PRESEK - list za mlade matematike , fizike , astronome in računalnikarje
20. let nik. leto 1992/93, številka 1. strani 1-64
VSEB INA
UVODNIK
FIZIKA
NALOGE
NOVE KNJIGE
MATEMATIKA
ASTRONOMIJA
RAZVEDRILO
RAČUNALNiŠTVO
TEKMOVANJA
NOVICE
NA OVITKU
Kaj prinaša prva številka Preseka (Marija Vencelj). . . . . . . . . . 1
Valovni stroj (Andrej Likar) - (slike 1. in IV. stran) oooo 2-4
Fizika v delih Julesa Verna (Lidija Babič) oo. 12-19
Ob letal skem poku so se zatresla tla (Janez Strnad) 30-31
Dve igri s števili (Dušan Murovec) o. o. . o.. o. . . . . . 5
Trikotnik v kvad ratu (Boris Lavrič) o oooooo. 23
Popolne potence (Boris Lavrič) o. oooo. . . . . . . . 23
Nagradni sist emi linearnih enačb, 2. del (Vilko Domajnko). 34-36
Poišči osnovi (Marija Vencelj) oo. o. . . . . . . . . . . . . 41
Pravokotni večkotnik] (Marija Vencelj) o. 51
Preničlana števila (Boris Lavrič) ooo o. o 59
Šfiligoj B., Željko Mo, PiCTeX CAD (Ciril Velkovrh) .. oooo. . 5
Gardner M., Aha! Pa te imam, paradoksi za napenjanje
možganov in razvedrilo (Milena Strnad) . . . . . . . . . . . . . . 41
Cash T ., Taylor B., Walpole B., Ferbar J ., Zvok . Gibanje
[Jo ži Hriba r) o. oooooo 46-47
Priročniki in učbeniki KT DMFA Slovenije o o. . 50
Cevov izrek (Marija Vencelj) ooooooooooo 6-11
- Uporaba kompleksn ih števil v ravninski geometriji, 1. del
(Matjaž Leljko) o.. oooooo. o 20-22
Princip najmanjšega in največjega elementa v podmnožicah
naravnih števil (Borut Zalar) o 38-40
Potenčna števila (Jože Grassell i) o.. o. . . . . . . . . 54-59
Astronomsko gledališče (Danica Mati in Janez Ferbar) .. .. 24-29
Pisma bralcev (Dušica Boben) .. . o. ooo. . o. . . . . . . . . . . . . . . 51
Kako ugotovimo povečavo daljnogleda (Marijan Prosen) ooo 64-111
Križanka 190. obletnica smrti slovenskega matematika
(Marko Bokalič) oooo. oo oo. oo 32-33
Številska križanka (S.V. Radojkovi č -
prev . in prir. Bojan Hvala) 52-53
Dve pisem ci - dve uganki (Miha Mohor) 60-62
Krokod il ali tranzitivnost v praksi (Matjaž L:eljko) . . . . . . . . . . 63
Zakaj žepn i računalnik računa narobe? (Olga Arnuš) . . . . . . . 37
Naloge s fizikalne olimpiade 1991 v Havani (Marjan Hribar) 42-46
Rudjer Boškovi č na hrvaškem bankovcu (Janez Strnad) .... 48-50
Največje praštevilo (M ilena Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Valovni stroj (foto Marjan Smerke) o. . I
Poskusi z valovnim strojem (foto Andrej Likar). Glej tudi
članek na strani 2 o. . o.. o. oo. . o. ooo. oo IV
Marija Vencelj
1
KAJ PRINAŠA PRVA ŠTEVILKA PRESEKA
Pred nami je novo šolsko leto in z njim prva številka novega - že dvajsetega
letnika Preseka . Tudi letos vam pripravljamo obilo zanimivega branja iz ma-
tematike , fizike, astronomije in računalništva; v Preseku boste našli poročila
in naloge s tekmovanj, manjkalo pa tudi ne bo zanimivih in razvedrilnih nalog,
ki jih imate, kot kaže, še posebej radi.
ln, kaj prinaša prva številka?
Videli boste, kako lahko z domačimi pripomočki napravite pravi pravcati
valovni stroj, ki ga prikazujejo tudi fotografije na ovitku, in kako ugotovite
povečavo starega daljnogleda, ki ste ga našli v dedovi omari. Najmlajši boste
morda kar v šoli pripravili astronomsko gledališče, tistim z nekaj fizikalne žilice
pa bo gotovo všeč, kako se je naša sodelavka prav po fizikalno lotila branja
knjige Julesa Verna. Jo boste posnemali?
Se vam je že kdaj pripetilo, da sta s sošolcem dobila povsem različna
rezultata z žepnima računalnikoma, čeprav sta računala oba enako in brez
napake? Preberite, zakaj lahko pride do česa takega!
Pri Preseku brez matematike seveda ne gre. Tokrat najdete v njem štiri
matematične članke. Dva sta algebraična : venem boste spoznali zanimive
lastnosti števil. ki v svojem praštevilskem razcepu nimajo praštevil z eksponen-
tom 1, v drugem pa videli, kako lahko s povsem navadnimi matematičnimi
izreki dokazujemo tudi pojave iz vsakdanjega življenja. Od geometrijskih
je eden priprava na članek, ki bo izšel v naslednji številki, drugi članek pa
obravnava manj znan, a preprost in zelo uporaben izrek v trikotniku. Znate
razpoloviti dano daljico le z uporabo ravnila -v takega brez merila?
Predstavljamo nekaj na novo izdanih knjig ; med novicami boste našli
podatek o najnovejšem največjem znanem praštevilu, kakor tudi dokaz o
tem, da je lanski preboj zvočnega zidu nad Ljubljano povzročil celo pravi
majhen potres. Nekaj prispevkov skrbi za razvedrilo, med drugim dve križanki
- slikovna in številska.
Poleg nalog z lanske fizikalne olimpiade, ki jim boste le nekateri kos,
prinaša Presek kot običajno tudi nekaj matematičnih orehov. Tu so nagradni
sistemi linearnih enačb , katerih rešitve bomo objavili v tretji številki, in nekaj
posamičnih nalog. Le kakšne ne boste znali rešiti, boste odgovor nanjo našli
v drugi številki Preseka .
Morda je med njimi tudi kakšna za matematične sladokusce. Tisti, ki
to šele postajate, ne boste zato prav nič prikrajšani. Saj Preseke shranjujete ,
kajne?
VALOVNI STROJ
Ste že opazovali valove na vrvi? Dolgo gibko vrv vpnemo na enem krajišču,
drugega pa niha mo . Bolj zanimivo je opazovati valovanje na va/ovnem stroju.
V za htevni izvedbi ga sestavlja napeta jeklena žica , na katero so v enakih
razmikih prečno nan izane enako dolge jeklene pa lice (slika na naslovni strani).
Žico na nekaj mestih podpremo, da je kolikor mogo ce vodoravna , lahko pa jo
obesimo navpično . Palice nizamo na žico kot bisere na ogrl ico, nato pa jih
poravna mo in trdno spojimo z žico . Razdalja med palicami meri med 2 cm in
4 cm, žica pa je na kraji š čih pritrjena na toga nosilca. Koneno palico počasi
zanihamo pravokotno na žico . Po nizu potuje valovanje z veliko amp litudo in
dovolj počasi . da ga je mogoce podrobno opazovati .
Hit rost valovanja je odvis na od debe line žice, njenega strižnega modula,
vzt rajn ost nega momenta pa lic in njihove medsebojne razdalje . Nam bo bolj
prav prišla zveza:
c = 27rv/j12,
PrI eemer je c hitrost valovanja, / razmik med sosednjima palicama , v pa
frekvenca nihanja ene palice , ko sta njeni sosedi pritrjeni v mirovni legi. Zveza
pomaga izbrati primerno debelo jekleno žico in dolžino ter presek palic, ne da
bi bilo treba izdelati cel valovni stroj . Zadošea , da poskusimo z eno palico, ki
jo pritrdimo na košček žice z dolžino 2/ . Pr ikladno je , da je hitrost valovanja
c okrog 0,5 ms- 1 ali manj .
Takega valovnega st roja v amaterski delavnici ni lahko naredit i. Hitro pa
izdelamo preprostejšo inačico, ki je prav tako uporab na. Namesto jeklene žice
bomo med vodoravna nosilca vzporedno napeli gumijasti vrvici, ki ju nared-
imo s povezovanjem gumijastih obročkov. Nanju bomo prečno niza li lesene
paličice (uporabili smo 40 cm dolge pali čice iz svežnja za igro mikado) . Vpel-
jemo jih skozi razpot egnj ene obročke, ki p a l i č i c e trdno vpnejo . Koristno je, da
si že prej označimo sredino vsake pal ičice . Da sta vrvici čim bolj vzpore dni,
pritrdimo na sredino že vpeljanih paličic š č i p a l k e za sušenje perila, ki poskrbi-
jo, da je razmik med vrsticama enakomeren. Ko smo vpeljali vse paličice, jih
porav nava mo, da se v mirovni legi post avijo vodorav no. Najhitreje to storimo,
če premak nemo pa ličico, ki je najbolj o dda ljena od vodorav ne lege, nat o pa
ves niz umi rimo in nadaljujemo tako do konca . Vmes jih tudi razmikamo , da
so či m bolj enakome rno nanizane (sl ika 1 a in b na IV. strani ovitka zgoraj) . Ni
3
nujn o, da so vse pa ličice natančno v vodoravni mirovni legi , poskusi se nam
bodo vseeno posrečil] .
Najprej izmerimo hitrost valovanja. Paličico na robu na hitro zasu černo
v skoraj na vpič n o lego in m erimo ča s, v katerem motnja doseže pa li č i co na
nasprotnem robu (slika 2 a in b na IV. st ran i ov itka spodaj) . L e izm erimo še
dolžino L valovnega stroja od enega roba do drugega , lahko določimo hitrost
valovanja :
L
C = t" .
P ri na š em st roju j e bila dol žina L = 0,94 m , ča s potovanja motnje pa
t = 2 , 2s, iz česar i zra ču n a mo :
C = 0 ,43 ms -1 .
Dolžino L smo izmerili na 0 ,5 cm natančno , čas pa na 0,1 s. Hitrost C Je
zato negotova za 0,02 ms - l .
V naslednjem po skusu pre verimo zvezo C = 27fvl/.,fi. Izmerit i moramo
povprečno dol žino 1 med sosednjimi pali čicami , saj se je pri merjenju hitrosti
valovanja le-to gibalo vzdolž celega stroja . Dol žina I je povezana z dolžino L
takole :
L
1=-- .
n-1
Z n smo označili število pal i č ic v valovnem stroju (Zakaj je v imenovalcu na
desni st rani enačbe n - 1?), ki je pri nas n = 24 , torej :
0,94 m
1= 23 = 0 ,041 m .
Izmerit i moramo še fr ekven co v, s kat ero niha pali čice med pritrj enima sose-
doma . Izm erimo ča s desetih nihajev (pri čemer štejemo 0, 1, 2, . . . 9 , 10, da
ne izpu stimo enega nihaja ). Nameril i smo rio = 4 ,3 s , zato je frekvenca
10 10 -1 -1
v = - = - s = 2 ,33 s .
rio 4 ,3
Hit rost valovanja cizra ču namo:
=2~ 1/ /;:;2= 6, 283 · 2 ,33s-1 ·O,041m 1
c "v V L 1 , 414 = 0 ,42 ms - .
To se prav dobro ujema z izm erj eno hitrostjo 0 ,43 ms- l, saj smo že ugotovi li,
da je ta izmerek negotov za 0,02 ms-l . T udi i z r a č u n a n a hitrost ni čisto
4
natančna , saj smo jo izra čunal i iz izme rkov v in 1, ki sta tudi nenatan čna .
Valovanje se na k r aj i š č i h stroja odbije. Opazujrno odboj kratkega val-
ovnega sunka. Ustvarimo ga tako, da robno pali čico le dvignemo in spusti mo
v prvotno vodoravno lego. Le je pal i či ca na nasprotnem robu pritrjena, da
ostane ves čas v mirovni legi, se sunek odbije z nasprotno fazo , torej se hrib
odbije in potuje v nasprotno smer kot dolina . Pri prosti robni p a l i č i c i pa se
sun ek odb ije z isto fazo, torej se hrib odb ije in potuje nazaj kot hrib. Robna
pali či ce bo skoraj prosta , če bo razdalj a med njo in pritrd i š čem gumijastih
vrvic dovolj velika, denimo št iri razdalje I.
Vzbud imo na valovnem stroju s toječe valove. To terja nekaj spretnosti .
Pa li čico na robu mo ramo nihati s prav posebno izbrano frekvenco , sicer
je na stroju zm ešnjava . Stoj eči valovi nastanejo, ko se potujoči valovi na
robu odbij ejo in na poti nazaj sestavijo ali interferirajo z vpad aj o čimi valovi.
Nekatere pali čice mirujejo , druge pa nihajo z dvojno amplitudo potujočih
valov. Pri izbrani frekvenci , ki ji rečemo lastna frekvenca stroja, se stoječi
valovi ne sprevr žejo v zmešnjavo . Takih frekvenc je na valovnem stroju več
in so v preprosti medsebojni zvezi.
Ali lahko dosežemo , da se valovanje na robu ne bi odbilo in potovalo
nazaj? Tedaj bi po stroju potovali le potujoči valovi. To res lahko storimo
tako, da pritrdimo na robno pali čico ravno prav veliko pahlja čo iz papirja , ali
še bolje iz pti čj ih peres. Velikost pahljače do l o č i mo s poiskušanj em. Ko se
valovni sunek od roba le neznatno odbije, pahljače ustr ezajo. S p otujočimi
valovi teče tudi energija od roba , kje r valova nje vzbujamo, na drugi rob , kjer
se porabi za mešanje in potem segrev anje okolišnega zraka. S t ako prirejenim
strojem lahko preverimo osnovno valovno zvezo:
C = AV,
pri čemer hitrost valovanja c poznamo, valovno dolžino A in frek venco vz bu-.. . .
Janja V pa Izmerimo.
Morda najdete še sam i kakšno zamisel za nov poskus ali izbolj šavo
valovnega st roj a. Oglasite se s predlogi našemu uredništvu .
Andrej Likar
Sliki sta na IV. strani ovitka .
Slika 1. Sest ava valovn ega stroja z jekleno žico in pre čnirni palicami (a) in amet erskega
va lovnega stroja z gumijastima vrvicama in lesenimi pa li čicami s kljukicami za suše nje perila
(b) . Pri obeh stroj ih je hitrost valovan ja okoli 0,5 ms-t .
Slika 2 . Valovno telo potuje od leve proti desni (a) . Na kovinskem valovnem stroju potuje
razp otegnjeni valovn i sun ek (b) .
/"l-ll' u: 1/1" I/l-c'I_'~C " 'L JC
Šfiligoj B., Željko M., PiCTeX CAD verzija 2.0 . DMFA
Slovenije, Ljubljana 1992. Disketa in navodila za uporabo
progra ma, 28 str. (Pri ročn i k i in učbeniki)
PiCTeX CAD je program, namenjen risanju in konstrukciji poljubnih skic , še
posebej tistih, ki jih je mogoče narisati s pomočjo ravnila in šestila. Omogoča
natančno konstrukcijo geometrijskih likov in poljubnih skic, kadar je pomem-
bno v kakšnem razmerju so med seboj podani osnovni geometrijski objekti
(daljice, krožnice, krožni loki, vektorji) . Seveda program omogoča tudi prosto
risanje, vendar je njegova glavna moč (za razliko od nekaterih drugih pro-
gramov, kot npr. TeX CAD ali AUTOSKETCH) v natančnem pozicioniranju
glede na izrisane objekte. Tako program PiCTeX CAD omogoča uporabo
tipkovnice ali miške. Program shrani skico v formatu PiCTeX, kar pomeni,
da skico, ki smo jo shranili na neko datoteko, kasneje z lahkoto vključimo
v besedilo, ki je napisano v TeX formatu. V tem primeru moramo seve-
da navesti, naj TeX uporabi tudi PiCTeX, ki je standardni del paketa em-
TeX. Shranimo in preberemo pa lahko skico tudi v formatu METAFONT. V
tem primeru se skica obnaša kot znak, ki ga uporabimo za pisavo . Pro-
gram PiCTeX CAD je napisan za osebne računalnike tipa IBM PC in z
njim združljivimi drugimi osebnimi računalniki. Program priporočamo vsem
uporabnikom programskega paketa emTeX, ki poleg stavljenja besedil v svo-
je članke vključujejo tudi skice (posebej matematične). Poleg tega menimo ,
da bi bilo program mogoče koristno uporabiti kot didaktični pripomoček pri
učenju ravninske geometrije in ravninskih transformacij.
Ciril Velkovrh
DVE IGRI S ŠTEVILI
1. Dva igralca izmenoma zap isujeta na list ali tab lo naravna števila , ki niso
večja od vnaprej določenega naravnega števila n . Prepovedano je pisat i
delitelje že napisan ih števil. Izgubi igra lec, ki ne more več napis at i števi la.
Kdo od igralcev ima možnost za zmago pri n = lO? Opišite st rategijo!
2 . Na listu je napisan ih prvih dvajset naravnih števil : 1,2 ,3 , ... ,20 . Dva
igralca izmenoma pišeta znak + ali - pred temi števi li. Prvi poskuša
doseči, da bo imela končna vsota čim manjšo absolutno vrednost , drugi
želi doseči čim večjo . Kolikšna bo absolutna vrednost končne vsote pri
optimalnih strategijah obeh igralcev?
Dušan Murovec
CEVOVIZREK
Med vsemi ravninskimi li-
ki so se matematiki n ajveč
ukvarjali s trikotnikom. Le
stari Grki so vedeli, kako tri-
kotn iku očrtati krožnico , to
da gredo vse tri te ž i ščnice
skozi isto točko , da velja is-
to za višine in za kotne si-
metrale , pa še marsikaj dru-
gega .
Cevov izrek je zelo u-
poraben izrek, ki govori o
tem, kdaj imajo tri premice,
ki potekajo skozi različna
trikotnikova oglišča, skup-
no točko. Je torej nekakšna ~
posplošitev izrekov o teži- •
š č u , višinski točki in sredi-
šču včrtane krožnice . Od-
kril in dokazal ga je v dru-
gi polovici 17. stoletja itali-
janski matematik Giovanni
Ceva (beremo Leva) .
Preden izrek navedemo, se bomo nanj nekoliko pripravili.
• Najprej se domenimo za nekaj oznak:
AB premica skozi točki A in B
(A, B) daljica s krajiščema A in B
AB usmerjena daljica z začetno točko A in
končno točko B
AB dolžina daljice (A, B)
• Delilno razmerje. Naj bo dana daljica AB in točka C E (A, B).
Pravimo, da točka C deli daljico AB v razmerju AC : CB . Ta kvocient
je neko pozitivno realno število >., zato lahko tudi rečemo, da točka C
deli daljico AB v razmerju >. . Očitno deli točka C usmerjeno daljico BA
. 1
v razmerju >:.
7
Le je C = A, je >. = o; ko gre C proti B, pa narašča delilno razmerje
čez vse meje .
+-----+
Pojem~lilnega razmerja lahko posplošimo na vse točke premice AB. Za
C E AB, toda C rf- (A, B), je delilno razmerje >., v katerem C deli
usmerjeno daljico AB, definirano takole:
x= -AC : CB
in je torej za točke C zunaj daljice (A,B) negativno. V obeh primerih
uporabljamo za delilno razmerje oznako ~;. Torej je za C E AB:
AC _ {AC : CB za CE (A, B)
C B - - AC : CB za C rf- (A, B)
Velja še: Dve različni točki delitadaljico AB v različnih delilnih razmer-
jih . O tem se lahko s kratkim računom sami prepričate za vsak primer s
slike 1 posebej .
C A B
--<>---<>----o-
AC
-1< BC< O
a)
A C 8
--<>--0----0--
O - AC<; 8C
b)
Slika 1
A 8 C
--0----0---0-
AC
8C<-1
c)
• Cevova premica . Premica, ki poteka skozi natanko eno oglišče t rikot-
nika , se imenuje Cevova premica tega trikotnika .
Oglejmo si sedaj
Cevov izrek . Naj bo 6.ABC trikotnik in K, L, M točke na premicah
+-----+ +-----+ +-----+
BC, AC in AB, različne od oglišč trikotnika . Potem so Cevove premice
+-----+ +-----+ +-----+
AK , BL, CM ali vzporedne ali gredo skozi skupno točko natanko takrat, ko
Je
AM BK CL
MB' KC . LA = 1. (1)
(Torej tedaj, ko je produkt razmerij, v katerih točke K, L, M delijo usmerjene
trikotnikove stranice BC, CA, AB, enak 1.)
8
+----+ +----+ +----+
Dokaz: Pogoj je potreben . Naj gredo AK , BL , CM skozi isto točko P.
Skupaj bomo dokazali trd itev za primer , ko je P notranja točka trikotnika
f:,.ABC. Sami poskusite na sličen na čin ugnati primer, ko leži P zunaj
trikotnika ali ko so Cevove prem ice vzporedne (slika 2) .
C
/~>~/ \
/ ... -:
A /VI B
Slika 2
..t-..
/11
/ '
c K /
/. i
fi .. /i
0-\
J, /11 3
j
/
"
Naj b~ R in S
vzporedno AB (slika 3).
~ C
A
Slika 3
+----+
presečiš či premic A K ln BL s prerruco skozi C,
c
B
Slika 4
Opazimo lahko štiri pare podobnih trikotnikov:
f:,.CLS ~ f:,.ALB, f:,.CPS ~ f:,.MPB,
f:,.CPR ~ f:,.MPA, f:,.AKB ~ f:,.RKC.
Iz njih razberemo :
CL
LA
A M
CR
in od tod , ker je M E (A, B),
A M A M CR
MB - MB - CS '
Nada lje je še :
9
(2)
(3)
(4)
B K BK A B
K C - K C - CR '
Z množenjem ena čb (2) , (3), (4) dob imo pogoj (1) .
Pogoj je zadosten, Naj velja enačba (1). Potem so Cevove premice ali
vzporedne ali pa obstaja točka P, ki je dvema premicama skupna . Naj bosta
------.. ------.. ------..
to AK in BL , Položimo skoz i P novo Cevovo premico CMI (slika 4). Iz
potrebnosti pogoja Cevovega izreka sledi :
Od tod in iz (1) dobimo
A MI BK CL
M I B ' K C ' LA = 1.
(5)
AMI AM
MIB - MB '
Toeki M in Ml torej deli ta usmerjeno daljico AB v istem razme~ Ker
pa delilno razmerje točko natanko določa, je M = Ml in torej PE CM , kar
smo že leli dokazati.
Uporaba.
Težišče. Težiščnice trikotnika nasprotno stranico razpolavljajo , torej
jo dele v razmerju 1. Ker je 1·1 ,1 = 1, gredo težiščnice skozi isto točko
- težišče tr ikotn ika .
Središče včrtane krožnice. Kotne simet rale dele trikotnikove stranice
10
v razmerju priležnih stranic. Le so a, b , c dolžine t rikotni kovih strani c,
Je
AM BK CL b c a_ ._._=- -_._= 1.
MB KC LA abe
Kotn e simetrale gredo torej skozi isto točko - sred išče včrtane krožn ice.
Višinska točka. Za pravokoten t rikotnik nimamo kaj dokazovati . Le je
trikotnik ostrokoten, so p odnoži šča višin not ranje točke nasprotnih st ran-
ic. Pri top okotnem t rikotniku sta podnožišči višin, ki izhajat a iz ost rih
kotov, zunanji točki nasprotnih stranic, podnožišče tretje višine pa no-
tranja to čka. Vednoje torej produkt delilnih razmeri j z leve str ani formule
(1) poz itivno št evilo. Pogl ejmo še njegovo absolutno vrednost. Le so
Va, vb , Ve triko tnikove višine, j e
AM
LA
Ve Va
Ve
CL
KC Va
BMxA
P rodukt levih st rani teh e n ač b je absolut na vred nost leve strani enačbe
(1), produkt desn ih pa je enak 1. Višinska točka to rej obstaja .
Gergonnova točka. Spojimo oglišče t rikotnika z doti kališči včrtane
krožni ce na nasprotnih st ranic ah . Ker sta tangenti iz dane točke na dano
krožnico enako dolgi, imamo situacijo kot na sliki 5.
V
"
AM BK CL _ x y z - 1
eja MB ' Ke ' LA - Y, z - x - .
To rej gredo konstruira ne Cevo-
ve premice skozi skupno to čko
G. Imenujemo jo Gergonnova
to čka trikotnika .
Omeniti velja še nekaj . Že o-
krog leta 100 je grški matematik
Menelaj iz Aleksandrije dokazal na-
slednji izrek : Naj bo 6ABC trikot-
nik in K , L, M točke na prem icah
<-----+ <-----+ <-----+
BC , AC in AB, različne od ogli šč
tr ikotnika. Le so točke K, L, M ko-
linearne, je
Slika 5
AM BK CL
MB' KC - LA = -1. (6)
11
Kasneje je bila dokazana tudi zadostnost pogoja (6) za kolinearnost točk
K, L, M. Ta - Menelajev - izrek je nekakšen izrek dvojček Cevovega izreka.
Zato se zdi kar neverjeto, da je med njunima odkritjema minilo poldrugo
tisočletje. Pove pa ta podatek veliko o počasnern razvoju matematike v tem
obdobju .
Za konec z uporabo Cevovega izreka rešite naslednji nalogi:
<----+ <----+
1. naloga: Naj bodo AK,BL,
CM tr i take Cevove premice trikot-
nika 6ABC, ki gredo skozi skupno
točko . Krožnica skozi točke K, L,
M-..se~nosi~ trikotnikovih stranic
BC , CA in AB zapored še v točkah
KI, LI, Ml (slika 6), ki niso nujno
različne od K, L, M. Dokaži, da gre-
<----+ <----+
do tudi Cevove premice AKI, BLI,
<----+
CMI skozi isto točko! (Nasvet: U-
porabi potenco točke glede na kro-
žnico!)
2. naloga: V ravnini naj bosta dani
daljica (A, B) in njej vzpor~a pre-
mica p . Izven premic p in AB izbe-
rimo poljubno točko P in narišimo
geometrijsko figuro kot na sliki 7.
Dokaži, da točka M razpolavlja
daljico (A. B)!
(Opomba : Kot veste , običajno
razpolavljamo daljico tako , da s še-
stilom in ravnilom narišemo njeno
simetralo. Tu smo uporabili le ravni-
lo! Res pa smo pri tem potrebovali
"oporo" - podana je morala biti tudi
vzporednica daljici (A, B).)
Slika 6
p
-----fl~_1"-_?t~- p
A
Slika 7
Marija Vencelj
1-1-1'~f-'r L ;;ti
FIZIKA V DELIH JULESA VERNA
Francos kega pisatelja Jules a Verna mlad i bralci prav gotovo dobro poznajo .
Napisal je šest inpetdeset romanov, ki sestavlj ajo ciklus" Nenavadn a potova-
nja" . V te h rom anih so predstavlj ene zgod be , ki si jih je pisatelj izm islil, ko
je zas ledoval nova znanstve na od kritj a in t ehn i čne iznajdbe.
S tem sestavkom se bomo pom udili pri manj znan em , a zato n i č manj
zanimi vem romanu Hector Servadac, njegova popo tovanja in prigode skozi
oson čje .
Naj vam najprej na krat ko predstavim vsebino dela : V n o či med 31.
decembrom in 1. j anuarj em je neznani komet zadel ob Zemljo in odt rgal
od nje nekaj delov. V vesolje je ponesel tudi šestint ridese t ljudi, med njimi
st otn ika francoske vojske Hectorja Servadaca in njegovega ordon an ca Ben
Zufa , rusko posad ko na ladji Dobrina , ki sta j i poveljevala grof Tomašev
in poročnik Prokop, zagrizen ega astronoma profesorja Palm yrina Rosetta in
goljufivega trgovca Isaca Hakhabuta . Profesor je izračunal , da se bo komet , ki
ga je poimenoval Galija, ponovno srečal z Zemljo po nat anko dveh zemeljskih
letih. Vesoljski popotniki so iz delov ladje zgrad ili balon, se pol ure pred
i z računa n i m ča som t rka dvignili v zrak in .. .
Ted aj sta se obe atmosfe ri po meša li med seboj . Pojavila se je
velikan ska gm ota o bla kov, pare in hlapovi so se nakop ič il i okoli njih.
Popotnik i v go ndo li niso videli n ičes ar več , ne pod se boj ne nad seboj .
Zazd elo se jim je, da jih obda ja velikanski plamen , da jim je zma njka lo pod
nogami vsake op ore, in ne da bi ved eli kako , ne da bi si mogli t o razl ožit i,
so se zna šli na ze me ljs kih tl eh . V omedlev ici so zapustili zem eljsko oblo
in onesvešče ni so se spet vrn ili nan jo !
O bal onu ni bilo več sled u!
Galija pa je hkra t i bežala pošev , v tangenti od njih proč, in je prot i
vsakemu pri ča kovanju zem eljsko obl o samo oplazila , na to pa izginila prot i
vzh odu v vesolje .
Poglejmo si najprej, kako se je profesor lotil ra čunanja mase in velikosti
"svojega" kometa . Poročnik Prokop mu je posredoval podatke o obsegu
kometa , ki jih je dobil na raziskovaln i vožnji (takrat so še mislili, da so na
Zemlji).
"Iz tega , da se je Dobrina," j e dejal s to tni k Servad ac, "vrnil a na
izh odi šče, ne da bi bila spre me nila sm er, moramo t orej skl ep ati , da znaša
o bo d zemeljskeg a sfe ro ida sa mo še dva tisoč tristo dvajset kilom etrov !"
Od tod ni bilo t ežko izra čunati polmera, ki je znašal 370 km. A prepu-
stimo besedo zopet Julesu Vernu.
13
"Gospodje," je Palmyrin Rosette povzel besedo, "najprej moram
ugotov iti , koliko tehta na Galiji zemeljski kilogram . Ker ima Galija manjšo
maso od Zemlje, je manjša tudi njena privlačnost in zavoljo tega vsak
predmet na njeni površini tehta manj, kot bi tehtal na površini Zemlje.
Dognati pa moramo, kakšna je razlika med tema težama ."
"Ali imate kakšno brzotehtnico in utež za en kilogram?" je vprašal.
"To je vse, kar potrebujemo. Pri brzotehtnici označuje težo jeklen jeziček
ali pa vzmet, ki deluj eta po načelu prožnosti ali napetosti . Sila privlačnosti
torej nikakor ne vpliva na nju . Če namreč obesim težo zemeljskega kilogra-
ma na mojo brzotehtnico, bo igla natanko označila, koliko tehta ta kilo-
gram na površini Galije. Tako bom torej spoznal razliko med privlačnostjo
Galije in privlačnostjo Zemlje. Zato ponavljam svoje vprašanje: ali imate
brzotehtnico?"
Poslušalci Palmyrina Rosetta so se povprašali z očmi . Nato se je
Hector Servadac obrnil k Ben-Zufu, saj je znal našteti na pamet ves
material, ki ga je premogia kolonija .
"Niti brzotehtnice nimamo niti uteži za en kilogram ," je rekel.
Profesor je pokazal svojo nejevoljo s tem, da je močno udaril z nogo
ob tla .
"Ampak zdi se mi," je odgovoril Ben-Zuf, "da vem, kje bi se dobila
brzotehtnica, če že ne utež."
"Kje pa?"
"V Hakhabutovi tartani."
V ladjici stiskaškega trgovca Hakhabuta so dobili na posodo tehtnico,
namesto kilogramske uteži pa je služilo štirideset kovancev po pet frankov .
"No, gospodje, tehle štirideset kovancev bom zdaj obesil na kavelj
tehtnice - in ker ta poskus opravljam tu na Galiji, bomo videli, koliko
tehta na Galiji."
Nato je skupino kovancev obesil na kavelj, igla tehtnice je zanihala,
se ustavila in pokazala na oštevilčenem krogu 133 gramov .
Kaj lahko izračunamo iz teh podatkov?
Zaradi enostavnosti predpostavimo, da bi se vzmet na Zemlji raztegnila
za 1000 enot, na Galiji se je pa le za 133 enot.
Po Hookovem zakonu je obakrat raztek vzmeti sorazmeren s težo:
Razmerje raztezkov je torej po Hookovem zakonu enako razmerju gravitaci-
jskih pospeškov:
Xz
Xz
9z
9g
(1)
14
na
Zorn I JI
- O
500
l OW ne
Gal ij i
X;.' =133 eno t
Torej je gravitacijski pospešek na Galiji 1,3 m/s2 oziroma kar 7,5 krat
manj ši kot na Zemlji .
Gravita cijs ki pospešek pa obenem op isuje tudi jakost gra vita cijsk ega
polja
GM
9g = R2'
kjer je 9g gravitacijski pospešek na površini kometa Gal ija , G gravita cijska
konstanta, M masa kometa in R polmer . S pomočjo gornje zveze lahko
izračunamo maso kometa Galija
9 R2
M=-g-
G
__l,_3_m_s-c---:--
1
_.-'.(3::-7_0_k_m-;-,-)_2---::- = 2, 7 . 10 21 kg .
6,67 .10-11 m 3 kg -1 s -2
(2)
Jules Verne je maso kometa izračunal po drugi poti, preko znane pros-
tornine in gostote. Prostornine ni težko izračunati, če predpostavimo, da je
komet krogia
"Saj je res," je dejal poročnik Prokop . "Ker že poznamo prostornino
Galije, bomo brez težav ugotovil i tudi maso, samo da nam bo znana še
gostota ."
To poročnikovo skl epanje je bilo pravilno in je bilo treba zar es
izra čunati samo še gostoto Gal ije.
15
ln to je profesor tu di storil. Vzel je v roko kos skale , izrezan iz gmote
vulkana, kos , ki je imel na ta nčno kub i čni dec imeter prostornine.
"Torej ste hta jmo ta kos ," je dejal profesor. "To je prav tako, kakor
če bi obe sil kom et na kavelj svoje tehtnice. "
Kos skale so to rej obesili na tehtnico in igla je pokazala na oštevilče­
nem krogu kilogram in št iristo trid eset gramov.
Podatka 1430 gramov ne gre jemati dobesedno. Tehtnica je bila namreč
umerjena na Zemlji, tako da je trgovec Hakhabut takoj sklepal na maso
blaga . Tehta nje pa je bilo izvede no na Galiji, ki privlači telesa z manj šo
silo kot Zem lja. lzra čunajmo to rej, za koliko bi se raztegnila vzmet na Zemlji .
Uporabimo še enkrat zvezo (1) , le da tokrat računamo X z :
Xz
9z 9 8 ms - 2
- . xg = ' 2 . 1430 = 11 . 10
3
9g 1, 3 ms -
Razt ezek 11 t i soč enot bi na Zemlji pomenil maso 11 kg.
Le ima torej 1 dm3 snovi maso 11 kg, je gos tot a snovi 11 kgjdm3 .
Komet Galija je torej dvakrat gostejši od Zemlje, katere povprečna gostota
j e 5,5 kgjdm3 .
Pisatelj pa je v t em delu zagrešil tudi hudo napako. Najprej pa zopet iz
besed ila i z l u š čirno podatke, ki j ih bomo potrebovali .
"Gospod profesor, ali se bo mo še vrnili na Zemljo in kdaj se bo to
zgodilo?"
"Vam se torej zelo mud i?" je od govoril Palmyrin Rosette.
"To , kar vas je vprašalisac , gospod ," se je tedaj oglasil poročnik
Pr okop, "bi rad povedal nekoliko bolj znanstveno."
"Kar daj t e."
"Rekli st e, da se je nekd anji tir Galije spremenil?"
"O tem ni dvoma ."
"Ali je novi t ir, nova krivulja, po kateri se giblje komet , hip erboli čna ,
zaradi česar bo komet zašel neskončno daleč v zvezdni svet in ni upanja
na vrn it ev?"
"Ne!" je odgovoril Pa lmyrin Rosette.
"Ta tir naj bi bil to rej e lip t ičen !"
"Ta ko je."
"In njegova raven bi vedno sov pad ala z ravnijo zem eljske orbite?"
"Absolutno."
"Galija naj bi bila to rej p eriodičen komet?"
"Da, in to kom et kratkega obdobja, s kratko obhodno dobo, ker
opra vi svojo krožno pot okoli Sonca , če upoštevamo motnje, kat ere po-
vzročajo J upiter , Saturn in Mars , natančno v dveh let ih."
16
17
Izvedeli smo, da je obhodni čas Galije natanko dve zemeljski leti. In še:
Pet dni zatem, 15. januarja , je Galija dospela do afelija na koncu
velike osi svojega tira in tedaj je bila oddaljena od Sonca sto dvajset
milijonov milj.
ŠTIRINAJSTO POGLAVJE
NAM DOKAZUJE, DA LJUDJE NISO USTVARJENI ZA TO, DA
BI LAHKO KROLILI DVESTO MILIJONOV MILJ DALEČ OD SONCA
Galija se je torej od tega dne naprej začela spet počasi vračati na
svoji el iptični krivulji proti Soncu in to z rastočo hitrostjo.
Pozornega bralca bosta zbodla v oči nasprotujoča si podatka za oddal-
jenost Galije od Sonca . V afeliju (to je točka, ko je telo najdlje od Sonca) naj
bi bila oddaljena 120 milijonov milj, naslov štirinajstega poglavja pa navaja
200 milijonov milj. Se je zmotil pisatelj ali prevajalec? Najbolje bo , če si
pogledamo taisti odlomek nepreveden:
Cinq jours plus tard , le 15 janvier, Gallia passait 13 son aph člie, 13
l' ext rernite du grand axe de son orbite, et elie gravitait alors 13 deux cent
vingt millions de lieues du soleil.
XIV
QUI PROUVE QUE LES HUMAINS NE SONT PAS FAITS POUR
GRAVITER A DEUX CENT VINGT MILLIONS DE L1EUES DU SOLEIL
GALLlA allait donce, 13 partir de ce jour, remonter peu 13 peu sur sa
courbe elliptique et avec une vitesse croissante.
Očitno gre za napako prevajalca. Pa še prevod za tiste , ki ne znate
francosko : ..deux cent vingt millions de lieues'' je 220 milijonov milj.
Za lažje razumevanje si narišimo sliko, ki kaže tirnico kometa okoli Sonca.
FI in F2 sta gorišči elipse. V gorišču F2 je Sonce. Točka P predstavlja
-_.~----------
a
18
perihelij (takrat je telo Soncu najbliže), točka A pa afelij, ko je telo najdlje
od Sonca. Razdalja AF2 je 220 milijonov milj .
Po enem izmed Keplerjevih zakonov velja za vsa telesa v našem sončnem
sistemu, da je kvadrat obhodnega časa sorazmeren tretji potenci razdalje.
Kvocient t5/,3 mora potemtakem za vsa telesa imeti enako vrednost. Pod
"razdaljo" je mišljena velika polos elipse: AP/2.
Lotimo se računanja perihelija za komet Galijo . Pri rnerjali bomo cas
obhoda in razdaljo za Zemljo in Galijo
t59 t5z
3-3'
'9 'z
Obhodna casa poznamo. Spomnimo se, da Galija pride okoli Sonca v dveh
zemeljskih letih . Velika polos Zemljine tirnice okoli Sonca je 150 milijonov
kilometrov . Za Galijo pa poznamo le razdaljo od afelija do Sonca (a), iščemo
pa razdaljo od perihelija do Sonca (p) . Veliko polos bomo :zapisali takole
1
'g=2'(a+ p).
Zdaj moramo le še milje spremeniti v kilometre. Milj je vec" vrst". Pisatelj
je uporabljal staro francosko miljo. Preberimo zopet odlomek iz knjige:
Prodreti tudi niso mogli v še bolj oddaljen Uranov svet , vendar je
bilo videti glavni planet tega sveta, dvaindevetdesetkrat večji od Zemlje, s
katere je viden, kadar ji je najbližji, samo kot zvezda šeste velikosti , tedaj
zelo razločno s prostim očesom. Ni pa bilo videti nobenega izmed njegovih
šestih satelitov, ki ga spremljajo na njegovem eliptičnem tiru, na poti okoli
Sonca, ki jo opravi v 84 letih in na kateri je povprečno 729 milijonov milj
oddaljen od Sonca .
Podatek 84 let za obhodni čas Urana okoli Sonca še vedno drži , pa
zaupajmo podatku za povprečno razdaljo. Ta je danes ocenjena na 28,7.108
km. Sklenemo lahko:
729 milijonov milj 28,7 .108 km
Od tod ni težko izračunati, da je ena francoska milja 3,94 km . 220
milijonov milj je torej 867 milijonov kilometrov .
Zdaj pa nastavimo enačbo z neznanko p:
19
kjer je t09 =2 leti, toz = 1 leto, t z = 150 milijonov km in a =867 milijonov
km.
Od tod sledi
Negativen rezultat pomeni, da komet s takimi podatki, kot si jih je zamislil
Jules Verne, v našem sončnem sistemu ni mogoč. Ali 'povedano drugače,
komet s tako kratkim obhodnim časom (2 zemeljski leti) ne bi mogel oditi
tako daleč. Pisateljeva napaka je res huda.
Preden pa zaključimo tale sestavek, si preberite še naslednje vrstice:
"Zato ker ... zato ker .: " je zamrmral Isac Hakhabut, "ker moja
tehtnica morda ne ... kaže čisto prav!"
Komaj je Žid izustil te besede, ga je Palmyrin Rosette že zgrabil za
grlo . Stresel ga je in davil.
"lopov!" je zakričal.
"Na pomoč!" je zastokal Isac.
Toda astronom ni odnehal. Res je, da Ben-Zuf ni hotel poseči vmes .
Nasprotno - še spodbujal ju je in se krohotal pri tem. V njegovih očeh
sta bila drug drugega vredna .
Stotnik Servadac, grof Tirnašev in poročnik Prokop, ki so zaslišali
hrup, so prihiteli pogledat, kaj se godi.
ločili so Isaca od profesorja.
"Za kaj gre? " je vprašal Hector Servadac.
"Veste," je odgovoril Palmyrin Rosette, .. ta cigan nas je hotel
oslepariti z napačno tehtnico, s tehtnico, ki kaže več, kot je prava teža!"
..Ali je to res, Isac?"
"Je .. . ni ... gospod guverner!" se je glasil odgovor "on ... da !"
"Ta slepar je prodajal blago po napačni teži," je čedalje srditeje
nadaljeval profesor , "in ko sem stehtal svoj komet z njegovo tehtnico, sem
zato dobil večjo težo, kot je v resnici."
Ko je na Zemlji ta tehtnica kazala težo enega kilograma, je v resnici
tehtal tisti predmet samo sedemsto petdeset gramov. Zato je bilo treba
od teže, izračunane na tej osnovi za Galijo, odšteti kar četrtino .
Palmyrin Rosette, zadovoljen , da je premikastil Isaca Hakhabuta,
kot se je spodobilo, se je takoj lotil dela, da bi popravil račune .
Le ste še ·pri volji za računanje, se lotite tega tudi vi. Le pa ne, si ob
priliki sposodite knjigo, saj boste našli v njej še obilo zanimivih odlomkov za
fizikalno razmišljanje.
Lidija Babič
/i)" - '-/i),-'- ,IL"in It: ",l,n"
UPORABA KOMPLEKSNIH ŠTEVIL V RAVNINSKI
GEOMETRIJI - prvi del
Na ravnino postavimo kartezični koordinatni sistem, osi označimo z Re in Im
ter ju poimenujmo realna in imaginarna os. Točka (a, b) nam tedaj predstavlja
kompleksno število o: = a + bi . Kompleksna števila si lahko predstavljamo
kot vektorje v ravnini , saj jih seštevamo po komponentah .
Od nič različno kompleksno števila o: = a + bi lahko zapišemo enolično
v po/arni obliki: o: = r( cos -& + i sin -&), kjer je r = ..;a2 + b2, cos -& = ~ in
r
sin -& = ~. 5tevilo r imenujemo mcdul , število -& pa argument kompleksnega
r
števila 0:.
Enostavno lahko preverimo
r(cos-& + isin 19)· s(cosep + isin ep) = rs(cos(-& + ep) + isin(-& + ep)) .
To pomeni, da lahko množenje s kompleksnim številom modula r in argu-
menta -& obravnavamo kot kompozicijo zasuka okrog izhodišča za kot -& in
raztega z negibno točko v koordinatnem izhodišču in s koeficientom r.
S pomoejo podobnih trikotni-
kov uvidimo, da ležijo tri razlicne
točke 0:1, 0:2 in 0:3 na isti premici
natanko tedaj, ko velja:
Re(0:3 - 0:1) _
R e(0:2 - 0:1)
= Im(0:3 - 0:1) =).
Im(0:2 - 0:1) .
Pri tem je ). seveda realno število.
Sistem preoblikujemo
Im(aI)
Re(a I)
nato pa drugo enačbo pomnožimo z i in prištejemo prvi. Dobljeno enačbo
še poenostavimo: 0:3 - 0:1 = ).(0:2 - 0:1).
To pa pomeni, da leži točka 0:3 na premici skozi različni toeki 0:1 in 0:2
Re
21
natanko tedaj, ko velja 0:3 - 0:1 = :\(0:2 - 0(1) .
Stevilo 0:2 - 0:1 imenujemo nenormirani smerni koeficient premice.
(N . . kil" k 1) l' '1 0:2 - 0:1 °enorrruraru zato, er 0:2 - 0:1 ni nujno ena o . Stevrlo lipa Je
0:2 - 0:1
potem normirani smerni koeficient premice.
Kompleksno število {3 = Re({3) + i Im({3) nam v ravnini določa vektor s
komponentama Re({3) in Im({3).
Premaknimo premico vzpored-
no za ta vektor. Potem preideta
točki 0:1 in 0:2 s te premice v o:~
in o:~, da velja o:~ = o:1 + {3 in
o:~ = 0:2 + {3. Iz zveze o:~ - 0:1 =
= 0:~-0:2 pa sledi , da se smerni ko-
eficient premice pri vzporednem pre-
miku ohranja.
Normirani smerni koeficient je
vedno neko kompleksno število na
enotski krožnici .
Zamenjajmo med sabo točki 0:1 in 0:2. Smerni koeficient premice se s
tem spremeni (kako?) . To pa ni preveč lepo, saj želimo poiskati količino, ki
opisuje smer premice in ne bo odvisna od izbire točk na premici.
Vzemimo enačbo premice : 0:3 - 0:1 = :\(0:2 - 0(1)' Pri konjugiranju te
enačbe se enakost ohranja in dobimo 0:3 - 0:1 = :\ (0:2 - 0:J) . (Upoštevali
smo X= :\ , saj je :\ realno število.)
K · h d h čb I' .. '\ d bi 0:3 - 0:1 0:2 - 0:1o IZ te ve enac eurrururarno A, o Imo zvezo = .
0:3 - 0:1 0:2 - 0:1
K I' V . 0:2 - 0:1 . . k 1k' 'b .o ICInO X = rmenujerno omp e Sni nag/ prem/ce.
0:2 - 0:1
Tudi kompleksni nagib premice se ohranja pri vzporednem premiku.
Za razliko od smernega koeficienta pa se kompleksni nagib premice ne spre-
meni , če zamenjamo točki med sabo. Preverimo lahko, da ima realna os
kompleksni nagib 1, imaginarna os -1 , simetrala lihih kvadrantov pa i. Sled-
njega ni težko videti, saj ležita na tej premici npr . točki O in 1 + i in je zato
k I ksni ob k 1 + i - O (1 + if 'omp e sni nagi ena = = t .
l+i-O 2
Matjaž leljko
22
S pomoejo kompleksnega nagiba lahko izrazimo potrebne in zadostne
pogoje za vzporednost in pravokotnost premic, saj veljata naslednji trditvi :
Premici sta vzporedn i natanko tedaj , ko sta kompleksna nagiba enaka .
Premici sta pravokotni natanko tedaj, ko sta kompleksna nagiba nasprotna .
Za dokaz prve trditve vzemimo različne točke CXI, cx2 in ( . Premici
kozi . '" o ,"' k I k ob (- CXI .s OZI cxI ln .. ter cx2 ln .. Imata omp e sna nagi a ---- = Xl ozrrorna
(- cxI
~ - cx2 = X2. V enačbah za kompleksna nagiba premic odpravimo ulomke.
(- CX2
Točko (, ki je presečišče premic , dobimo torej kot rešitev sistema
(-Xl("=CXl-CXlXl
(-X2("= CX2- CX2X2 ,
v katerem sta ( in (" neznanki . Za sistem dveh linearnih enačb z dvema
neznankama vemo, da je rešljiv natanko tedaj , ko je determinanta sistema
neničelna . Ker je determinanta tega sistema enaka Xl-X2 , smo tako dokazali
prvo trditev, saj v primeru Xl = X2 točka ( (ki je presečišče premic) ne
obstaja in sta zato premici vzporedni.
Za dokaz druge trditve pa najprej predpostavimo, da sta premici pra-
vokotni in zapišimo oba normirana smerna koeficienta premic. Ker se smerna
koeficienta in kompleksna nagiba ohranjata pri vzporednem premiku, lahko
predpostavimo, da potekata obe premici skozi koordinatno izhodišče.
Množenje z i predstavlja vrtenje za kot 71"/2 okrog koordinatnega izhodišča.
Torej velja enakost
CX2 - CXI = ±i 132 -131 ,
ICX 2 - cxII 1132 - 1311
saj lahko normira ni smerni koeficient prve premice preide v normirani smerni
koeficient druge premice z rotacijo za kot 71" /2 ali -71"/2. Enakost kvadriramo,
upoštevamo Izl2 = zz in dobimo
CX2 - CXI 132 -131
----=
a 2 - al 132 - 131
Za pravokotni prerruci torej velja X2 = -Xl . Trditev velja tudi v obratno
smer, saj lahko preberemo dokaz tudi nazaj .
Toliko za tokrat. V naslednji številki Preseka pa si bomo ogledali , kako
z uporabo kompleksnih nagibov zlahka dokažemo nekatere izreke ravninske
geometrije.
1\ /0 1 L":C ,IIIL_''-lL
TRIKOTNIK V KVADRATU
Trikotnik je včrtan v kvadrat, kadar njegova oglišča ležijo na robu kvadrata.
?
b
b
1. V dan i kvadrat s stranico dolžine a včrta] enakostranični trikotnik s stra-
nico dolžine b. Kdaj obstaja tak trikotnik in koliko jih je?
2. V dani kvadrat včrtaj enakostranični trikotnik z danim ogliščern. Ali
za vsako točko na robu kvadrata obstaja včrtani enakostranični trikotnik z
ogliščern v njej? Koliko je takšnih trikotnikov?
Boris Lavrič
POPOLNE POTENCE
Naravno število oblike mk , kjer je m , k E IN in k > 1, -imenujemo popo lna
potenca . Dokaži naslednji trditvi :
1. Nobena štiri zaporedna naravna števila ne morejo biti vsa popo lne
potence.
2 . Za vsak n E IN obstaja n zaporedn ih naravnih števil , ki so manjša od
4n in nobeno ni popolna potenca .
Boris Lavrič
ASTRONOMSKO GLEDALIŠČE
V Nušičevi Avtobiografiji* lahko preberemo zelo zanimiv odlomek:
" Ko nam je tako nekoč razlagal mrk, je pred tablo poklical tri dijake.
Najprej Živka, najdaljšega med nami, ki so mu poganjali že brki in so mu vsi
profesorji svetovali, naj se oženi. Poklical ga je in ga postavil tako, da smo
ga lahko vsi videli:
- Čeprav si ti, Živko, sicer pravi osel, boš tokrat predstavljal Sonce! Nato
se je obrnil proti razredu :
- Dobro pazite! Živkova glava je Sonce in obseva Zemljo in Mesec** .
Zemlja bo kot običajno Sretenova glava , za Mesec pa bomo vzeli tale drobižek
iz druge klopi.
Tisti drobižek iz druge klopi sem bil jaz.
- Takole, vidite, otroci : če Sonce stoji tukajle, kjer je zdaj Živko, Zemlja
pa tam , kjer je Sreten, in Mesec, kjer je tale drobižek , tedaj pošilja Sonce
svoje žarke in obseva Zemljo in Mesec. Je tako?
Vsi smo molčali, ker si nismo mogli predstavljati, kako vse to Živko
obseva in s čim .
- Toda , je nadaljeval profesor, Zemlja se na poti okoli Sonca v določenem
trenutku znajde med Soncem in Mesecem ... Poglejte , takole! ln že je postavil
Živka, Sretena in mene v eno črto . Kot vidite , je glavati Sreten zasenčil tegale
drobižka in Živkova svetloba ga ne more obsevati , Mesec pa zato mrkne. Ali
razumete?"
Učenci mrka niso razumeli, kot nam pove pisatelj v nadaljevanju. Mi
pa se potrudimo, zaigrajmo astronomsko gledališče in razmislimo o mrkih in
luninih menah.
MRKI
Igralci: Sonce (S) , Zemlja (Z) , Luna (L)
Sonce ima lastno svetlobo, Luna in Zemlja pa sta temni telesi, ki svetita
z odbito Sončevo svetlobo.
Luna se vrti okrog svoje osi in obenem kroži okrog Zemlje . Zemlja se
vrti okrog svoje osi in skupaj z Luno kroži okrog Sonca. Smeri gibanja za
* Nušic, B., Avtobiografija , MK , Ljubljana 1975, str. 98-99
**V slovenščini, pri natančnem strokovnem izražanju, je Luna nebesno telo, mesec
pa časovno razdobje. V prevodu Nuši čevega t eksta je za nebesno telo uporabljana beseda
Mesec.
Slika 1. Lege igralcev
in smeri vrtenja Zemlje,
Lune ter kroženja Zeml-
je in Lune za opazovalca
severne zemeljske polob-
le.
',
···.....l .)r........
slika 1
.. .
sonce
. ....................-.
....
........
•..•.....•..•.
'.
\
;
f
./ .:'
25
opazovalca na severni zemeljski polobli so označene na sliki 1.
LUNIN MRK: Na prizorišče postavimo igralca Zemljo. Zemljan severne
poloble naj bo njegov nos. Predenj postavimo igralca Sonce, zanj pa igralca
Luno - slika 2.
/
slika 2
Slika 2. Lega igralcev v prizoru Lunin mrk .
26
Lunin mrk nastane, kadar Luna pri gibanju okrog Zemlje pride v Zemljino
senco. Sonce sveti na vse strani . Sveti tudi proti Luni, Zemlja , ki stoji vmes,
meče senco . V to senco pride Luna - slika 2. Premer Zemljine sence je na
oddaljenosti , na kateri se giblje Luna, približno dvainpolkrat večji od premera
Lune, zato mrk vidijo vsi Zemljani, ki imajo tedaj Luno nad obzorjem - slika
3.
~ - ... .-.. :.-....
..-
...... ..
Sonce
slika 3L ~ ___'
Slika 3. Lunin mrk vidijo vsi Zemljani, ki imajo tedaj Luno nad obzorjem. (Razmerja na
sliki niso prava: Sonce bi moralo biti mnogo večje in mnogo dlje od Zemlje .)
r
1
I c? ±II t
, ,." .... / -., '-",
slika 4
Slika 4 . Lega igra lcev v prizoru Sončev mrk .
27
SONLEV MRK: Luno postavimo med Sonce in Zemljo - slika 4.
Sončev mrk nastane, kadar pride Luna med Sonce in Zemljo. Luna
prestreže del sončne svetlobe , zastre Sonce. Lunina senca pade na majhen del
zemeljskega površja , zato je Sončev mrk viden le z majhnega dela zemeljskega
površja - slika 5.
.~ ....--":-.. ... .
,
Zer1:'l)a
- .... • .. • . .. . oo . ..~ . .. . ....
slika 5
sonce
Slika 5. Sončev mrk je viden le z majhnega dela zemeljskega površja. (Razmerja na sliki
niso prava : Sonce bi moralo biti mnogo večje in mnogo dlje od Zemlje.)
Mrkov je razme roma malo . Ravnini kroženja Zemlje okoli Sonca in Lune
okoli Zemlje sta druga glede na drugo nagnjeni za 5°. Do mrka pride le, ko
je Luna v omenjenih legah in blizu ravnini kroženja Zemlje.
LUNINE MENE
Koliko je ura?
Igralca: Zemlja , Sonce
Na prizorišče postavimo oba igralca . Zemljan je obrnjen ves čas proti
jugu , za hrbtom ima sever, na desni zahod, na levi vzhod. Na začetku naj
28
gleda Sonce: Sonce je na jugu opoldne in je tedaj ti sti dan najviše nad
obzorjem . Zemljo zasukajmo okrog njene osi v levo . Lez šest ur, ob l8h ,
je Zemlja zasukana za 90° , Sonce je na Zemljanovi desni, na zahodu . Ob
24h je Zemlja zasukana še za 90° , Sonce je za Zemljanom , na severu, najniže
pod obzorjem in ni vidno . Ob 6h je Sonce na njegovi levi, na vzhod u - slika
6.
slika 6
~r-® a ~ ®88WmIpaI b
(Z) ® c @ ® d'~.
Slika 6. Lege igralcev v prizoru Koliko je ura (pogled od zgoraj).
lunine mene
Igra lci: Zemlja, Luna, So nce
Luna je temno telo in sveti z odbito Sončevo svetlobo . Ko se Luna giblje
okoli Zemlje , Zemlja okoli Sonca, se spreminja medsebojna lega Zemlje, Sonca
in Lune . Zato vidimo enkrat manjši , drugič pa večji del od Sonca osvetljene
Lune.
Zaigrajmo ta prizor za mlaj .
MLAJ : Zemljo in Sonce postavimo tako, kot bi bilo poldne. Mednju
postavimo Luno - slika 7 lega a . Zemljan ne vidi Lune, ker je osvetljeni del
Lune obrnjen st ra n od njega. Zemljo obrni mo okrog njene osi . Ne pozabimo:
Zemljin nos, ki pred stavlja Zemlja na , je ves čas obrnjen proti jugu. Luna je za
Zemljana v isti smeri kot Sonce, zato je na jugu opoldne, na zahodu ob l8h,
ko se Zemlja zasuče za 90° , na severu opolnoči in na vzhodu ob 6h zjutraj.
29
5t1P: Igralce postavimo na ravno črto , Zemlja naj bo med Luno in
Soncem - slika 7 lega b. Osvetljeni del Lune je cel obrnjen proti Zemljanu .
Zemljan vidi Luno kot svetel krog. Luna je ob 24h na jugu, na zahodu ob 6h,
na severu ob l2h in ob l8h na vzhodu .
slika 7
b
®
Slika 7. Lege igralcev v prizoru Lunine mene (pogled od zgoraj) .
PRVI KRAJEC: Igralce postavimo v oglišča pravokotnega trikotn ika. V
vrhu pravega kota naj bo Zemlja; gleda naj Luno, na njeno desno postavimo
Sonce - slika 7 lega c.
Zemljan vidi le proti njemu obrnjeni osvetljeni del Lune, svetel polkrog
v obliki črke D. Sonce je na zahodu, Luna je na jugu ob l8h . Ko se Zemlja
zavrti za 900 , je ura polnoč. Prvi krajec zahaja približno med 22. in 2. uro.
Luna je na severu pod obzorjem ob 6h, vzhaja pa med 10. in 14. uro.
ZADNJI KRAJEC: Igralce postavimo podobno kot prej, le Sonce naj bo
na Zemljini levi - slika 7 lega d.
Osvetljeni del Lune, ki ga vidi Zemljan , je polkrog v obliki črke C. Luna
je najviše na nebu ob 6h, zahaja nekako med 10. in 14. uro, na severu je ob
l8h in vzhaja med 22. in 2. uro.
Za Zemljana je osvetljeni del Lune od mlaja do ščipa vedno večj i - se
debeli (oblika črke D); od ščipa do mlaja ga je vedno manj - crkava (oblika
črke C).
Po Luni se lahko tud i orientiramo: polna luna (ščip) je najviše na nebu
opolnoči in je na jugu, izboklina mlade lune (ozek srp po mlaju) pa gleda
proti zahodu .
Danica Mati in Janez Ferbar
'-1-/'/"r L""
OB LETALSKEM POKU SO SE ZATRESLA TLA
Presek s člankom o letalskem poku je bil že v tisku, ko mi je Matjaž Gostinčar
s Seizmološkega zavoda Slovenije na Golovcu ljubeznivo poslal seizmogram ,
ki so ga posneli 2 . j ulij a 1991 ob 14 uri 1 minuti in 54 sekundah po lokalnem
času. Seizmogram je zapis , ki ga da seizmograf o premikih dela zemeljskih
tal. S seizmografom ugotavljajo potrese. Seizmogram širokopasovnega seiz-
mografa SSR1 družbe Kinemetrics kaže premike dela tal v navpični smeri
(zgoraj), v smeri sever-jug (na sredi) in v smeri vzhod-zahod (spodaj) (sli-
ka 1) . Na navpično os naneserno premike dela cal , na vodoravno pa čas ;
znamenja si sled ijo v časovnih razmikih po 1 sekundo. letalo je ob tistem
času "prebilo zvočni zid" , se pravi, da je povečalo hitrost čez hitrost zvoka in
sprožilo nastanek udarnega vala . Udarni val je bil tako močan, da je zatresel
tla , in to je zapisal seizmograf. Tresenje tal je v kratkem času, po kaki sekundi
zamrlo.
Presenetljivo je, da kaže seizmogram dva sunka, ki si sledita v časovnem
razmiku nekaj daljšem kot 1,1 sekunde. Pri letu s hitrostjo, večjo od 340
metrov na sekundo bi ustrezal dolžini letala okoli 5 metrov časovni razmik
manj kot 5 m/340 ms-1 = 0 ,015 sekunde. Tako kratkih časovnih razmikov
na seizmogramu sploh ni mogoče jasno razločiti. Zato sunkov nista izzvala
udarni val, ki izhaja iz kljuna letala , in udarni val , ki izhaja iz repa . Enega
izmed sunkov, morda drugega , gre najbrž pripisati kakemu drugemu vzroku .
Pomislimo na dve možnosti : na pok protiletalskega izstrelka ali na pok izstrel-
ka, s katerim naj bi letalo poskušalo zadeti oddajnik na Gradu . Seizmogram
letalskega poka nad Domžalami 3 . janujarja 1992, ki so ga tudi posneli, kaže
en sam - šibkejši - dobro sekundo širok vrh , ker tedaj pač ni bilo nobenega
izstrelka .
O seizmogramih , ki ju je ob teh pokih posnel drug seizmograf Seizmo-
loškega zavoda Slovenije, poročata sodelavca tega zavoda Renato Vidrih in
Peter Sinčič v članku Zapis prebojev zvočnega zidu nad Ljubljano na seizmo-
gramih v reviji Ujma.
Janez Strnad
Slika 1. Seizmogram letalskega poka so posneli 2. julija 1991 s širokopasovnim seizmo-
grafom SSR1 družbe Kinemetrics na Seizmološkem zavodu Slovenije na Golovcu. Diagram
kaže giban je dela tal v navpični smeri (zgoraj) , v smeri sever-jug (na sredi) in v smeri
vzhod-zahod (spodaj) . Električne napetosti, ki ustrezajo odmikom, niso nanesene v enakem
merilu: premik od enega vrha do drugega meri zgoraj 28 ,2, na sredini 41,8 in spodaj 20,9
enot. Po tem je mogoče grobo oceniti, da je prišel letalski pok iz smeri pod kotom 27 0
proti smeri sever-jug in pod kotom 31 0 proti vodoravnici. Drugi pok pa izvira , če cenimo
na oko , približno z istega kraja nekaj več kot 1,1 sekunde pozneje ali iz bližjega kraja na
približno isti smeri z manjšo zakasnitvijo ali iz bolj oddaljenega kraja z večjo zakasnitvijo.
..... c:::.l tO") q- Ul -o " ro O- o ..... (,·l t·~11:_ '-' O o o () o o o ..... ..... ..... ....... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
(:' o o .:' o o O o O o 1=. 1::' o.::1 o O 1:) O 1:' o o '-' '':> '-' c .::1.. .. .. .. .. .. .. aa .. .. .. .. ..
o 1: - o o '- ' o 1::;' o o 1: ' 1::1 o o1::. o o o o O o 1::- o o o -:;. 1::.
o O o .:. .:. o o () o o o o o
. I
I~~ ~"'::':".:'=====:)
190. OBLETNICA SMRTI
ooVSEH
STRANI
OMEJEN
DE\.
PROSTORA
PlEMI
NASI!
""'la
ENCl.C___+-__-+-__-,1-__+ __-+ +-...:110
SLAVNEGA MATEMATIKA
ClOl.U
llOJAN
o
NER
AM.FIZIK
~SIDOR
ISMC:)
POPRAV·
WALEC
UR
KOZJ!:
USNJE
ZNAMENJE
RUSKI KAZNtVEGA
VELETOK DEJANJA
0SW4NA
KROGA
FR.FlZlKIH
ASAONOM
-..:sowec
ERIlU
NESTRQ.
KO\INJAK
lUIGI
GALVAN
1!1 0111 ozn O ~S ) ot" 03 ]4 0314
i J! OSU 0601 K U HU 0, 19 oa s
: ~: ~~~ ~:~ :~: :~:~ : ~ ~: :~ : : 1 l------1---+---I---+---t----+---+----1- --~
;51 1$11 1 6I~ I6U 1411 l itl 1112
1·61 111$ 1901 1911 1959 1911 t OU
It t 2141 tl1S uo t tUl tZB ft"
180 240S t ~ ] O 1455 2410 250 1 2529
125 26. 1 261 2 2695 21 11 2142 21 65
IS6 tua 2900 2923 291 5 2961 2919
17S 1096 31 18 31 3' Sl60 318 1 ] t OI 1l------1---+---I---+---t----+---+----1- --~
ZU H 04 HU ] JH 336 S 331 5 34H
' 13 UU lut lS U H 60 3519 HU
SH 3n2 311 1 312' 31.11 31'6 3111
156 UH 3192 3909 39 :7 lUS 1961
u t U li 406 5 4012 411
NAGRADNI SISTEMI lINEARNIH ENAČB - 2.del*
1. Trije snopi debelozrnatega žita , dva snopa srednjezrnatega žita in
en snop drobnozrnatega žita dajo skupaj devetintrideset dujev zrnja. Dva
snopa debelozrnatega žita , trije snopi srednjezrnate~a žita in en snop drob-
nozrnatega žita dajo skupaj štiriintrideset dujev. En snop debelozrnatega žita,
dva snopa srednjezrnatega žita in trije snopi drobnozrnatega žita dajo skupaj
šestindvajset dujev .
Koliko dujev zrnja da po en snop vsake izmed teh treh vrst žita?
(Pojasnilo: 1 du je približno 10 litrov.)
(Kitajska, iz knjige Devet poglavij matematične
umetnosti. okoli 1. st.n .št.)
2. Vsak izmed petih mož ima pri sebi v svoji mošnji po nekaj kovancev .
Tako jih imata prva dva skupaj šestnajst, drugi in tretji jih imata sedemnajst,
tretji in četrti osemnajst, četrti in peti devetnajst, peti in spet prvi pa imat a
skupaj dvajset kovancev.
Povej, koliko kovancev ima v svojem rnošnjičku vsak izmed teh petih
mož.
(Indija. rokopis Bakhshali. okoli 200 n.št.)
3. Trije trgovci so medsebojno zadolženi in sedaj terjajo drug od drugega
svoj denar . Le bi prvi izterjal štiri zlatnike od drugega in pet zlatnikov od
tretjega , bi postal dvakrat tako bogat kakor druga dva skupaj. A če bi drugi
izterjal Štiri zlatnike od prvega in šest zlatnikov od tretjega, bi postal kar
trikrat tako bogat kakor druga dva skupaj . Tretji pa bi postal celo petkrat
bogatejši od onih dveh skupaj, če bi mu le uspelo izterjati pet zlatnikov od
prvega in šest zlatnikov od drugega.
O, matematik, povej mi brž , če le poznaš pot k rešitvi. koliko zlatnikov
ima tedaj ta trenutek pri pri sebi vsak izmed teh treh.
(Mahavira. okoli 850)
4. Za zmeraj enako sem ceno kupil zate teh osem rubinov,
zatem smaragdov deset še
in nazadnje še biserov sto, ki nos iš jih zdaj na uhanih.
Le skupaj zberem po enega iz vrste vsake žlahtnih teh
kamnov, bo njih cena
za kovance le tri manjša kot pol je od stoterih kovan cev .
I 35
0, srečno dekle , če si v računanju spretna dovolj,
brž povej mi,
koliko je tedaj kovancev stal vsak od teh kamnov.
(Bhaskara 1/., rojen 1114)
5. Pri treh kupčijah, ki smo jih v zadnjem času sklenili, smo plačali
vsakič po milijon štiristo sedemdeset tisoč kuanov. Prvikrat smo kupili tri
tisoč petsto butar garu paličic, dva tisoč dvesto činov želvovine in tristo
petinsedemdeset zavitkov kadila. Naslednjič smo kupili dva tisoč devetsto
sedemdeset butar garu paličic, dva tisoč sto trideset činov želvovine in tri
tisoč šestinpetdeset in še četrt zavitkov kadila . V tretje pa smo nakupili
tri tisoč dvesto butar ga ru paličic , tisoč petsto činov želvovine in tri tisoč
sedemsto petdeset zavitkov kadila. Koliko stane tedaj butara garu paličic,
koliko en čin želvovine in koliko zavitek kadila?
(Pojasnila : kuan je denarna enota, garu paličice so posebne paličice iz
aloinega lesa, čin pa je mera za težo; vreden je približno po l kilograma .)
(Qin Jiushao, 1202 - 1261)
6. Na desni sliki vidimo gospo
O'Toole pri tehtanju. Tehta se seve-
da s svojim otročičem v naročju in
s svojim psom ob nogah. Žal nam
gospa kasneje ni hotela povsem na-
ravnost povedati, koliko tehta vsak
izmed njih treh . Namesto tega nam
je svoj odgovor raje zavila v takšno
uganko: " Teht a m sto funtov več
kakor otrok in pes skupaj, pes pa je
za šestdeset odstotkov lažji od otro-
k "a.
Ali lahko poveste, koliko tehta
otrok v naročju gospe O'Toole?
(Pojasnilo: 1 funt je približno
0,45 kilograma .)
(Sam Loyd, 1841 - 1911)
7. Zadnjikrat se je pri Smileyevih spet oglasil na obisku njihov znameniti
stric . Poleg staršev je bilo nad njegovim prihodom navdušenih tudi vseh pet
36
otrok v družini.
Najprej sta ga pozdravila Billie in mala Gertrude. Stric je od njiju izvedel
med drugim tudi to, da je Billie natanko dvakrat starejši od svoje sestre.
Henrietta pa je povedala stricu, da imata skupaj s sestro Gertrude natanko
dvakrat toliko let kakor Billie. Zatem je stricu stisnil roko še Charlie . Nekdo
izmed prisotnih je ob tem pripomnil, da sta oba dečka skupaj stara natanko
dvakrat toliko, kolikor sta stari obe dekleti .
Stric kar ni mogel verjeti, da je prišel k Smileyevim na obisk prav v
trenutku, ko starosti otrok v družini tako posrečeno sovpadajo. Tedaj je
vstopila v sobo še Janet in vzkliknila: "Oh, stric, kako lepo! Prišel si natanko
na moj enaindvajseti rojstni dan."
Zadnjo besedo pa je imel seveda oce: " Hm, zares krasno . Toda poleg
vsega tega, poglejte, je polovica vsote starosti vseh treh mojih hčera natanko
enaka vsoti starosti obeh mojih sinov ."
Ali znate povedati,koliko je star vsak izmed petih Smileyevih otrok?
(Henry E. Dudeney, 1847 - 1930)
8. Trije kmetje se srečajo na živinskem sejmu.
" Poglej : ' pravi Hodge Jakesu, "dam ti šest svojih prašičev za enega
tvojih konj, pa boš imel dvakrat toliko živali kakor jaz."
"No, ce imata vidva navado sklepati kupčije kar takole:' se tedaj oglasi
Durrant in predlaga takoj za tem Hodgeju, " potem ti dam jaz štirinajst svojih
ovac za enega tvojih konj. Tako boš imel ti kar trikrat vec živali od mene."
" Poslušaj, Durrant, jaz imam zate še boljšo ponudbo:' predlaga naposled
Jakes. "Dam ti štiri svoje krave za enega tvojih konj. Tako boš imel potem
kar šestkrat vec živali kakor jaz tukaj na sejmu."
Ni kaj, redkokdaj je človek priča tako nenavadnim kupčijam, Vendar pa
se nam prav zaradi njih ponuja nadvse zanimiva uganka. Razvozlati je namreč
treba, koliko živali so pripeljali s seboj na sejem vsi trije kmetje skupaj .
(Henry E. Dudeney, 1847 - 1930)
Izbral in prevedel Vilko Domajnko
• V tretji številki lanskega letnika Preseka smo vam zastavili prvo skupino zanimivih nalog,
ki jih lahko rešimo s pomočjo linearnih sistemov. Očitno so vam bile všeč, saj je v uredništvo
prišlo kar veliko rešitev. Tokrat so pred vami nove nlaoge te vrste, tudi to pot nagradne.
Poskusite - lahko dobite zanimivo knjigo! Rešitve pošljite najkasneje en mesec po izidu te
številke Preseka. Poleg imena napišite tudi kakšno šolo obiskujete.
Uredništvo
ZAKAJ ŽEPNI RAČUNALNIK RAČUNA NAROBE?
Miha je postavil Maticu naslednjo nalogo : Izračuna] osmo število v zaporedju ,
ki je določeno takole: prvo število je enako ! ' vsako naslednje pa dobiš tako,
da prejšnje pomnožiš s 100 in odšteješ 33. To zapišemo s formulo: xk+l =
= 100Xk - 33.
Pa si je Matic rekel: "Kaj bi se mučil, če pa imamo žepne računalnike!"
Računal je in dobil rezultat -3333. Da bi napravil preizkus, si je izposodil še
Rokov računalnik in - glej ga zlomka - dobil rezultat -3333333. V zadregi se
je lotil še računanja z lastno pametjo. Ta mu je povedala , da so vsa števila v
tem zaporedju enaka !. Od kod tolikšne razlike?
Matic se je lotil računanja tako, da je za prvo število v zaporedju vnesel
vrednost 1 : 3 (1 deljeno s 3). Ker žepni računalnik ne zmore zapisati
neskončno decimalk , je pokazal 0,3333333. Navadno si zapomni celo nekaj
več decimalk, kot jih pokaže, na primer deset. Matičev računalnik je računal
takole:
Xl = 0,3333333333
X2 = 100XI - 33 =33,33333333 - 33 =0,33333333
X3 = 100X2 - 33 = 0,333333
X4 = 0,3333
X5 = 0,33
X6 = O
xr = -33
X8 = -3333
Kako je računal Rokov računalnik , premislite sami!
Rezultat je torej odvisen od tega, koliko decimaln ih mest zmore žepni
računalnik . Običajno pri računanju zaokroževanje ne vpliva bistveno na
rezultat, pri nalogi, ki se je je lotil Matic, pa je bilo katastrofalno, da
smo ! zaokrožili na " samo" deset decimalk. Zaradi tega so nekateri žepni
računalniki narejeni tako, da je mogoče računati z ulomki in se s tem izognemo
zaokroževa nju.
Bralec lahko z reševanjem omenjene naloge ugotovi , koliko" skritih"
decimalk ima njegov računalnik . Pa še nekaj: žepni računalnik je zelo koristna
stvar, vendar ga je treba znati uporabljati.
Olga Arnuš
/i1I' - ,-/i1I' -'IL"'" 1CI" 1" in
PRINCIP NAJMANJšEGA IN NAJVEČJEGA ELEMENTA
V PODMNOŽICAH NARAVNIH šTEVIL
1. Uvod
Ogledali si bomo dve lastnosti, ki ju imajo naravna števila, ostala števila
pa največkrat ne .
Lastnost minimuma. V vsaki podmnožici naravnih števil obstaja naj-
manjši element.
Le racionaina števila te lastnosti nimajo več. Celo če je neka podmnožica
racionalnih števil omejena navzdol , ni nujno, da ima najmanjši element. Le
vzamemo množico vseh pozitivnih racionalnih števil, potem ta množica nima
najmanjšega elementa, ker je uiomek trn vedno manjši od ulomka !!l . Podob-
no ne obstaja najmanjše pozitivno realno število. Poleg tega imajo naravna
števila še naslednjo lastnost:
Lastnost maksimuma. V vsaki podmnožici naravnih števil, ki je ome-
jena navzgor, obstaja največji element.
Racionaina števila tudi te lastnosti nimajo . Podmnožica tistih racionalnih
števil, ki so manjša od 1, je namreč navzgor omejena (kar s številom 1) , nima
pa največjega elementa. O tem se lahko prepričamo na naslednji način :
Naj bo O < ~ < 1 poljuben ulomek. Tedaj je seveda n < m. Le
primerjamo ulomka ~ in ~"t\, vidimo, da je ~ < ~"t\ < 1, torej vedno
obstaja ulomek, ki je večji od ulomka ~ in še vedno manjši od 1.
Obe omenjeni lastnosti je mogoče koristno uporabiti pri reševanju prob -
lemov iz teorije števil in kombinatorike. Pokažimo dva osnovna primera .
2. Primer uporabe lastnosti minimuma
Naj bo n neko naravno število in naj bo
Vn = { n, 2n, 3n , . . . }
množica njegovih večkratnikov. Ta podmnožica naravnih števil ima naslednji
lastnosti:
39
lastnost A. le je m poljubno naravno število in P poljubno število iz
množice Vn. potem je število P . m tudi v množici Vn-
lastnost B. le sta PI in P2 dve števili iz množice Vn Jn Je PI > P2.
potem je tudi število PI - P2 v množici Vn.
Teh lastnosti ni težko preveriti. Naj bo torej P iz množice Vn . Tedaj je
P večkratnik števila n. To pomeni. da obstaja tako naravno število r, da je
P = r- n. l.e jem poljubno nadaljnje naravno število, je m- P =(m· r)· n tudi
večkratnik števila n in zato m . P spada v množico Vn večkratnikov števila n.
Povsem podobno preverimo tudi lastnost B.
Zdaj se nam zastavi vprašanje, ali obstajajo še kakšne druge pod množice
naravnih števil z lastnostma A in B:
Problem. Naj bo V neka podmnožica naravnih števil. ki ima lastnosti A
in B. Ali obstaja tako naravno število n, da je množica V kar enaka množici
večkratnikov tega števila (oziroma alije V = Vn za neki nj?
Problem bomo rešili z uporabo lastnosti minimuma ln pokazali, da je
odgovor na zastavljeno vprašanje pritrdilen.
Ker je V podmnožica naravnih števil, ima po lastnosti min imuma naj-
manjši element. Označimo ga s črko n. Naj bo P poljubno število iz množice
V, različno od n. Ker je n najmanjši element množice V, je očitno P > n.
Število P razcepimo na vsoto P = q . n + o, kjer je q ~ 1 kvocient, o pa
ostanek pri deljenju števila P s številom n. Gotovo vam je dobro znano, da
je ostanek vedno večji ali enak O in manjši ali enak n - 1, zato je o < n.
Zaradi lastnosti A je najprej število q . n v množici V, saj je po pred-
postavki število n v množici V. Denimo, da je ostanek o različen od nič.
Tedaj je P > q. n, zato je po lastnosti B tudi število o = P - a - n v množici
V. To pa ni mogoče, ker je število n najmanjše v množici V.
To pomeni , da je P = q . n, oziroma število P je večkratnik števila
n. Dokazali smo, da je vsako število iz množice V večkratnik števila n, kar
pomeni , da je množica V podmnožica množice Vn . Zaradi lastnosti Asta
ti množici kar enaki, ker z množenjem števila n z vsemi možnimi naravnimi
števili dobimo vse večkratnike.
40
3. Uporaba principa maksimuma
Rešili bomo naslednji
Problem. Na matematičnem kongresu sta dva prijatelja, ki sta šla po
predavanjih skupaj na kosilo, ugotovila naslednjo zanimivost:
l.e sta imela dva matematika na kongresu enako število znancev, potem
nista imela skupnih znancev.
Dokaži. da je obstajal na kongresu tudi tak matematik, ki je imel samo
enega znanca.
Ta problem bomo rešili z uporabo pnncipa maksimuma. Označimo
udeležence kongresa s številkami 1 . 2 • .. . ,n. Pri vsakem matematiku oz-
načimo še število njegovih znancev (brez njega samega) s števili Z(l). Z(2) .
. oo . Z(n).
Očitno je nemogoče, da bi veljalo Z(l) = Z(2) = ...= Z( n) =O. To
bi namreč pomenilo. da nihče na pozna nikogar. zato se pri kosilu ne bi mogla
srečati dva prijatelja .
Ker nihče ne more poznati več oseb. katje prisotnih. je vedno O~ Z(i) ~
~ n - 1, kjer je i eno izmed števil 1.2, .. . , n. To pomeni . da je množica
{Z(l), Z(2) .. . . . Z(n)} navzgor omejena in ima po lastnosti maksimuma
največji element. Naj bo p ta največji element. ki je zaradi razmisleka v
prejšnjem odstavku vsaj enak 1. Brez škode za splošnost lahko privzarnerno ,
da je kar Z(l) = p . To pomeni . da ima matematik 1 natanko p znancev
h, i2• . . . , ip . Seveda ni nujno. da je matematik 1 edini udeleženec kongresa
s p znanci.
Zdaj si oglejmo števila Z(iI), Z(i2) .... , Z(ip) . Očitno je . da velja
Z(h) Z(ip) ~ p . Ker vsi ti poznajo matematika 1. je tudi 1 ~
~ Z(il) Z(ip) . Torej imamo med 1 in p natanko p naravnih števil.
Ali sta lahko dve med njimi enaki? l.e bi veljalo Z( h) = Z(i2) , bi imela
ta matematika enako število znancev, zato po predpostavki ne bi smela imeti
skupnih znancev . Toda matematik 1 je njun skupni znanec, zato je Z(h) #
# Z(i2). Na podoben način vidimo. da so vsa števila Z(h). Z(i2) . . .. , Z(ip)
med seboj različna . l.e imamo p različnih naravnih števil , ki so vsa med 1 in
p, pa ne gre drugače. kot da je eno med njimi enako 1, eno med njimi enako
2 in tako naprej do p . To pomeni, da mora biti nekdo. ki ima na kongresu
samo enega znanca.
Borut Zalar
I
/"l" ,,- 1/1" I/t- r:'1_"1'C ,-, 'L JC
Gardner, M ., AHA! PA TE IMAM, PARADOKSI ZA NAPE-
NJANJE MOŽGANOV IN RAZVEDRILO , 2.natis, DZS 1992,
228 str. (Z logiko v leto 2000)
Knjiga Martina Gardnerja Aha! Pa te imam iz zbirke Z logiko v leto 2000 sodi
na področje rekreacijske matematike. Knjiga je med mladimi bralci naletela
na zelo ugoden odziv in je bila že nekaj casa razprodana. Na tekmovanjih iz
zabavne matematike in logike so večkrat izrekli misel, naj bi knjigo vendarle
ponatisnili.
Zaradi tega smo se pri Državni založbi odločili, da to storimo, saj
smo prepričani, da delo ne nudi le obilo zabave, ampak prispeva k razvo-
ju bralčevega logičnega sklepanja in ostri njegove sposobnosti za reševanje
problemov.
Matematik Martin Gardner je trideset let urejeval rubriko Matematične
igre v znani reviji Scientific American in izdal vec knjig . V tej knjigi je zbral
veliko raznih ugank in nalog - paradoksov. Tako imenujemo naloge , ki so
na prvi pogled sp rte z zdravo pametjo in nas zato navadno presenetijo in
s tem pritegnejo našo pozornost. Paradoksi namreč zajemajo trditve, ki so
videti napačne, a so pravilne, pa take, ki so videti resnične, a so napačne.
Poti pri dokazovanju se zde brezhibne , a vodijo v logično protislovje. Zato so
paradoksi za bralca še poseben izziv in mu zbudijo še dodatno zadovoljstvo,
ko jih reši.
Uganke in naloge so razvrščene v šest poglavij . Prvo zajema logiko,
drugo aritmetiko, tretje geometrijo, četrto verjetnost in peto statistiko. Zad-
nje poglavje se ukvarja s paradoksi gibanja in naloge v njem imenuje pisec
"supernaloge o potovanjih skozi cas in o obrnjenem easu" .
Ni razloga, da sedanji rod osnovnošolcev in srednješolcev ne bi enako
dobro sprejel knjige, kot jo je prejšnji .
Milena Strnad
PO I Š Či OSNOVI
1. Po i š č i osnovo številskega sistema , v kate rem je naslednj i r a č u n pravilen:
73 . 25 = 1563.
2 . Ista na loga za ra čun : 21 ·122 = 2562 .
Marija Vencelj
-'-'//'1l-1I' ior« 1" iIc" u«m ,'-"
NALOGE S FIZIKALNE OLIMPIADE 1991 V HAVANI
Fizikaina olimpiada 1991 je bila v Havani na Kubi. Objavljamo naloge, ki so
jih tam reševali najboljši mladi fiziki. Upamo, da bodo vzpodbudile slovenske
srednješolce k dodatnemu delu, kar jim bo omogočilo enakovredno kosanje z
vrstniki na kaki od naslednj ih olimpiad. V naslednjih letih bodo le-te V ZDA
(1993) . na Kitajskem (1994). v Avstraliji (1995) in na Norveškem (1996) .
1. naloga
Homogena toga krogia zradijem R in z maso m je v višini h nad togimi
vodoravnimi tlemi in se vrti s kotno hitrostjo w okoli vodoravne osi skozi
težišče (sI. 1) . Krogia pade na tla in se odbije v poševni smeri. Višino,
ki jo doseže , izrazimo kot cx-ti del prvotne višine. Koeficient trenja med
kroglo in tlemi je k. Zračni upor je zanemarljiv, pri trku se niti krogia niti
tla ne deformirajo, med trkom se krogia ne premakne zaznavno. Vztrajnostni
moment krogle pri vrtenju okoli težiščne osi je 2mR2/5.
Za primer, da se krogia med trkom ves čas vrti in drsi ob tleh, izračuna]:
a. odbojni kot 0 ;
b. vodoravno razdaljo, ki jo preide težišče krogle, preden krogia spet
zadene ob tla ;
c. najmanjšo začetno kotno hitrost, ki jo mora imeti krogia v tem
primeru .
Iste količine izračuna] tudi za primer, da vrtenje krogle zaradi trenja ob
tleh preneha, preden se krogia odbije .
Skiciraj odvisnost odbojnega kota od začetne kotne hitrosti krogle.
Slika 1
h :~ ---. ." .......: e / <,
: /" '()
~ ~~ ~
. ~' ::': ~. ,
~
".................. .'\ ....
-
43
2 . naloga
Kvadratna zanka s stranico L, merjeno v opazovalnem sistemu, ki je
vezan na zanko, se giblje enakomerno s hitrostjo v po homogen em električnem
polju, ki je v ravnini, pravokotni na hitrost , hkrati pa tvori kot 0 z ravnino
zanke (sI. 2). Opazovalec, ki je vezan na zanko, vidi , da se gibljejo po obodu
D
Slika 2
B
zanke s hitrostjo u v medsebojnem razmiku a enakomerno nanizane drobne
nabite kroglice, od katerih vsaka nosi naboj e. Žica , po kateri drsijo kroglice ,
je enakomerno nabita z nasprotnim nabojem , ki natanko izravna naboj kroglic.
Določi s stališča opazovalca, ki miruje v laboratorijskem sistemu , nasled-
nje količine:
a . razdaljo med kroglicami na posameznih stranicah;
b. skupni naboj na posameznih stranicah ;
c. velikost električnega navora, ki skuša zasukati zanko v smeri gibanja
kroglic;
d. električno energijo zanke v zunanjem električnem polju ;
e. absolutno vrednost električnih tokov v stranicah zanke.
Pri reševanju pomaga dejstvo, da električni naboj telesa ni odvisen od
sistema , v katerem ga opazujemo.
44
3. naloga
Curke atomov hladijo s tako imenovanim laserskim hlajenjern, Pri takem
eksperimentu vstopa v vakuumsko posodo curek atomov 23Na , ki jih dob imo
iz pečice , kjer izpareva natrij pri temperaturi 1000 K. Curek osvetljuje iz
nasprotne smeri močan curek laserske svetlobe (sI. 3) s frekvenco , ki ustreza
resonančnemu prehodu v vzbujeno stanje pri tistih atomih natrija, ki se gibljejo
z izbrano hitrostjo Vo (sl.4) . Ob absorpciji fotona laserske svetlobe se atomom
spremeni hitrost za .6. VI = vI - vO . Atom svetlobo nato spet odda in se
povrne v osnovno stanje. Pri tem se mu spremeni hitrost za .6. v' = v{ - VI ,
smer gibanja pa za kot lp (sI.5) . Absorpcija in emisija svetlobe se ponav ljata ,
dokler se atomom ne spremeni hitrost za toliko, da resonančna absorpcija ni
Na
Slika 3
w
cu rek ot ornov curek ' svet lobe
la:ser
f----- ---- - ----
E - ~ 1-----+-------
E
h )l ·~ ~ ~ -
vzbujeno
stanje Na
osnovno
Slika 4 stan je No
več mogoča. Tedaj spremenijo fre-
kvenco laserske svetlobe za toliko,
da spet pride do resonančne absorp-
cije. Postopek nadaljujejo, dokler se
delu atomov hitrost ne zmanjša na
nič.
Slika 5
I 45
V prvem približku lahko pri obravnavanju pojava zanemarimo vse razen
absorpcije in emisije svetlobe. Računamo tudi, kot da sta absorpcija in emisija
trenutna pojava .
Za primer, da je energija vzbujenega stanja atoma E = 3,36.10-19 J
in energijska širina vzbujenega stanja r = 7, O. 10-20 J , poišči odgovor na
naslednja vprašanja :
a. Kolikšna mora biti frekvenca laserske svetlobe , da jo bodo resonančno
absorbirali atomi s povprečno kinetično energijo pri temperaturi pečice? Za
koliko se atomom spremeni hitrost pri absorpciji svetlobe?
b. Kolikšna je širina hitrostnega intervala atomov, pri katerih je mogoča
resonančna absorpcija?
c. Za kolikšen največji kot se lahko pri prvi emisiji svetlobe spremeni
smer gibanja atomov?
d. Za koliko se lahko pri nespremenjeni frekvenci laserske svetlobe
zmanjša hitrost atomov?
e. Kolikšno približno število absorpcij in emisij je potrebno, da se zmanjša
hitrost atomov s povprečno kinetično energijo (gI. vprašanje a) na nič?
Upoštevaj le atome, ki se gibljejo ves čas v prvotni smeri.
f. Koliko časa traja ustavljanje? Kolikšno pot preidejo atomi v tem času?
Računaj z naslednjimi vrednostmi konstant: svetlobna hitrost c = 3, O.
108 mis, atomska enota mase u = 1,67 .10-27 kg, Planckova konstanta
h =6,62.10-34 Js, Boltzmannova konstanta k =1,38.10-23 J/K .
Eksperimentalna naloga
V črni škatli s tremi priključki A, B, in C so tri različne električne
komponente. Izbrane so izmed baterij, upornikov z uporom, večjim kot 100
ohmov, kondenzatorjev s kapaciteto večjo kot 1 JLF in polprevodniških diod.
a. Določi , katere so komponente v škatli in kako so vezane glede na
priključke A, B in C. Nariši shemo vezave, s katero si odkril vezje v škatli,
tudi tiste, s katerimi si razločil med vezji s podobnimi lastnostmi.
b. Le je v škatli baterija, določi njeno gonilno napetost. Nariši shemo
meritve!
c. Le je v škatli upornik, določi njegov upor. Nariši shemo meritve!
d. Le je v škatli kondenzator, določi njegovo kapaciteto. Nariši shemo
meritve!
e. Le je v škatli dioda, določi napetost praga in prebojno napetost .
f. Oceni napako izmerjenih količin!
46
Pri merjenjih imaš na razpolago:
- izvir spremenljive enosmerne napetosti;
- 2 univerzalna merilna instrumenta;
- 10 veznih žic;
- 2 stikalni plošči;
- upornik, 100 kQ, 5%;
- upornik, 10 kQ, 5%;
- upornik, 1 kQ, 5%;
- kondenzator, 100 fLF, 20% ;
- stoparico;
- prekinjalo;
- papir, risalni trikotnik.
Podani so še notranji upori merilnih instrumentov na tokovnih in nape-
tostnih področjih.
Pišite nam o svojih rešitvah!
Marjan Hribar
ZVOK. GIBANJE, Pomurska založba, Murska Sobota 1991
Ste že pregledali zbirko Veselje z znanostjo s podnaslovom Naredi sam ,
poskusi , triki? Ne!? Potem pohitite! lani so v okviru te zbirke že izšle
tri knjige (Voda , Svet loba, Zrak), zdaj pa imamo na voljo še dve: Zvok (av-
torici Terry Cash, Barbara Taylor) in Gibanje (Brenda Walpole) . Obe knjigi
je za slovenske bralce prevedel in priredil Janez Ferbar , izdala pa jih je Po-
murska založba iz Murske Sobote. Vseh pet knjig je vredno vsaj pogledati .
So lepe, živahnih barv, polne risb in fotografij, torej prijetne za oko. Vsebu-
jejo navodila , kako narediti poskuse , razlage le-teh , ob vsakem poskusu pa
tudi strokovno, preprosto razlago pojavov, ki spremljajo poskuse. Ko delaš te
poskuse , se čudiš , kako so čisto življenjske situacije povezane s fiziko. Pa še
zabavaš se, ko se učiš .
Vsebino knjige Zvok lahko razdelimo na šest področij: kaj je zvok; kako
slišimo zvok (odmevi , akustika , hrup) ; hitrost zvoka; zvoki strun in piščali ;
ropotulje in zvočni zapis ter živalski zvoki. Knjiga Gibanje pa ima sedem
poglavitnih področij : teža ; ravnovesje; vztrajnost; trenje ; klanci, kolesa,
škripci in vzvodi; vrste gibanja ter stroj i in gibanje .
Zbirka je plod mednarodnega raziskovalnega projekta Spoznajmo naravo
z rokami in glavo , ki je vključen v mladinsko raziskovalno dejavnost .
Knjige bi priporočila učiteljem in učencem za delo pri dodatnem pouku ,
še posebno pa mladim vedoželjnežern za poučno zabavo doma ali v naravi.
Le že imate doma prve tri knjige, boste gotovo hotel i imeti tudi ti dve.
Le jih pa še nimate , vam zbirko prav toplo priporočam .
Joži Hribar
47
Pripomočki: dva jogurtova lon čka . vrvica ,
škarje .
Telefon iz Iončkov deluje drugače kot cevni
telefon, vendar tudi ta izrablja zvočno
valovan je v zraku.
1. S škarjami naredi luknjico v dno vsakega
lo n č ka .
2. Krajišč i vrvice polisn i skozi luknjici ,
nato nared i na obeh konceh vozla .
da se napeta vrvica ne izmuzne skozi
lUknjico.
3. Postavi se prijatelju nasproti , nategni
vrvico in preskusi telefon .
4. Podri; lonček ob ušesu, prijatelj pa naj
počasi in jasno govori v drugi lonček .
Kako del uje
Prijateljev glas zatrese dno lončka .
Nihajoče dno vzbudi valove v napeli
vrvic i. ta pa strese dno lon čka na drugi
stran i. Dno sproži valovanje zraka . in
tako zas li šlš prijateljev glas . Zakaj
telefon iz jogurto vih len čkov deluje le.
če je vrvica napeta?
Naredi telefon z[oqur-
tovima lončkoma
/
1-
RUDJER BOŠKOVIC NA HRVAŠKEM BANKOVCU
Presek je že poročal o izraelskem bankovcu s podobo Alberta Einsteina in
avstrijskem s podobo Erwina Schrodingerja . Na novih hrvaških bankovcih
pa je odtisnjena podoba znanega hrvaškega fizika Rudjera Josipa Boškovi ča
(slika 1). Škoda , da na novih slovenskih bankovcih ne bo podobe Jožefa
Stefana! Kot se po Stefanu imenuje velik raziskovalni inštitut v Ljubljani, se
tak inštitut v Zagrebu imenuje po Boškoviču ,
Rudjer Boškovič je bil rojen v Dubrovniku 18. maja 1711. Odlikoval se
je v dubrovniški jezuitski šoli, tako da so ga poslali na Collegium romanum,
glavno jezuitsko šolo v Rimu, ki jo je obiskoval že njegov brat. Po koncanem
študiju je z dvaindvajsetimi leti zaeel poučevati . Postal je redovnik in nato
profesor za logiko in pozneje za matematiko.
Velikoje objavljal in zaslovel po vsem svetu. Mnogo je tudi potoval. Sko-
raj za leto dni se je ustavil v Dubrovniku in se prek Ljubljane odpravil najprej
na Dunaj in nato v Pariz - že prej je postal elan francoske akademije znanosti .
Pred preganjanjem jezuitov se je umaknil najprej v Benetke in pozneje v Lon-
don. Tu je njegov ugled dosegel višek in mu odprl vrata v Kraljevo družbo,
angleško akademijo znanosti. Vrnil se je prek Nizozemske in Nemčije, obiskal
še Carigrad in se odpravil na Poljsko. Profesorsko mesto v Rimu je izgubil,
ker je zbolel njegov brat, ki ga je med potovanjem nadomeščal. Prešel je
na univerzo v Milanu in nato na univerzo v Padovi . Za jezuite so tud i v
Italiji napočili slabi časi , zato je sprejel mesto ravnatelja optike v francoski
5 ....
cl:
:.:::
en
~
>a:
:x:
~
:J
ln
::::>
Q.
w
~a:
MINI S TAR
F I H A N C I J A.
•
Slika 1. Boškovičeva podoba na bankovcu hrvaških dinarjev.
49
mornarici. V Parizu se j e spočetka družil z znamenitimi Francoz i, pozneje pa
se je zap letel v spore z d'Alambertom, Laplaceom in drugimi - z Lagrangeom
se je sprl že prej. Pos tajal je vse bolj sa motarski. Prega njala ga je misel, da
je v njegovih delih veliko napak . Umrl je 13. febr uarja 1787 v Milanu .
Rudjer Boškovi č je bil vsestranski astronom in fizik. Objavil je 75 knjig in
razpra v. Izhaja l je iz Newtonove mehanike , ki j e imela tedaj veljavo osrednje
fizikalne teorije . Obrav naval je sončne pege, severn i sij, komete, mrke, prehod
Merku rja prek sončne ploščice, uporabo daljnogleda, sferno trigonometrijo,
spreminjanje teže po površju Zemlje, obliko Zemlje in razloge za njo, živo
silo (po naše kinetično energijo) , zgradbo snovi, zakon sile. Izpopolnil j e
več optičnih merilnih naprav in razmišljalo najboljšem izidu pri merjenjih ,
obremenjenih z napakami . Sodeloval je pri načrtih za izsuš evanje močvirij ,
gradnjo pristanišč, regulacijo rek in popravilo znanih stavb in si pridobil ugled
kot geo det , gradbenik in hidromehanik .
Kot nekate ri drugi veliki možje t istega časa je Boškovi č tudi pesnil.
Napisal je latin sko pesnitev o mrkih Lune in Son ca, ki jo je še dopoln il in
ki je izšla tud i v francoske m prevodu. Pozn eje pa mu je za pesmi zmanjkalo
časa .
Svoje zamisli, predvsem zamisli o zgradbi snovi, je povzel v knjigi Theoria
philosophiae naturalis redaeta ad unicam legem virium in na tura existentium
(Teorija naravoslovja, prirejena enemu zakonu sil, ki obstajajo v naravi) . Prvič
, fi
D D
J'
Slika 2. Boškovičeva sila med delcema v odvisnost i od razdalje iz knjige Theoria phllosophi-
ae. Na vod oravno os je nanesena razda lja, na n a vp i čno pa sila ; pozit ivna sila je odbojna,
negativna pa pri vlačna . Na ba nkovcu ni te s like, ki so jo od vseh Boškovi čev ih slik naj-
pogosteje ponatisnili , ampak so tri d ruge iz iste knjige . S tremi elipsam i si je Boškovič
po magal pri razgla bljanju o g ibanju delca, na kate rega deluje s ila z risbe , dr uga slika zade-
va te ž i šče trikotn ika in tretja težišče dveh krogel.
50
je izšla leta 1758 na Dunaju, razstrjena ln popravljena druga izdaja pa je
izšla v Benetkah leta 1763. Boškovič je zastopal stališče, da snov sestavljajo
nedeljivi delci brez razsežnosti. Vsak delec je vztrajen in izvaja na druge delce
silo, ki je odvisna od razdalje . Pri zelo veliki razdalj i je sila privlačna , to je
gravitacija, pri manjši odbojna , pri še manjši zopet privlačna ... (slika 2) .
Zgradbo snovi in njihove lastnosti je mogoče pojasniti s to silo.
V zamisli je mogoče zaslutiti zasnovo enotne teorije polja, ki jo iščejo
današnji fiziki in ki naj bi opisala vse sile od gravitacije do sile med kvarki.
Nekatere druge Boškovičeve izjave o prostoru in času in o relativnosti vztraj-
nosti podobno zbujajo misli na teorijo relativnosti. Vseeno ne gre pozabiti,
da so v Boškovičevern času šele nastajali temelji sodobne fizike.
Tedaj je Dubrovniška republika živela razmeroma mirno in z razvojem
obrti , trgovine in pomorstva dosegla razcvet. Sam Rudjer Boškovič pa je
živel razgibano, v naravoslovju opravil pomembno delo , dosegel velike uspehe
in požel priznanje vsega sveta . Zares si je zaslužil počastitev s podobo na
bankovcu .
Janez Strned
PRIROČNIKI IN UČBENIKI, izdani pri Komisiji za tisk
DMFA Slovenije
Urš ič S., Matematične tabele
Vadnal A., Matematika - leksikon CZ
Strnad J., Fizika - leksikon CZ
Štalec 1. in dr. , Zbirka vaj iz aritmetike, algebre in analize
za 1., 2., 3., in 4. razred srednjih šol
Mohar B., dBase III plus
Sfiligoj B., Željko M., PiCTeX CAD, program na disketi z navodili
Račkova knjižnica
1. Klavžar S., Mali priročnik operacijskega sistema MS DOS
3. Razpet M., Sedi in piši z LaTeX-om!
4. Lokar M.. Začeti z dBase IV
5. Lokar M., dBase IV. Ukazi in funkcije
6. Klavžar S., WordSta r 6.0
7. Lokar M., Derive, program za simbolično računanje
8. Lokar M.• Turbopascal 6.0
PISMA BRALCEV
Uroš Lot ar iz Martinu čev pri Ren čah je zvest privrženec as tronomij e. Pr ebere
vse ast ronomske č l a n ke, tudi tiste v drugih revijah .
Želi si še več astronomskih prispevkov, predvsem takih s fotografijami .
Dve nam je kar sam poslal: Luno v meni prvega kraj ca in Jupiter s št irimi
velikimi sateliti. Za spr emljavo si je pomagal z el ektromotorč kom . Lepi sta ,
ali ne?
Slika 1. Luna v men i prvega krajca , Marti-
nu či , 20.05. 1991 ob 22. 00 poletn ega sr.evr .
časa, film AGFAXRG 100 ( barvni) eksp.
1 / 60 s , zrca lni daljnog led 20 / 203 cm .
Slika 2 . Jup ite r s š t irimi velikimi sateliti
( zah od je na levi), Mar t i n uči, 30 .0 1. 199 1
ob 05.30 sr.e vr. časa , film AGFAPA N 40 0
eks p. 6 s, is ti da ljno gled .
Verjetno je med vami še ve č ama t erjev ast ronomov, ki se poskušate v
fotogra firanju. Ojuna čite se in nam pošljite svoje uspele posnet ke. Radi jih
bomo objavili.
J asno nočno nebo in lep pozdrav !
Dušica Boben
PRAVOKOTNI VEČKOTNIKI
Vemo, da ima lahko trikotnik največ en pravi kot. Koliko pravih (notranjih)
kotov ima lahko konveksni n-kotnik , n > 37
Marija Vencelj
007' ,clle" II,,' '_''''L_''''-_
ŠTEVILSKA
KRIŽANKA 2
7
4
D
s
8
13
17
14
12
10
iD 15
19
ID
16
Vodoravno:
1. Najmanjše naravno število , katerega produkt s številom 126 je popolni
kvadrat.
3. Vrednost izraza P - 3, kjer je P površina pravilne štiristrane prizme
z osnovnico 50 in višino 18,64.
6. Vrednost izraza 115x + 50 , kjer število x zadošča naslednjemu
pogoju: če mu dodamo 7, dobimo tolikokrat pa 10. kolikorkrat dobimo po
20, ce to število odštejemo od 173.
8. Vrednost x 3 , kjer je x rešitev enačbe 3(2x - 9) - 5(3x - 18) = O .
9. Vrednost izraza 3 · 2m za naravno število m, ki je enaka vrednosti
(m + 1)2 . (m - 1) .
11. Vrednost izraza ~ V + 40 , kjer je V volumen telesa , ki ga dobimo,
če enakokraki trapez z osnovnicama a = 20, C = 8 in krakom b = 10
zavrtimo okrog manjše osnovnice .
I 53
13. Najprej v e čj e , potem pa še manjše od števil , ki rešita sistem enačb
2x - y = 35 x + y = 34 .
15. Vredno st izraza (12x) 2, kjer je x rešitev sorazmerja
(5x -1): (5 - 2x) = 3 : 8.
17. Vrednost izraza / 121· 25 - J v'sl + 7.
18. Število, katerega vsota števk je enaka 14.
20. Cena petrol eja , č e vemo naslednje : teža pet roleja skup aj s sodom
je 69 kg, teža soda je 21, 75 kg, liter petroleja st ane 84 din, sp ec ifi čna teža
petroleja pa je O, 84gr / cm3 .
Navpično:
2. Vrednost izraza 4x 2 + y2 , kjer je vsota št evil x in y enaka 18,
njuna razlika pa enaka 2.
3. Rešitev ena čb e 80 + 5x = 500 .
4. 5tiri zaporedna liha števila.
5. Produkt dvomestnega števila 10+k z dvomestnim številom 10k+1 .
7. Tretja vrst ica Pascalovega tri kotn ika.
8. Kvadrat dvomestnega števila , katerega vsota cifer je enaka 10.
10. Volumen kvadra z robovi a = 14, b = a + 7 in c = b + 7.
12. Vrednost 2P , kjer je P ploščina enakokrakega trikotnika z osnovnico
32 in te ži ščnico na krak enako 30.
14. Pribl ižna vrednost 1001l' .
16. Vrednost izraza:
3,132 - 2 ·3 ,13 ·3,12 + 3,122 '
19. Število, za katerega velja : njegov koren je med 7 in 8, njegov kvadrat
pa med 3000 in 3100 .
Stavra V. Redojkovič.
Prev. in prir. Bojan Hvala
/"o-,-mO-;·'IL" -, ." , ICIII' InI' .",
POTENČNA ŠTEVILA
Osnovni izrek aritm etike pravi: vsako od ena večje naravno štev ilo je produkt
enolično določenih praštevilskih potenc. Za naravno število n > 1 obstajajo
torej enolično določena praštevila PI < ... < Pj in naravna števila el, . .. , ej
tako, da je
_ e l ej (1)
n - PI "' Pj .
Zgledi za osnovni izrek: 100 = 22 .52,162 = 2.34 ,620 22 .5.31 ,289 =
= 172,107 = 107 (štev ilo 107 je praštevilo) .
Le je vizrazitvi (1) vsak eksponent el , .. . , ej dve ali več, imenujemo
naravno število n potenčno . Zgledi potenčnih števil : 200 = 23 .52 , 10800 =
= 24 .33.52 ,15125 = 53 .112, kvadrati , kubi, bikvadrati (četrte poten ce) od
ena večjih naravnih števil.
Ko v zaporedju naravnih števil
1,2,3,4 ,5,6,7,8,9,10,11 ,12, ... (2)
izpustimo člene , ki niso potenčna števila, ostane zaporedje potenčnih števil
4,8 ,9,16 ,25 ,27,32 ,36 ,49 ,64 ,72,81 , IDO , 108, 121, 125, 128,144, ... (3)
Zaporedje (3) se nikdar ne neha. Potenčnih števil je namreč neskončno ; saj
je že kvadratov 22,32,42 , .. . , ki so vsi v (3) , neskončno .
Sosednji potenčni števili v (3) sta bolj ali manj oddaljeni . Zanimiv je
primer potenčnih števil 8, 9, ki sta obenem zaporedni naravni števili. Ali se v
zaporedju (3) še kdaj zgodi , da sta sosednja člena obenem zaporedni naravni
števili? Ali se to zgodi velikokrat?
Ker so kvadrati 22,32 , ... potenčna števila, poglejmo najprej , ali je med
njimi kaj parov zapored nih naravnih števil. Le sta kvadrata y2 < x 2 zapored-
ni naravni štev ili, je x 2 = y 2 + 1. Od tod sledi (x - y)(x + y) = 1. Ker
sta faktorja na levi naravni števili in njun produkt 1, je mogoče le x - y =
= 1, x + y = 1 in tako x = 1, y = O. Stevilo y = O ni naravno , kvadrata
0° = 0,12 = 1 tudi nista potenčni števili. Med kvadrati 22,32 , ... torej ni
parov, ki jih i ščemo. Tako vemo : če sta sosednji potenčni števili v (3)
zaporedni naravni števili, vsaj eno ni kvadrat.
Le poten čno število ni kvadrat, mora vsebovati v zapisu (1) vsaj en
prafaktor v lihi stopnji , večji ali enaki 3. Najbolj preprosto število take oblike
je 23.y 2 = 8y 2, kjer je y naravno število. Ali je lahko naslednik števila 8y 2,
55
tj . 8y 2 + 1, kvadrat naravnega števila x? Kadar to drži, je
(4)
Le daj eta naravni števili x, Y rešite v ena čb e (4) , st a 8y2 , x 2 poten čni in
ob enem zap ored ni naravni števili. Za Xo = 3 , Yo = 1, ki izpolnjujeta en a čbo
(4 ) , dobim o ravno par p oten čnih števil 8, 9. Iz rešitve Xo = 3, Yo = 1 pa
hitro pridemo do drugih rešit ev enačb e (4) v nara vnih številih.
Izhajajmo iz obrazcev
Xn = 3Xn- 1 + 8Yn - 1
; Xo = 3, Yo = 1 (5)
Yn = Xn-l + 3Yn-1
Ker poznamo xo, Yo, iz (5) i zra čunamo
Xl = 3xo + 8yo = 3.3 + 8.1 = 17
YI = Xo + 3YO= 3 + 3.1 = 6
Iz znanih Xl = 17, YI = 6 po (5) najdemo
X2 = 3XI + 8YI = 3.17 + 8.6 = 99
Y2 = Xl + 3YI = 17 + 3.6 = 35
Podobno dobimo po obrazcih (5) naprej
X3 = 577
Y3 = 203
X4 = 3363
Y4 = 1189
Xs = 19601
YS = 6930
Tako lahko nadaljujemo brez kraja. Po obrazcih (5) je
x~ - 8y~ = (3Xn-1 + 8Yn-If - 8(Xn-1 + 3Yn _ I )2 = X~_ l - 8Y~_1
in ta povezava velja za vsak indeks n = 1,2 , .. . Torej je
2 8 2 - 2 8 2 - - 2 8 2 - 2 8 2 - 32 8 12 - 1xn - Yn - xn- l - Yn-l - .. . - xl - YI - Xo - Yo - - . - .
Vidimo , da vsaki števili X n , Yn, določeni po obrazcih (5), izpolnjujeta ena čbo
(4). Zato sta vsaki poten čn i števili 8y~, x~ za n = 0,1 ,2 , ... zaporedn i
naravni števili. Obstaja torej neskončno parov takih poten čnih števil , da
sta števili para zap oredni naravni števili. Ali druga če povedano: število 1
56
se da na neskončno načinov izraziti kot razlika dveh potenčnih š tevil.
Po zgornjem so zgledi za take pare:
32 - 23 .12 = 1
172 _ 23 .62=1
992 - 23 .352 = 1
5772 - 23 .2042 = 1
33632 - 23 .11892 = 1
196012 - 23 .6930 2 = 1
Za vsak naraven Y je število 33 .y 2 = 27y2 potenčno in ne kvadrat. Le
je njegov nasledn ik kvadrat , je 27y 2 + 1 = x 2 ali
(6)
Kakor zgoraj se prep r i čamo , da je z obrazcema
Xn = 26xn-l + 135Yn-l
; XQ = 26, YQ = 5 (7)
Yn = 5Xn-l + 26Yn-l
za n = 1. 2, ... določenih neskončno naravnih rešitev ena čbe (6) in poten čni
števili 27y~ , X~ sta spet zaporedni naravni števili. Ker ena čb i (4) in (6) nimata
nobene skupne rešitve v naravnih številih , so vsi sedaj dobljeni pari potenčnih
števil različni od parov zgoraj . Za n = 0,1 ,2,3 dobimo iz (7) pare potenčnih
števil
13512 - 33.2602 = 1
Ugotovili smo , da se v zaporedju (3) potenčnih števil neskon čnokrat
zgodi, da sta sosednji poten čni števili zaporedni naravni števili. (Z rešitvami
(5) in (7) še zdaleč nismo izčrpali vseh tak ih parov.) Zastavlja se sedaj
vprašanje: Ali so v (3) kdaj trije ali morda celo štirje sosednji členi zaporedna
naravna števila?
Med štirimi zaporednimi naravnimi števili sta dve štev ili sodi , dve lihi.
Manjše sodo število se zapiše 2e.l; tu je e naravno število, Iliho število . Sodi
števili med zapo rednimi štirimi naravnimi števili sta tako
(8)
57
Le je e = 1, število 2/ ni potenčno ; v njem je namreč 2 le v prvi stopnji , ker
je /Iiho število. Le je e 2 2, je
5tevilo 2e - 1 / je zaradi e 2 2 sodo , zato 2e - 1 / + liiho; torej nastopa 2 v
2e / + 2 samo v prvi stopnji in tako 2e /+ 2 ni poten č n o število. Med št eviloma
(8) je torej zmeraj vsaj eno ,
ki ni poten čno . To pa pome-
ni, da štiri zaporedna na-
ravna števila nikoli niso vsa
potenčna. Tem bolj seveda
velja, da pri petih ali več za-
porednih naravnih številih ni-
kdar niso vsa potenčna . V
zaporedju (3) se tako nikoli
ne zgodi, da bi štirje ali več
sosednjih členov bili zapored-
na naravna števila .
Kako je s tremi zapored-
nimi naravnimi števili? Med
tremi zaporednimi naravnimi
števili sta dve sodi in eno liho
ali pa eno sodo in dve lihi šte-
vili. V prvem primeru sta
med tremi števili sodi števil i
oblike (8) . Zanju pa ze ve-
mo, da nista nikdar obe po-
tenčni . Le so torej tri zaporedna naravna števila vsa potenčna , morata biti
med njima dve lihi in eno sodo število . Piscu teh vrstic ni znano, ali je v
zadnjem času kdo našel tri zaporedna naravna števila , ki so vsa potenčna.
Do nedavnega niso poznali nobene take trojice . Da takih treh števil ni, tud i
ni dokazano. Tako ne vemo , ali v zaporedju (3) nastopajo kdaj trije sodenji
člen i , ki so obenem zaporedna naravna števila .
Videli smo, da je od dveh zaporednih sodih števil (8) kvečjemu eno
poten čno. Zaporedni lihi števili pa sta lahko obe poten čni, Zgled: 52 =
= 25,3 3 = 27. Ali je še več primerov, ko sta zaporedni lihi števili obe
poten čni?
58
Pokazali smo že. da ima ena čba
(6)
nesko n čno rešitev v naravnih številih. Naj bo npr. x' ,v' taka rešitev, torej
Napravimo št evili
x = 5x' + 27y'
(9)
Y = x' + 5y'
ln i zračunajrno
27y2 - X 2 = 27(x' + 5y'f - (5x' + 27y'f = 2(x '2 - 27y '2) =2.1 =2.
Vsaki rešitvi x'.v' ena čb e (6) v naravnih številih pripadata torej po (9) do-
loeeni naravni števili X, Y . ki ustrez ata e n ač b i
(10)
Ker ima ena čb a (6) n eskon čno naravnih rešitev . ima tudi en a čb a (10) neskon-
eno naravnih rešitev in poten čni št evili X 2. 27y2 sta zaporedni lihi števili .
Torej obstaja neskončno parov zaporednih lihih števil, ko sta obe števili
para potenčni. Ali druga ee povedano: število 2 se da na neskončno
načinov zapisati kot razlika dveh potenčnih števil.
Napravimo nekaj zgledov . Iz (*) preberemo štiri rešitve za enačbo (6) .
Pri rešitvi x ' =26, v' =5 dobimo po obrazcih (9)
X = 5.26 + 27.5 = 265
y=26+5 .5=51
in torej
33 .512 - 2652 = 2.
Rešitev x ' =1351. v' =260 iz (*) daje po obrazcih (9)
X = 5.1351 + 27.260 = 13775
Y = 1351 + 5.260 = 2651
I 59
in od tod zaradi (10)
Na enak način pridemo iz zadnjih dveh rešitev v (*) do izrazitev
33 .1378012 - 7160352 = 2
33.71630012 - 372200452 = 2
Da je vsako potenčno število izrazljivo z razliko dveh potenčnih števil na
neskončno naeinov , hitro vidimo . Upoš tevajmo, da je na neskončno naeinov
mogoce pisati
(11)
kjer sta rl, r2 poten čni števili. Naj bo r potenčno število. Iz izrazitve (11)
sledi
r = rrl - rr2
in r Je Izražen kot razlika dveh pot en čnih števil. Po opredelitvi potenčnega
števila je namreč jasno, da je produkt potenčnih števil potenčno število.
Podobno kot zgoraj za število 2 se da tudi za števila 3 ,5 ,6,7, 10 in
mnoga druga, ki niso pctenčna, pokazati , da jih je mogoce na neskon čno
naeinov pisati kot razliko dveh poten čnih števil. Oognali so, da velja to sploh
za vsako celo število.
Jože Grasselli
PRENIČlANA ŠTEV ILA
Naj bo K množica vseh naravnih števil , ki imajo v desetiškem zapisu liho
število števk in natanko na vseh sod ih mestih ničle , )VI pa množica vseh
števil iz K . ki imajo tudi svoje kvadra te v K . torej
)VI = {n : nEK i Il n2 EK} .
1. Poišči vsa števila n < 106 iz množice ,M .
2. Ali je )VI končna ? Katera števila iz M so večja od 1010 7
Boris Lavrič
Carrolov avtoportret iz pisma deklici
Maggie.
~~I,
DVE PISEMCI - DVE UGANKI
Oxfordski profesor Charles Lutwidge Dodgson (1832 - 1898) je napisal vrsto
del s področja matematike in logike. Kritiki njegovih del: Evklida in nje-
govih sodobnih tekmecev, Simbolne logike, Temeljnih razpravo determinan-
tah , Primerljivih magnitud, Curiose matematice in drugih ga ne cenijo kot
znanstvenika, saj mu zamerijo, da je proučil le malo drugih matematikov in
logikov, ki so se pred njim ukvarjali z isto problematiko . Vso stvar je raje
razvijal po svoje, češ da bi ga pri raziskovanju vse to bogato izročilo znanosti
le speljevalo v zmote. Tako je mnogokrat, ne da bi se zavedal, iskal poti, ki
so bile prehojene že davno pred njim.
Toda CL. Dodgson je imel mnogo konjičkov in eden ga je napravil
slavnega po vsem svetu: njegovi moderni pravljici Alica v čudežni deželi in
Alica v ogledalu, ki ju je sramežljivo podpisal s psevdonimom Lewis CarrolI,
sta mu priskrb eli nesmrtnost . Te-
žnja po skrajni izvirnosti mišljenja
ga je pri znanstvenem delu vodila
v slepo ulico, pri pisanju leposlovja
pa se je izkazala za kvaliteto. Pri
branju obeh knjig o Alici nam je
kmalu jasno, da umetnik CarrolI ne
bi dosegel takega uspeha, če v njem
ne bi bilo logika Dodgsona . Pro-
tislovje med človekom , ki je napisal
dve očarljivo fantastični zgodbi ne-
smisla , in med pustim profesorjem
matematike je le navidezno. Sams-
ki profesor ni pretirano ljubil družbe
odraslih, rad pa je bil z otroki svojih
kolegov in znancev, najraje z dekli-
cami . "Ta dan zaznamujem s kre-
do," je po šegi starih Rimljanov za-
pisal v dnevnik, kadar je hotel pou-
dariti , da je preživel posebno srečen
dan. In domala vsi s kredo zaz-
namovani dnevi so bili tisti, ko je
spoznal kako novo malo prijateljico .
V njihovi družbi se je sicer zadržani
61
Dodgson razživel : prikazoval jim je čarovniške trike , jih učil pregibati papir v
čolničke in pokalice, jim zastavlj al logične uganke in pripovedoval pravljice.
Le pa je usoda ločila njihove poti, je izkoristil vsako priložnost, da jim je pisal
duhovita pisma.
Iz kupa le-teh objavljamo pismi Helen in Jessie . ',' obeh sta uganki ;
prva je izvirna, drugo pa v knjigah ugank srečamo v drugačni verziji. Ali
je dekletoma uspelo razrešiti oba vozla , ki jima ju je poslal stari prijatelj, ni
znano. Pa ju poizkusite vi!
Christ Church,
Oxford ,
15. marca 1873
Draga moja Helen,
ne vem , ali so Ti uganke všeč ali ne. Le so Ti, poizkusi tole . Le Ti niso, nič
ne de. Neki gospod (rec iva plemenitaš, da -bo bolj zanimivo) je imel dnevno
sobo z enim samim oknom - kvadratnim, 3 čev lje" visokim in 3 čevlje širokim.
Imel pa je tudi slab vid in to okno je prepuščalo preveč svetlobe, zato (kaj ti
v zgodbah ni všeč beseda 'zato'?) je poslal po stavbenika in mu naročil , naj
okno tako preuredi , da bo prepuščalo le polovico dotedanje svetlobe. Toda
ohraniti mu mora kvadratno obliko, višino 3 čevljev in širino 3 čevljev , Kako
je to nared il? Vedi, da ni smel uporabiti ne zaves ne oknic ne barvastega
stekla ne česarkoli podobnega.
Moram Ti povedati grozno zgodbo, kako sem ondan neki deklici zastavil
uganko. Bilo je pri kosilu, ob poobedku. 5e nikoli prej je nisem srečal , toda ker
je sedela poleg mene, sem ji nepremišljeno predlagal , naj se loti uganke (upam
trditi , da Ti je znana) o lisici, goski in vreči zrnja . Vzel sem nekaj keksov,
da bi ponazoril lisico in ostale reči . Njena mati je sedela na drugi strani in je
rekla: "Le glej, da se boš potrudila, ljubica , in jo prav rešila!" Posledice so
bile grozne! Zavreščala je : " Ne znam je! Ne znam je! Oh, mama! Mama!"
Vrgla se je v materino naročje in se spustila v krčevito ihtenje, ki je trajalo
nekaj minut! To mi je bilo v poduk, kar se tiče preizkušanja otrok zugankami.
Prav zares upam, da kvadratno okno nate ne bo učinkovalo tako grozno!
Sem Tvoj vdani prijatelj
• čevelj - angleška in ameriška dolžinska mera (30,48 cm)
62
Christ Church ,
Oxford,
22. januarja 1878
Draga moja Jessie!
Povej Sally, da je vse to zelo lepo, ko pravi, da zna razrešiti Dva tatova in
pet jabolk; toda ali zna uganko o lisici in goski in vreči zrnja? O tistih, ki jih
je možakar peljal s trga in jih je moral spraviti preko reke - in je bil čoln tako
majcen, da je lahko v njem prepeljal le po eno ; in nikakor ni mogel pustiti
skupaj lisice in gosi , ker bi sicer lisica požrla gos; in če bi pustil skupaj gos
in zrnje, bi gos pozobala zrnje. Tako je lahko brez nevarnosti pustil skupaj
samo lisico in zrnje , saj nikoli ne vidiš, da bi lisica jedla zrnje, in skor rj nikoli
ne vidiš, da bi zrnje jedlo lisico. Povprašaj jo, če zna rešiti to uganko .. .
Tvoj vdani prijatelj
Miha Mohor
NAJVEČJE PRAŠTEVILO
24.marca 1992 je londonska revija Nature prinesla vest o novem najvecjern
praštevilu (glej prispevek Praštevila nekoč in danes v 6. številki Preseka 17
(1990)) . V raziskovalni ustanovi v Harwellu so se z računalnikom Cray 2 s
štirimi centralnimi procesorji po devetnajstih urah računanja prepričali, da je
2756839 - 1
praštevilo. To pomeni, da je število deljivo samo z 1 in s samim seboj.
5tevila z obliko 2q -1 imenujemo Mersennova števila po Marinu Mersen-
nu, Mersenne je trdil, da so taka števila praštevila le, če je q praštevilo.
Navedel je, da so števila 2q - 1 praštevila za q = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67,
127,257 . Toda pozneje so spoznali , da 267-1 in 2257-1 nista praštevili , da
pa praštevila 261 - 1, 289 - 1 in 2107 -1 v Mersennovem seznamu manjkajo.
Novo število ima v desetiškem zapisu 227 832 števk in ga najbrž nikoli
ne bodo izpisaIi. Za to bi potrebovali okoli osemdeset gosto tiskanih strani
Preseka .
Milena Strnad
I 63
KROKODIL ALI TRANZITIVNOST V PRAKSI
Pozoren obiskoval ec živalskega vrta bi nedvomno lahko ugot ovil:
"Krokod il je bolj dolg kot širok ."
Z nekaj ma t ematične žilice pa lahko to izj avo podkrepi tudi z dokazom .
Zarad i zahtevnosti trd itve strnimo dokaz v dve lemi:
Lema 1. Krokodil j e bolj dolg kot zelen .
Dokaz. l.e krokodila pogledamo od zgoraj, vidimo , da je dolg in zelen.
Nato krokodila prevrnemo na hrbet in vidimo, da je dolg - zelen pa ne. Torej
je krokodil bolj dolg kot zelen, saj je dolg na obeh st raneh , zelen pa samo
zgoraj.
Lema 2 . Krokodil je bolj zelen kot širok.
Dokaz. Dokaz te leme je enostavnejši od prejšnjega, saj nam krokodila
ni treba obračati . Sklepamo: krokodil je zelen po dolžini in po širini, širok pa
je samo po širini. Torej j e krokod il bolj zelen kot širok.
Kako s pomočjo lem 1 in 2 dokažemo t rditev , pa piše že v naslovu te le
iskrice.
Matjaž teljko
Ob 190. obletnici smrti velikega slovenskega matematika
JURIJA VEGE
vas vabimo na kulturno prireditev, ki bo v sob oto, 26. 9. 1992 ob 11. uri v
njegovi rojstni vasi ZAGORICI nad Dolskim. Slavnostni govornik bo prof. dr.
Tom až Pisanski.
Društvo matematikov, fizikov in ast ronomov Slovenije
Sku p ščina Občine Ljubljana Moste-Polje
KAKO UGOTOVIMO POVEČAVO DALJNOGLEDA
Moj sosed je lovec. Ima lovski daljnogled, na katerem piše 15 x 50. To
pomeni, da ima ta daljnogled 15-kratno povečavo, premer vstopne zenice
(objektiva) pa 50 mm. Pred kratkim sem prijatelja lovca spet srečal. Pravi
mi: "Veš, nisem povsem prepričan, da je povečava mojega daljnogleda res
taka , kot piše" . "Pa jo izmeri" , mu predlagam, a v isti sapi vem, da tega ne
zna , čeprav zna povedati marsikatero lovsko. Takoj me je poprosil za pomoč.
Takole gre:
Povečava daljnogleda je podana s kvocientom goriščne razdalje objektiva
rob in goriščne razdalje okularja rok , Ta kvocient pa je enak kvocientu
premera vstopne zenice (objektiva ) O in premera izstopne zenice d, torej
rob/rok = O/d. Ker goriščnih razdalj ponavadi ne poznamo, povečavo raje
določimo s kvocientom premerov obeh zenic . V kvocientu 0/d namreč O že
pcznarno ali pa ga izmerimo. O je kar premer objektiva. Ugotoviti je treba
Slika 1. Lovski (prizmatični] daljnogled (zgoraj) in operno kukalo (spodaj) ter potek
svetlobnih žarkov v njih; ob - objektiv, ok - okular.
samo še d. Na trdno stojalo pritrjen daljnogled usmerimo proti dnevnemu
nebu . Za okularjem pomikamo sem in tja bel list papirja pravokotno na
optično os daljnogleda toliko časa, dokler na papirju ne dobimo jasno vidnega
ostrega svetlega krožca. To je izstopna zenica. Izmerimo njen premer d in
nato izračunamo povečavo O/d.
S sosedom sva se tudi lotila ustreznih meritev. Izmerila sva: O = 50mm
in d = 3, 5mm. Rezultat računa 50mm/3,5mm je 14,3-kratna povečava, kar
je zelo blizu na daljnogiedu označene povečave.
Sosed je bil presenečen nad tem, kako preprosto je mogoče preveriti
povečavo daljnogleda. Poskusi tudi ti na opisani način ugotoviti povečavo
svojega daljnogleda.
Marijan Prosen
PRESEK
list za mlade matematike. fizike. astroname in računalnikarje
20. letnik. šolsko leto 1992/93. številka 1. strani 1 - 64
UREDNiŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled) , Dušica Boben
(oblikovanje teksta), Mirko Dobovišek (glavni uredn ik) , Vilko Domajnko, Darjo Felda
(tekmovanja), Bojan Golli, Marjan Hribar, Martin Juvan (računalništvo), Sandi Klavžar,
Edvard Kramar, Boris Lavrič, Andrej Likar (f izika), Matija Lokar, Franci Oblak, Peter
Petek, Pavla Ranzinger (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za fotografijo), Miha
Štalec (risbe), Ciril Velkovrh (nove knjige, novice), Marija Vencelj (matematika, odgovorna
urednica).
Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov: Društvo matematikov, fizikov in astronomov
Slovenije - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk , Presek, Jadranska c. 19, 61111 Ljublja-
na, p.p, 64, tel. (061) 265-061/53, št . žiro računa 50101-678-47233. Naročnina za šolsko
leto 1992/93, vplačana do 1.11.1992, je za posamezne naročnike 625 SLT, za skupinska
naročila šol 500 SLT, posamezna številka 125 SLT (- SLT), za tujino 12000 LIT.
List sofinancirajo MZT, MŠŠ in MK
Ofset tisk DELO - Tiskarna, Ljubljana
Tekst je oblikovan z računalnikom SLlM 286, ALTECH, Ljubljana
© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1115