i
i
“763-Vukman-ONekaterih” — 2010/6/9 — 9:26 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 12 (1984/1985)
Številka 5
Strani 229–232
Joso Vukman:
O NEKATERIH NEREŠENIH PROBLEMIH IZ TEO-
RIJE ŠTEVIL
Ključne besede: matematika, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/12/763-Vukman.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
o NEKATERIH NEREŠENIH
PROBLEMIH IZ TEORIJE ŠTEVIL
Znanost se izredno hitro razvija, saj skoraj ne mine dan, da ne bi zvedeli za ka-
ko pomembno znanstveno odkritje. Ali bo znanost sčasoma naš la odgovore na
vse probleme, ki jih danes še ne znamo rešiti? Težko si je predstavljati, da se
bomo kdaj dokopali do dokončnih spoznanj. saj se nam z razširitvijo enega
problema običajno pojav i vrsta novih. Tudi matematika je v zadnjih stoletjih
napredovala z vel ikimi koraki, njen razvoj v zadnjih desetletjih pa je tak, da
danes ni več matematika, ki bi se lahko pohvalil, da obvlada vso matematiko.
Toda kljub neslutenemu razvoju obstajajo več sto in celo več tisoč let stari ma-
tematični problemi, ki še vedno čakajo na rešitev. Na tovrstve probleme nale-
timo pogosto v teoriji števil, veji matematike, ki proučuje last nost i naravnih
oziroma celih števil. V tem sestavku si bomo ogledali nekatere nerešene pro-
bleme iz teorije števil, ki so po svoji formulaciji preprosti in lahko razumljivi,
njihove rešitve pa so tako zahtevne, da jim največji matematiki niso kos.
GOLDBACHOVA DOMNEVA
Goldbach (1690 - 1764) je leta 1742 izrekel naslednjo domnevo:
Vsako sodo število, ki je večje od dva, je vsota dveh praštevil.
Matematiki se že dobrih dvesto let ubadajo s tem problemom, vendar doslej te
domneve še nihče ni dokazal ne ovrgel.
MERSENNOVA PRAŠTEVILA
Dokažimo nas lednjo trditev:
Naj bo p naravno število. Če je 2p - 1 praštevilo , potem je tudi p praštevi lo.
Pišimo p v obliki p = mn, kjer je n praštevilo. Trditev bo dokazana , če dokaže-
mo, da je m = 1. Oglejmo si vsoto 1 + 2m + 22m + ... + 2(n .l)m . To je v bistvu
vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja. Prvi člen tega zaporedja je 1,
kvocient zaporedja pa ~. Z uporabo formule za vsoto členov geometrijskega
zaporedja dobimo 1 + 2m + 22m +oo. + 2(n-l)m = ((2m)n_1) /(2m - 1) . Z
upoštevanjem mn = p dobimo 2P - 1 = (2m - 1)(1 + 2m + 22m +Oo' +
229
2ln -1lml. Število 2P - 1 smo torej zapisali v obliki produkta dveh naravnih
števil. Ker je 2P - 1 praštevilo in je očitno, da je d rugi faktor večji od ena, mo-
ra bit i prvi faktor ena, to pa pomeni, da je m = 1.
Dokazali smo torej, da je p praštevilo , če je 2P - 1 praštevilo . Samo po sebi' se
vsiljuje naslednje vprašanje: ali velja ta trditev tudi v nasprotni smeri? Natan-
čneje povedano, ali je vedno 2P - 1 praštevilo, če je p praštevilo? Če za p vsta-
vimo zapovrstjo 2, 3 in 5, dobimo 3 , 7 in 31, torej praštevila, vendar to še ni-
česar ne dokazuje . Praštevila oblike ~ - 1 imenujemo po matematiku
Mersennu (1588 - 1648) Mersennova praštevila. Mersenne je vedel , da 2P - 1
ni vedno praštevi lo , če je p praštevilo, saj je poznal pr imer 2 1 1 - 1 = 2048-1=
= 23.89 in še mnogo drugih . S tem pa vsi problemi v zvezi z Mersennovimi
praštevili še niso rešeni. Do današnjih dni je namreč ostal odprt problem , ali
je Mersennovih praštevil neskončno ali pa samo končno mnogo .
V zvezi z Mersennovimi praštevili povejmo še to, da je Lucas leta 1876
do kazal, da je 2 1 2 7 - 1 praštevilo. Oglejmo si ta problem podrobneje , da si
vsaj pribl ižno predoč imo , s kakšnimi problemi se srečujejo matematiki , ki re-
šujejo probleme v t eo riji števil. Kako bi ugotovili naravo števila 2 1 2 7 - 1?
Preizkusiti je t reba zapovrstjo, ali je to število deljivo s kater im iz mecLP!'!š.!~y.U
3 , 5 , 7 , ' " . Če ni deljivo z nobenim pra številom, ki je manjše od "';2 1 2 7 - 1
(brez posebnih te žav se namreč do kaže, da z večjimi praštevil i n i potrebno
preizkušati] , potem je 2 1 2 7 - 1 praštevilo. V principu je enostavno, praktično
pa je ta način neizvedljiv . Števi lo 2 1 2 7 - 1 ima namreč, zapisano v desetiškem
sistemu , 39 mest in opisani pos topek bi vze l preveč časa vsakemu računarju,
opremljenemu z naj sodo bnejšim računalnikom. Lucas se je torej moral pri
reševanju problema dokopati do ideje, ki je spravila nalogo v okvir računskih
zmogljivosti, in v tem je vrednost tega njegovega prispevka v teoriji št evil.
PERFEKTNA ŠTEVILA
Obstajajo naravna števila , ki so enaka vsoti vseh svojih deliteljev, manjših od
števila samega. Števila s to lastnostjo bomo imenovali perfektna. Perfektni
števili sta na primer 6 in 28 , saj je 1 + 2 + 3 = 6,1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Per-
fektna števi la so poznali že stari Grki. Res je, da so vedeli le za štiri perfektna
števila, poleg 6 in 28 še 496 in 8128, vendar je že Evklid (3 . st . pred . n. št.) do-
kazal naslednjo trditev :
Naj bo p naravno štev ilo. Če je 2P - 1 praštevilo, potem je število 2p -1(2P - 1)
perfektno.
230
Euler (1707 - 1783) je Evklidov rezultat dopol nil s tem, da je dokazal verjet-
• nost trditve v nasp rotn i smeri :
Vsako sodo perfektno število lahko zapišemo v obliki 2P - 1(~ - 1), pri čemer
je 2P - 1 praštevilo.
Obe trd itvi skupaj bomo Evklidu in Eulerju na čast imenovali Evklid-Eul erjev
izrek . Ker je dokaz tega izreka prezahteven, ga opuščamo. Z Evklid-Eu lerje vim
izrekom smo torej dobili zvezo med sodimi perfektnimi števili in Mersennovimi
praštevili . Kak o pa je zlihimi perfektnimi števili? S tem vprašanjem smo spet
pri problemu, ki ga doslej še nihče ni rešil. Vsa doslej znana perfektna števila so
namreč soda. Ni znano, če liha perfektna št evila sploh obstajajo, vendar je
matematikom usp elo dokazati naslednje : če obstaja kakšno liho perfektno šte-
vilo, potem je to število zelo veliko. Pa tudi s sodimi perfektnimi števili so še
vedno težave. Res je, da jih danes poznamo več, kot so jih poznali Grki, toda
še vedno ni znano, če je sodih perfektnih števil neskončno ali samo končno
mnogo. Evklid -Eulerjev izrek nam n am reč štud ij sod ih pe rfektn ih števil preve-
de na študij Mersennovih praštevil, zato je problem končnosti oziroma neskon-
čnosti števila sodih perfektnih števil v tesni zvezi s problemom končnosti oziro-
ma neskončnosti Mersennov ih praštev il.
PITAGOREJSKE TROJICE IN FERMATOV PROBLEM
Če v pravokotnem trikotniku meri ena kateta 3, druga pa 4 enote, je do lžina
hip otenuze 5 enot. O tem nas prepriča Pitagorov izrek, saj je 32 + 42 = 52.
Tr ikotnik s stranicami 3, 4 in 5 enot so že pred tisočletji uporabljali Egipčani
za konstrukcijo pravega kota. Trojici št evi l 3,4, 5 pravimo pitagorejska trojica .
V splošnem imenujemo pitagorejsko trojico vsako trojico naravnih števi l x, V,
z, ki ustreza enačbi x 2 + V2 =Z 2. Takih pitagorejskih trojic je neskončno mno-
go, saj je na dlani, da je pri po ljubnem naravnem št evilu n t rojica 3n, 4n, 5n tu-
di pitagorejska. Kaj pa, če vzamemo namesto enačbe x 2 + V2 = Z 2 enačbo
x 3 + V3 = z3 t ali pa splošno, enačbo x " + Vn = z", kjer je ek sponent n poljubno
naravno število, večje od dva. Ali obst aja tud i v tem primeru trojica naravnih
ali pa vsaj trojica od nič razl ičnih cel ih števil x, V, z, ki reši enačbo? S tem
vprašanjem smo že pri slovitem Fermatovem problemu. Fermat (1601 - 1665)
je namreč trdi l, da obstajajo t ri od nič raz li č na cela št evila x, V, Z, ki ustrezajo
enačbi x" + yn =zn le v primeru, ko je n = 2, za vsa naravna števila , ki so večja
od dva, pa tak ih treh od nič različnih celih števi l ni . Na rob neke knjige je
Fermat zapisal , da ima dokaz za svojo trditev, vend ar ga zaradi premajhnega ro -
231