9 770351 665043 4 MATEMATIKA+FIZIKA+ASTRONOMIJA+RAČUNALNIŠTVO# ISSN0351-6652 9 770351 665043 PRESEK LETNIK 50 (2022/2023) ŠTEVILKA 4  ˇ  ˇ       P    Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje letnik 50, šolsko leto 2022/2023, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Baši´ c (raˇ cunalništvo), Mojca ˇ Cepiˇ c, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kraˇ cun Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohoriˇ c (odgovorni urednik), Marko Razpet, Grega Rihtar (jezikovni pregled), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni urednik). Dopisi in naroˇ cnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Naroˇ cnina za šolsko leto 2022/2023 je za posamezne naroˇ cnike 22,40eur – posamezno naroˇ cilo velja do preklica, za skupinska naroˇ cila uˇ cencev šol 19,60eur, posamezna številka 6,00eur, stara številka 4,00eur, letna naroˇ cnina za tujino pa znaša 30eur. Transakcijski raˇ cun: 03100–1000018787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domaˇ cih poljudno-znanstvenih periodiˇ cnih publikacij. Založilo DMFA–založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1100 izvodov © 2023 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 2164 ISSN 2630-4317 (Online) ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana. Presekobjavljapoljudneinstrokovneˇ clankeizmatematike, fizike, astronomije in raˇ cunalništva. Poleg ˇ clankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh podroˇ cij in poroˇ cila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodozanimiviinrazumljiviširšemukrogubralcev,uˇ cencemviš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. ˇ Claneknajvsebujenaslov,imeavtorja(oz.avtorjev)insedež institucije,kjeravtor(ji)dela(jo). Slikeintabele,kinajbodoošte- vilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih lahko veˇ cinoma razumemo loˇ ceno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps ...), velikosti vsaj 8 cm pri loˇ cljivosti300dpi. Vprimeruslabšekakovostiseslikaprimerno pomanjša ali ne objavi. Avtorjiˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri- ght). Zaželena velikost ˇ crk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si. Vsakˇ claneksepravilomapošljevsajenemuanonimnemure- cenzentu, ki oceni primernostˇ clanka za objavo. ˇ Ce je prispevek sprejet v objavo in ˇ ce je besedilo napisano z raˇ cunalnikom, po- temuredništvoprosiavtorjazaizvornedatoteke. Le-tenajbodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajoˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. ˇ   ˇ   P50(2022/2023)4 2 Ohranjanjeluˇ ci prižganih Od kod pride elek- triˇ cna energija, ko obrnemo stikalo sob- ne svetilke? V tradici- onalnem elektriˇ cnem omrežju elektrika na- stajavogromnihelek- trarnah in se prenaša na velike razdalje. Dandanes pa lahko tudi samostojni domovi in manjša podjetja s sonˇ cnimi paneli generirajo dovolj energije za la- stnepotrebeincelooddajopresežekvostaloomrež- je. Prilagajanje omrežja, da lahko energija teˇ ce v obe smeri, je odvisno od matematike. Z uporabo li- nearnega programiranja in operacijskih raziskav in- ženirji naˇ crtujejo uˇ cinkovite in zanesljive sisteme, ki upoštevajo omejitve, kot so poraba na razliˇ cnih lokacijah, cena solarnih inštalacij in distribucij, ter proizvodnja energije pri razliˇ cnih vremenskih raz- merah. Podobna matematika pomaga ustvarjati mikro- omrežja – majhne lokalne sisteme, ki lahko delujejo neodvisno od glavnega omrežja. Mikroomrežja lah- ko omogoˇ cajo dostop do energije, kadar veˇ cja na- ravna nesreˇ ca onesposobi glavno omrežje. Med uni- ˇ cujoˇ cim potresom in cunamijem na Japonskem leta 2011 je mikroomrežje dajalo energijo bolnišnici v mestu Sendai. Novo mikroomrežje v zgodovinskem delu mesta Chicago kaže, kako lahko moˇ c tehnolo- gije izboljša delovanje skupnosti na obˇ cutljivih ob- moˇ cjih. Razvijanje novih metod pogosto pomeni pretvor- bo enaˇ cb v raˇ cunalniške simulacije za vizualizacijo novih mikroomrežij. Povezano podroˇ cje študija je tudi solarno napovedovanje. Z matematiˇ cnimi mo- deli lahko bolje naˇ crtujemo pretok energije sonca v naše domove in okolico. Veˇ c informacij najdete v gradivu »Solar Systems Integration Basics«, Solar Energy Technologies Offi- ce, US Department of Energy. Izvirnobesedilo: KeepingtheLightsOn,Mathema- tical moments from the AMS. Prevod in priredba: B. Kuzman. ××× S: Nenavadnakristalizacijaledunagladini mlake. Foto: Andrej Guštin ˇ   2 Ohranjanje luˇ ci prižganih  4 Doba velikih (Andrej Guštin)  5–7 LiuHuiinvpravokotnitrikotnikvˇ crtanalika (Nada Razpet) 18–19 GeoGebrin kotiˇ cek – Ponazoritev limite zaporedja (Boštjan Kuzman)  8–10 Nekrogelne leˇ ce (Andrej Likar) 30–31 Naravoslovna fotografija – Množica mavric (Luka Hadl)  20–22 Opazovanje asteroida Vesta s teleskopom GoChile (Alexander Gaydukov)  7 Barvni sudoku 14 Rešitev novoletne nagradne uganke 15 Tekmovanjeπ (Jasna Prezelj) 16–17 Nagradna križanka (Marko Bokaliˇ c) 19 Rešitve uganke s strani 14 23–27 Izbrane slike in fotografije v petdesetih letih Preseka – nadaljevanje (NadaRazpet,MarkoRazpetinAndrejLikar) 28 Rešitev nagradne križanke Presek 50/3 (Marko Bokaliˇ c) 29 Bilo je nekoˇ c v reviji Presek – 33. mednarodna matematiˇ cna olimpiada v Moskvi  11–13 Odprava na 19. IJSO v Bogotó (Primož Markoviˇ c, Tifani Bergel, Maj Bombek, Svit Miklavˇ ciˇ c, Blaž Gašperlin in Martin Alojz Flisar) priloga 13. tekmovanje v znanju astronomije za Dominkovapriznanja–državnotekmovanje priloga Tekmovanje v znanju fizike za zlato Stefanovo priznanje – državno tekmovanje priloga 60. fizikalno tekmovanje srednješolcev Slovenije – državno tekmovanje  P50(2022/2023)4 3 Kazalo  P50(2022/2023)4 4 Doba velikih A Gˇ ,    Prejšnji »astronomski« uvodnik sem zakljuˇ cil z odprtim vprašanjem o pomenu revije Presek. V ˇ ca- sovnem intervalu med uvodnikoma pa se je zgodila 15. mednarodna olimpijada iz astronomije in astro- fizike za srednješolce in srednješolke, na kateri so naši tekmovalci znova zabeležili izjemen uspeh. Pe- terAndolšekješedrugiˇ czapovrstjoprejelzlatome- daljo, kar je nekaj izjemnega. Pravzaprav je bila vsa ekipa izjemna in je k Petrovemu zlatu primaknila še dvesrebrniinbronastomedaljoterpohvalo. Olimpi- jade iz znanja pa niso pomembne le za tekmovalce in tekmovalke, temveˇ c tudi za mentorje, saj so ti do- godkiodliˇ cnapriložnostzaizmenjavoizkušenjmed mentorji, spoznavanje razliˇ cnih pristopov pri popu- larizaciji znanosti, v našem primeru astronomije in astrofizike. Na olimpijadah mentorji namreˇ c skupaj preživimo na stotine ur in med razpravami o nalo- gah, prevajanjem in drugimi diskusijami se vedno najde ˇ cas za pogovor. Tako sva z vodjo bolgarske ekipe na vroˇ ci terasi hotela sredi Gruzije udarila eno o pripravah ekip v težkihˇ casih pandemije. Z Nikolo se že dolgo poznava. Bolgari delajo dobro. Uspešni so. Pa pravi Nikola, da se na pripravah ne ukvarjajo veˇ czjezikovnimitežavamibolgaršˇ cinevastronomiji invselepospeljejokarvangleškemjeziku,dasena- log in strokovnih vsebin ne splaˇ ca prevajati, saj na ravni znanosti tako ali tako vse poteka v anglešˇ cini, da so tekmovalkam in tekmovalcem angleški pojmi bližje in tako dalje. Osupel sem sicer še malo pobe- zalvanj,adobillakoniˇ cneodgovoreonepomembno- sti domaˇ cega strokovnega izrazoslovja. Moje mnenje pa je v diametralnem nasprotju z bolgarskim kolegom. Uporaba maternega jezika v znanstvenih in poljudnoznanstvenih ˇ clankih in vse- binahjenujna,sajprispevakbogatenjujezika,boga- tenju izrazoslovja in izraznih sposobnosti posame- znikov ter družbe na splošno. Prakticiranje branja in pisanja strokovne in poljudne literature v mater- nem jeziku je za neko družbo in njeno obˇ co kulturo nujno, sicerˇ cezˇ cas utone v globalnem oceanu na vi- dez pomembnejših kultur. Morda sem iz napaˇ cnega stoletja, a prepriˇ can sem, da je ohranjanjeslovenske izraznosti v matematiki, fiziki, astronomiji in raˇ cu- nalništvu tudi pomemben cilj Preseka. ×××  P50(2022/2023)4 5 Liu Hui in v pravokotni trikotnik vˇ crtana lika N R Ena najstarejših kitajskih matematiˇ cnih knjig, se- stavljena iz devetih poglavij, je Jiuzhang suanshu ( u (九 po slovensko 章 po slovensko 算 po slovensko 术). Angleški prevod ima naslov po slovensko ). Angleški prevod ima naslov The Nine Chapters on the Mathematical Art ali po slovensko Devet poglavij matematiˇ cnih umetnosti. Delo je na- stajalo veˇ c stoletij, pisali so ga razliˇ cni neznani av- torji, dokonˇ cnooblikopamujedalkitajskimatema- tik Liu Hui ( (刘 je natančno analiziral posamezne korake, ki vodijo do rešitve problema. ( 惠), ki je živel v 3. stoletju našega štetja in je problemom dopisal komentarje, s katerimi je natančno analiziral posamezne korake, ki vodijo do rešitve problema. ), ki je živel v 3. stoletju našega šte- tja in je problemom dopisal komentarje, s katerimi je natanˇ cno analiziral posamezne korake, ki vodijo do rešitve problema. Devet poglavij je bil dolgo ˇ casa osnovni matema- tiˇ cni uˇ cbenik. Besedilo se zaˇ cne z opisom praktiˇ c- nega problema, navadno s številskimi podatki, sledi postopek za reševanje in razlaga postopka, ki pripe- ljebralcadorešitveproblemazakonkretnepodatke. Postopek za rešitev posebnega primera je prikazan tako, da ga lahko zapišemo s splošno enaˇ cbo z upo- rabo algebrske simbolike. Deveto poglavje iz omenjene knjige obravnava pravokotnitrikotnik. Nasliki1jeilustracijak13.na- logi, ki je nastala v kasnejših izdajah Devetih pogla- vij (1261, povzeto po [2]). Liu Hui geometrijske naloge navadno rešuje sli- kovno, to je z grafiˇ cno predstavitvijo postopka re- ševanja, in sicer na dva naˇ cina: lik ali telo razreže na gradnike, katerih plošˇ cino ali prostornino zna izraˇ cunati, ali pa iz razrezanih košˇ ckov sestavi nov lik ali telo, ki mu zna izraˇ cunati iskano koliˇ cino. PrirezanjuLiuHuinavede,kakšnebarvenajbodo posamezni kosi, jih pa sam ne obarva. Kose sestav- lja tako, da kosi iste barve ležijo skupaj. Ker ne na- vaja dolžin stranic, je tako sestavljanje splošna re- šitev problema. Oglejmo si dva primera iz njegove knjige. SLIKA1. Bambusovo steblo je visoko 1 zhang (10 chi ali 3,58 m). Veter gazlomitako,danjegovkonecsega3chiodvznožja. Nakateri višini se steblo zlomi?  P50(2022/2023)4 6 V pravokotni trikotnik vˇ crtamo kvadrat Pravokotnemu trikotniku s katetama a in b vˇ crtaj kvadrat. Dve stranici naj ležita na katetah, eno ogli- šˇ ce kvadrata pa na hipotenuzi pravokotnega triko- tnika. Izraˇ cunaj stranico kvadrata. SLIKA2. Imamo dva skladna pravokotna trikotnika. Vsakemu vˇ crtamo kvadrat in ga razrežemo na dva pravokotna trikotnika in kva- drat. Dele zložimo v pravokotnik. LiuHuijenalogorešiltako, dajevzeldvaskladna pravokotna trikotnika s katetamaa inb in vsakemu vˇ crtal kvadrat. Oznaˇ cimo iskano stranico kvadrata z x. Nato je vsakega od trikotnikov razrezal, kot kaže slika 2, in dele sestavil v pravokotnik. Iz zlaganja kosov je razvidno, da je osnovnica pravokotnika kar stranica kvadratax. Kaj pa višina pravokotnika? Ka- teta b je sestavljena iz oranžnega in modrega dela. Oranžni del ima stranico x, modri del pa oznaˇ cimo z b 1 . Kateto b zapišemo kot: b=b 1 +x in kateto a kota=a 1 +x. Kokosesestavimo,jevišinapravoko- tnikadolga2x+b 1 +a 1 =a+b. Plošˇ cinadvehpravo- kotnih trikotnikov jeab, plošˇ cina sestavljenega pra- vokotnika pax(a+b). Iz tega sledi: ab=x(a+b) x= ab a+b (1) Našli smo stranico vˇ crtanega kvadrata. V naših šo- lah navadno rešujejo tako nalogo s podobnimi triko- tniki. Kvadrat v pravokotni trikotnik vˇ crtamo tako, da poišˇ cemo preseˇ cišˇ ce simetrale pravega kota s hi- potenuzo, ta toˇ cka je eno od oglišˇ c kvadrata. Naprej pa znajo bralci sami. LiuHuinadaljezastavišetolevprašanje: ˇ cejedol- žina katete pravokotnega trikotnikab sorazmerna z a+b, kateri dolžini je sorazmerna dolžina stranice kvadratax? Odgovor: katetia. b :(a+b)=x :a (2) Tovidimožeizenaˇ cbe(1),sajjeenaˇ cba(2)ledruga- ˇ cen zapis enaˇ cb (1). V pravokotni trikotnik vˇ crtamo krožnico V pravokotni trikotnik s katetama a in b vˇ crtaj kro- žnico. Poišˇ ci polmer te krožnice. Narišimoštiriskladnepravokotnetrikotnike. Vsa- kemuvˇ crtamokrožnicoingarazrežemonapravoko- tne trikotnike in kvadrat, kot kaže slika 3. Dele smo obarvali tako, kot je zapisal Liu Hui. Stranica kva- drata je enaka polmeru vˇ crtanega kroga, oznaˇ cimo ga z r. Kateta b je sestavljena iz rdeˇ cega in oranžnega dela, torej jeb=b 1 +r, katetaa pa iz modrega in oranžnega dela a = a 1 +r, hipotenuza pa iz rdeˇ cega in modrega dela, torejc=b 1 +a 1 . Vse dele štirih pravokotnih trikotnikov zložimo v pravokotnik. Osnovnica pravokotnika je 2r. Višina pa je sestavljena iz v =2b 1 +2a 1 +2r =b 1 +r +a 1 +r +b 1 +a 1 =b+a+c Plošˇ cina štirih pravokotnih trikotnikov je 2ab, plo- šˇ cina pravokotnika pa 2r(a+b+c). Torej: 2ab=2r(a+b+c) r = ab a+b+c Vsedokaze,dajepredstavljenametodarespravilna, paprepušˇ camobralcem. Odgovoritešenavprašanje, zakaj je Liu Hui v prvem primeru vzel dva skladna pravokotna trikotnika, v drugem pa štiri. www.presek.si  P50(2022/2023)4 7 SLIKA3. Imamo štiri skladne pravokotne trikotnike. Vsakemu vˇ crtamo krožnico in ga razrežemo na pet delov: kvadrat in štiri pravo- kotne trikotnike. Vse dele zložimo v pravokotnik. Literatura [1] J.-C.Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Springer, 300–301, 2006. [2] Pythagorean Theorem, dostopno na: https://www.history-of-mathematics.org/ PythagoreanTheorem.html, ogled: 1. 2. 2023. ××× Barvni sudoku V 8×8 kvadratkov moraš vpisati zaˇ cetna naravna številaod1do8tako,dabovvsakivrstici,vvsakem stolpcuinvkvadratkihistebarve(pravokotnikih2× 4) nastopalo vseh osem števil. 8 4 7 3 7 1 8 2 8 2 6 3 2 7 6 1 8 6 1 4 4 3 ˇ    5 8 6 2 4 1 7 3 3 7 1 4 5 6 8 2 7 3 5 1 6 4 2 8 4 2 8 6 3 5 1 7 2 4 3 5 7 8 6 1 1 6 7 8 2 3 4 5 6 1 2 3 8 7 5 4 8 5 4 7 1 2 3 6 ×××  P50(2022/2023)4 8 Nekrogelne leˇ ce A L Leˇ cesostaraiznajdba. Poznalisojihževstarem Egiptu, pa v antiki, predvsem zbiralne kot sred- stvozaprižiganjeognja. MendajeNeron,ˇ ceverja- memoPliniju,uporabilkristalnorazpršilnoleˇ copri opazovanjugladiatorskihiger v Rimu. V srednjem veku so jih uporabljali kot bralne leˇ ce, preprosto so stekleno kroglo razpolovili. Steklene krogle na- polnjenezvodosodonedavnauporabljaliˇ cevljarji vTržiˇ cu,dasojimzbralesvetloboizpetrolejkena delovno površino. Pravo zanimanje za leˇ ce pa je nastopilo v drugi polovici 13. stoletja v severni Italiji, ko so jih zaˇ celi uporabljati kot oˇ cala za korekcijo vida. Takrat so masovno brusili in gladili steklene leˇ ce za oˇ cala, naj- prejvFirencahinBenetkah,poznejepatudinaNizo- zemskeminvNemˇ ciji. NaNizozemskemjebilokrog leta1595narejenprvimikroskop,nekajpoznejetudi daljnogled. Leˇ ce so zanimiva tema v šolah, od osnovne preko srednje do prvih letnikov tehniških fakultet na uni- verzah. Geometrijsko optiko dandanes na fakulte- tah obravnavajo le pregledno in na hitro, v mojem ˇ casu šolanja pa smo leˇ ce in leˇ cja obravnavali kar po- drobno. Pri tem smo obravnavali napake pri presli- kavanju s krogelnimi leˇ cami, ki so bile takrat edino na voljo. Na predavanju profesorja Janeza Strnada sem si ga drznil vprašati, ali bi kakšna druga oblika leˇ ce imela manj napak ali pa sploh nobene. Takrat, pa seveda v preteklosti tudi, bi masovna izdelava ta- kih leˇ c bila povsem neizvedljiva. Odgovoril mi je, da z nekrogelnimi leˇ cami ne bi kaj prida pridobili, saj imajo tudi te svoje muhe. Z napredkom tehnologije, predvsem z iznajdbo laserjev in z neslutenim razvojem raˇ cunalništva pa so nekrogelne leˇ ce postale zanimive. Danes njihova uporaba precej poenostavi zapletena leˇ cja optiˇ cnih naprav. Bistvena pridobitev nekrogelne ploskve (ali nesfe- riˇ cne, kot radi reˇ cemo s tujko) je odprava krogelne aberacije. Krogelne leˇ ce le približno zberejo vzpo- redni svetlobni curek v toˇ cko. To dobro vidimo pri leˇ cah,kisovelikevprimeriznjihovogorišˇ cnorazda- ljo. Nasliki1soprikazanipredleˇ covzporednižarki po lomu na prvih ploskvah leˇ ce, in sicer na krogelni (a), paraboloidni (b) in iskani nekrogelni ploskvi (c). Prikazaniso žarkiin prerezi ploskev zravnino, v ka- teri leži optiˇ cna os. Ploskve imajo seveda enake pre- rezevvsakiravnini,vkateriležioptiˇ cnaos. Pravimo, da so ploskve osno simetriˇ cne. SLIKA1. Žarki po lomu na a) krogelni ploskvi, b)paraboloidniploskvi,c)nekrogelni ploskvi  P50(2022/2023)4 9 Da si ne grenimo življenja, bomo odslej obravna- vali le lom žarkov, vzporednih z optiˇ cno osjo, le na eni zakrivljeni ploskvi, ki omejuje steklo. Pri leˇ cah imamo seveda dva loma, na prvi, vstopni, in drugi, izstopni strani leˇ ce. Slika, ki jo tvori prva zakri- vljena ploskev, pa služi drugi ploskvi kot predmet. ˇ Ce razumemo, kaj se dogaja s svetlobo na eni plo- skvi,niveˇ ctežkoobravnavatipreslikavepriprehodu svetlobe skozi obe ploskvi. Vidimo, da se robni žarki pri krogelni ploskvi lo- mijopreveˇ cinnezadenejogorišˇ ca,kigatvorijoobo- sni žarki. Zakrivljenost krogelne ploskve je preve- lika, ˇ ce hoˇ cemo, da se vsi žarki po lomu zberejo v eni toˇ cki. Na misel nam pride, da bi paraboloidna oblika ploskve, ki se na robu ne krivi tako moˇ cno, bila boljša. Na sliki 1 (b) pa vidimo, da se parabolo- idna ploskev premalo krivi, saj se obrobni žarki pre- malo lomijo. Krogelno in paraboloidno ploskev smo izbrali tako, da imajo pri obeh obosni žarki gorišˇ ce na istem mestu. Iskana ploskev bo torej nekje med tema ploskvama, glej sliko 2. Kako priti do nje? SLIKA2. Oblike lomnih ploskev – krogelna ploskev (spodnja), parabolo- idna ploskev (zgornja) in iskana ploskev brez krogelne abera- cije (ki je med obema prejšnjima ploskvama). Priiskanjuteploskvesipomagamosskiconasliki 3. Žarek A, vzporeden z geometrijsko osjo ploskve in od nje oddaljen za r, se v toˇ cki L lomi in zadene gorišˇ ce F. Vpadni kot α in lomni kot β in lomni ko- liˇ cnik steklan so povezani preko lomnega zakona: sin(α) sin(β) =n. Kotγ jedoloˇ censtrikotnikom∆ LFG,kjerjetoˇ ckaG preseˇ cišˇ ce navpiˇ cnice skozi toˇ cko O in vodoravnice skozi F. Takoj vidimo, da je kot γ kar razlika kotov α in β, kot α pa enak kotu nagiba ploskve v toˇ cki L. Raˇ cunanje gre sedaj kot po maslu. Ker je β=α−γ, velja: sinβ= sinα n =sinαcosγ−cosαsinγ. ali: sinα( 1 n −cosγ)=−sinγ q 1−sin 2 α. Levo in desno stran kvadriramo, da odpravimo kva- dratni koren na desni strani in dobimo: sin 2 α= sin 2 γ 1 n 2 +1− 2cosγ n . Sledi izraz za tangens kotaα: tgα= sinγ cosγ− 1 n . Ker je kotγ znan, trikotnik ∆ LFG pa pove, da velja: sinγ= r q (f +z) 2 +r 2 , in cosγ= f +z q (f +z) 2 +r 2 . Koordinatni sistem z abscisor in ordinatoz na sliki 3 z izhodišˇ cem v toˇ cki O smo postavili tako, da je z(r) ≤ 0, gorišˇ cno razdaljo f pa obravnavamo kot pozitivno (f >0). ˇ Ce smo dobili pravi izraz, preverimo s progra- mom, ki lahko sledi žarkom tudi skozi leˇ cje. Tega smo že uporabili pri risanju slike 1 a) in b). Napisali smo ga tako, da se žarek, ko naleti na ploskev, lomi vskladuzlomnimzakonom. Pritemmoramovedeti za naklon lomne ploskve. Le-tega pa smo pravkar izraˇ cunali. Iskano nekrogelno ploskev najdemo prav zato, ker poznamo naklonski kot tangentne ravnine α v vsaki toˇ cki prostora. Zaˇ cnemo pri r = 0, kjer je z=0, si izberemo primerno majhen korak∆ r in do- loˇ cimo spremembo ∆ z razdalje od osir do ploskve.  P50(2022/2023)4 10 Vednoznovaizraˇ cunamotgαinsepokorakihodda- ljujemo od središˇ ca prir =0, priˇ cemer spremembo ∆ z vsakokrat izraˇ cunamo takole: ∆ z=−tgα∆ r. Tako smo prišli do ploskve brez aberacije, na sliki 2 prikazane v prerezu z robom zelenega lika. S slike c) vidimo, da smo prav zadeli, saj se prav vsi žarki, tudi obrobni, sekajo v gorišˇ cu. Krogelno aberacijo smo tako povsem odpravili. SLIKA3. Skica pri iskanju ustrezne nekrogelne ploskve Seveda to velja le za vzporeden snop žarkov v smeri optiˇ cne osi ploskve. Kaj pa, ˇ ce pade snop po- ševno? Ali se bodo vsi lomljeni žarki spet zbrali v eni toˇ cki? Pa poskusimo! Program za sledenje žar- kov nam bo spet prišel prav. Na sliki 4 (a) vidimo potek žarkov po lomu v tem primeru. Žal, kot vi- dimo, se žarki ne sekajo v eni sami toˇ cki. Prav to je mislil profesor Strnad v odgovoru na moje vpra- šanje. Pri krogelni leˇ ci je zaradi simetrije krogelna aberacija neodvisna od nagiba vpadnega snopa. Pri majhnih kotih vpada pa se nesferiˇ cna leˇ ca dobro od- reže. SLIKA4. Žarki po lomu poševnega vzporednega snopa na nekrogelni ploskvi (a) in po lomu žarkov iz bližnjega toˇ ckastega predmeta na tej ploskvi (b) Doslej smo obravnavali le snop vzporednih žar- kov, torej svetlobo zelo oddaljenih toˇ ck. Za konec si oglejmo, kako dobro nesferiˇ cna leˇ ca preslika bližnjo toˇ cko. Na sliki 4 (b) imamo potek žarkov po lomu na nekrogelni ploskvi. Vidimo, da robni žarki pre- cej zgrešijo sliko toˇ cke, ki jo tvorijo obosni žarki. V primeri s krogelno ploskvijo pa je nekrogelna tudi v tem primeru še vedno boljša. Spoznanja, do katerih smo prišli v obravnavi ne- krogelnih leˇ c, s pridom izkorišˇ cajo pri naˇ crtovanju leˇ cij za objektive v sodobnih kamerah, med drugim tudi v kamerah pametnih telefonov. Tudi v oˇ cala vgrajujejo nekrogelne leˇ ce. Dajejo ostrejši in nepo- paˇ cen vid, oˇ ci so bolj sprošˇ cene kot pri krogelnih le- ˇ cah. Leˇ ce v oˇ calih so tudi tanjše in zato lažje. Po- sebnopriveˇ cjihdioptrijahnekrogelneleˇ ceskorajne popaˇ cijopogledanaoˇ cioˇ calarja,karjelahkoprikro- gelnih leˇ cah precej moteˇ ce. ×××  P50(2022/2023)4 11 Odprava na 19. IJSO v Bogotó Pˇ  Mˇ , T B, M B, S Mˇ ˇ , Bˇ  Gˇ   M A F Tole je kratko poroˇ cilo o tem, kako smo preži- veli 19. Mednarodno mladinsko naravoslovno olim- pijado (IJSO, International Junior Science Olympiad), kijepotekaladecembra2022vživovglavnemmestu južnoameriške države Kolumbije. Udeležili smo se je dijakinja in dijaki Tifani Bergel (lani devetošolka na OŠ 16. decembra Mojstrana, letos dijakinja 1. le- tnika Gimnazije Jesenice), Maj Bombek (lani deveto- šolec na OŠ Tabor I Maribor, letos dijak 1. letnika Tehniške gimnazije SERŠ Maribor), Martin Alojz Fli- sar (lani devetošolec na OŠ narodnega heroja Maksa Peˇ carja ˇ Crnuˇ ce, zdaj dijak 1. letnika Gimnazije Be- žigrad), Blaž Gašperlin (lani devetošolec na OŠ Fran- ceta Prešerna Kranj, zdaj dijak 1. letnika Gimnazije Kranj), Svit Miklavˇ ciˇ c (lani devetošolec na OŠ Preži- hovega Voranca, Ljubljana, letos dijak 1. letnika Gi- mnazije Viˇ c), ter edini še vedno osnovnošolec, Pri- mož Markoviˇ c z Osnovne šole Milana Šuštaršiˇ ca v Ljubljani. Spremljali so nas vodje ekipe Domen Vau- potiˇ c, Margareta Obrovnik Hlaˇ car in Barbara Rovšek. Na letališˇ cu El Dorado v Bogotí v Kolumbiji smo varno pristali 1. decembra 2022 ob 21:45 (oziroma 2. decembra ob 3:45 po našemˇ casu), po mirnem 10- urnem ˇ cezoceanskem letu in 7-urnem ˇ cakanju na ta let na hladnem letališˇ cu Charles de Gaulle v Parizu, kamor smo prifrˇ cali iz Zagreba. Potovali smo vsega skupaj veˇ c kot 24 ur. Pa poti še ni bilo konec; z El Dorada do sobe v prvem hotelu so minile še vsaj 3 ure. Naslednji dan smo se po kratkem ˇ cakanju na avtobusnapotiliknašemupravemuhotelu,kjersmo vsimladoletniudeleženciolimpijadepreživelinasle- dnjih deset dni. Vodje vseh ekip so ostali v prvem hotelu, kjer so opravili tudi vse svoje delo z nalo- gami, ki smo jih kasneje reševali. Istega dne, kot smo se vselili v svoj hotel, se je olimpijada z otvoritveno slovesnostjo tudi uradno zaˇ cela. Posnetek dogodka je še vedno na voljo za ogled na strani https://www.facebook.com/uni- antonionarino/videos/1121811235165257/ (na- ša skupina prikoraka na oder v 59. minuti). Nasle- dnji dan je bil za nas prost in smo ga izkoristili, da se spoznamo s hotelom in z drugo mladino s celega sveta. Hitro smo se spoprijateljili s hrvaško ekipo, s katero smo si delili vodnika Felipeja. Felipe se je pred tremi leti tudi sam kot ˇ clan kolumbijske ekipe udeležil iste olimpijade v Katarju, zdaj pa tako kot drugi naši vodniki konˇ cuje srednjo šolo. Felipe je kljub nerazumevanju naših pogovorov, ki so pote- kali veˇ cinoma v mešanici slovenšˇ cine in hrvašˇ cine, vedno ostal radoživ. Vsak od naših naslednjih 10 dni se je zaˇ cel ob še- stih zjutraj, ko nas je po sobnem telefonu poklical zaskrbljeni Felipe. ˇ Ce se nismo takoj oglasili na tele- fon, je prišel trkat na naša vrata. Ob sedmih nas je v prvemnadstropjuhotelaˇ cakalzajtrk,kjersmose,ˇ ce SLIKA1. Nas 6 (z leve: Svit, Maj, Primož, Martin, Blaž in Tifani) in vodnik Felipe (med Majem in Primožem) pred planetariumom.  P50(2022/2023)4 12 smobilidovoljhitri,najedlirogljiˇ ckov, vafljev, vroˇ ce ˇ cokolade,ananasainnapilipomaranˇ cnegasoka. Zaj- trk je obiˇ cajno trajal do osmih, ko smo se odpravili v pritliˇ cje, kjer smo poˇ cakali na nadaljnje aktivnosti (na teste, ekskurzije ali slovesnosti). Po aktivnostih smo se vrnili v hotel, kjer smo dobili kosilo, ki ga je velikokrat predstavljal le pomaranˇ cni sok, nekoliko posušenrižterprecejtrdomeso. Zakosilosmozato pogosto praznili škatle piškotov, ki smo jih imeli na sreˇ co kar precej s sabo. Popoldnevi so bili prosti, porabili smo jih za prekuhavanje vode v kavomatu, igranju gob (igra s kartami, priporoˇ cljivo trde pla- tnice), osla in za gledanje ameriškega nogometa po televiziji. SLIKA2. Varovanci vodiˇ ca Felipeja, 4 od nas 6-ih in celotna hrvaška ekipa na hribu Monserrat nad Bogotó. Medtem ko smo se prvi dan spoznavali s hotelom in mladino s sveta, so vodje ekip pripravljali naloge za naš prvi test. Test smo pisali naslednji dan in je trajal 3 ure. Sestavljen je bil iz tridesetih vprašanj z izbirnimiodgovori. Nasliki4jeenaodnalog,kinam je dala najveˇ c vetra in smo jo pravilno rešili le redki. Po dnevu za prvi test smo imeli spet dan za po- ˇ citek. Obiskali smo planetarij. Pot do planetarija je bilakarprecejdinamiˇ cna. Odlikovalesojokolumbij- ske ceste z vsemi svojimi vijugami, vdolbinami (lu- knjami) in neravninami, ki so potnikom v avtobusu preverjale gibljivost hrbtenice. Planetarij je bil mu- zej, na katerem je sedela velikanska kupola, v notra- njosti prekrita z zasloni. Po ogledu razstave smo si pod kupolo ogledali dokumentarec o vesolju in te- mni snovi. Inžejetutorek,inznjimtudidrugitest–teorija. Tajebilobsežnejši,zatosmoimelizareševanještiri ure ˇ casa. Po drugem tekmovalnem dnevu je sledil obisk Monserrata, bližnjega hriba, ki bi mu v naših krajih gotovo rekli gora, ker je višji od Triglava in pravzaprav celo višji od 3000 m. Z vzpenjaˇ co, po- dobno tisti, ki vodi na Ljubljanski grad, smo se pre- stavili na vrh. Tam smo si s težkim dihom ogledali cerkev, otroško razposajeno svetlobno okrasitev ce- lega obmoˇ cja in razne uliˇ cne trgovinice. Šezadnji, eksperimentalnidel testa jebilpredna- mi, sestavljen iz dveh fizikalnih nalog (elektrika), dveh kemijskih (viskoznost polimerov in kislost ne- ke pijaˇ ce) in ene biološke (doloˇ canje kakavovca). Ta del nam je razmeroma dobro šel,ˇ ceprav je primanj- kovalo upornikov in ˇ casa, še posebej pri fiziki. Po koncueksperimentiranjasmosioddahnili,sajjebilo prav do zadnjega trenutka napeto, še posebej nas je vznemirjal odštevalnikˇ casa na velikem platnu. V petek smo se z avtobusi peljali na drugo stran mesta, kjer smo si ogledali rudnik soli v Zipaquiri. Rudarji so že izˇ crpan rudnik spremenili v podze- mno katedralo, ki je splet rovov in votlin, okraše- nih in predelanih z verskimi motivi. Labirint pod- zemnih rovov se je konˇ cal s komercialnim delom, dobrih dvesto metrov pod površjem, kjer je veˇ cina obiskovalcev spremljala nogometno tekmo med Hr- vaško in Brazilijo, ki je ravno potekala, ter ob tem glasno navijala. V soboto smo imeli predavanja na Univerzi An- toñoNariño,kisosenakoncuprelevilavtekmovanje talentov. Tam smo preždeli vse do mraka. NašaodpravavKolumbijosejepoˇ casibližalakon- cu z zakljuˇ cno slovesnostjo, na kateri smo ponosno pobralizasluženaodliˇ cjainštelidosežketudidrugih poznancev. Kot že lani smo tudi letos prav vsi ˇ clani slovenske ekipe prejeli odliˇ cja: Primož Markoviˇ c in Maj Bombek sva prejela srebrni medalji (in si, potem ko so vsakega od naju poklicali na oder, pošteno od- dahnila),drugiˇ claniekipeTifaniBergel,MartinAlojz Flisar, Svit Miklavˇ ciˇ c in Blaž Gašperlin pa bronaste. To ni niˇ c ˇ cudno, ker smo se na to olimpijado zelo resno pripravljali. Naodernassicernisoklicaliponekemdoloˇ cenem vrstnemredu,ampakmalomešano(vsajtakosonam  P50(2022/2023)4 13 zatrdili vodje ekipe, ki poznajo naše rezultate); prej nismo vedeli, ali smo naloge reševali dovolj dobro, da bo sploh kdo od nas prejel odliˇ cje. Zato nas je tudi kar malo stisnilo, ko so kot prvega na oder po- klicaliMartina. Nanjsmopolagalinajveˇ cjestave, ker je bil med nami najbolj izkušen. Olimpijade se je namreˇ cudeležilželani(intakratprejelsrebrnoodli- ˇ cje). SLIKA4. Mi z odliˇ cji, levo od nas Barbara, desno Margareta, vodji ekipe. To je bilo zadnje dejanje 19. Mednarodne mladin- ske naravoslovne olimpijade. Naslednji dan smo se že napotili domov. Slovo od novih prijateljev in Fe- lipeja je bilo veselo, ker smo prepriˇ cani, da se bomo še kje sreˇ cali. Dogodivšˇ cine ne olimpijadi nam bodo za vedno ostale v nepozabnem spominu. Pokrovitelja priprav in udeležbe slovenske ekipe naIJSOstaDruštvomatematikov, fizikovinastrono- movSlovenijeinZvezazatehniˇ cnokulturoSlovenije. Rešitevnaloge Ko s prstom zatesnimo odprto krajišˇ ce cevke dolge l=20cm,jevnjemstolpeczraka,dolgl/2=10cm, tlak v stolpcu pa je enak zunanjemuzraˇ cnemutlaku p 0 . Ko cevko dvignemo iz posode z živim srebrom, nekajživegasrebrazaradisvojetežeizteˇ ceizcevke. Stolpec živega srebra je potem dolg le x (manj od 10 cm), stolpec zraka v zgornjem delu cevke se po- daljša na l−x, njegova prostornina se poveˇ ca, tlak SLIKA5. Primer naloge s prvega testa. v njem pa zmanjša na p. Predpostavimo, da se tem- peratura stolpca zraka ne spremeni, zato lahko iz plinske enaˇ cbe zapišemo p 0 · l 2 =p·(l−x), odkoderdobimotlakp vpodaljšanemstolpcuzraka p= p 0 ·l 2(l−x) . Naslednji razmislek je o ravnovesju sil na ploskvico živega srebra, ki je ob odprtem spodnjem krajišˇ cu cevke: nanjo z ene strani pritiska zunanji zrak z zu- nanjim zraˇ cnim tlakomp 0 , z notranje strani pa živo srebro s hidrostatiˇ cnim tlakom p+ρgx, kjer je ρ gostota živega srebra, g pa težni pospešek. Ta dva tlaka sta seveda enaka (ploskvica je v ravnovesju) in veljap 0 =p+ρgx. Izenaˇ cimo oba izraza za tlakp, novi izraz preure- dimo in dobimo kvadratno enaˇ cbo zax, x 2  −2ρg  +x  −2lρg+2p 0  −p 0 l=0. Upoštevamo, da je normalni zraˇ cni tlakp 0 =ρg·l 0 , kjer je l 0 = 760 mm in kvadratno enaˇ cbo zapišemo v prikladnejši obliki, x 2  − 2 l 0  +x  2l l 0 +2  −l=0. Smiselna rešitev kvadratne enaˇ cbe je x = 8.7 cm. Kvadratne enaˇ cbe smo se nauˇ cili reševati na prvih pripravah. ×××  P50(2022/2023)4 14 Rešitev novoletne nagradne uganke V prejšnji številki smo bralcem zastavili nalogo s tremi vprašanji o 2023 enakih kockah. Prejeli smo tri rešitve: Andrej Jakobˇ ciˇ c, Eva Šolinc in Ivan Lisac izKoprabodoprejeliknjižnonagrado. Vsisonalogo reševali s pomoˇ cjo raˇ cunalnika. Pravilne rešitve so naslednje: Ana je iz 2023 kock sestavila nekaj veˇ cjih kock in pri tem uporabila vse kocke. Koliko najmanj kock je sestavila? Rešitev: Najmanj 5 kock, velja 2 3 +5 3 +6 3 +7 3 + 11 3 =2023. Iz svojih kock je sestavila nekaj kvadratnih plo- skev (višine 1) in pri tem uporabila vse kocke. Ko- liko najmanj kvadratov je sestavila? Rešitev: Najmanj 4 kvadrate, ena od možnih re- šitev je 43 2 +13 2 +2 2 +1 2 = 2023. Na to vpra- šanje lahko sicer odgovorimo brez raˇ cunanja, ˇ ce poznamo klasiˇ cne izreke teorije števil. Znano je namreˇ c,dalahkovsanaravnaštevilaizrazimokot vsoto najveˇ c štirih kvadratov (Lagrangejev izrek). Že trije kvadrati pa zadošˇ cajo,ˇ ce število ni oblike 4 a · (8k+ 7) (Legendrov izrek). Ker je 2023 = 4 0 ·(8·252+7),zanjrespotrebujemovsotoštirih kvadratov. Ana je 2023 enakim kockam dodala še nekaj ena- kih kock, ki jih je dobila z razstavljanjem veˇ cje kocke. Zdaj lahko iz vseh kock skupaj sestavi dve veˇ cji kocki. Koliko najmanj kock je dodala? Rešitev: Najmanj9 3 =729 kock, velja 2023+9 3 = 2 3 +14 3 . Andrej Jakobˇ ciˇ c pa nam je poslal še nekaj zanimi- vih vprašanj o številu 2023. Tokrat objavljamo štiri na temo enaˇ cb. Šenekajenaˇ cbzaleto2023(AndrejJakobˇ ciˇ c) Naloga: Vsaki od naslednjih enaˇ cb poišˇ cite vsaj eno rešitev in doloˇ cite število vseh njenih rešitev. 1. √ x+ √ y = √ 2023,x,y ∈N 2. 1 x + 1 y = 1 2023 ,x,y ∈N 3. xyz+xy+xz+yz+x+y+z=2023,x,y,z∈ N 4. sinx= x 2023 ,x∈R Namig: Z nekaj matematiˇ cne spretnosti je mogoˇ ce na vsa vprašanja odgovoriti brez raˇ cunalnika, manj vztrajni bralci pa lahko poišˇ cete rešitve tudi na za- dnjih straneh v tej številki revije. ××× www.presek.si www.dmfa.si  P50(2022/2023)4 15 Tekmovanje π V      ˇ  ˇ  ˇ  π    ˇ  J P Letošnji Mednarodni dan matematike 14. marec 2023 poteka pod sloganom »Matematika za vsako- gar«, ki se mu bomo pridružili pri DMFA Slovenije. Poleg že tradicionalnega likovnega nateˇ caja, ki bo tudi objavljen na spletnih straneh DMFA Slovenije, vas vabimo k sodelovanju na tekmovanju v doloˇ ca- njupribližkaštevilaπ zmerjenjemalipreštevanjem. Kaj natanˇ cno imamo v mislih? Kvadrat z dolžino osnovne stranice r lahko postavimo v krog s pol- merom r, na krog ˇ cimbolj enakomerno potresemo riževo zrnje in izraˇ cunamo razmerje med številom zrnc v krogu in tistim v kvadratu. Lahko primer- jamo tudi teži. Izbiramo lahko razliˇ cne polmere in razliˇ cnevrstezrnja. Drugamožnostjemerjenjeplo- šˇ cine kroga tako, da na krog z radijem 1 m posta- vimo centimetrsko mrežo in preštejemo kvadratke znotraj, potem pa na delu do krožnice še milime- trsko mrežo in preštejemo še te manjše kvadratke. Lahko se peljemo s kolesom in izraˇ cunamo π glede na to, kolikšna je prevožena razdalja, kolikokrat se jekolovcelotizavrteloinkolikšenjenjegovpremer. Istiposkuslahkoveˇ ckratponovimo. Dopustenjeka- kršenkoli postopek, ki vkljuˇ cuje merjenje ali prešte- vanje, dobljene rezultate pa je dopustno raˇ cunsko obdelati (npr. izraˇ cunati povpreˇ cje). Nateˇ caj je namenjen skupinam uˇ cenk in uˇ cencev osnovnih šol in dijakinjam in dijakom srednjih šol v naslednjih kategorijah: Kategorija OŠ1 (1.–3. razred): Razredni izdelek Kategorija OŠ2 (4.–6. razred): Razredni izdelek Kategorija OŠ3 (7.–9. razred): Razredni izdelek ali izdelek skupine vsaj 5 uˇ cencev istega razreda. Kategorija SŠ (vsi letniki): Razredni izdelek ali iz- delek skupine vsaj 3 dijakov iste šole. Pri razrednem izdelku naj sodeluje celoten razred, mlajšim lahko pomagajo uˇ citelji. Posamezna šola lahko na nateˇ caj prijavi najveˇ c 3 izdelke. Oddaja izdelkov. Za sodelovanje na nateˇ caju je treba oddati prispevek, v katerem je opis postopka, do 3 fotografije postopka in izraˇ cunani približki. Prispevek skupaj s podatki o avtorjih bo- ste oddali v elektronski obliki (pdf) najkasneje do 1. marca 2023 preko spletnega obrazca na spletni strani DMFA, ki bo aktiven do 28. februarja 2023. Rezultati bodo objavljeni na Mednarodni dan mate- matike, 14. marca 2023. Strokovna komisija pri DMFA Slovenije bo glede na izvirnost, zanimivost in kvaliteto približka za π izbralanekajizdelkovinjihnagradilaspoliedrskimi kompleti in drugimi simboliˇ cnimi darili, ki jih bomo predvidoma podelili na prireditvi Bistroumi 2023 v Ljubljani. Kontaktni naslov za morebitna dodatna vprašanja je matematicnidan@dmfa.si. ×××  P50(2022/2023)4 16 Nagradna križanka ×××   ˇ Crke iz oštevilˇ cenih polj vpišite skupaj z osebnimipodatkivobrazecnaspletnistrani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marca 2023, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeliknji- žno nagrado.  P50(2022/2023)4 17 GG ˇ  GG ˇ  P50(2022/2023)4 18 Ponazoritev limite zaporedja Bˇ  K Koncept limite zaporedja je verjetno eden zah- tevnejših v srednješolski matematiki. ˇ Ceprav se limito zaporedja nauˇ cimo izraˇ cunati s pomoˇ cjo ra- ˇ cunskih pravil, je marsikomu težko pojasniti, kaj limita zaporedja sploh pomeni. Nekoliko približno lahko povemo, da seˇ cleni zaporedja v neskonˇ cno- sti približujejo limiti na tak naˇ cin, da so v majhni okolici limite vsi dovolj pozni ˇ cleni zaporedja. S pomoˇ cjo GeoGebre bomo to poskusili natanˇ cneje ilustrirati. Spomnimo se formalne definicije limite. Realno število L je limita zaporedja (a n ) n∈N , ˇ ce za vsak ε > 0 obstaja neko naravno število n 0 ∈ N, da je |a n −L|<ε za vsakn≥n 0 . Oglejmo si, kaj to pomeni v konkretnem primeru. Naj bo zaporedje dano s splošnimˇ clenom a n = 3n+1 2n+5 . Limita tega zaporedja je enaka L= lim n→∞ 3n+1 2n+5 = lim n→∞ 3+ 1 n 2+ 5 n = 3 2 (imenovalec in števec ulomka smo delili zn ter ugo- tovili, da grestaˇ clena 1 n in 5 n proti 0, ko gren→∞). Izberimo si konkretenε= 0,5. Potem definicija li- mite pove, da obstaja takšno število n 0 , da je |a n − 3 2 |< 0,1 za vse n≥n 0 . To število lahko dolo- ˇ cimo z reševanjem neenaˇ cbe 3n+1 2n+5 − 3 2 < 1 2 . S preurejanjem jo hitro preoblikujemo v enakovre- dno neenaˇ cbo 4 < n. ˇ Cleni a n se torej od limite razlikujejo za manj kot 1/2, ˇ ce je n vsaj 5. Iskano številon 0 je v tem primeru torej enako 5. SLIKA1. Interaktivna ponazoritev limite zapo- redja s splošnimˇ clenoma n = 3n+1 2n+5 .  P50(2022/2023)4 19 Nalogo pa bi lahko rešili tudi za splošen ε > 0. V tem primeru dobimo neenaˇ cbo 3n+1 2n+5 − 3 2 <ε, ki jo preuredimo v enakovredno neenaˇ cbo 13 < ε(4n+10) oziroma n > 13−10ε 4ε . Ker je n na- ravno število, bi torej lahko rekli, da je n 0 =⌊ 13−10ε 4ε ⌋+1 (za 1 poveˇ cani celi del števila). Izraˇ cunane pojme lahko zdaj ponazorimo grafiˇ c- no z naslednjimi koraki. Z ukazom Zaporedje((n,(3n+1)/(2n+5)),n, 1,30) narišemo prvih 30 ˇ clenov zaporedja kot toˇ cke v ravnini. Definiramo vrednost L=3/2, ki predstavlja limito zaporedja. Na grafu jo ponazorimo s premico, ki jo vnesemo kot y=L in ustrezno pobarvamo. Ustvarimo drsnik z vrednostmi med 0 in 1 in ga poimenujmo eps. Ustrezno ε-okolico limite na grafu ponazorimo s pasom med premicamay = 3/2±ε, kar v GeoGe- bro vnesemo kot L-eps 2023). Na vsakem takemintervalutorejpremicosekadvakrat,kar da skupaj 644 preseˇ cišˇ c. Podobno preštejemo 644 preseˇ cišˇ c za −2023 ≤ x ≤ 0. Pri tem pa smo rešitev x = 0 šteli dvakrat, vseh preseˇ cišˇ c je torej 1287. ×××  P50(2022/2023)4 20 Opazovanje asteroida Vesta s teleskopom GoChile A G V ˇ clanku bom na kratko predstavil svojo izku- šnjo iz udeležbe na poletni šoli GoChile. Povedal bom nekaj besed o orbitalni mehaniki, asteroidih inoraˇ cunalniškemprogramu,kisemganapisalza avtomatiˇ cno obdelavo podatkov. Uvod Konec avgusta 2022 sem se udeležil prve poletne astronomskešoleGoChile,kijojevAjdovšˇ ciniorga- nizirala Univerza v Novi Gorici. Petdnevne šole se je udeležilo 16 dijakinj in dijakov iz razliˇ cnih gimnazij v Sloveniji. Podnevi smo poslušali zanimiva preda- vanja, ponoˇ ci smo opazovali nebo: malo z lastnimi teleskopi, pretežno pa na daljavo s slovenskim ro- botskim teleskopom v ˇ Cilu. Opazovanja s telesko- pom v ˇ Cilu smo opravljali v dvojicah. Vsaka dvojica se je lotila svojega projekta. Moja skupina se je osredotoˇ cila na raziskovanje asteroidov. Ti so izjemnega pomena za prouˇ cevanje zgodovine Osonˇ cja, ker so ostali veˇ cinoma nespre- menjeni od njegovega nastanka. Trki asteroidov z Zemljo so v preteklosti opazno spremenili našo bi- osfero. Polegtegabodomordaasteroidipredstavljali neprecenljiv vir surovin v prihodnosti. Najprej sva poiskala primeren asteroid za ta pro- jekt. Moral je biti neprekinjeno viden v ˇ cilski noˇ ci, konec avgusta v ˇ casu vsaj enega obrata okoli svoje osi. Pri izbiranju sva uporabila podatkovno bazo JPL malih teles Osonˇ cja [2]. Izbrala sva asteroid Vesto – najsvetlejši na nebu in najveˇ cji v asteroidnem pasu. Imela sva še mnogo drugih kandidatov, ampak ta je izstopal po svojih lastnostih. Iz meritev sva doloˇ cila njegoveorbitalneelemente, svetlobnokrivuljoinpe- riodo vrtenja. Naopazovanjesvasetemeljitopripravila. Izdelala svapodrobennaˇ crtzaopazovanje,preverilavremen- skonapoved,doloˇ cilafrekvencoslikanja,filterinek- spozicijo. Vsetosvanaredilapodskrbnimvodstvom mentorjev. Kojeprišelˇ caszaopazovanje,svasepri- javila na nadzorni raˇ cunalnik Vega. Zagnala sva sne- manjeinvneslanastavitve. Potemjebilotrebaˇ cakati pri raˇ cunalniku. Naslednji dan sva obdelala slike na Vegi in si jih prenesla na najina raˇ cunalnika. Izsliksejedalorazbratirelativnosvetlostinpolo- žaj objekta glede na bližnje zvezde. Iz meritev rela- tivnesvetlostisvanarisalasvetlobnokrivuljoastero- ida (slika 1). Pike ustrezajo posameznim meritvam, modraˇ crta pa je polinomska aproksimacija svetlob- ne krivulje. Ocenjen ˇ cas rotacije asteroida je 5,4 h, kar se dobro ujema z znanimˇ casom 5,34 h. Na podlagi dobljenih geocentriˇ cnih ekvatorialnih koordinat sva lahko ocenila orbito Veste. Ker je teleskop samo en, smo ga uporabljali v raz- liˇ cnih terminih. Moja skupina je lahko uporabljala teleskop predzadnjo noˇ c pred koncem poletne šole. V preostalih kratkih 30 urah sva morala obdelati vse pridobljene podatke in na koncu predstaviti najin projekt drugim udeležencem poletne šole.  P50(2022/2023)4 21 SLIKA1. Svetlobna krivulja Doloˇ canjetirnice Priobdelavivelikemnožicepodatkovvkratkemˇ casu sva si pomagala s programom, ki sva ga napisala še pred opazovanjem. Ko sva opravila opazovanje in pridobila vse podatke, sva jih vstavila v programe in takojdobilarezultate. Program,kigabompredstavil v nadaljevanju, sva napisala, da bi lažje vizualizirala razliko med znano in izmerjeno orbito asteroida. Dabisilažjepredstavljaliorbitoasteroida,svado- dalašenekajteles vanimacijo: Zemljo, MarsinJupi- ter. Za vsako telo v animaciji sem izraˇ cunal Kepler- jevo orbito. Upošteval sem le gravitacijski privlak med telesom in Soncem. Keplerjeva orbita je dolo- ˇ cena s šestimi orbitalnimi elementi. Obliko elipse, po kateri kroži nebesno telo, doloˇ cata velika polos in izsrednost (ekscentriˇ cnost). Tretji element je kot, ki nam pove orientacijo orbite v njeni ravnini. Dolo- ˇ cen mora biti tudi ˇ cas, ko telo preˇ cka neko posebno toˇ cko, za katero je obiˇ cajno vzet perihelij. Ko pre- skoˇ cimo v tretjo dimenzijo, potrebujemo še dva pa- rametra: inklinacijo – kot, za katerega je nagnjena ravnina tira, in dolžino dvižnega vozla oz. kot, ki nam pove orientacijo ravnine tira glede na izhodišˇ c- noravnino(npr.ekliptiko). Prikazorbitalnihelemen- tov je na sliki 2. SLIKA2. Orbitalni elementi Iz teh podatkov lahko izraˇ cunamo lego telesa v odvisnosti od ˇ casa. ˇ Ce poznamo vse orbitalne ele- mente, si to tirnico zelo nazorno predstavljamo. Na- mesto orbitalnih elementov lahko uporabimo vek- torja zaˇ cetne hitrosti in položaja (skupaj 6 vektor- skihkomponent), karjeboljprimernozanumeriˇ cno rešitev. Ta metoda je bolj univerzalna, saj je z njo mogoˇ ce upoštevati vplive drugih teles, ki popaˇ cijo orbito. Vbistvusoanalitiˇ cnorešljivenalogelemanj- šina od vseh matematiˇ cnih nalog: eden od znanih primerovjeproblem3teles. Tupridepravuporabno znanje programiranja, ki je izjemnega pomena tudi za obdelavo podatkov, še posebej v astronomiji. Program Napisati sem moral program, ki izraˇ cuna položaje telesanadanemˇ casovnemintervaluinjihpotemna- riševtridimenzijskemprostoru. Obstajaveˇ cnaˇ cinov storiti to. Za tirnico sem raˇ cunal posamezne toˇ cke s pomoˇ cjo analitiˇ cne metode, za koordinate telesa pa sem uporabil numeriˇ cno metodo. Pri prvi metodi sem najprej izraˇ cunal pravo ano- malijo in razdaljo od Sonca. Potem sem te pretvoril v heliocentriˇ cne ekliptiˇ cne koordinate. Pri drugi me- todi sem sledil istemu postopku za zaˇ cetni položaj inhitrost. Inzatemsemintegriralpoˇ casusfunkcijo odeint iz knjižnice scipy. Za risanje toˇ ck sem upora- bil knjižnico matplotlib, za animacijo pa sem upora- bil funkcijo FuncAnimation iz matplotlib.animation, ki v enakih ˇ casovnih intervalih pokliˇ ce drugo funk- cijo za posodobitev položajev teles (v mojem pro- gramu se imenuje animate()).  P50(2022/2023)4 22 SLIKA3. Anomalije Za koordinate telesa je najprej treba dobiti pravo anomalijo: lahko jo imamo že podano ali jo lahko izraˇ cunamo v odvisnosti od ˇ casa. Za to uporabimo Keplerjevoenaˇ cboE−esin(E)=M,kjerjeE ekscen- triˇ cna anomalija,M srednja anomalija. Enkrat, ko imamo ekscentriˇ cno anomalijo, lahko dobimopravoanomalijof: tg  f 2  = q 1+e 1−e tg  E 2  . Pri raˇ cunanju s koti moramo paziti, da so v pravilnih kvadrantih. Izraˇ cunajmo razdaljo telesa od gorišˇ ca orbite: r =a(1−ecos(E))=a 1−e 2 1+ecos(f) . Zdaj lahko pretvorimo pravo anomalijo in orbi- talneelementevekliptiˇ cneheliocentriˇ cnekoordinate z nekaj sferiˇ cne trigonometrije (slika 4). Prinumeriˇ cnimetodipabotrebarešitiznanodife- rencialno enaˇ cbo: − ⇀ r ′′ = GM r 3 − ⇀ r . Zaˇ cnemo z znanimi zaˇ cetnimipogoji–imamoževektorjapoložajainhi- trostiobˇ casut=0. Natoizraˇ cunamonovpoložajin hitrostpoˇ casudt. Intakosepostopomapremikamo naprej. Oglejmo si enaˇ cbe gibanja. Pospešek lahko izraˇ cunamo iz Newtonovega gravitacijskega zakona. Vemo tudi, da je hitrost sprememba razdalje v ˇ casu dt: − ⇀ v = d − ⇀ r dt ; pospešek pa je sprememba hitrosti v ˇ casu dt: − ⇀ a = d − ⇀ v dt . V funkciji calcPos() ustvarimo zanko, ki bo s pomoˇ cjo funkcije updateVect() raˇ cu- SLIKA4. Orbitalni elementi nala nove vrednosti hitrosti in položaja: acc=− GM (pos[0] 2 +pos[1] 2 +pos[2] 2 ) 3 2 ·pos vel+=acc·dt Pos, acc in vel so vektorji položaja, pospeška in hi- trostizapisanistabelamiknjižnicenumpy.array(),ki nam omogoˇ ca lažjo manipulacijo tabel. Z adaptacijo funkcij drdt() in calcPos(), bi se dalo trivialno prilagoditi program za sistem veˇ c teles. Bralci, ki si želijo ogledati program, ga lahko naj- dejo na spletni strani https://github.com/Alex- Outis/animationOrbits/. Literatura [1] Notes on celestial mechanics (chapters 1, 9, 10, 13), Fundamental astronomy(chapter 6), Wikipe- dia in dokumentacija uporabljenih knjižnic. [2] https://ssd.jpl.nasa.gov/tools/sbdb_ lookup.html#/ in https://ssd.jpl.nasa. gov/tools/sbwobs.html#/ ×××  P50(2022/2023)4 23 Izbraneslikeinfotografijevpetdesetih letihPreseka–nadaljevanje N R, M R  A L V tretji številki letošnjega Preseka smo predsta- vili izbor slik in fotografij iz njegovih zaˇ cetnih osmih letnikov. Konˇ cali smo z mojstrskim ˇ crno- belimportretomJosipaBrozaTita,kigajeustvaril Božidar Jakac. Ta izjemni umetnik je portretiral številne znane Slovence, med drugimi tudi našega najboljznanegamatematika,profesorjaJosipaPle- mlja. Letos praznujemo ˇ castitljivo 150. obletnico Plemljevega rojstva. V nadaljevanju predstavljamo izbor slik in foto- grafij do 20. letnika. Tudi tu najdemo portreta Jurija Vege in Josipa Plemlja, to pot deli karikaturista Bo- ruta Peˇ carja. Kdor pa ima rad naravoslovno fotogra- fijo, ne bo razoˇ caran nad našim izborom. V še dveh nadaljevanjih bomo predstavili izbor do zadnje šte- vilke jubilejnega petdesetega letnika Preseka. PosamezniPresekoviˇ clankisedobijonaspletnem naslovu http://www.dlib.si/ v rubriki Periodika. Veliko starejših prispevkov pa hitro najdemo na spletnem naslovu http://www.presek.si/ v Arhi- vu revij. Ali ste se že kdaj vprašali, zakaj sneg okoli dreves hitreje skopni (slika 1)? Odgovor na to in razlago še drugih zanimivih pojavov v naravi boste našli v 5. številki 9. letnika Preseka z naslovom Enajsta šola iz fizike, ki jo je napisal Ivan Kušˇ cer in ji dodal tudi fotografije teh pojavov. Borut Peˇ car je s karikaturami opremil 5. številko 10. letnika Preseka, ki ima naslov Presekov koledar. Med drugim so v tej številki objavljeni kratki življe- njepisi nekaterih domaˇ cih matematikov in fizikov. Na sliki 2 sta upodobljena Jurij Vega (levo) in Josip Plemelj (desno). Z 12. letnikom je prostor v Preseku dobilo tudi ra- ˇ cunalništvo. Takrat so v naše domove že nezadržno SLIKA1. SLIKA2. prodiralihišniraˇ cunalniki,naprimerCommodore64 in Sinclair Spectrum. Slika 3 je naslovna stran 2. šte- vilke tega letnika. Kot vidimo, sta bila za uporabo Spectruma potrebna televizor in kasetofon. Jože Rakovec je v 3. in 4. številki 12. letnika Pre- seka objavil v dveh delihˇ clanek Merjenje hitrosti ve- tra, v katerem je poleg preproste fizikalne razlage opisal tudi v ta namen primerne instrumente. Slika 4kažemeteorološkonapravo,kivtekuˇ casazapisuje hitrost, moˇ c in smer vetra, to je anemograf domaˇ ce izdelave. V 3. številki 13. letnika Preseka je Janez Stepišnik opisal magnetno resonanco in njeno uporabo v me- dicinski diagnostiki. Takrat se je ravno zaˇ cela uve- ljavljati v medicini. Danes si brez naprav za magne-  P50(2022/2023)4 24 SLIKA3. SLIKA4. tno resonanco kliniˇ cnih centrov ne moremo veˇ c za- misliti. Nasliki5vidimoslikoˇ cloveškeglave,slikane z magnetno resonanco. Presek že od vsega zaˇ cetka ne pozablja na astro- nomijo. VnaslednjištevilkijeAndrej ˇ Cadežrazložil, kako deluje sonˇ cna ura. Na sliki 6 je sonˇ cna ura na južni steni ljubljanske stolnice. JanezStrnadjev4.številki14.letnikaPresekaob- javilˇ clanekzzgovornimnaslovomOnaravisvetlobe in o lomu. V njem je razložil naˇ cine za merjenje hi- SLIKA5. SLIKA6. trosti svetlobe, lomni zakon in katere lastnosti sve- tlobelahkopodpredelˇ cnainkaterelevalovnateorija svetlobe. Na sliki 7 vidimo lom svetlobe na stekle- nem telesu. SLIKA7.  P50(2022/2023)4 25 V osemdesetih letih preteklega stoletja se je med ljudmipovsemsveturazširilaigraˇ ca,imenovanaRu- bikova ali magiˇ cna kocka. Takrat še študenta, Boris HorvatinMirkoLozej,staizdelalalesenprototipma- giˇ cnegadodekaedra(slika8)incelotnozgodbootem objavila v prvi številki 15. letnika Preseka. SLIKA8. V naslednjih dveh številkah istega letnika Preseka so Emil Beloglavec, Mitja Lakner in Andrej Vitek ob- javili v dveh delih ˇ clanek Juliajeva množica. Kljub takratnim skromnim raˇ cunalniškim možnostim jim je uspelo na raˇ cunalniškem zaslonu predstaviti Juli- ajevo množico (slika 9). SLIKA9. S ˇ clankom Šahovski kralj izbira vzorec je Marko Razpet zaˇ cel 3. številko 16. letnika Preseka. Poka- zal je, kako z ostanki po deljenju števil posebnih mrežnih poti pridemo do zanimivih slik. Na sliki 10 imamo primera takih slik, ki sta bili uporabljeni za naslovnico. Za predzadnjo številko istega letnika Preseka je Janez Strnad prispeval ˇ clanek Ali je jajce kuhano? SLIKA10. V njem podrobno razlaga, kako s preprostimi fizi- kalnimi eksperimenti ugotovimo, ali je bilo mehko skuhano jajce preveˇ c surovo ali pretrdo (slika 11). SLIKA11. V 4. številki 18. letnika Preseka je Marijan Prosén v ˇ clankih Zakaj vidimo Sonce ob obzorju splošˇ ceno inKolikoˇ casa zahajaSoncenatanˇ cnopojasnil, zakaj Sonce ob zahajanju ni videti okroglo in kako opazu- jemo in merimoˇ cas njegovega zahajanja (slika 12). V zadnji številki istega letnika Preseka je objavlje- nih nekaj nenavadnih krivulj, ki jih je po navodilih izprveštevilkekonstruiralAndrejZalarizŠentjurja. Ena od teh je predstavljena na sliki 13.  P50(2022/2023)4 26 SLIKA12. SLIKA13. Marija Vencelj je za prvo številko 19. letnika pri- spevala zanimivo nalogo. Kakšno obliko zavzame vrvna zanka na plašˇ cu stožca? (slika 14) Podobna naloga za plašˇ c valja je bila na 6. evropski fizikalni olimpijadi leta 2021. V naslednji številki istega letnika je Anton Cedil- nikvˇ clankuVrtenjejeˇ cudnareˇ cobravnavaltrikotno plošˇ co, ki je s tremi elastiˇ cnimi vrvicami privezana na fiksno okolico. Pojasni dogajanje, ˇ ce plošˇ co vr- timo okrog simetrijske osi (slika 15). V isti številki je Andrej Likar v ˇ clanku Plavajoˇ ce kapljice pisal o kapljicah vode, ki zaradi površinske napetosti plavajo na mirni ali valujoˇ ci vodni gladini (slika 16). SLIKA14. SLIKA15. V 4. številki istega letnika je Marija Vencelj obja- vila zanimivo nalogo Ribiška z ustrezno risbo treh ribiˇ cev (slika 17). Ista avtorica je v zadnji številki Sluˇ caj ali pravilo? bralce vzpodbudila k reševanju nenavadne naloge (slika 18). Vzaˇ cetništevilki20.letnikajeAndrejLikarvˇ clan- ku Valovni stroj opisal stroj, s katerim lahko izva- jamonekatereeksperimentenatemovalovanja(slika 19). Takestroješevednouporabljalozapredstavitev širjenja valovanja.  P50(2022/2023)4 27 SLIKA16. SLIKA17. SLIKA18. Isti avtor je v 3. številki 20. letnika Preseka Miru- joˇ ce interferenˇ cno polje obravnaval interferenco veˇ c vrst valov, med drugimi tudi kapilarne valove na vo- dni gladini (slika 20). Andrej Likar je v zadnji številki istega letnika Pre- sekavˇ clanku ˇ Cebelanapašiocenil,kolikodelaopra- vi ˇ cebela pri iskanju in prinašanju cvetnega prahu v panj (slika 21). (Se nadaljuje.) SLIKA19. SLIKA20. SLIKA21. ×××  P50(2022/2023)4 28 Nekajiznašeponudbe V DMFA – založništvo izdajamo razliˇ cne vrste literature. Predstavljamo vam dve ponudbi: Janez Strnad: MALA ZGODOVINA DOPPLERJEVEGA POJAVA 120 strani format 14×20 cm mehka vezava 15,50 EUR Carlo Rovelli: SEDEM KRATKIH LEKCIJ IZ FIZIKE 76 strani format 12×17 cm mehka vezava 9,50 EUR Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi naroˇ cite: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/cenik/ Individualni naroˇ cniki revije Presek, ˇ clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroˇ cilu pri DMFA–založništvo 20 % popusta, razen za najnovejše knjige! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633. ˇ   ˇ   50/3 Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz tretje številke Preseka letnika 50 je Barvanje grafov. Med pravilnimi reši- tvami smo izžrebali naslednje reševalce: Izak Pelicon iz Šempasa, EvaŠolincizLjubljanein JasnaJakobˇ ciˇ cizNovega mesta, ki bodo nagrade prejeli po pošti. ××× B  ˇ    P   ˇ  P50(2022/2023)4 29 33. mednarodna matematiˇ cna olimpiada v Moskvi  20, ˇ  5, 1992/93 Slovenija se je Mednarodne matematiˇ cne olimpijade kot samostojna država prviˇ c udeležila leta 1993, torej pred tridesetimi leti. Že leto dni prej pa se je olimpijade kot gost švicarske ekipe udeležil tedanji dijak Gimnazije Bežigrad Tomaž Cedilnik, ki je o svojih doživetjih poroˇ cal v reviji Presek. OdtlejseSlovenijasšestˇ clanskoekipoude- ležuje olimpijade vsako leto. Naši tekmo- valci in tekmovalke so v tem ˇ casu osvojili želepošteviloodliˇ cij,mednjimitudizlato, ki ga je osvojil Luka Horjak leta 2020. Še vedno pa velja, da je najpomembnejši del matematiˇ cne olimpijade prijetno druženje zvrstnikiizvsegasveta. Upamo,dabotako tudi letos! ×××    P50(2022/2023)4 30 Množica mavric L H Mavricosmovideliževsi,veˇ cinanasjevidelatudi dvojno mavrico. Redkeje pa dobimo priložnost vi- deti šest mavric hkrati. Najvišji mavrici na predstav- ljeni sliki (slika 5) sta »obiˇ cajni« mavrici – ˇ cez celo- tno sliko se krivi primarna, v kotu nad njo najdemo sekundarno. A posebno pozornost pritegnejo štiri dodatne mavrice pod nižjim robom primarne. Ime- nujejoseinterferenˇ cnemavriceinnjihovoimežena- kazuje naˇ cin njihovega nastanka. Oglejmo si, kako nastane primarni lok mavrice. Kadar je v zraku veliko kapljic vode in skoznje po- sveti sonˇ cna svetloba, ta na poti skozi kapljice spre- menismer,kotprikazujeslika1. Prviˇ csetozgodiob vstopu svetlobe v kapljico; na meji zrak-voda se ža- rek lomi za kot, ki ga doloˇ cata barva svetlobe (rdeˇ ca se lomi manj kot modra) ter kot med žarkom in vo- dno površino. V kapljico pa ne vstopi vsa svetloba, temveˇ c se je na meji med snovema nekaj tudi od- bije. Delež odbite svetlobe doloˇ cata ista vpliva kot kot loma. Lomljenasvetlobaspetzadeneobpovršinokaplji- SLIKA1. Nastanek mavrice. Kot ϕ oznaˇ cuje kot med žarkom in povr- šino kapljice. Zaradi preglednosti skica prikazuje le svetlobo, ki prispeva k primarnemu loku mavrice. SLIKA2. Interferenca: konstruktivna zgoraj, destruktivna spodaj. V obeh primerih sta na levi valovanji, ki se sreˇ cata, na desni rezultat. SLIKA3. Zamik pri prehodu skozi kapljico. Rdeˇ ci ˇ crtkani ˇ crti sta pravo- kotni na smer potovanja valovanja. ce, kjer se je del ponovno lomi ter pobegne iz nje in del odbije nazaj vanjo. Odbita svetloba se ob nasle- dnjem stiku s površino spet delno lomi in delno od- bije. Oglejmo si svetlobo, ki iz kapljice izstopi. Ker pot svetlobe skozi kapljico in intenzivnost odbojev doloˇ cata ista parametra, svetloba razliˇ cnih barv pod razliˇ cnimi koti izstopi z razliˇ cno intenziteto. Pri do- loˇ cenem izstopnem kotu tako prevladuje rdeˇ ca sve- tloba, pri drugem pa modra – dobili smo mavriˇ cni lok.  P50(2022/2023)4 31 SLIKA4. Vzorec pri interferenci valovanj iz dveh virov. SLIKA5. Množica mavric. Znotraj primarnega loka lahko opazimo zapo- redje šibkejših interferenˇ cnih mavric. Ker je izstopna smer za svetlobo z najveˇ c rdeˇ ce barve bolj navpiˇ cna kot za svetlobo z najveˇ c modre, jovmavricividimonajvišje. Pripreostalihkotihmed intenzivnostmi razliˇ cnih barv ne bo velikih razlik in videli bomo belo svetlobo. ˇ Ce se svetloba na poti skozi kapljico odbije dva- krat, dobimo sekundarno mavrico, a seveda nikoli ne vidimo obeh mavric iz iste kapljice. Tudi raz- liˇ cni pasovi iste mavrice izvirajo iz razliˇ cnih kapljic. Oglejmo si zdaj le svetlobo, ki prispeva k mavriˇ cnim lokom. Ko poskusimo razložiti zaporedje mavric pod pri- marnim lokom, naletimo na težave. Svetlobo zato opišemo kot valovanje, zaporedje hribov in dolin. Meddvemahribomaalidolinamajevednoenakaraz- dalja, ki doloˇ ca tudi barvo svetlobe in jo imenujemo valovna dolžina. Rdeˇ ca svetloba se ponaša z malce veˇ cjo valovno dolžino kot modra. Ko se sreˇ cata žar- ka svetlobe z enako valovno dolžino, se valovanji seštejeta in pride do interference. ˇ Ce se seštejeta dva hriba ali dve dolini, dobimo moˇ cnejše valova- nje (konstruktivna interferenca), ˇ ce se seštejeta hrib enega žarka in dolina drugega žarka, pa se žarka iz- niˇ cita (destruktivna interferenca). Shematsko to pri- kazuje slika 2. Žarka svetlobe iste barve, ki v kapljico vstopita na razliˇ cnih mestih, bosta na poti skoznjo prepotovala razliˇ cni razdalji in pri tem pridelala »zamik« drug glede na drugega, odvisen od vstopnih kotov (slika 3). A valovi se v resnici ne širijo le naprej, temveˇ c tudi vstran. ˇ Ce oznaˇ cimo vsak vrh valovanja, tako ne dobimo zaporedja pik, temveˇ c ukrivljene loke. Loki dveh valovanj, ki iz kapljice izstopita na raz- liˇ cnih toˇ ckah, se ponekod sekajo – tam dobimo kon- struktivno interferenco –, drugod pa pade lok valo- vanja iz prve toˇ cke ravno na sredino med lokoma valovanja iz druge toˇ cke, kjer je dolina – dobimo de- struktivno interferenco. ˇ Ce bomo kapljico opazovali pod razliˇ cnimi koti, bomo torej opazili moˇ cnejšo ali šibkejšo svetlobo iste barve (slika 4). Primarna ma- vricapredstavljanajmoˇ cnejšitakodobljenižarek,in- terferenˇ cne mavrice pa stranske žarke. Ker je raz- mik(kot)medžarki,nastalimizinterferencoodvisen tudi od velikosti kapljice, interferenˇ cne mavrice vi- dimole, kadar so kapljice dovolj majhnein podobne velikosti. Zdaj torej razumemo, od kod množica mavric na sliki in vidimo, kako kompleksne izvore imajo lahko že enostavno opazljivi pojavi. Za razmislek pa naj ostane, h koliko loncem zlata te mavrice vodijo. Literatura [1] Atmospheric Optics, dostopno na https:// atoptics.co.uk, ogled 5. 2. 2023. ××× MaRtematiˇ cneprigode To je knjiga, ki jo je na police treba odložiti poleg Svetega pisma, Iliade in Integralov Sreˇ cka Kosovela. Radi jo bodo imeli vsi, ki nikoli niso marali matematike, in so sklep, da zanjo niso nadarjeni, prenesli na svoje otroke. Z matematiko se v življenju sreˇ camo dvakrat. Prviˇ c, ko dokonˇ cno propademo pri integralnem raˇ cunu in takoj za tem za vedno pobegnemo pred enaˇ cbami. Drugiˇ c, ko svojim otrokom poskušamo razložiti, kako preprosta stvar je matematiˇ cni izraˇ cun, in se nam zaˇ cne kolcati pri po- števanki. Kdor z matematiko nikoli ni imel težav, se bo ob branju lahkotno zabaval. Vsi drugi ga doživimo kot odrešitev. V tem svetu nismo sami. In na drugi strani je nekdo, ki ve za našo stisko in je o njej napisal knjigo. Govori o sreˇ canju z neskonˇ cnostjo in veˇ cnostjo in njunimi povezavami z vsakdanjo šolsko politiko našegaˇ casa. 12,50 EUR Poleg omenjene ponujamo tudi druga matematiˇ cna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred- stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroˇ cite: http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Individualni naroˇ cniki revije Presek,ˇ clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroˇ cilu starej- ših zbirk nalog pri DMFA – založništvo 20% popusta na zgornje cene – izkoristite ga!