9 770351 665111 1 MATEMATIKA+FIZIKA+ASTRONOMIJA+RAČUNALNIŠTVO# ISSN0351-6652 9 770351 6 6 5 1 1 1 PRESEK LETNIK 51 (2023/2024) ŠTEVILKA 1  ˇ   ˇ      P    Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje letnik 51, šolsko leto 2023/2024, številka 1 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Baši´ c (raˇ cunalništvo), Mojca ˇ Cepiˇ c, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Andrej Guštin (astronomija), Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kraˇ cun Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohoriˇ c (odgovorni urednik), Marko Razpet, Grega Rihtar (jezikovni pregled), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naroˇ cnine: Fakulteta za matematiko in fiziko, Presek, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana, telefon (01) 4766 558. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: zalozba@fmf.uni-lj.si Naroˇ cnina za šolsko leto 2023/2024 je za posamezne naroˇ cnike 25,00eur – posamezno naroˇ cilo velja do preklica, za skupinska naroˇ cila uˇ cencev šol 22,00eur, posamezna številka 6,00eur, stara številka 4,00eur, letna naroˇ cnina za tujino pa znaša 30eur. Transakcijski raˇ cun: 01100-6030708962. List sofinancira Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domaˇ cih poljudno-znanstvenih periodiˇ cnih publikacij. Založila Fakulteta za matematiko in fiziko Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2023 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije in Fakulteta za matematiko in fiziko ISSN 2630-4317 (Online), ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana. Presekobjavljapoljudneinstrokovneˇ clankeizmatematike, fizike, astronomije in raˇ cunalništva. Poleg ˇ clankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh podroˇ cij in poroˇ cila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodozanimiviinrazumljiviširšemukrogubralcev,uˇ cencemviš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. ˇ Claneknajvsebujenaslov,imeavtorja(oz.avtorjev)insedež institucije,kjeravtor(ji)dela(jo). Slikeintabele,kinajbodoošte- vilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih lahko veˇ cinoma razumemo loˇ ceno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 cm pri loˇ cljivosti300dpi. Vprimeruslabšekakovostiseslikaprimerno pomanjša ali ne objavi. Avtorjiˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri- ght). Zaželena velikost ˇ crk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov ure- dništva Fakulteta za matematiko in fiziko, Presek, Jadran- ska 19, 1000 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte zalozba@fmf.uni-lj.si. Vsakˇ claneksepravilomapošljevsajenemuanonimnemure- cenzentu, ki oceni primernostˇ clanka za objavo. ˇ Ce je prispevek sprejet v objavo in ˇ ce je besedilo napisano z raˇ cunalnikom, po- temuredništvoprosiavtorjazaizvornedatoteke. Le-tenajbodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajoˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. ˇ   ˇ   P51(2023/2024)1 2 Nenavadno število 6174 Izberimo si poljubno štirimestno število, ki nima vseh števk enakih, na primer 2731. Iz števk zaˇ ce- tnegaštevilasestavimonovištevili: priprvemštevke zapišemo v narašˇ cajoˇ cem zaporedju, pri drugem v padajoˇ cem zaporedju. Nato izraˇ cunajmo pozitivno razliko novih števil: 7321−1237 = 6084. Z doblje- nim štirimestnim številom postopek ponovimo; ˇ ce ima število manj kot štiri mesta, dodamo ustrezno število vodilnih niˇ cel. Po nekaj korakih raˇ cunanja iz zaˇ cetnega števila 2731 dobimo nova števila: 8640 − 0468 = 8172, 8712−1278 = 7434, 7443−3447 = 3996, 9963− 3699=6264, 6642−2466=4176 in 7641−1467= 6174. Tu se zaporedje novih števil ustavi, saj pri vsakemnaslednjemkorakuuporabimoisteštevkein dobimo razliko 7641−1467=6174. To na prvi pogled morda ni niˇ c posebnega, toda izkaže se, da se vsako štirimestno število, ki ima vsaj dve števki razliˇ cni, po tem postopku v najveˇ c sedmih korakih spremeni v število 6174 (ˇ ce ima za- ˇ cetno število vse števke enake, se v prvem koraku spremeni v število 0). Število 6174 imenujemo Ka- prekarjeva konstanta, saj je njegovo nenavadno la- stnost odkril indijski uˇ citelj in ljubitelj matematike Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986). Po- dobno lastnost ima med trimestnimi števili število 495. ˇ Ceprav ni znano, da bi imela Kaprekarjeva kon- stanta kakšen globlji pomen v matematiki ali fiziki, nam lahko v matematiˇ cni uˇ cilnici služi kot zabaven ˇ carovniški trik, v raˇ cunalniški uˇ cilnici pa kot progra- merski izziv, ko išˇ cemo podobna števila tudi med 5- ali veˇ cmestnimi števili. ××× S: Zvezde in strele. Letošnje poletje je za- znamovaloneprizanesljivovreme. Fotografijajebilaposneta 18. julija v Braniku. Foto: Andrej Guštin ˇ   2 Nenavadno število 6174  4 Veˇ c uspehov, manj ujm (Aleš Mohoriˇ c)  5–7 O delitvah na enakovredne dele (Tadej Starˇ ciˇ c)  11–14 Pevec kot inštrument (Andrej Likar)  18–21 Teran na Astronomskem tekmovanju treh dežel 2023 (Simon Bukovšek in Vid Kavˇ ciˇ c) ˇ ˇ  22–28 Kratice – od tod do toˇ cke brez vrnitve (Aleksandar Juriši´ c in Klemen Klanjšˇ cek)  15 Bilo je nekoˇ c v reviji Presek – Na Presekoviˇ crpalki 16–17 Nagradna križanka (Marko Bokaliˇ c) 21 Križne vsote 29 Rešitev nagradne križanke Presek 50/6 (Marko Bokaliˇ c) 21 Križne vsote  8–10 Mednarodna matematiˇ cna olimpijada 2023 na Japonskem (Luka Horjak) 30–31 MaRSovski Estimathon (Izak Jenko)  P51(2023/2024)1 3 Kazalo  P51(2023/2024)1 4 Veˇ c uspehov, manj ujm Aˇ  Mˇ ,   Pol stoletja izdajanja je za nami, z veseljem in polni elana gremo novim izzivom naproti. Letos Pre- sekdobivanovegaizdajatelja,svojemoˇ cizdružujeta Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slove- nije in Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. To se na vsebini seveda ne bo poznalo. Še vedno se lahko veselite matematiˇ cnih bombonˇ ckov, fizikalnih skrivnosti, zanimivosti iz astronomije in razcveta raˇ cunalništva. Priloge z nalogami ne tiskamo veˇ c, jih pa najdete na spletni strani www.dmfa.si/Tekmovanja/,kjervlevempasuizbe- rete tekmovanje in nato arhiv nalog. Minulo poletje je prineslo veliko uspeha in veselja slovenskim tekmovalcem na množici mednarodnih tekmovanj. Najomenim16.mednarodnoolimpijado iz astronomije in astrofizike, ki je avgusta potekala vpoljskemmestuKatowice,nakaterijePeterAndol- šekpostalnajboljšimladiastronomnasvetu,patudi drugi ˇ clani ekipe so bili izjemni. Slovenija je osvo- jila prvo zlato medaljo na 6. Mednarodni ekonomski olimpijadi. Na tekmovanju v znanju ekonomije, fi- nanˇ cne pismenosti in reševanju poslovnega primera jo je osvojil Jakob Grmek. S 53. Mednarodne fizi- kalneolimpijadesevsinašitekmovalcivraˇ cajozme- daljami. Peter Andolšek je osvojil zlato medaljo, že tretjo za Slovenijo na zadnjih sedmih olimpijadah. V Chibi na Japonskem se je zakljuˇ cila 64. Mednaro- dna matematiˇ cna olimpijada in na njej je Matija Skrt prejel bronasto medaljo. Letossebomozveˇ cprispevkispomnili150.oblet- nice rojstva Josipa Plemlja, pomembnega slovenske- gamatematika,prvegarektorjaljubljanskeuniverze. Predvidoma bodo decembra tudi izdani kovanci s Plemljevo podobo. Poleg naštetih uspehov pa je za nami tudi poletje hudih ujm, poplav in nenavadnega vremena. Upam, davasnisohudoprizadeleindastevsi, kistepotre- bovali pomoˇ c, to hitro dobili. Seveda ljudje ob takih nenavadnihpojavihmarsikajrazmišljajoingovorijo, tudi oˇ cloveškem vplivu na vreme. V tem letniku pri- ˇ cakujte kakšen prispevek tudi na to temo. Ker pa je revija namenjena vam, bralcem, nam sporoˇ cite, kaj ste z zanimanjem prebrali, o ˇ cem bi radi izvedeli kaj veˇ c. Uredniki bomo veseli vašega pisma. SLIKA1. Vse slovenske medalje 16. mednarodne olimpijade iz astrono- mije in astrofizike 2023. Od leve: Marija Judež (pohvala), Žan Ambrožiˇ c (srebrna medalja), Peter Andolšek (zlata medalja, 1. mesto – zmagovalec olimpijade, zmagovalec v opazovalnem delu, zmagovalec v obdelavi podatkov), Miha Brvar (srebrna medalja), Žan Arsov (bronasta medalja). Foto: Andrej Guštin ×××  P51(2023/2024)1 5 O delitvah na enakovredne dele T Sˇ ˇ  Vsakdo izmed vas je gotovo že kdaj naletel na kakšen problem delitve na enakovredne dele, morda zgolj v obliki kakšne miselne naloge ali kaj bolj konkretnega. V tem sestavku se bomo do- taknili nekaterih zanimivih problemov delitev, od bolj teoretiˇ cnih, pa do bolj praktiˇ cnih. Kdaj sploh sta dva dela enakovredna? To je od- visno od tega, kaj nas zanima. Enkrat bo to pome- nilo, da sta dela skladna geometrijska lika, drugiˇ c lika enakih plošˇ cin, tretjiˇ c pa množici enakih kardi- nalnosti. Zaˇ cnimo z zabavnim izzivom. Problem1. (Delitevlikanaskladnedele) Dane like z eno potezo (tj. z neprekinjeno krivuljo) razrežite na dva skladna lika: SLIKA1. Ravninski liki. Ali gre tudi z ravnim (tj. premoˇ crtnim) rezom? Je to mogoˇ ce storiti na veˇ c naˇ cinov? Ali lahko katerega izmedlikovrazrežetena3,4ališeveˇ cskladnihlikov? S prvimi tremi liki na sliki 1 zagotovo ne boste imeli veˇ cjih težav, kratko obravnavo drugih dveh pa popotrebinajdetevknjigi[1,pogl. 3]. Rešitevname- noma nismo skicirali, saj bi z njimi lahko marsikoga prikrajšali za veselje pri reševanju. Problem 2. (Delitev likov na plošˇ cinsko enake dele) Ali lahko poljuben trikotnik z ravnim rezom razrežemo na dva plošˇ cinsko enaka dela? Ali lahko tudi poljubna dva pravokotnika v ravnini hkrati raz- režemo na dva plošˇ cinsko enaka dela z enim ravnim rezom? Ali velja to tudi za like bolj kompliciranih oblik? SLIKA2. Razpolovitev z enim ravnim rezom. Vemo, da težišˇ cnica razdeli trikotnik na dva tri- kotnika s skladnima stranicama in višinama nanju, ter sta zato enakih plošˇ cin. Rešitev drugega dela problema 2 je rez, ki gre skozi središˇ ci pravokotni- kov, saj vsaka premica skozi središˇ ce pravokotnika le-tega razdeli celo na skladna dela; glejte sliko 2. Odgovor na tretje vprašanje pa je morda za koga malce presenetljiv. Izrek 1. (Obstoj delitve lika na plošˇ cinsko enaka dela) Poljuben ravninski lik 1 je z ravnim rezom ve- dno mogoˇ ce razdeliti na dve plošˇ cinsko enaki polo- vici. Obstaja veˇ c takih rezov. Dokaz. Spostopkom,kimureˇ cemobisekcija,bomo konstruirali zaporedje vodoravnih rezov R n , ki se bo pomikalo proti iskanemu rezu. Ideja je vsak na- slednji rez malo vzporedno premakniti, da se plo- šˇ cini pripadajoˇ cih delov še bolj približata polovici plošˇ cine lika. Naj rez R n razdeli lik s plošˇ cino p na dva dela, tisti del na zgornji polravnini naj ima plo- šˇ cino p n , ter naj bo r n := p 2 −p n . ˇ Ce je r n blizu 0, potem jep n blizu p 2 . Izberimo najprej rezaR 1 inR 2 tako, da bo r 1 < 0 < r 2 . Nadalje denimo, da smo za nekin≥2 že izbralitake vzporednevodoravne reze R 1 ,...,R n , da je r 1 ,...,r n ≠ 0. Rez R n+1 nato izbe- remo na sredini med rezom R n in njemu najbližjim 1 Ravninski lik je obmoˇ cje v ravnini, omejeno z enostavno sklenjeno krivuljo. Kakorkoli ga s premico razrežemo na dva dela, vedno lahko doloˇ cimo plošˇ cini posameznih delov.  P51(2023/2024)1 6 že izbranim rezom, oznaˇ cimo ga z R m (m < n), da je r m nasprotnega predznaka kot r n (slika 3). Tako boštevilor n+1 zagotovomedr n inr m ,razdaljamed R n in R n+1 pa se v primerjavi z razdaljo med R n−1 inR n prepolovi. Bralec bo z nekaj osnovnega znanja o limitah znal utemeljiti, da nas to pripelje k reši- tvi. Jasno je tudi, da lahko naklon rezov izberemo poljubno, zato je ustreznih rezov neskonˇ cno.  SLIKA3. Primer štirih korakov bisekcije lika na dva dela. Izrek 2. (Izrek dveh palaˇ cink) Dva ravninska lika poljubnih oblik je mogoˇ ce z enim ravnim rezom na- enkrat razrezati na dva plošˇ cinsko enaka dela. Skica dokaza. Uporabimo prvi del izreka, natanˇ c- neje reze, ki prvi lik razdelijo na plošˇ cinsko enaka dela; na sliki 4 je poseben primer z rezi skozi eno toˇ cko. Rešitev da spet bisekcija. Podrobnosti oziroma natanˇ cen dokaz najdemo med drugim v odliˇ cni knjigi [3, pogl. 22], kjer so si- cernaizvirennaˇ cinlepoprestavljenišeštevilnidrugi matematiˇ cni problemi.  SLIKA4. Poseben primer izreka dveh palaˇ cink za en zelo simetriˇ cen lik. Velja še splošnejši izrek o delitvi treh teles v pro- storunaenakedele,t.i.izrekosendviˇ cu: Sendviˇ c je mogoˇ ce z ravnino razrezati na dva dela, ki vsebujeta prostorninsko enako kruha, salame in sira. Kot vpra- šanje ga je leta 1938 zastavil Steinhaus 2 , s pomoˇ cjo izrekov višje matematike pa dokazal Banach 3 ; glejte monografijo [2, pogl. 3]. Oglejmo si sedaj delitev množice s števno konˇ cno toˇ ckami. Problem3. (Razdelitevdvehvrstdraguljevnadva enaka dela) Krona vsebuje 6 rubinovih in 4 diaman- tne dragulje. Ali jo lahko z ravnim rezom vedno pre- režemo tako, da bo vsak od dveh delov vseboval ena- ko število rubinovih oziroma diamantnih draguljev? Kaj pa, ˇ ce je draguljev veˇ c? Zaˇ cnimo s parom rezov R 1 , ki krono razrežeta na dve polovici s po petimi dragulji. Sedaj induktivno nadaljujemo z zaporedjemR n takih parov rezov, da je vsak naslednji premaknjen za eno mesto v pozi- tivni smeri. Na sliki 5 spodaj vidimo primera rezov R 1 ,R 2 inR 3 . Jasno je število rubinovih draguljev na obeh stra- neh enako natanko tedaj, ko je na obeh straneh ena- ko tudi diamantnih draguljev. Za vsak rez R n ozna- ˇ cimo število rubinovih draguljev prve polovice z r n , število rubinovih draguljev na drugi polovici je po- tem 6−r n , razlika med polovico 3 in r n pa je d n := 3−r n (slika 5). Opazimo, da se R 6 ujema z R 1 , le vlogi polovic se zamenjata, t.j. r 6 = 6−r 1 , ter zato d 6 = 3−r 6 = r 1 −3 = −d 1 . Po drugi strani se na posameznem koraku število rubinovih draguljev ne spremenibodisisepoveˇ caalizmanjšaza1; stemse d n ne spremeni ali se spremeni za 1. ˇ Ce je d 1 = 0, je R 1 že v redu, sicer pa sta zaˇ cetni in konˇ cni ˇ clen zaporedjad n razliˇ cnega predznaka, ter lahko spet z bisekcijo, kot v dokazu izreka 1, pridemo do nekega vmesnega ˇ clena zaporedja, ki je enak 0. Pripadajoˇ ci rez je seveda rešitev naloge. Bralcu bo zagotovo uspelo rešitev problema 3 pri- lagoditi za primer poljubnih dveh sodih števil rubi- 2 Hugo Steinhaus (1887–1972) je bil poljski matematik; deja- venjebilnarazliˇ cnihpodroˇ cjih,meddrugimjebilmedzaˇ cetniki teorije verjetnosti in teorije iger. 3 Stefan Banach (1892–1945) je bil poljski matematik; zaˇ ce- tnik moderne funkcionalne analize.  P51(2023/2024)1 7 d n −1 −1 0 0 1 1 6−r n 2 2 3 3 4 4 r n 4 4 3 3 2 2 n 1 2 3 4 5 6 SLIKA5. Primer krone z razrezi R 1 , R 2 in (iskanim) R 3 , ter tabela vre- dnosti pripadajoˇ cih zaporedijr n ind n . novih in diamantnih draguljev. V duhu te rešitve bi bilo mogoˇ ce dokazati naslednji izrek. Izrek 3. (Diskretna verzija izreka dveh palaˇ cink) V ravnini je 2r rdeˇ cih in 2m modrih toˇ ck v splošni legi, tj. nobene tri ne ležijo na isti premici. Potem obstajapremica,kiravninorazdelinadvepolravnini tako, da je na vsaki od polravnin r rdeˇ cih in m mo- drih toˇ ck (slika 6). Z orodji višje matematike je mogoˇ ce dokazati t. i. diskretno verzijo izreka o sendviˇ cu: Toˇ cke treh SLIKA6. Diskretna verzija izreka dveh palaˇ cink. barv (sodo število toˇ ck vsake barve) v prostoru je mo- goˇ ce z ravnino razdeliti na dva dela, ki vsebujeta šte- vilˇ cno enako toˇ ck vsake od barv. Uporabategaizreka omogoˇ caposplošitevproblema3nakronozdragulji treh vrst dragih kamnov, ki je v literaturi znana tudi kot problem ogrlice; veˇ c o tem najdete v že omenje- nem viru [2, pogl. 3]. Zakonecjetunekajkratkihgeometrijskihnalogo razpolavljanju, ki jih poskusite rešiti sami. Naloga1. Danidvedaljicispremicohkratirazdelite na dva skladna dela. Kaj pa tri daljice? Naloga2. Dokažite,davzporednicastranicedanega trikotnika, ki plošˇ cinsko razpolovi ta trikotnik, raz- deli ostali dve stranici v razmerju 1:(1+ √ 2). Naloga 3. Trikotnik z ravnim rezom razdelite na dva trikotnika z enakima obsegoma. Ali lahko vsak ravninski lik prerežemo na dve polovici z enakima obsegoma? Naloga4. Poišˇ citekakšnoravnino,kidanotristrano piramido (lahko poševno) razdeli na dva prostornin- sko enaka dela. Naloga5. Samozuporabošestila(brezravnila)raz- delite dano krožnico na dve polkrožnici. Nekoliko težje je dano daljico s šestilom razdeliti na dva skla- dna dela. Poskusite. Morda se boste bralci kdaj sreˇ cali s kakšnim no- vim oziroma drugaˇ cnim problemom delitve. Tudi v temprimeruvamutegnepridobljenoznanjeterširši pogled na tematiko priti zelo prav. Literatura [1] M.Gardner, Aha! pa te imam: paradoksi za nape- njanje možganov in razvedrilo, DZS, ZOTKS, Lju- bljana, 1988. [2] J.Matoušek, UsingtheBorsuk-Ulamtheorem.Lec- tures on topological methods in combinatorics and geometry, Springer-Verlag, Berlin, 2003. [3] J. Tanton, Solve This: Mathematical Activities for Students and Clubs, Mathematical Association of America, 2012. ×××  P51(2023/2024)1 8 Mednarodna matematiˇ cna olimpijada 2023 na Japonskem L H Med 2. in 13. julijem je v Chibi na Japonskem potekala 64. Mednarodna matematiˇ cna olimpijada. Slovensko ekipo so na tekmovanju zastopali Erik ˇ CervekRoškariˇ c(II.gimnazijaMaribor), LenartDo- linar (Gimnazija Bežigrad), Katarina Grilj (Srednja šola Slovenska Bistrica), Kaja Rajter (II. gimnazija Maribor), Matija Skrt (Gimnazija Nova Gorica) in Hugo Trebše (Gimnazija Bežigrad). Tekmovalce sva na olimpijadi spremljala Gregor Dolinar in Luka Horjak. MatijaSkrtjeponovilsvojlanskidosežekinznova osvojil bronasto medaljo. Tokrat se z Japonskega pravvsinašitekmovalcivraˇ cajospohvalo,kijoprej- mejo tisti udeleženci, ki v celoti pravilno rešijo vsaj eno izmed šestih zahtevnih nalog. Slovenija je med 112 sodelujoˇ cimi državami zasedla 64. mesto. Prvo mesto je že petiˇ c zapored osvojila Kitajska – edina država, ki si je letos prislužila 6 zlatih medalj, sle- dile pa so ji ZDA, Južna Koreja in na 4. mestu še Romunija, ki je bila najuspešnejša med evropskimi državami. Na olimpijadi sta tekmovalce ˇ cakala dva tekmo- valna dneva. Vsak dan so imeli 4 ure in pol ˇ casa za reševanje treh zahtevnih nalog. Te nekaj mesecev pred tekmovanjem predlagajo države, ki ne gostijo tekmovanja, organizator pa je zadolžen za sestavo komisije, kiizmedtehizberejonajprimernejše, ska- terimi sestavijo ožji izbor. Letos je 52 držav skupaj predlagalo 167 nalog, izmed teh jih je v ožji izbor prišlo 30. Izmed teh nekaj dni pred samim tekmo- vanjem vodje ekip glasujejo za 6 problemov, ki se nato pojavijo na tekmovanju. O njihovi težavnosti priˇ ca dejstvo, da je vseh 42 možnih toˇ ck doseglo le 5 izmed 618 tekmovalcev, povpreˇ cno število toˇ ck pa je bilo 17,7. Da si bomo te izzive lažje predstavljali, si oglejmo dve nalogi s tekmovanja in njuni rešitvi. Nalogi sta predlagali Kolumbija in Nizozemska. SLIKA1. Slovenska ekipa na 64. Mednarodni matematiˇ cni olimpijadi Naloga 1. Doloˇ ci vsa sestavljena naravna števila n > 1, ki imajo naslednjo lastnost: ˇ ce so d 1 , d 2 , ..., d k vsi pozitivni delitelji števila n, pri ˇ cemer je 1 = d 1 < d 2 < ··· < d k = n, potem d i deli d i+1 +d i+2 za vsak 16i6k−2. Rešitev 1. naloge Da razvijemo intuicijo, katera na- ravna števila sploh rešijo nalogo, si oglejmo nekaj posebnih primerov. Pogosta strategija je vstavljanje konkretnih vrednosti, na primern= 12, lahko pa se tega lotimo splošneje. Oglejmo si najprej števila, ki imajo zelo malo deliteljev. Ker naloga sprašuje le o sestavljenih številih, zaˇ cnimo s primerom n = pq, kjer stap inq praštevili. ˇ Ce veljap t·2 t +1 2 t >t, zato je vsota naslednje vrstice enaka vsaj t·2 t +1+(t+1)+1. Opazimo lahko še, da se najveˇ cji element z vsako novo vrstico lahko kveˇ cjemu poveˇ ca. Tako je vsota v zadnji vrstici enaka vsaj t·2 t +1+2 t ·(t+1)+2 t ·1=(t+1)·2 t+1 +1, kar smo želeli dokazati. ×××  P51(2023/2024)1 11 Pevec kot inštrument A L Glasbo izvajamo z glasbenimi inštrumenti. Na- ˇ cin vzbujanja zvoˇ cnih valov je pri inštrumentih zelo razliˇ cen. Godala in brenkala uporabljajo na- pete strune, ki nihajo v zraku. Pri trobilih nihajo glasbenikove ustnice, pri pihalih pa tenki jeziˇ cki. Pevci ne potrebujejo inštrumenta, inštrument so kar sami. Zvok tvorita glasilki, tenki opni v grlu pevca. Preden se zvok razširi v okolico, se od vira v instrumentih še oblikuje. Pri godalih za to skr- bijo resonanˇ cne škatle, pri trobilih in pihalih cevi, pri pevcih pa ustna in nosna votlina. Glasilkenenihajopovsemharmoniˇ cno,boljkotne se iz njih širijo hitro ponavljajoˇ ci se poki, ki v ustni in nosni votlini vzbudijo nihanja z dvakrat, trikrat, štirikrat ...višjimi frekvencami, kot je frekvenca teh pokov, ki ji reˇ cemo osnovna frekvenca ali osnovni ton. Zvok pevca je zato sestavljen iz številnih to- nov,jetorejnekevrstezven. Toneprivišjihfrekven- cah od osnovne imenujmo formante in prav jakosti zvoka teh formantov loˇ cijo dobre pevce od slabih. Pri vrhunskih opernih pevcih jakost zvoka v danem formantu lahko moˇ cno preglasi zvok orkestra, kar omogoˇ ca,daslišimopevcatudiobglasnispremljavi. Zanimivo vprašanje je, kako glasbeniki zadevajo predpisane tone v skladbi. Pri glasbilih s tipkami je to vprašanje odveˇ c, saj s pritiskom na tipko dobimo danzven,nanjegovoosnovnofrekvenconemoremo vplivati, pravilnost frekvence zagotavlja dobra ugla- sitev inštrumenta. Pri godalih mora izvajalec posta- viti prst na doloˇ ceno mesto na struni in pri hitrih menjavah not navadno nima možnosti kaj prida po- pravljati frekvence. Pri trobilih mora glasbenik kar se da natanˇ cno nastaviti napetost ustnic, da izzove ustrezen ton. Iz izkušenj z igranjem kljunaste flavte sklepam,datrobilceminpihalcempomagajopritido ustreznegazvenaresonancerazliˇ cnodolgegaocevja. Njegovo dolžino spreminjajo z odpiranjem in zapi- ranjem ventilov, luknjic ali pri pozavni z izvlekom cevi. I C D E F G A H velika oktava 110 Hz (A2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c d e f g a h mala oktava 220 Hz (A3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ G c 1 d 1 e 1 f 1 g 1 a 1 h 1 enoˇ crtana oktava 440 Hz (A4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 a 2 h 2 dvoˇ crtana oktava 880 Hz (A5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ G c 3 cis 3 /des 3 d 3 dis 3 /es 3 e 3 f 3 fis 3 /ges 3 g 3 gis 3 /as 3 a 3 ais 3 /hes 3 h 3 triˇ crtana oktava 1760 Hz (A6) ¯ 4¯ 2¯ ¯ 4¯ 2¯ ¯ ¯ 4¯ 2¯ ¯ 4¯ 2¯ ¯ 4¯ 2¯ ¯ SLIKA1. Helmholtzov naˇ cin predstavitve ok- tav. Vzadnjivrsticisovokvirjihzapi- sane note, ki jih na klavirju zaigramo z istoˇ crno tipko.  P51(2023/2024)1 12 Kako pa je pri petju? Tu resonance ne pomagajo, zazadetekpravefrekvencemorapevecustreznona- peti glasilke, da oddajo zven s pravo osnovno fre- kvenco. Na prvi pogled se zdi taka naloga povsem neizvedljiva. Zavedati se moramo, da je v oktavi, torej frekvenˇ cnem intervalu z zaˇ cetno frekvenco ν in konˇ cno 2ν, predpisanih kar 12 frekvenˇ cno toˇ cno doloˇ cenih tonov in da drugi niso dovoljeni. Še veˇ c, natanˇ cno je predpisana tudi frekvencaν, torej zaˇ ce- tek oktave. V rabi je veˇ c naˇ cinov, kako predstavimo oktave in posamezne tone znotraj nje. V glasbenih šolah uporabljajo Helmholtzov naˇ cin, ki je predstav- ljen na prvi sliki. Preprostejši (znanstveni) naˇ cin pa podaja slika 2. Imenu tona preprosto pripišemo številko oktave, pri ˇ cemer je tista s predpisano frekvenco tona A ν A4 = 440 Hzˇ cetrta oktava (ton A4), iz tega pa sledijo fre- kvence tona A drugih oktav (A3 pri 220 Hz, A5 pri 880 Hz ...). Toni oktav se zaˇ cnejo z oznako Cn, po- tem pa sledijo toni Cis, Dn, Dis, En, Eis ... do Hn in nato spet C(n+1). Razmerje frekvenc med posame- znimi zaporednimi dovoljenimi toni je vedno 2 1/12 , torej je frekvenca naslednjega tona 1,0594631 ... krat veˇ cja od prejšnjega. In ne pozabimo, da dobro slišimo kar 8 oktav, torej je v kromatiˇ cni tonski le- stvici predpisanih kar okrog 100 tonov. Na sliki 2 smo predstavili dovoljene tone v intervalu med 100 Hzin2000Hzzvodoravnimiˇ crtamiizmenjajezmo- dro in rdeˇ co barvo. Imena tonov so v obeh naˇ cinih predstavitve oktav paˇ c enaka. Dovoljenefrekvencesotorejvglasbinatanˇ cnodo- loˇ cene. Na njih so uglašeni inštrumenti, jasno pa jih vidimo na klaviaturi inštrumentov s tipkami, kjer vsakitipkipripadatakdovoljeniosnovniton. Igranje v skupinah seveda terja pristop z dovoljenimi fre- kvencami, sicer bi se glasba slišala zelo razglašeno inzauhoneprijetno. Nasnitinebozanimalokajveˇ c kot to, kar smo povedali. ˇ Ce koga zgodovina glas- benih lestvic bolj zanima, najde na spletu pregleden Presekovˇ clanekMarijeVenceljznaslovom Glasba in matematika, 1. in 2. del. Kako pevci pridejo do zvena s predpisano osnov- no frekvenco? Pevci imajo pretanjen posluh in vedo, kdaj je osnovna frekvenca zvena prava. Na misel nam zato pride princip povratne zanke, ki je splo- šno uporaben pri vsakovrstnih merjenjih in regula- cijah. Pri povratni zanki primerjamo dve koliˇ cini – referenˇ cno, torej predpisano, in opazovano (izmer- SLIKA2. Kromatiˇ cna tonska lestvica, ki jo zadnjih 300 let uporabljamo v zahodni glasbi. Oktave štejemo od tonov C, poimenovani so toni šeste oktave. jeno), ter na osnovi njune razlike spreminjamo opa- zovano, da se kar se da hitro približa referenˇ cni. To v našem primeru pomeni, da bi pevec poslušal svoj glas in ga spreminjal toliko ˇ casa, da bi se približal predpisanemu. Pa preizkusimo to možnost! V ta na- menbomonatanˇ cnoanaliziraliposnetopetjekakega znanega pevca. Zame je Luciano Pavarotti daleˇ c naj- boljši operni pevec, kar sem jih slišal, analizirajmo torej njegovo petje. V operi Andrea Chenier skla- datelja Umberta Giordana, je Pavarotti pel skupaj z Montserrat Caballe in Leom Nuccijem ter v sprem- stvu orkestra angleške Nacionalne Opere. Posnetek opereimamnavoljonadvehCDplošˇ cah,torejlahko pomilivoljianaliziramdigitalnizapiszvoˇ cnihvalov. Na CD plošˇ ci najdemo digitalni zapis signala iz dveh mikrofonov, vzorˇ cenega 44100-krat v sekundi. Vsak vzorec je predstavljen z dvema baytoma, torej 16 biti. V zapisu sledita baytoma za levi mikrofon bayta za desni. Podatkovne datoteke so zato zaje- tne, arija Andree v prvem dejanju opere, na primer, vsebujenekajnad48megabaytov. ZapisanaCDplo-  P51(2023/2024)1 13 šˇ ci moramo pretvoriti v obiˇ cajno .wav ali .mp3 dato- teko, da prenesemo zvoˇ cni zapis v spomin raˇ cunal- nika. V ta namen sem uporabil na spletu dostopen program (Switch Sound File Converter), sam pa sem napisalprogram,kizapisprevedevobiˇ cajniASCIza- pisv.datdatoteko. Predtemsemmoralizzajetnega .wav zapisa izrezati košˇ cke, ki sem jih analiziral. Za to sem uporabil na spletu dosegljiv program Auda- city,skaterimizrežemo,prestavljamoinlepimodele glasbenega zapisa iz .wav datoteke. Tudi ko pevca ne spremlja orkester ali zbor, je zvoˇ cni val videti presenetljivo zapleten. Na sliki 3 je kot primer pri- kazan val zaˇ cetka petja brez orkestrske spremljave. Vidimo, da je val postopoma vse bolj intenziven, vr- hovi so vse višji, vmes pa se zaˇ cnejo pojavljati tudi vrhovi višjih frekvenc. Pavarotti v tem primeru za- poje, kar je z notami zapisano takole: G > p ? E 2 - ˇ vol- - ˇ li - ˇ pien - ˇ d‘a- - ˇ mo- 2 - ˇ re - ˇ pre- - ˇ gar!... ˇ` Var- ( ˇ SLIKA3. 400 ms dolg zvoˇ cni val Pavarottijevega vstopa v ariji Colpito qui m , avete ...v 1. dejanju opere, ko sam, brez spremljave orkestra ali zbora, zaˇ cne peti E volli pien d‘amore pregar! ... Sedajpoglejmo,kakojepevecprilagajalfrekvenco svojega petja. V ariji Andree Colpito qui m‘avete ov‘io celo geloso v prvem dejanju opere sem izre- zal zaˇ cetni del verza E volli pien d‘amore pregar!, ko pevcanespremljaorkesteralizbor. Kerješelezaˇ cel peti, je imel dovoljˇ casa, da bi nastavil napetost svo- jih glasilk toˇ cno na želeno frekvenco. A na sliki 4 vi- dimo,dajezaˇ celprecejnižje,skorajceladvatonain se potem v kakšnih 300 ms približal pravi frekvenci. Prehodni ˇ cas 300 ms je prekratek, da bi poslušalec zaznal ta glissando, to je zvezno spreminjanje fre- kvence s ˇ casom, ko slišimo vse vmesne, torej tudi prepovedane tone. Poleg tega pa je na zaˇ cetku glas pretih, da bi ga poslušalec dobro slišal, kar vidimo v posnetem zvoˇ cnem valu na vrhu grafa. Frekvenˇ cni potek kar dobro potrjuje, da je pevec poslušal sa- mega sebe in postopoma prilagajal glasilke pravemu osnovnemu tonu. Analiziral sem veˇ c vstopnih toˇ ck invselejprišeldopodobnegagrafa. Kopevecžepoje in zvezno preide na precej višji zven, pa njegov glis- sando, ˇ ce smo le dovolj pozorni, dobro slišimo. V takemprimerusevedapevecmoramedpetjemspre- minjati napetost glasilk in je relativno poˇ casen pre- hod neizogiben, morda umetniško celo zaželen. SLIKA4. Frekvenˇ cnipotekosnovnegatonazaˇ cetkaPavarottijevegapetja E volli pien ... Na vrhu slike je s ˇ crno barvo nakazano nihanje tlaka ob mikrofonu, kot je zapisano na CD-ju. Tu vidimo, kako se glasnost zapisanega zvoka spreminja sˇ casom. Gledenapovedanopevecpotrebujekakih200ms, dazadenepraviosnovniton. Kajpa,ˇ cetegaˇ casapre- prostonima? SpomnimosearijeKraljicenoˇ ciizdru- gegadejanjaMozartoveopere ˇ Carobnapišˇ cal. Pritej ariji,kislovikotenanajtežjihvvsemopernemreper- toarju,morapevkaveˇ ckotdesetkratnahitro,vsakih 100 ms, zapeti in odpeti razliˇ cne glasove izredno vi- sokih frekvenc. Ker nima na voljo prav niˇ c ˇ casa za  P51(2023/2024)1 14 kakšno prilagajanje, mora v kratkem presledku med dvemaglasovomanastavitinapetostglasilkinzapeti na ves glas in kar zapoje, paˇ c zapoje. Ker imam na voljo prenovljen posnetek (iz leta 1963) te opere na dveh CD plošˇ cah, sem analiziral petje slovite slova- škesopranistkeLuciePopp. Delpetja,kisemgaana- liziral, je v notnem zapisu oznaˇ cen z rdeˇ co barvo. G 2 ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ ‰ˇ SLIKA5. Notni zapis dela arije Kraljice noˇ ci iz Mozartove opere ˇ Carobna pišˇ cal. Analiziran je bil del petja, zapisan z rdeˇ co barvo. Na sliki 6 je prikazan potek njenega petja v delu arije, kjer poje posamezne glasove nepovezano (staccato), torej vsak glas loˇ cen od drugih. Potek valovanja kaže dele s petjem, sledijo pa precej tišji intervali, ki so le odmevi delov s petjem. V ˇ casu od- mevapevkaprilagodisvojeglasilkezanaslednjiglas. Glasovisehitroizmenjujejo,vdvehsekundahpevka odpoje 9 razliˇ cnih glasov. Iz ˇ casovnega poteka fre- kvencvidimo,danekatereosnovnetonezadenepov- sem natanˇ cno, nekaterih pa ne, razlike med zapetim in napisanim so lahko tudiˇ cetrtino tona. Te napake pa pri poslušanju ne motijo, ker se toni tako hitro menjavajoinsovednovmespovsempravilnozapeti. Ko pa ta pevka v isti ariji zapoje dalj ˇ casa trajajoˇ co noto, se spet po kakšnih 200 ms približa pravemu tonu z obilico vibrata. Pri hitrem igranju violine so glasbeniki v podob- nem škripcu, Za prilagajanje ni ˇ casa, ˇ ce pa violinist igra solo brez orkestra, nima niti tonalne zaslombe prinjem. Izraelsko-ameriškiviolinistItzhakPerlman jetakohitroskladbo,kjermestomazaigrakar10not v sekundi, predstavil na enih svojih CD plošˇ c z Ba- chovimi sonatami in partitami za violino solo. Ana- liza pokaže, da nekateri toni pri tem niso povsem natanˇ cno zadeti, a je napaka povsod manjša kot ˇ ce- trtina predpisanega tona. Za konec naj povemo, da s to analizo nismo imeli namena kakorkoli kritizirati omenjenih glasbenikov. Lahko se leˇ cudimo, kako so z vajo in izrednim glas- benim posluhom prišli do skoraj popolnega izvaja- nja. Omenili smo le petje in igranje na violino, a SLIKA6. Dvesekunditrajajoˇ codlomekizarijeKraljicenoˇ ciizMozartove ˇ Carobne pišˇ cali. Nekateri osnovni toni niso povsem natanˇ cno zapeti. ne dvomimo, da nekaj podobnega velja tudi za glas- benike na drugih inštrumentih. Prav zanimivo bi bilo prouˇ citi igranje trobilcev, morda tudi pihalcev in ugotoviti, kako oni pridejo do predpisanih osnov- nihtonov. Ofizikipetja,posebnoozvenupevˇ cevega glasu, pa bo bralec veˇ c izvedel v ˇ clanku The Acou- stic of the Singing Voice avtorja Johana Sundberga, objavljenega v reviji Scientific American marca leta 1977. Ob strani smo pustili vprašanje, kako smo prišli do iskanih osnovnih tonov pri glasovih. Ker so zvoˇ c- ni valovi praviloma izjemno zapleteni, je metoda s preštevanjem vrhov v izbranih ˇ casovnih intervalih prepoˇ casna in nezanesljiva. Kot reˇ ceno, so zveni pri petju hitro zelo zapleteni in niti ne vemo, ob kate- rem ˇ casu se pojavi kak vrh. S to metodo sem sicer zaˇ cel, akmaluuvidel,dabommoralanalizoavtoma- tizirati. Tak avtomatski naˇ cin iskanja spektrov, to je tonov v danem zvenu, ni prav zelo zahteven za nekoga, ki pozna osnove tako imenovane Fourierove analize signalov, a o tem morda kdaj drugiˇ c. ××× B  ˇ    P   ˇ  P51(2023/2024)1 15 Na Presekovi ˇ crpalki  11, ˇ  1, 1983/84 Starejši bralci in bralke revije Presek se bodo go- tovo spomnili, da je bila cena goriva v osemdesetih letih zaradi visoke inflacije in pomanjkanja zelo po- gosta tema vsakdanjih pogovorov. Zato ni ˇ cudno, da je pred skoraj natanko 40 leti Presekova zname- nita teta Amalija bralcem o tem zastavila tudi spo- dnjo matematiˇ cno nalogo. Gotovo jo znajo rešiti vsi starejši bralci, z dodatnim pojasnilom pa jo bodo mordaugnalitudidanašnjiosnovnošolci(ˇ cekakšne- gasplohšeimamomedbralci): tedanji1jugoslovan- ski dinar je veljal 100 par (podobno kot danes 1 EUR velja100centov),cenalitragorivapajebiladoloˇ cena do pare oziroma na dve decimalni mesti natanˇ cno. Pa izvolite poskusiti! ×××  P51(2023/2024)1 16 Nagradna križanka ×××   ˇ Crke iz oštevilˇ cenih polj vpišite skupaj z osebnimipodatkivobrazecnaspletnistrani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. oktobra 2023, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo pre- jeli knjižno nagrado.  P51(2023/2024)1 17  P51(2023/2024)1 18 Teran na Astronomskem tekmovanju treh dežel 2023 S Bˇ   V Kˇ ˇ  Med 28. junijem in 1. julijem 2023 je v Zagrebu potekalo Astronomsko tekmovanje treh dežel, ki je pripravljalna tekma astronomskih olimpijskih ekip Hrvaške, Madžarske in Slovenije pred Med- narodno olimpijado iz astronomije in astrofizike (MOAA). Izjemenuspehslovenskeekipe Uspeh slovenske ekipe je bil letos izjemen. Na tek- movanjujezmagalPeterAndolšek,drugijebilMiha Brvar in oba sta prejela zlati medalji. Tretji je bil Alexander Gaydukov, ˇ cetrta pa Marija Judež. Oba sta prejela srebrni medalji. Sedmi je bil Žan Arsov, najmlajšiˇ clannašeekipe,kijeprejelbron. Ekiposta vodila Vid Kavˇ ciˇ c in Simon Bukovšek. Ekipa se je na tekmovanje v Zagreb odpravila z vlakom. Nastanjeni smo bili v Domu Rdeˇ cega križa na vzpetini Sljeme nad mestom, daleˇ c proˇ c od pre- gretega asfalta in avtomobilskega renˇ canja. Medtem kosopoprihodutekmovalkeintekmovalcizžiˇ cnico obiskali Zagreb ter si ogledali njegovo staro mestno jedro, so se mentorji potopili v razpravo o nalogah, ki so jih pripravili hrvaški kolegi. Žeprviveˇ cersoseastronomkeinastronomilahko spopadli z opazovalnim delom tekmovanja, saj so bilevremenskerazmerenaravnostˇ cudovite. Naopa- zovalnemdelu,kištejeenoˇ cetrtinoskupnihtoˇ ck,so morali izkazati svoje znanje orientacije po nebu ter dela z razliˇ cnimi tipi teleskopov. Po konˇ canem opazovalnem delu so se mentorji posvetili zakljuˇ cnim razpravam in prevajanju nalog. Prihodnje jutro je bilo tako vse pripravljeno za teo- retiˇ cni del tekmovanja, ki je trajalo tri polne ure in je zajemalo polovico vseh možnih toˇ ck. Medtem so mentorji uredili in prevedli tudi naloge iz obdelave podatkov astronomskih opazovanj, v katere so tek- movalcizagrizlipopoldne. Tuditadeltekmovanjaje trajal tri polne ure, štel pa je ˇ cetrtino vseh toˇ ck. Po napornem dnevu so se tekmovalci sprostili v igranju badmintonaindrugihdružabnihiger,mentorjepaje ˇ cakalo še popravljanje izdelkov. Zadnji dan so tekmovalci dobili še sklepni izziv, in sicer ekipno tekmovanje, na katerem so morali doloˇ citi merilo zagrebškega modela Osonˇ cja. Nato so organizatorji na zakljuˇ cni slovesnosti v zagreb- ški Zvjezdarnici podelili medalje, sledila pa je pogo- stitev z okusnimi picami. Po poslednjem prijetnem druženju s hrvaško in madžarsko astronomsko po- sadko smo se z vlakom odpravili proti Ljubljani, ka- mor smo prispeli v veˇ cernih urah. TeranvDobsonu K prijateljskemu vzdušju na tekmovanju so prispe- vale tudi izjemno sveže in izvirne naloge. Med na- logami na teoretiˇ cnem delu je bila prav gotovo naj- bolj povezovalna naloga o teranu v Dobsonovem te- leskopu, ki se je je domislil Andrej Guštin, dovršeno pa jo je spisal Simon Bukovšek. Nalogasprašujepotem,kolikoteranamoramona- liti v Dobsonov teleskop, da lahko z njim varno opa- zujemo Sonce. Pojasnimo naj, da je Dobsonov te- leskop Newtonov zrcalni teleskop na alt-azimutalni montaži (slika 2).  P51(2023/2024)1 19 SLIKA1. Astronomske divizije Slovenije, Hrvaške in Madžarske na vrhu observatorija hrvaške Zvjezdarnice. KeropazovanjeSoncanihec, sajlahkohitropride do oˇ cesnih poškodb, moramo paziti, da se reševanja nalogelotimopremišljeno,hkratipamoramoimetiv mislih tudi, da v tem primeru teran uporabljamo za znanstvene namene. V ta namen bomo najprej ob- novili in oplemenitili svoje znanje o svetlobi, oˇ cesu in optiki. Podatkiinpredpostavke Interakcija svetlobe z oˇ cesom je zelo zapletena veja optike in biologije, težko je najti konsistentne po- goje za »varno opazovanje«. V namen te naloge so bili zbrani podatki iz razliˇ cnih virov in zaradi varno- sti namenoma nekoliko znižani. Tudi podatek o ab- sorpcijskem koeficientu terana je zgolj spodnja oce- na, saj je primerne podatke težko pridobiti. Pogoja za »varno opazovanje« sta: nikjer na mrežnici ne sme gostota svetlobnega to- ka presegatij mr =10W/m 2 , skupen svetlobni tok, ki pada v oko, ne sme pre- segatiP oko =10mW, Podatki o teleskopu: gorišˇ cna razdalja objektiva: f ob =1,0m, premer objektiva: D ob =20cm, gorišˇ cna razdalja okularja: f ok =25mm, navidezen premer vidnega polja za okular: FoV nav. =52°, Podatki o oˇ cesu: razdalja med leˇ co in mrežnico: f oko =17mm, v zelo moˇ cni svetlobi ima oko gorišˇ cno razmerje f/8,5, Nekaj splošnih podatkov: gostotasvetlobnegatokaSoncanapovršjuZemlje: j 0 =1,0kW/m 2 , navidezna velikost Sonˇ ceve ploskvice jeϕ ⊙ =32 ′ , absorpcijski koeficient terana za sonˇ cno svetlobo jeµ =77,5/m. Predpostavilibomo,daSonceopazujemovzenitu. Zanemarili bomo odboj svetlobe na površini med vi- nom in zrakom ter spremembo gorišˇ cne razdalje objektiva zaradi dodanega vina. Rešitevnaloge Prireševanjunalogemoramoupoštevatidvakritiˇ cna pogoja za »varno opazovanje«, in sicer kritiˇ cno go- stotosvetlobnegatokanamrežnicij mr inskupnisve- tlobnitokP oko . Najprejrazložimo,zakajstaobatako pomembna. Prvi pogoj lahko ponazorimo na primeru laserja. Vsem je znano svarilo »ne glej naravnost v laser«, ki pa nikakor ni nedolžno. ˇ Ceprav ima laser lahko relativno majhno moˇ c, je gostota svetlobnega toka zelo velika in s tem nevarna za mrežnico. Nasprotnosizaponazoritevdrugegapogojapred- stavljajmo,danasonˇ cenzimskidanhodimopobelo zasneženih hribih. V tem primeru nobena specifiˇ cna toˇ cka (z izjemo Sonca) ni nevarno svetla, kljub temu pa lahko zaradi prevelike skupne moˇ ci svetlobe (še posebej UV) pride do poškodb oˇ cesa, na primer vne- tja roženice. To oˇ cesno stanje imenujemo snežna slepota. Pred poškodbami se lahko zašˇ citimo z upo- rabo posebnih zašˇ citnih sonˇ cnih oˇ cal. Pri reševanju naše naloge bomo tako morali izra- ˇ cunati mejno vrednost vpadle svetlobe v teleskop za obapogoja»varnegaopazovanja«inupoštevatitisto, ki je manjša. Najprej si oglejmo pogoj za najveˇ cjo gostoto sve- tlobnega toka na mrežnici. Vemo, da je premer Son- ˇ ceve ploskvice na nebu enak ϕ ⊙ = 32 ′ . Poveˇ cavo p teleskopa izraˇ cunamo kot p= f ob f ok =40.  P51(2023/2024)1 20 okular oko slika na mreˇ znici primarno zrcalo teran SLIKA2. Skica k nalogi. Navidezna kotna velikost Sonca v vidnem polju oku- larja je tako enaka α ⊙ = ϕ ⊙ ·p = 21°20 ′ . Ker je ta vrednostmanjšaodnavideznevelikostvidnegapolja (FoV nav. =52°>α ⊙ ), v okularju vidimo celo Sonce. Poleg tega opazimo, da je izstopna zenica tele- skopaD iz veˇ cja od zenice oˇ cesaD oko . Velja namreˇ c: D oko = f oko 8,5 =2mm, D iz = D ob m =5mm. Naj boj 1 najveˇ cja gostota svetlobnega toka, ki pride skozi teran, ki ustreza prvemu pogoju. Pri izraˇ cunu svetlobnega toka P oko moramo upoštevati zgornjo ugotovitev D oko < D iz , saj se na ta raˇ cun med oku- larjem in oˇ cesom nekaj energije izgubi. Velja P oko =j 1 · πD 2 ob 4 · D 2 oko D 2 iz . Tako izražena moˇ c se razporedi po površini S = π 4 (α ⊙ ·f oko ) 2 . Gostotosvetlobnegatokanamrežnici tako izrazimo kot j mr = P oko S = j 1 · πD 2 ob 4 · D 2 oko D 2 iz π 4 (α ⊙ f oko ) 2 =j 1 4πD 2 ob D 2 oko p 2 4πD ob f 2 oko ϕ 2 ⊙ p 2 =j 1 D 2 oko f 2 oko ϕ 2 ⊙ . (1) Opazimo, da je gostota svetlobnega toka na mre- žnici popolnoma neodvisna od teleskopa, skozi ka- terega gledamo. Še veˇ c, za vsak netoˇ ckasti objekt je gostota svetlobnega toka na mrežnici ob gledanju skozi kateri koli teleskop manjša oziroma kveˇ cjemu enaka, kot ˇ ce bi ta objekt gledali s prostim oˇ cesom. Manjša bi bila v primeru, ˇ ce bi bila izstopna zenica manjša od velikosti oˇ cesne zenice. Ta ugotovitev se zdi nekoliko neintuitivna. Hkrati pa zelo spominja na dejstvo, da z nobenim optiˇ cnim pripomoˇ ckom ne moremo segreti objekta na višjo temperaturo, kot jo ima svetlobni vir. Zdaj iz enaˇ cbe (1) izrazimo j 1 in izraˇ cunamo nje- govo numeriˇ cno vrednost. Pri tem smo pozorni na to, da mora biti kótα ⊙ izražen v radianih. Dobimo j 1 = j mr f 2 oko ϕ 2 ⊙ D 2 oko =0,626W/m 2 . Posvetimo se zdaj drugemu pogoju za »varno« opa- zovanje, to je pogoju z maksimalnim svetlobnim to- kom. Naj boj 2 najveˇ cja gostota svetlobnega toka, ki sme priti skozi teran, da je zagotovljen drugi pogoj. Podobno kot prej zapišemo P oko =j 2 · πD 2 ob 4 · D 2 oko D 2 iz , iz ˇ cesar izrazimo j 2 in izraˇ cunamo njegovo nume- riˇ cno vrednost: j 2 = 4P oko D 2 iz πD 2 ob D 2 oko =1,99W/m 2 . ˇ Ce želimo zagotoviti »varno« opazovanje, mora sko- zi teran prehajati najveˇ c toliko svetlobe, kot je manjša vrednost od j 1 in j 2 . Izraˇ cunali smo, da je j 1