S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA 765–773 ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA YARN UNWINDING FROM PACKAGES Stanislav Pra~ek Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehni{ka fakulteta OTGO, Sne`ni{ka ulica 5, 1000, Ljubljana, Slovenia Prejem rokopisa – received: 2024-05-13; sprejem za objavo – accepted for publication: 2024-10-10 doi:10.17222/mit.2024.1188 Odvijanje preje z navitka je pomemben proces. Pri izdelavi tkanin se odvija preja s kri`nih navitkov v fazi snovanja in vna{anja votka v zev. Med odvijanjem v preji nastanejo dolo~ene napetosti kot posledica u~inkujo~e vle~ne sile, ki so pribli`no sorazmerne s kvadratom hitrosti odvijanja. Napetost v preji pri konstantni hitrosti odvijanja ni konstantna, temve~ niha v dolo~enem intervalu. To je {e posebej opazno pri odvijanju z mirujo~ega navitka, kjer se preja z veliko hitrostjo odvija v smeri osi navitka. Tudi tedaj, ko preja ni mo~no obremenjena in napetost ne presega nekaj odstotkov njene pretr`ne trdnosti, se preja lahko ob~asno pretrga, iz ~esar se lahko sklepa, da kri`ni navitek ni idealna oblika navitka, oziroma da navitki niso vedno brezhibno naviti. Ker se v praksi stremi k ~im ve~ji hitrosti snovanja in tkanja, se postavljajo zahteve za dopolnitev teorije odvijanja preje s kri`nih navitkov, ki bi omogo~ila potrebne modifikacije procesa odvijanja preje. Namen tega dela je opredeliti gibalne ena~be, ki opisujejo odvijajo~o se prejo, in oblikovati matemati~ni model, ki bo omogo~al ra~unalni{ko simuliran proces odvijanja preje. Klju~ne besede: odvijanje preje, teorija balona, simulacija, kot navijanja preje na navitku, brezdimenzijska kotna hitrost Yarn unwinding from a package is important in many processes. In production the yarn is being withdrawn from cross-wound packages in warping and weft insertion. The quality of the yarn is numerically expressed mainly by the values of mechanical quantities. They depend on how the yarn is stressed. During unwinding of the yarn at high speed from a stationary package, the tension oscillates within some interval. It happens that, when the yarn is not strongly stressed and the tension is not high, the yarn breaks. This is why we think that a cross-wound package is not an ideal form of package and that such packages are not al- ways made without flaws. We strive to achieve the fastest warping and weaving speeds as possible; therefore, our aim is to im- prove the theory of cross-wound package unwinding and to find the necessary modifications of the yarn-unwinding process. The goal of our contribution is to state the equations of motion that describe the unwinding yarn and to develop a mathematical model that would enable us to simulate the process of unwinding. Keywords: yarn unwinding, balloon theory, simulations, winding angle on the yarn on the package, dimensionless angular ve- locity 1UV OD V procesu izdelave tkanin se odvija preja s kri`nih navitkov v fazi snovanja in vna{anja votka v zev. Pri odvijanju preje s kri`nega navitka se v preji generira dolo~ena napetost. Ta napetost je pribli`no sorazmerna kvadratu hitrosti odvijanja. Razvoj sedanje teorije odvi- janja preje se je za~el v 50. letih prej{njega stoletja. 1–3 Stara teorija balona je bila nadgrajena z Coriolisovo in centrifugalno silo ter spoznanjem, da se lahko vpliv te`nostne sile ter tangentne komponente sile zra~nega upora zanemari. V novej{em ~asu so s pomo~jo pertur- bacijske analize iz gibalnih ena~b izklju~ili ~asovno odvisnost, ter izpeljali premi~ne mejne pogoje, ki veljajo za navitke z majhnim kotom navijanja. 3,7 Ugotovili so, da ~e se v teoreti~ni model odvijanja preje vklju~i parame- ter elasti~nosti, se zmanj{ata napetost preje v balonu in njegov polmer kot tudi, da je ta u~inek zelo majhen za obmo~je parametrov elasti~nosti, ki so prisotni pri obi~ajnih prejah. Zadnje raziskave na tem podro~ju so s pomo~jo eksperimentalnih rezultatov in obse`nih numeri~nih izra~unov potrdile dosedanje teoreti~ne ugotovitve. 8–14 Preja ima dolo~eno kakovost, ki je izra`ena predvsem z vrednostmi fizikalnih in mehanskih parametrov. V pro- cesu odvijanja preje pridejo najbolj do izraza visko- elasti~ne lastnosti v odvisnosti od obremenitve preje. 7 Obremenitev preje pri konstantni hitrosti odvijanja ni konstantna, ampak niha v dolo~enem intervalu. 8–10 ^eprav obremenitev preje v povpre~ju ne presega nekaj odstotkov vrednosti pretr`ne trdnosti, lahko ob~asno nastopi pretrg preje, iz ~esar se lahko sklepa, da kri`ni navitek ni idealna oblika navitka ali ni vselej brezhibno navit. Ker se stremi za doseganje ~im ve~je hitrosti sno- vanja in tkanja, je tudi ekonomski interes dopolniti teorijo odvijanja preje s kri`nih navitkov in s tem priti do potrebnih modifikacij procesa navijanja preje. 1.1 Matemati~ni zapis odvijanja preje Shematski prikaz odvijanja preje s kri`nega navitka, ki ponazarja krivuljo v prostoru, je podana na sliki 1. Preja se lahko opi{e kot krivulja v prostoru, ki je parametrizirana z lo~no dol`ino s (s je dol`ina preje od izhodi{~a koordinatnega sistema do obravnavane to~ke Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 765 UDK 679.7.028.4:677-486.8 ISSN 1580-2949 Original scientific article/Izvirni znanstveni ~lanek Mater. Tehnol. *Corresponding author's e-mail: stanislav.pracek@ntf.uni-lj.si na preji), slika 1. Polo`aj to~ke je podan s koordinato r, radialno oddaljenostjo od osi, polarnim kotom ,i nz veli~ino z, vi{insko oddaljenostjo od izhodi{~a, slika 1. Vsaka to~ka ima svojo trojico baznih vektorjev e z , e , e r , ki ka`ejo v navpi~ni, tangentni in v radialni smeri. Krajevni vektor r, ki je usmerjen v to~ko na preji, se lahko razcepi na radialni in navpi~ni del (odvisnost od polarnega kota se skriva v vektorju e r ) in se lahko zapi{e v obliki: r(s,t)=r(s,t)e r ( (s,t),t)+z(s,t)e z (t) (1) Koordinate to~ke so eksplicitno odvisne tako od ~asa opazovanja t, kot od lo~ne dol`ine s, na kateri se to~ka nahaja ob ~asu t. Hitrost to~ke na odvijajo~i se preji (hitrost odvijanja je v) je podana s totalnim ~asovnim odvodom: v rrr ==+ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ tts s t (2) Poudariti je treba, da hitrost ni enaka lokalnemu ~asovnemu odvodu, ki je ozna~en z r/ t. ^asovni odvod ne upo{teva, da se v infinitezimalnem ~asu t to~ka premakne na nov polo`aj vzdol` preje (torej na druga~no lo~no dol`ino s). Prispevek k hitrosti zaradi tega gibanja je opisana z dodatnim ~lenom r/ s· s/ t. Hitrost odvijanja je enaka v =– s/ t, zato dobimo naslednji izraz: vr r =− V s ∂ ∂ (3) kjer pika ozna~uje parcialni odvod po ~asu. Poudariti moramo, da je t = r/ s enotski vektor v tangentni smeri na prejo. Smer hitrosti odvijanja v izbrani to~ki na preji mora namre~ kazati v smeri preje. ^asovni odvod krajevnega vektorja izra~unamo upo{tevajo~ zvezo med odvodi v inercialnem in v neinercialnem opazovalnem sistemu(/)(/) ∂∂ ∂∂ ppp tt KK ’ =+ × . ^e to ena~bo uporabimo na baznem vektorju, ki se vrti okoli osi z skupaj s prejo, dobimo∂∂ ee ii ()/ () tt t =× .O dt o d dobimo parcialni ~asovni odvod krajevnega vektorja r = v rel + r, kon~ni izraz za hitrost to~ke je torej na- slednje oblike: vv r r =× − rel + V s ∂ ∂ (4) Posamezni ~leni hitrosti opazovane to~ke imajo vsak zelo preprosto fizikalno interpretacijo. Prvi ~len je rela- tivna hitrost gibanja v neinercialnem opazovalnem sistemu in opisuje, kako se spreminja to~ka preje z vidika opazovalca, ki se vrti skupaj s prejo. Ta hitrost pa ni enaka hitrosti dane to~ke v inercialnem opazo- valnem sistemu. Drugi ~len je kro`na hitrost to~ke zaradi vrtenja opazovalnega sistema; to je hitrost, ki bi jo imela to~ka, ki miruje v neinercialnem sistemu. Zadnji ~len je hitrost gibanja. Po analogiji je pospe{ek to~ke definiran kot totalni ~asovni odvod hitrosti. Z nekoliko dalj{im, a preprostim izra~unom, je dobljen naslednji izraz: a = a rel +2 v re –2 v r/ s + ( r)+ r – 2v v rel / s +v 2 r/ s 2 Ta kompleksni izraz lahko zapi{emo v kompaktni obliki, ~e se vpelje diferencialni operator D, ki sledi gibanju to~ke v vrte~em se opazovalnem sistemu, D =∂∂ ∂∂ // ,, tvs rz − . Poenostavljen izraz za pospe{ek se glasi: ar r rr =+×+××+× DD 2 2 () ( ) (5) V nadaljevanju je obravnavana dinamika kratkega odseka preje z dol`ino s. Uporabimo drugi Newtonov zakon v obliki F = ma, kjer so F sile, ki delujejo na odsek preje, a pospe{ek in m masa odseka preje. Na odsek preje delujejo sile zaradi vleka preje F v ,t e r zunanje sile F z . Sila vleka je veli~ina, ki pove kak{na sila deluje na odsek enodimenzionalnega telesa kot je preja, za radij enoosne vle~ne obremenitve. Vle~na sila je definirana z ena~bo F = F v t =F v r/ s. Sila F je sila, ki deluje na odsek preje v to~ki prijemali{~a, vektor t pa je tangentni vektor na prejo. Gibalna ena~ba za odsek preje je podana v obliki: a r = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ∂ ∂ ∂ ∂ s F s F vz (6) Ob upo{tevanju izraza za pospe{ek (5), dobimo kon~no gibalno ena~bo za prejo v neinercialnem opazo- valnem sistemu: DD s F s F vz 2 2rrrr r +×+××+×= = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + () ( ) ∂ ∂ ∂ ∂ (7) V gibalni ena~bi je masa preje na enoto dol`ine, ~len D 2 r se lahko interpretira kot pospe{ek to~ke v vrte~em se koordinatnem sistemu. ^e se preostale tri ~lene na levi strani ena~be prenese na desno stran, se ti reinterpretirajo kot navidezne sile, ki se pojavijo zaradi neinercialnosti tega opazovanega sistema. To niso "prave" fizikalne sile, temve~ sile, ki jih ob~uti opazo- S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA 766 Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 Slika 1: Odvijanje preje s kri`nega navitka Figure 1: Mechanical setup in overend yarn unvinding from cilin- drical package valec v neinercialnem opazovalnem sistemu zaradi inercijskih u~inkov. Navidezne sile so t.i. sistemske sile, imenovane tudi inercijske sile ali psevdo sile. Te sile se ne bi pojavile v gibalni ena~bi, ~e bi te zapisali v inercialnem opazovalnem sistemu, ~etudi bi bilo gibanje telesa samega pospe{eno. Sistemske sile dobimo le tedaj, ko ena~bo zapi{emo v obliki, ki je preimerna za opis v neinercialnem opazovalnem sistemu. Na odsek preje delujejo Coriolisova, centrifugalna in Eulerjeva sila. V gibalni ena~bi F z ozna~uje zunanje sile, v tistem delu preje, ki tvori balon, je F z sila zra~nega upora: 8,15,16 F u =– k n v N v N , kjer je k n koeficient zra~nega upora in v n normalna komponenta hitrosti gibanja preje.V delu preje, ki drsi po navitku (torej med to~ko odvijanja O d in to~ko dviga D v ) deluje na gibajo~i odsek preje sila trenja F t s katero navitek deluje na prejo in ovira njeno gibanje. Sestavljena je iz normalne sile navitka na prejo in iz sile trenja med prejo in navitkom: 15 F t = F N e r – F N v/ v , kjer je F N velikost normalne sile, e r enotski vektor v radialni smeri, koeficientom trenja in v v enotski vektor v smeri hitrosti preje. Gibalna ena~ba se lahko zapi{e v brezdimenzijski obliki. V ta namen je potrebno poiskati naravne enote, s katerimi se izrazijo vse veli- ~ine, ki se pojavijo v gibalni ena~bi. 6 rr vv v ==== == // ,/ ,/ /, crrczzcssc tt t v , =/, N =/ N N N v v F Fc v F Fc v F F v z z v v === 222 ,,, (8) ^e gibalno ena~bo (7) zapi{emo s temi brezdimenzij- skimi veli~inami, dobi obliko: DD t = = s F s F z 2 2rrrr r +×+××+ × ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ () ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v (9) kjer je D brezdimenzijski diferencialni operator in brezdimenzijska kotna hitrost: D ts s v =− ∂ ∂ ∂ ∂ , (10) Brezdimenzijska sila zra~nega upora je podana v obliki: F p u NN = 0 16 vv (11) kjer je: vrr v r v r =+× =×× ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ D ss n ∂ ∂ ∂ ∂ (12) 1.2. Kvazistacionarni pribli`ek pri odvijanju preje Do sedaj je bila izpeljava povsem splo{na, saj je upo{tevano le, da ima preja konstantno linearno gostoto mase in da je neelasti~na. Z izpeljano brezdimenzijsko ena~bo (9) se lahko obravnava poljubno gibanje preje. V nadaljevanju so predstavljene dopustne poenostavitve pri obravnavi odvijanja preje s cilindri~nega navitka. V literaturi sta znana dva mo`na pristopa. Pri prvem je enostavno privzeto, da je gibanje kvazistacionarno glede na vrte~i se koordinatni sistem, tako da se v ena~bi gibanja postavijo vsi ~asovni odvodi na 0. Pri drugem pristopu pa je problem obravnavan s teorijo motenj. 6 Izka`e se namre~, da se lahko z ustrezno izbiro brez- dimenzijskih spremenljivk ena~bo gibanja napi{e v obliki, pri kateri so vsi ~asovni odvodi pomno`eni z nekim majhnim parametrom. Fraser et al. so ocenili, da se pri tipi~nih navitkih ta parameter giblje med 0.007 in 0.103, kar ka`e na to, da se lahko v prvem pribli`ku ~asovni odvodi zanemarijo. Teorija motenj je siste- mati~ni na~in za iskanje tak{nih pribli`kov. Pokazali so, da je osnovna ena~ba ekvivalentna stacionarnemu gibanju preje v vrte~em se koordinatnem sistemu. Vsa ~asovna odvisnost pa se prenese na robne pogoje. Poleg tega je vidno, da je v ni~tem redu teorije brezdimenzijska kotna hitrost enaka ena. To pomeni, da je re{itev konsi- stentna samo pri kotu navijanja ni~, kar omeji splo{nost re{itev, ~e se omejimo na ra~unanje v osnovnem, ni~tem redu teorije motenj, kot so to storili Fraser et al. Uporaba teorije motenj je z matemati~nega vidika utemeljen pristop, toda s fizikalnega vidika je tudi prvi pristop povsem zadovoljiv, dopu{~a pa tudi ve~jo splo{nost, zato se bomo odlo~ili za uporabo kvazi- stacionarne aproksimacije. ^e postavimo vse ~asovne odvode na ni~ in zaradi enostavnej{ega zapisa opustimo pisanje oznake ¯ za brezdimenzijske veli~ine, dobimo kvazistacionarno ena~bo gibanja: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 rr r r s ss F s F z −×+×× ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + v (13) 1.3 Izpeljava gibalnih ena~b, razpisanih po kompo- nentah Vektorsko ena~bo (13) bomo zapisali v komponentni obliki. Tak{na oblika je primernej{a za re{evanje sistema ena~b. V ta namen izra~unamo prvi in drugi odvod krajevnega vektorja re (,,) () (() ) () r z rs s zse z =+ r (14) Upo{tevati je potrebno {e dejstvo, da sta bazna vektorja e r in e eksplicitno odvisna tudi od kota in ne samo od ~asa, glej sliko 1. Velja: ∂ ∂ ∂ ∂ e e e e r r , == − (15) Za prvi in drugi odvod tako dobimo: rr ' ' ' ' " "' '' " " = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ r r z rr rr z , 2 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (16) S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 767 Izraza za hitrost v in normalno komponento hitrosti v N zapi{emo kot: 6 vv = − −+ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − + − r rr z r rr zr r ' ' ' '' '' ' , N 22 z' ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (17) za kvadrat absolutne vrednosti vektorja hitrosti pa dobimo: v N 2 222 =+ rrz (' ') (18) kjer je hitrost: v N =+ rr z '' 22 (19) Sila zra~nega upora je potem F prrv pv r prz v N n n n =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 1 16 0 2 0 3 0 2 '' /( ) '' (20) Ob upo{tevanju, da je / s(F v r/ s)=F v r + F v r se lahko ena~ba gibanja poda v obliki () "'() 12 −−× + ××= ′ FF + F z vv ' rrrr (21) ^e se ta vektorska ena~ba gibanja razpi{e po kompo- nentah, dobimo tri ena~be: () "' )' / () 12 1 16 2 0 3 −−+−= ′ Frr r rFr +pvr vv n (' (22) ()" '" )' / () 12 2 1 16 0 3 −+ −= ′ Frr rF r +p vr vv n (' (23) () " ' ' 1 1 16 0 2 −= ′ FzFz+ pr zv vv n ' (24) ~etrta ena~ba pa je pogoj za neelasti~nost preje rr z ''' 2222 1 ++= (25) Imamo torej {tiri ena~be in {tiri neznanke, r, ,zin F v . ^e ena~bo (22) mno`imo z r , ena~bo (23) z r in ena~bo (24) z z , dobimo [] () " '''' " ' "' (' ' 1 22 222 −+++−= = ′ + Frrr rr z zr r Fr rq v v [] + ++ z+ pv rr ' v r z ' 2 nn 2 ) '/ '' 1 16 0 22 2 (26) Izraz med oklepajema na desni strani ena~be je enak 1, to je ravno pogoj za neraztezljivost. Izraza med ogla- tima oklepajema pa sta oba enaka 0. Dokaz za prvi izraz je zapisan v naslednji ena~bi: ( ' ") ( ' ") ( ' ' ' " (') (') ( rr zz rr r rz +++= =++ 22 22 2 1 2 1 2 1 2 r rzr '') ' (' ' ') () 22 2222 1 2 1 2 10 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ′ = =++ ′ = ′ = (27) kjer je izraz v oklepajih v predzadnji vrstici enak pogoju za neraztegljivost, odvod konstane pa je enak ni~. ^e se v drugem izrazu zazpi{e v N po ena~bi (19) je vidno, da se ~leni pokraj{ajo. Preostane torej izraz: ′ =− ′ Fr r v 2 (28) ^e se z F 0 ozna~i obremenitev v preji na vodilu, se izraz za vle~no silo zapi{e v obliki: FF r v =− 0 22 1 2 (29) Iz izraza (29) je vidno, da je vle~na sila v preji v dani to~ki neposredno odvisna samo od centrifugalne sile, ne pa od Coriolisove sile ali sile zra~nega upora. 8 Centri- fugalna sila nara{~a z oddaljenostjo preje od osi. Vle~na sila je tako najve~ja na osi, ko je r = 0, torej v vodilu, kjer velja izraz: FF v = 0 (30) 2 EKSPERIMENTALNI POSTOPEK Enoosna vle~na obremenitev v preji se lahko dolo~i s tenziometrom, slika 2. Absolutna vrednost izmerjene sile je enaka obremenitvi! Velja |F| = F v . Obi~ajno se izvaja merjenje vle~ne sile s tenziometrom v podro~ju vodila v skladu z ena~bo (30). Slika 2 prikazuje eksperimentalno postavitev previ- jalne naprave. Prejo odvijamo s fiksnega horizontalnega navitka s pomo~jo lessonovega pogona pri hitrosti do 2000 m/min. Da bi zmanj{ali obremenitev preje, smo balon omejili z uporabo motilca balona. Radij balona je namre~ tisti dejavnik, ki povzro~a visoke centrifugalne sile, te pa povzro~ajo visoke obremenitve v preji. Pri mejni hitrosti postane radij balona tako velik, da ga za~ne motilec omejevati. Ker je radij omejen. je s tem onemogo~eno tudi nara{~anje obremenitev preje. Upo- rabljen motilec balona je sestavljen iz osmih teflonskih obro~ev razli~nih premerov. Najve~ji obro~ je imel premer 25,3 cm, nato (v smeri proti vodilcu) so sledili obro~i s premerom 23,1 cm, 18,5 cm, 15,0 cm, 12,3 cm, S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA 768 Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 Slika 2: Merjenje vle~ne sile preje na previjalni napravi Figure 2: Schematic of the unwinding analysis system 8.0 cm, 4,5 cm in 1,6 cm. V odilec je bil od najmanj{ega obro~a oddaljen 3,6 cm, razdalja med obro~i pa je zna{ala 5,5 cm. Navitek smo namestili med obro~e. V odilec tik za najmanj{im obro~em in vodilec preje pred odvijalno napravo sta bila med seboj razmaknjena za 6 cm, med njima pa je bil na sredini name{~en tenzio- meter (Schmidt control instruments, model DTMX-200), s pomo~jo katerega smo merili vle~no silo v odvijajo~i se preji. Odvijalni del previjalne naprave je sestavljen iz prehitevalnega in frikcijskega valja ter vretena na katerega se navija preja. Za~etni eksperimentalni parametri pri odvijanju preje so podani v tabeli 1. Tabela 1: Eksperimentalni parametri Table 1: Experimental parameters Parametri Parameters Obmo~je vrednosti Range of values Vrsta preje Yarn type bomba` cotton Dol`inska masa preje, T t Yarn linear density, tex, T t 41,60 tex Kot navijanja, 0 Package winding angle, 0 5° Gostota zraka, Air density, 1,22 kg/m 3 Dinami~na viskoznost zraka, Dynamic viscosity of air, 1,7 10 –5 kgm/s Hitrost odvijanja, v Unwinding speed, v 1000–2000 m/min Rezultati meritev vle~ne sile pri razli~nih hitrostih odvijanja v so prikazani v tabeli 2. Dobimo naslednje vrednosti: Tabela 2: Vle~na sila v preji F v v podro~ju vodila v odvisnosti od kotne hitrosti Table 2: The tensile force F v depending on the angular velocities Hitrost odvijanja, Unwinding velocity, m/min Radij, Radius, mm Kotna hitrost, Angular ve- locity, rad/s Vle~na sila, Tensile force, cN 1000 110 151,5 5,5 1000 108 154,3 6,0 1000 107 155,8 6,2 1250 107 194,7 11,5 1250 106 196,5 12,3 1250 105 198,4 12,6 1500 105 238,1 72,0 1500 104 240,4 72,0 1500 103 242,7 78,0 1750 103 283,2 78,0 1750 100 291,7 78,0 1750 97 300,7 80,0 2000 97 343,6 84,0 2000 95 350,9 85,0 2000 92 362,3 90,0 Na podlagi analize rezultatov je vidno, da vle~na sila pri ni`jih vrednostih kotne hitrosti, tj. do pribli`no = 240 rad·s nara{~a v grobem kvadrati~no. Pri mejni kotni hitrosti = 240 rad·s pa se vrednost vle~ne sile ustali in nara{~a zelo po~asi. To se lahko pojasni na podlagi vpliva vgrajenega motilca balona, ki je bil uporabljen pri odvijanju preje. Vpliv vle~ne sile oz. obremenitve preje med odvi- janjem se lahko opredeli na podlagi spremembe pretr`ne sile preje, ki se dolo~i z nateznim poskusom. Rezultati spremembe pretr`ne sile preje v odvisnosti od hitrosti odvijanja so prikazani v tabeli 3. Tabela 3: Spremembo pretr`ne sile preje v odvisnosti od hitrosti odvijanja Table 3: The variation of yarn breaking strength, for a range of un- winding velocities Hitrost odvijanja, Un- winding velocity, m/min Vle~na sila, N Povp. vred., Averg. value, N Stand. dev., Stand. devi., N Koef. var., Coef.of vari., % Min. vrednost, Min. value, N Maks. vrednost, Max. value, N Nepre. p., unw.y. 4,528 0,3167 6,994 3,814 5,075 1000 4,635 0,2957 6,38 3,769 5,235 1250 4,574 0,3618 7,909 3,799 5,435 1500 4,428 0,3504 7,915 3,579 5,27 1750 4,443 0,3081 7,095 3,514 5,06 2000 4,495 0,2918 6,492 4,044 5,24 3 Model za simulacijo Na valjnih navitkih je odvisnost kotne hitrosti od kota navijanja podana z naslednjim izrazom: = ⋅ ⋅− V c cos (s i n 1 (31) Pri izpeljavi tega izraza smo zanemarili, da se dol`ina preje v balonu med odvijanjem dveh zaporednih navojev niti spremeni. Iz predhodne ena~be sledi {e, da se lahko brezdimenzijska kotna hitrost zapi{e kot: = − cos sin 1 (32) V na{em poenostavljenem modelu je torej brez- dimenzijska kotna hitrost odvisna le od kota navijanja, ki pa je ~asovno spremenljiva veli~ina, saj se ta kot spreminja med odvijajanjem preje od sprednjega proti zadnjemu robu in obratno. Kot navijanja je pozitiven, ~e se pri odvijanju opazo- vana to~ka na preji giblje v smeri nara{~ajo~ih vrednosti koordinate z (odvijanje preje od vrhnjega roba proti spodnjemu robu), medtem ko je kot navijanja negativen, ~e se pri odvijanju opazovana to~ka na preji giblje v smeri padajo~ih vrednosti koordinate z (odvijanje preje od prednjega proti vrhnjemu robu). Matemati~ni opis spreminjanja kota navijanja med procesom odvijanja je klju~nega pomena, saj je od kota S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 769 navijanja odvisna kotna hitrost preje, kar je vidno iz ena~be (31). Kotna hitrost vpliva na enoosno vle~no obremenitev v preji, zato ima spreminjanje kota ob~uten vpliv na nihanje obremenitve preje med odvijanjem. V modelu je predpostavljeno, da je kot navijanja med gibanjem opazovane to~ke odvijanja po navitku gor in dol pribli`no konstanten, predznak kota pa se mora na obeh robovih spremeniti kar se da hitro. Funkcija z ustrezno lastnostjo se lahko dobi iz periodi~ne funkcije, saj je tudi gibanje to~ke odvijanja pribli`no periodi~no. Izhodi{~e je lahko najbolj poznana periodi~na funkcija sinus. Zapis funkcije je potrebno ustrezno prilagoditi, da bodo spremembe med gibanjem gor in dol po~asnej{e, na robovih pa hitrej{e. To dose`emo s potenciranjem z majhnim eksponentom, na preimer 1/40: (t) = sign(sin t) sin t 1/40 (33) Funkcija signum, sign, poskrbi za pravilen predznak, saj je bilo potrebno pred ra~unanjem potence vzeti abso- lutne vrednosti funkcije sinus. Dalje se predpostavi, da se kot navijanja spreminja s ~asom kot sledi: (t)= 0 (t), (34) kjer je 0 najve~ji kot navijanja. S tem je mi{ljena pozitivna vrednost kota navijanja, to je tista vrednost, ki se navaja kot karakteristika danega kri`nega navitka. Sprememba brezdimenzijske kotne hitrosti, dolo~ene po izrazu (34) je prikazana na sliki 4, iz katere je vidno, da se pri majhnih kotih navijanja spreminja simetri~no glede na premico = 1, pri ve~jih kotih navijanja pa se ta parameter spreminja nesimetri~no, in sicer je odklon k pozitivnim vrednostim ve~ji. Iz rezultatov je tudi vidno, da je pribli`ek = 1 pri velikih kotih navijanja neutemeljen. V tej lu~i se lahko ugotovi, da spoznanja, ki so jih v svojih raziskavah predstavili Fraserjevo et al. delo, dobro veljajo le pri zelo majhnih kotih navijanja. 6 Geometrijo navitka se lahko opi{e z enostavnimi matemati~nimi izrazi, medtem ko je potrebno zvezo med kotno hitrostjo in enoosno vle~no obremenitev v preji dolo~iti. Obremenitev je najve~ja v vodilu, kar je razvidno iz izraza (30). Zato bo v nadaljevanju prou~ena predvsem vle~na obremenitev v vodilu. Zaradi kraj{ega zapisa bo namesto izraza "vle~na obremenitev v preji v vodilu" v nadaljevanju uporabljen izraz "obremenitev". Ozna~imo jo z F o in uporabimo rezultate za paralelni navitek, do katerih smo pri{li po eksperimentalni poti. Eksperimentalni postopek je opisan v poglavju 2. Za paralelne navitke velja ena~ba (31) pri kotu navijanja 0 ! 0°, tako je: = V c (35) Parametra v in c sta znana, tako da se lahko izra~una odvisnost med obremenitvijoin kotno hitrostjo za neki dolo~eni razpon kotnih hitrosti, za vmesne vrednosti pa se lahko uporabi linearna interpolacija. Eksperimentalne vrednosti vle~ne sile, F v , v odvisnosti od kotne hitrosti, , so prikazane v Tabeli 2. Za vrednosti , ki le`ijo izven obmo~ja, v katerem so bile izvedene meritve, je uporabljena ekstrapolacija. Za vrednosti , ki so ve~je od najve~je izmerjene kotne hitrosti je uporabljena S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA 770 Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 Slika 4: Spreminjanje brezdimenzijske kotne hitrosti s ~asom. Spreminjanje brezdimenzijske kotne hitrosti s ~asom pri desetih kotih navijanja za valjaste navitke. ^asovna enota je izbrana tako, da ~as 2" ustreza eni periodi odvijanja preje z navitka. Figure 4: Oscillations of dimensionless angular velocity during the unwinding yarn from cylindrical packages, where 0 = 5° – 10° and 0 = 30° – 35° Slika 3: Kot navijanja preje pri odvijanju preje od prednjega, tj, spodnjega proti zadnjemu oz. vrhnjemu robu navitka in obratno. Figure 3: Package winding angle during the unwinding in the back- ward and forward direction linearna ekstrapolacijoa za vrednosti , manj{e od najmanj{e izmerjene kotne hitrosti, pa je uporabljen kvadrati~ni zakon. 6 Pri uporabi tega modela je implicitno izvedenih nekaj privzetkov, to so: • na obremenitev ne vpliva dol`ina navitka, • zanemari se zaostala obremenitev, ki je povezana s trdoto navijanja, • kot polaganja preje in {tevilo navojev preje je kon- stantno v plasteh, katerih odvijanje je obravnavano, • preja se giblje v mirujo~em zraku in ima konstanten koeficient zra~nega upora, • kakovost povr{ine je pribli`no enaka pri odvijanju naprej in pri odvijanju nazaj, zato je koeficient trenja pribli`no konstanten. 4 REZULTATI IN DISKUSIJA Rezultati izra~unanih vrednosti vle~ne obremenitve preje F o med odvijanjem z valjastih navitkov pri hitrosti odvijanja V = 1000 m/min in premeru navitkac=7 0m m , z razli~nimi koti navijanja 0 ! 0°, 0 ! 10°, 0 ! 20° in 0 ! 30° so prikazani na sliki 5. Pri paralelnem valjastem navitku je obremenitev konstantna, kar je pri~akovano, saj je pri paralelnih valjastih navitkih kotna hitrost ves ~as enaka. Pri kri`nih valjastih navitkih se obremenitev v preji spreminja s ~asom, kar je posledica na~ina odvijanja, saj je pri odvijanju nazaj kotna hitrost ve~ja kot pri odvijanju naprej v skladu z ena~bo (31). Ker je obremenitev mo~no odvisna od kotne hitrosti, pride do opisanih nihanj v obremenitvi. Nihanja so velika. Pri kotu navijanja 0 = 30° obremenitev ska~e kar od F o =1 0c Nd oF o = 90 cN. V trenutku, ko pride do obrata smeri odvijanja, pride do velikega preskoka v obremenitvi. Tak{ni preskoki mo~no obremenjujejo prejo, zato se lahko pri~akuje, da pri tem prihaja do po{kodb v preji. V skrajnem primeru se lahko preja celo pretrga. To vodi do pomembnega spoznanja, in sicer, da je pri na~rtovanju novih tipov navitkov za`eleno, da je ome- jena tako maksimalna vrednost obremenitve v preji, kot amplituda nihanja obremenitve med odvijanjem. V primeru navitkov z ve~jim radijem so dobljene povsem sprejemljive lastnosti. Oscilacije obremenitve preje pri veliki hitrosti odvi- janja v = 2000 m/min s kri`nih navitkov, ki imajo kot navijanja 0 = 10° in pri razli~nih radijih navitkov c = 300 mm, c = 400 mm, in c = 500 mm so prikazane na sliki 6. Vidno je, da se pri tak{nih navitkih pojavijo zelo majhne obremenitve v preji, ki se gibljejo od 1.5 cN do 4 cN. To se lahko prika`e tudi druga~e. Zamislimo si navitek, pri katerem je radij tulca 70 mm, radij zgornje plasti preje pa je 200 mm. Na Sliki 7 je prikazano odvijanje s tak{nega navitka. Iz slike je vidno, kako kotna hitrost s ~asom vedno hitreje nara{~a in posledi~no dokaj hitro povzro~i zelo visoke obremenitve v preji. Ko je navitek odvit do polovice, se dose`e obremenitev okoli 80 cN, proti koncu odvijanja pa te narastejo celo do 140 cN. To vodi do po{kodb in pretrganja preje. Na podlagi Slike 7 se lahko tudi oceni, da je minimalni radij paralelnih navitkov okoli 150 mm, ~e ne `elimo imeti obremenitev, ve~jih od okoli 50 cN. Do izbire vrednosti 50 cN pridemo na podlagi zahteve, da naj bodo deformacije v preji v Hookovem elasti~nem podro~ju. To pomeni, da se moramo odlo~iti za tak{ne mejne obremenitve, da bodo te pribli`no 10 % pretr`ne trdnosti preje. To vrednost smo lahko izbrali na podlagi eksperimentalnih rezultatov do katerih smo pri{li s pomo~jo nateznega poskusa, ugotovili smo, da pretr`na napetost odvite preje ni bila bistveno spremenjena (glej Tabelo 3). Pretr`na trdnost preje je bila 4.5 N = 450 cN, tako da lahko mejno vrednost ocenimo z 50 cN. S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 771 Slika 5: Obremenitev preje pri hitrosti odvijanja 1000 m/min in premeru navitkac=7 0m m Spreminjanje obremenitve F o med odvijanjem preje z valjastega navitka pri razli~nih kotih navjanja. V = 1000 m/min, c = 70 mm. ~0° (polna ~rta), = 10° (~rtkano), = 20° (to~ke), = 30° (pika, ~rta) Figure 5: Tension at v = 1000 m/min and c =7 0m m Variation of the tension F o during the unwinding of the yarn from a cylindrical package for different winding angles. V = 1000 m/min, c =7 0m m . ~0° (full line), = 10° (dashed line), = 20° (dotted line), = 30° (dot-dashed line) Opomba: Na vodoravni osi je ~as izra`en v enotah t o . Veli~ina t o je ~as ene periode, torej enega obhoda to~ke dviga od sprednjega do zadnjega roba navitka in nazaj, deljen z 2". ^as t/t o predstavlja fazo gibanja to~ke dviga gor in dol po navitku. V ~asu 2" namre~ opravi preja natanko en obhod. Slika 6: Spreminjanje obremenitve med odvijanjem preje s kri`no navitega valjastega navitka pri zelo velikih radijih. v = 2000 m/min, = 10°. c = 300 mm (polna ~rta), c = 400 mm (~rtkano),c=5 0 0m m (to~ke). Figure 6: Variation of the tension F o during the unwinding of the yarn from a cross-wound cylindrical package for very large radii. v = 2000 m/min, = 10°. c = 300 mm (full line), c = 400 mm (dashed line), c = 500 mm (dotted line). Na Slikah 8, 9 in 10 je prikazana odvisnost ampli- tude nihanja obremenitve od hitrosti odvijanja v = 1000–2000 m/min in kotov navijanja od 0° do 20° pri treh razli~nih radijih navitka, in sicer c = 500 mm, c = 2 0 0m m ,i nc=7 0m m .Z av s et r iradije navitkov lahko ugotovimo, da so nihanja obremenitve ve~ja pri ve~jih hitrostih odvijanja in navitkih z velikim kotom navijanja. Amplitude se zelo pove~ajo pri hitrostih, ve~jih od V = 1600 m/min, in pri kotih, ve~jih od 0 = 5°. Nihanja obremenitve v preji so povezana z nihanji kotne hitrosti vrtenja preje okoli osi. Amplitudo nihanja kotne hitrosti izra~unamo na naslednji na~in: Δ =−= = ⋅ ⋅− − ⋅− ⋅− max min cos (s i n) cos( ) (s i V c V c 0 0 0 11 n) tan 0 0 2 = V c (36) Na obmo~ju od x = 0 rad do x = 0.4 rad velja s pet- odstotno natan~nostjo pribli`ek tan x ! x. Natan~nost dolo~imo s pomo~jo razlike med funkcijama x in tan x v to~ki, kjer se ti dve najbolj razlikujeta, torej pri x = 0.4. Relativna napaka je tedaj |(0.4 – tan(0.4))/0.4| ! 0.05. Kot 0.4 rad je okoli 23°, tako da to obmo~je pokrije vse kote, ki nas zanimajo. Zato pribli`no velja: Δ ≈ ⋅ 2 0 V c (37) S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA 772 Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 Slika 7: Spreminjanje parametrov pri odvijanju z navitka pri hitrosti v = 2000 m/min Spreminjanje radija zgornje plasti, kotne hitrosti in obremenitve v preji pri odvijanju s paralelnega valjastega navitka pri V = 2000 m/min. Valj ima radij 70 mm, zgornja plast pa radij 200 mm. Figure 7: Variation of the parameters during the unwinding from a package at V = 2000 m/min The variation of the radius of the top-most layer, the angular velocity and the tension in the yarn during the unwinding from a paral- lel-wound cylindrical package at V = 2000 m/min. The cylinder radius is 70 mm and the outer layer radius is 200 mm. Slika 10: Amplituda nihanja v odvisnosti od kota navijanja in hitrosti odvijanja Primerjava amplitude nihanja obremenitve v odvisnosti od hitrosti odvijanja v in kota navijanja . c =7 0m m . Figure 10: Amplitude of the tension oscillation as a function of the winding angle and the unwinding velocity Comparison of the amplitude of the tension oscillation as a function of the unwinding velocity v and the winding angle . c =7 0m m Slika 9: Amplituda nihanja v odvisnosti od kota navijanja in hitrosti odvijanja Primerjava amplitude nihanja obremenitve v odvisnosti od hitrosti odvijanja v in kota navijanja . c = 200 mm. Figure 9: Amplitude of the tension oscillation as a function of the winding angle and the unwinding velocity Comparison of the amplitude of the tension oscillation as a function of the unwinding velocity v and the winding angle . c = 200 mm Slika 8: Amplituda nihanja v odvisnosti od kota navijanja in hitrosti odvijanja Primerjava amplitude nihanja obremenitve v odvisnosti od hitrosti odvijanja v in kota navijanja . c = 500 mm. Figure 8: Amplitude of the tension oscillation as a function of the winding angle and the unwinding velocity Comparison of the amplitude of the tension oscillation as a function of the unwinding velocity v and the winding angle . c = 500 mm To pomeni, da je amplituda nihanja kotne hitrosti pribli`no sorazmerna s hitrostjo odvijanja in kotom navijanja ter obratno sorazmerna z radijem navitka. Pri velikem radiju c = 500 mm (slika 8) so nihanja obreme- nitve zelo majhna na celotnem obsegu parametrov, tako da lahko s tak{nih navitkov nemoteno odvijamo pri vseh hitrostih in kotih navijanja. Pri navitkih z najmanj{im radijem c = 70 mm lahko prejo odvijamo samo pri kotih manj{ih od 5°. Tako pridemo do naslednjega sklepa: z ve~anjem kota navijanja se pove~ujejo nihanja obremenitve v preji. To je {e posebej izrazito pri navitkih z majhnim radijem. Priporo~eno je tudi, da kot navijanja ne presega 5°. 5 SKLEPI Kri`ni navitki, naviti z obodnim pogonom cevke, ne omogo~ajo doseganja hitrosti odvijanja, ki jo potrebu- jemo, predvsem na hitroteko~ih statvah, kjer se kri`ni navitek uporablja kot votkovni navitek. Zaradi tega se za eno barvo votka uporabljata po dva votkovna navitka in dva prednavijalca rezerve votka, kar je drago in ne- racionalno. Pri obodnem pogonu navitka se kot navijanja ne spreminja. Posledica tega je zrcalno navitje navijanje ene plasti na drugo, ~emur se izognemo z uporabo motenja tega navitja. Niti plasti le`ijo paralelno druga poleg druge (korak vija~nic je praviloma zelo velik in so to~ke kri`anja dveh sosednjih plasti bolj redko posejane). Zaradi velike sti~ne povr{ine, lahko pride do slipa (zdrsa) cele plasti ali pa se nit pretrga. Pri motenju zrcal- nega navitja obstoji verjetnost, da se nit na zadnjem koncu navitka polo`i zunaj navitka in se pri odvijanju "zagozdi" in pretrga. Pri modernih izvedbah navijalnikov z direktnim po- gonom cevke je mo`no spreminjati navijalno razmerje. Vsaka plast ima svoj kot navijanja tako, da imamo ve~ to~k kri`anja kot v navitkih navitih z obodnim pogonom cevke. Posebno pomembno je, da lega niti v eni plasti ni paralelna z nitmi drugih plasti, kar zmanj{a verjetnost slipa posamezne plasti pri odvijanju. Poleg tega nimamo motenja zrcalnega navitja, tako ni nevarnosti, da na zad- njem koncu navitka pade nit zunaj navitka. Navijalniki z direktnim pogonom cevke omogo~ajo ve~jo fleksibilnost navijanja kri`nega navitka, kot navijalniki z obodnim pogonom cevke in omogo~ajo navijanje navitkov, katere odvijamo z ve~jo hitrostjo kot navitke, ki so bili naviti na navijalnikih z obodnim pogonom cevke. V nobenem pri- meru se ne moremo izogniti nihanju obremenitve niti na krajih navitka, ko se spremeni smer gibanja to~ke v kateri se nit dvigne z navitka oziroma za~ne drseti po povr{ini navitka. Navijanje navitkov moramo optimi- zirati tako, da je absolutna vrednost nihanja obremenitve ~im manj{a. To dose`emo tako, da kot navijanja ne pade pod 5° in ne presega 10° skozi celoten navitek. Ugotovimo, da se pri majhnih kotih navijanja spreminja simetri~no glede na premico = 1, pri ve~jih kotih navijanja pa se ta parameter spreminja nesimetri~no, in sicer je odklon k pozitivnim vrednostim ve~ji. Iz rezultatov tudi vidimo, da je pribli`ek = 1 pri velikih kotih navijanja neutemeljen. V tej lu~i lahko kriti~no ocenimo Fraserjevo delo, ki velja le pri zelo majhnih kotih navijanja. 6 VIRI 1 C. Mack, Theoretical study of ring and cap spinning balloon curves(with and without air drag), Journal of Textile Institute 44 (1953) 11, 483–498, doi:10.1080/19447025308662612 2 D. G. Padfielf, A note on fluctuations of tension during unwinding, Journal of Text.Inst 47 (1956) 6, 301–308, doi:10.1080/19447027. 1956.10750412 3 D. G. Padfield, The Motion and Tension of an Unwinding Thread. Proc. R. Soc., vol. A245 (1958) 1242, 382–407, doi:10.1098/rspa. 1958.0090 4 V . K. Kothari, G. A. V . Leaf, The unwinding of yarns from packages, PartI: The theory of yarn-unwinding.J.Text.Inst 70 (1979) 3, 89–95, doi:10.1080/00405007908631523 5 V . K. Kothari ,G. A.V . Leaf, The unwinding of yarns from packages, PartII: Unwinding from cilindrical packages. J.Text.Inst 70 (1979)3 , 96–104, doi:10.1080/00405007908631524 6 W. B. Fraser, T. K. Ghosh, S. K. Batra, On unwinding yarn from cy- lindrical package. Proc. R. Soc. Lond.A , 436 (1992) 1898, 479–498, doi:10.1098/rspa.1992.0030 7 W. B. Fraser, The effect of yarn elasticity on an unwinding ballon. Journal of Tex. Inst, 83 (1992) 4, 603–613, doi:10.1080/ 00405009208631235 8 X. M. Kong, C. D. Rahn, B. C. Goswami, Steady-state unwinding of yarn from cylindrical packages. Text. Res. J., 69 (1999) 4, 292–306, doi:10.1177/004051759906900409 9 T. K. Ghosh, S. K. Batra, A. S. Murthy, Dynamic Analysis of Yarn Unwinding from Cylindrical Packages, Part I: Parametric Studies of the Two-Region problem. Text. Res. J., 71 (2001) 9, 771–778, doi:10.1177/004051750107100905 10 T. K. Ghosh, S. K. Batra, A. S. Murthy, Dynamic Analysis of Yarn Unwinding from Cylindrical Packages, Part II: The Three-region Analysis. Text. Res. J., 71 (2001)10, 855–861, doi:10.1177/ 004051750107101002 11 S. Pracek, Theory of string motion in the textile process of yarn un- winding. I. J. Nonlinear Science&Numerical Simulation, 8 (2007)2 , 229–232, doi:10.1515/IJNSNS.2007.8.3.451 12 K.-W. Kim, J.-W. Lee, W.-S. Yoo, Effect of gravity and tangential air resistance on unwinding cable. Nonlinear Dynamic, 70 (2012)1 , 67–87, doi:10.1007/s11071-012-0431-1 13 W. S. Shim, H. Lee, D. W. Lee, The Interaction of Moving Yarns with Stationary Surfaces . Fibres and polymers, 14 (2013) 1, 164–171, doi: 10.1007/s12221-013-0164-x 14 Y . Ronggen, F. Pei, Y . Chongchang, A study on the unwinding ten- sion control of an elastic yarn . Text. Res. J. 92 (2022) 23–24, 4587–4595, doi:10.1177/00405175221106229 15 D. C. Giancoli, Physics for scientists & engineers: with modern physics. 4 th ed. Upper saddler River: Pearson Education Interna- tional, cop. 2009, 976 16 J. A. Roberson, C. T. Crowe. Engineering fluid dynamics. 2 th ed. Houghton Mifflin Company, Boston, 1980, 747 S. PRA^EK: ODVIJANJE PREJE S KRI@NEGA NA VITKA Materiali in tehnologije / Materials and technology 58 (2024) 6, 765–773 773