i
i
“kolofon” — 2010/1/14 — 11:22 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, NOVEMBER 2009, letnik 56, številka 6, strani 193–232
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: Zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Mirko Dobovišek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Irena Drevenšek Olenik, Damjan
Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir
Bensa (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2009 DMFA Slovenije – 1771 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
PRIMER DIAKAVSTIKE
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 26B15
Obravnavali bomo diakavstiko, ki nastane z lomljenjem snopa vzporednih svetlobnih
žarkov na polkrožnici.
A DIACAUSTIC CURVE
A diacaustic curve obtained by fraction of parallel rays of light on a halfcircle will be
discussed.
Vzemimo lečo, ki ima obliko polkrogle, narejeno iz optičnega sredstva z
lomnim količnikom n > 1. Pravokotno na ravni del leče naj pada zadosti
širok snop enobarvne svetlobe. Zanima nas tisti del svetlobe, ki pride na
drugo stran leče. Na ravnem delu površja leče se svetloba ne lomi, na sferič-
nem delu pa se lomi po lomnem zakonu, in sicer na primerno veliki krogelni
kapici, na preostalem pasu pa pride do odboja nazaj v lečo, kar pa nas ne bo
zanimalo. Lomljeni žarki se ne zbirajo v točki, ampak ogrinjajo diakavstično
ploskev. Zanimal nas bo potek lomljenih žarkov v ravnini skozi os leče. Ti
žarki ogrinjajo ravninsko krivuljo, ki ji pravimo diakavstika. Razmeroma
preprosto je pripraviti fizikalni poskus za opazovanje take diakavstike.
V prispevku bomo poiskali to krivuljo v parametrični obliki v primerno
izbranem koordinatnem sistemu. Problem bomo obravnavali matematično.
Pri različno oblikovanih lečah dobimo različne diakavstike in eksakten račun
se posreči le redkokdaj.
Na ravninsko krivuljo K, ki jo vzamemo za idealno zrcalo, naj padajo
vzporedni žarki ali pa žarki iz izbrane točke v ravnini krivulje. Odbiti žarki,
podalǰsani v premice, sestavljajo družino premic. Če obstaja ogrinjača K′
teh premic, jo imenujemo katakavstika krivulje K glede na dane vpadajoče
žarke. Analogno je diakavstika krivulje K ogrinjača na tej krivulji lomljenih
žarkov, podalǰsanih v premice. Vedno vzamemo za vpadǐsčnico (vpadno
pravokotnico) normalo na krivuljo v točki, kamor žarek vpada in se tam
odbije oziroma lomi. Izraza katakavstika in diakavstika je prvi uporabljal
Jakob Bernoulli (1654–1705) leta 1693.
Obravnavali bomo primer, ko svetlobni žarki padajo pravokotno na pre-
mer EF polkrožnice in se na njej lomijo po lomnem zakonu. Pravokotni
koordinatni sistem xy postavimo tako, kot kaže slika 2. Desno od polkro-
žnice si mislimo prazen prostor, levo od nje pa optično sredstvo z lomnim
količnikom n > 1. Zanimala nas bo ogrinjača nosilk lomljenih žarkov TB.
Za žarek AB, ki se lomi v točki T , je to premica p. Vpadǐsčnica žarka AB
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 193
Marko Razpet
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
. . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . .
n > 1
n = 1
.......................
..........
.......
.......
.....
.....
.....
.....
.....
....
...
....
....
...
.....
....
...
..
...
....
....
....
.....
.....
....
.....
...
........
.........
..................
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...................................................
........................................................
........... .................................................
.................................................................
...................................................................
......................................................................
........... .........................................................
.......................................................................
................................................................................................................................
........... .........................................................
........... ........................................................
....................................................................
.................................................................
........... .................................................
........... ............................................
....................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
...
...
..
...
.
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
.
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
.
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
...
..
...
...
..
...
...
..
.
...
....
...
...
...
..
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
....
...
...
...
..
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
...
..
....
...
...
...
...
...
....
...
...
....
...
...
...
....
...
...
...
....
....
.....
....
.....
....
....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
..
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
..
....
....
.....
....
....
.
...
....
.....
....
.....
....
.....
.....
...
.....
....
.....
....
.....
....
.....
....
.
......
.......
.......
.......
.......
. ...
.......
........
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.. .
.......
.......
.......
.......
.......
......
......
.......
.......
.......
......
.....
.....
...
.......
.......
......
..........
...............
..............
..... .......
..............
...............
..............
...............
..............
..............
..........
..............
..............
..............
. ......
...............
.......
..........
....
..
.............................................................................................................................................................................. ........................................... ............................ .................. ....
........................................................................ ................................................................................................................ ........................................... ..........................
........
.
.....
..................
.....................................................................................................................................................................................................
........................................
.........
.
....................................
.............................................................................................................................................................................................................
............
..................................................
.................................................................................................................................................................................
....
.
.
....
...
.........................................................................
............................................................................................................................
.
......
...........
...........
...........
........
.....
.............................................................
.
....
...
....
...
....
....
...
....
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
....
....
...
....
..
..
....
...
....
..
.
...
....
....
..
.
...
....
....
.
....
....
...
.
.
....
..
....
....
....
..
....
...
..
....
....
...
....
....
...
....
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Slika 1. Nastanek diakavstike
je poltrak v s krajǐsčem v točki O skozi točko T . Vpadni kot označimo z α,
lomni kot pa z β. Lomni zakon za naš žarek, zapisan v obliki matematične
relacije, je
sinα
sinβ
=
1
n
.
Vzemimo kot t, ki ga poltrak v oklepa z osjo x, za parameter, od katerega
bo odvisna enačba premice p. Kot t bomo šteli za pozitiven, če je poltrak v
v prvem kvadrantu in s tem α = t, negativen pa, če je v v četrtem kvadrantu
in s tem α = −t. Upoštevati je treba tudi, da do prehoda prek polkrožnice
pride le pri pogoju |t| ≤ arcsin(1/n).
Obravnavajmo najprej premico p, ki ustreza poltraku v v prvem kva-
drantu, kjer velja relacija
sinβ = n sin t . (1)
Naklonski kot premice p v koordinatnem sistemu xy je očitno π + t − β in
njen smerni koeficient je
kp = tg(π + t− β) = − tg(β − t) = −
tg β − tg t
1 + tg β tg t
.
Zaradi udobneǰsega računanja vpeljimo oznake:
s = sin t , c = cos t , ∆ =
√
1 − n2 sin2 t =
√
1 − n2s2 .
Iz relacije (1) z uporabo trigonometrijske enakosti 1 + ctg2 β = 1/ sin2 β
dobimo
ctg β =
√
1 − n2 sin2 t
n sin t
=
∆
ns
, tg β =
ns
∆
,
194 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Primer diakavstike
..........................................................................................................................................................................................................
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
....
....
..
...
..
..
..
..
..
..
..
.
..
.
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
...
..
....
....
........
O x
y
∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ....... ....... ...... ....... ..
..
..
.
..
.
..
..
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
..
..
..
.
.
..
..
..
.
..
..
..
.................................................................................... ..........................................
v
p
T
α
βA
B
E
F
t
.........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
Slika 2. Obravnava loma svetlobnega žarka v koordinatnem sistemu
za smerni koeficient kp pa
kp = −
s(nc− ∆)
ns2 + c∆
.
Z racionalizacijo števca v zgornjem izrazu in s poenostavljanjem imamo
nazadnje:
kp = −
s(n2 − 1)
c+ n∆
.
Očitno se smernemu koeficientu kp spremeni predznak, ko iz prvega kva-
dranta preidemo v četrtega, kar je v skladu z zgornjim izrazom. Zato je ta
veljaven pri vsakem kotu t, za katerega je |t| ≤ arcsin(1/n).
Vzemimo polmer polkrožnice za enoto, tako da lahko zapǐsemo koordi-
nati točke T : xT = c, yT = s. Enačba premice p je y − s = kp(x− c), ki pa
jo zaradi udobneǰsega računanja v nadaljevanju zapǐsemo tako:
F (x, y, t) = (n2 − 1)(x− c) + c+ n∆
s
(y − s) = 0 . (2)
193–199 195
Marko Razpet
.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.....
...
...
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
....
.....
.....
O x
y
.........
..........
...........
............
..............
...............
.................
....................
.....................
..........................
.................................
..................................
........................................
............................
.......................
....................
..................
................
...............
.............
...........
...........
.........
...
VD
T−
T+
∙
∙
∙∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Slika 3. Diakavstika polkrožnice glede na vzporedne žarke
Pri tem so seveda c, s,∆ funkcije parametra t. Relacija (2) je enačba eno-
parametrične družine premic in njena ogrinjača je iskana diakavstika.
Na splošno do ogrinjače enoparametrične družine krivulj F (x, y, t) = 0
pridemo tako, da na x in y razrešimo sistem enačb
F (x, y, t) = 0 ,
∂F
∂t
(x, y, t) = 0 . (3)
S tem dobimo pri določenih pogojih, ki se tičejo zveznosti in diferenciabilno-
sti nastopajočih funkcij (glej na primer [1]), ogrinjačo v parametrični obliki:
x = ϕ(t), y = ψ(t). V našem primeru bomo upoštevali relacije za odvode:
s′ = c , c′ = −s , ∆∆′ = −n2sc . (4)
Druga enačba v sistemu (3) je torej:
∂F
∂t
(x, y, t) = (n2 − 1)s+ y
(
c+ n∆
s
)′
− (c+ n∆)′ = 0 .
Ko opravimo z nakazanimi odvajanji in upoštevamo relacije (4), dobimo po
kraǰsem računu: y = n2s3. Rezultat vstavimo v enačbo (2) in najdemo še:
(n2 − 1)x = n2c3 +n∆3. S tem smo našli iskano diakavstiko v parametrični
obliki. V primeru, ko ima polkrožnica polmer a, se parametrični enačbi
diakavstike glasita:
x = ϕ(t) =
na
n2 − 1
(
n cos3 t+
(
1 − n2 sin2 t
)3/2
)
,
196 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Primer diakavstike
y = ψ(t) = n2a sin3 t .
Pri tem je parameter t omejen z relacijo |t| ≤ arcsin(1/n). Krivulja ima
ost z vodoravno tangento za t = 0 v točki V (na/(n − 1), 0). S polkrožnico
ima skupni točki T±(a
√
n2 − 1/n,±a/n), v katerih se obe krivulji dotikata,
skupni tangenti pa imata smerna koeficienta ∓
√
n2 − 1.
Ploščina S krivočrtnega trikotnika z oglǐsči T−V T+, omejenega s krožnim
lokom T−DT+ in diakavstiko, je
S = 2
arcsin(1/n)
∫
0
(ϕ(t)ψ′(t) − a2 cos t(sin t)′) dt .
S programom za simbolno računanje takoj najdemo izraz
S =
a2
16(n2 − 1)(3π + 2(3n
4 − 8n2 + 8) arcsin(1/n) − 6(n2 − 2)
√
n2 − 1) .
Za n =
√
2 dobimo preprost rezultat: S = 5a2π/16.
................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
..
..
..
..
.
..
..
..
..
..
..
...
...
...
.....
...........................................
...
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
..
..
..
....
..........................................
.....
...
..
...
..
..
..
..
..
..
..
.
..
.
..
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
..
..
..
..
..
..
..
...
...
.....
.................................
...
...
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
....
...................................
...
...
...
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
..
...
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................................................................................................................................................................................................
∙ ∙
...
.....
...
... ..... ..... .. ..... ....
.............. .... ...............
.... ............ ...
........................
∙
∙∙
A
A′
B′′
B′
B
r = 1 r = n
n > 1
n = 1
α
β
T
v
τ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Slika 4. Geometrijska konstrukcija loma stran od vpadǐsčnice
Diakavstiko polkrožnice, pa tudi vseh tistih ravninskih krivulj, za katere
znamo konstruirati normalo (vpadǐsčnico) v dani točki, si lahko predočimo
193–199 197
Marko Razpet
tudi s kakšnim računalnǐskim programom za dinamično geometrijo, na pri-
mer s Cabri-Geometry. Poskrbeti moramo za to, da lomljeni žarki puščajo
za sabo sled, ko točko preloma T vodimo po dani krivulji K.
Poglejmo, kako lahko geometrijsko konstruiramo lomljeni žarek AB v
točki T (slika 4), ko žarek prehaja iz optično gosteǰsega (nad premico τ)
v optično redkeǰse sredstvo (pod premico τ). Načrtamo vpadǐsčnico v v
točki T in pomožni koncentrični krožnici, ki imata sredǐsči v točki T , njuna
polmera pa sta v razmerju n : 1. Če vzamemo polmer manǰse krožnice za
enoto, potem je polmer večje n. Skozi točko T konstruiramo premico, ki seka
večjo krožnico v točkah A in B′. Nato poǐsčemo na manǰsi krožnici točko
B, ki je presečǐsče vzporednice skozi točko B′ k vpadǐsčnici v. Nazadnje
konstruiramo na v še točko B′′ kot pravokotno projekcijo točke B na v.
Iz opisane konstrukcije takoj dobimo enakost |AA′| = |BB′′|, kar ni nič
drugega kot lomni zakon: n sinα = sinβ.
Konstrukcija se očitno posreči le pri pogoju sinα ≤ 1/n. V nasprotnem
primeru ne pride do loma. Kot je znano iz fizike, pride tedaj do odboja.
Z opisano konstrukcijo v dinamični geometriji lahko lom vzporednih sve-
tlobnih žarkov na krožnem loku predstavimo tako, da konstruiramo krožni
lok K s sredǐsčem v točki O. S premico σ izberemo smer žarkov. Na loku K
izberemo točko T tako, da jo lahko kasneje premikamo po K. Konstruiramo
vpadǐsčnico v, to je poltrak s krajǐsčem v točki O skozi točko T .
Z daljicama, ki imata razmerje dolžin 1 : n, izberemo razmerje lomnih
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
......
.....
.....
.....
.......
........
.........
...........
.................
..................
.........................................................
.............................................
n
1
∙................................................................................................................................................................
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
∙
∙
∙
∙
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ....... ....... ....... ....... ..... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........................................ ..........................................................................................................
O
T
K
v
σ
A
B
B′
Slika 5. Geometrijska konstrukcija loma na krožnem loku
198 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Primer diakavstike
količnikov za lom svetlobnega žarka na loku K. Načrtamo koncentrični
krožnici polmerov r = 1 in r = n s sredǐsčem v točki T . Po prej opisani
metodi konstruiramo lom žarka, ki prihaja vzporedno s premico σ v točko T .
Z drsenjem točke T po loku K dobimo enoparametrično družino lomljenih
žarkov, tako kot kaže slika 1.
LITERATURA
[1] I. Vidav, Vǐsja matematika I, Matematika – fizika 6, DMFA–založnǐstvo, Ljubljana,
2008.
VESTI
STROKOVNO SREČANJE IN OBČNI ZBOR DMFA
Bled, 6. in 7. 11. 2009
Ustanovni občni zbor Društva matematikov in fizikov LR Slovenije v
nedeljo, 30. oktobra 1949, ni bil na Bledu, temveč v fizikalni predavalnici
ljubljanske univerze, Kongresni trg 11. Res pa je bilo društvo ustanovljeno
ravno zaradi sodelovanja na pripravah za prvi kongres jugoslovanskih mate-
matikov, fizikov in astronomov, ki pa je bil novembra 1949 na Bledu. Zato je
bilo prav, da smo se letos zbrali na Bledu in se tako spomnili tudi 60-letnice
DMFA Slovenije. Naš gostitelj je bil tokrat hotel Golf.
Strokovni del za učitelje je potekal v treh sekcijah: matematika v osnovni
šoli, matematika v srednji šoli in fizika. Vodilna tema pri fiziki je bila zaradi
mednarodnega leta astronomije seveda astronomija, matematiki pa smo se
posvetili uporabi učnih pripomočkov.
Vzporedno je potekalo 13. slovensko srečanje o uporabi fizike (o njem
bomo poročali posebej) in 3. slovensko srečanje matematikov raziskovalcev.
Na društvenem strežniku, kjer se prijavljajo učitelji, je bilo uradno pri-
javljenih 180 udeležencev, vseh skupaj (z raziskovalci, fiziki in matematiki,
predavatelji, častnimi člani in povabljenci) pa nas je bilo okoli 350.
Povzetke in razporede predavanj, razen za srečanja o uporabi fizike, smo
že sredi oktobra objavili na domači strani društva.
Letošnji bilten strokovnega srečanja je posvečen tudi praznovanju 60-
letnice DMFA Slovenije, ki je potekalo pod skupnim naslovom
”
0 do ∞“.
V prvem delu smo objavili obsežneǰsi zgodovinski pregled delovanja društva
od leta 1949–2009, pripravil ga je Milan Hladnik, in pregled delovanja ne-
katerih podružnic: Celja (napisal Stanislav Pirnat), Novega mesta (zapisal
Dušan Modic) in Kopra (napisala Eda Okretič - Salmič). O štiridesetih letih
računalnǐstva na slovenskih šolah je kratek zapis prispeval Izidor Hafner, o
MARS-u (MAtematično Raziskovalno Srečanje za srednješolce) pa je pisal
Boštjan Kuzman.
193–199 199
Vesti
Vemo, da marsikatera dejavnost društva sploh ni omenjena. Zato vabimo
in prosimo vse člane, da nam pomagajo pri zapolnitvi vrzeli v orisu našega
dela v preteklosti.
Vsi udeleženci so letos poleg že omenjenega biltena prejeli še društveni
koledar za leto 2010 na temo od 0 do ∞.
Ker so povzetki predavanj objavljeni tako na spletni strani kot v biltenu,
naj navedemo le predavatelje in naslove predavanj v enakem vrstnem redu,
kot so predavali:
Petek, 6. novembra 2009
Fizika:
• Mojca Čepič, Ana G. Blagotinšek, Boris Horvat, Iztok Kavkler, Matija
Lokar, Primož Lukšič, Alen Orbanić, Jerneja Pavlin, Katarina Susman
idr.: Projekt NAUK – e-gradiva iz fizike za osnovne šole
• Gorazd Planinšič, Sergej Faletič, Peter Gabrovec, Boris Horvat, Iztok
Kavkler, Matija Lokar, Primož Lukšič, Timotej Maroševič, Aleš Mohorič,
Alen Orbanić idr.: Projekt NAUK – e-gradiva iz fizike za srednje šole
• Robert Repnik: Razvoj naravoslovnih kompetenc – predstavitev projekta
in dosedanjih ter pričakovanih rezultatov
• Tomaž Kranjc: O pokrovčku astronavta Leonova
• Barbara Rovšek: Enostavne sončne ure
• Dalibor Šolar: Projektor za opazovanje sonca – uporabna naprava pri
izbirnih predmetih iz astronomije v osnovni šoli
• Sonja Jejčič: Opazovanje protuberanc v različnih valovnih dolžinah
• Mitja Rosina: Zanimivosti pri popolnem sončnem mrku
• Mojca Čepič: Ali je mogoče prikazati pojave ob Sončevem mrku tudi,
kadar ga ni?
• Janez Strnad: Fizika in astronomija
• Andreja Gomboc: Izbruhi žarkov gama – kaj vemo o najmočneǰsih ek-
splozijah v vesolju?
• Boris Kham: Moje zvezdarne – Pavel Kunaver, pionir slovenske amater-
ske astronomije
Stane Arh je imel v predavalnici postavljen verižni eksperiment, ki so si ga
lahko udeleženci pobliže ogledali med odmori, dogajanje pa je popestril tudi
video posnetek.
Matematika v osnovni šoli:
• Silva Kmetič: Kaj pomeni nekaj razumeti?
• Jerneja Bone in Nevenka Colja: Uporaba številskega traku pri pouku
matematike v luči fleksibilnega predmetnika
• Damjan Kobal: Najpomembneǰsi didaktični pripomoček
• Nada Razpet: GeoGebra, sence in matematika
200 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
• Tatjana Hodnik Čadež in Vida Manfreda Kolar: Didaktična sredstva kot
dejavnik pouka matematike na razredni stopnji
• Sonja Rajh: Igre pri pouku matematike v OŠ
• Milena Strnad: Učna sredstva pri matematiki, opora, pomoč in dileme
• Izidor Hafner, Primož Lukšič idr.: Projekt NAUK – e-gradiva iz logike
• Izidor Hafner: Poliedrske konstrukcije pri pouku prostorske geometrije
• Zlatan Magajna: Učni pripomočki za razumevanje matematike in inte-
lektualna poštenost
• Nada Razpet: Uporaba vrtljive zvezdne karte
Matematika v srednji šoli:
• Mira Jug Skledar: Priprava nalog za ustni del poklicne mature: izziv ali
nočna mora
• Mojca Suban Ambrož: Nekateri vidiki uporabe tehnologije pri pouku
matematike in pri poklicni maturi iz matematike
• Marko Razpet: Učni pripomočki pri matematiki
• Lovro Dretnik: Uporaba programov Derive in Graph na ustnem izpitu
poklicne mature iz matematike
• Boris Horvat idr.: Odprtokodna orodja so korak v pravo smer pri upra-
vljanju z e-gradivi
• Tine Golež in Gregor Bregar: Prispevek za bolj realistično matematiko
• Izidor Hafner: Računalnik in pouk matematike (Demonstrations Project)
• Damjan Kobal: Najpomembneǰsi didaktični pripomoček
• Dušan Modic: Ni težko konstruirati trikotnika
• Maja Alif: O življenju na MARS-u 2009
• Klavdija Kutnar: Kako mlade navdušiti za matematiko
Matematiki raziskovalci:
Sveže
• Iztok Banič: Inverzne limite inverznih zaporedij z navzgor polzveznimi
večličnimi veznimi preslikavami
• Jure Kalǐsnik: Nekomutativna diferencialna geometrija
• Tadeja Kraner Šumenjak: Nekateri presečni koncepti in invariante v me-
trični teoriji grafov
• Primož Lukšič: Rast v grafih
• Marko Orel: Ohranjevalci sosednosti na hermitskih matrikah s koeficienti
iz končnega obsega
• Aljoša Peperko: O neenakosti za spektralni radij pozitivnih operatorjev
na prostorih zaporedij
• Tadej Starčič: Baza Steinovih okolic vloženega strogo psevdokonveksnega
območja in sorodnih objektov
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 201
Vesti
• Gregor Šega: Modeli slučajne rasti s pragom
• Andrej Taranenko: Elementarni benzenoidni grafi in nad njimi definirani
grafi
• Aleksandra Tepeh: Posplošitve medianskih grafov in geodetsko število
• Martin Vuk: Algebraična integrabilnost konfluentnega Neumannovega
sistema
• Cui Zhang: Classifying cubis symmetric graphs of order 6p3
Uporabno
• Alen Orbanić in sod.: Razvoj prototipa novega CAD sistema za arhitek-
turo
• Sanja Fidler in sod.: Učenje in razpoznavanje vizualnih kategorij objek-
tov s hierarhičnim pristopom
• Borut Jurčič Zlobec: Izosence
• Marko Razpet: Zakon hiperboličnega sekansa
• Mitja Lakner in Marjeta Škapin - Rugelj: Kontinuitetna enačba in pro-
metni tok
• Iztok Kavkler in sod.: Razvoj algoritma za razvoze na omrežju GIS
• Boris Horvat: Dedi – Digitalna enciklopedija naravne in kulturne dedi-
ščine
• Matija Lokar in sod.: Projekt Nauk [Napredne učne kocke]
Odmevno
• Irena Swanson: Celostno zaprtje kolobarjev
• Valéry Romanovsky: Predstavitev znanstvene monografije V. G. Roma-
novsky in D. S. Shafer:
”
The Center and Cyclicity Problems: A compu-
tational Algebra Approach“ (Boston-Basel-Berlin: Birkhäuser, 2009)
Od 0 do ∞, slavnostna akademija ob 60-letnici DMFA Slovenije
Zvečer je potekala slavnostna akademija Od 0 do ∞, za katero je sce-
narij napisal in jo tudi vodil Boštjan Kuzman. Z matematično indukcijo je
dokazal Osnovni izrek društvene analize:
”
Naj bo t poljubno leto obstoja
DMFA Slovenije in D(t) množica dogodkov, ki zaznamujejo delo društva
pri izbranem t. Potem D(t) za noben t ni prazna.“ Akademija se je pri
t = 0 pričela z uvodno besedo voditelja in nadaljevala z glasbeno točko.
Zaradi odsotnosti predsednika društva, Janeza Seligerja smo nato prebrali
njegov pozdravni govor. In že je bila tu točka t = 1. Po kratkem časovnem
pregledu Boštjana Kuzmana in seveda glasbeni točki je sledil kratek oris
stareǰse zgodovine DMFA Slovenije. Po t → t + 1 in glasbeni točki pa še
noveǰsa zgodovina društva, in že smo bili pri današnjem času, to je t = 60.
Glasbi je sledilo voščilo častne članice Martine Koman. Voščila so poslali
tudi: Janez Strnad, Dušan Modic, Darko Jamnik, Jože Grasselli, Jožica Do-
lenǰsek in Ivan Vidav, objavljena so bila na panojih v preddverju dvorane
202 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
Jupiter. Nato nas je nagovorila gospa Alenka Kovšca, državna sekretarka
na Ministrstvu za šolstvo in šport. Podeljeno je bilo prvo letošnje društveno
priznanje Goranu Iskriču. Sledil je nagovor dr. Mete Dobnikar, vodje sek-
torja za visoko šolstvo na Direktoratu za visoko šolstvo (podelila je tudi
nagrado za odgovor na vprašanje: Na kaj lahko vedno računamo? Odgovor:
na prste), in še druga podelitev priznanja Tomažu Parovelu. Po glasbeni
točki in zahvalah prejemnikov priznanj je bil čas za pogled v neskončnost
(t → ∞) ali, z drugimi besedami, v načrte za prihodnost. Akademija se je
končala z glasbenimi točkami. Glasba je bila poglavje zase. Janez Dovč, ki
je igral na harmoniko, in Boštjan Gombač, ki je igral na bodhran, klarinet,
nizko pǐsčal, pojočo žago, theremin in seveda uporabljal tudi glas, sta pri-
čarala nepozabno doživetje, kar so potrdili tudi buren aplavz in zahteve po
dodatkih.
Naj omenimo, da so se našemu vabilu odzvali tudi mag. Vinko Logaj,
generalni direktor Direktorata za srednje in vǐsje šolstvo, gospod Boris Čer-
nilec, generalni direktor Direktorata za vrtce in osnovno šolstvo, dekan Fa-
kultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani dr. Andrej Likar ter
prodekana omenjene fakultete dr. Janez Mrčun in dr. Tomaž Zwitter.
Večer smo sklenili s predavanjem Marice Kamplet o opazovanju nočnega
neba. Predvideno je bilo, da bomo opazovali nočno nebo s teleskopom in
prostim očesom, pa nam je to preprečilo slabo vreme. Kljub temu (in poznim
uram seveda) je bilo predavanje navdušene amaterske astronomke dobro
obiskano in toplo sprejeto.
Sobota, 7. novembra 2009
Dopoldne smo najprej poslušali vabljeni predavanji. Denis Ar£on, ki
je prejel Zoisovo nagrado za vrhunske znanstvene in razvojne dosežke na
področju fizike, je imel predavanje z naslovom Od fulerenov do ogljikovih
nanocevk ali kako se je začela doba nanotehnologije. Aktualna tema in način
podajanja sta pritegnila poslušalce, zato je predavanju sledila tudi zanimiva
diskusija.
Po kratkem odmoru je Izidor Hafner, prejemnik Žagarjeve nagrade za
posebno uspešno vzgojno-izobraževalno, inovacijsko in organizacijsko delo v
visokem šolstvu, govoril o rombskih poliedrih. S konkretnimi zgledi (sesta-
vljenimi modeli in računalnǐskimi slikami) smo spoznavali različne poliedre
in njihove lastnosti.
Popoldne smo nadaljevali program v dveh sekcijah.
Matematika:
• Lucijana Kračun Berc: Uporaba družabnih iger pri pouku matematike
(1. del)
• Helena Skaza Birk: Uporaba družabnih iger pri pouku matematike (2.
del)
• Vabilo na matematični seminar in razgovor
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 203
Vesti
Fizika:
• Tomaž Zwitter: Sestava in nastanek Rimske ceste
• Rok Vodmar: Slovenska astronomska zveza
• Luka Bole, Jaka Banko, Dalibor Šolar: Fizikalni poskusi – plini in tlak
Kljub popoldanskim uram je bilo na vsakem predavanju navzočih več kot
50 udeležencev.
Spremljevalne dejavnosti
V preddverju dvorane Jupiter so bili razstavljeni tudi plakati. Na dveh
plakatih z naslovom Pomembni dogodki in uspehi smo predstavili nekatere
dogodke iz zgodovine društva. Spominska obeleºja najzasluºnej²im so s
sliko in besedo spomnila na obeležja naših matematikov in fizikov, s plaka-
toma Matemati£na tekmovanja v organiza
iji DMFA Slovenije in Fizikalnatekmovanja v organiza
iji DMFA Slovenije pa smo na kratko predstavili tek-
movalna dogajanja. Prve štiri plakate so pripravili: Marko Razpet, Milan
Hladnik in Nada Razpet, zadnja dva pa Matjaž Željko.
Poster z naslovom Predstavitev dru²tva DMFA Koper in njegovega delo-vanja na podro£ju astronomije sta pripravila Dean Šopič in Tomaž Parovel.
Karel Šmigoc je ob vhodu hotela razstavil navpi£no son£no uro in tako
udeležence spomnil, da za dežjem vedno posije sonce.
61. občni zbor DMFA
Ker je bilo ob 10.50 navzočih manj kot polovica članov DMFA Slovenije,
se je občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije pričel ob
11.20.
V delovno predsedstvo so bili izvoljeni: predsednik Mitja Rosina, članici
Jožica Dolenšek in Barbara Rovšek, zapisnikar Janez Krušič. Overovatelja
zapisnika sta bila Janez Strnad in Milan Hladnik.
Delovni predsednik je pozdravil navzoče in še posebej častnega člana
Dušana Modica, ki je bil na zboru edini udeleženec ustanovnega sestanka
društva leta 1949 v Ljubljani.
Z minuto molka smo se poklonili spominu na člana, preminula v prete-
klem letu: Franca Avsca in Staneta Indiharja.
Poročila o delu društva, ki so bila objavljena v biltenu 61. občnega zbora,
so bila sprejeta brez razprave.
O prvem tekmovanju v znanju astronomije je poročal Matjaž Željko.
Tekmovanje bo v decembru potekalo na dveh ravneh: (1) šolsko tekmovanje
za bronasto priznanje za osnovnošolce (enotna tekmovalna skupina za 7.,
8. in 9. razred) in srednješolce (ena tekmovalna skupina za 1. in 2. letnik;
ena tekmovalna skupina za 3. in 4. letnik), (2) državno tekmovanje za zlato
priznanje za osnovnošolce in srednješolce.
Po kraǰsi razpravi o primernosti tekmovanja v decembru je prevladalo
mnenje, da je to verjetno najprimerneǰsi termin. V mesecih od januarja do
204 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
aprila poteka večina drugih tekmovanj in je nemogoče v ta čas uvrstiti še
novo tekmovanje. Tekmovanja v znanju na splošno niso neposredno vezana
na učne načrte in zato prva polovica šolskega leta ni prevelika ovira. Raz-
misliti je treba tudi o praktičnem delu na državnem tekmovanju, ki bo zato
odvisno od vremenskih razmer in ne bo vezano na vnaprej določen dan.
Potrjen je bil tudi predlog upravnega odbora, da prijavnina na prvi
stopnji tekmovanj iz matematike, fizike ter astronomije ostaja 1,20 EUR za
udeleženca.
Mitja Rosina je opozoril, da je Plemljeva hǐsa še vedno premalo izkori-
ščena. Čim prej je treba poiskati društvenega skrbnika hǐse, ki bi bil z Bleda
ali bližnje okolice. Naj spomnimo, da bo v kratkem hǐsa dobila zmogljivo
optično povezavo na internet.
Dušan Modic je opozoril, da je treba v društvo privabiti čim več mladih:
študentov in srednješolcev.
O sklepih nadzornega odbora je poročal Mitja Rosina. V delu upravnega
odbora do občnega zbora niso ugotovili nepravilnosti. Računovodsko in
poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2008 je bilo soglasno sprejeto
brez razprave.
V skladu s Pravili DMFA Slovenije je postala nova članica upravnega
odbora Mirjana Jesenek - Mori, tajnica komisije za tekmovanje v znanju
astronomije. Sašo Kožuh je prosil za zamenjavo; na mestu tajnika za popu-
larizacijo fizike v osnovni šoli ga je nadomestila Barbara Rovšek.
Poljudnoznanstveni koledar DMFA Slovenije za leto 2010 je predstavil
Matjaž Željko: 12 slavnih astronomov, fizikov in matematikov je predstavlje-
nih z naraščajočim zaporedjem (od 0 do ∞) realnih števil, ki karakterizirajo
njihovo delo. Dela znanstvenikov sta v koledarju opisala Janez Strnad in
Matjaž Željko. Pripravo in natis koledarja je sofinanciralo Ministrstvo za
visoko šolstvo, znanost in tehnologijo prek programa Promocija znanosti
2008 in 2009.
Strokovno srečanje in 62. občni zbor bosta v prvi polovici novembra 2010
v Portorožu (Hoteli LifeClass). Tema strokovnega srečanja bo na predlog
udeležencev Matematika in fizika v tehniki. Za naslednje izobraževalne se-
minarje so predlagane teme: praštevila, eksperimenti pri fiziki, glasba in
fizika.
Občni zbor se je končal ob 12.15.
Obema nagrajencema čestitamo. Vsem predavateljem hvala, ker ste po-
magali pripraviti prijetno in poučno srečanje. Zahvaljujemo se študentkama
Kristini Gornik in Anji Šmid, Jelki Hladnik, Luciji Željko ter vsem, ki ste
pomagali pri organizaciji ter uspešni izvedbi srečanja in občnega zbora.
Na svidenje v Portorožu!
Pripravila Nada Razpet in Janez Krušič
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 205
Vesti
PREJEMNIKA DRUŠTVENIH PRIZNANJ ZA LETO 2009
Goran Iskrič
Goran Iskrič je zaposlen kot laborant na Oddelku za fiziko in tehniko Pe-
dagoške fakultete Univerze v Ljubljani. Skrbi za eksperimentalne zbirke,
pripravlja eksperimente za predavanja. Pomaga pri izvedbi laboratorijskih
vaj iz didaktike fizike in naravoslovja. Študentje pri njem najdejo nasvete
za predstavitev seminarjev in izvedbo poskusov pri pripravah za nastope na
šolah. Nepogrešljiv je pri pripravah in izvedbah državnih tekmovanj iz fizike
za osnovnošolce.
Vzdržuje obsežne spletne strani, kjer lahko učitelji najdejo nasvete za
izvajanje eksperimentov za dopolnitev in popestritev učnih ur, naravoslov-
nih dni in krožkov. Učiteljem zna predstaviti ne le nov in inovativen način
uporabe že znanih pripomočkov, ampak tudi konstruirati nova preprosta
uporabna učila, ki prispevajo k bolǰsi in lažji izvedbi eksperimentov.
Goran je tudi navdušen fotograf, ki vestno dokumentira eksperimentalno
delo na oddelku, lastne postavitve poskusov, zasleduje zanimive pojave v na-
ravi in sodeluje kot fotograf pri pripravi različnih gradiv. Njegove fotografije
so del učbenikov za osnovno šolo (naravoslovje, fizika), objavljene so v slo-
venskih revijah za naravoslovje in fiziko, najdemo jih tudi v mednarodnih
publikacijah. Leta 2005 je prejel prvo nagrado za naravoslovno fotografijo,
ki jo je podelila Slovenska znanstvena fundacija za izvirno postavitev modela
daljnovidnega in kratkovidnega očesa.
Goran se vedno hitro odzove na prošnje študentov, bodočih učiteljev
fizike in sodelavcev ter z veseljem pomaga vsem, ki se nanj obrnejo po
pomoč.
Tomaž Parovel
Tomaž Parovel je svojo pedagoško pot začel kot učitelj matematike, fizike in
računalnǐstva na OŠ Dekani pri Kopru. Sedaj poučuje na OŠ Koper. Poleg
rednega pouka vodi v šoli več interesnih dejavnosti s področja fizike (fizi-
kalni praktikum, astronomijo in meteorologijo) in tako učence še dodatno
spodbuja k učenju. Uspešno jih pripravlja na tekmovanja v znanju fizike
in kot mentor vzpodbuja pri izdelavi raziskovalnih nalog. Pomaga tudi pri
organizaciji področnih tekmovanj v znanju fizike ter vrednotenju tekmoval-
nih nalog. Sodeluje tudi pri vrednotenju nacionalnega preverjanja znanja iz
fizike.
Aktiven je pri projektih v šoli in zunaj nje. Letos je veliko časa posvetil
astronomiji. V okviru projekta 100 ur astronomije je organiziral tri javna
opazovanja v koprski občini in tako omogočil pogled skozi teleskop več kot
400 osebam.
Aktivno sodeluje tudi pri projektu izobraževanja in dela z nadarjenimi
učenci v osnovnih šolah koprske občine.
Pripravili Lucijana Kračun Berc in Nada Razpet
206 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
TEMNA SNOV: RAZISKAVE NEVIDNEGA
V DVEH KOZMOLOŠKIH SUPERPOSPEŠEVALNIKIH
”
IZSTRELEK“ 1E0657–56 IN MACSJ0025.4–1222
MARUŠA BRADAČ
University of California
Davis, ZDA
PACS: 95.35.+d, 98.65.Cw, 98.65.Fz
Jata galaksij 1E0657–56 je ena izmed najbolj raziskanih jat galaksij. Na prvi pogled
je bila to čisto navadna jata galaksij, sestavljena iz galaksij, vročega plina in, kot so
astronomi ugotovili za jato Coma že leta 1933 [1], tudi iz temne snovi. Nova opazovanja
z vesoljskima teleskopoma Chandra in Hubble pa so odkrila, da vidimo dve ogromni jati
galaksij, ki sta trčili pred približno 108 leti. Gost oblak plina ima po trku obliko naboja, po
kateri je jata dobila ime Izstrelek (v angleščini
”
Bullet Cluster“). Prav s to jato smo lahko
astronomi prvič tudi izmerili lastnosti temne snovi. Trk jat je povzročil, da se je plin, ki
ima velik sipalni presek (se obnaša kot plazma) upočasnil. Galaksije, ki zavzemajo majhen
volumen, pa med sabo ne interagirajo, zato skoraj nemoteno preživijo takšen trk. Temna
snov, kot bomo pokazali kasneje, se prav tako ni upočasnila. Ker je difuzno porazdeljena,
smo ugotovili, da reagira drugače kot navadna snov in ima majhen ali ničelni sipalni presek
za sipanje na temni snovi in tudi na navadni snovi. To pa ni edina jata galaksij, s katero
raziskujemo lastnosti temne snovi. Jata MACS J0025.4–1222 je prav tako posledica trka
dveh jat galaksij, s katero smo potrdili rezultate o obstoju in majhnem sipalnem preseku
temne snovi.
DARK MATTER: REVEALING THE INVISIBLE
WITH 2 COSMIC SUPERCOLLIDERS
“THE BULLET CLUSTER” 1E0657–56 AND MACSJ0025–1222
The cluster of galaxies 1E0657–56 (The Bullet Cluster) has been the subject of intense
research in the last few years. On a first glance this is an ordinary cluster of galaxies,
whose main components are galaxies, hot gas, and as the astronomers first discovered
in 1933 from observations of the Coma cluster, also dark matter. New observations with
Hubble Space Telescope (HST) and Chandra Space Telescope have revealed, that 1E0657–
56 consists of two clusters of galaxies that collided approximately 108 years ago. Dense
and hot gas acquired a shape of a bullet after the merger, earning it the nickname “The
Bullet Cluster”. The collision of both clusters has caused the hot gas, which behaves
like a plasma, to interact and slow down. Galaxies, on the other hand, span a relatively
small volume and are effectively collisionless, hence they survived the collision almost
undisturbed. We will show, that dark matter, just like galaxies did not slow down either.
However, since the latter is smoothly distributed, we discovered that it has a small or zero
dark matter-dark matter and dark matter-baryons scattering cross-section. In addition,
recently we have discovered a new Bullet-like cluster, MACSJ0025–1222. This cluster
exhibits many similar properties to the Bullet Cluster, and we have confirmed the result
of the existence and small scattering cross-section of dark matter.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 207
Maruša Bradač
1. Uvod
Trenutno najbolj uveljavljen kozmološki model ΛCDM vsebuje kozmo-
loško konstanto (Λ) in t. i. hladno temno snov (Cold Dark Matter). To
pomeni, da so delci temne snovi masivni in se zato gibljejo nerelativistično
(so
”
hladni“) vse od takrat, ko so nastale prve galaksije, do danes. Kozmo-
loško konstanto je prvič vpeljal Einstein, da bi dosegel statičnost vesolja.
Kasneje jo je poimenoval za svojo največjo neumnost, danes pa z majhno
kozmološko konstanto razložimo pospešeno širjenje vesolja. Ta članek govori
le o temni snovi, več o kozmološki konstanti in modelih si lahko preberete
v odlični knjigi prof. Janeza Strnada [2].
Model temne snovi privzema, da delci temne snovi ne interagirajo ali le
zanemarljivo šibko interagirajo med sabo in z delci navadne snovi. Ta teorija
nam tudi da zelo natančne napovedi za lastnosti galaksij in jat galaksij,
ki jih z opazovanji vseskozi preverjamo. Opazovanja se odlično ujemajo s
teorijo pri lastnostih velikih struktur (jate galaksij, superjate, kozmološka
mreža). Več težav pa je pri opazovanjih galaksij. Domnevamo, da imamo
dve šibki točki. Simulacije predvidevajo nastanek ∼ 100–1000 satelitov okoli
vsake galaksije, medtem ko jih okoli Rimske ceste vidimo le 23 [3]. Druga
kritična točka je, da simulacije predvidijo zelo strm masni profil v galaksijah,
opazovanja pa kažejo, da morda ni tako. Zaradi teh spoznanj so astronomi
začeli razmǐsljati, da temna snov morda ni hladna in da nima zanemarljivega
sipalnega preseka [4]. Npr. v modelu, kjer temna snov interagira sama s
seboj, se centralni deli galaksij segrejejo pri formaciji in zato imajo vsaj na
začetku manǰso gostoto v sredǐsču. Zaradi interakcij je tudi otežen nastanek
satelitov, kar bi rešilo oba problema.
Z gravitacijskim lečenjem pa lahko te modele preizkusimo. Gravitacijsko
lečenje nam omogoča, da izmerimo porazdelitev mase ne glede na to, ali sveti
ali ne. Z meritvijo masne porazdelitve v jatah galaksij, kot sta 1E0657–56 in
MACS J0025.4–1222, lahko ugotovimo, kako se temna snov odziva na trke
in s tem izmerimo njene lastnosti pred popolnim zagonom pospeševalnika
LHC. Upajmo, da nam bo ta prinesel dokončen odgovor o lastnostih, kot je
masa delca temne snovi.
2. Jata galaksij Izstrelek ali 1E0657–56
Jata galaksij 1E0657–56 je ena najbolj vročih in najbolj rentgensko sve-
tlih jat galaksij, kar jih poznamo. Jata ima rdeči premik z = 0,296, odkrita
je bila leta 1995 [5] in od takrat je bila predmet mnogih opazovanj. Med
bolj pomembnimi omenimo opazovanja z rentgenskim teleskopom Chandra,
s katerim opazujemo vroč plin [6]. Ta opazovanja so nam pokazala, da sta
jati trčili. Opazili smo značilni
”
bow shock“ (ukrivljen udarni val), ki je po-
208 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Temna snov: Raziskave nevidnega v dveh kozmoloških superpospeševalnikih
sledica potovanja gostega plina ene jate skozi manj gost plin druge jate. Na
levi sliki z naslovnice se ta oblika zelo lepo vidi (rdeča barva) in spominja na
izstrelek. Ta jata galaksij je zato tudi odličen laboratorij, s katerim prou-
čujemo hidrodinamiko interakcij. Chandrina opazovanja pa so odkrila tudi
Machovo valovno čelo, ki nam pove, da sta jati trčili z nadzvočno hitrostjo.
Z Rankine-Hugoniotovo enačbo lahko določimo Machovo število M :
M =
v
cs
=
[
2r
γ + 1 − r(γ − 1)
]1/2
, (1)
kjer je v hitrost plina, cs hitrost zvoka v plinu (pred valovnim čelom),
r = ρ1/ρ0 opisuje spremembo gostote (0 pomeni pred, 1 pa za valovnim
čelom), in γ je adiabatni indeks (γ = 5/3 za monoatomni plin). Chan-
drina opazovanja nam omogočajo meritve gostote in temperature plina, in
tako so avtorji članka [6] izmerili r = 3,2 ± 0,8 in s tem Machovo število
M = 3,4+0,8
−0,6. Ker lahko izmerimo temperaturo plina in s tem hitrost zvoka
v plinu, lahko izmerimo hitrost (transverzalno), s katero se plin giblje; za
1E0657–56 le-ta znaša 4500+1100
−800 km/s. Ta hitrost je izjemno visoka, vǐsja
od ocenjene ubežne hitrosti (ob predpostavki sferne simetrije, ki je v tem
primeru zelo groba) in so jo nekateri imeli za enega od problemov kozmo-
loškega modela ΛCDM. Natančne simulacije so pokazale, da se manǰsa jata
(galaksije + temna snov) giblje počasneje kot plin (ta je pospešen zaradi
gravitacije manǰse jate) in tako se težǐsči jat v resnici oddaljujeta s hitrostjo
∼ 2700 km/s [7], kar je v skladu z napovedjo modela ΛCDM. S spektrogra-
fom so tudi izmerili radialno hitrost obeh jat [8]. Razlika radialnih hitrosti
obeh jat je majhna ≪ 800 km/s v primerjavi s transverzalno, kar nam pove,
da sta obe jati trčili skoraj pravokotno na našo smer opazovanja (< 15◦).
Prav zaradi te lastnosti je ta jata galaksij eden najbolǰsih laboratorijev
za raziskovanja lastnosti temne snovi (in jo astronomi včasih imenujemo
kozmološki superpospeševalnik). Z vesoljskim teleskopom Hubble smo dobili
slike te jate tudi v vidni svetlobi. Slike so nam razkrile mnoge popačitve, ki
so nastale zaradi gravitacijskega lečenja. Zaradi gravitacijskega potenciala
jate galaksij se namreč pot svetlobe galaksij, ki so v ozadju jate, ukrivi. Če
so te popačitve majhne (šibko lečenje), se slika galaksije (majhna elipsa)
preslika v elipso. Ker ne vemo, kakšna je bila galaksija videti pred lečenjem,
nam ena slika ne da nobene informacije. Če pa imamo mnogo takih galaksij,
se večina elips zavrti v preferenčno smer, in tako lahko statistično izmerimo
lastnosti gravitacijskega potenciala in s tem porazdelitev mase jat galaksij.
Blizu masnega sredǐsča jate galaksij pa je lečenje dovolj močno, da se
svetloba od galaksije v ozadju močno ukrivi. Tudi možnih poti svetlobe je
več (preslikava ni enolična). V tem primeru dobimo več (popačenih) slik
iste galaksije in govorimo o močnem lečenju. Že ime nam pove, da je signal
207–213 209
Maruša Bradač
Slika 1. Posnetka jat galaksij Izstrelek 1E0657–56 (levo) in MACS J0025.4–1222 (desno).
Obe jati sta sestavljeni vsaka iz dveh jat galaksij, ki smo jih ujeli kmalu po trku. Na
barvnih posnetkih (na naslovnici) sta dodani še modra in rdeča barva, kjer modra barva
predstavlja dvodimenzionalno gostoto vse snovi (tudi temno snov), izmerjeno s pomočjo
gravitacijskega lečenja, rde£a barva pa prikazuje glavno komponento barionske snovi,
vroč plin. Sliki merita ∼ 5 × 3 in ∼ 3 × 3 ločnih minut, kar je 1200 × 700 kpc2 pri
1E0657–56 in 1200 × 1200 kpc2 pri jati MACS J0025.4–1222 (ki ima večji kozmološki
rdeči premik in je zato bolj oddaljena). Levo: NASA/CXC/CfA/STScI/Magellan [10, 12],
desno: NASA/CXC/STScI/Stanford/UCSB/ [12].
močneǰsi, in tako lahko še bolj natančno izmerimo porazdelitev temne in ba-
rionske snovi. Lečenje izmeri dvodimenzionalno gostoto. Z obema lečenjema
(močno lečenje nam da podatke o porazdelitvi mase v masnem sredǐsču jate
∼ 100 kpc, šibko pa na večjih razdaljah, do roba jate & 100 kpc) smo ob
opazovanju jate 1E0657–56 ugotovili, da se sredǐsči mase temne in barion-
ske snovi ne ujemata s sredǐsči mase barionske snovi same. Pri tem je treba
upoštevati, da je barionska snov v jati sestavljena iz vročega plina in gala-
ksij. Vendar, ker so galaksije le majhen del barionske snovi jate (∼ 10 %),
je maksimum porazdelitve barionske snovi blizu masnega sredǐsča vročega
plina. Torej če bi bila jata sestavljena le iz barionske snovi, bi videli maksi-
mum, kjer vidimo plin, toda z lečenjem smo zaznali dva maksimuma, ki sta
sovpadala s porazdelitvijo galaksij v obeh jatah [9, 10]. Temna snov pa ni
porazdeljena le okoli galaksij, ampak je večinoma relativno enakomerno po-
razdeljena po celotni jati, manǰsi del pa sovpada tudi s samimi galaksijami.
Ta jata je nekaj posebnega tudi zaradi geometrije trka. Če bi jati trčili
v smeri opazovanja, ne bi mogli videti in izmeriti razlike med barionsko
in temno snovjo, saj bi se vsi maksimumi prekrili (lečenje in rentgenska
svetloba nam ne dasta informacije o radialnih porazdelitvah). Ker pa sta
trčili pravokotno na smer opazovanja, lahko izmerimo razlike porazdelitve
temne in barionske snovi in s tem izmerimo lastnosti le-teh.
210 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Temna snov: Raziskave nevidnega v dveh kozmoloških superpospeševalnikih
3. Sestrična Izstrelka ali MACS J0025–1222
Prav tako kot 1E0657–56, je tudi MACS J0025.4–1222 posledica trka
dveh ogromnih jat galaksij. MACS J0025.4–1222 je še bolj oddaljena od nas
(kozmološki rdeči premik z = 0,586) in je bila odkrita v MAssive Cluster
Survey (MACS) [11] z optičnimi posnetki (Subaru) in kratkimi Chandrinimi
opazovanji. Iskanje podobnih jat galaksij, kot je Izstrelek, smo naredili po
naslednjem ključu. Iz kataloga vseh jat galaksij smo najprej izbrali tiste, ki
so rentgensko svetle. Z analizo posnetkov v vidni svetlobi smo nato izbrali
tiste, ki so sestavljene iz dveh jat galaksij pri enakem rdečem premiku (torej
na enaki razdalji od nas in s tem gravitacijsko povezani). Nazadnje smo
natančno preučili tiste, katerih sredǐsča rentgenske emisije niso sovpadala s
sredǐsči obeh jat.
MACS J0025.4–1222 se je izkazala kot masivna jata, ki je prav tako
nastala ob trku dveh jat pravokotno na smer opazovanja. Z dalǰsimi Chan-
drinimi opazovanji smo ugotovili, da sredǐsče plina ne sovpada s sredǐsčema
obeh jat. Iz Hubblovih opazovanj močnega in šibkega lečenja pa smo ugo-
tovili, da imata obe jati približno enako maso [12]. Sredǐsči porazdelitve
skupne mase sta prav tako kot pri 1E0657–56 sovpadali s sredǐsčema po-
razdelitve galaksij, in obe sta bili (> 4σ verjetnost) oddaljeni od sredǐsča
glavnine barionske snovi (vroč plin, slika 1). Izmerili smo tudi masne deleže
plina in zvezd (galaksij) in ugotovili, da je masa plina v primerjavi s celo-
tno maso 0,09+0,07
−0,03, pri zvezdah je ta delež mnogo manǰsi 0,010
+0,007
−0,004, kar
se ujema s trditvijo, da je razmerje mase galaksij in plina majhno (11 %)
in kar so tudi tipične vrednosti, ki jih izmerimo pri drugih jatah galaksij.
Manjkajoči in največji delež mase je tako temna snov.
Sklepamo lahko, da sta tudi ti dve jati trčili z veliko hitrostjo. Žal nam
količina trenutnih Chandrinih opazovanj (38 ks, medtem ko smo 1E0657–
56, ki je bližje, opazovali kar 500 ks) ne omogoča opazovanja valovnega
čela in s tem meritve Machovega števila. Vendar vemo, da je morala biti
hitrost nadzvočna ali vsaj blizu le-te, saj drugače ni mogoče, da bi plin tako
močno interagiral, da bi videli razmik med plinom in galaksijami (ter temno
snovjo). Je pa MACS J0025.4–1222 malce drugačen sistem kot 1E0657–56.
Pri 1E0657–56 je šlo za trk gostega, hladnega plina, ki je prodrl skozi redkeǰsi
vroč plin. Zato vidimo značilno obliko izstrelka (prav tako, kot je izstrelek
mnogo gosteǰsi od zraka). Jate galaksij, ki imajo gost, hladen plin v sredǐsču,
so manj pogoste (∼ 10 % vseh jat), saj potrebujejo čas med dvema trkoma,
da se plin ohladi. Pri MACS J0025.4–1222 pa je šlo za trk dveh jat z vročim
plinom v sredǐsču, in zato ne vidimo značilne oblike naboja. To pa seveda
ne pomeni, da ni bil trk prav tako eksploziven.
207–213 211
Maruša Bradač
4. Potrditev obstoja in lastnosti temne snovi
Opazovanja velike količine snovi na mestih, kjer je masa barionske snovi
zanemarljivo majhna, so nam potrdila teorijo o obstoju temne snovi. Zaradi
idealne geometrije in velike hitrosti, s katero sta jati trčili, pa nam ta teorija
pove še nekaj več.
Ko dve jati trčita z veliko hitrostjo, se vroč plin upočasni, saj ima ve-
lik sipalni presek za interakcijo plin-plin. Galaksije same pa so zelo redko
porazdeljene po prostoru (volumen galaksij je dosti manǰsi od volumna ce-
lotne jate), zato tak trk preživijo skoraj nemoteno. Ugotovili smo, da to
velja tudi za temno snov, kar pomeni, da mora imeti tudi ta majhen presek
za sipanje temna snov-temna snov, in pa tudi temna snov-barionska snov.
S simulacijami smo tako lahko postavili zgornjo mejo tega preseka na enoto
mase delca temne snovi [13].
Pri 1E0657–56 nam simulacije dajo zgornjo mejo (68 % verjetnost)
σ/m < 0,7 cm2/g = 1,3 barn/GeV. Pri MACS J0025.4–1222 smo ocenili to
vrednost (simulacije bodo sledile, ko obdelamo najnoveǰse Chandrine meri-
tve, ki nam bodo dale odgovor o dejanski hitrosti trka) na σ/m < 4 cm2/g =
7 barn/GeV [12]. Te vrednosti so veliko večje od večine napovedi modelov
temne snovi, ki jih predpostavlja fizika osnovnih delcev (tam so predvideni
sipalni preseki . pbarn). Kljub temu so naše meritve zanimive, ker lahko
sploh prvič izmerimo sipalni presek za interakcijo temna snov-temna snov.
Zraven tega pa že omejijo večino kozmoloških modelov, ki so bili vpeljani
kot možna razlaga problemov ΛCDM. Modeli, ki preprečijo preveliko na-
stajanje malih struktur in strmih profilov v galaksijah, zahtevajo vrednosti
σ/m < 0,5 – 5 cm2/g = 1 – 10 barn/GeV [14].
Ta opazovanja pa ovržejo še eno vrsto modelov. Da bi razložil lastno-
sti galaksij brez vpeljave temne snovi, je Milgrom [15] prilagodil Newtonov
gravitacijski zakon (modificirana Newtonova dinamika MOND). Bekenstein
[16] je ta opis razširil, da se sklada s splošno teorijo relativnosti. Preprosto
povedano, ti modeli razložijo
”
dodatno“ gravitacijo (razlog, da imajo ga-
laksije večjo gravitacijsko silo, kot pa bi sklepali samo na podlagi mase v
zvezdah in plinu pri običajnem gravitacijskem zakonu) s spremenjenim gra-
vitacijskim pospeškom pri majhnih pospeških (velikih razdaljah). Ampak
pri jatah galaksij ti modeli odpovedo. Rešiti se jih da le z dodatno snovjo, ki
ima maso vsaj 2,4-krat večjo kot barionska snov. Z
”
navadno“ snovjo, kot so
npr. nevtrini z maso, težko dosežemo to vrednost, saj so nevtrini fermioni
in zanje velja Paulijevo izključitveno načelo. Zaradi tega z njimi ne mo-
remo doseči velikih gostot, ki jih merimo v sredǐsčih teh jat. Pri jatah, kot
sta 1E0657–56 in MACS J0025.4–1222, pa pride do nove težave. Sredǐsče
barionske snovi je blizu sredǐsča vročega plina. Če bi držal MOND (brez
dodatne temne snovi), bi masno sredǐsče moralo biti blizu sredǐsča vročega
212 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
Temna snov: Raziskave nevidnega v dveh kozmoloških superpospeševalnikih
plina. Z gravitacijskim lečenjem pa izmerimo, da ti sredǐsči ne sovpadata. V
tem primeru bi morali ne samo spremeniti vrednost gravitacijskega pospe-
ška, ampak tudi smer gravitacijske sile. Prav zaradi tega modeli brez temne
snovi do danes niso zadovoljivo razložili meritev gravitacijskega lečenja v
1E0657–56 in MACS J0025.4–1222.
LITERATURA
[1] F. Zwicky, Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln, Helv. Phys. Acta 6
(1933), str. 110–127.
[2] J. Strnad, Mala zgodovina vesolja, Knjižnica Sigma 85, DMFA–založnǐstvo, 2008.
[3] A. V. Kravtsov, Dark matter substructure and dwarf galactic satellites, arXiv:
0906.3295v1, junij 2009.
[4] J. P. Ostriker in P. Steinhardt, New Light on Dark Matter, Science 300 (2003) 5627,
str. 1909–1913.
[5] W. H. Tucker, H. Tananbaum in R. A. Remillard, A search for ’failed clusters’ of
galaxies, Astrophys. J. 444 (1995), str. 532–547.
[6] M. Markevitch, A. H. Gonzalez, L. David, A. Vikhlinin, S. Murray, W. Forman,
C. Jones in W. Tucker, A Textbook Example of a Bow Shock in the Merging Galaxy
Cluster 1E 0657–56, Astrophys. J. Lett. 567 (2002) 1, str. L27–L31.
[7] V. Springel in G. R. Farrar, The speed of the ‘bullet’ in the merging galaxy cluster
1E0657–56, Mon. Not. R. Astron. Soc. 380 (2007) 3, str. 911–925.
[8] R. Barrena, A. Biviano, M. Ramella, E. E. Falco in S. Seitz, The dynamical status
of the cluster of galaxies 1E0657–56, Astron. Astrophys. 386 (2002) 3, str. 816–828.
[9] M. Bradač, D. Clowe, A. Gonzalez, P. Marshall, W. Forman, C. Jones, M. Mar-
kevitch, S. Randall, T. Schrabback in D. Zaritsky. Strong and weak lensing united.
III. Measuring the Mass Distribution of the Merging Galaxy Cluster 1ES 0657–558,
Astrophys. J. 652 (2006) 2, str. 937–951.
[10] D. Clowe, M. Bradač, A. H. Gonzalez, M. Markevitch, S. W. Randall, C. Jones in
D. Zaritsky, A Direct Empirical Proof of the Existence of Dark Matter, Astrophys. J.
Lett. 648 (2006) 2, str. L109–L113.
[11] H. Ebeling, E. Barrett, D. Donovan, C.-J. Ma, A. C. Edge in L. van Speybroeck, A
Complete Sample of 12 Very X-Ray Luminous Galaxy Clusters at z > 0.5, Astro-
phys. J. Lett. 661 (2007) 1, str. L33–L36.
[12] M. Bradač, T. Schrabback, T. Erben, M. McCourt, E. Million, A. Mantz, S. Allen,
R. Blandford, A. Halkola, H. Hildebrandt, M. Lombardi, P. Marshall, P. Schneider,
T. Treu in J.-P. Kneib, Dark Matter and Baryons in the X-Ray Luminous Merging
Galaxy Cluster RX J1347.5–1145, Astrophys. J. 681 (2008) 1, str. 187–196.
[13] S. W. Randall, M. Markevitch, D. Clowe, A. H. Gonzalez in M. Bradač, Constraints
on the Self-Interaction Cross Section of Dark Matter from Numerical Simulations of
the Merging Galaxy Cluster 1E 0657–56, Astrophys. J. 679 (2008) 2, str. 1173–1180.
[14] R. Davé, D. N. Spergel, P. J. Steinhardt in B. D. Wandelt, Halo Properties in Cosmo-
logical Simulations of Self-interacting Cold Dark Matter, Astrophys. J. 547 (2001) 2,
str. 574–589.
[15] M. Milgrom, A Modification of the Newtonian Dynamics - Implications for Galaxy
Systems, Astrophys. J. 270 (1983), str. 384.
[16] J. D. Bekenstein, Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics
paradigm, Phys. Rev. D 70 (2004) 8, 083509.
207–213 213
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 214 — #1 i
i
i
i
i
i
INTERVJU
BORIS KHAM
Gospod Boris Kham je profesor fizike na Gimnaziji Jožeta Plečnika in
na Gimnaziji Vič. Širši javnosti je poznan tudi kot voditelj redne mesečne
oddaje Zanimivosti nočnega neba (petek ob 17h) v sklopu tedenske oddaje
Doživetja narave, ki poteka na Radiu Ognjǐsče. Prof. Kham je stalni gost
oddaje že od leta 2001 in minulo poletje je bila že stota oddaja. V od-
daji prof. Khama so poslušalci spoznali mnoge profesionalne in ljubiteljske
astronome in se seveda veliko naučili o astronomiji. V okviru oddaje je bilo
organiziranih že nekaj javnih opazovanj (Kredarica, Kurešček, . . . ).
Prof. Kham je v letih 1985–1987 tudi na nacionalnem radiu pripravil 12
izobraževalnih oddaj o astronomiji. Javnost je za prof. Khama slǐsala tudi
v za slovensko šolstvo sramotni aferi Jure Janković leta 1998, ko se je kot
predsednik šolske maturitetne komisije in v. d. ravnatelja Gimnazije Jožeta
Plečnika ne brez posledic znašel v kolesju goljufij še danes najvplivneǰsih
politikov. Pomembneje od tega je, da je profesor Kham priznan populari-
zator astronomije in naravoslovja nasploh. Napisal je ogromno poljudnih
in strokovnih člankov, imel številna predavanja s področja astronomije za
širšo publiko in vodil ter sodeloval je na desetinah izobraževalnih taborov
214 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 215 — #2 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
za mlade. Seznam priznanj, največ s področja popularizacije znanosti med
mladimi, ki jih je prejel prof. Kham, je zelo dolg. Naj omenimo le najnoveǰse,
to je Prometej znanosti za odličnost v komuniciranju za leto 2009, ki ga po-
deljuje Slovenska znanstvena fundacija. Ob iztekajočem se letu astronomije
2009 je s profesorjem Khamom za Obzornik stekel naslednji pogovor:
G. Kham, diplomirali ste iz zike?
Takrat so bile stvari drugačne, kot so danes. Leta 1969 sem po maturi na
Poljanski gimnaziji začel s študijem matematike s fiziko, leta 1980 končal
prvo stopnjo in začel poučevati. Potem me je prof. Marjan Hribar1, katerega
hčerke sem učil, spodbudil, da sem nadaljeval študij na drugi stopnji. Študij
fizike sem tako dokončal ob delu in postal profesor fizike leta 1987.
Pou£ujete ziko na Gimnaziji Joºeta Ple£nika in na Gimnaziji Vi£. Ste kot
profesor strogi? Vas imajo dijaki za strogega?
Mislim, da nisem znan kot zelo strog. Posredno včasih celo slǐsim, da sem mil
in blag. Verjamem pa, da kljub temu dijake kar nekaj naučim in da sem na
področju znanja vendarle zahteven. O sebi je težko govoriti, a tako nekako
si predstavljam samega sebe glede na odzive dijakov in staršev. Skratka,
mislim, da dijake veliko naučim. Moj ideal je naučiti jih razumeti nekaj
fizike. Včasih kakšno področje izpustimo ali ga predelamo bolj na hitro, a
to predvsem zato, da se lahko v druga področja bolj poglobimo, da bi prǐsli
do razumevanja. Pri fiziki je namreč nujno, da dijakom ostane vsaj nekaj
razumevanja in da niso le ”napiflani“.
Leto 2009 je mednarodno leto astronomije. Kaj ²tejete vi, kot zik, za
najve£je doseºke astronomije?
Najprej želim poudariti, da se z astronomijo ukvarjam le kot amater. Zame
je prelomni, če že ne največji dosežek fizike Galilejev2 prvi pogled skozi tele-
skop. Že v 17. stoletju je opazoval Jupiter in sklepal, da je to krogla. Galilej
je opazoval tudi Sonce. Poleg Galileja je bil pomemben mejnik v razvoju ra-
zumevanja vesolja Kopernikov3 heliocentrični sistem. Seveda so pomembne
tudi revolucionarne ideje o prostoru in času, ki so se razvile okrog Einsteina.
Izjemnega pomena so tudi človeški fizični posegi v vesolje, od simboličnega
1Marjan Hribar, rojen 1937, je kot fizik delal na Institutu Jožef Stefan in bil profesor
fizike najprej na FNT ter do svoje upokojitve na Pedagoški fakulteti Univerze v Ljubljani.
2Galileo Galilej (1564–1642) je bil italijanski fizik, matematik, astronom in filozof, ki
je leta 1609 prvi opazoval nebo s teleskopom.
3Nikolaj Kopernik (1473–1543) je bil poljski ekonomist, pravnik, zdravnik, matematik
in astronom. O Koperniku je bila v času od 8. 10. 2009 do 1. 11. 2009 zanimiva razstava
v Narodni in univerzitetni knjǐznici v Ljubljani, ki jo je pripravil prof. Kham.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 215
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 216 — #3 i
i
i
i
i
i
Intervju
obiska Lune, do postavitve Hubblovega teleskopa4 v vesolje. S Hubblovim
teleskopom je leta 1990 človeštvo dobesedno začelo gledati globoko v vesolje.
Šele takrat smo tudi navadni zemljani začeli dobivati občutek za globine, di-
menzije in lepote vesolja. Pred Hubblom je naše poglede v vesolje omejevala
zavesa atmosfere. Izjemni dosežki so tudi posamezna odkritja, ki razkrivajo
življenja oddaljenih planetov, zvezd in galaksij. Meni se je zdelo izjemno
zanimivo tudi opazovanje prodiranja sonde v Titanovo5 atmosfero. Zami-
slite si, da lahko slǐsimo zvoke iz Titanove atmosfere. Posamezne posnetke
je mogoče dobiti celo na internetu in nekatere smo si pogledali z dijaki pri
pouku. Izjemni dosežki moderne astronomske tehnike so tudi veliki tele-
skopi, ki jih je danes po svetu vse več in ki smo jih s pomočjo moderne
tehnologije sposobni povezati. Nekaj posebnega so tudi ideje in načrti, da
bi človek potoval na Mars. Vse to so dosežki vrhunske znanosti in tehno-
logije, ki nam razlagajo skrivnosti razvoja zvezd in vesolja. Na področju
amaterske astronomije, ki je danes dosegljiva skorajda vsakemu, je tehno-
logija tudi prinesla neslutene možnosti. Danes lahko ljubiteljski astronom
z lastno opremo odkrije supernovo ali komet. Tudi v Sloveniji je veliko
astronomov amaterjev, ki se ukvarjajo z astrofotografijo in imajo izjemne
posnetke. Astronomska oprema je postala tako dostopna, da si jo lahko
privošči vsakdo, ki je pripravljen žrtvovati nekaj svojega denarja. Seveda
4Hubblov teleskop je v orbito ponesel Space Shuttle Discovery aprila 1990. Kmalu
potem so znanstveniki ugotovili, da je bila na glavnem ogledalu napaka in že leta 1993
so ga v vesolju popravili, da je dosegel načrtovano zmogljivost. Zadnja zelo uspešna
misija popravil in nadgradenj Hubblovega teleskopa se je končala v maju 2009. Hubblov
teleskop tehta nekaj čez 11 ton (osnovna leča ima premer 2,4 m) in na orbiti, ki je približno
560 km nad zemeljskim površjem, obkroži Zemljo v dobri uri in pol. Teleskop je dobil
ime po amerǐskem astronomu Edwinu Powellu Hubblu (1889–1953). Hubble je zaslovel po
svojem zakonu iz leta 1929 (poimenovali so ga po njem), ki pravi, da je hitrost oddaljevanja
galaksij sorazmerna oddaljenosti. Ugotovitve so temeljile na dolgotrajnih opazovanjih in
analizi (Dopplerjevega) premika svetlobe iz galaksij proti rdeči svetlobi. To je bilo v
začetku 20. stoletja veliko odkritje kozmologije, ki je ovrglo teorijo o statičnem vesolju.
Hubblov teleskop, ki je star že dvajset let, pa ni edini vesoljski teleskop. Leta 2003 je
NASA poslala v orbito okrog Sonca Spitzerjev teleskop, ki tehta manj kot tono in v
infrardeči svetlobi raziskuje vesolje. Spomladi leta 2009 je Evropska vesoljska agencija
(ESA) v orbito poslala Herschlov teleskop. Tehta dobre tri tone ter je približno 1,5-krat
močneǰsi (leča ima premer 3,5 m) in občutljiveǰsi od Hubblovega teleskopa. V orbito
ga je ponesla raketa Ariane 14. maja 2009 iz Francoske Gvajane. Zaradi precej bolj
oddaljene orbite (približno 1 500 000 km od Zemlje) je Herschlov teleskop pokazal vso
svojo zmogljivost šele proti koncu leta 2009. Trenutno je to najzmogljiveǰsi vesoljski
teleskop, ki na Zemljo že pošilja izjemne slike. Za leto 2014 načrtujejo, da bodo v orbito
postavili še močneǰsi teleskop (poimenovan bo po Jamesu Webbu), ki je skupni projekt
NASA, ESA in CSA (Kanadska vesoljska agencija). Ta teleskop bo tehtal dobrih šest ton,
premer leče bo 6,5 metra in bo, podobno kot Herschlov teleskop, približno 1 500 000 km
oddaljen od Zemlje.
5Titan, ena izmed osemnajstih Saturnovih lun.
216 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 217 — #4 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
je za izjemne fotografije ali celo odkritja potrebna tudi sreča, a predvsem
je v astronomiji pomembna sistematičnost, natančnost, pozornost. In vse
to ni težko, ko vas v opazovanje posrkajo globine in lepote dogajanja na
(nočnem) nebu.
Kaj lahko ta globina, ta pogled med zvezde, v neskon£nost dale£ stran od
vsakdanjosti, pove navadnemu £loveku?
Narava sama po sebi je polna zakonitosti, skrivnosti in lepote. Ljudje se
čudimo in bogatimo, ko vidimo to lepoto. Skoraj vedno, ko pripovedujem
ali pokažem mladim kaj novega, se čudijo. In ne pozabimo, tu ni samo
astronomija. Imamo tudi mikrosvet in tudi ta je enako čudovit. Narava je
tako kompleksna in tako enostavna obenem. Jaz si za zgled rad postavim
prof. Pavla Kunaverja6, ki je raziskoval kraško podzemlje, bil je velik pozna-
valec Cerknǐskega jezera, navdušen alpinist in tako zelo rad je svoj pogled
usmerjal tudi v vesolje. Želim poudariti, da ni samo pogled med zvezde
tisti, ki razkriva globine bivanja in vedenja, ampak da so si stvari podobne.
Skorajda vseeno je, kam človek pogleda, pomembneje je, kako gledamo. Ena
sama drobna rožica je vesolje zase. Poglejte v cvet ciklame . . . Vesolje me
navdušuje zato, ker nikjer drugje ne začutite te globine in razsežnosti, po
drugi strani pa razkriva najosnovneǰse zakone fizike, ki sta jih v grobem spo-
znala že Kopernik in Newton7. To neverjetno spoznanje, da vse teče tako
brezhibno po naravnih zakonih, je čudovito. Ta pogled v brezmejno vesolje
omogoča človeku, da ne postane ozek, da ohrani zanimanje in skromnost, da
se zaveda, kako majhno je vse okrog nas . . . Nevarno je, da kot učitelj (ali
v kakem drugem poklicu) v kopici obveznosti pozabǐs na svet okrog sebe,
da postaneš ozek in ne opazǐs več sveta in njegovega bogastva. Ob pogledu
skozi teleskop, ko se na primer zazreš v nam najbližjo galaksijo v Andro-
medi, ki je od nas oddaljena 2 200 000 svetlobnih let, se zaveš, kako ”majhni“so tvoji problemi. Ko gledaš zvezde, dejansko gledaš v preteklost. Gledaš
na lastne oči tisto, kar se je tam dogajalo pred milijoni let. In pri tem znamo
6Pavel Kunaver (1889–1988), znan slovenski pedagog, ki se je uveljavil kot skavtski
in tabornǐski vodja. Mlade je navduševal tudi za alpinizem, pohodnǐstvo in astronomska
opazovanja. Letos je bila v Tehnǐskem muzeju Slovenije v Bistri pri Vrhniki ob mednaro-
dnem letu astronomije od 16. 9. do 3. 12. odprta zanimiva razstava Moje zvezdarne, Pavel
Kunaver, pionir slovenske amaterske astronomije. Razstavo je pripravil prof. Kham. Raz-
stava o Kunaverju bo skupaj z razstavo o Koperniku, ki jo je tudi pripravil prof. Kham,
ponovno na ogled v okviru Plečnikovih dni v januarju 2010 na Gimnaziji Jožeta Plečnika
v Ljubljani.
7Isaac Newton (1643–1727) je bil angleški fizik, matematik, astronom, filozof in teolog.
Njegova knjiga Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, bolj poznana le kot Princi-
pia, ki je izšla leta 1687, spada med najpomembneǰse knjige v zgodovini razvoja znanosti.
V njej je Newton postavil temelje klasične mehanike, gravitacije in celotne klasične fizike.
Skupaj z Gottfriedom Leibnizem (1646–1716) si deli zasluge za razvoj diferencialnega in
integralnega računa.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 217
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 218 — #5 i
i
i
i
i
i
Intervju
ugotoviti, da se ta galaksija giblje (oziroma se je gibala) s hitrostjo 68 km/s.
To neznansko čudenje, da je človeški um sposoben odkriti in razumeti te
zakonitosti, te navda z občutkom smisla, lepote in veličastnosti, ki obogati
človeško dušo bolj kot vsi milijoni tega sveta. Prek teh navdihov človek
dobi odnos do narave in do sočloveka. Razvije si občutljivost, ki ga bogati.
Nauči se spoštovati in čuvati naravo. Nas astronome na primer neznansko
moti tudi svetlobno onesnaženje, na katero mnogi ljudje niti pomislijo ne.
Vedenje in spoštljivost do narave nam namreč omogočata, da iz nje črpamo
najlepše in najvredneǰse.
Son£ni in lunin mrk sta ºe od praveka navdu²evala in stra²ila £loveka. Po
anekdoti8 naj bi ºe Kri²tof Kolumb med svojimi potovanji pri odkrivanjih
Amerike uporabil poznavanje astronomskih dejstev in to£nega vedenja, kdaj
se bo pojavil lunin mrk, s katerimi je prestra²il mornarje in domorodce,
da so ga ubogali . . . Letos je bil za astronome velik dogodek son£ni mrk
22. 7. 2009. Mrk je bil dobro viden predvsem v Aziji. Vi ste vodili slovensko
odpravo v ’anghaj na Kitajsko, da bi videli ta skorajda idealni mrk. Vreme
vam ni bilo naklonjeno . . .
Zakaj smo se sploh odločili, da bi šli tako daleč? To je bil v tem stoletju
zadnji tako lep – to pomeni tako dolg – mrk. Sončni mrk lahko traja največ
dobrih sedem minut. Letošnji mrk v Šanghaju je trajal 5 minut in 30 sekund,
kar je izjemno dolgo. Zelo redko lahko vidite tako dolg mrk. Jaz sem
razmeroma dolg mrk (4 minute) že videl v Egiptu. Ta izjemnost letošnjega
mrka, tako dobro vidnega na Kitajskem, je bila delni motiv za potovanje
8Zgodb je več. Ena izmed njih pravi, da je na enem izmed potovanj, ko so se mu
mornarji zaradi slabih razmer začeli upirati, le-te zbral na palubi ob jasni noči s polno
luno natanko tedaj, ko je vedel, da se bo pojavil lunin mrk. Mornarjem je napovedal, da
jim bo zaradi neubogljivosti z božjo pomočjo
”
zatemnil Luno“ . . . Ob nastajajoči temi je
med mornarji zavladala groza, in ko so ga rotili in mu zagotavljali, da mu bodo v prihodnje
pokorni, jim je
”
polno luno priklical nazaj“. Druga, še bolj pogosta zgodba pa pravi, da je
Kolumb lunin mrk (na dan 29. 2. 1504) izrabil za pokoravanje domorodcev, potem ko je
bil zaradi poškodovanih ladij že pol leta
”
ujet“ na današnji Jamajki. To naj bi se zgodilo
na Kolumbovem zadnjem, to je četrtem potovanju v Ameriko med odkrivanji obal Srednje
Amerike. Potovanje je začel v Španiji 11. 5. 1502 s štirimi ladjami, med potjo je odprava
morala zapustiti dve poškodovani ladji, preostali dve pa je Kolumb poskušal popraviti na
obalah Jamajke, kjer je zasilno pristal 25. 6. 1503. Sprva so domorodci mornarje menda
lepo sprejeli, pozneje so se jih pa naveličali. Ko je mornarjem grozil upor domorodcev
in s tem nevarnost lakote, naj bi se Kolumb odločil za izrabo vedenja o luninem mrku, s
katerim je menda domorodcem uspešno pokazal
”
moč njegovega boga“. Natančni podatki
o luninem mrku so bili zapisani v astronomskih tabelah, ki so pokrivale leta 1475–1506
in ki jih je pred svojo smrtjo objavil nemški matematik in astronom Johannes Müller von
Königsberg (1436–1476), takrat bolj poznan s svojim latinskim imenom Regiomontanus.
Königsbergove tabele so poleg podatkov o Soncu, planetih in Luni vsebovale tudi natančne
zvezdne konstelacije. Tabele so bile zato takrat mornarjem v veliko pomoč pri navigaciji
in so menda spadale v
”
standardno opremo pametnih“ mornarjev.
218 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 219 — #6 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
tja. Željo, da bi videli mrk, smo povezali z obiskom tudi še danes delujočega
astronomskega observatorija v Pekingu, kjer je delal naš astronom Ferdinand
Avguštin Hallerstein9 iz Mengša. Želel sem dijakom pokazati mesto, kjer
je delal, in jim predstaviti veličino tega človeka. Hallerstein je delal na
kitajskem dvoru v 18. stoletju in z znanstvenimi dognanji dosegel visoko
stopnjo v kitajski oblastni hierarhiji. Postal je ”mandarin 3. stopnje“, karv današnjem jeziku pomeni približno minister za znanost. Do nedavnega je
bilo to naši javnosti še skoraj neznano. Tretji cilj celotne odprave je bil, da
bi v bližini Šanghaja našli ustrezno šolo, s katero bi se povezali in skupaj
prenašali sončni mrk prek spleta. Te osnovne ideje, povezane z astronomijo,
smo seveda dopolnili tudi z običajnimi ogledi Kitajske. Greh bi bil ob takem
potovanju ne ogledati si tudi drugih znamenitosti Kitajske, kot so glineni
vojaki10 in mnogo drugih. V Šanghaju smo si ogledali tudi najvǐsjo stavbo11.
Celotno potovanje je trajalo 13 dni, a kot rečeno, osrednja dogodka sta bila
povezana z naravoslovjem, to je s sončnim mrkom in s Hallersteinom. Šolo
v Šanghaju smo, kot smo želeli, dobili. V ponedeljek pred mrkom smo jih
prvič obiskali in bili smo zelo lepo sprejeti. Sredi Šanghaja je bil pred šolo
velik transparent v kitaǰsčini in angleščini ”DOBRODOŠLA DELEGACIJAIZ SLOVENIJE“.
Takoj smo vzpostavili internetno povezavo s Slovenijo in preizkusili, da
je vse delovalo. Potem smo imeli še torek prost za miren ogled Šanghaja.
Tako ponedeljek kot torek je bilo vreme lepo, a napovedi za sredo so bile
slabe. V sredo smo bili že zjutraj na prizorǐsču, pripravljeni za ogled mrka,
a bolj ko se je bližal njegov čas, slabše je bilo vreme. Povsem se je zoblačilo
in le za trenutek se je ob začetku mrka pokazalo sonce. Takrat smo mrk
še prenašali v svetovni splet in jasno se je še videlo, kako se temni. Potem
se je ulil močan dež, in ko se je zaradi mrka začelo temniti, je nebo dobilo
zanimivo sivosrebrno barvo. Povsem se je stemnilo, prižgale so se mestne
luči. Zaradi močnega dežja smo snemanje in prenos po spletu morali pre-
kiniti. Ko je močno lilo in je sredi belega dne nastala popolna tema, je bil
9Ferdinand Avguštin Hallerstein (1703–1774) je bil slovenski jezuit, misijonar, mate-
matik in astronom.
10Leta 1974 so odkrili grobnico kitajskega cesarja Shihuangdija (260–209 pr. Kr.) iz
dinastije Qin. Shihuangdi je postal vladar leta 247 pr. Kr., star komaj 12 let. Leta 221
pr. Kr. je združil približno celotno ozemlje današnje Kitajske. V svojo grobnico je dal
zakopati celo
”
armado“ 7000 voǰsčakov, konjev in kočij ter kipe številnih drugih, ki naj
bi predstavljali celotno strukturo takratne države od uradnikov do akrobatov. Vse figure
so izdelane v naravni velikosti iz keramike, kamna in brona. Shihuangdijev grob meri
približno 500×500 metrov, celotni mavzolej ali pokopalǐski kompleks pa je bil zgrajen kot
mesto v mestu s skupaj okrog 12 kilometrov obzidij in s površino prek dveh kvadratnih
kilometrov.
11V Šanghaju je najvǐsja stavba celinske Kitajske Šanghajski svetovni finančni center,
ki je visok 492 metrov in ima 101 nadstropje.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 219
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 220 — #7 i
i
i
i
i
i
Intervju
Dobrodošlica slovenski astronomski odpravi v Šanghaju julija 2009
občutek pretresljiv – kot huda ura sredi noči. Takrat so iz zavetrja prihajali
ljudje, da bi občutili ta nenavadni občutek, ko te objameta kozmični strah
in groza. Seveda nismo videli čudovite krone in biserov, ki so tako lepi ob
popolnih mrkih. Žal, nam pač vreme ni bilo naklonjeno. Že preǰsnji dan
smo se ob vremenskih napovedih spraševali, ali bi se lahko kam premaknili.
Bili smo tako tudi organizirani in bi se z avtobusi lahko odpeljali nekaj sto
kilometrov stran, a žal je bila napoved za celotno področje zelo slaba. Dobro
so videli mrk le bližje Indiji, kjer je bilo vreme lepše, a to je bilo približno
800–900 kilometrov daleč. Spomnim se, kako je bilo pred leti, ko smo bili v
Ljubljani pripravljeni na opazovanje luninega mrka, pa je bila napoved zelo
slaba. Po nasvetih meteorologov smo se v dveh urah odpeljali v Prekmurje,
od koder smo lahko mrk lepo opazovali. Na Kitajskem pa letos, žal, kaj
takega ni bilo mogoče.
Je precej druga£e prebrati o tem, kako se stemni sredi belega dne, kot je
doºiveti popoln son£ni mrk?
Vsekakor. To je doživetje. Seveda je odvisno od človeka, ampak občutek je
izjemen. Človek doživi nekakšno nemoč in grozo. Spreleti vas srh po telesu.
Nekatere, ki so to doživeli prvič, je zares stisnilo pri srcu. Nedvomno gre
za poseben občutek, ko se za 5 minut sredi belega dne popolnoma stemni.
Čeprav racionalno veste, za kaj gre, vas je strah. Vsekakor je vredno to
doživeti in precej drugače je, če to doživite, kot če preberete v časopisu.
Kdo je projekt nanciral?
Priprave so se začele pred dvema letoma. Imel sem dobre izkušnje s poto-
valno agencijo TAO, ki nas je leta 2006 peljala na ogled sončnega mrka v
220 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 221 — #8 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
Egipt. Pripravili smo program in poiskali najugodneǰse finančne ponudbe,
ki so dijakom omogočile plačilo na obroke. Plačali so le osnovne stroške
potovanja, za vse druge strokovne stvari je bilo poskrbljeno. V začetku smo
načrtovali, da bi odšlo na pot 20 dijakov in 5 profesorjev. Za profesorje in
prevoz opreme smo iskali sponzorska sredstva, da bi bilo strokovno vodenje
brezplačno. In to nam je tudi uspelo. Pri celotnem projektu nas je spodbu-
jalo in nas tudi dobro finančno podprlo vodstvo moje matične šole. Nekaj
denarja so prispevali Mestna občina Ljubljana, Mobitel, Krka, Mercator in
NLB. To so bile sicer manǰse vsote, a nabrali smo dovolj, da je bilo vse
strokovno vodstvo pokrito in da to ni bremenilo dijakov. S seboj smo imeli
kar nekaj opreme in prevoz te ni bil poceni. Pozneje se je izkazalo, da je
bilo za ekskurzijo zelo veliko zanimanja. Za izlet so se zanimali tudi drugi
profesorji, pa nekaj astronomov amaterjev. Tako se je število iz načrtovanih
25 potnikov povečalo na več kot 90. Tu se je spet izkazala agencija TAO, ki
je ob tako velikem zanimanju nam, ki smo z idejo začeli, dala še dodatni po-
pust, tako da smo tudi finančno zadevo dobro izpeljali. Zaradi povečanega
zanimanja je agencija organizirala še dodatno skupino in na Kitajsko nas je
tako potovalo čez 120 Slovencev. Tisti, ki smo bili v razširjeni prvi skupini,
bilo nas je 90, smo izpeljali celotno strokovno ekskurzijo, tudi z ogledom
Hallersteinovega observatorija.
Kako ste vzpostavili stik z omenjeno ²olo v ’anghaju? Ste imeli stike ºe
prej?
Ko smo leta 2003 prenašali iz Španije delni sončni mrk12, smo se prek Une-
scovih šol povezali z eno od šol in stvari so dobro potekale. Podobno smo
načrtovali na Kitajskem, tudi zato, da bi lahko spoznati nekaj kitajskega
šolskega utripa in dijakom predstavili delo na kitajskih šolah. Najprej smo
poskusili prek UNESCA, pa stvari niso potekale najbolje. Približno po dveh
letih smo šele dobili šolo. Sodelovalo je tudi slovensko veleposlanǐstvo na
Kitajskem, pa ne najbolj uspešno. Pozneje smo prek ministrstva za šolstvo
in šport dobili osebo na Kitajskem, s katero smo se povezali. Tako smo
prǐsli v stik s šanghajskimi šolskimi oblastmi, ki so določile šolo, s katero
naj bi sodelovali. Začela se je zelo počasna korespondenca v angleščini, ki ni
vodila nikamor. Potem smo začeli iskati vzporedne samostojne možnosti za
internetni prenos prek satelita, pa tudi to ni šlo. Na šoli pa smo imeli tečaj
kitaǰsčine tudi za dijake, ki so načrtovali ekskurzijo na Kitajsko. Prosili
smo kolegico, ki je vodila kitajski tečaj, da je pismo prevedla v kitaǰsčino
in korespondenco s kitajsko šolo smo poskusili nadaljevati v kitaǰsčini. Ta-
krat nam je uspelo navezati tudi stik z nekom, ki je imel poslovne odnose
na Kitajskem, in ta nas je povezal s konkretno osebo na Kitajskem, ki je
12Sončni mrk leta 2003 je bil delno viden le iz Afrike in Španije, ne pa iz preostale
Evrope.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 221
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 222 — #9 i
i
i
i
i
i
Intervju
bila potem posrednik med nami in tisto šolo. Potem pa je hitro vse gladko
steklo.
Po internetnih novicah naj bi bil v avgustu 2009 ²e en zanimiv astronomski
dogodek, ko naj bi se zelo dobro videla Luna in Mars hkrati?
Pogosto so razne spletne novice, ki se širijo med ljudmi, povsem nerealne.
Govoriti o tem, da bo Mars na nebu videti tako velik kot Luna, je popolna
neumnost. Res je, da je Mars, ko se približa Zemlji, ugoden za opazovanje.
Vedeti pa moramo, da je Mars tako daleč stran, da nikakor ne more imeti
tako velikega zornega kota kot Luna. Luno vidimo pod zornim kotom pol
stopinje, od nas je oddaljena približno 400 000 kilometrov13. Sonce je pribli-
žno 150 milijonov kilometrov oddaljeno od Zemlje in ga vidimo skoraj pod
istim zornim kotom kot Luno.
Veliko se ukvarjate s popularizacijo znanosti, posebej astronomije. še ve£
let imate na radiu Ognji²£e oddajo Zanimivosti no£nega neba v okviru
oddaje Doºivetja narave. Veliko ste ºe naredili in polno zamisli imate,
kako znanost pribliºati mladim. Znanost je tako lepa, veliko zanimivega
lahko da in pokaºe mladim. Vzpodbuja in razvija razum in duha, znanost je
nekako nadgradnja naravne radovednosti ljudi in ²e posebej mladih. Zato,
da bi lahko pribliºali znanost mladim, je treba imeti veliko znanja, ampak
ali ni ²e bolj pomembna karizma, to je sposobnost u£itelja, da se mladim
zna pribliºati?
To je velik problem. Ko sem začenjal učiti, ko sem imel prve astronomske
tabore, je bilo med mladimi veliko več navdušenja, kot ga je danes. Takrat
mi je bil veliki vzornik in zgled dobrega učitelja prof. Kunaver. On je bil pri
vzgoji mladih s srcem in glavo, z ljubeznijo in z navdušenjem. Tudi meni se
zdi najbolj pomembno, da je učitelj sam radoveden in angažiran. Da rado-
vednost in sporočila mladim prihajajo iz notranjosti, iz lastnih izkušenj in
interesa. Tudi če govorimo na primer o Newtonovem zakonu, ga ne moremo
predstaviti kot neko hladno dejstvo, temveč kot globoko spoznanje, ki se
v svoji globini in preprostosti že učitelju zdi nekaj izjemnega in vrednega.
Nekaj, kar čuti, da je pomembno in tako zanimivo, da želi posredovati dru-
gim. Podobno je z vsakim poskusom in z vsako malenkostjo. Najprej mora
učitelj čutiti, zakaj in kako pomemben je neki proces ali neko spoznanje. Je
pa seveda zelo težko, saj tudi pristno navdušenje pogosto ne pomaga in je
13Luna je od nas oddaljena približno 380 000 kilometrov. Lunin premer je približno
3475 km. Mars se Zemlji najbolj približa na nekaj manj kot 60 milijonov kilometrov, ko
je najbolj oddaljen, je pa več kot 420 milijonov kilometrov daleč. Premer Marsa je okrog
6790 kilometrov. Sonce je od nas oddaljeno dobrih 8 svetlobnih minut ali približno 150
milijonov kilometrov. Premer Sonca je približno 1 390 000 km. Kvocienti med premeri in
(najbližjimi) razdaljami nam dajo občutek za primerjavo zornih kotov za Luno (≈ 0,0091),
Sonce (≈ 0,0092) in Mars (≈ 0,0001).
222 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 223 — #10 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
le ”bob ob steno“. Skratka, na učiteljevo navdušenje seveda dijaki ne odgo-vorijo vedno z navdušenjem. Je pa učiteljev entuziazem, po mojem mnenju,
potreben pogoj, da bi lahko navdušili povprečnega mladega človeka. Za
poučevanje česarkoli je nujno, da je učitelj najprej sam navdušen nad svojo
stroko, da rad uči in da se v stroko in snov, ki jo poučuje, dovolj poglobi.
Nemogoče se je v vse poglobiti, a vsaj včasih morajo mladi začutiti, da uči-
telj res globinsko razume, o čem govori. Pomembno je tudi, da zna učitelj
spregovoriti z modernim jezikom, to je, da zna v svoj pouk vplesti moderne
ugotovitve in pripomočke. Tudi s tem učitelj pokaže, da je v svoji stroki,
ki je moderna in se razvija, doma. Jaz pri astronomiji poskušam mlade od-
peljati na skupna opazovanja ali se skupaj udeležimo srečanja astronomov.
Tako mladi sami doživijo delček realne in zanimive znanosti. Na primer,
ko smo z mladimi šli na ogled sončnega mrka v Španijo, smo videli čudovit
sončni kolobar. To je nekaj izjemnega, to je izkušnja, ki jo nobeno pripo-
vedovanje ne more nadomestiti. Seveda, nikar ne bodimo naivni, niso šli
vsi dijaki z nami v Španijo zaradi sončnega mrka. Toda na dan mrka, ko
so mladi videli ta čudoviti dogodek, so se, verjamem, tudi tisti, ki jim je
bil prej mrk le izgovor za pot v Španijo, streznili in iz iskrenega začudenja
ostali brez diha. Človek mora izkušnjo doživeti sam, in če je učitelj mlačen,
bodo redki mladi sami iskali doživetja, ob katerih ne čutijo navdiha učitelja.
Zanje bo učiteljevo pripovedovanje brez navdiha pač kr’neki. Za učitelja
je to seveda težko, saj od njega zahteva stalno delo, spremljanje novosti,
vsaj včasih je treba prebrati kako strokovno literaturo in biti v lastni stroki
toliko navzoč, da tudi sam še vsaj kdaj doživi nova spoznanja in čudenja,
ki jih lahko prenaša na mlade.
Ali ni zanimivo, da vemo razmeroma veliko o astronomskih objektih, ki so
oddaljeni tiso£e svetlobnih let, tako malo pa vemo o le nekaj sto metrov
oddaljenem svetu pod morsko gladino?
Nekatere bolj zanimajo svetlobna leta oddaljene zvezde, druge pa bolj kaj
drugega. Pod morsko gladino je tudi veliko zanimivega. V Strunjanu menda
pripravljajo ali že imajo podvodno učno pot, s katero bodo popularizirali
podvodni svet. Podvodni svet je pač težko dostopen. A tudi za popula-
rizacijo in poznavanje podvodnega sveta je bilo storjeno veliko. Zelo znan
je bil na primer Cousteau14, ki je s svojo ladjo Calypso15 naredil ogro-
14Jacques-Yves Cousteau (1910–1997) je bil svetovno znan raziskovalec morja, neutru-
den ekolog, filmski producent, fotograf, znanstvenik in inovator. Bil je tudi član Franco-
ske akademije znanosti. Tudi pri nas je bil znan po zanimivih dokumentarnih oddajah,
v katerih je opisoval svoja morska raziskovanja in v katerih je bil poznan kot
”
Kapitan
Cousteau“.
15Calypso je zaslovela kot Cousteaujeva raziskovalna ladja. Bila je zelo stara ladja, ki
je v letih 1941–1947 pripadala britanski mornarici in je bila sprva
”
minolovec“. Pozneje
je delovala kot transportna ladja na Malti, v letih 1950–1997 pa je postala Cousteaujeva
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 223
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 224 — #11 i
i
i
i
i
i
Intervju
mno za popularizacijo vedenja o morskem življenju in še posebej za dvig
ekološke zavesti. Po svoje pa je astronomija privlačneǰsa, saj je obenem
lažje dostopna, po drugi strani pa ”operira“ s popularnimi pojmi, kot je
”neskončnost“ . . . Podmorski svet pa je tudi izjemen. Samo pomislite nalepoto koralnih morij, na čudovite barve rib, ki tam živijo. In seveda je tudi
v morju ogromno izjemno zanimivih vprašanj. Kako lahko na primer živijo
ribe v velikih globinah, kjer vemo, da je izjemno visok pritisk. Iz opazovanja
rib pa se je človek veliko naučil tudi o fluidni dinamiki in o gradnji ladij. Je
pa seveda lažje pogledati v nebo kot v podvodni svet.
Zanimivo je, da lahko z vesoljskimi plovili s £love²ko posadko potujemo do
Lune in dlje, brez £loveka pa celo milijarde kilometrov dale£16, svet pod mor-
sko gladino pa nam je zaradi zakonov zike oziroma zaradi velikega pritiska
skoraj nedostopen17. Podobno tako malo vemo tudi o mikrosvetu okoli nas,
po drugi strani pa seºe na² pogled do roba vesolja. Kako bi komentirali to
na videz neenakomerno zmoºnost £love²kega vpogleda v boºje stvarstvo?
To lahko le potrdim. O nekaterih stvareh vemo zelo malo. Mogoče se iz bolj
ali manj znanih razlogov s temi vprašanji nismo niti mogli niti želeli ukvar-
raziskovalna ladja, ki je bila opremljena z mobilnim laboratorijem za raziskovanje pod-
vodnega sveta. Leta 1996 je Calypso po nesreči zadel pristanǐski vlačilec v Singapuru
in se je potopila. Le teden dni zatem so jo dvignili z morskega dna. Naslednje leto je
umrl Cousteau in še leto zatem so Calypso
”
odvlekli“ v Marseilles. Po desetletju težav
in sporov o nasledstvu so ladjo skoraj povsem obnovili in naj bi služila kot
”
ambasador“
Cousteaujevih prizadevanj za ohranitev morskega življenja.
16Na primer, 720 kg težek Voyager 1 potuje že od leta 1977 in je prepotoval že več kot
16 000 000 000 kilometrov, torej (svetlobni) signal potuje do tja in nazaj že več kot 30 ur.
Voyagerjeva naloga (gre za plovili Voyager 1 in Voyager 2) je bila raziskovanje zunanjih
planetov. Podobno nalogo sta že leta 1972 začela Pioneer 10 in Pioneer 11. Vesoljska
plovila Pioneer 10 in 11 ter Voyager 1 in 2 so prvi človeški objekti, ki so zapustili naše
osončje. (Meje našega osončja so sicer težko določljive in so odvisne od definicije.)
17Človek se zaradi naraščajočega pritiska lahko potopi le nekaj deset metrov globoko.
Na vsakih dodatnih 10 metrov globine pritisk naraste za približno 1 atmosfero. Ekstremni
potapljači se z opremo za dihanje potopijo tudi do 300 metrov globoko. Klasične pod-
mornice dosežejo globino do približno 1000 metrov. Nova tehnologija pa poseže tudi že v
največje globine. Vozilo Nereus je spomladi 2009 doseglo najgloblje točke oceana, to je
dno Marianskega jarka (Challenger Deep) blizu amerǐskega otoka Guam v Tihem oceanu
vzhodno od Filipinov. Dno Marianskega jarka je skoraj 11 km (10 911 m) pod morsko
gladino. Ime vozila Nereus izvira iz grške mitologije. Bog morja Nereus je bil najstareǰsi
sin Pontusa – Morja in Gaie – Zemlje. Vozilo Nereus je izreden tehnološki izdelek, tehta
približno 3 tone in je veliko kot avtomobil. Z matično ladjo komunicira po kot las tankem
optičnem vlaknu, ki ga ima na
”
vitlu“ približno 40 km. Nereus pa ni prvi poskus človeka
priti na dno najglobljih morij. Že leta 1960 sta se v te globine, sicer precej okorno, poto-
pila amerǐski mornar Don Walsh in švicarski inženir Jacques Piccard s plovilom Trieste,
ki je bilo zgrajeno v Italiji. Podobno nalogo, sicer brez posadke, so leta 1995 opravili
Japonci s plovilom Kaiko, ki je bilo pozneje v podobnem poskusu potapljanja leta 2003
poškodovano in je ostalo na dnu morja.
224 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 225 — #12 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
jati. Najbrž je odvisno predvsem od tega, v katero smer človeštvo usmerja
svoje napore. Mogoče se nekatere stvari do nedavnega sploh niso zdele tako
zanimive. Mene navdušuje razmǐsljanje o tem, kaj danes zmore računalnik.
Na videz zmore računalnik na nekaterih področjih veliko več kot človeški
um. A po drugi strani je človeški um tisti, ki je ustvaril in programiral
računalnik in gre le za orodje, za pripomoček. Danes je tehnika sposobna
narediti izjemne reči, na primer računalnǐsko vodene proteze in robote, ki
nadomestijo in že daleč presegajo spretnost človeških rok. A misliti raču-
nalnik vendarle ne zna. Počne le tisto, za kar ga je sprogramiral človek.
Neverjetne stvari zmorejo danes računalniki in roboti, a če se poglobimo v
ustroj narave, na primer v delovanje človeškega telesa, je to stvaritev, ki jo
je nemogoče do konca doumeti. Pomislite samo na posamezen organ, kot je
srce, kako neverjetna in kompleksna stvaritev je to. Ali če pogledate malo
širše, kakšen čudovit in kompleksen ustroj je bitje, ki je sposobno samo-
stojno najti motiv in se telesno pripraviti na to, da pripleza na vrh Mount
Everesta. To so fantastični procesi in zmožnosti, najbrž enako kompleksni,
kot je vesolje. A da bi jih videli v taki luči, da bi jih lahko opazovali in
se jim čudili ter jih ne sprejemali kot nekaj samo po sebi umevnega, za to
se je treba poglobiti v človeka in v njegovo dušo z enako predanostjo, kot
se astronom posveti tisoče svetlobnih let oddaljenim vesoljskim objektom.
Ne vem, mogoče nas je pogleda v nas same bolj strah kot pogleda nekaj
svetlobnih let daleč. (Nasmeh.)
ƒe dovolite, eno ²e bolj neznanstveno misel. Jaz sem astronomijo ob£udo-
val od mladih let. Zdela se mi je kot mikavna provokacija £love²kega duha
in razuma. Teºko je povedati, kaj povzro£i, da se neka stvar £loveku zdi
zanimiva ali lepa, a zagotovo se okus tudi vzgaja. Prek vzgoje se ljudje tudi
bolj ali manj odgovorno odlo£amo, kaj je nam in ²e posebej, kaj bo mlaj²im
lepo in kaj grdo. Za kakega oblikovalca, ki je bil tako vzgojen, sva zdajle
midva zagotovo zelo klo²arsko oble£ena. Ker nisva imela tak²ne vzgoje, te
lepote ali grdote oblek ²e opaziva ne. V potro²ni²ki druºbi imamo vzgojo,
po kateri mnogi ljudje opazijo in poznajo na primer detajlne razlike med
Oplovo astro in Volkswagnovim golfom, malokdo bi pa lo£il severno od juº-
nega zvezdnega neba. Ljudje so v imenu lepote pripravljeni za Armanijevo
ali Guccijevo obleko pla£ati ve£, kot bi bila cena solidnega teleskopa, skozi
katerega bi lahko pol svojega ºivljenja opazovali kozmi£ne lepote, ki so ne-
primerljivo lep²e od modnega hita ene sezone. Kaj dela stvari lepe? Ali
ni prav v astronomiji veliko stvari, ki imajo izjemen potencial za lepoto in
njeno vzgojo? Ali je klju£ v £love²ki naravi, ki lepote ne ºeli videti, ampak
jo ho£e posedovati? Lepo Armanijevo obleko ali mercedes lahko posedujete,
ne morete pa si lastiti kozmi£ne meglice ali galaksije?
Ne vem, to je težko vprašanje. Mislim, da je najbolj pomembno, da je
človek odprt in pripravljen sprejemati lepoto. Človek mora biti pripravljen
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 225
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 226 — #13 i
i
i
i
i
i
Intervju
poglobiti se v svet, ki ga obdaja, ne le zato, da bi si ga polastil, ampak
predvsem, da bi ta svet odkrival in užival ob opazovanju njegove lepote.
Gre za zmožnost občudovanja, pa naj gre za lep travnik, za rožo, za zvezde
ali za lep avto. Če na primer gledate meglico v Orionu, jo mogoče istočasno
gleda še na tisoče ljudi. Že ta misel je lepa. In kompleksnost lepote kozmične
meglice je veliko večja od lepote avtomobila. Res, gre predvsem za zmožnost
in odprtost za lepoto, katere bogastvo daleč presega le željo po posedovanju.
Ta odprtost za lepoto je tudi odprtost za druge, za naravo in za vso našo
okolico. Ljudje pa smo pogosto sebični in nam ni dosti mar za lepoto.
Egoizem ljudi se kaže vsepovsod. Tudi med učitelji, ko na primer menimo,
da je naš predmet najpomembneǰsi. Ali ko ljudje priznavamo le svoj način
dela ali razmǐsljanja in ne sprejmemo drugačnosti. Naj navedem primer.
Bili smo v Strunjanu na medpredmetnem taboru biologije, kemije, fizike in
angleščine. Prǐslo je do ideje, da bi šli ob obali v času, ko zahaja sonce. Pa
smo šli. Bilo je 36 dijakov. Najprej sem pripravil kraǰsi uvod z razmǐsljanjem
o naravi in povedal nekaj zanimivosti, potem pa predlagal, da 20 minut v
tǐsini opazujemo lepoto narave in prisluškujemo zvokom, od butanja valov
do šumenja borovcev, opazujemo spreminjanje barv zahajajočega sonca,
gibanje in žgolenje ptičev . . . Skratka, želel sem, da bi znali prisluhniti
naravi, jo z občutkom opazovati, se držati za kamen, . . . in za kratek čas
komunicirati le z naravo. Zdržali so, a nekateri so mi potem rekli, da je
bilo to zanje preveč čustveno . . . V življenju danes predvsem hitimo in
prisluhniti ter potrpežljivo opazovati sploh ne znamo.
Kot je rekel Leonardo da Vinci, treba je znati zreti, znati videti  saper
vedere . . .
Da, na primer tudi pri biologiji, na bioloških taborih, ko dijake peljejo v
gozd, da se znajo usesti na tla, se dotakniti drevesa in zemlje, jo natančno
opazovati in začutiti.
Ni to tudi ºe nevarno? Ali ne za£utijo nekateri prehitro in preve£?
Ja, seveda, čudaštev je tudi veliko. A to ni nevarno, če ohranimo razumen
pogovor. Odprtost je ključna, odprtost tako za lepoto kot za argument.
Ampak ali nismo po drugi strani ljudje ²e preve£ odprti. Kot sem omenil
prej, potro²ni²tvo zna to odprtost spretno izrabljati. Zelo smo odprti za
majhne razlike v potro²nih artiklih, za nianse razlik smo se sposobni skre-
gati. Za obleko po zadnji modi smo pripravljeni pla£ati 1000 EUR. Ali ni
prav ta ob£utljivost in odprtost ljudi pogosto izrabljena za napihovanje in
ustvarjanje navideznih potreb in razlik, kjer jih vsebinsko ni in kjer gre le
za nan£ne interese in trºno manipulacijo? Ali to ne kaºe, da smo ljudje
dejansko odprti in da je poleg odprtosti posameznika pomembna predvsem
odgovornost star²ev, vzgojiteljev in druºbe, kako to odprtost izrabiti in kam
jo usmeriti?
226 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 227 — #14 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
Ja, seveda je pomebno, v kakšnem okolju človek živi. Ko se ljudje usmerijo
v stvari, ki temeljijo le na bogastvu in, kot sva rekla prej, na posedovanju, je
hudo. V šoli se to jasno vidi. Mladi so za to posebej občutljivi in marsikdo
se ob takem odnosu do življenja, ki je dejansko brez vsebine, stre. To je
tragično in pri tem gre seveda za odgovornost odraslih. To so težka moralna
vprašanja. Po mojem je tisto, kar je lepo, tudi dobro, in takšno gledanje bi
morali posredovati tudi mladim. Prof. Kunaver je v svojem 90. letu povedal,
da je vse, kar je naredil, to, da je svoja lepa doživetja narave posredoval tudi
drugim. Ta misel se me je zelo prijela.
Pa presedlajva na nekoliko lahkotnej²o temo. Recimo, da vas na dom po
telefonu pokli£e prijazen glas, se predstavi in vam pove, da se na vas obra£a,
ker ve, da ste zik in astronom in da bi rad vedel, kak²na je pravzaprav
razlika med astronomijo in astrologijo. Kaj bi mu na kratko odgovorili?
Rekel bi, da astrologija poskuša človeku napovedati prihodnost in da ne
temelji na nikakršnih fizikalnih zakonih, ki bi kakorkoli mogli povezovati
prihodnost s stanjem v vesolju. Rekel bi, da se večina astroloških napovedi
ni uresničila. To ljudje hitro pozabijo. Spomnim se neke astrologinje, ki je
napovedovala, kaj vse se bo zgodilo, da bo nekaj padlo na naš parlament,
pa se ni nič zgodilo in seveda astrologinje ni nihče klical na zagovor. No,
tudi če bi jo, kot se včasih zgodi, vam astrologi povedo neko drugo vari-
anto s tako zavitim pomenom, da se morebiti nekaterim res zdi, da imajo
stvari rep in glavo. Nisem še srečal jasnega predpisa ali formule, ki bi po-
vezovala na primer stanje planetov z mojo prihodnostjo. Seveda je res, da
med planeti in Soncem delujejo gravitacijske sile, na katere se včasih psev-
doznanstveno sklicujejo astrologi, a za te sile lahko vse od Newtona naprej
točno izračunamo in napovemo, kaj povzročajo. Kako pa naj bi razporedi
planetov vplivali na mojo prihodnost v smislu mojega bogastva ali bolezni?
To so gole špekulacije. Po drugi strani pa astronomija na podlagi fizikalnih
zakonov proučuje in tudi napoveduje dogajanje v vesolju. V astronomiji
na podlagi opazovanj postavljamo hipoteze, ki šele po veliki zanesljivosti in
natančnem preverjanju postanejo veljavni zakoni. Na primer, na podlagi
Newtonovih zakonov in opazovanj so točno napovedali vrnitev Halleyjevega
kometa18. In to so storili že davno in dovolj natančno. Meni se, kar se
odnosa med astrologijo in astronomijo tiče, zdi še posebej zanimiv vzornik
18Halleyjev komet je najbolj znan komet našega osončja. Komet, ki tehta okrog 250
milijard ton, so astronomi opazovali že vsaj od leta 240 pr. Kr. Prvi je njegovo orbito
na podlagi starih zapisov in primerjanj z opazovanji kometa leta 1607 dovolj natančno
izračunal angleški astronom, fizik in matematik Edmond Halley (1656–1742), ki je vrnitev
kometa napovedal za leto 1758, kar se je tudi zgodilo. Halleyjev komet se vrne v
”
našo
bližino“ vsakih 75–76 let. Zadnjič je bil viden leta 1986 in naslednjič ga bo mogoče
opazovati leta 2061.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 227
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 228 — #15 i
i
i
i
i
i
Intervju
Kepler19. On je bil zato, da se je lahko preživljal, tudi astrolog. V eni izmed
svojih knjig pa je napisal, da je astrologija kot izmuzljiva lisica, ki nima z
realnim napovedovanjem človeške usode nobene povezave.
Imata astrologija in astronomija sploh kaj skupnega . . . ?
Samo to, da tako astronomi kot astrologi (le navidez) dobro poznajo lego
planetov in ozvezdij. Ta vedenja so danes tudi za astrologe trivialna, saj
že vsak računalnik zna pokazati natančno lego na primer Marsa ali drugih
planetov. Podobno je z modernimi in zelo priročnimi teleskopi, katerim le
vtipkate planet ali zvezdo, pa se vam teleskop sam obrne natančno tako,
da boste videli vesoljski objekt. A vse to je možno, ker znamo na podlagi
fizikalnih zakonov natančno predvideti gibanja planetov in seveda Zemlje.
Komercialna in poljudna razmi²ljanja astronomijo pogosto povezujejo tudi
z vpra²anjem zunajzemeljskih bitij  ºe vidim, da se drºite za glavo. Je za
£loveka to vpra²anje sploh pomembno?
Danes lahko kar na internetu ugotovite, da so astronomi odkrili že prek
300 planetov, ki krožijo okrog zvezd zunaj našega osončja. Gotovo je teh
še veliko več. Nobenih dokazov nimamo, da na kakšnem izmed njih niso
podobne razmere kot na Zemlji in da se na njem ne bi moglo razviti življenje,
podobno ali različno od našega. Zato se mi zdi popolnoma možno, da so kje
na kakšnih oddaljenih planetih kake civilizacije. In seveda, taka civilizacija
bi bila lahko tudi bolj razvita od naše. Zakaj pa ne? Poglejte, kakšne razlike
v razvoju so že na Zemlji. Torej se mi zdi možnost, da so kje v vesolju druga
in mogoče celo veliko bolj razvita bitja od nas, povsem mogoča. A to me
nič ne moti ali skrbi.
Kako bi videli gospodarsko krizo, vojne, mlade, stare, zdrave, bolne, zalju-
bljene, obupane, . . . £e bi jih gledali iz astronomske perspektive? Kako se
vidijo vsakdanje £love²ke skrbi skozi teleskop?
Danes se v veliki meri vse vrednoti skozi denar. Gospodarska kriza se de-
jansko pozna v šolstvu tako, da danes nobenemu še na misel ne pride, da
bi razmǐsljal o kaki konkretni stvari, kot je na primer to, da bi zmanǰsali
velikost razredov. Marsikateri dijak si težko privošči, da gre na izlet. Med
ljudmi pogosto slǐsim, da so astronomi sami čudaki. Res je, nekateri astro-
nomi so posebni ljudje in se mogoče res preveč ukvarjajo z zvezdami. A po
drugi strani najdete med njimi veliko iskrenega navdušenja in pripravlje-
nosti videti, pomagati, pokazati lepoto in dobroto soljudem. Spomnim se,
ko sem za svoje poslušalce organiziral opazovanje na Kureščku in sem tam
spoznal tudi gospoda Sama, ki ga zelo spoštujem. Prinesel je svoj nekoliko
19Johannes Kepler (1571–1630) je bil nemški matematik, astronom in astrolog ter vo-
dilna sila znanstvene revolucije 17. stoletja.
228 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 229 — #16 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
močneǰsi Dobsonov teleskop. Po poklicu je vodovodni inštalater, toda videti
bi morali njegovo navdušenje za opazovanje neba. O amaterski astronomiji
ogromno ve, sam je celo izbolǰsal svoj teleskop. Pri njem človek čuti pristno
veselje in navdušenje nad življenjem. Nikjer ni nobenih znakov kakršnekoli
krize, nobenega jamranja, pa čeprav si mogoče lahko privošči manj kot mar-
sikdo. Skratka, gre za človeka, ki ima odnos do okolice, veselje do življenja
in pristnost tistega, s čimer se rad ukvarja.
Katero podro£je astronomije vas najbolj privla£i?
Najraje prebiram o razvoju vesolja in s tem seveda o življenju zvezd. Knjiga,
kot je Pot skozi vesolje20, ki jo je napisal prof. Zwitter, se mi zdi zelo za-
nimiva. Zanimivo je seveda razumeti fiziko, ki je v ozadju teorij o razvoju
vesolja. S tem mislim na to, da lahko dejansko izračunate posamezna dej-
stva in ne razmǐsljate o njih le opisno. Po drugi strani pa se mi zdi izjemno
zanimiva ”mehanika vesolja“. Bolj enostavno povedano, to je razumevanjegravitacijskega zakona, ki ga je mogoče razložiti tudi dijakom, in to jaz zelo
rad počnem. Čudovito je, ko lahko dijaki že na podlagi Newtonovih ozi-
roma Keplerjevih zakonov dobijo občutek in razumevanje osnovnih gibanj
v osončju in vesolju.
Pred £asom sem na BBC spremljal intervju z znanim okoljevarstvenikom in
znanstvenikom Jamesom Lovelockom21. Ta £ili in genialni devetdesetletnik
pravi, da bi si bolj kot vse drugo ºelel poleteti v vesolje in od tam pogledati
na Zemljo. Kot prominentna oseba, znanstvenik, nekdanji sodelavec NASE
in £lan Royal Society je menda celo med prvimi na seznamu potnikov ºe
za leto 2010 predvidenih javnih poletov v vesolje. Bi si tudi vi ºeleli takega
poleta? Kako lahko tak pogled na Zemljo spremeni £loveka?
Ja, najbogateǰsi so si menda že plačali in rezervirali te polete. Če bi imel
možnost, bi si z največjim veseljem tudi jaz ogledal naš planet iz vesolja.
Gotovo je tak pogled na Zemljo nekaj posebnega. Najbrž dobǐs občutek,
kako majhna in nebogljena je Zemlja v vesolju, kot drobna frnikula. Verjetno
človek to doživi kot posebno izkušnjo, kot posebno spoštovanje do stvarstva.
O tem sem tudi nedavno veliko razmǐsljal, saj sem v NUK-u pripravljal
20Tomaž Zwitter: Pot skozi vesolje, Modrijan, Ljubljana 2002.
21James E. Lovelock, rojen 1919, znanstvenik, izumitelj in okoljevarstvenik. Kot znan-
stvenik se je izkazal in prejel številne nagrade predvsem na področjih kemije in medicine.
Sodelavec NASE pri razvoju programov Viking za raziskavo Marsa in detekcijo kemijskih
elementov, ki bi nakazovali možnost življenja na Marsu. Futurist in avtor teorije Gaia
o kompleksnem zemeljskem organizmu žive in nežive narave. Okoljevarstvenik, ki napo-
veduje katastrofične posledice življenja, kot ga živimo, in avtor številnih knjig. Zadnja
knjiga: James Lovelock (2009): The Vanishing Face of Gaia: A Final Warning: Enjoy It
While You Can. James Lovelock je že od leta 1974 član britanske Royal Society, ki spada
med najstareǰse akademije znanosti. Ustanovljena je bila že leta 1660.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 229
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 230 — #17 i
i
i
i
i
i
Intervju
razstavo o Koperniku3. Najbrž je bil njegov največji dosežek prav to, da
je imel kreativnost in pogum videti planet Zemljo le kot frnikulo, ki kroži
okrog Sonca. Ni šlo samo za velik fizikalni premik misli, sprememba je
bila tudi psihološka, saj je Zemlja naenkrat izgubila svojo osrednjo vlogo
v vesolju. Človeško spoznanje, da ni (več) ”glavni“, je za nekatere nekajposebnega. In najbrž te ob pogledu na Zemljo iz vesolja navda prav poseben
občutek majhnosti in nepomembnosti. Drugo podobno veliko odkritje je
bilo Hubblovo o gibanju galaksij in njegovo spoznanje, da niti naše Sonce in
galaksija v vesolju ne pomenita nič posebnega.
Gotovo imate svoj teleskop. Imate tudi svoj koti£ek v vesolju, kamor najraje
pogledate?
No, nič posebnega. Rad gledam ”globoko v vesolje“. Pri srcu so mi ”meglice“v Andromedi pa v Orionu in tudi manj znane . . . Prav posebna doživetja
pa so mrki.
Pogledate kdaj skozi teleskop dale£ stran tudi zato, ker so bliºnji problemi
prehudi?
(Vzdihljaj.) Zelo mi je pri srcu metodika in delo z mladimi. Zelo rad
jih peljem na opazovanje. Zelo rad pa opazujem nebo tudi sam. Rad se
odpeljem na primer na Mangartsko sedlo, seveda s teleskopom, in opazujem
vso noč. Če sem razburjen, me tako opazovanje zelo pomiri. V takem
opazovanju uživam. Je pa to tudi trening, saj tako obnavljaš znanje in
vedenje, sicer hitro pozabǐs, kje je kaj.
Vsakdo ima svojega boga. Kak²en je bog, v katerega verjamete vi? Kak²na
je njegova osebna izkaznica, s katero bi ga predstavili povpre£nemu £loveku?
Verjamete v Boga?
Ja, verjamem. Moja podoba Boga združuje smotrnost, lepoto, pooseblja
naravne zakone, logičnost mǐsljenja, z vidika človeka je Bog vsemogočen.
Vse to lahko pripǐsete tudi naravi, zato ima Bog, v katerega verjamem,
še eno zelo pomembno dimenzijo, to je ljubezen in upanje. To dvoje si
predstavljam kot celoto, mogoče bi bil še bolǰsi izraz hrepenenje. Brez tega se
mi zdi, da bi bilo vse brez pomena. Z ljubeznijo se začne odnos spoštovanja
in čudenja. Brez ljubezni je roža le lepa in jo lahko brezobzirno odrežete.
Tudi roža je živa. Pred leti je bil v Proteusu objavljen zanimiv članek in od
takrat sem še bolj pozoren in verjamem, da tudi rože po svoje res čutijo.
Pomeni to hrepenenje tudi optimizem?
Seveda, brez optimizma lahko obupamo. Včasih opazujem dijake. Nekateri
tako hitro obupajo. Vsak neuspeh jih zlomi. Spomnim se dijakinje, ki je
bila z življenjsko voljo čisto na koncu. Bila je popolnoma obupana, jemala
230 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 231 — #18 i
i
i
i
i
i
Boris Kham
je mamila. Ko se ji je po mnogih pogovorih in po vseh mogočih oblikah
pomoči povrnilo upanje, je bilo naenkrat spet vse v redu.
ƒesa se pri ljudeh bojite? ƒesa pri ljudeh ne marate?
Absolutno ne maram egoizma. To, da človek vidi samo sebe, je grozno.
Tudi v izobraževanju je tega veliko. Človek vidi samo svojo stvar, svoj
predmet. Vse, kar ga skrbi, je, da ”odbrenka“ svojo dolžnost, za nikogar aliza nič drugega mu ni mar. To, da človek, namesto da bi pomagal sočloveku,
raje pogleda stran in se dela, da človeka v stiski ali potrebi ne vidi, to res
sovražim. Smo skupnost ljudi in drug brez drugega ne moremo. Kjer pa je
veliko egoizma, je tudi veliko zaskrbljenosti, saj se človek počuti negotovo.
Kaj se spla£a po£eti v ºivljenju?
Vsekakor se splača živeti za dobro. Saj je včasih dovolj le prijazna beseda,
človek vas lepo nagovori, pa vam polepša dan. Srečate sitnobo, ki je z vami
surova in neprijazna, pa se še vi počutite slabo. Splača se truditi, da bi se
imeli dobro, in splača se deliti dobro z ljudmi. Splača se z ljudmi smejati,
splača se veseliti z njimi, plesati dobesedno in v prenesenem pomenu. Splača
se izmenjati dobro besedo in se veseliti, ne pa zamorjen ob kozarcu vina
opevati svoj obup. Še posebej opažam to pri mladih. Ko dijaka na hodniku
mimogrede prijazno nagovorǐs, navržeš kako dobro opazko . . . , koliko lažje
potem steče tudi druga komunikacija.
Kak²no misel bi vi poslali v vesolje22 (in 16), kot simbolno sporo£ilo £love²tva?
(Nasmeh.) Ne vem, mogoče le to, da je življenje prijetno ter polno lepote
in ljubezni.
22Na plovilih Pioneer 10 in 11 ter Voyager 1 in 2, ki so zapustila naše osončje, so na-
meščene tudi zlate plošče, ki nosijo simbolična sporočila človeštva. Na Pioneerjih 10 in
11 sta zlati plaketi z znano skico moškega in ženske ter drugimi simbolnimi opisi življe-
nja na Zemlji. Voyagerjevi zlati plošči sta že precej bolj umetelni, a prav tako simbolni
kot prvi dve. Med drugim vsebujeta tudi kratek simbolni nagovor takratnega amerǐskega
predsednika Jimmyja Carterja, ki opisuje
”
poskus človeštva, da bi preživelo lastni čas in
pustilo sled v prihodnosti“. Plošči vsebujeta zvočni nagovor v 55 svetovnih jezikih, nekaj
deset značilnih zvokov življenja na Zemlji, glasbene posnetke različnih svetovnih kultur,
na primer 1. stavek Bachovega Brandenburškega koncerta št. 2, 1. stavek 5. Beethovnove
simfonije, poročno pesem iz Peruja, tradicionalno bolgarsko ljudsko pesem Balkanski val-
ček in mnogo drugih. Vsebino plošče je za NASO izbrala posebna komisija, ki jo je vodil
Carl Sagan (1934–1996). Carl Sagan je bil eden najbolj prominentnih astronomov in po-
pularizatorjev znanosti svojega časa. Bil je profesor na harvardski in cornellski univerzi.
Prejel je številna znanstvena in literarna priznanja od NASE in Amerǐske akademije zna-
nosti do Pulitzerjeve nagrade za literaturo. Voyagerjevi zlati plošči sta narejeni iz zlata
in bakra in vsebujeta tudi izotope urana, ki so bili pripravljeni posebej, da bi potencialni
najditelji lažje določili starost posnetka in naše civilizacije.
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 231
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 232 — #19 i
i
i
i
i
i
Intervju
Kak²no sporo£ilo pa bi naslovili na tiste, ki jih va²a misel zares lahko doseºe?
Lahko je kar isto.
Prof. Kham, hvala za pogovor.
Pogovor je pripravil Damjan Kobal
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 56 (2009)
številke 1–6, strani 1–232
Članki — Articles
Fundamentalna grupa in koH-prostori — Fundamental group and coH-
spaces (Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–15
Mikrofluidično vezje z mikročrpalko — Microfluidic circuit with a micro-
pump (Blaž Kavčič, Dušan Babič in Igor Poberaj) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16–24
Iracionalnost krožne konstante — The irrationality of the circular con-
stant (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–47
Kubični zlepki z majhno prožnostno energijo — Cubic splines with small
strain energy (Gašper Jaklič in Emil Žagar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48–60
Balmerjeva enačba — Balmer’s equation (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . 61–67
Tschirnhausova kubika — The Tschirnhaus cubic (Marko Razpet) . . . . . 81–92
Osnovni naboj in šum — Elementary charge and noise (Janez Strnad) 99–106
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 — Hadamard Matrices and
Mariner 9 Mission (Aleksandar Jurǐsić) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–135
Spominska pošča Francu Hočevarju — Memorial tablet to Franc Hočevar
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–143
Galilejeve lune — Jovian satellites (Galilean moons) (Aleš Mohorič) . . . 145–147
Uvod v svet p-adičnih števil — Introduction to the world of p-adic num-
bers (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–171
Pot na Luno — Moon travel (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172–179
Primer diakavstike — A diacaustic curve (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . 193–199
Temna snov: Raziskave nevidnega v dveh kozmoloških superpospeševal-
nikih ”Izstrelek“ 1E0657–56 in MACSJ0025.4–1222 — Dark Matter:
Revealing the Invisible with 2 Cosmic Supercolliders “The Bullet Clu-
ster” 1E0657–56 and MACSJ0025–1222 (Maruša Bradač) . . . . . . . . . . 207–213
Šola — School
Vsebinsko znanje in naravoslovno razmǐsljanje — Content knowledge and
scientific reasoning (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107–113
Intervju — Interview
Boris Kham (pripravil Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214–232
232 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6
i
i
“intervju” — 2010/1/14 — 11:05 — page 233 — #20 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Nove knjige — New books
Numerična analiza (Zvonimir Bohte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92–96
Osnove vǐsje matematike I (Matej Brešar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96–97
Fiziki – 6. del (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97–98
Guesstimation (Primož Ziherl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113–115
Na ramenih velikanov (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115–117
Why is Uranus upside down? (Uroš Kostić) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–118
Misija na Luno (Andrej Guštin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119
Glej jih, zvezde! (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Dva učbenika za topologijo (Jaka Smrekar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–157
Topics in Graph Theory (Marko Petkovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–160
Matematika skozi stoletja (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XV
Velike oči, zazrte v nebo – Eyes on the Skies (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . 179–180
Enciklopedija števil (Borut Zalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180–181
Matematični priročnik (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–183
Stric Petros in Goldbachova domneva (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Vesti — News
Zoisove nagrade in priznanja za znanstvenoraziskovalno delo v letu 2008 25–27
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–29
DMFA Slovenije v zadnjih desetih letih (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . 29–III
Obvestilo (Janez Seliger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Mednarodno leto astronomije 2009 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–71
Petnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Gregor Šega) 72–79
Strokovna ekskurzija in sindikalni izlet v okolico Trsta (Mitja Rosina) . 79
Vabilo (Janez Seliger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3. slovensko srečanje matematikov raziskovalcev (Boštjan Kuzman in
Emil Žagar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Novi člani društva v letu 2008 (Vladimir Bensa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143–144
Ob odprtju prenovljenega Peterlinovega paviljona (Janez Bonča) . . . . . . 148–150
Prenovljeni Peterlinov paviljon (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151–152
Anketni vprašalnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185–186
Šestnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Marjan
Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–190
Matematično raziskovanje na MARSu (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . 190–192
Matematične novice (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192–XIX
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA (pripravila Nada Razpet in Janez
Krušič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199–205
Prejemnika društvenih priznanj za leto 2009 (pripravili Lucijana Kračun
Berc in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Utrinki — Miscellanea
Kolumela: Poslovni načrt za vinograd (Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–XI
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 6 XXIII
i
i
“kolofon” — 2010/1/14 — 11:22 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, NOVEMBER 2009
Letnik 56, številka 6
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Primer diakavstike (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193–199
Temna snov: Raziskave nevidnega v dveh kozmoloških superpospeše-
valnikih „Izstrelek“ 1E0657–56 in MACSJ0025.4–1222
(Maruša Bradač) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207–213
Intervju
Boris Kham (pripravil Damjan Kobal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214–232
Vesti
Strokovno srečanje in občni zbor DMFA
(pripravila Nada Razpet in Janez Krušič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199–205
Prejemnika društvenih priznanj za leto 2009
(pripravili Lucijana Kračun Berc in Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–XXIII
CONTENTS
Articles Pages
A diacaustic curve (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193–199
Dark Matter: Revealing the Invisible with 2 Cosmic Supercolliders “The
Bullet Cluster” 1E0657–56 and MACSJ0025–1222 (Maruša Bradač) 207–213
Interview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214–232
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199–XXIII
Na naslovnici: sta posnetka jat galaksij Izstrelek 1E0657–56 (levo) in MACS
J0025.4–1222 (desno). Vir: NASA/CXC/CfA/STScI/Magellan in NASA/CXC/
STScI/Stanford/UCSB/ (glej članek na strani 207).