The arc-types of Cayley graphs - Conder, Marston D. E. (Ars mathematica contemporanea, 2018)
Naj bo ?$X$? končen vozliščno-tranzitven graf valence ?$d$?, in naj bo ?$A$? polna grupa avtomorfizmov grafa ?$X$?. Potem je ločni tip grafa ?$X$? definiran glede na velikosti orbit delovanja stabilizatorja ?$A_v$? danega vozlišča ?$v$? na množici lokov incidentnih z ?$v$?. Posebej, ločni tip je razbitje ?$d$? na vsoto ?$n_1+n_2+…+n_t+(m_1+m_1) + (m_2+m_2) + … + (m_s+m_s)$?, kjer so ?$n_1, n_2, …, n_t$? velikosti sebi zrcalnih orbit, in ?$m_1, m_1, m_2, m_2, …, m_s, m_s$? velikosti orbit sebi ne-zrcalnih orbit, v padajočem redu. V nedavnem članku so Conder, Pisanski in Žitnik pokazali, da se, z izjemo razbitij ?$1 + 1$? in ?$(1 + 1)$? z valenco 2, vsako takšno razbitje pojavlja kot ločni tip nekega vozliščno tranzitivnega grafa. V tem članku razširimo ta rezultat in pokažemo, da se vsako razbitje, različno od 1, ?$v1 + 1$? and ?$(1 + 1$)?, pojavlja kot ločni tip neskončno mnogo povezanih končnih Cayleyjevih grafov z dano valenco ?$d$?. Od tod sledi, da za vsak ?$d > 2$? obstaja neskončno mnogo ničelno-simetričnih grafov (ali GRR-ov) valence ?$d$?.
Keywords: Cayleyjev graf; kartezični produkt; krovni graf; ločno tranzitivni graf; ničelno-simetrični graf; simetrijski tip; vozliščno tranzitivni graf