ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 1 Strani 46-51
Marino Pavletic:
VERIŽNI ULOMKI IN ASTRONOMIJA
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, teorija števil, verižni ulomki, astronomija, lunarni koledar.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1389-Pavletic.pdf
© 1999 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
VERIŽNI ULOMKI IN ASTRONOMIJA
V 4. številki lanskega letnika Preseka smo spoznali verižne ulomke, spoznali pa smo tudi razlog, zaradi katerega so jih matematiki zaceli preučevati: Verižni približki so zelo dobri približki za (manj lepa) realna števila.
Verižnih ulomkov niso prvi preučevali matematiki, pač pa astronomi. Pri svojih opazovanjih so naleteli na celo vrsto števil, ki se ne "izidejo lepo".
Kot prvi primer navedimo obhodne čase planetov pri gibanju okrog Sonca. Spodnja tabela prikazuje podatke za prve štiri planete, približni obhodni časi so podani v letih (t.j. v obhodnih časih Zemlje).
planet	obhodni čas
Merkur	0.241
Venera	0.R15
Zemlja	1.000
Mars	1,881
Števila niso posebno lepa, vendar Osončje kljub temu brez težav funkcionira že milijone let. Drugače je, če želimo izdelati mehanski model Osončja. Pri mehanskem modelu borno "planete" (kroglice) pritrdili na vzvode in jih s pomočjo sistema zobnikov poganjali okoli "Sonca" (svetilke). Vendar lahko z zobniki ustvarimo le racionalna razmerja obhodnih časov. Torej je razmerje med obhodnima časoma, "planetov" v modelu vedno o/orneJe.
Rešitev iz zagate ponujajo verižni približki. Spomnimo se, da so verižni približki najboljši racionalni približki med ulomki z manjšim ali enakim imenovalcem ni boljšega približka za dano število, kot je verižni približek. Torej bomo obhodni čas planeta razvili v verižni ulomek (zadostuje že prvih nekaj verižnih koeficientov) in izračunali ustrezne verižne približke. Izmed njih bomo potem izbrali ulomek, ki ga je možno z zobniki čim enostavneje realizirati, hkrati pa zadošča z »željen i natančnosti.
Za vrednosti iz zgornje tabele dobimo naslednje verižne približke:
planet	obhodni čas
Merkur Venera Zemlja Mars	0.241 = 0=i = i; = i>=- 0.615 = 0 = 1 = 1 = 1 = ! = ^ = . 1.000 1.881=1=2 = ^ = ^ = H =
V tabeli so navedeni vsi verižni približki, ki jih je glede na natančnost podatkov smiselno navesti. Bralcu prepuščam, da izbere, kateri približek bi bil tehnično gledano najboljši, in da tudi res izdela tak model.
Drugi astronomski problem, povezan z verižnimi ulomki, je problem lunarnega oziroma lunisolasnega fcoJedarja.
Stoletja so naši predniki poskušali sestaviti koledar, ki bi bil povezan z gibanjem Lune in Sonca (oziroma Zemlje okrog Sonca). Današnji koledar izpolnjuje to nalogo le napol. Leto res ustreza obhodu Zemlje okoli Sonca, mesec pa nima nikakršne zveze z gibanjem Lune, čeprav je beseda Aiesec pravzaprav staro slovensko ime za Luno. Pravimo, da je to solarni (Sončev) koledar.
Precej ljudi meni, da Luna dosti bolj vpliva na življenje, kot običajno mislimo (preberite npr. knjigo Vse ob svojem času ali vsaj Setveni koledar). Med našimi predniki je bilo tako mnenje celo zelo razširjeno in naš koledar bi se jim zdel nesprejemljiv. i:Pravi" koledar na,j bi jasno podal tudi Lunine mene. Mesec mora trajati od mlaja do mlaja. ("En mesec je čas, ko se Mesec vidi. Ko ga ne vidimo več, se mesec neha."}
Z dolgotrajnim opazovanjem Lune in z dodajanjem novih in novih izboljšav, se je astronomom že v antičnih časih posrečilo, da so tak(e) koledar (je) tudi res izdelali. Danes se problema lahko lotimo po lažji poti, brez opazovanj. V astronomskih knjigah zasledimo, da traja en Lunin mesec (čas od enega do drugega mlaja ali ainodski mesec) v povprečju M — 29,530588 dni. Odstopanja od povprečja so majhna, zato bomo računali, kot da vsi meseci trajajo natančno toliko.
Razvijmo število M v verižni ulomek:
29.530588= [29,1,1,7,1,2.16,1,...].
Takoj dobimo tudi ustrezne verižne približke:
59 443 502 1447 23654 25101
' ' Y> ~15' 17' "¡¡T1 ~80T' ~Š5tP "'
Prvi trije približki nam razkrijejo tisto, kar so naši predniki najhitreje Ugotovili: 2 (Lunina) meseca trajata približno 59 dni. Torej si morajo v koledarju izmenično slediti (koledarski) meseci z 29 in 30 dnevi. Temu bomo rekli osnovno zaporedje.
Približek ij pomeni, da 15 mesecev traja približno 443 dni; naslednji približek ~ pa, da je 17 mesecev približno 502 dneva. Ulomka sta približno enako preprosta, vendar je boljši približek, zato si ga oglejmo natančneje. 502 dneva je možno zelo preprosto razporediti na 17 (koledarskih) mesecev:
30 + 29 + 30 -I- 29 + 30 + • ■ • + 30 = 502 dneva.
v---v-,
17 mesecev
Tako dobimo sedemnajst mesečni ciklus, ki od osnovnega zaporedja odstopa le ob koncu oziroma ob začetku novega ciklusa. Takrat si sledita dva meseca s po 30 dnevi, sicer pa meseci tečejo izmenično (30, 29, ...) kot v osnovnem zaporedju.
Poglejmo si še natančnost:
17M = 17 ■ 29.530588 = 502.019996 dni,
kar je le za 0.019996 dneva (približno pol ure) več kot en koledarski ciklus. Torej je napaka
A = 0.019996 dni/l ciklus
ali
A = 1 dan/50.1)1 ciklusa.
Ker koledar odstopa od gibanja Lune povprečno za 1 dan v 50 ciklusih, je logično poskusiti z najpreprostejšim popravkom: Po vsakem petdesetem ciklusu dodamo 1 dan (lahko bi rekli "prestopni dan") in šele po tem dnevu se začne naslednji ciklus.
Ce vključimo ta popravek, potem 50 ciklusov (z dodatkom) traja
50 ■ 502 + 1 = 25101 dan,
ti dnevi pa so razporejeni v
50 ■ 17 = 850 mesecev.
Zanimivo je, da smo tako prišli prav do števila , kar je spet verižni približek za število M.
V tem primeru jc napaka enaka 25101
_„ - 29.530588 - 0.00000024 dni/l mesec = 850
= 1 dan/4250000 mesecev = = 1 dan/350000 let.
Tak koledar je gotovo za zdaj zelo dober; če bo treba, pa ga lahko Čez par tisočletij popravimo.
Tako smo dobili uporaben lunarni koledar - koledar, ki se natančno ujema z (izračunanimi) Luninimi menami. Mlaj je vedno prvega (ali zadnjega) v mesecu, polna Luna je petnajstega. Odstopanje pravih Luninih men od matematičnega povprečja je majhno (do 1 dan) in skoraj bi lahko trdili, daje tak koledar idealen.
Skoraj! Ne smemo spregledati, da je tudi ta koledar le polovičarski. Nikakor namreč ne sledi toku letnih časov, je samo lunami. Naslednje vrstice posvetimo zato problemu združitve lunarnega in solarnega koledarja v lunisoSarni koledaT.
Najprej poskusimo ugotoviti, koliko Luninih mesecev traja eno leto. Pogled v astronomsko literaturo nain pove, da eno leto v povprečju traja L = 365.2422 dni. Torej ima leto
365,24422
-——— = 12.36827 mesecev.
29.530588
Dobljeno število razvijemo v verižni ulomek:
12.36827 = [12,2,1,2,1,1,17,1,3,...].
Ustrezni verižni približki so
25 37 99 136 235 4131
' T1 T' T' 7P "To' "334"' "'
To pomeni, da ima leto približno 12 mesecev, natančneje, dve leti imata skupaj 25 mesecev, a odstopanje je še kar precejšnje {7| dni v dveh letih). Boljši je naslednji približek ki pomeni, da ima "navadno leto'1 12 mesecev, vsako tretje leto pa je "prestopno" in ima en mesec več (odstopanje je le 3 dni v 3 letih).
Bralcu prepuščamo, da se pozabava še s približkoma ^ in l^p. Zlasti slednji približek je zanimiv, saj trdi, daje 11 let približno 136 mesecev; 136 mesecev pa je enako obdobje kot 8 zgoraj opisanih sedemnajst-mesečnih ciklusov.
Zgodovinsko seje najbolje izkazal šesti približek, ki pravi, daje 19 let približno 235 mesecev. Približek je zelo natančen, saj odstopa od prave vrednosti le za 1 dan v 220 letih. Na osnovi tega približka so babilonski in grški astronomi sestavili koledar, ki je ponekod po svetu, z nekaterimi spremembami in različicami, v veljavi še zdaj. Uporabljajo ga zlasti muslimani in Židje, z njegovo pomočjo pa določajo tudi datume premakljivih praznikov (Velika noč, Binkošti) v prenekateri krščanski cerkvi.
Osnova koledarja je Metonov ciklus 235 Luninih mesecev. Ti meseci so razdeljeni na 19 let tako, da dobimo 12 let s po 12 meseci in 7 let s po 13 meseci. Praktično se da razporeditev izvesti na primer tako, da pride prva polna Luna po pomladnem enakonočju na 15. dan prvega meseca. Prvi dan prvega meseca je potem vedno v dneh okrog pomladnega enakonočja, od leta do leta so sicer razlike, a niso pretirano velike. Tak koledar so uporabljali Zidje že pred več tisočletji in kot izvemo iz Svetega pisma, je bil veliki praznik Pashii (po naše Velika noč) vedno 15. nisana]. Iz istega vira izvemo še več: različne verske ločine so uporabljale različne variante tega koledarja in zato je trinajsterica z Jezusom na čelu proslavljala PasJio dva dni prej, kot so jo proslavljali v jeruzalemskem templju.
Vprašajmo se še, kako naj bi bili razporejeni dnevi v teh 235 mesecih, Žal število 235 ni deljivo s 17, zato si ne moremo pomagati s sedemna jst-mesečnimi ciklusi, ki so se nam tako lepo posrečili. Mesece s 30 in 29 dnevi sicer lahko razporejamo tako, kot smo opisali zgoraj, a potem bodo med koledarji za posamezna leta velike razlike.
Bolj logično je, če začnemo vsa leta enako. Prvih 12 mesecev naj bo:
30 + 29 + 30 + 29 +----b 29 = 354 dni,
morebitni trinajsti mesec pa, naj ima vedno 30 dni. Tako pridemo za 19 let do skupne vsote
19 -354 + 7 -30 = 6936 dni.
V resnici pa 235 Luninih mesecev traja 6939.0882 dni, torej moramo nekam dodati še 3.6882 dni. Če dodamo še po 1 dodatni dan vsakemu drugemu prestopnemu mesecu, smo s tem dodali celotnemu ciklusu 3,5 dni (v dveh ciklusih je 14 prestopnih mesecev, sedmim dodamo po en dan).
1 Nisan je ime prvega, meseca.
Ujemanje z Luninimi menami je zdaj že bistveno boljše in odstopanje je približno 1 dan na 100 let. Postopek lahko zdaj nadaljujemo tako, da dodamo še po 1 dan na vsakih 100 let, izračunamo novo odstopanje, ga spet popravimo in tako naprej, dokler nismo z rezultatom zadovoljni.
Lahko pa bi se stvari spet lotih z verižnimi ulomki. Število 3.6882 bi razvili v verižni ulomek in poiskali kak lep verižni približek. Že je boljši približek kot 3.5, pomeni pa, da moramo v treh Mčtonovih ciklusih dodati 11 dodatnih dni. V treh ciklusih je 21 prestopnih mesecev in enajstim bi morali dodati po 1 dan (to pomeni: prvemu, tretjemu, petemu, ... in enaindvajsetemu). Realizacija tega popravka torej ni težka, bralcu pa predlagamo še. da ugotovi, kakšno bi bilo odstopanje od idealnega Luninega koledarja.
Vprašajmo se še, zakaj sploh računati odstopanje od Luninega meseca. Zakaj ne računamo raje odstopanja od Sončevega leta?
Odgovor je praktične itarave. Odstopanje od Luninega meseca je opaznejše, saj je mesec krajši. Zato je pametneje, da poskrbimo za ujemanje koledarja z Luno in pri tem dopustimo odstopanje od teka letnih časov. Povedali smo že, da približek ^ odstopa od prave vrednosti za 1 dan v 220 letih. Ce dobro uredimo lunarni del koledarja, bo solarni del avtomatično odstopal od Sončevega leta samo za toliko. Začetek leta pri luni-solarnem koledarju ni fiksen in zato povprečen človek v svojem kratkem življenju tako majhne napake niti ne opazi. Šele v približno 40000 letih bi napaka tako narasla, da bi se začetek leta prestavil s pomladnega na jesensko enakonočje.
Kaj pa tedni? Ce vztrajamo pri sedemdnevnih tednih, je uskladitev z meseci in leti takorekoč nemogoča. Še najlepša je varianta, pri kateri se leto vedno začne z nedeljo, ne glede na to, s katerim dnevom se je prejšnje leto končalo.
Drugo zanimivo varianto dobimo z delitvijo meseca na tretjine. Tako dobimo desetdnevne tedne, le zadnjemu tednu v 29-dnevnem mesecu manjka 1 dan; koledar je za vse mesece enak, izjema je le dodatni zadnji dan. Dodatna zanimivost takega koledarja je dejstvo, da ima leto približno 12^ meseca, kar vidimo iz približka 37 mesecev = 3 leta. Bralca vabim, da poskusi izdelati koledar, ki bi temeljil na ustreznem triletnem ciklusu, ali pa koledar, v katerem bi imelo leto 12 mesecev in še en dodatni desetdnevni teden. Poglavitni del naloge je seveda razporeditev popravkov, t.j. dodatnih mesecev oziroma tednov, s katerimi uredimo trajanje leta, in dni, s katerimi uredimo trajanje meseca.
Marino Pavletič