The (non-)existence of perfect codes in Lucas cubes - Mollard, Michel (Ars mathematica contemporanea, 2022)
Fibonaccijeva kocka dimenzije ?$n$?, označena z ?$Γ_n$?, je podgraf ?$n$?-kocke ?$Q_n$?, ki je induciran z vozlišči brez zaporednih 1. Ashrafi in njegovi soavtorji so dokazali neobstoj popolnih kod v ?$Γ_n$? za ?$n ≥ 4$?. Kot odprt problem predlagajo obravnavo obstoja popolnih kod v posplošitvah Fibonaccijevih kock. Najbolj neposredna posplošitev je družina ?$Γ_n (1^s)$? podgrafov, induciranih z nizi, ki so brez ?$1^s$? kot podniza, pri čemer je ?$s ≥ 2$? dano celo število. V prejšnjem članku smo dokazali obstoj popolne kode v ?$Γ_n (1^s)$? za ?$n = 2^p - 1$? in ?$s ≥ 3.2^{p-2}$? za vsako celo število ?$p ≥ 2$?. Lucasovo kocko ?$Λ_n$? dobimo iz ?$Γ_n$? z odstranitvijo vozlišč, ki se začnejo in končajo z 1. Pogosto so isti problemi preučevani na Fibonaccijevih kockah in na Lucasovi kocki. V tem kratkem članku dokažemo neobstoj popolnih kod v ?$Λ_n$? za ?$n ≥ 4$? in dokažemo eksistenco popolnih kod v nekaterih posplošenih Lucasovih kockah ?$Λ_n (1^s)$?.
Keywords: error correcting codes; Fibonacci cube; Fibonaccijeva kocka; kode za popravljanje napak; perfect code; popolna koda