     
P 46 (2018/2019) 66
igra po nekem času stabilizirala in da bi oba igralca
začela v nedogled ponavljati svojo figuro. Po drugi
strani obstoj dveh ravnovesij pri primeru mož–žena
nakazuje na večen konflikt med spoloma. Četudi se
zakonca znajdeta v izidu, ki obema prinaša poziti-
ven rezultat, pa je nekdo od njiju prikrajšan, saj ve,
da se je moral za ugodno situacijo žrtvovati on. Ven-
dar pa za spremembo tega dejstva ni dovolj zgolj
bojkot dogodka. Če se želi ponovno znajti v pozitiv-
nem stanju, mora ne le odpovedati udeležbo, ampak
v svojo interesno sfero prepričati tudi soigralca, kar
je v vsakodnevnem življenju težko in od nas zahteva
kompromise. Nazadnje je zelo zanimiva tudi dilema
dveh zapornikov, ki ima eno samo ravnovesje. Več
empiričnih preizkusov je pokazalo, da bodo igralci,
če igrajo racionalno, v večkratni ponovitvi začeli izbi-
rati zgolj možnost ›priznam‹, kar pa privede do zani-
mivega konflikta. Namreč, za oba igralca bi bilo naj-
ugodneje, da bi molčala in sprejela vsak svojo dvole-
tno kazen. Ker pa ju vodi pragmatičnost in želja po
maksimizaciji osebnega ugodja, na koncu oba prista-
neta pri triletni kazni. To lepo ilustrira dejstvo, ki ga
je zelo dobro opisal tudi J. F. Nash, in sicer, da stre-
menje k maksimalni zadovoljitvi osebnih potreb ni
nujno tudi pot k družbenemu optimumu.
Literatura
[1] J. Baez, Game Theory, 2015.
[2] M. Dean, Game Theory, Lecture Notes for Fall
2009 Introductory Microeconomics, Brown Uni-
versity, 2009.
[3] E. Pertovt, T. J., Uporaba teorije iger za optimi-
zacijo delovanja brezžičnih omrežij, Elektronski
vestnik, 78 2011, 287–292.
[4] H. Hotz, A Short introduction to Game Theory.
[5] Tekmovanje ACM iz računalništva in informa-
tike, dostopno na rtk-info@ijs.si, ogled 10.
4. 2019.
[6] Zapornikova dilema, dostopno na sl.
wikipedia.org/wiki/Zapornikova_dilema,
ogled 10. 4. 2019.
×××
Paposovi
šestkotniki
M R
Papos Aleksandrijski, grško Πάππος ༁ ༁Αλεξαν-
δρεύς, na kratko Papos, tudi Papus iz polatinjene
oblike Pappus, je bil zadnji pomembnejši antični
matematik. O njem vemo le, da je bil učitelj v
Aleksandriji in da je 18. oktobra 320 tam opazo-
val Sončev mrk. Rodil se je okoli leta 290, umrl pa
okoli leta 350 našega štetja. Njegovo najbolj znano
delo je Zbirka, grško Συναγωγή, ki je nastalo okoli
leta 340. Papos je pisal v grščini. V obdobju rene-
sanse so ga prevajali v latinščino.
V svoji Zbirki se Papos pretežno ukvarja z geome-
trijskimi problemi. Oglejmo si pobliže enega, ki je
vzet iz [1] oziroma [2].
Včrtaj v dano krožnico sedem skladnih pravil-
nih šestkotnikov tako, da je eden okoli njenega
središča, na njegovih stranicah pa sloni vsak od
preostalih šestih z eno stranico, katere nasprotna
stranica je tetiva krožnice.
Včrtati šestkotnike pa je dovoljeno na klasični na-
čin, to se pravi s šestilom in neoznačenim ravnilom.
Predpostavimo, da je naloga že rešena. Dana kro-
žnica naj ima središče v točki O in polmer r (slika 1).
Na sliki smo označili točke A, B in C ter polmer r in
stranico a. Poiščimo aritmetično zvezo med a in r .
V ta namen podaljšamo daljico OA in na podaljšek
skozi B postavimo pravokotnico, ki ga seka v točki
C . Trikotnik OCB je pravokotni. Zanj je |OB| = r ,
|AC| = a/2, |OC| = 2a+a/2 = 5a/2, |CB| = a
√
3/2.
Po Pitagorovem izreku velja:
r 2 = (5a/2)2 + (a
√
3/2)2 = 28a2/4 = 7a2.
     
P 46 (2018/2019) 6 7
SLIKA 1.
Paposovi šestkotniki
Torej je r = a
√
7 oziroma a = r
√
7/7. Daljico dol-
žine a je Papos znal konstruirati. Še več, znal je kon-
struirati trikotnik, ki je skladen s trikotnikom OAB.
Kako je to naredil, je razloženo v [1]. Avtorjema
[2] se zdita njegova konstrukcija in ustrezna razlaga
prezapleteni, zato predlagata enostavnejšo. Ta po-
teka takole.
Vzamemo daljico OB dolžine r in jo s točko T raz-
delimo v razmerju 2 : 1 (slika 2). Nato konstruiramo
krožnici K1 in K2, s katerih vidimo daljici TB in OT
pod kotom 60◦. To dosežemo tako, da ob daljici OB
načrtamo kota 60◦ z vrhovoma v O in B. Simetrali
daljic TB in OT sekata spodnja kraka teh kotov v
točkah S1 in S2. Krožnica K1 s središčem S1 skozi
B in krožnica K2 s središčem S2 skozi O se sekata v
točki A. Trikotnik ABO je iskani trikotnik, v katerem
je |AB| = a in |OA| = 2a. Premica AT razpolavlja
∢BAO = 120◦, in po znanem izreku deli stranico OB
trikotnika ABO v razmerju |OA| : |AB|, to pa je 2 : 1.
Pravilnost potrdimo še s kosinusnim izrekom za
trikotnik ABO:
r 2 = (2a)2 + a2 − 2 · 2a · a · cos 120◦
= 4a2 + a2 − 4a2(−1/2) = 7a2.
Druga konstrukcija trikotnika ABO nas pripelje
do enakega rezultata. Vzamemo daljico OB dolžine
r in jo s točko P razdelimo v razmerju 5 : 2 (slika
3). Nad manjšim odsekom PB konstruiramo enako-
stranični trikotnik QBP , nato pa trikotnik ABO, ki
ima enako višino kot trikotnik QBP , pri tem pa je P
pravokotna projekcija oglišča A na stranico OB. Hi-
tro se lahko prepričamo, da ima trikotnik ABO stra-
nice |AB| = a, |OA| = 2a in |OB| = r = a
√
7 ter
∢BAO = 120◦. Bralke in bralci naj to preverijo. Res
ni težko.
SLIKA 2.
Prva konstrukcija stranice a
SLIKA 3.
Druga konstrukcija stranice a
Literatura
[1] T. Heath, A History of Greek Mathematics II, Do-
ver Publications, 1981.
[2] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by Its Hi-
story, Springer, 2012.
×××