Iz merstva za življenje. (Spisal J. B.) (Dalje in konec.) C. Truplomerstvo. K temu pouku so pripravni modeli neizogibno potrebni; narisi sami ne zarlnstujejo. Našemu navodu uaj bolj ugajajo modeli (telesa) od kauieua, želcza ali vsaj leseni s kositarjem (plehom) pokriti, torej taki, ki se potope v vodi. Ako pa imamo cisto lesene, dokaže se tudi ednakost telesnin lehko s pomočjo vage, kajti enako težka telesa imajo tudi enako telesnino, uže je njih snov (materija) enaka (ene sorte les). JJiit. Kako se geometrijčna trupla razdele? Uien. Geometrijčna trupla telesa se dele na oglata in okrogla. Uiit. Katera telesa imenujeino voglata? Učen. Oglata telesa imenujemo tista, katerih površina je sestavljena samo iz ravnih likov (figur). Taka so: kocka, paralelepiped, prizma, piramida. Učit. Katera telesa pa imenujemo okrogla? JJcen. Telesa, katerih površina je sestavljena iz ravnih in okroglih ali pa samo okroglih ploskev, imenujemo okrogla telesa. Taka so: cilinder, kegelj, kroglja. 1. JJiit. Tukaj vidite kocko. Kaj je torej kocka? JJčen. Kocka je oglato telo, čegar površina nam predstavlja šest enakih kvadratov. Učit. Površina (površje) vsakega telesa se pa najlažje zračuni, ako se njegovo površje razgrne. Ako si razgrneno površje (mrežo) nekoliko natančneje ogledate, lehko uganete, kako se površje kocke zračuni. Uien. Najprve zračunimo eno stran, to je en kvadrat, in ta znesek šestkrat vzamemo. JJiit. Prav tako! Ali pa, kar je vse eno, Bkvadrirani rob kocke se šestkrat vzame". Ogledimo si še eno stran ali en kvadrat na kocki natančneje. Ako kockin rob 6 dm. meri, koliko meri potem ves kvadrat? Učen. Ves kvadrat meri torej 6X6__36Qdm. JJiit. Na vsakem kvadratu imamo torej 6 vrst po 6 ?dm. naj vzamemo vrste na širjavo ali dolžino. Ako zdaj na eni strani kocke po črtah ki vrste ločijo, kocko razrežemo, kaj dobimo? Uien. Potem razpade vsa kocka v 6 enakih plošč (plasti). JJiit. Na prvi plošči pa imamo zopet 6 vrst po 6 ?dm., ako smo razdelili na prej omenjeni način kockino površje. Razrežimo zdaj te vrste po čez in podolgoma. V kaj razpade vsa plošča? Uien. Vsa plošča razpade v majhne kocke, katere niso druzega, kakor kubikdecimetri. JJiit. In koliko je teh? JJien. Teh je 6 X 6, torej 36. JJčit. In ker so vse plošče enake, koliko kubikdecimetrov je v vsaki, in koliko jih je v vseh skupaj ? Uien. V vsaki plošči jih je 36 in 6 X 36 — 216 vseh skupaj, ker je šest plošč. JJiit. Koliko meri torej kocka, ako so njeni robovi 6dm. dolgi? Učen. Taka kocka meri 216 kub. dm. Uiit. Res je! To nam tudi posebno dobro predstavlja kocka, ki smo jo rabili pri inetrični raeri, kajti na njej so bile vse te črte zaznamovane, in vsa kocka nam je predstavljala skladovnico malih kocek. Število 216 pa tudi dobimo, ako številko 6 trikrat s sabo množimo (kvadriramo), 6 X 6 X 6 = 216. To pa se lehko dokaže pri sleherni kocki, torej sklepamo iz tega pravilo, ki se glasi: BTelesnina (prostornina) kocke se zračuni, ako se dolžina onega roba kubira". 2. Uiit. Kaj je prizma? JJien. Prizma je telo, katero je zgoraj in spodaj skleneno od dveh vštricnih (||) iu stičnih (^) poligonov, na straneh pa jo obdajajo paralelogrami. Učit. Ne bo nam torej težko, njeno površje zračuniti. Zračunili bomo najprve spodnji poligon (osnovno ploskev, stalo, podslombo), ker je pa ta enak gornjemu, se to število podvoji in k temu še mersko število stranskih ploskev (paralelogramov) prišteje. Stransko površje (obstranje) navpične prizme se pa dobf, ako se obseg podslombe pomnoži z višino, kar se iz njene mreže brez dokazov razvidi. Znano vam je, da se dele prizme navadno po številu stranskih ploskev v tri-, štiri-, pet-, in večstranske; po njihovi legi pa v navpične in poševne. Učit. Kako se li imenuje prizina, ki ima za podslombo kvadrat, za stranske ploskve pa pravokotja? Učen. Taka prizraa imenuje se pravokotni paralelepiped. Učit. Oglejte si torej natanko tukaj ta paralelepiped in primerite ga s prejšnjo kocko. Kako se razloči od kocke, če merijo robovi na višavo 12 dm., na širjavo in dolžino pa 6 dm. Učen. Razločka ni druzega, kakor, da je paralelepepid še enkrat večji ko prizma. Učit. Ker vam je telesnina kocke znana, lehko zračunite tudi telesnino paralelepipeda, kolika je? Učen. 2 X 216 kub. dm. = 432 kub. dm. Učit. To število bi pa bili tudi dobili, ako bi bili paralelepiped tako razdelili in razkosali na plošče, plasti in kubikdecimetre, kakor smo to prej s kocko storili. Še krajše pa pridemo do istega resultata (izida), ako npodslombo z višino množimo" ali pa Bdolžimo s širino in višino". To pravilo pa velja za vsaki paralelepiped; kdor ne verjarae, naj ga pa razdelf na omenjeni način. Ako primerjamo različne paralepipede in prizme s pravokotnim paralelepipedom, spoznamo, da je vsaki paralelopiped in sploh sleherna prizrna prostorno (telesno) jednaka s pravokotnim paralelepidom, ako ima ž njim enako podslorabo ia višino. Učit. Kaj li sledi iz tega? Učen. Iz tega pač sledi, da se Btelesnina prizem zračuni, ako se podslomba z višino množi". Učit. Res je! Prepričati vas pa tudi hočem o resnici tega pravila. Glejte tukaj imam pravokotni paralelepiped in petstransko poševno prizmo, oba telesa imata enako veliko podslombo in enako dolgo višino, kdor tega ne verjaine, se lehko po šoli z nierjenjem sam prepriča. Tukaj pa vidite dve popolnoma enake cilindraste posode, napolnene z vodo. Zdaj spustim po niti v eno posodo paralelepid, v drugo pa prizrao. Kaj zapazite? TJcen. Iz obeh posod izteče nekoliko vode. Učit. Zdaj potegnem oba telesa iz vode in postavim eno posodo tik druge, kaj zapazite ? Učen. V obeh posodah je enako vode izteklo. Učit. Kaj sledi iz tega? Učen. Da so telesa prostornojednaka. Učit. Kaj je s tem dokazano? Učen. Resnica prejšnjega pravila je potrjena. Učit. Kaj je piramida? Učen. Piramida je telo, ki ima poligon za podslombo in trikotnike za stranske ploščadi. Učit. Tukaj vidite razgrneno piramido ali črtež njencga površja, torej sarai lehko zračunite njeno površje, kako? Učen. Zmeri se najprve podslomba, potein po vrsti vse stranske ploskve, in vsa ta števila se soštejejo. Učit. Tukaj vidite 3 tristranske piramide, ki imajo enake podslombe in enake višine in katere skupaj zložene napravijo tristransko prizmo, ki je ravno tako velika kot ta tukaj. Ako eno teh piraraid spustim v eno z vodo napolneno posodo, priztno pa v drugo, potem jih pa zopet vun vzamem, kaj vidite? Učen. Iz posode, v kateri je bila prizraa, je več vode izteklo, kakor iz une, kjer je bila piramida. Učit. In sicer trikrat več. Ako moram v prvo posodo naliti tri kozarčke vode, da jo napolnim, treba jo je v drugo samo en kozarček. In to se pokaže, naj vržem katero si bodi zmej teh 3 piramid, kaj sledi iz tega? Učen. MDa je vsaka piramida tretjina prizme, s katero iraa enako podslombo in enako višino." Potem pa da so Mpiramide, ki imajo enake podslombe in enake višine tudi prostornojednake," naj si bodo navpične ali poševne. Učit. Kako se torej zmeri telesnina tristranske piramide? Učen. BTelesnina tristranske piramide se dobi, ako se podslomba pomnoži z višino in od tega števila tretjina vzame." Učit. Tukaj pred sabo imate šeststransko poševno piramido, in zopet vam lahko s posodami dokažem, da je telesnoenaka s tristransko pirainido, ki ima enako podslombo in višino. Ker se pa to tudi pri vsaki drugi piramidi lehko dokaže, velja v obče pravilo: nTelesnina piramide se dobf, ako se podslomba s tretjino višine množi." 4. Učit. Kaj je cilinder? Učen. Cilinder je telo, Cegar površina je sestavljena iz podslombe, ki je krog in zavite, okrogle, cevi podobne ploskve, ki je na vrhu zopet z enakini krogora pokrita. Učit. Ako navpični papirnat cilinder razgrnemo, kaj vidimo? Učen. Celo stransko površje se razvije v pravokotje. Učit. Torej lehko površje zračunimo, ako zračunimo podslombo in zmerimo višino. Treba nam je le podslombo dvakrat vzeti, njen obod z višino pomnožiti in vse vkup sešteti. Ako cilinder natančneje opazujemo, s katerim oglatim telesom ga lehko primerjamo? Učen. Primerjati ga moremo le s prizmo. Učit. V resnici se tudi prizma, ki ima prav veliko robov od daleč nič ne razloči od cilindra. Še natančneje se lehko v tej podobnosti s podobami prepričamo. Na ta način tudi lehko dokažemo, da iraa ta cilinder in prizma enako telesnino, ako ste njije podslombe in višine enake. Iz tega pa sledi, da se telesnina cilindra ravno tako zračuni, kakor prizme, namreč? Učen. aPodslomba se množi z višino". 5. Učit. Kaj je kegelj ? Učen. Kegelj je piramidi podobno telo, čegar podslomba je krog, stranska površina pa okroglo zavita, lijaku podobna ploskev (plašč). Učit. Ako navpični kegelj razgrnemo, kaj vidimo? Učen. Vidimo krog, ki se drži trikotnika krogovega izseka, čegar osnovnica je odvit krogov obod. Učit. Kako se torej zračuni kegljevo površje? Učen. Zmeri se podslomba (krog) in potem plašč (krogov izsek), in števili se seštejeti. Učit. Tako je prav! če pa kegelj primerjamo z voglatimi telesi, čemu je podoben? Učen. Kegelj je le piramidi podoben. JJiit. To se tudi lehko s posodatni natanko kakor pri cilindru dokaže. Kako se tedaj njegova telesnina zmeri ? Učen. BTelesnina keglja se zmeri, ako se zmeri njegova podslomba in to mersko število množi s tretjino višine". 6. Kaj je krogla? Uien. Krogla je okroglo telo, ki ima to lastnost, da je njeno središče na vse strani od površja enako oddaljeno. JJiit. In če hočemo njeno površje zmeriti, razdelimo ga z ekvatorjern in meridijani na majhne trikotnike. Te trikotnike je torej treba zmeriti in potem sešteti. N. pr. ekvator razdelimo na 10 delov, potem iraamo 20 trikotnikov, eden meri —^— X —3— = 80 4 r 'IP 4 r 2IV in vseh 20 po 20 X —~~~— — —~—• Ta račun pa ni popolnoraa prav, kajti tri- kotniki niso navadni, ampak sferični, torej nekoliko večji. Pomota se pa precej odpravi, ako se enkrat vzame II — 4 mesto II _= 314, potem imamo 4 r 2II. To se pravi: Površje krogle se dobf, ako se obod največjega kroga množi s polomerom (radijem). Iz površja se pa lehko zračuni njena telesnina. Ako prejšnje trikotnike zvežemo s središčero, kaj dobimo? Uien. Vsa krogla se razdeli v majhne piramide. Uiit. Treba je torej zračuniti vse te piramide, ki so skupaj enake piramidi, ki ima krogljini površini enako podslombo in polomeru enako višino. Iz tega pa sledf pravilo: BTelesnina kroglje se dobi, ako se njeno površje množi s tretjino polomera". S kroglo pa smo tudi končali truplomerstvo. Opazka. Ta nauk pa postane še le koristen, ako učenci veliko nalog izdelajo, kajti potem pravila še bolje razumijo in v spomin vtisnejo. Brez teh vaj pa iraajo pravila majhno veljavo, ker učenci ne le, da jih kmalu pozabijo, tudi uporabiti jih pozneje več ne znajo. Učitelj naj se torej s takimi nalogami mnogo peča. Dobro je tudi, ako se učenci nauče geometrijčna telesa (peršpektivno) tako risati, da ločijo vidne robove od nevidnih z dvojnimi črtami, namreč, s polnimi in pikčastimi.