      P 47 (2019/2020) 6 11 Kako daleč je obzorje? I T V tem sestavku bomo pogledali, kako daleč je v Sloveniji in njeni okolici najbolj oddaljen vrh na obzorju. Za izhodiščno točko si izberem Snežnik. Na spletni strani www.peakfinder.org kot razgle- dno točko vpišemo Veliki Snežnik in na zaslonu se pojavi skica 360 stopinjske panorame. Na severu poiščemo Triglav in ugotovimo, da je od Snežnika oddaljen natančno 100 km (morda le par sto metrov manj). Razdalja med Snežnikom in Tri- glavom tako služi kot uporabna ocena za vidljivost, ki jo lahko preverimo tudi brez planinarjenja s po- močjo jugo-vzhodno usmerjene spletne kamere na Kredarici pod Triglavom, za katero skrbijo meteoro- logi. Če nad zahodno Slovenijo ni oblakov, se v da- ljavi skoraj zagotovo vidi Snežnik, izjema so morda le soparni poletni dnevi, ko kljub jasnemu vremenu vidljivost pade pod 100 km. Na sliki 1 je tipičen zim- ski pogled na Triglav in njegove sosede s poti med Sviščaki in Snežnikom. Fotografija na sliki 1 je na- rejena 24. decembra 2019 z drobnim žepnim fotoa- paratom, ki zmore 20-kratno povečavo. Na sliki so višine označenih gora v metrih ter razdalje do njih v kilometrih. Snežnik in Triglav sta označena tudi na zemljevidu Slovenije in okolice na sliki 4. Kaj pa večje razdalje? Za 200 kilometrske raz- glede s Snežnika so primerne predvsem zime. Vzho- dno od Triglava in levo od Nanosa na sliki 2 štrlijo v nebo vršaci italijanskih Dolomitov. Poleti jih, celo ob jasnem vremenu, preko dneva vidimo bolj poredko. Pozimi pa jih pogosto opazimo že podnevi, posebej izrazite pa postanejo njihove silhuete po sončnem zahodu, ko se zimsko sonce sprehaja pod njihovim obzorjem. Fotografija na sliki 2 je narejena konec decembra 2018 s polprofesionalnim fotoaparatom. Če na spletni strani www.peakfinder.org pod- robneje pogledamo še razgled s Snežnika na jug, SLIKA 1. 100 kilometrski pogled. Triglav s poti Sviščaki-Snežnik z nadmorske višine okoli 1400 m       P 47 (2019/2020) 612 ugotovimo, da nam spletna stran obljublja pogled preko Jadranskega morja na hribe na Apeninskem polotoku, ki so oddaljeni več kot 300 km. Da pa sem obljubljeni pogled prek Jadranskega morja dočakal tudi v živo, sem v zadnjih treh zimah potreboval šest večernih vzponov na Snežnik – vse v dneh, ko so meteorologi tako nad Slovenijo kot tudi nad Jadra- nom in srednjo Italijo napovedali jasno vreme. Ver- jetno bi meteorologi lahko pojasnili, zakaj sem bil 24. decembra 2019 nagrajen s pogledom na Apenine in v čem se je ta večer razlikoval od preostalih, ko med otokom Cresom in vzhodno obalo Istre kljub ja- snemu vremenu nisem videl ničesar. Na sliki 3 sem s pomočjo peakfinder-ja označil nekaj vrhov na drugi strani Jadrana oddaljenih od 230 do 320 km ter dva vrhova v hrvaški Istri. Fotografiji sta narejeni z že- pnim fotoaparatom. Iz zemljevida na sliki 4 je razvi- dno, da skoraj 2500 metrov visoko goro Monte Vet- SLIKA 2. 200 kilometrski pogled s Snežnika na italijanske Dolomite (foto: T. Kastelic) SLIKA 3. 300 kilometrski pogled na Apenine izpod Srednjega Snežnika z višine okoli 1700 m       P 47 (2019/2020) 6 13 SLIKA 4. Razgledi s Snežnika, smeri fotografij s slik 1, 2, in 3. (zemlje- vid: www.openstreetmap.org) tore gledamo praktično čez pristaniško mesto An- cona, nad katerim se nahaja 572 m visok hrib Monte Conero, ki je označen na levem robu fotografije na sliki 3. Zdaj pa je na vrsti nekaj matematike in nato še nekaj fizike. S pomočjo skice na sliki 5 s Pitagoro- vim izrekom izračunamo geometrijsko oddaljenost obzorja za razgled s Snežnika na Jadransko morje. Na skici je ta razdalja dolžina daljice med točkama S in G. Po Pitagorovem izreku bo plavalec na 0 me- trih nadmorske višine, ki bo iz Ancone plaval v smeri Snežnika, zagledal vrh, ko se mu bo približal na raz- daljo SG = √ (R + h)2 − R2 ≈ √ 2Rh = 152 km. (1) Za Monte Conero, ki je visok 572 m, je geometrijsko obzorje (dolžina daljice CG na sliki 5) oddaljeno 85 kilometrov. Višini obeh hribov na sliki 5 sta seveda močno povečani v primerjavi s polmerom Zemlje. Če obe razdalji do obzorja seštejemo, dobimo vso- to CG+SG = 237 kilometrov, kar je le kilometer več od izmerjene razdalje med obema vrhoma, zapisane na sliki 3. To pomeni, da bi bil po Pitagorovem izreku z vrha Snežnika hrib Monte Conero neviden, saj da- ljici CG in SG ležita praktično na isti tangenti na ze- meljsko krožnico. Nad obzorje bi morala štrleti kve- čjemu drobna pika, ki bi jo morda videli s kakšnim teleskopom. Če pa pogledamo spodnjo fotografijo na sliki 3, je Monte Conero precej dobro viden in nad obzorje štrli kar precejšen del hriba. Da bo zadeva še bolj sumljiva, je potrebno povedati, da sta foto- grafiji na sliki 3 posneti pod vrhom Snežnika s ka- kšnih 1700 metrov nadmorske višine. Veter na vrhu je bil namreč tako močan in moji prsti tako premrli, da kljub vnetemu pritiskanju na moj mali fotoapa- rat s samega vrha nisem prinesel nobene uporabne fotografije. Je torej kaj narobe z radijem Zemlje ali morda celo s Pitagorovim izrekom? Pojasnilo tega pojava bo verjetno razočaralo tiste, ki bi želeli s fotografijama na sliki 3 dokazovati te- orijo o ploščati Zemlji. Prav nič ni narobe z radi- SLIKA 5. Daljica SG – geometrijsko obzorje s Snežnika, krožni lok SD – dejan- sko obzorje.       P 47 (2019/2020) 614 jem Zemlje in še manj s Pitagorovim izrekom. Lom svetlobe v ozračju je kriv, da je dejanska oddalje- nost obzorja nekoliko večja od geometrijske razda- lje, ki jo napove Pitagorov izrek. Pri fiziki smo zrak največkrat obravnavali kot sredstvo z lomnim količ- nikom 1, kar pa ni čisto res: lomni količnik zraka n je nekoliko večji od 1 in se zmanjšuje z nadmor- sko višino, ko se gostota zraka manjša. Za spodnjih nekaj kilometrov atmosfere lahko brez prevelike iz- gube natančnosti predpostavimo, da gostota zraka z višino h pada linearno, zato linearno pada tudi lo- mni količnik. Namesto računanja gostote iz enačb adiabatne atmosfere sem vrednosti gostote ob morju 1,225 kg/m3 in na 2 km nadmorske višine 1,007 kg/m3 prebral kar s spletne strani www.engi neeringtoolbox.com/standard-atmosphere-d_ 604.html. Od tod sledi približek n = 1+ 2,9 · 10−4(1− h(km)/11,5km). (2) Tako je lomni količnik zraka ob morju n = 1,00029 in na Snežniku 1,00025. Zato se žarek svetlobe, ki začne svojo pot nekje na pobočju hriba Monte Co- nero pod geometrijskim obzorjem opazovalca na Snežniku, lomi na optično redkejšem zraku na viš- jih nadmorskih višinah. Žarek potuje po ukrivljeni poti, ki jo približno nakazuje rumeni lok na sliki 5, ter konča svojo pot na vrhu Snežnika. Tudi žarek, ki potuje v nasprotni smeri, ubira popolnoma enako pot. Bralci, ki še ne poznajo diferencialnega računa, in tisti, ki niso razpoloženi za predolge izpeljave, lahko spodnji del besedila preskočijo in nadaljujejo branje pri enačbi (4). Za ostale pa izpeljimo približni polmer rumenega loka na sliki 5. Izhajamo iz lomnega zakona, ki ga poznamo v obliki n1 sinα1 = n2 sinα2, ko obravnavamo prehod svetlobe iz ene gostote v drugo. V ozračju, kjer se lomni količnik spreminja zvezno, pa zato velja, da je vzdolž poti žarka n sinα = konst. Namesto kota α glede na normalo na (bolj ali manj horizontalne) zračne plasti raje obravnavajmo str- mino žarka, to je kot β glede na horizontalo, ki ga kaže slika 6. Torej velja n cosβ = konst. Zanima nas, kako se spreminjata n in β, ko žarek preide iz plasti z lomnim količnikom n v plast s ko- ličnikom n+dn na sliki 6. Kdor zna izračunati dife- rencial te enačbe, hitro ugotovi, da je dn cosβ−n sinβdβ = 0 ali dn = n tgβdβ. Recimo, da gre iz neke točke žarek navzdol pod kotom β, kot kaže slika 6. Vzdolž poti s se n poveča za dn/ds, zato iz zgornjega diferenciala sledi dn ds = n tgβdβ ds . (3) Iz slike 6 je razvidno tudi, da je dβ/ds v enačbi (3) povezan z radijem rumene krožnice, po kateri po- tuje žarek na sliki 5. Velja ds = Rrumenidβ oziroma dβ ds = 1 Rrumeni . Če upoštevamo še zvezo med diferencialom poti ds in diferencialom višine dh, ki jo tudi razberemo s slike 6: dh = sinβds, lahko ta radij iz enačbe (3) tudi izračunamo: Rrumeni = n · tgβ/ dn ds = n cosβ / dn dh . Za žarke v tem prispevku velja, da je β ≈ 0. Lomni količnik se z višino spreminja po enačbi (2), iz ka- tere sledi dn/dh = 2,9 · 10−4/11,5 km. Iz teh podat- kov izračunamo, da žarki v spodnjih kilometrih at- mosfere potujejo približno po krožnicah z radijem okoli sedemkrat večjim od radija Zemlje Rrumeni = 44 000 km. Zgornja izpeljava je podobna opisu loma zvočnih valov v ozračju v Preseku 29 (2001/2002), 40–46, podrobno izpeljavo pa je mogoče najti tudi na spletni strani www.mathscinotes.com pod iskal- nim pojmom »distance to horizon«. Z nekaj truda iz znanega radija Rrumeni lahko izra- čunamo še razdaljo do obzorja. Če za trikotnik, ki ga oklepajo središče Zemlje, središče rumene krožnice in vrh Snežnika na sliki 5 desno zapišemo kosinusni izrek R2rumeni = (Rrumeni − R)2 + (R + h)2− − 2(Rrumeni − R)(R + h) cos(π −φ), lahko od tu izračunamo velikost kota φ. Če pri tem upoštevamo, da je kot φ zelo majhen in zato velja       P 47 (2019/2020) 6 15 cosφ ≈ 1 − φ2/2, ter Rrumeni >> h in R >> h, pri- demo do približne enačbe (izpeljava je prepuščena bralcu) za razdaljo do obzorja. Za pogled z vrha Snežnika je razdalja do dejan- skega obzorja (točka D na skici 5) SD = √√√√ 2Rh 1− RRrumeni . (4) Vidimo, da je enačba podobna enačbi (1), popravek pod ulomkom pa je nekoliko odvisen od vremena. Faktor R/Rrumeni = 1/7 velja za t. i. standardno at- mosfero, v kateri temperatura pada za 11 ◦C na vsak kilometer nadmorske višine. Približno tolikšen po- pravek upošteva tudi spletna stran www.peakfin- der.org. S tem popravkom se razdalja s Snežnika do ob- zorja poveča iz SG = 152 km na SD = 164 km, z Monte Conero pa na 94 km. S pomočjo popravljene enačbe lahko ocenim tudi, da je prek Jadranskega morja videti približno zgornjih 200 metrov vrha hri- ba Monte Conero ter zgornjih 700 do 800 metrov gore Monte Vettore. Te številke se kar dobro ujemajo z ročnim merjenjem razdalj na fotografijah slike 3, kjer sem iz znanih horizontalnih razdalj med vrhovi ocenil vidno višino obeh vrhov. Fotografiji sem torej posnel v vremenskih pogojih, ki približno ustrezajo standardni atmosferi. Za konec še kazalec na menda najdaljšo fotogra- firano razdaljo na planetu. Z vrha Pic de Finistrelles (2826 m) v Pirinejih med Francijo in Španijo se tik pred sončnim vzhodom na vzhodu lahko vidi okoli 400 kilometrov oddaljene alpske vrhove nad Greno- blom blizu francosko-italijanske meje. Fotografijo sem zadnji dan leta 2019 našel na spletnem naslovu 9gag.com/gag/a7Mxmez. Naj omenim, da pri tako ekstremnih oddaljenostih »peakfinder« odpove. Po pogovoru z avtorjem programa sem dobil informa- cijo, da je njegov trenutni domet nastavljen na pribli- žno 320 km, povečevanje dometa po njegovih bese- dah zelo hitro (eksponentno) povečuje računsko zah- tevnost programa. Na spletu sem nato našel še stran www.udeuschle.de, na kateri lahko generiramo pa- noramo z izbrane točke s poljubno nastavljenim do- metom. Ta spletna stran pravi, da je najbolj oddaljen vrh, ki ga s Snežnika lahko vidimo ob izjemni vidlji- vosti, 354 km oddaljeni in 2912 metrov visoki Corno Grande, najvišji vrh Apeninov. Njegova fotografija s Snežnika pa naj ostane izziv za prihodnje planince in fotografe. SLIKA 6. Lom svetlobe pri pre- hodu iz plasti z lomnim kolǐcnikom n v plast s kolǐcnikom n+ dn. ×××