i i “1174-Vencelj-0” — 2010/7/19 — 11:54 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 21 (1993/1994) Številka 3 Strani 186–189 Marija Vencelj: OB DVESTOLETNICI ROJSTVA LOBAČEVSKEGA Ključne besede: novice. Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1174-Vencelj.pdf c© 1993 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. OB DVESTOLETNICI ROJSTVA LOBAČEVSKEGA Dvestoletnico rojstva tega velikega ruskega matematika , ki ga imenujejo tudi Kopernik geometrije , so prosla- vili tako v njegovi domovini kot dru- gje po svetu , saj je UNESCO preteklo leto proglasil za leto Lobačevskega . Zato ne bo odveč, če nekaj o njem in o njegovem delu zvedo tudi Presekovi bralci. Nikolaj Ivanovič Lobačevski se je rodil v Nižnem Novgorodu v Rusi- ji . Bil je drugi od t reh sinov nižjega državnega uradnika, ki pa je zgodaj umrl in zapustil družino v veliki be- di. Mati se je s sinovi preselila v Kazan in jih sama poskuša la čirnbolje ~~,~k/~~~~~) ~r:~~~i~ia~~oš:::~ ~~s~:u~~~is:~ej:i~: kot štipendisti v gimnazijo, Nikolaj komaj devetleten. Že tedaj je pokazal izrazito nadarjenost za matematiko, fiziko in klasiko. Štirinajstleten se je leta 1807 vpisal na kazansko univerzo , kjer je nato preživel nadaljnih št irideset let kot študent, asistent, profesor in nazadnje rektor. Na univerzi j e bil eden prvih njegovih učiteljev Martin Bartels , Gaussov prijatelj . Osemnajstleten je Lobačevski magistriral iz matematike in fizike, enaindvajsetleten postal izredni in s triindvajsetimi leti redni profesor na kazanski univerzi. Z delom je bil preobremenjen . Poleg matematike je predaval še fiziko in astronomijo, postal kmalu univerzitetni bibliotekar in ravnatelj univerzitetnega muzeja . Tako knjižnica kot muzej sta bila ob njegovem nastopu popolnoma neurejena , knjižnica zaradi nereda praktično neuporabna . Lobačevski je po naročilu vlade dobesedno lastnoročno spravil knjižnico v red. Za to delo ni prejemal nobenega plačila , bil pa je verjetno zato imenovan za dekana Fakultete za matematiko in fiziko. Po smrti carja Aleksandra leta 1825 se je Univerzi v Kazanu obrnilo na bolje. Lobačevski je bil imenovan za rektorja, postal je glava univerze. 187 Imenovanja ni vzel kot čast, ampak kot veliko obvezo. Dovedel je nov učiteljski kader in liberaliziral pouk . Knjižnico so prilagodili znanstvenim zahtevam , ustanovili de lavnico za izdelavo učil in znanstvenih pripomočkov, zg rad ili astronomski observatorij . Lobačevski je bil iskreno prepričan, da moraš stvari dobro poznati , če naj bodo napravljene tako , kot si jih zamišljaš . Ko mu je vlada naročila modernizacijo in dograditev novih univerzitetnih stavb, se je preprosto odločil št udira t i arhitekturo . Tako se je zgod ilo , da so bile nove stavbe ne le lepe in izjemno funkcionalne, ampak - kar je gotovo izjemen primer - zgrajene so bile z manj denarja, kot je bilo predvideno. Ko je leta 1842 katastrofalni požar uničil pol Kazana in tudi najlepše univerzitetne stavbe, med drugim knjižnico in nov i astronomski observatorij , gre le njegovi izj em ni prisebnosti zasluga za to , da so rešili astronomske naprave in vseb ino knjižnice. Takoj po požaru je začel ponovno graditi in v dveh letih o škodi ni bilo več sledu. V letu požara je na Gaussov predlog postal dopisni član Kraljevega dru štva iz Gottingena . Ta čast mu je bilo podeljena kot utemeljitelju nove neevklidske geometrije. Pričakovali bi, da ga bo tudi domovina primerno počasti la , tako zaradi številnih zaslug kot zaradi evropskega priznanja , toda zgod ilo se je prav obratno. Leta 1846. j e bil nanaglo razrešen kot profesor in kot rektor univerze, ne da bi kakorkoli obrazložili to dvojno žalitev. Njegove kolege, ki so se kot en mož postavili Lobačevskemu v bran, so le nevljudno poučili , da kot navadni profesorji pač niso poučen i o sk rivnostih upravljanja univerze. Za številno družino - Lobačevski je imel sedem otrok - je bil to tudi hud fi n a n čn i udarec. Dodatn i udarec je bila sinova smrt . Po tem so ga naglo začele zapuščati moči . Hkrati mu je hitro slabel vid . Se vedno pa je bil sposoben intenzivno matema ti čno misl iti . Svojega znanstvenega testamenta - knjige Pangeometri- ja - ni pisal lastnoročno , ampak ga je narekoval že popolnoma slep . Posvetil ga j e petdesetletn ici kazanske univerze , ki jo je imel še vedno rad in ki je dolgovala svoj visoki znanstveni nivo prav njegovim prizadevanjem . Delo je izšlo le nekaj mesecev pred njegovo smrtjo. Umrl je leta 1856, star 62 let . Znanstveno delo Lobačevskega sega na različna matematična področja. Neposredno z njegovo novo geometrijo (o njej kasneje) sta povezana č l a n e k o računanju določenih integralov in za astronomska opazovanja pomemben prispevek o verjetni napaki pri računanju vsote kotov v trikotnikih z velikimi stran icami. Druga dela se dotikajo algebre in anal ize: Algebra ali računanje s 188 končnimi količinami, Teorija trigonometričnihvrst, O konvergenci neskončnih vrst. V svojem članku o konvergenci trigonometričnih vrst je podal tudi eno prvih splošnih definicij funkcije . Nadalje je formuliral strogi definiciji zveznosti in diferenciabilnosti in opozoril na razliko med tema pojmoma. Daleč najpomembnejša pa je njegova zmaga nad običajno intuitivno predstavo v geometriji . Gre za izločitev 5 . Evklidovega aksioma in uvedbo nove splošnejše geometrije, v kateri je evklidska geometrija le posebni primer . To je bil dragocen prispevek Lobačevskega v zakladnico svetovne znanosti . Za razumevanje tega znanstvenega dela Lobačevskega moramo poseči daleč v zgodovino, vse do Evklida v 3 . do 4. stoletje pred našim štetjem. Evklidova sistematična predstavitevelementarne ravninske geometrije sestoji v osnovi iz petih aksiomov in dokazov številnih izrekov , ki slede iz teh ak- siomov. Medtem ko prve štiri aksiome zlahka privzamemo na osnovi izkušenj , je s petim drugače. Celo Evklid sam priznava , da je čista predpostavka. Peti aksiom lahko predstavimo na vec enakovredn ih načinov. Morda je med njimi najpreprostejši naslednji : V ravnini naj bosta dani premica p in točka P. ki ne leži na p. Potem obstaja v tej ravnini natanko ena premica q, ki gre skozi P in je vzporedna p . Pri tem pomeni. da sta premici vzporedni, če se ne seka ta . Vprašanje, ali je 5. Evklidov aksiom o vzporednicah neodvisen aksiom ali pa se ga da izpeljati iz drugih aksiomov, je vznemirjalo matematike dva tisoč let. Gauss je prvi verjel , da je aksiom o vzporednicah neodvisen, kar bi pomenilo , da so logično možne tudi druge geometrije, zasnovane na izb iri drugačnega aksioma . Svojih razmišljanj o tem Gauss ni niko li objavil. Petega aksioma res ne moremo privzeti na osnovi izkušenj . Po eni strani se morda kje daleč dve navidezno vzporedni premici vendarle sekata. Ali obratno: Se premici, ki kažeta, da se bosta sekali, morda počasi ne odklonita druga od druge, ali pa se morda druga drugi le asimptotično približata , sekata pa se nikoli? Peti aksiom lahko ni veljaven na dva različna načina: Bodisi da ni take premice skozi P, ki bi bila vzporedna p , ali pa obstaja več kot ena premica skozi P, vzporedna p. Izkaže se , da sta obe alternativi možni, če izberemo pravi tip "prernice" . Prva sta javno podvomila o avtoriteti dveh tisočletij in zgradila neevklid- sko gometrijo Lobačevski in Madžar Janos Bolyai . Prvi je svoje ideje objavil Lobačevski na predavanju leta 1826. Njegovo delo je bilo za t iste čase hudo heretično. Doživel je uničujočo kritiko svojega akademskega kolege Fussa, vendar se ni vdal. Svoje ideje je razvijal dalje in napravil v na slednjih letih enostaven pa genialen korak RcSik w je 5. aksiorna, ki je okupiral razmZfjanja gcometrov skoraj 2000 Ict. Privzel je, da lahko skozi dano t o € b .van premice poloitirno (vsaj) dve premici, ki ne sekata dans prernice. Na tcj, na pn4 pogled nesrniselni predpostavki, je ddal nove zakljunte. Pri tern ni nikjer p r i u do p ro t i h ja . b veE. DobiE je logibo zakljuzen geometiioki sistem, ki ga je imtnoval naviduna geometrija in ki mu danes pravimo gbometriia hobatevdtaga. Tcoriji BoEyaia in Lobabvskega sta bili v principu podobni, njuni Banki pa zelo razlitni. Nenavadno se prvi hip zdi, da so nwe idsjt neodvisno vznikle v Giittingenu (Gauss), Budimp& (Bolyai) in Katanu (LobaEevski) in to v istem bsu , pa dvatisodetni inkubacijski dobi. Vendar obstajo pwuava. Bolyaiev ore Farkas Bolyai je biE Gaussov gtudijski kolega in st je tudi sam ukvarjal s 5. Evklidovirn rksiomorn. Prav taka je morda Lobatewkega njagov rrritetj Bartets - tudi mladostni ptijatelj in gtudijski kolega G a m - sunanil z Gaussovimi dcmntvami v r v u i r aksiomorn o vzpoaednicah. Vendor zato zasluge ruskega matematika nisc nill ma@*. LrrbaEevski ima neovrgljive zaslugc, da je pnri v zaklju&ni obliki pwtavil akriome "ne- wklidskr gcometrijd' .