i
i
“1005-Boben-vrag” — 2010/6/17 — 10:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 17 (1989/1990)
Številka 6
Strani 321–325
Dušica Boben:
ČIGAV ZADNJI KAJ? JE VPRAŠAL VRAG
Ključne besede: razvedrilo, naloge.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/1005-Boben.pdf
c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
"tIGAV ZADNJI KAJ ?" JE VPRAŠAL VRAG
"Dobro!" reče Simon in globoko vdihne. "Tole
sprašujem: Ali Fermatov zadnji izrek velja?"
Vrag požre slino . Prvič je njegova samozavest
splahnela. "čigav zadnji kaj?" vpraša s prestrašenim
glasom.
Simon. junak kratke zgodbe Arthu rja Porgersa
Vrag in Simon Flagg (1954), je uspel zvabiti vraga v
boj z modrostjo . Simon je izbral vprašanje in vrag je
imel 24 ur časa za pravilen odgovor, s katerim bi si
pridobil človekovo duš o. Če pri tem ne bi uspel. bi
moral Simonu zagotoviti dolgo življenje. zdravje . srečo
in denar.
Vprašanje. ki ga je Simon postavil vragu - dokaz
zadnjega Fermatovega izreka - je ena največjih draži v
matematiki.
Grški matematik DIOFANT Aleksandrijski (250
let pred našim štetjem) je bil med prvimi. ki so se
ukvarjali z vprašanji. kdaj je kaka enačba rešljiva s
celimi štev ili. O teh problemih je napisal knjigo. ki jo
je rad prebiral FERMAT. ter pri tem odkril vrsto novih
izrekov. Pri nalogi. kako razstaviti kvadrat v vsoto dveh
kvadratov . je Fermat na robu pripisal opazko:
"Ni pa mogoče razstaviti kuba v vsoto dveh kubov
ali bikvadrata v v soto dveh bikvadratov. Sploh ni
mogoče razstaviti nobene potence . večje od kvadrata. v
vsot o dveh potenc iste stopnje . Za to sem našel zares
č u d ov i t dokaz . Zaradi pomanjkanja prostora pa ga ne
morem tu zapisati."
PIERRE F ERMAT (1601 - 1665) Je pos tavi l trdi-
tev . da ena Cba
xn+ v" = zn
pri eksponentu n»z ne premore nobene reSItve s celimi
stev lll, razen seveda trivialnlh resi tev
x = 0, y = z
y = 0, x = z
x = - y, z = O; n Ilh
Do kazat i ali ovreči t o t rd itev . je slavni FERMA-
TOV PROBLE M .
322
"2'
~ A
o
~ ~
Fermatovo op azko v knji gi so našli šele 30 let po '"? <J
~'rJnjegovi smrti . Ferm at pa svojega čudovitega dokaza . - <~ J
t udi nikjer dru gj e ni obj avil . niti ga ni om enil v noben em «~ ~
izm ed svoj ih pisem. Našli pa so zvezek. v kat erem r::1-....J - \3
j e dokazal t rditev za n = 4. Od takrat so se s :s-~ '{i
tem pro blemom ukvarja li mnogi . še danes p~~ ;':J'CI
n aj večj e m at emati ke. r: 7":A: l
T rd itev pravzaprav Izhaja iz Plt aooroveoa izreka o
pravokot nih t rikot nikih. Plt aoor a, Se pred nj im pa so
t o vedeli Ze na Kitajskem ln v Babilonu. j e ucotovu. da
je v vsakem pravokot nem triko t niku kvadrat najda lj še
st ranice enak vsoti kvadrat ov ostali h dveh stranic. Na
pri mer . Ce st a kraj Si st ranici do lql 3 ln 4 enote . mora
biti najd alj ša stran ica doloa 5 enot. saj je S2 = 4 2 + 3 2 .
Pltaooro v zaklj u ček o odnosu med stranicami v
pravoko t nem trikot niku 1;3 hko prenesem o na št ev i la : ob-
sta ja trojica celih StevII (npr. S. 4. 3 ) . pri kat erih je
kvadrat najvecjaca š t evlla enak vsoti kvadrato v oruct n
dveh .
o pitagorejskih t roj icah j e pisal t udi D iofant. Fer-
mat je opazil . da omen jena lastnost ne velja za kube ali
katere druge višje potence . T orej ne obst aja ta ka tro-
j tca cel ih Stev ii. kjer je kub najve Cjeoa Stevi la Iz trojice
enak vsoti kub ov druc lh dveh Stevii. To je sam o Ideja.
trd it ev. kat ere dokaza Fermat ni mo oel st isnit i na rob
knjl oe.
Celo stolet je j e minilo. preden j e veliki švica rski
matema tik LEON HA RD EULER (1707 - 1783) . ki j e
veči no svoj ega življ enja deloval v t edanj em glavncm
mes tu carske Rusij e Pet rogradu [ dan es l.eningra du] .
uspel dokazat i trditev vsaj Zil tretjo in če t rto pot cneo .
Za pet e potence j e to prvem u uspelo L. DIRI -
CHLET -u (1805 - 1859). Niti za t retj e niti Zil pet e
potence dokaz ni t ako preprost kakor za če t r te potcnee.
Dirichletov dokaz za pete je bi l še posebno zapleten.
Poe nost avil ga je profesor JOSIP PLEMELJ (1873 -
1967) let a 1912.
Korak naprej v dokazovanju Fermatove trditve je
usp el nemškemu matematiku ERNESTU KUMMERJU
(1810 - 1893) .
L eta 1847 j e do kaz al Fermat ovo trd itev za zv rst
pra šte vll. kI Ilh imen uj emo reoula rna pras t evll a . M ed
pr ašt ev ll l do 100 edino 37 . 59 ln 67 niso rccu tama
ora stevua, ve nd ar Je K u m me r doka zal . da tu di za ta
orasts vu a an acba x P+ y P = z P ni rešlji va s cel i m i štev il i.
Kummerjev dokaz je. če t u d i se sliši neverjetno.
rešil življenje PAULU WOLFSKEHL -u. nemškemu ma-
ternatik u na prehodu stol etja . O tem piše Philip Davis
v knjigi "3.1415 and All Th at " :
Wolfskehl je bil razočara n nad svojim neusp ehom
pri dokazovanju Fermatove trditve in nad ljubljeno o-
sebo . Določil je n a čin in uro. ko se bo poslo vil od
življenja. Ker je imel še nekaj ča sa . je odšel v svojo
knjižnico ter razmišljal. kaj naj počn e. S police je
vzel matemati čn e zvezke in brez volje list al po njih.
Slučajno je od prl zvezek. v katere m je bil zapisa n
Kummcrjev dokaz. Bral ga je in zazdelo se mu je. da je
odkril napako . Poglobil se je v delo in ni odnehal. doklcr
ni preveril dokaza . Priznati je sicer moral Kummerjcvo
točnost. a ob tem je minila ura določena za smrt . pa
tudi volja do življenja in zanimanj e za mat ematiko sta
se vrnila.
Leta 1908 je Wolfskehl umrl naravn e smrti in v
oporoki zapustil 100000 mark ti st emu . ki bi do leta
2007 dokazal Fermatovo trditev . Vrednost njegove
nagra de je z leti pobrala inflacija . za nimanje za dokaz
pa je še vedno narašč alo .
Fermatova trditev ni privabljala le profesionalnih
mat ematikov. Tudi mnogi ama te rji so se pos kusili v
dokazovanju in napačni dokazi niso bili rcdki. Zarad i
velikega šte vila pisem je nemšk i mate mat ik Edmun d
323
~
SLOVE}.,) ~ILJ
~ATE M AT{k.
/'(\r{.k~
~'\rV)~ AlIA.
fZ/\TV:J1.t.-..
tL~C'J'
324
LANOAU odgovarjal nanje z že vnaprej pripravljenim dopisom :
Dragi gospod/gospa .
prejeli smo Vaš dokaz Fermatovega zadnjega izreka. Prva napaka je na
stra ni oo ... 0 .. vrstica oo .......
Do leta 1960 je bila Fermatova trditev dokazana za vse stopnje do
125000. Pri dokazovanju so si pomagali tudi z računalniki .
Leta 1983 je GERD FALTINGS. sedaj profesor na Princetonu. dokazal.
da je za vsako stopnjo lahko samo končno mnogo izjem. Torej: če bi pokazali.
da je končno mnogo izjem enako nič. bi bila trditev dokazana .
Februarja 1988 je med matematiki završalo. 38-letna maternatičarka
YOleHI MIYAOKA iz tokijske Metropolitanske univerze. je v Bonnu pred-
stavila svoj dokaz Fermatove trditve. Zbrani matematiki so bili prevzeti in
kmalu se je novica razširila po celem svetu. O tem sta pisala tudi časopisa
Economist in New York Times . Toda dva tedna kasneje. ko so eksperti
preverili na petih listih napisa n dokaz. je navdušenje splahnelo. Odkrili so
napako.
oo o/~~~4~~~ft" , :. '
(~t~~,:n:"" :':f('~~ ....f •'o.lf.·'r "'" ~.~ .,r... .''''"- I C''l oS %~.~..[,8'.
.t;/f~~'fi;':)1'i}'~~'\: ;'". {~f1~\4.':::'; :&:1'" .
' tIi..'k ~4 I " "
' ·Y:; ·'·, = ·' ",: ~;Y~If;~
;..; ~iJ ;3-' " ::'7 ~
'~~ ::,' ,>_0, ,;;
, • 0 , ~'';f-:;;>,~.~. ;-.
~, ' ".1I~i3~k'1;;;" :~"'" o'
":. ;j" ; ; ~'t: '
\. ~
Le on hard Euler ln Yoleh l M lya oka
Ka] je tor4 s Famatovim adovitim dokazom? 
Danes prevladuje mnenje, da je Ferrnat ob branju knjige Ie rnislll, da ima 
d o h .  Kasneje o tem ni nikofi vet2 ptsal. b r  verjetno pomeni, da je odMl 
svojo rapako. Polerg; tega rnaternatiw vwjamejo, da Ze bi bil dobz resnirna 
genlalen, to je kt& In eleganten, bt ga vqjetao do danes 2e kdo odlrrfl. 
ZanlmanJe za Ferrnatov ptoblern pa kljub tsmu obstaja. To kaZe tudl 
grafitni napis neznanega alrtorja v nwyorEkl podzemni Seleznid, ki je ob 
Fermatov krek rapiwl: "OdkrJI swn resnftno Eadcrvit d o h ,  a ga sadaj ae 
morem napisati, ker moj vlak re prilaja." 
[il P. Hoffman, f i rmat  still ltas the last laugh, Discover, Januar (1989) 
48-50. 
[2] 1. Vfdav, ReSenf in neMeni probitmi matematlke, Knjirntca Sigma lb ,  
DMFA SR Slovenlja, Ljubljana, 1975 
I31 Matemath. Lekdkoni CZ, Cankarjeva ratazba. Ljubljana, 1980