niž ji te mpe- raturi kot 100 0 • Hl a d i l n i k i so p r e c e j ml a j š a iznajdba. Leta 1834 je Jacob Pe r k i ns v Londonu zgradil prvi uporaben hla- dil nik s komp re s or j e m*. Ko t h la d ilno sno v j e upo r abil e te r ( GH 3 0 GH 3). Po zneje s o uv edli d r u ge h ladilne snovi : Ca rl Linde leta 1873 v Nemčiji amoniak (NH 3) , Raoul Pietet le - ta 1876 v Francij i ž veplov d ioksid (SOz) . Teda j so ž e upo- rabl jali na lad j ah , k i s o p r ev až a l e me s o iz Argen t ine v Francijo, hladilnike na e t e r. Proti koncu prejšnjega sto- letja so upo rabil i še me t i l k l o r i d (CH 3C1) in ogljikov di- oksid ( COZ) , Velika ovira za še močnejši raz voj hladiln i ko v v naš e m stoletju je bila v tem, da so bile vse znane h l a d l l n e sn o- vi strupene al i gor1 ji v e al i pa so zahtevale previsok t la k. Leta 19 Z8 pa je Thomas Midget s sodelavci v ZDA sinte tizi- ra l diklordifluormetan (CClZF Z) in s tem začel zmagoslavno po t k 10 ro f l uo r o o g l j i ko v o d i ko v . Leta 19 3 1 so g a · da l i v r ab o z ime no m freon : Nasl ednje leto mu je sl ed il t ri kl o r f luorm e - tan (CC1 3F), za tem diklortetrafluoretan (CC1F Z-CC1F Z) in nas lednje leto š e t r l k l o r t r l f l uo r e t a n (GC1FZ-CC1ZF) . Med d rug o svetovno vo j no s o jih p rv ič uporabili t ud i v prš i l ih (sprejih). Po vo jni so sintetizirali š e ve l ik o drugih klo- rof1uoroogljikovodikov. Brez njih si danes hlajenja ni mo- go če za mišljati. Za v sak na men j e mog o č e najti pri p r aven k 10ro f l uo r o o g 1 j i ko v o d i k. Tovarne j i h izdelujejo pod razni- mi imeni (freon, frigen, ka1tron, . .. ) , zaznamujejo pa jih kar s števil kami : IZ diklordifluormetan, zz k lordi f1uor- me t a n itd. * Drugo vejo v r a z v o j u h ladi Inikov - absorpcijske hladil - nike z d vema sno ve ma, na p ri mer v o d o in a moniakom, s mo pu st ili vnemar. Č e p r a v so bili pred desetletji mali abso rp - c lj s k l hlad ilniki zelo razširjeni, je dandanes ta veja od - mrla . . . 13 2 in (2 ) dobimo Razmerje med oddano to ploto in dovedenim delom, tako i me nova no g~eLno š t e vi Lo , je v tem primeru To je obr a t na vr ednos t izraza, ki smo ga dobili za iz kori st e k i dea l ne ga to pl otnega s t r oj a . Glej Pre sek X, l . štev., st r . 31. } Denimo, da j e temperatura okolnega zraka 100 C in tem peratura vode , ki doteka v nape lja vo za centra l no ogre vanje, 400C. Grel - no štev ilo je v tem primeru IQ2 1/ A = 323 K/(323 K - 283 K} = 8. Resnične to plot ne črpa lke tega seveda ne zmorejo . Crpa lka, ki j o izde luje Zavod za hlajen je in klimat iz ac i jo Loš kih tovarn hlad i ln iko v (s 1.5) , i ma v na vede nih oko lišč i n a h gre lno šte vi lo 3 . To j e še ved no ze l o ugodn o in j e og re va nje z e lektr ično peč ­ j o t r ikrat dražje. Ce upoš t e vam o , da t opl otn a e le kt r a rna i zko- r ist i l e pr ib l iž no t r et ji no top lote, ki se sp rost i pr i gor e nju premoga, pr i ogreva nj u s top lo tno č rpa lko izr av namo iz gubo v e - l e kt r a rni . V nave denih oko l išč ina h od da too loto a črpalka to - li kšn o top lo to, ko t smo jo vlož i l i v e lek tra r ni . 5 1 i k a 5 Kom pakt na top lot na čr p a l ka TC 0300 Za v o d a za h l aje n je in k l Lrn a t l z a cl j o v i z v e d bi za zr a k (pog l e d z z ad nje 1 3 3 stra ni) : l e vo s po d a j j e v ide n ko mp r e s o r i n des no spo- daj k ond en zator - v v i jačni co n a v i t o dvojno cev , po notran ji t e če hladilna s n o v , po zunanji p a top la vod a. Levo zg o r a j j e v idno ohišje ventil atorja in desno zgo- r aj ek spanz ij ski ve n ti l (v des ne m spodnjem kotu) i n u- par jal nik . Upa rjalnik sestavljajo b a k re ne ce v i z alumi- nija stim i rebri. - Ko t h ladilna s no v up orablja klordi - fluor metan . El e k t r o mo t o r kompre s orja im a mo č 2,2 kW, elektromot or ventilat orja za zrak pa 0,55 kW. Pri t e m- pe ratu r i z r a ka v oko l ici 5 0C i n t e mpe r a t ur i top le vode 50 0C oddaja t o p l o t n i t o k do 8,3 kW . S ko zi uparjalnik steče dobe r k u b ič n i me te r zrak a v se k u n d i in s e ohladi za oko li 5 s t o p i n j . E n a č b a kaže, da je o~relno števi lo ma njše, č e je zuna nja tempe - ratura ni ž ja ali t emperatura vode višja. Navedena toplotna čr­ pal ka ima pri zunanji t emperaturi SoC ogre1no število okoli 2 , 8 , pri t empe r a tu r i OoC pa oko l i 2 ,4 (oboj e pr i te mperatur i top le vode 400C). Toplotna črpalka, ki jeml j e toploto zraku , postane neekonomlčna , ko se zniža njegova temperatura za ne kaj stopinj pod ni člo . Pri toplotni črpalki, ki jemlj e toploto vodi , ni te težave, če je le pretok vo de dovo lj ~e1ik. V naših podnebnih razmerah je pozi mi mogoče ra čunati s povpre čnim gre ln im števi- lom med 2 in 3 . Ko uporab ljamo toplotno črpa lko za ogrevanje pro storov, spelj e- mo top lo vodo sk ozi radi atorje na peljave za centra lno ogrevanje a li - še bolje - skoz i ogre 1ne ce vi v podu. Pogosto hkr a t i ogre- varn o san itarno vo do . Navadno kombi ni r amo toplo tno črpa lko s kot - l om na trdn o gor i vo ali kur i l no olj e , ki p r i s k o č i na pomoč, če s e zunanja temperatura p r e v e č zniža. Ni dvoma, da se ogrevanje s top lotn o črpa lko v ugodni h vr eme n- s kih razmerah s p l a č a . če pa bi hote li podrobneje primerjati top - l ot no č r p a lk o z e l ektrično pečjo in pečjo na trd no gori vo a li kuri l no olje, bi morali upoštevat i ceno e lektrične energije, ce no goriv a - tudi t o, al i ga je s ploh mogoče dobiti - in še na- bavoo ceno naprave. Ti podatki se tako hitro spreminjajo, da ne kaže de lat i pod robn e primerjave . V t uj in i so pred l et i močno s podbuj a l i uporabo toplotnih črpalk za o~revanje eno- in dvod ru- žin s kih hi š. V drž av ah, ki ni majo te žav z uvozom na f te , so zda j neko liko bolj zad ržani. Pač pa povsod priporočajo t opl ot ne čr- 134 - palke za vecJe objekte, na primer za javna kopališča. V nekate- rih primerih so toplotne črpalke še posebej ugodne, na primer v sušilnicah lesa. Toplotne črpalke. te vrste, ki jih gradi. Zavod za hlajenje in klimatizacijo LTH, so se zelo obnesle. Vsekakor kafe toplotne črpalke razvijati in preizkušati. Ne ' bi smel i biti presenečeni, če se bo v bl iž nji prihodnosti cena vsa- kršne energije tako povečala, da bodo postale toplotne črpalke nepogrešljive . Jane z Strnad 12. Iz leve hiše naredi desno, tako da prestaviš dve vžigalici! I l I .___1 \ 13. Iz leve hiše naredi desno, tako da prestaviš eno vžigalico! .\ 135 ASTRONOMIJA OSONČJF. NEKDAJ IN DANES Brez dvoma je Sonce tisti pojav na nebu, ki ga č l o v e k najprej zazna. Ponoči vidimo Luno in zvezde . Kdaj se je človek zavedel, da poleg zvezd sta lnic obstajajo tudi drugačne "zvezde", ki se po nebu premikajo , ni znano. Takim "zvezdam" so r e kl i planeti ( gr . potnik ) . Le Babilonci so poznali sedem premičnih , t e l e s . To so Sonce , Lu - na , Ma r s , Merkur , Ve ne ra , Jupite r in Sat urn. Na Babilonce so ta tel esa napravila velikans ki vtis, saj so jih vtkali v kol edar , kjer so ostala še danes . Po nj ih mnogi narodi i menuj e j o dneve v ted nu: nedelja (ang J • : Sunday) dan, posvečen Soncu ponedeljek (ang 1 . : Monday) dan, p'osvečen Luni to rek (i ta 1 . : ma r t e d l ) dan, posvečen Marsu s reda ( i ta 1. : mercoledi) dan, posvečen Merkurju četrtek (i ta 1 . : giovedi) dan, posvečen Jupitru petek ( ita 1. : venerdi) dan, posvečen Veneri sobota (ang 1 . : Saturday) dan, posvečen Saturnu Seveda si takrat še niso predstavljali, da je, tudi Zem lja pla- ne t. Grški fil ozofi in astronomi so imeli nasprotujoča si mne- nja o zgradbi Osončja. Erato st en je že 200, l e t pred našim štet- jem vedel, da j e zemlja okro gla, in j e prvi i zme ri l zemeljs ko oblo . Se prej je Aris ta rh odkri l metodo, da z Zemljinim pr eme- 136 rom ob Sonče vem in Lunine m mr ku i zme ri mo , kako d al e č sta Sonce i n Luna in ka ko veli ki s t a ti dve t ele si ( gl e j Pr es e k VII , š t.2, 1979/80). Ta genij je pred ve č kot 2000 leti spozna l, da se Zeml j a vrti oko li Sonca (h el i o c e n t r i č n i sistem ). Njegov na uk je bi l v na s- protju z vladajočim prepr iča njem, da j e s i ce r Zemlja okrogla, da pa se Sonce i n ves nebes ni s vod vr t i t a oko li Zem l je (geocen - t ri č n i sistem ) . Geoce n trič ni sis te m j e zagovar jal Ptolomej , za d- nj i ve l i ki astro nom anti ke. Zbra l j e vs e ast rono msko znanje a- l ek s and rij s kega obdo bj a v sv oj em ve l i kem delu "Veli ki zbor nik as tron omije" v 13 knji gah. Na sreč o se j e nj e govo delo oh r anil o . Po pro padu s t a r e G r či j e so grško znanje pre vzeli Ar abc i. V Evr o- pi j e zavl adal " mr a č n i " s re dnj i ve k. Pred stavljali so s i , da j e Zemlja r avna. Zna nj e ast r onomi j e je st r ah ovito naza dova l o . Arab- c i so pr evedli v s voj jez ik de la pomembn ih gršk i h u č e nja kov: Aris totela, Arhime da , Apolonija, ptolomeja in drug ih. S kr iž ar - skimi vojnam i in pa prekoSpanije, ki j e bil a v ara bsk ih r okah, je Evr opa pr ih a j al a v s t ik z arabsko omiko in z gr š ko znan os tjo, kl j ub nas pr otov an ju špa nske Ce rk ve. V š t i r i na js t em in pet najstem s t ol e t j u j e posta lo jasno tu di Evr opej ce m, da je Zemlj a okrogla. Po pr vi h evr opsk ih u ni v e~zah so p ouče vali Pt olome j ev nau k . Le t a 1543 pa je tr e š čil o . Z objav o r a zpr av e "De re vol ut io ni bus or bi um coelestium" je Nikolaj Kope rnik por uš i l Ptolomeje vo zgra dbo ve - so lja i n sez ida l novo , v bistvu Aristarhovo . Se le 5 . marca 1616 , ko je h e l i o c e n t r i č ni sistem priše l v javnost, je kato liška cer- kev uvrstila Kopernikovo razpra vo na seznam prepovedani h knjig, kjer je osta la več kot 200 l e t. Seveda pa to dejs tvo ni mogl o zatreti razvoja znanost i. že v prvi polovici sedemnajstega sto - l e t j a je človeštvo prišlo do novih spoznanj o osončju, do spoz- . nanj, ki so prekaša la še tako genia l ne raz mis l eke a ntič ni h mis- lecev in v drugi polov ici sedemnajs tega s to letja pr ive dla do Newtonove teorije grav itacije . Ta z določenimi omej itvami velja še danes! J oh anne s Kepler (15 71-1 630 ) je odkr i l zakone o gib anju planetov . Dotedaj so menili, da nebesna te lesa enakomerno kro - žijo. Kep ler pa je ugotovi l t o l e : 137 (1) Središča pl ane to v se giblj e j o okr og Sonca po e lip sah. V s kupnem gori š ču teh e lips je središče ·S o n ca. ( 2) Zveznj ca med sredi š č e m Sonc a i n sredi š č e m pl a ne t a op iše v enaki h č aso v n i h pr e s l edkih enake ploščin e. ( 3 ) Kvad ra ti obhodnih č as o v posamezn i h pl anetov so v i s t em raz- merju ka kor tret j e pote nce veli kih polos i nj ihovih e l ip t ičnih ti r ov . 5 1 i k a 1 Ni k ol aj Ko p er n ik 5 1 i k a 2 J o h ann e s Kep le r Leta 1609 je prv i č lo v e k uprl daljn ogled v zvezdna neb o. To je bil Ga li Ze o Ga li Ze i ( 1564 - 1642 ) . že 7. j an ua r j a 16lO s eje v o- č e h Galilea o sončje povečalo. Odkril j e namreč š tir i J upi trove sate1ite(lune ) : lo, Evr opo , Ganimeda i n Ka l i s to . Za tem pa je šlo pr ece j naglo. Huygens poj asni Sat ur nov obr o č . Let a 1655 od- krit je Saturnovo luno Titan. Astron om Cas s i n i od kri j e j e .š t ir i Saturnove lune: leta 1671 J a peta, leta 1672 Reo in l e t a 1681 Dion e in Tetido. 138 SI ika 3 Ke p le rjev zgreše ni mo de l pl an e tnih sfe r Do leta 1781 s o poznali l e šest pl an etov. Kepl er je veroval v harmonij o ve s oljstva i n je sp rv a menil , da je š e st planetov za - to , da j e me d njih ovimi tiri pet vm es n ih pro s to r ov , pr a v t oli ko , kol i kor j e pr a vi l ni h te l e s . (O pra vi lni h te l es i h je Pres e k že pi s al , glej Pr es e k VI I I, št. 3, 1980/ 81, s t r. 134 -142 ) . Ke ple r je posta vil med Merkur je v i n Ve nerin ti p ok t aeder , med Vene ro in Zeml j o i ko za ed e r, med Zemljo i n Mars dode kaeder , med Ma r s i n Jup iter te t r aede r in med Ju pi t e r in Saturn koc ko! Kas- ne je je, kot vemo, s pr emeni l mn enj e. Kl j ub t emu pa mu je njegov č u t za red pravil, da je med Mar s ovim in Jupitrov i m t ir om pre- ve lika pr aznina. Zat o je domneva l, da mor a med nj ima obsta jati pl anet . Nemški astron om Bode j e iz podat kov za tire znan ih pla- ne tov leta 177 2 omenil nev erj etn o ra ču n sko za pore dje, ki vel ja za ra zmer j a r a zdalj pla ne t ov do Sonc a. To za po r ed j e j e zna no z i me nom Sodej e v zakon, č epra v ga je odkr il že prej Titi j i z Wit- tenbe rga. 'Sode j e v zakon: Vz emi šte v i la 0,3 ,6 , 12, 24, .. . . Vsa ko med nj imi j e (r a zen pr vi h dveh ) dva kr at nih prej šn jega . Vsa kemu šte- vi lu pr i šte j 4. Tak o dob i š zap ored j e : 4,7, i o, 16, 28 ,5 2, 100 , 196, 388 , .. ... 139 če vzamemo, da je r a zda l j a med Zemlj o -i n Soncem lO enot, me r i j o členi zaporedja razdalje drugih pl anetov do Sonca . Ujemanje z. dej an skim stan jem je presenetl jivo. Glej pregledni co l . Leta 1750 je bila sli ka oso n čja že ~ r ec e j podobna današn ji , Poznali so 17 nebe snih tel e s os o nč ja: Sonce, 6 planetov in lO satelitov (Luno, štiri Jupitrov e lune in 5 Saturnovih lun), Precej natanč­ no so izmerili r azdal je s a t e l i t ov do p} anetov in planetov do Sonca t er nj ihove obhodn e čase, I n ve nda r je man j kal med Mars om in Ju pitrom plane t! Planet Razdalj a po Bodeju Dejanska razdalja Merkur 4 3'9 Ven e ra 7 7'2 Zeml j a 10 10 Ma rs 16 15'2 28 Jupit er 52 52 '0 Sa t ur n 100 95' 4 Preg l ednic a 1, Prime rjava de jan s kih razdalj pla netov do Sonca z razdal jami, ki ji h predvideva Bodej ev zakon, Let a 1781 pa je sloviti astr onom Wi l liam Hers ch e l ob sistemati č­ nem pre gl ed ovan ju neba od kri 1 nov pl a ne t : Ur an. Ka s ne j e j e od- kr i l še dva Satu r nova i n dva Ur anova sateli t a , Tako s e je o- s o n čj e pove čalo za 5 t e l es , pr emer pa se mu je dvakrat povečal, saj je Uran prib ližno dvakrat da lj od Saturna, Tudi Bodejev za- kon velja zanj neverjetno dobr o. Pl anet Ura n Razdalja po Bo dej u 196 De j ansk a r a zdalj a 191 ' 8 Pre gl ednica 2, Bodejev zakon velja tudi za Uran , ki je bil od- kr i t l et a 1781, Leta 1800 s e je šes t nemš kih as t ro nomov zbralo v majhn em mestu Lilienth alu , da bi našli manj k ajo či planet, ki ustreza š t e vi l u 28 v Bodejevem za poredju , Kasne j e so j ih poimenovali "nebesna 140 policija ". In ven dar jih je prehite l Piazzi , dire kt or observa - torija v Palermu . Pr av 1. januarja 1801 j e v upe r i l dal j nogl e d v f udno "zve zdo" , ki jo je s prva imel za kome t br e z repa, kasneje pa se je izkazalo , da gre za plane t . Ime novali so ga Cere s . V primerjavi z Bodejev o nap ovedjo 28 ima Ceres srednjo razdaljo 27 ' 7 in zakon je bi l rešen. Ce r e s pa je pra vi pri t likavec med pl ane ti . I ma vef kot desetkra t manjš i pol me r od Zeml j i ne ga . Ker so kas neje na š l i še mnogo t akih prit l ika vi h planetov, mu as t rono- mi ni so priznali st a tu sa pl ane ta . Dan e s pravimo ta kim pritli kav - ce m aste poidi . Kma l u so odk ri li še druge as tero ide . Le t a 1802 je OZ be ps naše l Pal a s , le ta 1804 je Hapding odkri l Ju no in 1809 spet Olbers Vesta . Sele l e t a 1845 je Hencke odkri l naslednji as teroid Astraeo . Po tem pa se je usu l pravi pl a z . Le l e t o dn i kasneje je GaZZe po Le ve ppie povih raEunih odkril planet Neptun i n do konc a stoletj a so odkri li še nekaj sa telito v in kopico aste ro i dov. Ta ko so ob pr e lo mu s t oletja pozna l i pribli žno 450 prebivalcev oso nfja. V pr vi polov ici tega sto let ja se je t a š te- vilka povzpe la na pri bliž no 1500 , vefi noma na rafun asteroido v. SI i k a 4 P rimerjav a Ve l i k o s t i a s t e r-o l d o v vz Vel i ko Brita nij o 141 Zadnji doslej odkrit i pl anet, ki 'j e hkrati tudi najbolj oddaljen od Sonca, z imenom Pl uton, j e odkri 1 1eta 1930 T'omb'auq h , Tudi ju goslovanski astron omi s o odkrili več aste roid ov. Tako na pri- mer pozna mo tira as teroidov Ju goslavi ja in Tito . . • . • u.. e,'.. · 51 i ka 5 Primer j av a planet ov po vel i kosti . Od le ve proti de sni : Merkur, Ven e ra, Zemlj a , Mars, Jupiter, Sa t urn, Uran, Neptun i n Plut on. Na koncu se kar samo pojavlja vprašanje . Kaj je poleg nenehne človekove želje po spoznavanju in razumevanju povzročilo, da se je s l i ka osončja v zadnjem ča su tako spremenila? Brez dvoma je odkritje daljnogleda krivo za pravo revolu ci jo v astronomiji . Z vedn o bol j natančnimi dal jno gledi je bilo mogoče odkriv at i vedno ve č nebesnih t el e s . Tudi odkritje f otografije je pripo- mo glo pri ra z is kava h osonč ja. S pr imerjavo f otograf ij j e mogoče odkr i t i "premičnic e" . Vse kaže , da bo tudi uporaba ' r a č u n a l n i k a v ast ronomiji povzro čila nov kva li t e t en pre sk ok v razi s kava h 0- s ončj a. Kl j ub vsemu pa i majo ra z i s kave na dal j avo dol oč en e me j e. če je že m o goče izračunati ti re ne besn i h teles i n oce ni t i nj i ho- ve pol me re , pa j e v neka teri h pr imeri h iz r edno t ež ko d olo či t i nj i hovo maso . Ta na l oga postane dos t i laž ja, če v bliži no ne bes - neg a t e le sa pošl j emo vesolj s ko la djo . Prav ves oljs ke lad j e so č l oveku posredov al e mnogo n at an čnejše podat ke o o s on č j u , kot bi j i h dobil s ice r, in v njih je prihodnost ra zi s kav osončj a . O t em pa kdaj drugič . , Toma ž Pi san s ki 142 TEKMOVANJA-NALOGE IZBRANE NALOGE ZA UčENCE VIšJIH RAZREDOV OSNOVNE šOLE 5 . ra zr ed 1 . Hiš e .v ul ic i so ošte vi lf e ne od 1 do 50 . Ko l ik ok ra t j e napi san a cif r a 4? 2. V neki šo l i je 630 ufen cev . Na vs akih 5 fantov s o 4 dekleta. Ko l iko j e v tej šol i fantov in kol iko deklet ? 3. Pr e be r i št e vi la, ki so zapi s a na v dvoj i š kem si ste mu: .10 100 1000 10000 10 1O 11001 4 . Zapi ši vs e pa re ( x, y ) iz NoXNo ' ki za došfajo en a fbi a) x + y 9 b) x + y O c) x + y 1 5. Na mes t ih, oznaf e nih s piko, vstavi c ifre, da bo r az l ik a šte- vil prav i ln a . 2 O O 2 9 7 2 8 6 . Reši e na č bo: 88 + x : 13 = 9 5 7. Mešamo 30 kg ka ve po 480 di n i n 15 kg ka ve po 600 din za ki - l ogra m. Kol i ka je cena 1 kg mešani ce ? 8 . I z po km do l ge ga papirnate ga traku , ši r okega 1 mm , narežemo mm 2 vel ike kvad rat ke. Iz t eh kvadr a tk ov se stavimo nov 14 3 trak, dolg '4 m. Kol i ka bo ši rina tega traka? Kaj pa, če iz teh kvadratkov sestavimo kvadrat? Koli ka bo njegova stran ica? 9. V trikotniku sta dani st ranici 7 cm in 9 cm . Katera naravna števila so lahko dolžina tretje stranice? 10. Sosed A ima vrt v obli ki pravokotnika z dolžino 18 m in ši- rino 8 m. Sosed B ima vrt z enako ploščino kot sosed A, le da je njegov vrt kvadratne oblike . Ali bo dolžina ograje "e naka ali različna? Ugotovi! 6 . razred 1. t tvoje starosti je 10 let 10 mesecev. Koliko si star? 2. Tone in Tina se vozita s kolesom po isti poti . V enakem času prevozi Tone t poti, Tina pa t poti. Kateri kolesar je hit- rej! i ? 3. V krožnico zradijem 3 cm včrtaj poljubni pra vokotnik . če zvežeš zaporedno središča stranic pravokotnika, dobiš šti ri - kotn ik. Izračunaj njegov obseg! 4 . V poljubni krog K(s, r ) včrtaj kvadrat . Kolika je ploščina včrtanega kvadrata, izražena s polmerom r ? (Nasvet : iz dob- ljenega kvadrata sestavi dva ploščinsko enaka kvadrata) ; 5. Narisanih je 10 enakih kvadratov, v kater ih so včrtani liki . a) Poišči črtane like, ki imajo enako ploščino ! a a li 144 li T a T a 2 6. Kva dra t s st ran ic o a poveč amo tako, da dobimo dva kr at večji obse g . a) Za koli ko ods t otkov s e sp remeni plo ščina kvadrata? b ) Ko l ikokra t j e p lo šč i na novega kva drata ve č ja od plo ščine da ne ga kvadr a ta ? 7. · Učen e c je imel na r i s an en akok rak pr avokotni t r i kotni k ABC s simetral ami kotov . Nagaj i vi s oš ol e c mu j e z ra dira l strani co BC i n del s t ran ic AB in AC, ta ko da je os t a lo še og l i š č e A . Pomagaj s kons t r ui r a t i prvotni trikotni k! 7. raz r ed 1. a) Za ka te re vrednosti s pr emenl j i vke x je ulomek .!.. ma nj š ix od 1? b) Za ka t e r e vredno s ti spremenlji vke x vel j a enako s t lxI = x ? c ) Ka j je ve čje: a a l i a 2 • Obra zloži! 2. Izra ču n a j š t e v i l č n o vr ednost izraz a A = 0 ,00 1a 3b 2 - 500 a 2b 3, č e je a enako najvecJ emu dvomestne- mu ne ga t i vnemu š t e vi l u, š t e vi l o b pa je en ako najm anj šemu ce - lem u štev i lu, ki je me d š t ev i loma -5,1 i n - 2 , 4! 3. Za ka t e ra realna š tev i la a i n b ve l ja a ) a O d) - 1 < O:r < a 2 b) ~ > O e) :E.. 3 < O a - i c) _ .E3 f ) - 1> O ( _a) 3 < 0 b~ 4. Dol o či mno žico š t evi l, ki j e da na z na s le dnjo unij o: M = z" U z" U Q+ U Q- U {O} 5. Re ši enač b i : a) ( 10 0 0 33 3x ) . 10 0 00 - 9999 b ) (- 3 ~st) .x = 7, 2 : ( -~ ) 145 6. D olo či mnof ic o A vr edno st i s pr emenl j ivke x , za ka t ere bo š t e- vil čna vr edno st izr az a 5x + 21 narav no š te vi lo , man jš e od 25 ter deljivo z 2 in 3 . 7. Za ka tero vred nost spremenlj ivk e x ima i zra z 23 - (x - 8, 5 )2 n aj večj o vred nost ? Obr az lož il 8. raz r ed 1. En a k ost r ani čnemu t ri kot ni ku ABC s stra nico a = 20 cm nar i še- mo tak kr og K ( A , r ) , da bo na stali krožni izs ek imel dvakrat ma njšo pl o š čino kot t ri kot nik. Ko l i kš en mor a bi ti polmer krog a? 2. V pol kro gu s polmerom r na ri še mo t etivo pod kotom 300 (gl ej s l i ko). Ko l ika je p l ošč i n a č r tane ga del a polkro ga ? .>. S r 3 . V r avni ni koor dina t nega s is te ma na r iš i p r av o k ~ tni k z og lišč i: A( -3 , ~1), B ( 5 , -1), C( 5,3). Dol o či : a) koor di na t i če tr tega o g l išča D; b) koor di nat i sečišča di a gonal AC i n BD, c ) en a č b e pre mic, ki so nosil ke st r anic in dia gonal pr avoko t ni ka. 4. č e nek emu ulo mku poveča mo števp.c za 20 i n i me nova l ec za 30, se ulo mek ne s pre me ni . Po išč i ga ! 5. š t ev il u 19701971 pr i piš i na de s ni stran i tr i take c i fre , da bo štev i lo del jivo s 7, 8 in 9! F1/E H c .-------~..6. Koc ko z robom a pr e s ekamopra vokotno na spod njo me j - no ploskev t a ko , kot kafe slika (na s l i ki je vodorav- ni pre rez) . Izr a čun a j pr os- to rn ino in površ i no nastale priz me. (Slik a) 146 7. Kocki z r obom a pod a l j š am o di a go nali is t e me jne pl osk ve za r ob a . Dob lj en e t o č k e z ve že mo s pr i ležn imi o g l išč i nasp ro tne mej ne plosk ve . I zračunaj pros to r ni no na s t al e ga telesa in vsoto vseh njegovi h ro bov . Pa vle Za j c XX III, MEDNARODNA MATE11ATJčNA OLIMPIADA 2e na za č etku leto šnj e ga zvezn eg a t e km ov anj a v Sa raje vu j e t e k- moval ce pre sen etil a novi ca, da bo t okr at ol i mpi jska ek i pa šte la l e š t i r i č la ne. Po zvezn em t ekmova nju in mali ol i mp i ad i je bi l a . ses t a vlje na nas l ed nja e ki pa : I gor Kuka vic a ( I V. r azr ed, Ljub l ja - na), Ml ad en De s pi c (III . razr ed, Sara jevo ) , Pa vl e Pan dži c ( I V. ra zr ed, Zag r e b) in Pe t ar Pav e š ic ( II I . raz re d , Rij eka ). Pri pr ave so pot e ka l e v Beogr ad u od 30 . j unija do 6 . j ul ija. Se s - t~ v l je ne so bi l e i z pr edav anj in r e š ev anj a na l og s pre jš nj i h 0 - l i mpi ad i n tuj ih zv ez nih t e kmov an j. Pr edav a nj a s o vodi li A. Vu- 14 7 či č, N. B laž ič, V. Jankovič, Z. Kadelburg in P. Mladenovič, iz- brane teme pa so bile : teorija števil, polinomi, geometrija, verj etnos tni r a čun, kombi na t or ik a in topologi ja. V prostem času s o si tekmovalci izmenjali mnogo zanimivih nalog, si ogledali s l avne za nimivosti Beogr ada in se na koncu sprostili ob športnih de javnosti h. 7 . julija so s e te kmovalci z vodjo ekipe Petrom Mladenovičem odpravil i v Budimpešto, kjer jih je pr ičakal jugoslovanski pre9 s ta vnik v žir iji Zoran Kade l bur g . Domačini so tokrat gostili kar 30 e ki p , ki so bi l e na s t an j e ne v modernem š t udent s kem domu, obkrožene s številn imi športnimi tereni za koša rk o , nogomet in odbojko. Se i s t i dan se je mednarodna drušč ina odpravila na og- led znamenitosti Budimpe šte. Vsaka e kipa je dobil a tudi svojega prev a ja l ca in vodiča. Po en odnevnem premoru j e sledil sprejem . na gimnaziji Margit Kaff ka . Tekmoval ci so re ševali nalog e 9. in 10. julija , in sicer vsak dan po tri ure in pol. Naloge so bile: Prvi dan : l . Funkci ja [( n) je definirana za vsa naravna števila n in zav- zema nenegativne c e l o š t e v i l č n e vrednost i. Funkc i j a [ (n ) pa ima še nas l ednj e lastnosti: a) za vs a ki naravni števil i m in n zavzame izraz [ (m+n) - [ (m ) - [( n) vrednosti O a l i l; b ) [ ( 2 ) O; c) [ (3 ) > O; d) [ ( 9999 ) = 3333 . D ol oči [ ( 1982) ! 2) Dan j e neenakok r ak tri kotn i k A lA 2A 3 s strani cami a l ' a2 in a3 (a l je nasproti ogli šča A) . Naj bo M r a z p o l o v i š č e s t r ani - ce a . , T . d o t i k a l išč e danemu trikotn iku v črtanega kroga s 1- 1- s tra ni co a . S. pa to č k a , ki j e simetr i čn a točki T . gl ede na 1- ' t. t. sim e t r a l o kot a pr i ogl i šču Ai ( i = 1 ,2 , 3) . Dokaži, da se premi ce M)S ), M2S2 in M3 S 3 se čejo veni t o čki! 148 3) Za zaporedje {X n } pozit ivni h rea lnih štev i l ve lja 1 = Xo ~ Xl ~ . ,. ~ Xn ~ • • • a) Dokaži, da za vsako za por edj e s to l a s t nos t jo obstaja tak n , da ve lja : 2 Xo X l 2X n _ l + " '+x ~3 , 99 9 ri b) Poišč i tako zapor edje {Xn } , da bo zi! vsak n velja lo 2 2 2 X o x l X n - l+ - - + . . . + < 4 Xl Xz X ri Drugi dan: 4 . Dana je enačba če je ri tak o pozit ivno c e lo števi lo, da ima dana enačba ce- l o š t e vil č n o rešitev ( x ,y ), pote m doka ž i , da ima vsaj tri ta- ke reš itve! Dokaži, da za ri = 2891 ta enačba ni ma c e l o š t e v i l č n i h rešitev ! 5 . Na diagona lah ~C in CE pravilnega šestkotnika ABCDEF sta zapo redo ma izbrani točki M in N , tako da je AU CN - - - - K AC CE Do lo či k , če veš, da so točke B, M in N kolinearne ! 6. Dan je kvadrat S s stranica 100 . Naj bo L = A AA ... A lom- 1jena črta v ,ki sama sebe ne seka ni t i se ne doti ka, in taka, da je Ao f An' Naj za vsako točko P roba kvadrata S ob staja taka točka črte L , da je razda lja med njo in točko P man jša a li enaka 1/ 2 . Dokaži, da na č r t i L obs t a j a t a taki t o čk i X in Y, da je raz - da lja me d nj ima manjša a li enaka 1, dolž i na č r t e L med X in Y pa j e ve č ja a l i enaka 198! 149 Po re šev anju nal og so te kmovalci izmenjali rešitve, v ve č er­ nih urah pa s o s e sp r os t i l i ob namiz nem teni su, ki j e na Madžarskem zelo popularen. Za čas, ko je komisija pregledo- vala nalog e, je organizator pripravil bogat pr ogr am. Najprej smo se odpr avili na za ni miv i zlet v pionirsk o me s to ob Blat - nem j ez e r u , kjer pa se zar adi slabega vremena žal nismo mog- li kopati. Naslednji dan smo z ladjo odpluli v staro pre stol - ni co Ma džarsk e Višegrad, kje r s mo si ogled a li gra j sk o pal ačo. Tekmovalni del olimpiade se je končal s podelitvijo nagrad in priznanj . Prvo me sto je zas edl a ekipa ZRN, druga j e bila ZSSR, t re t je in čet rto me sto sta si delili eki pi ZDA in NDR, pe ti so bili predstavni ki Vietnama. Naša eki pa je z dvema drugima nagradama dosegla 12. me sto. ~agradi sta osvojila Mladen Despi6 i n Pav le Pandži6 . Kl j ub zel o t ež kim nalogam pa sta en ruski in en za hodnonemš ki tekmovalec dosegla vse mož- ne točke . Tekmoval ci so s e pos lo vi l i na za kl jučnem ban ketu , na kater em je c i ga ns ka godba ustvarila nepozabno vzdušje. Zabava se je nadaljevala v š t ude nt s kem domu, kj e r je bilo še veliko smeha in ves elja. Skle nil e so s e številne nove vezi in pr i j a t e l j - s t va . Pokroviteljstvo nad tekmovanjem je za naslednje leto prevze- la Fran ci ja, tak o da bo Pariz prihodnjič gos t il š e s tč l a n ske e ki pe . A leksandar J ur iši d 14. Iz osmih vžigalic ~estavi l ik , ki vsebu je osmerokotnik, dva kvadrata in 8 trikotni kov ! 1 50 RAZPIS 7. REPUB LIšKEGA. TF.KnnVMJl\ SREmlJEšOLCEV IZ RAč UNALN IšTVA Sedmo republi ško tekmov anje iz računalni štva bo organiziralo Sl ovensko dru štvo Informat i ka v s ode l ovanj u s Fakulteto za e - l e kt r ot ehni ko , I ns t i t ut om Jožef Stefan in Druš tvom matemat ikOV, f i zi kov in ast ronomov SRS . Te km ovanje bo v soboto, 16. apr i la 1983 ob 10 . uri na Fakult e t i za e l e kt r o t e hni ko v Lju bl j an i. Sole l ahko prijavijo za tekmovanje poljubno š t evi l o svojih učen­ cev . Za pr i ja vnic o k t ekmovanju ve lj a spo dnj i vpraš a l nik . Izre - žite ga ali pr ep iš i t e , i zpolnite i n poš l j i t e p r ipo roč e no do č e_ o t r t ka , 17. marca 1983 na naslov Inst itut Jo žef Stefa n , (I zt ok Tvrdy), Jamova 39 , p.p. 53, 61111 Lj ubl j a na, s pripisom: Tekmovanje s r ednj eš olc ev i z računalništ va . Bivanje tekmova lcev i n nji hov i h spre mljeva lcev bo organ iz i ra la Kom is ija za pop ula r izac ijo rač una lništva. Pr ed t ekmovanjem bomo šo l am potr di li pr i javo tekmova lc ev , obe nem pa ji h bomo obvesti li o natančnem poteku tekmo vanja . PRIJAVA TE KMOVALCEV za 7. republi ško tekmovanje srednješolcev iz računalništva SOLA: NASL OV : TELEF ON . __________________POSTNA STEV I LK A Te kmoval c i po prvem l e t u pouka račun a ln iš tva: _ Tekm ovalci po druae m letu pouka ra čuna lni štva: Sp r ern lj e va 1ec: Al i je potreb no zagotov i ti p r e n o č i š č e DA NE Datum: L i~ šo le in podo is r avn at el j a : 151 v PREMISLI IN RESI RE šIT EV NAL OGE I Z šTEVI LK E X/ 1 V prv i š t e vi 1ki X. 1etn i ka s mo va m zastav i 1 i 1ag i č no na l ogo s š t ir i mi vpra šan j i. Dobi li smo 35 pra vil n i~ odgov orov , pr i te m je kar prec e j rešev a lc ev r ešil o vs e št ir i zanke . Reš i tve so nam pa s 1a l i : Arjana Rosina iz Ljubljane, Sabina Gaj šek iz Vrbna , Bo jan Kuzma iz Ljubljane, Mar jeta Mo h o r i č iz Kranja , Marjeta Duh i z Trbovelj , Fra nc J era l a iz Kranja, Jože Fabčič iz Vipave, Sašo Strle i z Ljubljane, Damjan Sever iz Ljubl jane , Aleš Bajt iz Novega mesta, Janko Stergar i z Šo štan ja, -J u r e Mencinger iz Ljub l i ane , Ciri l: Pezdi r iz Vnanjih goric , Bo žo Dajčman iz Novega mesta , Damjan Podržaj iz Prestranka, Pavel Ili ja i z Doba , Jože Arh z J e s en i c, Zo r a n Rogič iz Titovega Velenja, Natalija Fužir i z Lamp reč, Alek- sande r Kri ž iz Šoštanja , Filip Žvan ut iz Ljubljane , Ba rba ra Mot - n ikar iz Kamnika , Samo Gerkšič i z L jubl jane , Samo Gr čma n i z L jub - ljane , Janez Hren iz Domž al , Tomo Bogata j iz Ljubljane , Juš Ko- cijan iz L jubljane , Maja Bračič iz Radov ljice , Mar tina Kerlatec iz Maribora , I rena Gorenc i z Ljubljane, Saša Puck o iz Breži c , David Lu k ma n iz Ljublja ne , Hinko Ple vnik i z Gornje Radgone , Bo ž - nar Marija z Malega vrha , Mira Stare iz Vo d i c. I zžr eb ali s mo tr i r e š e val ce : Nata l ija Fuž i r, Janeza Hr en a in Mart i no Ker la tec, posl ali jim bomo knj iži co Max von Laue : Kratka zqodovina fizike , ki je rav noka r i z šl a v s lo ve ns kem pre vodu v knj ižn ici Sig ma . Peter Petek 1 5 2 Obja vlja mo r e ši tev vs eh š t ir i h nal og, kot nam jo -je pos la l J ure Me nc i nger: Iz t eks ta je ra zvi dno , da r a zen nedel j e ni dne va, v kate re m ne bi kdo i zmed bratov l a gal. Ve ndar pa bra ta niko l i ne l a že t a na i s t i da n. 1) V tem pr imer u obsta ja ta dve možnos ti, in s icer, da oba la že t a ali pa oba govorita resn ico. Ker pa dneva , v katere m oba l a že- t a ni , oba govo r i ta r e s ni co . PRVA OS EBA J E RES PETER , DRUG A PA J E PAVE L. 2) Bil j e ne k dan v te dnu - ne nedel j a - zato ve mo , da eden od bratov laže. Dr ugi zagoto vo _ne l a že , kaj ti ne tr di , da j e on Pa vel , p a č pa, da j e Pav el , če j e prv i Pe t er . PRVA OS EBA JE PA VEL , DRUGA JE PETE R. 3) Kot s mo že ugot ovil i ob ned el jah nih č e ne l aže . Pr vi je r e - ke l, da o b ne de l ja h l aže, t orej j e bil ta dan z a nj "lažniv". če ima "lažniv" da n en, ga dr ug i ni ma . ODG OV OR DRUGE GA SE JE GLAS I L: NE 4) Pr-va oseba trdi, da laže ob sobotah in nedeljah , kar je goto - vo l a ž . To j e l ahk o p ov e d al ~ na pon ed el j e ~ , t o r e k i n s redo. Drugi govori resn ico. Da n pred njego vim pr vi m "l a ž nim" dn ev om (čet rtk o m) je. sreda . TO SE J E ZGODI LO V SREDO . Neka ter i m je nek a j t eža v p ov zr o č al a i zj ava "Ce je on Pe ter , po- tem sem jaz Pave l . " Kdaj je izjava obl i ke "Ce je A , pot em je B . " res n ič n a? Vs a kdo bo po t rd i l res n ič nos t nasledn j e sp loš ne i z j ave : Za vsako nara vno števi lo n ve lja : če je n < 2, pot em je n < 3. Zato mo ra mo i meti tu di na s l ed nj e pos ame zne izjave za res n ič ne : 1 ) Ce je < 2, potem je < 3. 2 ) Ce je 2 < 2, potem j e 2 < 3. 3 ) Ce je 3 < 2, po t em j e 3 < 3 . 4 ) če je 4 < 2, potem je 4 < 3 . o •• • •• ... .. .. .. . . . . .. . . . . .... ... . ...... . . ...... . .. . .... ... . . 15 3 Vs e t e r esnifne izjave imaj o oblik o " f e je A , pot em j e B . " Pri prvi iz j a vi sta obe iz ja vi - A in B, r es n i č nt . Pri dru gi j e pr- va "ne r e s ni f na , druga pa r esni fna. Pri vs eh os t alih s ta obe ne- r e s nt č ni . Pr av ta zadnji primer j e nasto pi 1 v na š i ugan ki . Pa še vpraš anje, kda j je i z j a va "fe je A , potem je B ne re s nifna ? Seveda samo v primeru, ko je A resni fna izja va B pa neresnifn a izjava. I zido r H"a fne r PRIBLI 2NA PODVOJITEV KO CKE Ena od kl as i f ni h grš ki h nalog zahteva, da pOl s ce mo r ob kocke , ki ima natanko dvakrat vefjo prostornino kot koc ka z rob~m a . Se ve da j e t a r ob a 3/2 , vend ar se take da l j i ce - pri dan em a s eve da - ne da nari sati sa mo z ravnilom in šes t i lo m. Ob staja cel kup " razlifnih približnih konstrukcij. Ena je pred vami IJiV .r TIHu 6a l' la Pra vokotni k ABCD ima s t r a nic i 2a in Ga ; s t ra ni ca MQ kva drata MNPQ j e od strani ce AD oddaljen a ravno za a . Dia gonali pra vo - kotnika in kvadrata se sekata v tofki s . Razdalj a te tofke od s tra nic e AB je pr i bl i žek x = ST . Nal oga: Izra funaj x in oce ni , za kol ik o proc en t ov s e r a zl i kuj e od a 3/2 ! Reš itve nam poš l j i t e do konca ma rca 1983. Pe te r Pet e k 154 v RESITVE NALOG R.ES !TV E UGANK S STRANI 121 DO POL "l JEVAIl KA S ST EV I LI : Moj s!!:2c Peter , ki je vi~~ar , se za - ~!Qnj ve sel i l ep e qa v r em~ , saj bo sp~~ deže va l o. E NA čBA: Z- l at a, Nanos. t na (Ant) , p- Alec, re d , u-Ga nka, j ek, o- mar ica , rak o~ (moka r ) , anes ( Sena ), ko-pa lec, koma. Mi sel : Znanos t napr eduj e korakoma, ne skokoma. rSKALN ICA "STEVI LP " : ena - B, nič - E, tri - R, osem - T, ena - R, pe t - A, tri - N, ena - D, nič - R, sto - U, tri - S , ena - S, dva E, pet - L, n ič - L. Konč~a rešitev: Bertrand Ru ssell . S T E V I LčN I C A: 1. k o nj iček, 2. tr iceps, 3 . pehtran , 4 . srčkovka, 5 . krep os t, 6 . Hani ba l, 7. m l e če k, 8 . l aven del , 9 . s vet loba, 10. Pavlo v, 11. kositer, 12. anemona , 13. c igareta, 14 . mladika, 15 . kapita l, 16. blagajna. t1 ise l: Nihče ne ve vsega, pač pa vs a kdo ve nek aj . Pavle G,'e gor c 155 RE Š iTVE I ZBRAN IH NALOG ZA UČ EN C E Vi ŠJIH RAZREDO V OSNOV NE ŠOLE Bes edil a nal o g g l e j n a s tra n i 1 ~3 5. r a z r e d 1. Cifr a št i r i j e napi s ana 15- kr at. 2. Na šo l i je 3 5 0 f a nt o v i n 28 0 dek l et . 100 2 = ~ 8 1 0 00 0 2 10 1 0 2 = 1 0 16 11 0 0 1 2 = 25 ~ . a ) (0 , 9 ) , (1 , 8) , ( 2 ,n , (3 , 6 ) , (~ , 5 ) , (5, ~) , (6,3) , (]. 2) , ( 8 ,1 ) , ( 9 , O) b ) ( O, O) c) ( 0, 1) , (1 , O) 5 . 10 12 OO - 2 99 72 7122 8 6. x = 91 7 . Me š ani c a 1 kg kav e st an e 5 20 din. 8 . š i r i na t raku bo 2 5 cm , kva d r at pa bi imel s t r an i c a 1 rn, 9. Ke r je vsaka s t ranic a t ri kot ni k a man jša od v s o t e in ve č ja od . r a zl i k e osta l i h dv e h s t ranic, j e d ol ž i na tr et j e s t ra ni ce lah- ko v s a k o nar avno štev i lo med 3 in 1 5 vklju čn o . 10 . So sed B i ma za ~ m k ra jšo ogra jo . 6. r a zr e d 1 . 5 o d x l e t je l 02- 6 6 x = 1 3 Tvo j a s ta ros t j e 13 let. 2 . Ti s t i , k i p re voz i v e nakem času dal jšo po t , je h i tr e jši . T i- n a j e hitr e j š a, sa j p r e vozi v e na ke m čas u kot Ton e ~o poti v e c. 1 5 6 3 . I z r is be, ki s i j o nar i s al , j e b a e na ka po lme r u k roga . Tor e j ! 4 . P = 2 . p 2 K ra zv idno , da j e stranica ro m- 5 . Ena k e plo šči ne imajo 1 i k i i z nal og : a ) , c ) , e ) in i J te r 1 i k i i z nal o g b ) , d ) • f), g) , g) in j) 6 . o = 4 . a ° l B . a 4al P a 2 P I a1 2 4a 2 P I - P = 4a 2 - a 2 = 3a 2 a } P] o š č in a kva drata j e b} Plošč ina k vad rata je 30 0 večja za 100 al i 300 %. ~ -krat večja o d p r votnega kvadrata . 7 . Re ši sam! 7 . r a z r e d l c a ) Ul o me k x je manjš i od 1 , kadar j e x negati v e n a l i v e čj i od 1 . b ) En a č b a lx i x vel j a za vsa nenega tiv na š t e v i l a x . eJ Za O < a < 1 j e a > a 2 • Ce pa je a < O a li a > 1 . j e a < a 2 2. a = -10 , b - 5 A 6249975 3. a j a > O c J ni r e šitve e j a < O b} a > O d } a 1- O f) a < O 4. M Q+U Q- U{O} Q= = 5. a} x = 3 b } x = 2 157 6. Naravna števila, manjša od 25 in deljiva z 2 in 3 , so: 6 , 12, 18 in 24. Tako dobimo: Iz enačbe 5x + 21 = 6 sledi x = -3. Če 6 nadomestimo z 12 , 18 in 14, dobimo še tri rešitve. Torej: A = { - 3 , 7. Dani izraz bo n a j v e č j l , če bo vrednost izraza (x - 8,5)2 naj- manjša. To pomeni (x - 8 ,5) 2 = O, se pravi x = 8,5. - 8. razred 1. 1 Pi = "2P t n1'2 = 1 2/3- 6- ea l' = ~1Zi2 ' li"""'" l' = 13 cm 2. = 1'2 (3/3 + 2n)P 12 c B ~ A ,. S B 3. a ) V ( - 3, 3 ) b ] S (1, 1) C) Stranice ležijo po vrsti na premicah z enačbami y =-1 , x = 5, y = 3, x = -3. Diagonali pa na premicah 2y = x + in 2y = - x+3 a 4. Naj bo iskani ulomek D' a + 20 a 1i+3O li ab + 30a ab + 20 b Odtod 1 58 a 2 'li = "3 Iskani ulomek je ~ 2- 3 5. Če naj bo š tev i lo d elji vo s 7, 8 in 9, potem j e d elji v o s pr odukt om 7 . 8. 9, t . ] . s 504 . Prip isati š t e v i l u 19 7 0 19 71 tri c i f r e pomeni številu 1970 1971000 pri šteti x ( kj e r j e O < x < 1000). I s ka no š te vil o i ma o b l i ko 19701 971000 + x . Os t a n e k p ri de lj en ju š te v i l a 1970 1971000 s 504 je 152. I s k a no t r i me s t no š t ev il o x mo r a biti ta ko , da je 152 + x del·j ivo s 504, t o j e l e z a š t ev i 10 352 i n 856. Odg o vor : ( 1) 19 70 1971 352 (2) 19 701971856 a h b h alG 6. -r = - 2- ===> b = -,- v 7. V a 3 + .3a 3 + a 3/ 2 3 V a 3 (t + 1 2 ) . o = 8a (1 + 1 2 ) a h AS = - 2- PavZ e Za j c 15 9 PRESEKOV ŠKRAT Pred novim letom ste dobili peto številko Prese ka , ki je obenem tudi Prese kov koledar. V njem s o datumi rojstev slavnih sloven- sk ih matematikov in fiz i kov , označen i z modro barvo. Natančnejše bralce vljudno prosimo, da v mesecu marcu pokr ijejo z modro bar- vo 23 . in 24. dan v mesecu in ne 30. in 31., kot je to storil Presekov škrat. Ci r i l. Ve lkovrh Rešitev 11 . naloge s strani 123. \ • •---...,..-. ----- • • • --_.--......'--_.. Rešitev 14. naloge s stran i 150 . 160 BISTROVIDEC PRAšTEVILS KE OGRLICE V reviji Journal of Recreational Ma t hematics li ( 198 2) 1, st r an 64 je Antonio Filz vpeljal pojem "pr ašt e vi l s ke ogrlice" vel i - kos ti n. To je "ogr l ica" i z števil od 1 do n , na kater i je vsota dveh sosednjih s i števil .vs e l e j pra število . Na prime r za n = 6 : Poišči vse "praštevi ls ke ogrlice" za n = 8 . Pokaži še, da ne obstajajo "praštevilske ogr lice " lihe vel ikosti. Vladimi r Batagelj