i
i
“9-1-Vencelj-Kako” — 2010/6/2 — 11:35 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 9 (1981/1982)
Številka 1
Strani 25–28
Marija Vencelj:
KAKO RAZPOLOVIMO DALJICO SAMO S ŠESTI-
LOM
Ključne besede: matematika, razvedrilo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/9-1-Vencelj.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
v
MATEMATICNO
RAZVEDRILO
KAKO RAZ PO LOVIMO DALJICO SAMOS šESTI LOM
Na lo go, poiskati razpolovišče dan e da l j i c e z upor a bo šesti la in
r a vn i la , zn a r e š i ti vsa k . V šes ti lo vzam emo poljube n dovo l j ve -
l i k po l mer in okro g kra j išč dalj i ce kot s re d iš č na ri šemo dva
veli ka kr oga. Na to z rav nilom narišemo premi co s koz i nj un i pre -
seč i šč i . To čka v ka ter i ta pr em i ca seka dano dalji co , je raz po -
l o v i š č e da lj i ce . Pri kons tr ukc i j i mo ramo paz i t i l e na to, d a
šesti lo dovol j r a zpr emo , da s e kr oga res tu di sekata . Navada j e
še, da oba kroga rišemo l e de l no v b l iž i n i nju nih pr e seč išč
(s 1 i ka 1 ) .
Ve ndar moremo rešiti na logo
t ud i v pr i me r u, če imam o s amo
šes t i lo. Ta trd it e v je samo
drobec na sl ed nj e ve l iko sp lo -
š ne j š e res nice: Vs a k o kons -
t ~ u k a i j o , ki jo Zahko i z v e d emo
s š e s t i Zom in ~avniZom, je m o č
izpeZ jati š e s amo s š~s t i Z om .
B
A
<:
-----~-
S l i ka 1
S sp loš no t r dit vi j o se to po t ne bomo ukvar jali - morda kda j
d r u g i č . Povr n i mo se k za stav ljeni nalogi v nas lo vu . Ker kon s -
tr ukc ije ne bomo samo na ved li , ampak tu d i ute melj i l i . pot re bu-
je mo nek a j pr iprave .
Z ~ a a Z j e nj e na k~og . Na j bo v ravni n i da n kr og K s sre diščem n
in polme r om ~ ~ Nada lje na j bo T po l ju bna točka t e ravn ine . To-
č ki O i n T d o l o č at a po l trak , ki i ma iz ho dišče v O in gre s koz i
25
T . Na tem polt r a ku izberimo to č k o T ' t a ko , da bo za odda l j en o-
s ti t o č k T in T ' od sredi šča kr oga ve lja la zveza
( 1 ) OT oOT "z: 1"2
Tako iz brano t o č k o T ' imenuj emo zrcalna slika točke T gl ede na
krog K. Takoj vid i mo, da je tudi obratno t očka T zrcalna s li ka
točk e T ' glede na K. Zr cal nos t je t or e j vza jemna re lacija (s l i -
ka 2).
Sl i k a 2 Sl i ka 3
Ce leži točka T zunaj kr oga K, je OT > 1" i n iz OT .OT ' = 1" 2 sl e -
d i OT ' < 1", tor ej lež i T ' znotraj kro ga K. To pomen i , da pr e-
s l ik a zrc alj en je t o č k e zuna j kroga K v notranje t očke in obra t -
no, notranje v zunanje . Ta koj se t udi vidi, da je T = T ' , če
T i zbe r emo na krožnic i .
Sre d išče O kro ga K j e edina t o č k a , ka tere zrc a lna s l ik a ni do-
ločena. Tedaj namreč O in T sovpa data i n ta edina t o č k a ni do -
volj za določitev pol t r a ka , na kat erem na j bi ležala zrcalna
sl ika. Oči tn o pa j e , da se zrc alna slika T ' točke T tem bolj
odda l j uje od o , č i m bolj se T s r ed i š č u o pr ib l i žuje. Zato vča­
sih pra vimo, da se središče kroga, na ka ter ega zrcal i mo, pre-
sl ika v neskonč nos t.
Geome t r i js k a k o n s t r u kcij a zrca l n e t očk e. Dani t o č ki T l ah ko kOD
s tr uiramo zrca l no točko T ' gl ede na kr og K s amo s šes t i lom, br ez
26
upor ab e r avni l a. Trdite v ve l j a povs em splošn o, če le T ni sr e-
dišče kroga K. Vendar bom o tu pokazali konstrukcijo le za pri-
mer , če leži točka T zunaj kroga K, ker bo to zadošča la za naše
nad aljnje potrebe.
Naj bo dan krog K s sre di ščem O in polmerom p in točka T zunaj
kroga (slika 3 ) .
S šestil om narišimo kr og s s r e d i š č e m v t oč ki T in spo lmer om OT o
Ta krog poteka skozi središče O kroga K in očitno seka krog v
dveh točkah, ki ju označimo recimo z M in N. Nar i š i mo nato še
dva krog a, enega s sredi ščem v M, drugega s središčem v N , in
oba spolmerom P , torej oba s kozi točko o. Razen v točki O, se
ta dva kroga sekata še veni točki, za katero bomo vide l i, da
je r avno zrcalna slika toč ke T glede na krog K, zato to prese-
čišče že vnaprej označimo s T'.
Konstrukcijo smo res izvedli samo s šestilom. Dokazati moramo
le še trditev, da sta T i n T ' zrcalni točki. Pa poglejmo !
če še enkrat sledimo konstrukciji, hitro ugotovimo, da imajo
točke O, T in T' neko skupno lastno st. Za vsako izmed njih nam-
reč velja, da sta njeni razdalji od točk M in N med seboj ena ki .
Vemo, da je geometr ijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od
dveh fiksnih točk, premica (natančneje si metra la daljice, ki
ima ti točki za krajišči). To pa ne pomeni nič drugega kot to,
da le že t oč ke O , T , T ' na isti premici. Iz kons t r ukc i j e je tudi
jasno, da ležita T in T ' na tej premici na isti strani točke O,
t orej na istem poltraku z izhodiščem O.
Dokazati moramo še velj avnost zveze ( 1 ) . Tri kotnika OMT i n OMT '
sta oba enakokraka i n imata skupen kot z vrhom v o. Ker je ta
kot v obeh trikotni kih kot od osnovnici , s ta trikotnika podobna.
Potem velja za ra zmer ji nj uni h krakov in osnovnic s orazmerje
OT OM
OM OT '
in zaradi OM = P dobimo OT.OT '
strukcije potrjena.
p 2 • S tem je pravilnost kon-
27
Ra zpoLo vim o daL jico samo s š e s t i Lom. Naj bo dana dalji ca s kra -
jiščema A in B ( slika 4) . Narišimo kro g s sred i š če m v B in s
po lmerom AB . Po krožnici nato trikrat zapored nane simo po lmer
AB začenši v točk i A . Ko nčna točka C , ki jo do bimo pri na naša -
nju, l e ž i na premi ci skozi to čki A in B i n zan jo velja AB = BC
oz i r oma AC = 2AB .
Nar i šimo š e en krog - to pot s središčem v A in spet s polmerom
AB - ter prezr ca l imo točko C glede na ta krog . Za za r c al no sl i-
ko C ' velja
AC .AC = AB2
ka r da
AC ' . 2AB AB2
in
2AC '= AB
Tor ej je C ' točka , ki razp olav lja da ljico AB .
~~~
/ \
A C B IC
Sli ka 4
Vse smo r e s oprav i l i br e z upor ab e ra vnila . Opozorim na j še , da
na s l ik i 4 zaradi preg lednosti n i smo na r i s a li vsega pos t op ka
z r c a lje nj a toč k e C, ampak samo C ' , kot njegov rezu ltat . S pomo-
čj o s l i ke 3 lahko dopol n i risbo br al e c sam.
Ma rija ve noe l i
28