i
i
“826-Kobal-naslov” — 2009/6/2 — 17:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 1
Strani 56–60
Damjan Kobal:
KOTNE FUNKCIJE
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Kobal.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/71" -'-/71" -'1/ "'" 1C I" I"",
KOTNE FUNKCIJE
c
Sl ika 1
Ali bi znal i ugotoviti, kako visok je tovarnišk i dimnik, ki ga vidite vsak dan?
Ali kako visoka je stolpnica, al i svetilka javne razsvetljave, ali drevo, ali .. In še
mnogo podobnih vprašanj si lahko zastavimo. Odgovor nanje pa utegne biti
zanimiv in preprost.
Poskusimo skupaj spoznati kotne funkcije in, nenazadnje, odgovoriti na
postavljena vprašanja.
Začnimo skupna razm išljanja s
ponovitvijo pojmov, ki jih srečamo
ob pravokotnern trikotniku.
Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki
ima en pravi kot (90°) . Najdaljšo
stranico v pravokotnem trikotniku,
ki vselej leži nasproti pravemu kotu ,
imenujemo hipotenuza. Drugi dve sta
kateti. Na sliki 1 smo kateti označili
z e, b, hipotenuzo pa s c. Poznamo
tudi Pitagorov izrek: a2 + b 2 = c2 .
(Kvadrat hipotenuze je enak vsoti
kvadratov obeh katet.)
Spomnimo se, da sta si dva pravokotna trikotnika podobna , če imata en ostri
kot enak. Ker sta pravokotna , imata enaka dva kota , to pa že pomeni, da sta si
podobna .
Sedaj pa narišimo vsak svoj pravokotni trikotnik , ki bo imel en kot enak
fJ = 30° . Seveda je takih trikotnikov veliko, izberite si svojega (tistega, ki vam je
najbolj všeč). Važno je le, da je pravokoten in da eden izmed ostrih kotov meri
30°. Kot smo označili z fJ prav zato , da ostane izbira , v katero ogljišče ga po-
stav ite, vaša. Sedaj pa pazljivo!
Izračunajte količnik med dolžino nasproti kota fJ = 30° ležeče katete in dolži-
no hipotenuze. Torej :
do lžina katete nasprot i fJ
dolžina hipotenuze
Če ste lepo risali in prav r aču na l i , sta dobili ~. Najbrž ni težko uganiti, kako
smo lahko ugan ili vaš količnik , čeprav vemo o vašem pravokotnem trikotniku ,
56
le to, da eden od kotov meri 30°. Izračunajte še naslednje količnike:
dolžina katete, priležne kotu (j
dolžina hipotenuze
dolžina katete nasproti (j
------------------
dolžina katete, priležne kotu (j
dolžina katete, priležne kotu (j
dolžina katete nasproti (j
Dobili smo po vrsti: 0.9,0 .6, 1.7 (približno seveda!). Če bi bili bolj natančni:
0.866..t 0.577 .., 1.732 ... Razvozlajmo to skrivnost, ki sploh ni več skrivnost.
Vsi pravokotni trikotniki, ki imajo en ostri kot enak 30° , so si podobni, to že
vemo. Torej je vašpravokotni trikotnik podoben našemu. V podobnih trikotni-
k ih so razmerja pripadajočih stranic enaka, torej smo morali vsi dobiti isti
rezultat. (Glej sliko 2.)
c
Sli ka 2
Vse razmišljanje lahko ponovimo za kakšen drug kot (npr. (j = 60°, (j = 45° ,
(j = 32°, ...). Spet bi vsi dob ili iste količn ike, toda pri vsakem kotu drugačne.
Ker so ti količniki odvisni le od velikosti kota, jih bomo označili:
dolžina katete nasproti (j
sin(j =----------------
dolžina hipotenuze
dolžina katere. priležne kotu (j
cosč =--------------------
dolžina hipotenuze
dolžina katete nasproti (j
tg(j =-----------------
dolžina katete, priležne (j
dolžina katete , priležne (j
ctg(j =-----------------
dolžina katete nasproti (j
(beri: sinus)
(beri: kosinus)
(beri: tangens)
(beri:kotangens)
57
V prejšnjem primeru smo imeli 8 = 30° in smo ugotovili, da je sin(300l = 0.5,
cos(300 l = 0.87, tg(300) = 0.58, ctg(300 l = 1.73. Podobno bi dobili slnč ,
cos č , ...r za kak drug kot 8 . Če spremenimo 8 , se spremen ijo tud i sinč , cosč ...
Opravka imamo torej s štirimi funkcijami. To so funkcije kotov in zato kotne
funkcije. C
Da bi si povedano dobro zapomnili,
narišimo še enkrat pravokotni triko-
tnik (slika 3l . Kateto nasproti kota b
~ smo označil i z b, kateto, ki je pri-
ležna kotu ~, s c in hlpotenuzo z a.
Sedaj lahko napišemo krajše: Slika 3
B
• R b
Sin,.., = -
a
cosf = E...
a
b
tg~ =-
c
ctg~ = E...
b
tg~ = -2-- = ctg- 1~
c tq {3
Ker je hipotenuza najdaljša stranica pravokotnega trikotnika, sta funkciji
sin8 in cosč manjši od 1 za vsak kot 8 .
Da bi preverili, če smo povedano dobro razumeli, poskusimo sedaj sami
ob sliki 3 napisati s pomočjo stranic, kaj je sinr. cosr. tg'Y, ctg'Y. (V pomoč:
kateta nasproti kota 'Y je c .)
Preverimo: sin-y = .f.. cos y = 1l. tg'Y = .f.. ctg'Y = 1l.e: e ' b ' c :
Kotne funkcije imajo mnogo lepih lastnosti:
al sin2~ + COS2~ = 1
((sinm 2 bomo krajše zapisali kar sin2m
S pogledom na sliki 3 in po Pitagorovem izreku velja:
. 2 2 b 2 c 2 (b 2 + C 2 ) a2
Sin ~ + cos ~ =-- + -- =----- = -- =
a2 a2 a2 a2
Gotovo boste znali sami preveriti sledeče lastnosti:
bl tg ~ = ~!2.!!.-_ ctg~ = .E.~.!!._
cos {3 Sin {3
Pozorni bralec je ob sliki 3 opazil enakost:
• R bsmp = -;; = cos-r
Vemo pa, da je ~ = 90° - 'Y. To pomeni, da velja lastnost
cl sin (90° - 'Yl = cosv za kakršenkol i 'Y.
Podobno, se pripričajte sami, velja :
cos(900 - 'Yl = sin'Y
tg(90(l - 'Yl = ctg 'Y
58 ctg (90° - 'Yl = tg'Y
Ne pozabimo, da smo razmišljanje začeli z "zahtevo", da je kot o med 0°
in 90° . Kako bi sicer sploh narisali pravokotni trikotnik? Torej vemo zaenkrat
le, kaj so kotne funkcije za kote med 0° in 90° (za ostre kote) .
Kako bomo v nadaljnjem "dobili" vrednost kotne funkcije za neki dolo-
čeni kot? Lahko čim natančneje narišemo pravokotni trikotnik z danim
kotom , izmerimo dolžine stranic in izračunamo kotni funkciji pripadajoč
količnik.
Veliko hitreje bo , če vrednost kotne funkcije odčitamo v tabelah ("loga-
ritemske tablice"). Še enostavneje bo uporabiti računalnik. Našega dogovora,
kaj pomeni sina, cosa, ... pa nikar ne pozabimo, sicer bomo tudi z najboljšim
računalnikom podobni butalcem, ki imajo telefonski imenik brez imen, le
številke, pa so vsi srečni, ker imajo najtanjši telefonski imenik, čeprav je po -
polnoma neupo raben .
Kaj pa vprašanja iz začetka tega kramljanja? Ali smo se sploh naučili kaj
uporabnega? Nikar ne odgovarjaj mo na vprašanja s še težjimi vprašanji! Raje
poskusimo!
Če se postavimo na pravo mesto, bodo "podnožje drevesa", "vrh drevesa"
in "naše oči" tvorili pravo kotni trikotnik. Še prej izmerimo razdaljo od dre-
vesa do mesta, od koder ga opazujemo. (Torej poznamo dolžino ene katete
pravokotnega t irkotnika.) Kot, pod katerim vidimo drevo, lahko izmerimo.
G lej sliko 4.
., :c---- - - - - - _
Sli ka 4
Ali je to dovolj, da določimo višino drevesa (dolžino druge katete)? Vemo, da
je tgo = {, torej v = c. tgo. Poznamo c, poznamo o in znamo izračunati tgo,
to pa zadostuje za izračun višine drevesa (v) .
Kaj če nimamo pri roki kotomerja? Bi znali tedaj določit i višino drevesa,
dimnika ...? Poskusite, opišite vaše razmišljanje in nam ga pošljite.
Poglejmo si še eno, zelo nazorno
predstavitev kotnih funkcij.
59
x
y
Slika 5
Narišimo koordinatni sistem in
krog s središčem v izhodišču ter
radijem 1. (slika 5). Narišimo pol-
trak iz izhodišča,ki oklepa z x osjo
kot 5. Presečišče krožnice in pol-
traka označimo s T. Vztrajni bralec
bo kot rezu lt at lastnega razmišljanja
dobil, da so koordinate točke T
(cosč , sinč} , Ob tej sliki bo gotovo
jasen dogovor: sin 0° = O, cosu? = 1
in sin 90° = 1, cos900 = O. Kar samo
se nam ob tej sliki ponuja tudi, kaj
naj bo sin5 in cosč za kot 5, ki je
večji od 90° , ali za negativni kot. Za kakršenkoli kot 5 narišemo poltrak, ki z
x osjo oklepa kot 15 I v pozitivni smeri, če je 5 pozitiven, in v negativni smeri,
če je 5 negativen. Najbrž že vemo, da je pozitivna smer obratna smeri urnega
kazalca, negativna smer pa je smer vrtenja urnega kazalca. Tedaj je število cosč
enako x koordinati, sinf pa y koordinati presečišča poltraka in krožnice.
Sedaj torej vemo, kaj je sinč in cosč za kakršenkoli kot 5. Dogovorimo se še:
tg5 = ~r.!..L in ctg5 = _L_ tudi za 5 ki ni med 0° in 90° .
cosli tg li '
Večino tega ste ali še boste srečali pri rednem pouku, zato končajmo z
nekaj vprašanji za najbolj radovedne.
A li veljajo lastnosti al. b] , cl za vse kote?
Zakaj velja sin5 = sinI 180° - 5)?
Zakaj velja cosč = - cos( 180° - 5)?
Zakaj velja sin5 = - cos(900 + 5)?
. Zakaj velja sinč = - sin(3600 - 5)?
Zakaj velja sin(-5) = - sinč?
Zakaj velja cos(-5) = cosč?
Koliko je tg 60° t tg 70° , tg 80° , tg 85° , .... , tg 90° ?
Bi znali skicirati grafe kotnih funkcij?
Kako je s kotnimi funkcijami kota, merjenega vradianih?
Koliko je sin i-rd? (10 - 1T/180 rd)
Gotovo to niso vsa vprašanja, ki si jih lahko zastavite. Odgovore lahko
poskušata poiskati sami ali počakajte, da jih poiščete skupaj pri pouku (mogo-
če pri krožku).
Marsikaj boste še slišali o kotn ih funkcijah. Naj omenim le kosinusov izrek,
ki ga lahko uporabimo v poljubnem trikotniku. Če so a, b, c stranice poljubne-
ga trikotnika, 5 pa kot nasproti stranice e, velja a2 = b 2 + c2 - 2bc cosč.
60 Damjan Kobal