i
i
“kolofon” — 2020/8/21 — 11:32 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAREC 2020, letnik 67, številka 2, strani 41–80
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2020 DMFA Slovenije – 2118 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
PREPOGIBANJE PAPIRJA, PODVOJITEV KOCKE IN
SLUSOVA KONHOIDA
MARKO RAZPET IN NADA RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
S prepogibanjem papirja lahko določimo točko, ki razdeli stranico kvadrata v razmerju
1 : 3
√
2. Ta točka je presečǐsče stranice kvadrata in Slusove konhoide, ki je tudi nožǐsčna
krivulja parabole.
PAPER FOLDING, DUPLICATION OF CUBE AND CONCHOID OF DE
SLUZE
By paper folding we can determine a point that divides the side of a square in ratio
1 : 3
√
2. This point is the intersection of this side and a conchoid of de Sluze which is also
the pedal curve of a parabola.
Uvod
Podvojitev kocke, tretjinjenje kota in kvadratura kroga so trije klasični grški
geometrijski problemi, ki se jih ne da rešiti samo z neoznačenim ravnilom in
šestilom, kar so dokazali šele v 19. stoletju. Prvi problem zahteva določiti
rob kocke, ki ima prostornino enako dvakratniku prostornine dane kocke. To
pomeni, da je treba za dano daljico a konstruirati tako daljico b, za katero
je b = a 3
√
2. Pri drugem problemu je treba dani kot razdeliti na tri enake
dele, pri tretjem pa pretvoriti krog v ploščinsko enak kvadrat.
Grki so znali rešiti te tri probleme na poseben način. Problem podvojitve
kocke so rešili z Dioklovo cisoido in z uporabo stožnic, kvadraturo kroga
z Arhimedovo spiralo ali pa s Hipijevo kvadratriso in tretjinjenje kota z
Nikomedovo konhoido. Za risanje nekaterih od teh krivulj so imeli Grki
izdelana tudi posebna mehanska orodja.
Poglejmo, kako lahko rešimo problem podvojitve kocke oziroma kako
konstruiramo a 3
√
2 z uporabo dveh kotnikov, kot kaže slika 1. Ustrezno
stranico za podvojitev kocke dobimo z vǐsinskim izrekom za pravokotni tri-
kotnik BCD in z razmerjem stranic podobnih trikotnikov AED in CEB:
x2 = ay,
a
x
=
y
b
, ab = xy, x3 = a2b.
Če je b = 2a, potem je x = a 3
√
2. To konstrukcijo imenujejo tudi Platonova
podvojitev kocke (povzeto po [1]).
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 41
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 1. Podvojitev kocke z dvema kotnikoma. Če je b = 2a, je x3 = 2a3, torej x = a 3
√
2.
S prepogibanjem papirja do 3
√
2
Problem podvojitve kocke pa lahko rešimo tudi s prepogibanjem papirja.
Poglejmo, kako to naredimo (več o tem v [2]).
Najprej vzamemo kvadratni list papirja in ga razdelimo na tri skladne
dele tako, kot kaže slika 2. Kvadrat najprej prepognemo po navpični sime-
trali NO, razgrnemo in prepognemo po diagonali DB ter razgrnemo. Nato
prepognemo po diagonali NC pravokotnika NBCO. Presečǐsče diagonal
NC in DB je točka P .
Naredimo prepogib skozi točko P tako, da točki C in B drsita po vo-
doravnih stranicah kvadrata. Dobimo pregib GH. Pravokotnik AGHD
razpolovimo po njegovi navpični simetrali in dobimo pregib EF . Kvadrat
smo s tem razdelili na tri skladne pravokotnike: AEFD, EGHF in GBCH.
To res velja, ker je razdalja točke P od stranice BC (in tudi od AB) enaka
c = a/3. Da to dokažemo, vpeljemo pravokotni kartezični koordinatni sis-
tem z izhodǐsčem v oglǐsču A, abscisno osjo v smeri stranice AB in ordinatno
osjo v smeri stranice AD. Iz slike 2 razberemo enačbi premic skozi D in B
ter skozi N in C:
x+ y = a, y = 2x− a.
Njuno presečǐsče je točka P (2c, c).
Zdaj pa prepognemo kvadrat tako, da pade oglǐsče A na stranico DC
in točka E na daljico GH. Prepogib poteka po daljici TT ′. Sliki točk A in
42 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
E pri zrcaljenju čez daljico TT ′ ustrezno imenujemo A′ in E′. Trdimo, da
tedaj velja |DA′| : |A′C| = 1 : 3
√
2.
Dokaz ni težak. Da bo hitreǰsi, vzemimo |DA′| = 1, |TD| = d in |A′C| =
ξ. S tem je stranica kvadrata a = 1 + ξ in |A′H| = |DC| − |DA′| − |HC| =
(2ξ − 1)/3. Potem veljajo relacije:
Slika 2. Kvadratni list papirja razdelimo na tri skladne dele, potem pa list prepognemo
tako, kot kaže desna slika. Velja relacija |A′C| : |DA′| = 3
√
2.
|DA′| = 1, |A′C| = ξ, |A′T | = |AT | = 1 + ξ − d, |A′E′| = 1 + ξ
3
.
Iz pravokotnega trikotnika TA′D sledi:
d2 + 1 = (1 + ξ − d)2 ⇒ d = ξ
2 + 2ξ
2ξ + 2
.
Iz podobnih trikotnikov DTA′ in HA′E′ pa dobimo:
d
1 + ξ − d
=
2ξ − 1
ξ + 1
,
ξ2 + 2ξ
ξ2 + 2ξ + 2
=
2ξ − 1
ξ + 1
,
ξ3 + 3ξ2 + 2ξ = 2ξ3 + 3ξ2 + 2ξ − 2 ⇒ ξ3 = 2 ⇒ ξ = 3
√
2.
Torej nam konstrukcija omogoča delitev daljice v razmerju 1 : 3
√
2, pa tudi
konstrukcijo daljice dolžine b = a 3
√
2 za poljubno daljico dolžine a.
V opisani konstrukciji se število 3
√
2 pojavi še enkrat. Razmerje med
|GE′| − c in c, kjer je c = a/3, je
|GE′| − c
c
=
2ξ2 + 2
ξ2 + 2ξ
=
ξ(2ξ + 2/ξ)
ξ2 + 2ξ
=
ξ(2ξ + ξ2)
ξ2 + 2ξ
= ξ.
41–51 43
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Upoštevali smo zvezo ξ3 = 2 oziroma 2/ξ = ξ2. Torej je
|GE′| − c
c
= ξ =
3
√
2.
Kako pa tako prepogibanje opǐsemo analitično? Izračunati moramo koordi-
nati točke A′. Za stranico kvadrata bomo vzeli a = 3c, tako da laže kvadrat
razdelimo na tri skladne pravokotnike s stranicama a in c (slika 3).
Slika 3. Kvadrat postavimo v prvi kvadrant. Osnovnica kvadrata je 3c. Ko točka K
potuje po premici skozi G in H, točka J opisuje krivuljo K.
Tako kot prej kvadrat ABCD razdelimo z navpičnima daljicama EF in
GH na tri skladne dele. Na premici skozi G in H izberemo točko K(2c, t).
Sredǐsče daljice EK je točka L(3c/2, t/2). Simetrala daljice EK je premica
z enačbo
y − t
2
= −c
t
(
x− 3c
2
)
. (1)
Torej je točkaK zrcalna slika točke E(c, 0) prek premice (1). Prek te premice
prezrcalimo tudi točko A in njeno sliko imenujmo J . Zrcalni točki K in J
ustrezata slikama točk E in A po prepogibanju papirja vzdolž premice (1).
Premica skozi A, na kateri leži točka J , je vzporedna z daljico EK. Torej
je njena enačba
y =
tx
c
. (2)
44 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Presečǐsče premic (1) in (2) je točka M . Njeni koordinati sta:
xM =
c(t2 + 3c2)
2(t2 + c2)
, yM =
t(t2 + 3c2)
2(t2 + c2)
. (3)
Ker je točka M sredǐsče daljice AJ , hitro dobimo za točko J koordinati,
ki sta dvakratnika koordinat točke M :
xJ =
c(t2 + 3c2)
t2 + c2
, yJ =
t(t2 + 3c2)
t2 + c2
. (4)
Ko točka K potuje po premici skozi H in G, točka J opisuje krivuljo K,
katere parametrični enačbi sta:
x =
c(t2 + 3c2)
t2 + c2
, y =
t(t2 + 3c2)
t2 + c2
. (5)
Hitro najdemo iz enačb (5) asimptoto krivulje K. To je premica x = c. Ko
namreč |t| narašča prek vseh meja, raste tudi |y| prek vseh meja, x pa se
bliža c. Krivulja K je simetrična glede na stranico AB.
Iz enačb (5) izločimo parameter t, ki mu dovolimo vse realne vrednosti.
Ker je v (5) x 6= 0, je iz (2) t = cy/x, kar vstavimo v prvo enačbo v (5) in
dobimo
x =
c(3x2 + y2)
x2 + y2
. (6)
Našli smo krivuljo z implicitno enačbo
x(x2 + y2)− c(3x2 + y2) = 0, (7)
ki spada v družino Slusovih1 konhoid2. Splošna Slusova konhoida ima
enačbo x(x2 + y2)− (αx2 + βy2) = 0, kjer sta α in β realni konstanti.
Točka A(0, 0) je izolirana točka krivulje (7). Če točko A z nje odstra-
nimo, dobimo krivuljo K.
Kje krivulja K preseka stranico DC kvadrata ABCD? Poǐsčimo njeno
presečǐsče s stranico CD, to je presečǐsče s premico y = 3c. Iz (7) dobimo
za y = 3c kubično enačbo
x3 − 3cx2 + 9c2x− 9c3 = 0,
1René-François Walter de Sluse (1622–1685), tudi Sluze, latinizirano Renatus Franci-
scus Slusius, je bil valonski matematik in kanonik.
2Iz grške besede kónche, kar pomeni školjka.
41–51 45
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
ki ima edino realno rešitev
x1 = |DN | = c( 3
√
4− 3
√
2 + 1) = c(ξ2 − ξ + 1).
Dobimo jo s Cardanovimi formulami za korene kubične enačbe. Zato velja
|NC| = 3c− |DN |. Z upoštevanjem zveze 2/ξ = ξ2, dobimo
|NC| = c(2+ξ−ξ2) = cξ(2/ξ+1−ξ) = cξ(ξ2 +1−ξ) = |DN |ξ = |DN | 3
√
2.
Torej točka N deli stranico DC v razmerju 1 : 3
√
2, kar smo želeli pokazati.
Za t = 0 doseže krivulja K točko B, kjer ima navpično tangento, točko N in
njeno zrcalno sliko N ′ čez stranico AB pa za t = ±c(1 + ξ). Za t = ±c ima
krivulja K prevoja v točkah P1,2(2c,±2c), v katerih sta smerna koeficienta
tangent enaka ∓1. Prevoj P1 je v presečǐsču daljice GH, diagonale AC in
konhoide.
Zapǐsimo krivuljo K še v polarni obliki. V ta namen implicitno enačbo
(7) preoblikujemo v
(x− c)(x2 + y2)− 2cx2 = 0 (8)
ter nato z uvedbo polarnih koordinat r in ϕ v polarno obliko
r = c(secϕ+ 2 cosϕ). (9)
Pri tem je secϕ = 1/ cosϕ.
Slika 4. Ploščina lika med konhoido in njeno asimptoto je πa2/3.
Izračunajmo še ploščino S lika med konhoido (9) in njeno asimptoto
x = c (slika 4). Najprej zapǐsimo
x = r cosϕ = c(1 + 2 cos2 ϕ),
y = r sinϕ = c(tgϕ+ sin 2ϕ),
dx = −2c sin 2ϕdϕ.
46 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Ploščina lika je potem
S = 2
∫ 3c
c
y dx = −4c2
∫ 0
π/2
(tgϕ+ sin 2ϕ) sin 2ϕdϕ = 3πc2 =
πa2
3
.
Ploščina lika je torej enaka tretjini ploščine kroga s polmerom a.
Povezava med parabolo in krivuljo K
Nožǐsčna krivulja dane krivulje L glede na točko P je, po [3], množica pra-
vokotnih projekcij (nožǐsč) točke P na vse tangente krivulje L. Dokazali
bomo, da je nožǐsčna krivulja parabole y2 = −4c(x − 3c) glede na oglǐsče
A ravno obravnavana krivulja K. Parabola ima parameter p = 2c, gorǐsče
v točki G(2c, 0) in teme v točki B(3c, 0) (slika 5). Najprej v poljubni točki
V (s, 2t) parabole konstruiramo tangento. Nato pa spustimo pravokotnico
iz točke A(0, 0) na to tangento. Dobimo presečǐsče T (x, y). Ko točka V po-
tuje po paraboli oziroma ko se parameter t spreminja po realnih vrednostih,
točka T opisuje krivuljo K (slika 5).
Ker je za parabolo y′ = −2c/y, je smerni koeficient tangente na parabolo
v točki V enak −c/t. Enačba tangente na parabolo v točki V (s, 2t) je:
y − 2t = −c
t
(
x− 3c
2 − t2
c
)
. (10)
Pravokotnica iz točke A(0, 0) na tangento pa ima enačbo:
y =
tx
c
. (11)
Presečǐsče premic (10) in (11) je točka T s koordinatama
xT =
c(t2 + 3c2)
t2 + c2
, yT =
t(t2 + 3c2)
t2 + c2
. (12)
Točka T opisuje krivuljo, ko teče parameter t po realnih vrednostih. Ko
primerjamo enačbi (12) z enačbama (5), ugotovimo, da je nožǐsčna krivulja
parabole y2 = −4c(x− 3c) glede na oglǐsče A krivulja K.
Parabola in krivulja K imata tri skupne točke: teme B(3c, 0) ter pre-
voja P1(2c, 2c) in P2(2c,−2c). V teh točkah imata K in parabola skupne
tangente.
41–51 47
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 5. Ko točka V (s, 2t) potuje po paraboli, točka T opisuje Slusovo konhoido. Nožǐsčna
krivulja parabole je Slusova konhoida.
Inverzija konhoide glede na krožnico
Krožnica naj ima sredǐsče v točki A(0, 0) in polmer a = 3c. Enačbo krivu-
lje, ki nastane z inverzijo krivulje K na tej krožnici, dobimo, če izvedemo
substitucijo
x→ 9c
2x
x2 + y2
, y → 9c
2y
x2 + y2
v enačbi (7). Dobimo:
3x2 − 9cx+ y2 = 0. (13)
To je enačba elipse, ki je načrtana na sliki 6. Poteka skozi točki A in
B. Brez težav poǐsčemo njeno sredǐsče in polosi, če zapǐsemo enačbo (13) v
enakovredni obliki: (
x− 3c
2
)2
+
y2
3
=
9c2
4
. (14)
Sredǐsče elipse je točka S(3c/2, 0), polosi pa sta 3c/2 in 3c
√
3/2.
48 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Slika 6. Inverzija Slusove konhoide glede na krožnico je elipsa.
Elipsa, krožnica in konhoida imajo tri skupne točke. To so
C1(3c/2, 3c
√
3/2), D1(3c/2,−3c
√
3/2) in B(3c, 0). Gorǐsči elipse sta v toč-
kah F1(3c/2, 3c
√
2/2) in F2(3c/2,−3c
√
2/2).
Slusova konhoida in zlati pravokotnik
Poǐsčimo presečǐsče krivulje K s premico x = 4c/3. V kvadratu ABCD
dobimo točko F (4c/3, 4c
√
5/3) (slika 7).
Narǐsemo krožnico s sredǐsčem v F in polmerom 4c/3. Presečǐsči krožnice
in premice x = 4c/3 sta točki H1(4c/3, 4c(
√
5 − 1)/3) in H2(4c/3, 4c(
√
5 +
1)/3). Krožnici očrtamo kvadrat D1C1C2D2, ki ima za eno simetralo pre-
mico x = 4c/3. Pravokotnik AB1C1D1 ima torej stranici
|AB1| =
8c
3
, |AD1| =
4c
3
(
√
5− 1),
ki sta v razmerju
|AB1|
|AD1|
=
2√
5− 1
=
1 +
√
5
2
= Φ,
to se pravi v zlatem razmerju. Zato je štirikotnik AB1C1D1 zlati pravoko-
tnik. Prav tako je zlati pravokotnik štirikotnik AB1C2D2.
41–51 49
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 50 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 7. Točka F (4c/3, 4c
√
5/3) leži na konhoidi. Štirikotnika AB1C1D1 in AB1C2D2
sta zlata pravokotnika.
Načrtovanje Slusove konhoide po točkah
Za konec si oglejmo, kako pridemo do konhoide z načrtovanjem po točkah.
Pri tem nam pomaga polarna oblika (9), če jo zapǐsemo v obliki
r = c secϕ+ 2c cosϕ.
Prvi člen
r1 = c secϕ
je enačba premice x = c v polarni obliki, drugi člen
r2 = 2c cosϕ
pa polarna oblika krožnice (x − c)2 + y2 = c2. To pomeni, da je Slusova
konhoida na neki način vsota premice in krožnice, kar omogoča njeno načr-
tovanje po točkah.
V ta namen najprej narǐsemo krožnico s sredǐsčem v točki S(c, 0) in
polmerom c ter pravokotnico skozi njeno sredǐsče na izbrani premer. Iz
krajǐsča premera O(0, 0) narǐsemo poltrak pod nekim kotom ϕ glede na
premer. Poǐsčemo presečǐsči T1 in T2 poltraka s pravokotnico skozi sredǐsče
krožnice in s krožnico. Nato pa daljico r2 = |OT2| podalǰsamo z daljico
r1 = |OT1|, tako da dobimo daljico |OT | = r1 + r2 (slika 8). Točka T je na
Slusovi konhoidi. Konstrukcijo ponovimo za več kotov ϕ in dobljene točke
s krivuljnikom povežemo v krivuljo.
50 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/7 — 8:53 — page 51 — #11 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
Slika 8. Risanje Slusove konhoide po točkah.
Za konec
Od prepogibanja papirja smo prǐsli do krivulje K, ki ima zanimive lastno-
sti. Z računanjem se nam ni treba posebej ukvarjati, če imamo na voljo
katerega izmed programov za dinamično geometrijo in morda še Derive ali
Mathematico, ki hitro rešujeta sisteme enačb in poenostavljata marsikateri
izračun. Skoraj vse naštete probleme lahko rešijo srednješolci, saj zahtevajo
le osnovna znanja iz geometrije in algebre.
LITERATURA
[1] G. E. Martin, Geometric Constructions, Springer, New York in drugje, 1998.
[2] T. Hull, Project Origami, Activities for Exploring Mathematics, Second Edition, CRC
Press, 2013.
[3] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
41–51 51
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 52 — #1 i
i
i
i
i
i
POPOLNA PRIREJANJA PO PRAVILNIH POLIEDRIH
SIMON ČOPAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Ključne besede: popolno prirejanje, pravilni poliedri, teorija grafov, točkovne grupe
Popolno prirejanje oziroma 1-faktor grafa je razdelitev sosednjih vozlǐsč grafa v pare,
tako da vsako vozlǐsče uporabimo natanko enkrat, če taka razdelitev sploh obstaja. Ogle-
dali si bomo popolna prirejanja na pravilnih poliedrih ter raziskali število takih prirejanj
in njihove simetrije.
PERFECT MATCHING ON REGULAR POLYHEDRA
A perfect matching, or a 1-factor of a graph, is a partitioning of neighbouring graph
vertices into pairs, such that each vertex is only used once. We will look into perfect
matching of vertices on regular polyhedra and investigate the number of such matchings
and their symmetries.
Uvod
Za motivacijo si oglejmo dodekaedra s pobarvanimi robovi na sliki na na-
slovnici. Sta enaka, le drugače zasukana, ali sta mogoče različna? Na koliko
načinov lahko pobarvamo robove, da vsako oglǐsče pripada natanko enemu
pobarvanemu robu? Takšna vprašanja so si zastavljali kemiki pri raziskova-
nju zgradbe benzena [5], splošnih aromatskih spojin [7] in fulerenov. Oglji-
kovi atomi so 4-valentni, in če so vezani na tri druge atome, je le ena izmed
vezi lahko dvojna. Razporeditvam dvojnih vezi pravimo Kekulejeve1 struk-
ture [2, 1, 4].
Slika 1. Trije nabori povezav istega grafa. Povezave (a) ne predstavljajo prirejanja, saj
je rdeče vozlǐsče povezano dvakrat. Prirejanje (b) ni popolno, saj sivi vozlǐsči nista del
povezave. Povezave (c) so primer popolnega prirejanja.
1Friedrich August Kekulé (1829–1896), nemški kemik
52 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 53 — #2 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
V kontekstu teorije grafov take strukture ustrezajo popolnim prirejanjem
[6]. Prirejanje je vsaka razdelitev vozlǐsč grafa v povezane pare brez skupnih
vozlǐsč. Prirejanje je popolno, če nobeno vozlǐsče ne ostane nepovezano
(glej sliko 1). Na poliedru si iskanje popolnega prirejanja lahko nazorno
predstavljamo z izbiranjem povezav med oglǐsči. V posplošenem smislu
bomo iskali tudi popolna prirejanja grafa, ki sestoji iz robov poliedra ter
diagonal njegovih ploskev, kar bomo imenovali ploskovno popolno prirejanje.
Poliedri niso abstraktni grafi, ki bi vsebovali le informacijo o povezanosti
vozlǐsč, temveč so vpeti v tridimenzionalni prostor in nosijo različne rota-
cijske simetrije. S simetrijami se ukvarja teorija grup, ki nam daje orodja
za opis simetrijskih lastnosti.
Preštevanje in klasifikacija vseh popolnih prirejanj grafa je zahtevno
kombinatorično vprašanje. V nadaljevanju si bomo ogledali algoritem za
sistematično številčenje in popis različnih popolnih prirejanj na platonskih
telesih ter na prisekanem ikozaedru.
Algoritem za številčenje
Popolna prirejanja za izbrani polieder bomo iskali v dveh korakih. V prvem
koraku bomo poiskali vsa veljavna popolna prirejanja poliedru prirejenega
grafa, ne glede na simetrije. V drugem koraku bomo odstranili prirejanja,
ki so podvojena, le različno zasukana.
Za opis prirejanj oglǐsča označimo s števili od 1 do n. Robovi poliedra
so predstavljeni z neurejenimi pari števil, množica vseh robov pa določa
graf poliedra. V prirejanju vrstni red parov ni pomemben, prav tako ni
pomemben vrstni red oglǐsč v paru. Da prirejanj ne štejemo večkrat, jih
označimo tako, da sta oznaki v vsakem paru urejeni po velikosti, pari med
seboj pa po velikosti prve oznake v paru.
Za poln graf (graf, ki ima vsa vozlǐsča povezana med seboj) je torej prvo
vozlǐsče prvega para vedno 1, drugo izbiramo med preostalimi n− 1, tretje
je spet enolično določeno kot najmanǰse izmed preostalih, sledi izbira med
n− 3 ostalimi in tako naprej, kar nas privede do (n− 1)!! možnih prirejanj.
Z izjemo tetraedra poliedri niso polni grafi, zato ni vsaka na zgornji
način izbrana povezava del grafa. Prirejanja gradimo s postopnim doda-
janjem parov vozlǐsč obstoječim delnim prirejanjem, pri čemer za vsako
dodano povezavo sproti preverimo, ali je del grafa. Za grafe poliedrov, ki
imajo sorazmerno malo povezav, to močno zmanǰsa računsko zahtevnost v
primerjavi s preverjanjem vseh (n− 1)!! množic parov vozlǐsč. Še vedno pa
je delnih prirejanj, ki jih moramo preveriti v vmesnih korakih, več kot na
koncu dobljenih popolnih prirejanj. Pri nekaterih delnih prirejanjih, šele ko
poskusimo dodati zadnji par vozlǐsč, ugotovimo, da se ne izide. Maksimalno
število delnih prirejanj je zaradi porabe spomina in časovne zahtevnosti ozko
grlo algoritma.
52–61 53
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 54 — #3 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
Sledi minimalna koda v Pythonu, ki vrne seznam vseh popolnih prirejanj
za poljuben graf, podan z množico povezav v obliki parov vozlǐsč. Oznake
vozlǐsč za graf oktaedra, podan v kodi, so prikazane na sliki 2.
# vrača seznam prirejanj iz podanega prirejanja z dodanim parom
def dodaj_rob(prirejanje, n, robovi):
# poiščemo vozlišča, ki jih še nismo uporabili
ostali=[ i for i in range(1,n+1) if i not in prirejanje ]
# dodamo par na vse možne načine,
# ki so med dovoljenimi robovi
return [ prirejanje + [ostali[0],i]
for i in ostali[1:] if (ostali[0],i) in robovi ]
def poisci_prirejanja(n, robovi):
# začnemo s seznamom enega praznega prirejanja
prirejanja = [ [] ]
# dodajamo pare postopoma, potrebujemo n/2 parov
for _ in range(n//2):
# p teče po starih prirejanjih
# q teče po novih z dodanim enim parom
prirejanja = [ q for p in prirejanja
for q in dodaj_rob(p, n, robovi) ]
return prirejanja
# primer klica za oktaeder (oznake v sliki 2)
robovi={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),
(2,6),(3,4),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}
poisci_prirejanja(6,robovi)
Prirejanja, ki jih simetrijske operacije poliedra preslikajo drugo v dru-
gega, štejemo v isti ekvivalenčni razred. Simetrijske preslikave pravilnih
poliedrov sestavljajo točkovno grupo G0, popolna prirejanja pa imajo pra-
viloma nižjo simetrijo – eno izmed podgrup G ⊂ G0 simetrijske grupe pr-
votnega poliedra. Enoličnost oštevilčenja zagotovimo tako, da na vsakem
prirejanju uporabimo vse preslikave iz simetrijske grupe G0 prvotnega poli-
edra, ter izberemo oštevilčenje z leksikografsko najnižjo vrednostjo. Hkrati
zabeležimo vse preslikave, ki prirejanje preslikajo samo vase, s čimer do-
bimo simetrijsko grupo posameznega prirejanja G. Red podgrupe |G| nam
pove število nerazločljivih orientacij prirejanja, kvocient |G0|/|G| pa govori
o številu različnih orientacij vsakega prirejanja.
Pomembna je tudi kiralnost oziroma simetričnost na neprave rotacije.
Zrcaljenja ne moremo izvesti s fizično rotacijo v prostoru, zato prirejanja,
ki niso ekvivalentna svoji zrcalni sliki, nastopajo v zrcalnih parih. Simetrijo
tistih prirejanj, ki so ekvivalentna svoji zrcalni sliki, opisujejo grupe rotacij
54 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 55 — #4 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
z zrcaljenji, ki imajo dvakrat večji red kot pripadajoča grupa pravih rotacij.
Grupe z nepravimi rotacijami bomo označevali z G∗.
Ko oglǐsčem priredimo oznake, lahko simetrijske operacije, v tem pri-
meru prave rotacije in rotacije z zrcaljenjem, predstavimo z bijektivnimi
preslikavami med oznakami. Preslikava {1 7→ 3, 2 7→ 1, 3 7→ 2, 4 7→ 4}
na primer predstavlja rotacijo tetraedra za 120◦ okrog oglǐsča 4. Ročno
generiranje preslikav bi bilo dolgotrajno, predvsem za grupo simetrij ikoza-
edra, ki ima 60 elementov. Dovolj je, da določimo preslikavi za generatorja
grupe. Celotno grupo potem dobimo tako, da z generatorji delujemo na že
znane elemente grupe, vse dokler postopek ne privede do nobenega novega
elementa več.
Zaradi večje kompleksnosti implementacijo simetrijskega koraka prepu-
stimo bralcu.
Tetraeder, oktaeder in ikozaeder
Najenostavneǰsi polieder v treh dimenzijah je simpleks – tetraeder. V do-
govorjenem oštevilčenju obstajajo le tri različna popolna prirejanja,
(1, 2)(3, 4) (1, 3)(2, 4) (1, 4)(2, 3),
ki jih z rotacijami lahko preslikamo drug v drugega. Za tetraeder je enolično
oštevilčenje edinega stanja (1, 2)(3, 4), z diedrsko simetrijsko grupo D2d, ki
ima red 8 (4 brez zrcaljenj).
Za graf oktaedra, ki ima 6 vozlǐsč, dobimo 8 popolnih prirejanj. Rota-
cije iz simetrijske grupe oktaedra pokažejo, da imamo le dve različni stanji,
(1, 2)(3, 4)(5, 6) ter (1, 2)(3, 6)(4, 5) (za oznake oglǐsč glej sliko 2), ki sesta-
vljata zrcalni par. Stanji imata diedrsko simetrijo D3 reda 6.
Zadnji izmed trikotnǐskih platonskih poliedrov je ikozaeder, ki ima 12
oglǐsč. Opisani algoritem obǐsče maksimalno 273 delnih prirejanj, na koncu
pa dobimo 125 veljavnih popolnih prirejanj, kar je občutno manj od 11!! =
10395 »surovih« oštevilčenj, ki bi jih dobili s slepim pregledom vseh možnih
množic parov oglǐsč.
Simetrijska grupa ikozaedra vsebuje 60 rotacij. Po eliminaciji simetrij-
sko identičnih prirejanj na ikozaedru jih ostane 8: trije zrcalni pari in dve
prirejanji, ki sta sami po sebi zrcalno simetrični. V tabeli 1 so zbrana vsa
popolna prirejanja skupaj s podatki o simetriji.
Nobeno izmed popolnih prirejanj ne ohrani polne ikozaedrične simetrije.
Najbolj simetrično stanje, prvo v tabeli 1, ima simetrijo tetraedra in spomni
na konstrukcijo ikozaedra iz treh medsebojno pravokotnih zlatih pravoko-
tnikov.
Če moč grupe poliedra, v tem primeru je to grupa ikozaedra, delimo z
močjo njene podgrupe, ki opisuje simetrijo posameznega prirejanja, dobimo
52–61 55
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 56 — #5 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
N
e
k
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
K
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2
34
5
6
7
8
9
1 0 11
12
1
2
3
4
5
6 7
8
9 1
0
1112
1 2
34
5
6
7
8
9
1 0 11
12
1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
G
(G
∗ )
T
(T
h
)
D
3
(D
3
d
)
D
3
D
2
C
2
|G
|
1
2
6
6
4
2
T
a
b
e
la
1
.
P
o
p
o
ln
a
p
ri
re
ja
n
ja
n
a
ik
o
za
ed
ru
,
ra
zv
rš
če
n
a
p
o
p
a
d
a
jo
či
si
m
et
ri
ji
.
D
v
e
st
a
n
ji
im
a
ta
zr
ca
ln
o
si
m
et
ri
jo
,
p
re
o
st
a
la
p
a
so
k
ir
a
ln
a
in
n
a
st
o
p
a
jo
v
zr
ca
ln
ih
p
a
ri
h
.
S
ta
n
ja
so
o
ri
en
ti
ra
n
a
ta
k
o
,
d
a
n
a
zo
rn
o
p
ri
ka
zu
je
jo
si
m
et
ri
jo
.
N
av
ed
en
e
so
g
ru
p
e
p
ra
v
ih
ro
ta
ci
j
G
,
z
g
ru
p
o
p
o
sp
lo
še
n
ih
ro
ta
ci
j
G
∗
n
av
ed
en
o
v
o
k
le
p
a
ju
v
p
ri
m
er
ih
n
ek
ir
a
ln
ih
p
ri
re
ja
n
j.
M
o
či
g
ru
p
|G
|n
a
m
p
ov
ed
o
št
ev
il
o
o
ri
en
ta
ci
j,
v
ka
te
ri
h
p
ri
re
ja
n
ja
iz
g
le
d
a
jo
en
a
k
o
.
M
o
č
g
ru
p
e
ik
o
za
ed
ra
(6
0
),
d
el
je
n
a
z
m
o
čj
o
p
o
d
g
ru
p
e
p
ra
v
ih
ro
ta
ci
j
|G
|,
n
a
m
p
ov
e
št
ev
il
o
ra
zl
ič
n
ih
o
ri
en
ta
ci
j
is
te
g
a
p
ri
re
ja
n
ja
.
56 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 57 — #6 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Slika 2. Edini različni popolni prirejanji na oktaedru. Prirejanji sta zrcalni, v prikazani
projekciji ravnino zrcaljenja napenjajo vozlǐsča (1, 2, 6, 4).
število različnih orientacij tega prirejanja. Vseh 125 veljavnih prirejanj
je torej razdeljeno na različno orientirane različice 8 različnih prirejanj iz
tabele 1 na način 125 = 60/12 + 60/6 + 2× 60/6 + 2× 60/4 + 2× 60/2.
Kocka, dodekaeder in nogometna žoga
Osnovne ploskve tetraedra, oktaedra in ikozaedra so trikotniki, zato lahko
njihova oglǐsča povežemo le z robovi samega poliedra ali pa skozi njegovo
notranjost, ki nas zaradi težke predstavljivosti in računske zahtevnosti ne
zanimajo. Za poliedre z drugačnimi osnovnimi ploskvami pa imamo na voljo
tudi diagonale ploskev. Graf povezav v tem primeru ni planaren, ampak
vsebuje vozlǐsča vǐsje stopnje.
Zastavimo posplošen problem, pri katerem dovolimo robove ter plo-
skovne diagonale poliedra pod pogojem, da se povezave ne sekajo. Te rešitve
bomo imenovali ploskovna popolna prirejanja in zahtevajo dodaten računski
korak, ki odstrani prirejanja, pri katerih se povezave na površini poliedra
sekajo.
S tem pogojem kljub neplanarnosti grafa ohranimo planarnost prirejanj,
kar pomeni, da jih lahko vložimo na površino poliedra. Ploskovna popolna
prirejanja torej lahko ǐsčemo s flomastrom in papirnatimi poliedri.
Za kocko najdemo 45 veljavnih ploskovnih popolnih prirejanj, od tega
7 različnih (tabela 2), ko upoštevamo učinek vseh 24 simetrij kocke. Tri
prirejanja so nekiralna, dve pa nastopata v kiralnih parih. Prvi dve prirejanji
v tabeli 2 vsebujeta le povezave vzdolž robov kocke in sta torej tudi popolni
52–61 57
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 58 — #7 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
N
e
k
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
K
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8 1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
G
(G
∗ )
D
4
(D
4
h
)
D
2
(D
2
d
)
D
2
(D
2
h
)
D
4
C
2
|G
|
8
4
4
8
2
T
a
b
e
la
2
.
P
lo
sk
ov
n
a
p
o
p
o
ln
a
p
ri
re
ja
n
ja
n
a
k
o
ck
i.
P
rv
i
d
v
e
v
se
b
u
je
ta
le
ro
b
ov
e
k
o
ck
e,
p
re
o
st
a
la
p
a
tu
d
i
d
ia
g
o
n
a
le
.
Z
a
n
ek
ir
a
ln
a
p
ri
re
ja
n
ja
st
a
n
av
ed
en
i
g
ru
p
a
p
ra
v
ih
ro
ta
ci
j
G
in
v
o
k
le
p
a
ju
g
ru
p
a
ro
ta
ci
j
z
zr
ca
lj
en
ji
.
58 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 59 — #8 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
prirejanji grafa kocke brez diagonal. Nobeno izmed prirejanj ne ohrani polne
simetrije kocke, prav tako pa nobeno ne izgubi vseh simetrij – najnižjo
simetrijo ima zadnje stanje v tabeli, ki ima zgolj eno dvoštevno os rotacije.
Rešitve za kocko so med drugim relevantne tudi kot načini povezovanja
defektov v tekočekristalnih koloidih [3].
Ploskovna prirejanja dodekaedra predstavljajo občutno večji računski
izziv. Skupaj s ploskovnimi diagonalami graf vsebuje 20 vozlǐsč, poveza-
nih s 90 povezavami. Maksimalno število delnih prirejanj med izvajanjem
algoritma je 406817, ki nato vrne 139083 dovoljenih popolnih prirejanj.
Končno število različnih popolnih prirejanj je bilo do sedaj razmeroma
majhno. Pri dodekaedru, ki si deli simetrijsko grupo z ikozaedrom, pa tudi
po upoštevanju simetrij ostane 2476 ploskovnih popolnih prirejanj, od tega
42 zrcalno simetričnih, preostala pa nastopajo v zrcalnih parih. Razvrstitev
prirejanj po simetriji je navedena v tabeli 3. Le tri izmed njih (slika 3)
vsebujejo samo robove dodekaedra in rešijo problem popolnih prirejanj za
graf dodekaedra.
S podrobno primerjavo ugotovimo, da sta dodekaedra na sliki na naslov-
nici dejansko različna. Čeprav smo dobili seznam vseh različnih prirejanj,
je naivna primerjava vzorčnega prirejanja s tem seznamom še vedno lahko
zamudna, saj v principu zahteva rotacijo strukture v vseh 60 orientacij in
primerjavo enakosti povezav v dani orientaciji. Da se temu izognemo, si
pomagamo z enostavno določljivimi invariantami. Invariante so količine,
neodvisne od orientacije – če imata dve konfiguraciji, v našem primeru dve
prirejanji, različni invarianti, sta zagotovo različni, s čimer si lahko zelo
zmanǰsamo število potrebnih primerjav. Za popolna prirejanja na dode-
kaedru je ena izmed invariant število ploskev, ki nimajo nobenega roba v
prirejanju. Levi dodekaeder na sliki na naslovnici ima dve taki ploskvi, desni
pa nobene, kar dokaže, da sta različna.
V primeru kocke (tabela 2) sta prikladni invarianti število diagonal ter
število različnih smeri povezav, ki zadostujeta za ločevanje vseh prirejanj,
z izjemo razločevanja pripadnikov zrcalnih parov, za kar bi potrebovali še
kiralno invarianto.
Za konec si oglejmo še rezultate za prisekani ikozaeder (tradicionalna
nogometna žoga). Ta primer je tudi relevanten za Kekulejeve strukture
buckminsterfulerena C60 [1]. Ta graf ima 60 vozlǐsč in 90 povezav, diagonal
pa ne bomo upoštevali, saj groba ocena pokaže, da bi bilo število možnosti
v tem primeru astronomskih razsežnosti. Algoritem vrne 12500 popolnih
prirejanj, ob upoštevanju simetrije 260 različnih, klasificiranih v 16 različnih
grup, kot kaže tabela 4. Med njimi je tudi eno popolno prirejanje s polno
ikozaedrično simetrijo, o katerem lahko bralec razmisli sam.
52–61 59
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 60 — #9 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
131415 16
1718
19 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
131415 16
1718
19 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
131415 16
1718
19 20
Slika 3. Edina tri popolna prirejanja na dodekaedru brez diagonal. Prvo ima maksimalno
simetrijo (5-̌stevna diedrska simetrija z zrcaljenji, D5d), preostali dve pa sta zrcalni par z
minimalno simetrijo C2.
Nekiralna prirejanja Kiralna prirejanja
|G| G∗ število |G| G število
10 D5d 1 10 D5 2× 2
5 S10 2 5 C5 1× 2
4 D2h 1 4 D2 6× 2
2 C2h 6 2 C2 136× 2
2 C2v 3
1 Cs 29 1 C1 1072× 2
Tabela 3. Ploskovna popolna prirejanja na dodekaedru lahko razvrstimo v 11 različnih
simetrijskih grup, od najbolj simetričnih s petštevno simetrijo v prvi vrstici, do povsem
nesimetričnih v spodnji. V levem stolpcu so prirejanja z zrcalno simetrijo, v desnem pa
tista, ki nastopajo v dveh zrcalnih različicah. Pri nekiralnih prirejanjih je v stolpcu G∗
navedena grupa z zrcaljenji vred, ker podaja več informacij o simetriji, v stolpcu |G| pa
so, podobno kot v preǰsnjih tabelah, štete le prave rotacije, saj rotacij z zrcaljenjem ne
moremo doseči s fizičnim obračanjem telesa.
60 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 61 — #10 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
Nekiralna prirejanja Kiralna prirejanja
|G| G∗ število |G| G število
60 Ih 1
12 Th 1 12 T 1× 2
10 D5d 2
6 D3d 3 6 D3 2× 2
5 C5v 1 4 D2 3× 2
3 C3v 3 3 C3 7× 2
3 S6 1
2 C2h 4 2 C2 19× 2
2 C2v 4
1 Cs 36 1 C1 70× 2
Tabela 4. Ploskovna popolna prirejanja na nogometni žogi zajamejo 16 različnih sime-
trijskih grup.
Sklep
Svet okoli nas je poln zanimivosti, ki lahko zaživijo svoja življenja kot pov-
sem samostojna matematična vprašanja. Naloga, ki se je v organski kemiji
in fiziki kompleksnih materialov porodila iz nuje, lahko služi kot lekcija iz
geometrije in teoretične obravnave simetrij. V tem prispevku smo si ogle-
dali popolna prirejanja na grafih najenostavneǰsih poliedrov, nihče pa nam
ne brani, da bi si ne izbrali grafov drugačnih simetrij in vprašanje popolnih
prirejanj reševali kot programerski izziv ali konjiček za preživljanje prostega
časa.
LITERATURA
[1] S. J. Austin, P. W. Fowler, P. Hansen, P. D. E. Monolopoulos in M. Zheng, Chemical
Physics Letters 228 (1994) 478–484.
[2] D. Babić in N. Trinajstić, Fullerene Science and Technology 2 (1994), 343–356.
[3] S. Čopar, N. A. Clark, M. Ravnik in S. Žumer, Soft Matter 9 (2013), 8203–8209.
[4] T. Došlić, J. Math. Chem. 41 (2007), 183–192.
[5] A. Kekulé, Über die Constitution des Benzols, Berichte Der Deutschen Chemischen
Gesellschaft 2 (1869), 362–365.
[6] L. Lovász in M. D. Plummer, Matching theory, North-Holland, 1986.
[7] M. Randić, Journal of Chemical Information and Modeling 44 (2004), 365–372.
52–61 61
i
i
“Legisa” — 2020/8/17 — 7:19 — page 62 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Oscar E. Fernandez, The Calculus of Happiness, How a Mathe-
matical Approach to Life Adds Up to Health, Wealth, and Love,
Princeton University Press, Princeton in Oxford 2017, 159 str.
Avtor je izredni profesor na Wellesley
College v ZDA. Raziskovalno deluje na
področjih mehanike in topologije.
Naslov knjige spominja na oglasno
sporočilo. Knjiga je sicer zelo čitljiva,
napisana korektno in vsebuje čisto pa-
metne nasvete. Številne med njimi že
vsaj približno poznamo. Knjiga te na-
svete poveže ali skuša povezati z mate-
matiko. Ima tudi bibliografijo, ki z znan-
stveno in strokovno literaturo podpira
avtorjeve trditve. Matematika je veči-
noma srednješolska. Avtor, ki skuša za-
dostiti širši publiki, na začetku razlaga
tudi take stvari, kot je linearna funkcija.
Lahko bi rekli, da je v knjigi nekaj re-
petitorija srednješolske snovi. Kasneje
je nivo podoben ali malo vǐsji od revije
Presek. Računi na tem elementarnem nivoju so lepo razloženi v posebnem
razdelku na koncu knjige. Tam sem našel le dva minimalna spodrsljaja.
Verjetno bi del snovi bil zanimiv za popestritev srednješolske matematike.
Knjiga začne s prehrano in vadbo. Prvo poglavje nosi naslov: Koliko
kalorij naj bi pojedli vsak dan?. Telo potrebuje hrano tudi takrat, ko poči-
vamo. Avtor pravi, da se je za oceno teh osnovnih potreb najbolj uveljavila
enačba iz leta 1990, imenovana enačba Mifflin-St Jeor po avtorjih. Po Wi-
kipediji ta osnovna dnevna poraba znaša naslednje število kilokalorij:
P = 10m + 6,25h− 5a + s.
Tu je m masa v kilogramih, h vǐsina v centimetrih in a starost v letih.
Parameter s je 5 za moške in −161 za ženske.
62 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Legisa” — 2020/8/17 — 7:19 — page 63 — #2 i
i
i
i
i
i
The Calculus of Happiness
Koliko je maksimalni srčni utrip, ki ga zdravi ljudje lahko ohranjajo ob
dalǰsi telesni aktivnosti? Včasih je veljala groba formula
220 − a,
kjer je a starost. Noveǰsi eksperimenti pravijo, da naj bi bila bolǰsa formula
192 − 0,007a2.
Stara preprosteǰsa formula očitno daje prevelike vrednosti za mlade ljudi (in
nekoliko premajhne za stare). Podanih je še več podobnih formul za porabo
energije pri telesni aktivnosti itd. Vsako poglavje se zaključi z matematičnim
povzetkom, nematematičnim povzetkom in bonusom: praktičnimi nasveti.
Podobno kot pri naslovih avtor torej tudi pri tem uporablja preizkušene in
še zmeraj učinkovite amerǐske prodajne metode.
Drugo poglavje se ukvarja s hrano in problemom debelosti. Če smo
predebeli, se v povprečju naša življenjska doba skraǰsa. To še posebej velja
za moške (in za mlaǰse osebe, ki bi sicer pred sabo imele še veliko let).
Pri nas je popularno merilo za debelost indeks telesne mase (ITM), ki ga
izračunamo po formuli
ITM =
m
v2
,
kjer je m masa v kg in v vǐsina v metrih. Avtor pledira, da je bolǰse merilo
število r, ki je obseg pasu, deljen z vǐsino. Po priporočilu v knjigi naj
bi si vsi prizadevali, da je r čim bliže 0,5. Pri tem se avtor sklicuje na
članek [1], ki sloni na britanskih statističnih podatkih. Impresivni stolpični
diagrami v članku, ki je prosto dostopen, kažejo število izgubljenih let za
precej gost nabor vrednosti za r in za ITM. Iz diagramov hitro vidimo, da
je, ne glede na starost, za moške optimalen ITM med 21 in 24, razmerje
r pa med 0,46 in 0,54. Za ženske je optimalni ITM vǐsji, med 23 in 29,
optimalno razmerje r pa je med 0,38 in 0,54. Ti podatki se zdijo na prvi
pogled nekoliko protislovni. Vendar se moškim, za razliko od žensk, odvečna
maščoba navadno nalaga prav okrog pasu, kar škodi delovanju notranjih
organov.
V obravnavani knjigi so narisani kar grafi za število izgubljenih let kot
funkcija parametra r, za starosti 30, 50 in 70 let, vendar le za r ≥ 0,5.
Fernandez trdi, da te grafe lahko dobro aproksimiramo s kubičnimi polinomi
spremenljivke r. Koeficiente teh prav nič lepih polinomov daje na 5 mest!
(Ta pretirana natančnost je gotovo zasluga kakega
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi pro tokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri štude ti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
bes fit
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na original i sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približk nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstrui ati. Na tipičn sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenj a matrika Q obi-
čajno sliko stisne za f ktor p ibližno 7. Matriki, v kateri je v čina elem ntov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma r zpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elem nti, velikosti
recimo od 1 do 6. To p meni ižjo k mpresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elem nt r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno imajo zelo d bre
loč jivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli s ke to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogr mno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko pre oznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko t sicer. (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa l hko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanj travnik sprem ni v zeleno plundro. JPEG tudi n ajbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo f rmat PNG.
Za zvok je nast l na podlagi JPEG priljubljeni, za daj še paten irani
format MP3. Omogoča stiskanje v različn h kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prost kodni form t (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študen i a izp tih rǐsejo grafe fun cij »po t čkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče v lik raz ed funkcij po ln ma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, i ga ni težko d kazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zve na in naj bo nje a Fourie ova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz 64 (2017) 2
programa.) Ko
Obzo nik mat. fiz. 67 (2020) 2 63
i
i
“Legisa” — 2020/8/17 — 7:19 — page 64 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
narǐsemo graf enega od teh polinomov iz knjige in to primerjamo s podatki
v članku, je jasno, da je Fernandez to aproksimacijo naredil le za r ≥ 0,5.
Njegova aproksimacija je za r < 0,5 povsem napačna. Skratka, ta uporaba
polinomov je neprepričljiva. Res pa je, da če smo presuhi, naj bi to po članku
[1] pri moških skraǰsalo življenjsko dobo za največ dve leti, pri ženskah pa za
manj kot eno leto. Avtorjeva omejitev na r ≥ 0,5 je tako deloma razumljiva.
Naslednje poglavje je Matematikov vodič po upravljanju z denarjem. Tu
obravnava obrestno-obrestni račun, logaritme, zmanǰsevanje dolgov itd. Že
zdrava pamet pove, da moramo najprej odplačati posojilo z največjo obre-
stno mero. Tu so še strategije vlaganja, ki pa so uporabne bolj za amerǐske
razmere.
Zadnje poglavje prodaja matematiko kot sredstvo, s katerim najdemo
ljubezen in formiramo stabilne pare. Tu je seveda
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
ko presijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
najbolǰsa
“Legisa-vesti” 2017/6/30 9:01 page 70 #3
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. atriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. anǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format P3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresij zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
zorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti n izpitih rǐsejo graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
strategija
za iska je partnerj v, pa metode organiz ranj zmenkov itd. Partnerstv
prikaže celo kot dinamični sistem in to poveže z Nashevim ravnovesjem.
Dinamični sistemi so seveda vǐsji nivo, a so razloženi zelo poljudno.
Knjiga opǐse še raziskavo, ki sta jo leta 1999 na 130 parih novoporo-
čencev naredila psihologa John Gottman in Catherine Swanson. Petnajst
minut sta snemala razgovor para o žgočih temah, kot je politika. Iz tega
naj bi z več kot 90-odstotno zanesljivostjo ugotovila, kateri zakoni se bodo
obdržali. Fernandez tudi to poveže z dinamičnimi sistemi. Če je vsak od
obeh zakoncev že pri manǰsih stvareh, ki mu niso bile všeč, dal to vedeti
drugemu, je bil to dober obet za stabilen zakon. Seveda pa mora biti reak-
cija spoštljiva, premǐsljena in ne bliskovita. Zavijanje z očmi ob partnerjevih
izjavah ali tiho nalaganje zamer ne prispevajo k trdnosti zveze. Fernandez
malo dvomi, da sta bila psihologa tako silno uspešna v napovedih. Vzorec
je bil tudi sorazmerno majhen. Ampak ugotovitve se zdijo blizu resnici.
LITERATURA
[1] M. Ashwell, L. Mayhew, J. Richardson in B. Rickayzen, Waist-to-Height Ra-
tio Is More Predictive of Years of Life Lost than Body Mass Index, PLoS One
9(9), 8. sep. 2014, dostopno na journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/
journal.pone.0103483n, ogled 6. 8. 2020.
Peter Legǐsa
64 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 65 — #1 i
i
i
i
i
i
Algorithms to Live by
Brian Christian in Tom Griffiths, Algorithms to Live by, The Com-
puter Science of Human Decisions, Picador, Henry Holt and Com-
pany, New York 2017, 351 str.
Prvi avtor je pisec poljudnoznanstvene
literature (in tudi pesnik) z izobrazbo iz
računalnǐstva in filozofije. Je tudi go-
stujoči strokovnjak na kalifornijski uni-
verzi v Berkeleyju. Drugi avtor je profe-
sor psihologije in kognitivne znanosti na
omenjeni univerzi. Vodi Računalnǐski la-
boratorij za področje kognitivne znanosti.
V knjigi ne boste našli matematič-
nih formul. Računalnǐski algoritmi so
deloma razloženi, a na zelo poljuden na-
čin. Poudarek pa je predvsem na ko-
mentiranju teh algoritmov in povezavi z
vsakdanjim življenjem ter odločanjem in
organiziranjem na raznih nivojih družbe.
Navedena je zgodovina algoritmov in na
kratko so predstavljeni njihovi avtorji.
Knjiga je lepo napisana in snovi je ogromno.
Prvo poglavje nosi naslov Optimalna zaustavitev in je eno od najbolj
dostopnih in zanimivih. Ko je astronomu in matematiku Johannesu Ke-
plerju leta 1611 umrla prva žena, je iskal novo in v izbor vzel enajst žensk.
Četrta mu je bila privlačna, ker je bila visoka in atletske postave. Vendar
je iskal naprej in naslednja, Susanna Reuttinger mu je bila zelo všeč, ker
je bila mila in prijazna, marljiva in naklonjena Keplerjevim otrokom iz pr-
vega zakona. Vendar je Kepler obiskal za vsak primer na hitro še preostale
kandidatke. Na koncu se je vrnil k Suzani, ki je sprejela njegovo dvorjenje.
Zakon je bil srečen in imela sta še šest otrok. Večkrat Keplerjeva metoda
ne deluje dobro, ker že obravnavane priložnosti niso več na voljo. Kot pravi
slovenski pregovor: Priložnost zamujena ne vrne se nobena. V tem primeru
nima smisla pregledovati do konca, približno v skladu z rekom: Kdor preveč
(i)zbira, zbirk dobi, se pravi, dobi tisto, česar drugi niso hoteli vzeti. Mate-
matiki in računalnikarji so analizirali, kdaj se splača zaustaviti iskanje pri
raznih pogojih. Odločitev za prvo ponudbo večinoma ni pametna, razen če
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 65
i
i
“Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 66 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
obstaja objektiven kriterij, po katerem je očitno odlična. To razloži, zakaj
recimo brezposelni pogosto ne želijo vzeti prve službe, ki je na voljo. Knjiga
vsebuje veliko informacij o reševanju tovrstnih problemov.
Donald Shoup je profesor urbanega načrtovanja na znani kalifornijski
univerzi UCLA. Znan je po raziskavah parkiranja. Njegov najpreprosteǰsi
recept je, da naj bo cena vsaj tako visoka, da je zmeraj na voljo kako mesto.
Še bolje, zasedenost naj ne presega kakih 85 %. Sicer namreč vozniki izgu-
bljajo čas s kroženjem in povzročajo zastoje in onesnaženje. San Francisco
je po njegovih nasvetih uvedel cene parkiranja, ki rastejo s povpraševanjem.
V knjigi so še poglavja o raziskovanju in izkorǐsčanju, sortiranju, pred-
pomnilnikih, časovnem načrtovanju opravil, Bayesovem pravilu v statistiki.
V poglavju o pretiranem prilagajanju podatkom imamo neko statistiko o
zadovoljstvu z življenjem po n letih, preteklih od poroke (n = 1, 2, . . . , 10).
Številska mera za zadovoljstvo v tej statistiki rahlo niha: dol – gor – dol
– gor, z vrednostmi med približno 7,8 in 7,4. Podatke (deset točk) lahko
aproksimiramo z rahlo padajočo linearno funkcijo časa t, merjenega v letih.
Knjiga kaže tudi aproksimacijo s kvadratno funkcijo, čeprav se matematik
za kaj takega ne bi odločil. Nazadnje knjiga skozi deset točk napelje in-
terpolacijski polinom devete stopnje, ki daje povsem noro ekstrapolacijo za
vrednosti t > 11. Že pri t = 11 naj bi zadovoljstvo padlo na vrednost pod
6! Zanimivo je, če podatkom dodamo nekoliko šuma. Simuliranih je deset
takih različnih motenj. Na linearno aproksimacijo to vpliva minimalno. Pri
kvadratni aproksimaciji se ekstrapolacije za t > 12 lahko že bolj in bolj raz-
hajajo. Pri interpolacijskem polinomu devete stopnje pa šum lahko povzroči
močne nihaje na intervalu 1 < t < 10. Že tako čudno ekstrapolacijo pa vrže
povsem iz tira. Tako naj bi pri t = 11 v treh primerih (od desetih naključno
izbranih malih motenj začetnih podatkov) zadovoljstvo poskočilo na več kot
9, v štirih pa padlo na manj kot 6! Interpolacija s polinomi visokih stopenj je
torej slabo pogojena. Kljub nekoliko nenavadni uporabljeni terminologiji so
ti grafi v knjigi res zanimivi in odlična ilustracija nesmisla pretiranega pri-
lagajanja podatkom. Menda je v ZDA v napovedovanju razširjenosti zadnje
epidemije nekdo uporabil
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) n stavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi eleme ti, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kom resijo, nekako za f ktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v n činu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno imajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkc j »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
kubični
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6 30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanim vi del), se
zadov ljili s pribl žki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natanč o rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnog
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko sti ne za f ktor pribl žno 7. Matriki, v kateri je v čina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantiziran matrika je torej praviloma r zprše a.
V fotoap ratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsim elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni žjo kompresijo, neka o za f ktor 2. Pr malih
tipalih z diagonalo pod 8 bo kvantizacijska ma rika v načinu fine imela
elemente r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko naz j z istoležnim elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkim prehodi med
svetlim in temnim deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG sti ka-
nje računsko nezahtev n, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trav , krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj sti nejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težav , vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa l hko kombinacija neka ov stnega zoom objektiva in eprilagodljivega
sti kanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni ajbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo f rmat PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omog ča sti kanje v različnih ka ov stih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostok dni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpit h rǐsejo grafe nkcij »po t čkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij po lnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 37 izrek, i ga ni težko dokaz ti:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in aj bo njena Fourie ova transformi-
ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L, ], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
model, ki je dal optimistične napovedi
po želji oblasti.
Sledi poglavje o relaksacijskih metodah, s katerimi se lotevamo problema
trgovskega potnika in podobnih nalog, pri katerih optimalna rešitev zah-
teva preveč računanja. Mimogrede, relaksacijo že dolgo poznajo fiziki, ki
uporabljajo izraz
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej pravil m razpršena.
V fotoaparatu z velikim senz rjem (APS-C ipd.) nastavit v na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikost
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pr malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo vantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
zanemarimo
i
i
“Legisa-vesti” — 2017 6/30 — 9:01 — page 70 — #3
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zad voljili s pr bližki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
n ta čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizir na matrika mn go
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko tisne z faktor pr bližno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, r čemo razpršena matrika.
Kvantizir na matrika je torej praviloma raz ršen .
V f to p ratu z velikim senz rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pome nižjo kompresijo, ne ako z fakt r 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
element recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadr ta. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG tiska-
n je računsko nezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija ne ak vostnega zoom objektiva i neprilagodljivega
tiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi i najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljaj format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Om goča tiskanje v različnih ak vostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gra e funkcij »p točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je m goče velik razred funkcij polnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 73 izre , ki ga ni težko dok zati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
. . .
66 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 67 — #3 i
i
i
i
i
i
Algorithms to Live by
Poglavje Slučajnost razloži med drugim, kako se številnih težkih proble-
mov lahko lotimo z metodo Monte Carlo.
Zanimiv pa je tudi vpliv slučajnosti na raziskovanje. Italijanski mikro-
biolog Salvador Luria, ki je pred fašizmom pobegnil v ZDA, je leta 1943
opazoval kolega na igralnem avtomatu. Sam se je ukvarjal z vprašanjem,
kako bakterije razvijejo odpornost proti bakteriofagom. Ali so, kot je sam
verjel, zaradi slučajnih mutacij – kot so slučajni izidi hazardiranja – neka-
tere bakterije bolj odporne na te viruse? Takrat še dejavni lamarkisti so
imeli drugačne teorije.
Zamislil si je poskus, ki sta ga izvedla s kolegom Maxom Delbrückom.
Ločeno sta vzgajala več linij iste vrste bakterij in jih po več generacijah,
ko so se genetsko že malce razlikovale, izpostavila bakteriofagom. Izkazalo
se je, da je bil delež odpornih bakterij v različnih linijah različen. Slučajne
mutacije in naravna selekcija uspešnih mutacij so torej tisto, kar privede
do odpornosti. Slučajnost v tej zgodbi je dvojna: k odkritju je pomagalo
slučajno opazovanje hazardiranja.
Oba mikrobiologa sta dobila, skupaj z Alfredom Hersheyjem, leta 1969
Nobelovo nagrado za fiziologijo ali medicino. Mimogrede, bakteriofagi zdaj
postajajo spet zanimivi zaradi odpornosti bakterij na antibiotike. Bakteri-
ofagi so izredno specializirani, posamezna vrsta navadno deluje le proti eni
vrsti bakterij.
V poglavju o mrežah imamo razložen eksponentni umik, ki igra veliko
vlogo pri konfliktih v komunikacijskih in računalnǐskih omrežjih. Če recimo
računalnik ne more doseči določene strani na medmrežju, večinoma ne bo
poskušal znova v enakih časovnih razmikih. Prvič bo poskusil po času t,
ob neuspehu čez 2t, ob ponovnem neuspehu čez 4t . . . Tako ne preobre-
menjujemo po nepotrebnem omrežja, saj je morda strežnik na drugi strani
izpadel in traja dalj časa, da začne spet delovati. Tudi pri vnašanju gesla
nekateri sistemi delujejo podobno in tako onemogočajo dolgo poskušanje ne-
pooblaščenih. Pozabljivemu lastniku pa omogočijo, da najde geslo, ki ga je,
upajmo, zabeležil na varnem mestu. Knjiga pravi, da tako lahko ravnamo
tudi v odnosih s težavnimi prijatelji, ki ne pridejo na povabilo. S tem si
prihranimo precej razočaranj, vendar ohranimo možnost ponovnega stika.
Na Havajih so uvedli podoben sistem za pogojno izpuščene kriminalce,
odvisne od droge. Kazni za kršitve so vnaprej jasne, takoǰsnje in eksponen-
tno naraščajo. Najprej dan zapora čez vikend, pri ponovitvi dva dni čez
vikend . . . Datumi testov za prisotnost mamil so slučajni. Na Havajih je
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 67
i
i
“Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 68 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
to imelo zelo dobre rezultate – veliko bolǰse od stare prakse dolgotrajnega
gledanja skozi prste in nato drastičnih zapornih kazni.
Knjiga povleče tudi vzporednice med računalnǐskim komuniciranjem in
lingvistiko. Pisca pravita, da so sredi dvajsetega stoletja v lingvistiki pre-
vladovale teorije Noama Chomskega, ki so predpostavljale popoln, slovnično
pravilen govor v celih stavkih. V šestdesetih in sedemdesetih letih so lingvisti
ugotovili, da je to večinoma daleč od dejanskega stanja. Tudi računalnǐski
strokovnjaki, ki se ukvarjajo s pretvarjanjem govora v pisno obliko, imajo
probleme z nedokončanimi stavki.
Pogovor je zapletena stvar in bistvena je interakcija med osebama (ose-
bami). Za govorca so zelo pomembni odzivi poslušalca (morda samo
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
ja
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/3 — 9:01 page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na origi lni sl ki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno reko struirati. Na tipični sl k ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo azpršena matrika.
Kvantizirana matrika je orej praviloma razpršena.
V fotoapara u z velikim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev n fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matri o z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekak za faktor 2. Pri malih
tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
element recimo od 1 d 15, saj ustrezne optike običajno n maj zelo d br
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matri e in opravim inverzno transf rm cijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike naˇega kvadr ta. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in te n mi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, iter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno p drobnostmi, k t so trava, krzno. Bolǰse kamer t ko
sliko prepoznajo in bistve o manj stisnejo, se pravi uporabijo d ugo kvan-
tizacijsko matriko ko sicer. (Slika z ogromno šu a je tudi t žava, v ndar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kam rah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljive a
stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike p ofesionalci
raje uporabljaj format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dob r za
k mpresijo zvoka je tu i prostokodni f rmat (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizac j
Nekateri študenti na izpitih r šejo gr fe funkcij »po točkah«. Večinoma se t
ne obnese. Vendar pa je mogoč velik razr d funkcij popolnoma rek nstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 iz ek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
,
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), e
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika m ogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je veči a leme tov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena mat ik .
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine im la
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimaj zelo d bre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi van-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi pr hodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem e pojavi p i
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere ta
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo van-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodl iveg
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najb lǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesion lci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večin ma s to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova trans ormi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
hm
i
i
“Legisa-v sti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije n originaln sliki (večinoma ezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in orig ala ne moremo več
natanč o rekonstruirati. N tipični sliki ma kvantizir a m trika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem elu. Zgoraj omen ena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je v č na elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizir a m trika je tore pravilom razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsi i elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 d 15, saj ustrezne optik bičajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnoži o matriko nazaj z istoležnimi ele enti kv -
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. obimo pr -
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehki i prehodi med
svetlimi in temnimi deli slik to deluje sijajno. Alg ritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hit r in robusten. Manǰsi problem se pojavi ri
slikah z ogromno podr bnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prep znajo in bistveno ma j stisnejo, e pravi uporabijo drug kv n-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteres rani za podrobno eprodukcijo.) Pri poceni kamer
pa lahko kombinacija ekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja tr vnik spremeni v z leno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še p tenti ni
format MP3. Omogoča stisk nje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in dig talizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in j bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
,
i
i
“L gisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del inform cije na or ginalni sliki (veči oma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekateri drugih podatkov i origi la e moremo več
atančno rekons ruir ti. Na tipični slik im kv tizir na matrika mnogo
ničel, predvs m v d snem spo njem delu. Zgora omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kat r j več na el mentov
ničelnih, preostali pa imajo pos bn strukture, rečemo razpršen matr k .
Kv tizirana matrika je torej r viloma razpršena.
V fotoaparatu z v likim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z b stv no anǰsim elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. T p eni nižjo kompr sijo, nekako za faktor 2. Pr m ih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijsk matrika v načinu fin imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezn ptike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomn žimo matriko nazaj istoležn mi eleme t kvan-
tizac jske matrike in opravimo inverzno transformacijo k CT. Dobimo pri-
bliže prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temn mi d li slike to deluje sijajn . Algoritem z JPEG stiska-
nje je računsko nezahtev n, hiter in robusten. Manǰsi problem se ojavi pri
slikah z ogromn p drobnostmi, kot s trava, krzno. Bolǰse kamere tako
slik prepoznajo in bi veno manj sti nejo, se pravi uporabij drugo kvan-
izacijsko matriko kot sice . (Slika z ogro no šuma je tudi težava, venda
pa tu nismo za nteresirani za p obn rep odukcijo.) Pri poceni k mer h
pa l hko kombi acija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stisk nja travnik sprem ni v zele o plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcij grafičnih p drob o ti. Za manǰse risbe in grafike p of sionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je stal n podlagi JPEG priljublj ni, za zd j še p ten irani
format MP3. Omogoč stiskanje v različnih kakovostih. Z lo dob r za
kompresijo zv ka je tudi p ostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje n digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih ǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru-
irati iz jihovih vrednosti na d skretn množic točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvez a in aj bo njena Fou ierova transformi-
ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Pot m je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
aha
“Legisa-vesti” 2017/6/3 9:01 page 70 3
Zanimivosti
vrgli s o del infor acije na originalni sliki (večino a nezani ivi del), se
zadovoljili s pr bližki nekater drugih podatkov in originala ne ore v č
natančno ekonstruirati. a tipični sl i i a kvantizirana atrika nogo
ničel, predvs desne spodnje delu. Zgoraj o enjena atrika bi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. atriki, v kateri je v či a le entov
ničelnih, preostali pa ni ajo posebne trukture, reče o r zpršen at ik .
vantizirana trika je tore pravilo a razpršena.
fotoaparatu z veliki senzorj ( PS-C ipd.) nastavitev n fino (an-
gl ško fine) da kvantizacijsko atriko z b stveno a ǰsi i ele enti, v likosti
reci o od 1 d 6. T po eni nižjo ko pr sijo, nek o za faktor 2. Pri alih
tipalih z diag nalo pod 8 bo kvantizacijska atrika v načinu fine i la
ele ent reci o od 1 d 15, saj ustrezne optike bičajno ni ajo zel d bre
ločljivosti.
Pr dekodiranju po noži o atriko nazaj istol žni i ele enti kvan-
tizacijske atrike in opra i o inverzno tra sf acijo k CT. obi o pri-
bližek prvotne slike našega kvadr ta. a slika z ehki i prehod e
svetli i in te i deli slike to d luje sija no. lgorite za JPE stiska-
nje je računsko n zahteven, hiter in robusten. a ǰsi proble se pojavi pri
slikah z gro no p drobnos i, kot so t ava, krzno. Bolǰse ka re tako
sliko prepoznajo i bistveno a stis ejo, se ravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko atriko kot sicer. (Slika z gro no šu a je tudi tež v , vendar
pa tu nis o zainteresirani za p drobno repr dukcijo.) Pr poceni ka erah
pa lahko ko binacija nekakovostnega zoo objektiva n neprilagodljiveg
stiskanja travnik spre eni v zeleno p undro. JPE tudi ni najbolǰsi za re-
pr dukcijo grafičnih p drobnosti. Za anǰse risbe in grafike prof si nalci
raje uporabljajo for at P .
Za zvok je nastal na podlagi JPE priljubljeni, za zdaj še patentirani
for at P3. ogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
ko presijo zvoka je tudi prostokodni f r at ( gg) orbis.
zorčenje in digitalizacija
ekateri študent na izpitih ǐs jo grafe funkcij »po točkah«. ečino a s to
n obnese. ndar pa je ogoče velik razred funkcij popolno a eko stru-
irati iz njihovih vrednosti na d skretni nožici t ck. knjigi [3] najde o
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. aj bo f ∈ L2(R) zvezna in j bo njena Fourier va t ansfo i-
ra ka f̂ en k 0 zunaj intervala [ L,L], kjer je L 0. Pote je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
) in mimik obraza. Temu se prilagaja k munikacij . Rač al-
nǐs a omrežja pr v ta por čajo p šiljatelju, ali so poslani paketi podatk v
prispeli. Če pa pripove ujemo zanimivo zgodbo in poslušalec začne gledati
v telefon, bosta naša zgodba in še posebej njen zaključek postala klavrna.
Vsi, ki smo kdaj predavali, vemo, da nezainteresiranost poslušalcev ubija
voljo in poslabša kakovost prezentacije. (To seveda manj prizadene tiste, ki
samo berejo ali projicirajo svoje zapiske.)
Zadnje poglavje je Teorija iger. Zanimivo je, da centralizirano optimi-
ranje avtomobilskega prometa ni bistveno bolǰse od običajne anarhije, ko
vsak želi priti čim prej na cilj in se ne ozira na druge. Prihranek na času
naj bi bil največ 25 %.
Lepo je razložen v anglosaških debatah pogosto uporabljen izraz žaloi-
gra na gmajni, angleško tragedy of the commons. Z njim je leta 1968 ekolog
Garrett Hardin opisal stanje, ko skupni pašnik uporablja več kmetov. Vsak
bi moral pasti le toliko živali, da bi ostalo dovolj trave za preostale. Člove-
ška narava pa je taka, da pogosto posameznik pase več živali, kot bi smel.
Kršenje pravil igre opravičuje z:
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰ imi lementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonal pod 8 mm bo kvantiz cijska matrik v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj strezne optike obič jno nimaj zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pr vi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko k t s cer. (Sli z ogromno šuma je tudi teža , vendar
pa tu nismo zainteresirani za podr bno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti a izpitih rǐsejo gr fe f nkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Meni pomeni veliko, za vsakega drugega
udeleženca pa je nastali primanjkljaj majhen.
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3
i
i
i
i
i
Za imivo ti
vrgli smo del informacije na o iginalni sli i (večin ma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatko in originala ne m rem vec
natančno r konstruirati. Na tipični sliki ima kv ntizir na matrika mn g
ničel, predv em v desnem s od je delu. Zgoraj omenjena matrika Q bi-
aj o sliko stisne z faktor približ o 7. Matriki, kateri je v či elementov
ničelnih, preostali pa nima o posebne st ukture, rečemo razp še a matrika.
Kvantizirana matrika je torej aviloma razpršen .
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nast vitev n fino (an-
gleško fine) da kva tizacijsko matriko z bistve o manǰsimi elementi, velikosti
rec mo od 1 do 6. To po ni nižjo k presijo, nekako za faktor 2. Pr mal h
tipalih z diag nalo pod 8 mm bo kva tizacijska matrika v n činu fine im la
e emente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločlj vosti.
Pri dekodiranju omnožimo matriko azaj z ist ležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo DCT. D bimo pri-
bližek prvotne slike naˇega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in r busten. Ma ǰsi pr bl m se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sl ko prepoznaj i bistveno m j stis ej , se pravi por bijo drugo kvan-
tizacijsko m triko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi t žav , vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija ekakovos nega zo m objek iva i eprilagodljiv ga
stiskan a travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje up rabljajo form t PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG pr ljubljeni, za zdaj še patentir ni
format MP3. Omogoča stiskanje v azličnih kakovostih. elo dober za
kompresijo zvoka je tudi pr stokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne ob ese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
ira i iz njihovih vrednos i na is retn množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Če v čina premǐsljuje tako,
je pašnik kmalu neuporaben.
Knjiga trdi, da je glav i razl g za to, da si številni Američani ne vzamejo
dopusta ali le nekaj dni na leto, ta, da želijo pokazati lojalnost podjetju in
tako napredovati ali vsaj ne izgubiti službe. Če večina premǐsljuje tako,
so tudi preostali praktično prisiljeni, da skoparijo z dopustom. In to kljub
statistikam, ki kažejo, da dva ali trije tedni dopusta letno pomenijo bolǰse
zdravje in dalǰse življenje. Podobno je s pridobivanjem in porabo fosilnih
goriv. Pomaga lahko le zavezujoč dogovor ali sprememba pravil.
68 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 69 — #5 i
i
i
i
i
i
Algorithms to Live by
Navedimo še primer (ki ni iz knjige), ko je sprememba pravil skupaj z
inovativnimi idejami odpravila posledice
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri š udenti na izpitih rǐsejo grafe funk ij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
žaloigre na gmaj i
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrg i smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirat . Na tipični sliki ima kv ntizi ana atrika mnogo
ničel, pre vsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, reostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kv ntizi ana mat ika je torej p viloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev a fino (an-
gleško fine) d kvantiz cijsko matriko z bistveno manǰsimi el men , velikosti
recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
t palih z diagonalo pod 8 mm bo kvantiz cijska matrika v načinu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj us rezne optike obič jno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju p nož mo matriko nazaj z istol žnim elementi kvan-
tiz cijske mat ike in opravim inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlim in t mnimi deli s ike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter i robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tiz cijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar
pa tu ismo z interesirani za podrobno reprodukcij .) Pri poceni kamerah
pa lahko kombin cija nekakov stnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja t avnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi n n jbolǰsi za re-
produk ijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je udi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funk ij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ e ka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Pretirana
paša in pos k st v Sahelu savano marsikje spremeni a v polpuščavo s po-
sameznimi grmički. Avstralski agronom Tony Rinaudo je opazil, da ti gr-
mički poganjajo iz korenin že pred leti ali celo desetletji posekanih dreves.
V zameno za hrano, potrebno zaradi katastrofalne suše, so domači lastniki
zemljǐsč po njegovih navodilih zredčili grmičke na le nekaj vej, ki so jih
potem varovali in le izrezovali odvečne poganjke. Ključna je bila tudi spre-
memba pravil. Prepovedali so staro prakso, da si lahko posekal pri sosedu,
če je zmanjkalo na tvojem. V nekaj letih so zrasla lepa drevesca. Ko je
potreba po hrani izginila, so sicer številni svoja debla takoj požagali. Bolj
daljnovidni, sprva v manǰsini, pa so drevesa ohranjali in vzgajali nova, ker
so v njihovi bližini bolje uspevale tudi druge poljedelske kulture. Neško-
dljivo obrezovanje drevesa da neprimerno več krme za živali, kot bi sekanje
grmička, iz katerega je zraslo drevo. Sčasoma je dobra praksa dobivala vse
več posnemovalcev. Rinaudo je iz Avstralije prinesel tudi akacije z užitnimi
stroki, ki so se dobro obnesle. Tako so samo v državi Niger pogozdili 50
tisoč kvadratnih kilometrov, se pravi več kot za dve Sloveniji.
Mimogrede, francoski pisatelj Jean Giono je leta 1953 napisal čudovito
knjižico Mož, ki je sadil drevesa. Opisuje samotarskega pastirja, ki s po-
gozdovanjem spremeni pokrajino. Prevedena je bila v številne jezike, tudi
v slovenščino. Mnogi so prǐsli v Francijo, celo z drugega konca sveta zaradi
te resnično zelo prepričljivo napisane zgodbe – in bili strašno razočarani ter
večkrat jezni, ker je izmǐsljena.
Gornja afrǐska zgodba pa je resnična in mnogo mnogo večja, a še zda-
leč ni deležna take popularnosti. Je pa Rinaudo leta 2018 za svoje več
desetletno delo dobil The Right Livelihood Award. Ta nagrada je nastala
po neuspešnem poskusu, da bi Nobelovo nagrado za ekonomijo dopolnili z
nagrado za varstvo okolja in trajnostne rešitve.
V spletni trgovini Amazon Marketplace včasih najdemo noro visoke cene
drugih ponudnikov za kak artikel, ki ni več v redni prodaji. Knjiga razloži,
da je to navadno posledica računalnǐskih algoritmov. V enem primeru je
program nekega ponudnika avtomatično postavil ceno, ki je bila 99,8 od-
stotka cene drugega ponudnika. Program drugega pa je nato ceno nastavil
na 127 odstotkov cene prvega. Očitno je ponudnik poznal algoritem prvega
in vedel, da lahko tako tudi konkurentovo ceno potisne v vǐsave. Verjetno
je tudi upal, da ima prvi ponudnik na zalogi samo en kos. Kaj se zgodi po
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 69
i
i
“Legisa2” — 2020/8/17 — 7:23 — page 70 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
več ponovitvah teh algoritmov, če ne prvi ne drugi nimata vgrajene kake
varovalke, si ni težko predstavljati. Eksponentna rast je zelo hitra. V da-
nem primeru je cena starega učbenika razvojne biologije zrasla na dobrih 23
milijonov dolarjev (plus 3,99 dolarja za poštnino).
Velike anomalije lahko nastanejo tudi pri dražbah in so zato neizčrpna
tema nekaterih televizijskih serij.
Knjiga dela reklamo za sistem, ki ga je uvedel ekonomist William Vic-
krey, dobitnik Nobelove nagrade. Udeleženci dražbe oddajo zaprte ponudbe.
Zmaga tisti, ki je ponudil največ. Plačati pa mora toliko, kot je bila druga
najvǐsja ponudba. To naj bi pomagalo k bolj realnim cenam.
Knjiga pravi, da je ugibanje o namerah drugih in ustrezno izbiranje
strategije zelo naporno in večkrat vodi k plazu slabih odločitev. To se recimo
kaže v nastanku in poku finančnih balonov. Številni investitorji so namreč
pripravljeni plačati za delnice malo manj, kot ocenjujejo, da bodo v bližnji
prihodnosti pripravljeni plačati drugi na borzi. Realna vrednost podjetij je
večkrat v drugem planu ali pa sploh ni upoštevana. Množično špekuliranje
se včasih izkaže kot kolektivna zabloda. (Eden izmed najhuǰsih primerov
katastrofalnih odzivov na domnevne namere in nato poteze nasprotnika je
nenadzorovana eskalacija, ki je privedla do prve svetovne vojne.)
Na koncu imamo nekaj zaključkov. Določene optimizacije so pretežke
celo za računalnike. Zato bodimo zadovoljni z
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela
eleme te recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri stude ti na izpitih rǐsej grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
d volj dobrimi
i
i
“Legi a-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na orig naln sliki (večinoma ezanimivi d l), se
zadovoljili s približ i nekate ih drugih podatkov n origi ala ne remo več
atančn rekonstruirati. Na t pičn sliki ima kvantizirana m trika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnj m delu. Zg raj omenjena m trika Q obi-
čajn liko stisne za faktor približno 7. Matri i, v kateri je večina lementov
ičelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika.
Kvantizirana m trika j to ej praviloma razpršena.
V foto paratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an-
gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi lement , vel kosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nek ko za faktor 2. Pr malih
tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kv ntizacijska m trik v nači u fine imela
lemente recimo od do 15, aj ustrez e optike običajno nimaj zelo dobre
ločlj vosti.
Pri ekodiranju pomn žimo matriko nazaj z istoležnimi lementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. D bimo pri-
bližek prvotne slike našeg kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je raču sko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi probl m se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je udi težava, vendar
pa tu nismo zainteresir ni za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni k merah
pa lahko kombinacija nekakovostnega z om objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še pate tirani
format MP3. Omogoča stiska je v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvo a je udi prost kodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorče je in digitalizacija
Neka eri študenti na izp tih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskret i množi i točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zu aj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
rešitvami.
Knjiga pravi, da si ne želimo pre eč premǐsljevanja. Pisca st ž lela in-
tervjuje z mnogimi str kov jaki in ugotovila, da laže prideta do jih, če
začneta z vprašanjem:
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večino a nezani ivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, reče o razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistven manǰsimi element , v likost
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako z faktor 2. Pri m lih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacij k m trika v n činu fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne o tike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehki i prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni for at (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Ali imate čas naslednji torek med 12. in 13. uro
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del infor c je na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
za ovoljil s približki kate ih drugih podatkov in originala ne moremo več
natančno rekonstruirati. N tipični sliki i a kvantizirana matrika mnogo
ničel, p edvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sli o stisne za faktor približno 7. Matriki, kateri je večina elementov
ničelnih, pre stali pa nimajo poseb e strukture, rečemo razpršena matrika.
Kv ntizirana atri a je t rej praviloma razpršena.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
r cimo od 1 d 6. To pomeni ižjo kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri malih
tip lih z di go lo p d 8 mm bo kvantizacijska atrika ačinu fine imela
element recimo d 1 d 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodira ju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tiz cijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne sli e našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je raču sko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, t so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko triko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stisk nja travnik spremeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcij gr fič ih pod b osti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
r je uporabljajo f rmat PNG.
Za zvok je nast l na odlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
ko presijo zvoka je tudi prostokodni form t (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo g afe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. N j bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
,
kot z
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimiv del), se
zadovoljili s približki nekate ih drugih podatkov n originala ne m rem več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizira a atrika nogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor ibližno 7. Matriki, v kateri je v čina elem ntov
ničelnih, preostali pa imajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika.
Kvantizirana matrika je torej p viloma razprš a.
V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) n stavi ev na fin (an-
gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsi i le enti, velikosti
recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo k mpresijo, neka o za faktor 2. Pri alih
tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v nači u fine imela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pr -
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi d
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG tiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robuste . Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko ko sicer. (Slika z og omno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni a erah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in nepril godljivega
stiskanja travnik spremen v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike rofesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljublje i, za zdaj še patentirani
format MP3. Om goča stiskanje v razl čnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti a izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mog če velik razred funkcij popolnoma rek nstru-
irati iz njihovih vrednosti na dis retni m ožici točk. V knjigi [ ] najd mo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Kdaj n slednji teden bi imeli čas?
i
i
“Legisa-vesti” 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del formacije na origin lni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s p ibližki nekate h drugih pod t v in originala ne m remo več
nat nčno rekonstruirati. Na tipični slik ima kvantizir na atrika mnogo
n čel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj om njena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za fakt r približno 7. Mat iki, v k teri je večina lementov
n čelnih, preo ali pa nim jo posebne strukture, rečemo razpršen matrika.
Kvantizirana matrika je t ej praviloma raz ršena.
V fotoaparatu z vel ki sen orje (APS-C ipd.) n sta itev na fino (an-
gleško fine) da kvantiz c jsko matriko z bist no manǰsimi elementi, velikosti
r cimo od 1 do 6. T omeni nižjo ompres jo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagonalo pod 8 m bo kvantizacijsk m trik v načinu fine i la
elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pom ožimo atr k naz z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravim inverzno t ansf r ac jo k DCT. Dobimo pri-
bliže prvo ne s ke našega kvadra a. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi i temnimi deli slike d luje sij jno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteve , hi er in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z gromno podrob ost i, k t so trava, krzno. Bolǰse k ere tak
sliko prepoznajo n bistveno manj stisnejo, se pravi upor bijo drugo kvan-
t zacijsko matr k kot icer. (Slik z ogro n šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo z interesirani za podr bn reprodukcijo.) Pri p ceni k merah
p lahko kombinac ja n akovostnega zoom objektiva in nepril godljivega
st skanja travnik spremen v zele o plundro. JPEG tudi ni najbolǰs za re-
produkc jo grafičnih podrob osti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporablj jo format PNG.
Za zvok je nastal na podl gi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v azličnih kovost h. Zelo ober za
kompresijo zvoka je tudi prostokod i format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekat ri štud nti na izpitih rǐsejo graf »po točkah«. Ve inoma se to
ne obn se. Vendar pa je mogoče vel k razred funkcij p pol oma reko stru-
irati njihov h vrednosti na dis retni množici točk. V knjigi [3] n jdemo
na str. 373 i rek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fouri ova transformi-
rank f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
Bodim
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/3 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
rgli s d l i f rmacije na rigin lni sliki (večin ma nezanimivi del), se
zadovoljili s pr bliž i ne aterih drugih podatkov in or ginala ne ore o več
nat čno rekon truir ti. N p čni sliki ima kvantizirana matrika mnogo
čel, redvsem v desnem sp dnjem delu. Zg raj menjena m trika Q obi-
čajno sl ko stisne za faktor približno 7. M ri i, v kateri je večina elementov
ičelnih, pr ostal pa imajo posebn strukture, rečemo azpršena matrika.
Kvantizirana matrik je torej pravilo a razpršena.
V fotoaparatu z velikim s nzorjem (APS-C pd.) nastavitev na fino (an-
glesk fine) da kvantiz c jsko matriko z bis veno anǰ mi el menti, velik sti
recimo od 1 do 6. To p en ižjo ko pr sijo, nekako za f ktor 2. Pri malih
tipalih z diag nalo p d 8 m bo kva tiz cijska matrika v nač nu fine ela
elemente reci o d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno ni ajo zelo dobre
ločljivos i.
Pri dekod ranju pomnožim matr ko nazaj z is oležnimi elementi kvan-
tiz cijske atrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotn slik našega kvadrata. Na slikah z mehkimi p ehodi med
svet imi in temnim deli slik to d luje s jajno. Algoritem z JPEG stiska-
nje je računsko ne ahteven, hiter in robust n. Manǰsi problem se pojavi pri
sli h z ogr no pod obn stmi, kot so trava, krzn . Bolǰse kamere tako
sliko pre zn in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko m trik kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zai te si ani z pod obn reprodukcijo.) Pri poceni kam rah
pa ahko kombinacija nekakovostn ga zoom bjektiva in neprilagodljivega
stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi n najbolǰsi za re-
rodukcijo grafičnih podr bnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci
raje uporabljajo format PNG.
Za z ok je astal na p dlagi JPEG pril ubljeni, za zdaj še pa entirani
format MP3. Omo ča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kom re ijo zvoka je udi prostokodni format (Ogg) Vo bis.
V orčenje in digitalizacija
Neka eri štude ti na izpitih rǐsej grafe fu kcij »po točkah«. Večin ma se to
ne obn se. V dar pa je mogoče velik razred fu kcij popoln ma reko stru-
ira i iz njihovih vred ost na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. N j bo ∈ L2(R) zv zna in n j bo njena Fourierova transformi-
ra ka f̂ enaka 0 zunaj interv la [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
gnitivno prijaz i
i
i
“Legisa-vesti” — 2017/6/ 0 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vr li sm del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi d l), se
zadovolj li s pribl žki nek erih drugih p datkov in originala ne moremo več
nat nčn rek nstruir ti. N tipični sliki ima kv ntizi a a atrika mnogo
ni l, pre v em v d sn m spodnj m delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi-
čaj sliko s isne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je veči a elemen ov
ničel ih, eostali pa ni ajo osebne st u ture, rečemo razpršena matrika.
Kv ntizi an mat ik j torej pr viloma razpršena.
V f to paratu z velikim se zorjem (APS C ipd.) a tavitev na fino (an-
gleš fine) k an z cij ko matriko z bistven manǰsim el menti, velikosti
re m od 1 d 6. T omeni nižjo k mpr sijo, nek ko za faktor 2. Pri malih
tipalih z diagon l pod 8 mm bo kva ti cijska matr k v načinu fin imela
elemente recimo od 1 do 15, saj us rezne optike obič no nimajo zelo dobre
ločljivosti.
P i dekod ranju pom oži o atriko nazaj z isto žnim elementi kvan-
tiz cijs e mat ike in opr vim inverzno transform cijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvot e slike n š ga kvad at . Na slikah z mehki i prehodi med
svetlim in temnimi del slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje j rač nsk nezahteve , hiter r busten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z g mno podrobn st i, kot so trava, krzno. B lǰse kamere tako
sliko prep znajo in bis v no manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot cer. (Slika z ogr mno šuma e tudi težava, vendar
pa tu nismo z interesira i z podrobno reprodukcij .) Pri poceni kamerah
pa lahko k bi c ja nekako ostnega zoom objektiva in neprilagodlj vega
stiska ja t avnik sp emeni v zelen plund o. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re-
p oduk ij grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
raje uporablja o form t PNG.
Za zvo je na al na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresi o zv ka je udi prostokodni f rm t (Ogg) rbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekat ri študenti na izpiti rǐsejo grafe funk ij »po točkah«. Večinoma se o
e obnese. Venda pa e mog če v li raz ed funkcij popolnoma rekonstru-
irati z njihovih vrednosti na d skretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
I k 1. Naj bo f ∈ L2(R) z ezna i naj bo n na Fourierova transf rmi-
ranka f̂ ka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
in
ne ovzročajmo sta j, v kat ri morajo drugi ugibati o naših žel ah in na-
m rah. Vljudno povejmo, kaj bi si sami želeli. Za skup i izlet ali druže je
predlagajmo le nekaj možnosti. Morda to ni
i
i
“Legisa-vest ” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli s o del infor acije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se
zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne more o več
natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi-
čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov
ničelnih, preostali pa imajo p sebne strukture, reče o razpršena matrika.
Kvantizirana matrika je torej pravilo razpršena.
V f toaparatu z velikim senzo e (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) da kvantizacijsko m triko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti
r cimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih
tipalih z diago alo pod 8 bo kvantizacijska matrika v načinu fine i ela
elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike o ičajno nimajo zelo do re
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska-
nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri
slikah z ogro no podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega
stiskanja travnik spremeni v z le o plun ro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re-
produkcijo grafičnih p drobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci
r je porabljajo format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubl ni, za zdaj še patentirani
format MP3. O ogoča stisk nje v različnih kakovostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka j udi prostokodni format (Og ) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
N kateri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transfor i-
ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
fino vedenje
i
i
“Leg a-vest ” — 2017 6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezani ivi del), se
zad voljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več
n ta čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizir na matrika n go
ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi-
čajno sliko tisne z faktor približ 7. Matriki, v kateri je večina ele entov
ničelnih, preost li pa nimajo posebne strukture, r čemo razpršena matrika.
Kvantizir na matrik je torej praviloma razpršena.
V f t p ratu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an-
gleško fine) d kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi eleme t , velikosti
reci o od 1 do 6. To pome nižjo kompresijo, ne ako z faktor 2. Pri malih
tipalih z diag n lo p d 8 mm bo vantizacijsk matrika v načinu fi e imel
element recimo od 1 d 15, saj ustrez e optike običaj ni ajo zelo dobre
ločljivosti.
Pri dekodiranju pomnoži o matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan-
tizacijske matrike in opravi o inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri-
bližek prvotne slike našega kvadr ta. Na slikah z mehkimi prehodi med
svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG tiska-
n je računsko nezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi proble se pojavi pri
slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako
sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan-
tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi tež va, vendar
pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah
pa lahko kombinacija ne ak vostnega zoom objektiva i neprilagodljivega
tisk nj travnik spreme i v zele o plu dro. JPEG tudi i najbolǰsi za re-
pr dukcij grafičnih podrobnosti. Za manǰse ris e in grafike profesi nalci
raje u orabljaj format PNG.
Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani
format MP3. Om goča tiska je v različnih ak vostih. Zelo dober za
kompresijo zvoka je tudi pros kodni format (Ogg) Vorbis.
Vzorčenje in digitalizacija
Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gra e fu kcij »p točkah«. Večinoma se to
ne obnese. Vendar pa je m goče velik razred funkcij polnoma rekonstru-
irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo
na str. 73 izre , ki ga ni težko dok zati:
Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi-
ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Potem je f določena
70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2
, je pa za v
lažje i bolj produktivno.
Navedli sm le nekaj bolj dostopnih i ma j tehničnih zgodb te vsebinsk
bogate knjige. Samo besedilo se konča na strani 262. Nato imamo še obsežne
Opombe z referencami in bibiliografijo.
Peter Legǐsa
70 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet” — 2020/8/31 — 6:52 — page 71 — #1 i
i
i
i
i
i
Figurierte Zahlen
Jochen Ziegenbalg, Figurierte Zahlen, Springer Spectrum, Wies-
baden, 2018, 136 strani.
Knjiga daje vpogled v elementarne me-
tode, ki imajo izvor v matematičnih figu-
rah in slikah, ki jih najdemo že pri pita-
gorejcih, ki so poznali liha in soda ter tri-
kotnǐska števila. Njen naslov pove, da je
posvečena figurativnim številom, kamor
na primer spadajo dobro znana trikotni-
ška in večkotnǐska števila. Figurativno
število je, kot vemo, število enakih pred-
metov, razporejenih v neki geometrijski
red, bodisi v ravnini ali v prostoru (pri
tem imamo v mislih prostor R3).
Knjigo odlikujejo jasnost, nazornost,
elementarnost in konkretnost izbranih
zgledov, v vsebino pa je vključen tudi primerno izbran zgodovinski pogled.
Pristop je v nekaterih primerih algoritemski in bralca usmerja v uporabo
računalnǐskih programov za simbolno računanje. Namenjena je študentom
in učiteljem pri elementarni matematiki, pa tudi vsem tistim ljubiteljem
matematike, ki niso vpeti v izobraževalni sistem, a jih zanima obravnavana
tematika.
Knjiga je razdeljena na deset kraǰsih poglavij, ki jim sledijo še dodatki, ki
vsebujejo seštevanje zaporednih lihih števil, Fibonaccijeva števila kot vsote
določenih elementov Pascalovega trikotnika, vsote zaporednih kubov narav-
nih števil, seznam literature, seznam s svetovnega spleta uporabljenih slik
in stvarno kazalo.
Prvi dve poglavji prikažeta kratek zgodovinski razvoj pojma figurativnih
števil od antike naprej. Omenjena sta Pitagora in Nikomah iz Gerase ter
njun pomen na področju teh števil. Za zelo pripraven matematični pripomo-
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 71
i
i
“Razpet” — 2020/8/31 — 6:52 — page 72 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
ček se je izkazal gnomon, figura v obliki kotnika. Gnomon je tudi sestavni
del sončne ure. Avtor se na tem mestu spomni na Eratostena in njegovo
genialno metodo za določitev velikosti Zemlje.
V tretjem poglavju srečamo trikotnǐska, kvadratna in kubična števila
ter nekatere vsote, ki so z njimi povezane in jih lahko obravnavamo geo-
metrijsko, z uporabo primernih slik. Četrto poglavje uvede večkotnǐska ali
poligonalna in piramidna števila, ki jih nato v petem poglavju razlaga z
vidika diferenčnega računa. V šesto, sedmo in osmo poglavje so tako ali
drugače vpletena Fibonaccijeva števila in zlato razmerje ϕ = (1 +
√
5)/2.
Glavne teme so: definicija Fibonaccijevih števil, nazorna predstavitev nji-
hove rekurzivne relacije, kvadrati in pravokotniki v zvezi z njimi, Binetova
formula, ki eksplicitno izraža vsako Fibonaccijevo število, matrike, ki imajo
za svoje elemente Fibonaccijeva števila, in filotaksa, ki v biologiji pomeni
nauk o pravilni razporeditvi listov, popkov, vejic in poganjkov rastlin. De-
veto poglavje pokaže, kako rešujemo homogene linearne diferenčne enačbe
prvega in drugega reda. Zadnje, deseto poglavje, je namenjeno naravnim
številom in dokazovanju z metodo popolne indukcije. Navedenih je nekaj
primerov uporabe iz geometrije in teorije množic.
Avtor knjige, prof. Jochen Ziegenbalg, rojen leta 1944, je študiral mate-
matiko na Univerzi v Tübingenu, nato predaval matematiko in informatiko
na Pedagoški visoki šoli v Karlsruheju, po upokojitvi pa sodeluje pri pole-
tni šoli Lust auf Mathematik, kar pomeni veselje (strast) za matematiko, v
Berlinu.
Marko Razpet
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
72 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Razpet2” — 2020/8/30 — 11:08 — page 73 — #1 i
i
i
i
i
i
Kurven erkunden und verstehen
Dörte Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen, Springer Spec-
trum, Wiesbaden, 2017, 355 strani.
Knjiga poskuša vzbuditi ponovno zani-
manje za matematične krivulje pri učen-
cih, dijakih in študentih, pa tudi pri vseh
tistih, ki jim je všeč ta tematika. Konec
preǰsnjega stoletja so se namreč učni na-
črti, kar se krivulj tiče, v glavnem skr-
čili na premice in stožnice, bolj zaple-
tene krivulje pa niso bile vključene. S
prihodom zmogljivih in hitrih računalni-
kov ter programov za dinamično geome-
trijo pa so nastali pogoji, da se krivulje
lahko udobno raziskujejo in da se laže
razume njihov pomen. Pri tem imamo
nešteto možnosti za spreminjanje para-
metrov krivulj, tako da je raziskav na
pretek. Za vsako krivuljo pa imamo mo-
žnost, da jo obdelamo po strogih mate-
matičnih kriterijih. Knjiga za študij kri-
vulj večinoma priporoča GeoGebro, tu in tam pa tudi druga tovrstna orodja.
Knjiga je ilustrirana z več sto, večinoma barvnimi slikami. Ob nekaterih
krivuljah spoznamo tudi nekaj zgodovine matematike. Je zgledno urejena,
vsebuje sprotne naloge z navodili za samostojno reševanje, dodan pa ji je
tudi obširen spisek dodatne literature in stvarno kazalo. Snov v knjigi je
smiselno razdeljena na enajst poglavij, od katerih ima vsako po več razdelkov
s podrazdelki. Zaželeno je seveda, da bralec sam ob računalniku ponovi v
knjigi opisane postopke.
Prvemu poglavju, ki v glavnem opisuje cilje in zgradbo knjige, sledi obšir-
neǰse drugo poglavje. V njem se seznanimo z osnovami analitične geometrije,
pravokotnimi kartezičnimi in polarnimi koordinatami, s hitrim risanjem kri-
vulj, s parametriziranimi krivuljami in osnovno razdelitvijo ravninskih kri-
vulj na algebrske in transcendentne. Obravnavane so tudi ploskve in krivulje
v prostoru. Poglavje zaključijo opisi nekaterih računalnǐskih programov za
dinamično geometrijo.
Tretje in četrto poglavje se lotita konkretnih krivulj: konhoid, strofoid,
trisektris, cisoid, Cassinijevih ovalov in lemniskat. Pri slednjih uporablja
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 73
i
i
“Razpet2” — 2020/8/30 — 11:08 — page 74 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
tudi pojem bipolarnih koordinat. Na koncu četrtega poglavja srečamo tudi
nekaj zglobnih mehanizmov, pri katerih izbrane točke opisujejo zanimive
krivulje, med njimi tudi take za risanje stožnic.
Peto poglavje pokaže, kako lahko sami z zapisom implicitnih enačb ali
posebnih geometrijskih konstrukcij točk odkrivamo nove krivulje in ploskve.
Včasih je dovolj nekoliko modificirati znano krivuljo ali ploskev s primerno
substitucijo, da dobimo novo. Lahko pa iz dveh krivulj ali ploskev sestavimo
novo.
Šesto poglavje se ukvarja z nekaterimi antičnimi geometrijskimi pro-
blemi: podvojitvijo kocke, tretjinjenjem kota, kvadraturo kroga in konstruk-
cijo pravilnega sedemkotnika. Med drugim pojasni možnost tretjinjenja kota
s konhoido, podvojitev kocke s cisoido, kvadraturo kroga s kvadratriso in
konstrukcijo pravilnega sedemkotnika s strofoido.
Sedmo poglavje je v celoti namenjeno stožnicam kot najbolj znani dru-
žini krivulj. Razloži, od kod njihovo ime, kako nastanejo, kje se pojavljajo,
kako se uporabljajo, kako jih rǐsemo po točkah, kako jih rǐsemo približno
itd.
Osmo poglavje obravnava spirale, rozete, cikloide, trohoide, kamor so
uvrščene tudi epi- in hipocikloide, in verižnico. Verižnico opisuje gorǐsče
parabole, ko se le-ta brez drsenja kotali po premici. Na koncu pa najdemo
še sinusno nihanje, sinusoide in Lissajousove krivulje.
V devetem poglavju spoznamo posebne načine tvorbe novih krivulj iz
znanih krivulj. Govora je o nožǐsčnih krivuljah, ogrinjačah, evolutah, invo-
lutah, evolventah, katakavstikah, zrcaljenju na krožnici, naravnih enačbah
krivulj, klotoidi, traktrisi in še enkrat verižnici.
Deseto poglavje predstavlja didaktični vidik študija krivulj z modernimi
orodji: predznanje, vzpodbuda za začetek študija krivulj, pomembnost zgo-
dovine matematike pri tem, odkrivanje nadarjenih, vloga učiteljev.
Zadnje, enajsto poglavje, je zbirka osnovnih pripomočkov matematične
analize za študij krivulj: odvod, tangenta, normala, ploščina, prostornina
rotacijskih teles, ločna dolžina, ukrivljenost.
Avtorica knjige, prof. Dörte Haftendorn, rojena leta 1948, je študirala
matematiko in fiziko na tehnǐski univerzi v Clausthalu (Spodnja Saška). Po
doktoratu (algebra) je poučevala na gimnaziji in predavala bodočim učite-
ljem, inženirjem in informatikom na strokovni visoki šoli ter na Univerzi
Leuphana v Lüneburgu (Spodnja Saška). Leta 2013 se je upokojila, a z
univerzo še vedno sodeluje.
Marko Razpet
74 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Hladnik” — 2020/8/21 — 11:21 — page 75 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Mariji Vencelj v spomin
Sredi junija nas je v osemdesetem letu ži-
vljenja nepričakovano zapustila naša ko-
legica, upokojena vǐsja predavateljica
mag. Marija Vencelj. Za sabo je pu-
stila globoko sled, ne samo na oddelku
za matematiko ljubljanske univerze, kjer
je bila zaposlena, temveč tudi v širši slo-
venski matematični družini. Ker je bila
zadolžena za izobraževanje in vzgojo bo-
dočih srednješolskih profesorjev matema-
tike, je bila v šolskih krogih med naj-
bolj znanimi predavatelji matematike na
ljubljanski univerzi. Obenem so jo za-
radi njenega nezanemarljivega prispevka
k popularizaciji matematike med mla-
dimi poznali tudi drugi ljubitelji mate-
matike, zlasti člani DMFA Slovenije, in dijaki. Slednje je s svojimi pri-
spevki v Preseku in drugje vrsto let navduševala za matematiko, tako da so
se mnogi med njimi tudi po njeni zaslugi odločili za študij matematike.
Marija Vencelj se je rodila v Kranju 3. januarja 1941, tam obiskovala
osnovno šolo in si pridobila tudi srednješolsko izobrazbo. Jeseni 1959 se je na
Naravoslovni fakulteti ljubljanske univerze vpisala na študij matematike, na
pedagoški program matematika-fizika, ki je izobraževal bodoče srednješolske
profesorje. Ko se je po enem letu pojavila nova možnost nepedagoškega
študija, je svoj študij nadaljevala v drugem letniku t. i. tehnične matematike.
Vsa leta je bila odlična študentka in tudi diplomirala je oktobra 1963 kot
druga v svoji generaciji slušateljev matematike.
Že pred diplomo je z Jožetom Vrabcem in Egonom Zakraǰskom sodelo-
vala pri raziskovalni nalogi na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehaniko
(IMFM) v zvezi s sestavljanjem zbirke podprogramov za takratni prvi (in
edini) dostopni računalnik Zuse Z-23, za kar je skupina prejela študentsko
Prešernovo nagrado. Kot diplomirana tehnična matematičarka je postala
članica programerske ekipe, ki je pripravljala aplikacije numerične matema-
tike in algoritme za elektronski računalnik. V letih 1965 in 1966 je sodelovala
pri dveh podobnih raziskovalnih nalogah na IMFM, v osemdesetih letih pa
še pri več drugih dveletnih projektih (o vektorskem pristopu h geometriji,
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 75
i
i
“Hladnik” — 2020/8/21 — 11:21 — page 76 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
o uvajanju učencev k raziskovalnemu delu v srednji šoli ter o zanimivih
matematičnih problemih v srednješolski matematiki).
Po diplomi je po kratki zaposlitvi na Inštitutu Jožef Stefan z marcem
postala prva in poleg peščice asistentskih kolegov edina asistentka na katedri
za matematiko Fakultete za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani.
S svojimi študenti je na vajah utrjevala njihovo matematično znanje in jih
pripravljala na izpite; snov, ki je niso razumeli, je znala razložiti preprosto
in jasno. Poleg tega je študente tudi vzgajala v urejenosti in oblikovanju
pisnih izdelkov ter v poštenem odnosu do dela in soljudi.
V študijskem letu 1965/66 se je na univerzi v Nancyju strokovno izpopol-
njevala v algebri. Nato sta jo začeli zanimati topologija in analiza, kasneje
pa zlasti elementarna geometrija. Ker v Ljubljani v šestdesetih letih še ni
bilo podiplomskega študija matematike, se je (tako kot še nekateri drugi lju-
bljanski matematični diplomanti) vpisala na 3. stopnjo zagrebške univerze.
Pri profesorju dr. Sibetu Mardešiću je magistrirala leta 1970 z delom Hi-
perprostori podkontinuov in zaprtih podmnožic. Iz topologije je pripravljala
tudi doktorat, ki pa ga ni zaključila, ker je rešitev istega problema medtem
že objavil nekdo drug.
Leta 1975 je ob sodelovanju več avtorjev izšel prenovljeni drugi del Vida-
vove Vǐsje matematike. Mag. Marija Vencelj je vanjo prispevala poglavje o
vektorski analizi. Istega leta je bila izvoljena za predavateljico matematike,
nekaj let kasneje pa za vǐsjo predavateljico. Na pedagoški smeri je potem
bodočim učiteljem in profesorjem matematike do upokojitve v začetku ja-
nuarja 2001 predavala elementarno matematiko z metodiko. Od leta 1982
je zanje vodila tudi poseben seminar. Pripravljala jih je na učiteljsko po-
slanstvo in jim posredovala svoje bogate pedagoške izkušnje. Pri njej je
od leta 1978 do leta 2000 diplomsko delo na drugi stopnji naredilo šestnajst
študentov, diplomsko nalogo za prvo stopnjo pa v letih 1985 do 1988 še šest.
Z diplomanti in tudi drugimi svojimi bivšimi študenti je obdržala stike tudi
kasneje, ko so bili že srednješolski profesorji, in je v njihove razrede vodila
nove študente na hospitacije in nastope. Poleg te svoje osnovne pedagoške
dejavnosti je učila osnovno matematiko še na različnih drugih študijskih
programih: na agronomiji, farmaciji, montanistiki, tekstilni tehnologiji in
psihologiji.
Metodiko matematike je svojim študentom in učiteljem prenašala ne
le teoretično, s predavanji, temveč tudi praktično, s pisanjem učbenikov.
Konec devetdesetih let preǰsnjega stoletja, tik pred njeno upokojitvijo, so
namreč v zaporednih letih 1997, 1998 in 1999 izšli njeni učbeniki za tri-
letne poklicne šole (za vsako leto šolanja eden); kasneje sta bila prva dva
predelana in namenjena za poklicno-tehnično izobraževanje. Zaradi svoje
76 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Hladnik” — 2020/8/21 — 11:21 — page 77 — #3 i
i
i
i
i
i
Mariji Vencelj v spomin
matematične korektnosti in obenem izredno preproste razlage, prilagojene
dijakom poklicnih šol, so doživeli ugoden sprejem in več ponatisov v prvih
dveh desetletjih 21. stoletja; uporabljajo jih še danes.
Morda največji prispevek mag. Vencljeve pomeni njeno delo na podro-
čju popularizacije matematike. Nekaj strokovnih člankov je objavila v Ob-
zorniku za matematiko in fiziko že v šestdesetih in osemdesetih letih 20.
stoletja, za Presek, list za mlade matematike, pa je začela intenzivno pisati
prispevke konec osemdesetih let. Tedaj je tudi postala članica urednǐskega
odbora Preseka, od leta 1991 do 2003 pa je bila njegova zelo prizadevna
odgovorna urednica in obenem urednica za matematiko. Tako rekoč živela
je za to revijo. Skrbela je za primerno vsebino in kljub občasnim kritikam,
da je časopis za mladino pretežak oziroma da je primeren bolj za dijake kot
za osnovnošolske učence, je vzdrževala njegovo strokovno raven ter ohra-
njala njegovo vsebinsko podobo. Imela je posluh za slovenski jezik in je
avtorjem člankov svetovala glede pravilne rabe besed in lepšega izražanja.
Poglabljala se je celo v čisto tehnična vprašanja urejanja revije. Kot ure-
dnica in drugače je sodelovala še pri Zbirki testnih nalog druge mednarodne
raziskave znanja matematike, pri urejanju in izdajanju nekaterih društve-
nih knjig (npr. Altius, citius, fortius), prevedla za objavo v Knjižnici Sigma
Matematični leksikon za nematematike Zlatka Šporerja. Vsako svoje delo
je opravljala zelo vestno in prizadevno, tako v službi kot v okviru društva,
za katerega je po upokojitvi delala od doma.
Predvsem pa je tudi sama veliko pisala. Poleg prvega članka, ki je bil
objavljen leta 1981, je v Preseku objavljala brez prekinitve vsa leta od 1988
do 2010, v letih 2012, 2013 in 2015 pa je objavila še zadnje tri prispevke.
Lastnih besedil se ji je (poleg 13 prevodov) v tem času nabralo 216, približno
tretjina od njih po upokojitvi. Med njimi je seveda veliko kratkih tekstov,
ugank, zanimivih igric in matematično pobarvanih zgodbic, posameznih do-
miselnih nalog in njihovih rešitev, nekaj ocen slovenskih knjig, a prispevala
je tudi dalǰse (za srednješolce primerne) razprave, nekatere med njimi v več
delih (npr. o topologiji, filotaksi, mavrici, matematiki in glasbi, velikih ma-
tematikih pretekle dobe), in poročila o aktualnih dogodkih, pomembnih za
slovensko ali svetovno matematiko. Poleg objav v Preseku je o različnih
matematičnih temah objavljala prispevke še v Obzorniku za matematiko in
fiziko (14 zapisov), nekaj tudi v časopisu Matematika v šoli in v reviji Gea.
V biltenih Društva matematikov, fizikov in astronomov (DMFA) Slove-
nije so bili natisnjeni povzetki njenih predavanj, ki jih je po letu 2000 imela
na strokovnih srečanjih ob občnih zborih društva. Seveda je tudi prej obča-
sno predavala tako učiteljem kot dijakom, vendar njena predavanja niso bila
nikjer objavljena. Za svoje pedagoško delo, usmerjeno v veliki meri v vzgojo
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 77
i
i
“Hladnik” — 2020/8/21 — 11:21 — page 78 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
bodočih učiteljev, in za svoj trud na področju popularizacije matematike je
leta 1999 prejela društveno priznanje, leta 2002 pa je postala častna članica
DMFA Slovenije. Strokovno pomoč je rada nudila tudi zasebno. Še v poznih
letih so se nanjo npr. z raznimi geometrijskimi konstrukcijskimi nalogami
obračali ljudje, ki so jo poznali.
Med kolegi je veljala za prijazno in prijetno sogovornico. Bila je zelo zgo-
vorna; za pomenek z njo si si moral vzeti dovolj časa. Poleg matematike se je
zanimala tudi za različne druge stvari, od drobnih vsakodnevnih opravil do
strokovnih zadev, in o njih veliko vedela. O marsičem je imela izoblikovano
mnenje, ki ga je znala vljudno in utemeljeno zagovarjati. Tisti, ki smo jo
pobliže poznali, smo vedeli, da ji v življenju ni bilo lahko; pravzaprav si je
svojo izobrazbo in položaj na univerzi izborila sama. Poleg službe je skrbela
za dom in odraščajočega sina Matjaža; v prostem času pa je rada pletla, zase
in za druge. Neizmerno je bila zadovoljna, ko si je pridobila lastno napol
zgrajeno stanovanje s koščkom vrta v hǐsi v Spodnjih Gameljnah, čeprav
je imela z njegovim dokončanjem še veliko dela. Največje veselje je imela
z urejanjem vrta, na katerega je bila prav ponosna. Sploh je vse življenje
imela rada naravo, dokler je mogla, je vsako leto hodila v gore in poleti
taborit na morje. Ko je dobila vnuka in kmalu za njim še vnukinjo, pa je
seveda velik del svojega časa in ljubeče pozornosti posvečala njima in njuni
vzgoji. Tudi po upokojitvi je ostala delavna in matematično aktivna, saj je
še vedno predavala na seminarjih in pisala članke. Tesneǰse stike pa je ob-
držala le z nekaterimi svojimi kolegi z oddelka za matematiko in nekaterimi
drugimi prijatelji. V poznih letih je sicer imela različne zdravstvene težave,
ki jih je vdano prenašala, vendar njene smrti 16. junija 2020 ni pričakoval
nihče. Poleg svojcev in sorodnikov je njeno nenadno dokončno slovo zelo
prizadelo tudi mnoge njene kolege, prijatelje in znance.
Mag. Marija Vencelj ni sodila med vrhunske matematične raziskovalce in
ni producirala pomembnih znanstvenih člankov, zato pa je z veliko ljubeznijo
opravljala nujno potrebno delo pri prenašanju osnovnega matematičnega
znanja na bodoče rodove, zlasti na bodoče generacije učiteljev.
Brez požrtvovalnih učiteljev, ki znajo približati matematiko in navdu-
šenje za matematično misel učeči se mladini, ne more uspešno opravljati
svojega osnovnega poslanstva nobena matematična šola, in visokošolska ni
pri tem nobena izjema. To svojo nalogo je pokojna kolegica Vencljeva iz-
polnila v največji možni meri, za kar si zasluži vse naše priznanje.
Milan Hladnik
78 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Gajser” — 2020/8/21 — 11:21 — page 79 — #1 i
i
i
i
i
i
MaRS 2020
MaRS 2020
Od 28. do 30. julija letos je potekal že petnajsti tabor za srednješolce MaRS
(Matematično Raziskovalno Srečanje). Prvič je potekal preko spleta, za kar
se lahko zahvalimo virusu COVID-19. Čeprav smo še dober teden pred
začetkom tabora imeli vse pripravljeno za izvedbo v živo, so se plani po na-
svetu zaposlenih na Nacionalnem inštitutu za javno zdravje in po pogovorih
s predstavniki Ministrstva za notranje zadeve spremenili. V enem tednu smo
na novo zasnovali tridnevni tabor in ga izvedli z veliko mero strokovnosti in
entuziazma.
Slika 1. Posnetek zaslona pred večernim predavanjem dr. Lucijana Plevnika.
Pri organizaciji spletnega tabora je sodelovalo sedem mentorjev: dr. Da-
vid Gajser, profesor matematike na II. gimnaziji Maribor in docent na
FNM UM, Rok Havlas, doktorski študent matematike na Georg-August-
Universität Göttingen, Žan Hafner Petrovski, magistrski študent IŠRM na
FMF in FRI UL, Klara Drofenik, dodiplomska študentka IŠRM na FMF in
FRI UL, Petra Podlogar in Nejc Zajc, dodiplomska študenta matematike
na FMF UL, ter David Opalič, dodiplomski študent matematike na Univer-
sity of Cambridge. Pri organizaciji izvedbe v živo sta aktivno sodelovala še
Jakob Svetina, dodiplomski študent finančne matematike na FMF UL, ter
Simon Brezovnik, asistent in doktorski študent matematike na FNM UM.
Tabora se je udeležilo 18 dijakinj in dijakov, žal pa zaradi spletne izvedbe
niso vsi prisostvovali pri vseh aktivnostih.
Osrednja aktivnost tabora so bili, kot vsa leta doslej, MaRSovski pro-
jekti. Letos sta bila, če smo natančneǰsi, le dva projekta. Prvi z naslo-
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 79
i
i
“Gajser” — 2020/8/21 — 11:21 — page 80 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
vom Preštevalna geometrija in drugi z naslovom Požrešni algoritmi. Delo
na projektih je potekalo ob dopoldnevih, vsak dan približno tri šolske ure.
Spoznavala se je teorija, reševale naloge, pogledali so se zanimivi primeri,
odgovarjalo se je na vprašanja. Dijaki so pri tem aktivno sodelovali. Pri
projektu Preštevalna geometrija se je obravnaval Schubertov račun, ki nam
pomaga odgovoriti na vprašanja tipa: »Koliko premic seka dane 4 premice
v prostoru?« Če so premice v splošni legi, je odgovor 2. Bralca, ki bi že-
lel o tem vedeti več, vabimo na mars.dmfa.si/povzetki-projektov/, kjer
lahko poǐsče članek Schubertov račun iz MaRSa 2018. Pri projektu Požrešni
algoritmi so dijaki najprej spoznali osnove teorije grafov, nato pa Primov
in Kruskalov algoritem za iskanje najceneǰsega vpetega drevesa ter Dijk-
strov algoritem za iskanje najkraǰse poti med dvema vozlǐsčema v danem
grafu s pozitivno uteženimi povezavami. Delo na projektih smo zaključili na
sklepnem dogodku imenovanem pristanek, kjer so skupine predstavile svoje
delo.
Poleg projektov smo udeležencem pripravili tudi večerni predavanji. S
Srbske akademije znanosti in umetnosti smo gostili dr. Ðorđa Baralića, ki
je predstavil več posplošitev Pascalovega izreka, ki pravi, da če v odsek
stožnice narǐsemo šestkotnik v splošni legi, potem se trije pari nosilk na-
sprotnih stranic sekajo v (treh) točkah, ki so kolinearne. Premici skozi te
tri točke pravimo Pascalova premica začetnega šestkotnika. Če točke šest-
kotnika permutiramo, lahko dobimo drugačen, morda izrojen šestkotnik, ki
lahko ima drugačno Pascalovo premico. Popolna slika iz vseh 60 Pascalovih
premic ima zelo zanimive lastnosti in je poznana kot Hexagrammum Mysti-
cum. Predavatelj je omenil tudi Octagrammum Mysticum in več konstrukcij
demonstriral v programu Cinderella.
Drugo predavanje z naslovom Matematični opis Rubikove kocke je pri-
pravil dr. Lucijan Plevnik s FMF UL. Glavno vprašanje, na katerega je
avtor odgovoril, je bilo: »Kako bi matematično opisali množico vseh mo-
žnih potez Rubikove kocke?« Kaj hitro lahko vidimo, da ima ta množica
strukturo grupe. Najprej je predstavil osnove teorije grup in predstavil ne-
kaj primerov, nato pa opisal grupno strukturo množice vseh možnih potez.
80 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Gajser” — 2020/8/21 — 11:21 — page 81 — #3 i
i
i
i
i
i
MaRS 2020
Na koncu smo ugotovili, do katerih postavitev Rubikove kocke je možno
priti z veljavnimi potezami in poračunali center grupe vseh možnih potez
(ki ni trivialen!). Po zaključku predavanja smo omenili možnosti študija
matematike na FMF UL, FNM UM in FaMNIT UP.
Na urniku sta poleg dela na projektih in večernih predavanj bila še vzlet
in pristanek. Na vzletu, uvodni aktivnosti tabora, smo se predstavili, prav
tako pa smo predstavili potek dela, urnik in se razdelili po skupinah za
projekte. Na pristanku smo predstavili delo na projektih in se zahvalili
podpornikom. Uvod v pristanek, ki sta ga spisala udeleženca Alen in Vid, je
poskrbel za prijeten začetek večernega programa. Na tem mestu omenimo
še vsakodnevno neformalno nočno spletno druženje dijakov, ki se ga je z
veseljem udeležila tudi večina posadke.
Odzivi po taboru so bili v glavnem pozitivni. Vsem je bilo zelo, zelo žal,
da je tabor v živo odpadel. Organizatorji smo veseli, da smo izpeljali vsaj
spletno verzijo in tako pridobili izkušnje dela z nadarjenimi preko spleta,
vsak udeleženec pa je s seboj gotovo odnesel nekaj zase.
MaRS 2020 je imel finančno podporo v projektih RaST in SKOZ, ki ju
financirata Republika Slovenija in Evropska unija iz Evropskega socialnega
sklada. Projekt RaST izvaja II. gimnazija Maribor za dijakinje in dijake
kohezijske regije Vzhodna Slovenija, projekt SKOZ pa izvaja Gimnazija Vič
za dijakinje in dijake kohezijske regije Zahodna Slovenija. Finančno nas je
podprla tudi FNM UM, predavatelja je prispevala FMF UL. Zahvala gre
seveda tudi DMFA Slovenije za logistično in finančno podporo.
David Gajser
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2 VII
i
i
“kolofon” — 2020/8/21 — 11:32 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2020
Letnik 67, številka 2
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida
(Marko Razpet in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–51
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih (Simon Čopar) . . . . . . . . . . . . . . . 52–61
Nove knjige
The Calculus of Happiness, How a Mathematical Approach to
Life Adds Up to Health, Wealth, and Love (Peter Legiša) . . . . . . . . . . 62–64
Algorithms to Live by, The Computer Science of Human Decisions
(Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–70
Figurierte Zahlen (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71–72
Kurven erkunden und verstehen (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73–74
Vesti
Mariji Vencelj v spomin (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–78
MaRS 2020 (David Gajser) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79–VII
CONTENTS
Articles Pages
Paper folding, duplication of cube and conchoid of de Sluze
(Marko Razpet and Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–51
Perfect matching on regular polyhedra (Simon Čopar) . . . . . . . . . . . . . . . . 52–61
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–74
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–VII
Na naslovnici: Dodekaedra s pobarvanimi robovi – različna ali le zasukana (glej
članek na straneh 52–61)?