GG ˇ 
GG ˇ 
P51(2023/2024)2
28
Geometrijska konstrukcija
elipse in hiperbole
Bˇ  K
Stožnice obiˇ cajno definiramo na enega od treh
naˇ cinov: geometrijskokotpreseˇ cišˇ ceneskonˇ cnega
dvojnega stožca z ravnino, algebraiˇ cno kot mno-
žico rešitev splošne enaˇ cbe drugega reda, ali pa
kot množico toˇ ck, ki ustrezajo nekemu geometrij-
skemu pogoju. V tokratnem GeoGebrinem kotiˇ cku
sibomoogledali,kakolahkoskonstrukcijolokusa,
ki nastane pri gibanju toˇ cke po krožnici, dobimo
tako elipso kot hiperbolo.
Posvetimo se najprej elipsi. Definiramo jo kot
množico toˇ ck v ravnini, za katere je vsota razdalj
toˇ ckeodvnaprejizbranihgorišˇ cF
1
,F
2
enakaizbrani
konstanti, ki jo oznaˇ cimo z 2a:
E={T ∈R
2
: d(T,F
1
)+d(T,F
2
)=2a}.
Denimo torej, da sta gorišˇ ci F
1
,F
2
dani toˇ cki v rav-
nini, vrednost 2a pa predstavlja polmer krožnice s
središˇ cemF
1
(Slika1). Potemzapoljubnotoˇ ckoB na
krožnici simetrala daljice BF
2
seka premico skozi B
inF
1
v neki toˇ ckiT, ki je torej enako oddaljena odB
inodF
2
. Braleczdajzlahkasamrazmisli,dajevsota
razdalj toˇ ckeT od gorišˇ cF
1
inF
2
enaka 2a, ne glede
na to, kje na krožnici leži toˇ ckaB.
Zdaj je kot na dlani tudi ustrezna konstrukcija v
GeoGebri:
Na delovni površini skrijemo koordinatni sistem.
Izberemo poljubni toˇ cki F
1
in F
2
, ki predstavljata
gorišˇ ci elipse, in narišemo premico skozi ti dve
toˇ cki.
Napremiciizberemopoljubnotoˇ ckoAtako,dane
leži med gorišˇ cema, in narišemo krožnico s sredi-
šˇ cemF
1
skozi toˇ ckoA.
Oznaˇ cimolahkotudipolmertekrožnice,torej,da-
ljico od F
1
do A, in jo obarvamo z drugo barvo.
d d
2 2
d d
2 2
2a 2a
d d
1 1
F F
1 1
F F
2 2
A A
B B
T T
SLIKA1.
Konstrukcija elipse s pomoˇ cjo gibanja toˇ cke B po krožnici s
središˇ cem v enem od gorišˇ c.
Njenadolžinapredstavljavrednost2a,kijolahko
torej spreminjamo s premikanjem toˇ ckeA.
Zdaj izberemo neko drugo toˇ cko B na krožnici.
Premikanje te toˇ cke bo ustvarilo iskano krivuljo.
Narišemo premico skozi F
1
in B, ter simetralo da-
ljice skozi F
2
in B. Preseˇ cišˇ ce teh dveh premic
oznaˇ cimo s toˇ cko T. Risanje lahko skrajšamo,
tako da narišemo le toˇ cko T z direktnim ukazom
T=Preseˇ cišˇ ce(Premica(F_1,B),Simetrala
(F_2,B)).
Zdajlahkopremikamotoˇ ckoB pokrožniciinopa-
zujemo gibanje toˇ cke T.
ˇ
Ce vklopimo sled toˇ cke
T in s toˇ cko B opišemo cel krog, bomo na sliki
prepoznali elipso.
ˇ
Ce želimo narisano sled zbrisati, najprej izklju-
ˇ cimo sled toˇ cke T, nato še zbrišemo že narisano
sled toˇ cke s kombinacijo tipk CTRL+F.
Z ukazom Sled(T,B) se celotna sled toˇ cke
vnaprej izriše kot krivulja. V tem primeru lahko
opazujemo, kako se elipsa spreminja, ˇ ce premi-
kamo toˇ ckiF
2
inA.

GG ˇ 
P51(2023/2024)2
29
SLIKA2.
Konstrukcijsko okno v GeoGebri.
d d
2 2
d d
2 2
2a 2a
d d
1 1
F F
1 1
F F
2 2
A A
B B
T T
SLIKA3.
ˇ
Ce leži drugo gorišˇ ce zunaj krožnice, s povsem enako kon-
strukcijo dobimo hiperbolo.
Zdajselahkolotimošekonstrukcijehiperbole. Iz-
kaže se, da zadošˇ ca le ena poteza, s katero spreme-
nimo prejšnjo konstrukcijo: toˇ cko A, ki doloˇ ca pol-
merkrožnice,pomaknemotako,daležimedF
1
inF
2
(torej, da eno od gorišˇ c leži znotraj, drugo pa zunaj
krožnice). Po definiciji je namreˇ c hiperbola množica
toˇ ck v ravnini, za katere je absolutna vrednost raz-
like razdalj toˇ cke od vnaprej izbranih gorišˇ c F
1
,F
2
enaka izbrani konstanti 2a:
E={T ∈R
2
:|d(T,F
1
)−d(T,F
2
)|=2a}.
Bralci lahko s pomoˇ cjo Slike 3 zdaj sami premislijo,
zakaj dolžina daljice F
1
A predstavlja ravno razliko
razdalj.
×××
www.presek.si
www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/