     
P 49 (2021/2022) 56
Pritisnjena krožnica in
ukrivljenost krivulje
P L̌
Ukrivljenost krivulje v dani točki lahko merimo
s pomočjo krožnice, ki se v tej točki dotika krivulje
in ki se ji v dotikališču kar najbolje prilega. Izraču-
nali bomo ukrivljenost parabole v temenu in ukri-
vljenost elipse v temenih. Povedali bomo še nekaj
o ukrivljenosti bolj splošnih krivulj in o uporabi
tega pojma v praksi.
Parabola
Naj bo a > 0. V pravokotnem koordinatnem sis-
temu narišimo premico v z enačbo y = −a in točko
F(0, a) kot na sliki 1.
Zanima nas množica točk T(x,y), ki so enako od-
daljene od v in F . Tej množici točk rečemo parabola.
Ena točka na tej paraboli je izhodišče O. Razdalja
med T in v je y + a. Razdalja med T in F pa je
SLIKA 1.
Parabola y = x2/6
kvadratni koren izraza x2 + (y − a)2. Torej je
(y + a)2 = x2 + (y − a)2.
Če poenostavimo, dobimo 4ay = x2 ali
y = x
2
4a
.
Naša krivulja je torej graf enostavne kvadratne funk-
cije f(x) = x2/4a in je simetrična glede na ordina-
tno os, ki ji zato rečemo os parabole.
Premico v imenujemo vodnica parabole. Točka
(0,0), ki je presečišče parabole in njene osi, je teme
parabole. Točka F pa je gorišče parabole. Če je naša
parabola zrcalo, se namreč žarki, ki od zgoraj vpa-
dajo na parabolo in so vzporedni njeni osi, odbijejo
v gorišče F . Tega tu ne bomo dokazovali. Je pa to
lastnost, zaradi katere uporabljamo parabolične an-
tene, parabolična zrcala v teleskopih in podobno.
Pritisnjena krožnica v temenu parabole
Narišimo krožnico K s polmerom r in s središčem
S(0, r ) na ordinatni osi kot na sliki 2. Ta krožnica se
dotika abscisne osi in naše parabole v izhodišču.
Določimo presečišča naše parabole in krožnice K.
Enačba krožnice je x2+(y−r)2 = r 2 ali x2+y2−
2ry = 0.
V presečišču je x2 = 4ay . Tako je tam 4ay+y2−
2ry = 0 ali
y(y + 4a− 2r) = 0.
Eno presečišče je seveda pri y = 0, x = 0. Druga
presečišča morajo zadoščati pogoju
y = 2r − 4a = x
2
4a
.
Tako je x2 = 8a(r − 2a). Za r > 2a dobimo dve
presečišči: A,C . Na sliki 2 imamo to narejeno za
     
P 49 (2021/2022) 5 7
SLIKA 2.
Presečišča pri r = 4,5 > 2a
parabolo 6y = x2, torej pri a = 1,5. Vidimo, da je
v tem primeru v temenu parabola bolj »ukrivljena«
kot pa krožnica K. Na Geogebrini strani [1] poženite
animacijo, ki spreminja r . Abscisi točk A,C sta
x1,2 = ±
√
8a
√
r − 2a.
Za r < 2a pa ni dodatnih presečišč; krožnica leži
znotraj parabole, se je dotika v temenu, a je tam bolj
ukrivljena kot parabola. To vidimo na sliki 3.
SLIKA 3.
Presečišča pri r = 2 < 2a
Če začnemo z velikim r in ga počasi zmanjšujemo
proti 2a, se presečiščiA,C zbližujeta in se pri r = 2a
združita v izhodišču – temenu parabole. Na anima-
ciji [1] lahko vidimo, da se v trenutku, ko se A,C
združita, torej pri r = 2a, dobljena krožnica najbo-
lje prilega paraboli v temenu. Tik pred tem se obe
krivulji ujemata v treh zelo bližnjih točkah. Zato tej
krožnici rečemo pritisnjena krožnica k paraboli v
njenem temenu. Imamo jo na sliki 4.
Če ima krožnica polmer r , število 1/r imenujemo
ukrivljenost te krožnice. Smiselno je reči, da je ukri-
vljenost parabole v temenu enaka ukrivljenosti priti-
snjene krožnice v tej točki, torej enaka 1/r , kjer je r
polmer pritisnjene krožnice. V našem primeru je r
celo enak razdalji med goriščem in vodnico parabole.
Elipsa
Vzemimo zdaj elipso s polosema a in b in z enačbo
x2
a2
+ y
2
b2
= 1,
kjer je a > b.
Spet bi radi našli krožnico, ki se najbolje prilega
elipsi v temenu A(a,0). Ta krožnica bo vsebovala
A. Njeno središče bo zaradi simetrije v točki S(c,0),
kjer je 0 < c < a kot na sliki 5. Če je r polmer
SLIKA 4.
Pritisnjena krožnica k paraboli
     
P 49 (2021/2022) 58
krožnice, je c = a− r . Enačba krožnice je torej
(x − a+ r)2 +y2 = r 2.
Poiščimo presečišča obeh krivulj. Iz enačbe elipse je
y2 = b2−b2x2/a2 in tako za absciso presečišča velja
x2 − 2x(a− r)+ (a− r)2 + b2 − b
2x2
a2
− r 2 = 0.
Če malo predelamo, imamo
p(x) =
(
1− b
2
a2
)
x2+2(r−a)x+a2−2ar+b2 = 0.
Vemo, da je x = a ena od rešitev enačbe, torej je
polinom p(x) deljiv z (x − a). Zdelimo (z dolgim
deljenjem ali s Hornerjevim algoritmom), pa dobimo
količnik
q(x) =
(
1− b
2
a2
)
x + 2r − a− b
2
a
.
V (dodatnih) presečiščih je ta količnik 0. Na spletni
strani [2] poženite animacijo, ki spreminja polmer r .
Opazujte, kaj se dogaja s presečišči. Animacija nas
privede na misel, da dobimo pritisnjeno krožnico ta-
krat, ko se dodatni presečišči ujameta s temenom,
se pravi pri x = a. (Malo pred tem se obe krivulji
ujemata v treh zelo bližnjih točkah.) Ob ujemanju je
q(a) = 0. Takrat je
r = b
2
a
.
To imamo na sliki 5.
Še malo bolj lahko to utemeljimo, če ničlo poli-
noma q zapišemo kot
x = a+
(
b2
a
− r
)
2a2
a2 − b2 .
Če je r < b2/a, je x > a, kar za nas nima pomena.
Če je r > b2/a, pa je x < a in se krožnica očitno
slabo prilega elipsi. V temenih elipse na osi y ima
pritisnjena krožnica polmer a2/b.
Avtor tega članka je še poslušal predmet Opisna
geometrija. Za izpit je bilo potrebno najprej oddati
več slik, narisanih s tušem. Na eni je bilo med dru-
gim potrebno narisati pritisnjene krožnice v vseh te-
menih elipse z danima polosema. To je dalo slutiti
SLIKA 5.
Elipsa s polosema a = 5 in b = 3. Narisani so loki pritisnjenih
krožnic v vseh temenih.
podobo elipse. Nato je bilo s pomočjo orodja, ime-
novanega krivuljnik, potrebno nekako povezati dele
pritisnjenih krožnic v dokončno podobo elipse (slika
5). Kljub raznim krivuljam, vrezanim v orodje, kljub
vrtenju krivuljnika v vse smeri – avtorju ni in ni šlo.
Ni bilo mogoče v eni potezi s tem orodjem povezati
oba krožna loka s črto in kolikor toliko prepričljivo
sestaviti četrtino elipse. Dodaten problem je bilo dej-
stvo, da je napake, narejene s tušem, skoraj nemo-
goče popravljati. Da ne govorimo o packah! Skoraj
vsi smo uporabljali preprosta jeklena peresa. (Mimo-
grede, podobna zoprnija je bila naloga: Nariši ravno
črto dolžine 15 cm iz samih pikic. Na centimeter naj
bi bilo kakih dvajset do trideset pikic! Pregledovalec
je bil znan po silno ostrem očesu.)
Naša obravnava pritisnjene krožnice je bila zaba-
ven primer uporabe preproste srednješolske mate-
matike. Sami lahko na ta način poskusite določiti
polmer pritisnjene krožnice v temenu hiperbole. Za
bolj zapletene krivulje pa se stvari lotimo drugače.
Posplošitev
Krivuljo lahko podamo kot pot gibajoče se točke.
V ravnini, recimo, za vsak čas t podamo koordinati
x(t) in y(t) oziroma krajevni vektor
~r(t) = (x(t),y(t)).
Primer je enakomerno kroženje točke A v razdalji
R okrog izhodišča. Na sliki 6 imamo krožnico s pol-
merom R in s središčem v izhodišču. Zveznica točke
     
P 49 (2021/2022) 5 9
SLIKA 6.
Kroženje s kotno hitrostjo ω.
T z izhodiščem oklepa kot α s pozitivnim delom ab-
scisne osi.
Naj bo α = ωt. Tu je ω (fiksna) kotna hitrost.
Koordinati točke T(x,y) sta (R cosα,R sinα). Tako
je
~r(t) = (R cos(ωt),R sin(ωt)).
Ker točka T v času t preteče lok dolžine Rα = Rωt,
je velikost njene hitrosti enaka v = Rω.
V naslednjem kratkem odstavku bomo izpeljali še
pospešek točke T pri takem kroženju. (Če še ne po-
znate odvoda, lahko ti dve vrstici preskočite.)
Če formulo za ~r(t) dvakrat odvajamo, dobimo
vektor pospeška točke
~a(t) =
(
d2
dt2
x(t),
d2
dt2
y(t)
)
= (−Rω2 cos(ωt),−Rω2 sin(ωt))
ali
~a(t) = −ω2~r(t).
Pospešek kaže od točke T proti središču krožnice.
To je centripetalni pospešek.
Njegova velikost je
a = Rω2 = v
2
R
.
Če je velikost hitrosti enaka 1, v = 1, je pospešek
enak 1/R, kjer je R polmer krožnice.
Imejmo zdaj kako bolj splošno krivuljo. Če v točki
A take krivulje obstaja pritisnjena krožnica, se v bli-
žini te točke krivulja zelo dobro prilega tej krožnici.
Če se po krivulji vozimo s hitrostjo 1, bo v bli-
žini točke A praktično enako, kot bi se vozili po pri-
tisnjeni krožnici s hitrostjo 1, torej bo pospešek v
točki A enak 1/R, kjer je R polmer pritisnjene kro-
žnice. Pravimo , da je 1/R ukrivljenost krivulje v
točki A, R pa krivinski polmer v tej točki.
To nam za »lepe« krivulje zagotavlja obstoj pri-
tisnjene krožnice in omogoča določiti polmer priti-
snjene krožnice. Obstaja sorazmerno enostavna for-
mula za ukrivljenost, v kateri nastopajo prvi in drugi
odvodi funkcij x(t),y(t), vendar izpeljava presega
nivo Preseka.
Ker imata pritisnjena krožnica in krivulja v točki
A skupno tangento, je za ravninske krivulje lahko
najti središče S pritisnjene krožnice: zveznica AS je
pravokotna na tangento.
Krivinski polmer je zelo pomemben pri projektira-
nju cest. Predpisi določajo, kakšna sme biti in kako
se lahko spreminja ukrivljenost ceste določene ka-
tegorije. Prenaglo povečanje ukrivljenosti namreč
pomeni – ker tisti, ki spregledajo omejitev hitrosti,
težko dovolj hitro zavrejo – veliko povečanje centri-
fugalnega pospeška (po formuli a = v2R ). Z avtom,
kolesom lahko zletimo s ceste ali pa se znajdemo
na napačni strani. Pred desetletji je bilo nekaj takih
»črnih točk« celo na najpomembnejših cestah zaradi
težkega terena in pomanjkanja finančnih sredstev za
gradnjo predorov. Tako je bilo, recimo, na štajerski
strani trojanskega klanca.
V angleščini je termin za pritisnjeno krožnico
osculating circle. Latinski izraz osculum pomeni po-
ljub. To je torej krožnica, ki poljublja krivuljo v dani
točki.
Literatura
[1] P. Legiša, Krožnica se dotika parabole v temenu,
GeoGebra, dostopno na www.geogebra.org/m/
tackgfvg, ogled 21. marca 2022.
[2] P. Legiša, Krožnica se dotika elipse, GeoGebra,
dostopno na www.geogebra.org/m/m6bn74sg,
ogled 21. marca 2022.
×××