i i “9-1-Milosevic-Nekatere” — 2010/6/2 — 11:33 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 9 (1981/1982) Številka 1 Strani 18–20 Dragoljub M. Miloševíc, prevod Peter Petek: NEKATERE NEENAKOSTI V PRAVOKOTNEM TRI- KOTNIKU Ključne besede: matematika, geometrija, neenakosti, pravokotni tri- kotniki. Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/9-1-Milosevic-Petek-trikotnik.pdf c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. NEKATERE NEENAKOSTI V PRAVOKOTNM TRIKOTHIKU I Dobro vemo, da zs vsak t r i k o t n i k v e l j a t r l k o t n i 2 t a neenakost: s t r a n i c a t r i k o t n l k a j e v e t j a od r a z l i k e i n manj ia od vsote os- t a l i h dveh s t r a n i c t r i k o t n i k a . Oglejmo s i nekatere neenakosti, kl v a l j a j o za pravokotn i t r i k o t n f k l 1. Ce j e P p lo IC lna i n c hipotenuza pravokotnega t r l k o t n i k a , v e l j a neenakost p r 0,25a* DoRax. Ker j e kvadra t vsakega realnega I t e v t l a p o z i t i v e n a 1 1 n i t , v e l j a za k a t e t i pravokotnega trikotn,ika a i n b ( s l i k a 1) neenakost (ti - b ) 2 2 0. t.j. a2 + b2 2 2&, Pi tagorov f z r e k na r pove, da j e a2 + b2 = e2. p l o r t i n o pravokotnega t r l k o t n i k a iz- ratunama po foPmul? P =ub/2, i z zgorn ja neenakost i dobimo P s &/4, ka r smo m ~ r a l i d o k a r a t i . A b B " Sl i ka 1 2. Za kateti a in b pra voko tnega t r i kot ni ka i n njun i te ž i š č ni ci ta i n tb ve lja ne enakos t t~ + t 5 ~ fr (a + b )2 Doka z . Pog lejmo na sl i ko 2. Trikotnika ACA l in BCB l st a pr a voko- tna, za to vel ja t~ b 2 + ( a / 2 ) 2 2 t b a 2 + (b / 2 ) 2 Ena kost i seš t eje mo i n dobi mo t~ + t~ = i(a2 + b 2 ) Ke r pa smo v do kazu neea nkosti videli, da velj a a 2 + b 2 ~ ~ (a + b ) 2/ 2 , iz zgorn j e s eš t et e ena kosti že sled i trd itev iz- r e ka . B A , A~::::::="'--~"f--~_--:lIC S l i k a 2 3. V prav okotnem tri kot ni ku velja : a + b ~ 2 /2p Do k a z . Neenakosti a 2 + b 2 ~ 2ab prištejemo na obeh straneh po 2ab , da dobimo (a + b ) 2 ~ 4ab , t.j. a + b > 21<10 , od koder pa sp e t za radi P = ab /2 sled i nee nak os t , ki jo že l i mo do kazati . 19 4 . V pr a vo ko tn em trik ot ni ku ve l j a dvoj na ne e nako s t t a + t b < .l 1 < a + b 2 Dok a z . Iz s l i ke 2 preberemo dve t ri kot ni š ki neenakost i , za tr i- ko t n i ka ACA) in BCB) : ta < b + a / 2 tb < a + b / 2 Ko j u s eš t ej emo, dob i mo de s n i del zaht e van e ne ea nkost i : ta + tb < ~( a + b ) Ker sta ta in t b hip ot enu zi omenjen i h tr ikot n i kov , s ta večj i od ka tet a i n b : ta > b i n t b > a . Spet s eš tejemo ta + tb > a + b , ka r pr i nes e še levi del dv ojne neenakost i . NA LOGE 1 . Dokaž i, da z a polmer R o č rtaneg a i n r v črtanega kr oga pravo- kot ne ga t r i ko t n i ka ve lja R > r( 1 + n) ! 2. Za kateti a , b in višin o h pravoko tn ega tr ikotn ika veljata neenakost i (1 ) a + b ~ 2h/ 2 ( I I ) 1/ a + 1/ b :; ,'2/ h 3 . T e ži š č n i c e t a ' t b ' t e in ploščin a P pr av okot ne ga t riko tn i ka s o v od n.osu : , 2 2 t~ + tb + te ~ 6p Dr a gol jub M. Mi l oše v i 6 pre ved e l Pe t e r Pe te k za