 P50(2022/2023)6 18 Sferna trigonometrija in ˇ cas v astronomiji V Kˇ ˇ  Uvod Lahkobirekli, dajesfernatrigonometrijavejamate- matike, ki se ukvarja z razmerji med koti in strani- cami sferiˇ cnih trikotnikov na površini krogle, hkrati pa je tudi temeljno orodje v astronomiji in astrofi- ziki, saj omogoˇ ca opis položajev nebesnih teles na nebesni sferi. Zato predstavlja eno izmed pomemb- nejših znanj, s katerim morajo biti seznanjeni tudi srednješolke in srednješolci, ki se pripravljajo na Mednarodnoolimpijadoizastronomijeinastrofizike (IOAA), ki bo letos avgusta potekala na Poljskem. Vˇ clankubomospoznaliosnovnepojmesfernetri- gonometrije, izpeljali kljuˇ cne enaˇ cbe, s katerimi lah- ko opišemo lego nebesnih teles in njihovo gibanje po nebesni sferi, nato pa se bomo seznanili še s te- matikami,povezanimizrazliˇ cnimidefinicijamiˇ casa. V prihodnjih številkah bomo v ˇ clanku obravnavane vsebinepodkrepilizdodatnimirešenimivajamiziz- birnih testov in mednarodnih astronomskih tekmo- vanj. Preden pa zagrizemo v sferno trigonometrijo, bomo spoznali osnovne pojme orientacije na Zem- ljiinobiˇ cajnimikoordinatnimisistemi, kijihpritem uporabljamo. Osnovnetoˇ ckeinkroginanebesnisferiin koordinatnisistemi Nebesna sfera Da bi bolje opisali položaje objektov na nebu, uve- demonebesno sfero, nakateroprojiciramonebesna telesa in pri tem pozabimo, kako daleˇ c so v resnici. ˇ Ce nebesno sfero presekamo z ravnino, ki poteka skozi središˇ ce krogle, dobimo glavni ali veliki krog. Delu glavnega kroga pravimo glavni lok. Glavne toˇ cke in krogi nebesne sfere Nebesna sfera je namišljena sfera s poljubnim pol- merom in središˇ cem v Zemlji, na katero projiciramo nebesnatelesa. Veliki krogjepreseˇ cišˇ cesferezrav- nino, ki poteka skozi njeno središˇ ce. Navpiˇ cnica, ki gre skozi opazovalˇ cevo oko, prebode nebesno sfero v zenitu (nadglavišˇ cu) in nadirju (podnožišˇ cu). Obzorje je loˇ cnica med zemeljskim površjem in nebom. Matematiˇ cno obzorje je preseˇ cišˇ ce vodo- ravne ravnine opazovališˇ ca in nebesne krogle. Za- stirajo ga drevesa, gore in zgradbe. Takšno preseˇ ci- šˇ ce imenujemo vidno ali naravno obzorje. Nebesna os¸je podaljšek Zemljine navidezne osi, okoli katere se vrti. Nebesna os seka nebesno sfero v severnem injužnem polu. Vbližinisevernega jezvezdaSever- nica. Višina nebesnega pola v danem kraju je enaka geografski širini kraja. Nebesni ekvator je projekcija Zemljinega ekva- torja na nebesno sfero, torej najdaljši nebesni vzpo- rednik. Nebesni meridian je veliki krog na nebesni krogli, ki povezuje severno toˇ cko na obzorju, nebe- sni pol, zenit, južno toˇ cko na obzorju in nadir, ter je pravokoten na matematiˇ cno obzorje. Nebesni me- ridian seka horizont v severišˇ cu in južišˇ cu, nebesni ekvator pa v vzhodišˇ cu in zahodišˇ cu. Horizontski koordinatni sistem Prihorizontskemkoordinatnemsistemustaosnov- navelikakrogahorizontinnebesni meridian. Koor- dinatno izhodišˇ ce je toˇ ckajužišˇ ce. Pri tem vpeljemo koordinati višino in azimut. Višinski krog je veliki krog, ki poteka skozi dano telo in zenit. Višina h je dolžina loka na višinskem krogu od horizonta do izbranega telesa. Višina te- lesa na obzorju je enaka 0 ◦ . Nad obzorjem zavzame pozitivnevrednostivsedo+90 ◦ vzenitu,podobzor- jem pa zavzame negativne vrednosti vse do −90 ◦ v nadirju. Zvezdezenakovišinoležijonaistemkrogu, ki mu pravimo almukantarat. Zenitna razdalja z je  P50(2022/2023)6 19 obzorje T h A lokalni poldnevnik zenit nadir J S SLIKA1. dolžina loka na višinskemkrogu odzenita do telesa. Zenitnorazdaljoštejemood0 ◦ vzenitupado180°v nadirju. Zenitno razdaljo z višino telesa tako oˇ citno povezuje zvezaz=90 ◦ −h. Azimut A je lok od južišˇ ca do preseˇ cišˇ ca višin- skega kroga s horizontom. Merimo od 0 ◦ do 360 ◦ od južišˇ ca proti zahodu. ˇ Casovni kot H je kot med meridianom in deklinacijskim krogom. Ker se horizontski koordinati teles neprestano spreminjata, je ta sistem vezan na kraj inˇ cas. Ekvatorialni koordinatni sistem Pri ekvatorialnem koordinatnem sistemu sta osnovna kroga nebesni ekvator in glavni krog, ki poteka skozi pol P in pomladišˇ ce – toˇ cko γ. Pomla- dišˇ ce je toˇ cka nebesnega ekvatorja, v katero pride Sonce ob spomladanskem enakonoˇ cju, in je zaˇ cetek tega koordinatnega sistema. Z drugimi besedami, je toˇ cka, v kateri ekliptika, to je navidezna pot Sonca po nebesni sferi, seka nebesni ekvator. Deklinacjski krog telesa T je veliki krog skozi to telo in nebesni pol P. Rektascenzija α je lok na ek- vatorjuodpomladišˇ cadopreseˇ cišˇ cadeklinacijskega kroga z ekvatorjem. Merimo jo v obratnem smislu navideznega vrtenja nebesne krogle. Podajamo jo v urah in lahko zavzame vrednosti med 0 h in 24 h , pri ˇ cemer 1 h ustreza kotu 15°. Deklinacija δ je dolžina loka na deklinacijskem krogu od ekvatorja do telesa T. Štejemood0 ◦ nanebesnemekvatorjudo+90 ◦ na severnem polu in do −90 ◦ na južnem polu. Zvezde z enako deklinacijo ležijo na istem vzporedniku. nebesni ekvator ekliptika T ∗ δ ε α zaˇ cetni poldnevnik severni nebesni pol južni nebesni pol SLIKA2. Osnovesfernetrigonometrije Po spoznanih osnovah orientacije in koordinatnih sistemov se lahko konˇ cno nadobudni seznanimo z osnovnimi pojmi in obrazci sferne trigonometrije. Osnovni obrazci sferne trigonometrije Sferiˇ cnitrikotnikdoloˇ cajotrijeglavnikrogi,njegove stranicesoglavniloki. Dolžinestranicsferiˇ cnegatri- kotnikaa,b inc izražamo s koti z vrhom v središˇ cu sfere. Kotsferiˇ cnegatrikotnikadefiniramokakorkot med tangentama na dve strani v oglišˇ cu trikotnika. Vsota notranjih kotov sferiˇ cnega trikotnikaα,β inγ je veˇ cja od 180°. C A B a b c a b c α β γ SLIKA3. Tako kot za ravninski trikotnik tudi za stranice in kote sferiˇ cnega trikotnika velja veˇ c trigonometrij- skih zvez. Osnovni obrazci sferne trigonometrije so  P50(2022/2023)6 20 sinusni, kosinusni in sinus-kosinusni izrek za sfe- riˇ cni trikotnik: sina sinα = sinb sinβ = sinc sinγ , cosβsina=−cosαsinbcosc+cosbsinc, cosa=cosbcosc+sinbsinccosα. ˇ Ce so središˇ cni koti stranic majhni: a,b,c ≪ 1, je sferiˇ cni trikotnik v približku ravninski trikotnik. ˇ Ce upoštevamo, da pri majhnih kotih x velja sinx ≈ x in cosx ≈ 1− 1 2 x 2 , ugotovimo, da sinusni in kosi- nusni izrek za sferiˇ cni trikotnik preideta v klasiˇ cni sinusni in kosinusni izrek za ravninski trikotnik. ˇ Ce poznamo tri zaporedne podatke v sferiˇ cnem trikotniku (kot in priležni stranici, stranico in prile- žna kota), lahko ˇ cetrtega (sosednjega) izraˇ cunamo s formulo štirih delov: cosacosγ=sinacotb−sinγcotβ. S pomoˇ cjo osnovnih obrazcev sferne trigonometrije izpeljemo formule za gibanje teles na nebesni sferi. Primeri uporabe obrazcev sferne trigonometrije vastronomiji Razdalja med toˇ ckama na sferi Imejmo dve zvezdi na nebesni sferi s koordinatami (δ 1 ,α 1 ) in (δ 2 ,α 2 ). ˇ Ce z glavnimi loki povežemo lego prve zvezde, lego druge zvezde in severni ne- besni pol, dobimo sferiˇ cni trikotnik s stranicama z dolžinama90°−δ 1 in90°−δ 2 ,kioklepatakotα 1 −α 2 . ˇ Ce za ta sferiˇ cni trikotnik zapišemo kosinusni izrek, lahko izrazimo kotno razdaljoθ med zvezdama kot cosθ=cos(90°−δ 1 )cos(90°−δ 2 ) +sin(90°−δ 1 )sin(90°−δ 2 )cos(α 1 −α 2 ). ˇ Ceupoštevamosin(90°−x)=cosx incos(90°−x)= sinx, dobimo formulo za razdaljo objektov na ne- besni sferi: cosθ=sinδ 1 sinδ 2 +cosδ 1 cosδ 2 cos(α 1 −α 2 ). Višinska enaˇ cba Zamislimo si zvezdo z deklinacijoδ, ki se za opazo- valca na geografski širini ϕ nahaja na višini h, azi- mutu A in na ˇ casovnem kotu H. Oglejmo si sferiˇ cni trikotnik zvezda−severni nebesni pol−zenit. Ker poznamo dolžine njegovih stranic (slika 4) in kardvanotranjakota,lahkoposkusimonanjemzlo- rabitikakšnoodtrigonometrijskihformulzasferiˇ cni trikotnik. Za zaˇ cetek lahko poskusimo s kosinusnim izrekom za kot pri severnem nebesnem polu, ki ustrezaH. Velja: cos(90 ◦ −h)=cos(90 ◦ −δ)cos(90 ◦ −ϕ) +sin(90 ◦ −δ)sin(90 ◦ −ϕ)cosH. ˇ Ce spet upoštevamo sin(90° − x) = cosx in cos(90°−x)=sinx, dobimo višinsko enaˇ cbo: sinh=sinϕsinδ+cosϕcosδcosH. S J zenit nadir S neb. pol J neb. pol Z H 180°−A A H δ h A ϕ 90°−ϕ 90°−δ 90°−h SLIKA4. Kulminacija Poglejmo, kaj nam enaˇ cba pove o legi zvezde, ko ta kulminira. Takrat leži na meridianu in velja H = 0. Višinska enaˇ cba se nam v tem primeru poenostavi v sinh=sinϕsinδ+cosϕcosδ. (1) Desna stran enaˇ cbe spominja na adicijski izrek za kosinus razlike; zapišimo jo kot sinh=sinϕsinδ+cosϕcosδ =cos(±(ϕ−δ))=sin(90 ◦ ±(δ−ϕ)), iz ˇ cesar sledi, da je višina zvezde ob kulminaciji h = 90°±(δ−ϕ). Kadar je objekt najvišje v južni  P50(2022/2023)6 21 smeri,jenjegovanajveˇ cjavišinaenakah 1 =90 ◦ +δ− ϕ,kopajeobjektnajvišjevsevernismeri,jenjegova višina enaka h 2 = 90 ◦ −δ+ϕ. Zvezi si najlažje za- pomnimo z enaˇ cbo za zenitno razdaljo (z=90°−h) ob zgornji kulminaciji: z=|ϕ−δ|. Ob spodnji kulminaciji velja H = 180°, iz ˇ cesar po- dobno kot zgoraj izpeljemo zvezo ϕ+δ+z=180°. Glede na to kako poteˇ ce kulminacija, zvezde na nebesni sferi razdelimo na nadobzornice (cirkum- polarne zvezde), vzhajalke in podobzornice. Prve v danem kraju nikoli ne zaidejo, zato lahko vidimo tako zgornjo kot tudi spodnjo kulminacijo. Po drugi stranipodobzornicevdanemkrajunikolinevzidejo, zato se v tem primeru obe kulminaciji zgodita pod obzorjem. Vse preostale zvezde so vzhajalke − te vzhajajo in zahajajo, vidimo pa le njihovo zgornjo kulminacijo. Vzid in zaid Kaj lahko povemo o zvezdi, vzhaja oziroma zahaja? Takrat zvezda leži na obzorju in velja h = 0, zato višinska enaˇ cba takrat preide v: 0=sinϕsinδ+cosϕcosδcosH. ˇ Ce enaˇ cbo delimo z cosϕcosδ, dobimo enaˇ cbo za ˇ casovni kot cosH v,z vzida oziroma zaida: cosH v,z =−tgϕtgδ. V primeru vzida upoštevamo negativno vrednostˇ ca- sovnega kota, v primeru zaida pa pozitivno. Azimutni enaˇ cbi Zdaj smo uporabili kosinusni izrek za kot 180°−A, kjer jeA azimut zvezde. Velja cos(90 ◦ −δ)=cos(90 ◦ −h)cos(90 ◦ −ϕ) +sin(90 ◦ −h)sin(90 ◦ −ϕ)cos(180 ◦ −A), sinδ=sinhsinϕ−coshcosϕcosA, izˇ cesarlahkoizrazimocosAindobimoprvoazimu- tno enaˇ cbo: cosA=− sinδ−sinϕsinh cosϕcosh . Ponovno lahko pogledamo posebni primer, ko zvez- da vzide bodisi zaide in velja h= 0. Za azimut A v,z vzida oziroma zaida zgornja enaˇ cba preide v cosA v,z =− sinδ cosϕ . Za opazovani trikotnik lahko zapišemo tudi sinusni izrek, s katerim povežemo kota H in 180°−A ter njuni nasproti ležeˇ ci stranici. Tako dobimo drugo azimutnoenaˇ cbo,kiazimutzvezdepovežeznjenim ˇ casovnim kotomH, deklinacijoδ in višinoh: cosA=− sinHcosδ cosh . Položaj Sonca na nebu Ker se Zemlja giblje okoli Sonca, se njegov položaj na nebu sˇ casom spreminja. Naj boL kotna razdalja Sonca od pomladišˇ ca, gledano v smeri, kot je ozna- ˇ cena na skici. Kot med ekliptiko in nebesnim ekva- torjemustrezaravnokotuε=23,5°, karjeposledica nagnjenosti Zemljine osi glede na pravokotnico na njen tir okoli Sonca. ˇ Ce za sferiˇ cni pravokotni triko- tnik zapišemo sinusni izrek, dobimo sinδ sinL = sinε sin90° , izˇ cesar sledi zveza za deklinacijo Sonca: sinδ ⊙ =sinεsinL. Za isti trikotnik lahko zapišemo tudi dva kosinusna izreka: cosδ=cosαcosL+sinαsinLcosε, cosL=cosαcosδ+sinαsinδcos90°, iz ˇ cesar lahko pridelamo enaˇ cbo za Sonˇ cevo rekta- scenzijo: tgα ⊙ =cosεtgL. Ker se Zemlja giblje okoli Sonca skoraj po krožnem tiru, tudi L v prvem približku narašˇ ca enakomerno. Njegovo velikost lahko izraˇ cunamo kot L= ∆ t 365,25 ·360°, kjer je ∆ t število dni od spomladanskega enakono- ˇ cja.  P50(2022/2023)6 22 γ L δ ⊙ α ⊙ SLIKA5. S pomoˇ cjo skice, ki prikazuje pot Sonca po ekliptiki, lahko iz- peljemo formuli za spreminjanje deklinacije in rektascenzije Sonca med letom. ˇ Cas Abstraktnostˇ casa je eno izmed najbolj skrivnostnih in zapletenih filozofskih vprašanj, ki se zdi, da ni- koli ne izgubi svoje aktualnosti. ˇ Ceprav je ˇ cas tako osnovni in morebiti samoumeven koncept, pa je pravzaprav zelo težko opredeljiv in razumljiv. V astronomiji v grobem loˇ cimo pojma zvezdni in Sonˇ cevˇ cas. Oba naˇ cina opredelitveˇ casa temeljita na opazovanjugibanjaZemljegledenagibanjezvezdin Sonca. Zvezdniˇ cas je povezan sˇ casom, ki ga potre- buje Zemlja, da se enkrat zavrti okoli svoje osi glede nazvezde. Zvezdnidanjetakoˇ casovnirazmik,kiga potrebuje Zemlja, da se zavrti za 360 stopinj glede na primer na oddaljeno zvezdo, ki se nahaja na isti toˇ cki na nebu. Sonˇ cev ˇ cas pa je povezan s ˇ casom, ki ga potre- buje Zemlja, da se vrti enkrat okoli svoje osi glede na Sonce. To pomeni, da je Sonˇ cev dan ˇ casovni in- terval, ki ga potrebuje Zemlja, da se zavrti za 360 stopinj glede na Sonce. Ker pa se Zemlja giblje okoli Sonca po eliptiˇ cni orbiti, se dolžina Sonˇ cevega dne v razliˇ cnih delih leta razlikuje. V zimskem ˇ casu je Sonˇ cev dan krajši, v poletnem pa daljši. V povpreˇ cju pa je zaradi vrtenja Zemlje okoli Sonca zvezdni dan za približno 4 minute krajši od Sonˇ cevega. Zvezdniˇ casseuporabljazadoloˇ canjeˇ casavzvez- dnih navigacijskih sistemih, medtem ko se Sonˇ cev ˇ cas uporablja v vsakdanjih ˇ casovnih enotah, kot so ure,minuteinsekunde. Vendarpasovsodobnidobi ˇ casovneenote,kotjihpoznamovvsakdanjemživlje- nju, doloˇ cene s pomoˇ cjo mednarodnega ˇ casa (UTC), ki temelji na osnovi atomske ure, ki pa ne sledijo zvezdnemu ali Sonˇ cevemuˇ casu. V nadaljevanju bomo pojme, kot sta zvezdni ˇ cas in Sonˇ cev ˇ cas, natanˇ cneje definirali, hkrati pa ju bo- mopovezalisˇ casom,kigakaženašaurainskaterim se sreˇ camo v še tako dolgoˇ casnem vsakdanu. Zvezdniˇ cas Zvezdniˇ casmerimosˇ casovnimkotomtoˇ ckepomla- dišˇ ca in je enak vsoti rektascenzije α zvezde in nje- negaˇ casovnega kotaH: t ∗ =H γ =α+H. (2) Ko je pomladišˇ ce v kulminaciji, je zvezdni ˇ cas enak niˇ c. ˇ Casovni kotH A zvezde na geografski dolžiniλ A inˇ casovnikotistegatelesanagreenwiškempoldnev- nikuH G sta povezana z enaˇ cbo H A =H G +λ A . Sonˇ cevˇ cas Zavsakdanjorabozvezdniˇ casnipraktiˇ cen,sajtoˇ cka pomladišˇ canioˇ citnananebuintudinedoloˇ caritma našega življenja, tako kot ga Sonce. Za bitja na Zem- lji, ki so odvisna od Sonˇ ceve svetlobe, je torej ˇ cas bolj praktiˇ cno meriti glede na Sonce. Kot mero za pravi Sonˇ cevˇ cast ⊙ λ lahko izberemoˇ casovni kot pra- vegaSonca,enpraviSonˇ cevdanpajepresledekmed zaporednima kulminacijama pravega Sonca. Pravi Sonˇ cev ˇ cas t ⊙ λ je ˇ casovni presledek med dvema zaporednima kulminacijama Sonca na meri- dianu. Soncezazvezdamivsakdannapravi4minute zaostanka, kar v enem letu nanese za en dan. ˇ Ce bi med letom merili ta presledek oziroma dol- žino pravega Sonˇ cevega dneva, bi ugotovili, da se spreminja, ker rektascenzija Sonca ne narašˇ ca line- arno s ˇ casom zaradi dveh uˇ cinkov: zaradi eliptiˇ cno- sti Zemljinega tira se Sonce neenakomerno giblje po ekliptiki in enkrat prehiteva, drugiˇ c zaostaja. Ta uˇ ci- nek ima periodo enega leta. Poleg tega je ravnina ekliptike nagnjena glede na nebesni ekvator, zaradi ˇ cesarsevtrigonometriˇ cnihfunkcijahskrivadodatna funkcijaˇ casa, ki ima periodo pol leta. Zatozapotrebemerjenjaˇ casadefiniramosrednje Sonce in srednji Sonˇ cev ˇ cas t S λ . To je namišljeno  P50(2022/2023)6 23 telo,kisegibljeenakomernoponebesnemekvatorju in, tako kot pravo Sonce, naredi en obhod v enem letu. Ob pomladnem enakonoˇ cju je, tako kot pravo Sonce, v toˇ cki pomladišˇ ca (γ) in ima rektascenzijo α S = 0 h , nato pa njegova rektascenzija narašˇ ca line- arno sˇ casom. Definirajmo, da je srednji Sonˇ cev ˇ cas ˇ casovni kot srednjega Sonca: t S λ =H S , en srednji Sonˇ cev dan pa je presledek med zapore- dnima kulminacijama srednjega Sonca. Ker narašˇ ca α ⊙ S linearnosˇ casom,jedolžinasrednjegaSonˇ cevega dneva vedno enaka. Razliko med pravi sonˇ cevimˇ ca- som t ⊙ λ in srednjim sonˇ cevim ˇ casom t S λ imenujemo ˇ casovna enaˇ cba: ET =t ⊙ λ −t S λ . 0 50 100 150 200 250 300 350 −15 −12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12 15 18 Dan v letu Minute ˇ Casovna enaˇ cba SLIKA6. ˇ Casovna enaˇ cba za posamezni dan v letu. Mešˇ canskiˇ cas KerjedolžinasrednjegaSonˇ cevegadnevavednoena- ka(24h),zamerjenjeˇ casauporabimosrednjeSonce. A ker je za praktiˇ cno življenje nekoliko nerodno, da se srednji Sonˇ cev dan zaˇ cne sredi belega dne (ob zgornji kulminaciji srednjega Sonca), so uvedli me- šˇ canskiˇ cast m λ , ki ima zaˇ cetek štetja oziroma dneva premaknjen za pol dneva, zato moramo srednjemu Sonˇ cevemuˇ casu prišteti 12h: t m λ =t S λ +12h. Vsi do zdaj definirani ˇ casi: zvezdni, pravi Sonˇ cev, srednjiSonˇ cevinmešˇ canski,sokrajevniˇ casi,karpo- meni, da so odvisni od zemljepisne dolžine kraja λ, zatosmojimtudipripisalipripadajoˇ ciindeks,kinas na to opozarja. Univerzalniˇ cas− UT Po dogovoru je krajevni mešˇ canski ˇ cas na Greenwi- chu doloˇ cen kot UT (Universal time). S tem so me- šˇ canskiˇ casi v drugih krajih enaki t m λ =UT +λ. Conskiˇ cas V praksi je uveljavljen conski ˇ cas, ki za vse meridi- anske pasove širine 15 ◦ doloˇ ca enakˇ cas: t m λ =UT +n. Krajevni zvezdni ˇ cas t ∗ λ in ˇ cas, ki ga kaže naša ura t z n , povezuje zveza t ∗ λ =H+α=S(0 h UT)+λ+γ(t z n −n), kjer je γ = 366,25 365,25 faktor pretvorbe med zvezdnimi in ˇ casovnimi sonˇ cevimi enotami, n ˇ casovni pas in S(0 UT) krajevni zvezdni ˇ cas na Greenwichu ob UT = 0 h, ki ga za vsak dan v letu najdemo v ta- belah. V poletnem ˇ casu so številne države zaradi ener- getskihrazlogovuveljavilepoletniˇ cas,kizaenouro prehiteva obiˇ cajni ˇ cas. V državah Evropske unije se poletni ˇ cas zaˇ cne zadnjo nedeljo v marcu ob 1. uri zjutraj, ko se ura premakne za eno uro naprej, in konˇ ca zadnjo nedeljo v oktobru ob 1. uri, ko se ura premakne nazaj. Tako v Sloveniji v zimskem ˇ casu pripadamoˇ casovnemupasuUT+1,vpoletnemˇ casu paˇ casovnemu pasuUT +2. Literatura [1] H. Karttunen, P. Kröger, H. Oja, M. Poutanen, K. J. Donner, Fundametnal astronomy, fifth edition, Helsinki, Springer, 2007. [2] F. Avsec in M. Prosen, Astronomija, DMFA – zalo- žništvo, Ljubljana, 2006. ×××