i
i
“9-3-Hladnik-SajNi” — 2010/6/2 — 13:50 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 9 (1981/1982)
Številka 3
Strani 156–159
Milan Hladnik:
SAJ NI RES. . . PA JE
Ključne besede: matematika, aritmetika, geometrija, formule za po-
dobne trikotnike, enačbe, približki.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/9/9-3-Hladnik.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES
SAJ NI RES ", PA JE !
Predstav ljajmo s i, da je Zemlja idealna krog la in da je vzdolž
ekvatorja okrog in okrog položena tanka nerazteglj iva sk lenjena
vrv, ki je 2 mm da ljša od obsega ekvatorja. Ker do lžina vrvi
presega obseg Zemlje, vrv veni točki podpremo z navpično l e t -
vijo, tako da je potem l ep o nape ta in seveda v okolici podpore
dvignjena od tal (glejte sli ko 1).
S l i ka 1
156
h
Sli ka 2
s
R
Sed aj pa pr i de gl av no vpraša nje : ali lahk o odrasel č lov ek z leze
pod vrvjo, ne da bi se vrvi dotaknil?
Marsi kdo bo seveda takoj vzkliknil~ da je to nemo go če , saj ima-
mo vi ška vrvi le za bore Z mm. Toda ne prenaglimo se z odgovo-
rom. Raje poskušajmo pri ti do njega "zna nstveno", to j e s kar
se da n a tan č n im izrač uno m. Popol ne n a t an č n o st i pr i rač u nan j u se-
veda ne bomo mog li doseči, ker se bomo ~oleg nujn ega zaokrože -
vanja pri računskih operacijah ) dva krat morali zadovo lji t i s
prib ližnimi vrednostmi, vendar to na rezu ltat ne bo vpliva lo;
odgov or bo v vsa kem primeru enak .
Daj mo zg or njemu vpra šanju matemat ično ob liko! V sk la du z ozna -
kam i na s liki Z bi radi določi li vi š i no podpo re h in lo k s , če
poznamo pol me r Zemlj e (R : 6370 km : 6, 37 .10 6 m) in seved a ra z-
li ko med do lžino vrvi in obsegom Zem lje E : Zn = Z mm =
= Z.10- 3 m) .
Najprej s i pog lejmo kako bi čim nata nčneje oce ni l i dolžino l oka
s . S s like Z je oč itno. da je v < s < d . Vemo t udi , da je
d - s = El Z = n. Ker lah ko predpostav ljamo , da je n majhno šte-
vilo v primeri z os talima k o l i č i n a m a d in s . je s približno e-
nako d . Toda tega seveda pr i raČ u n a j u ne smemo upora bi ti, to je
pr edp ost aviti n = O, sa j je do l ž i na E = Zn , čepr av je ze l o maj -
hna , bistvenega pomena za nalogo (brez nje s i prob lema sploh ne
bi mogl i za s t avit i ! ) . Lahko bi vzel i , da je s = v , še bolje pa
je na pr i me r post avi t i s = (v + d )/ Z ali s Zvl3 + d13 . Zad-
nja e na kos t je najboljši lin earni prib ližek za lok, izražen s
p omočjo de la te tive in tan gente . V dokaz tega de j s tv a se ne bo-
mo s p ušč a l i ; zanj bi potreb ova li že ko šče k višje matematike . Za
Zemljo in na š problem bi l ahk o videli , da je formula s = Zvl3 +
dl 3 natan čn a na eno deset ink o milimetra, če sta d in v manjša
od 40 km.
Odslej bomo torej za s vzeli izraz s = Zv l3 + d13 . Iz njega in
i z zveze d - s = nizračunamo d = v + 3h/Z . Ker pa iz podobnos -
ti pravokotnih trikotnikov na sliki Z dobimo še
vi d = RI( R + h ) = (IR 2 - v2)IR
3 . ds pomočjo zveze d = v + 2 n, naJ emo hv
157
'rvo enakost lahko zapišemo v obliki hv = R(d - v ) , oziroma
lV = 3Rn/2, če se s pomni mo, da je d - V = 3n/2. Drugo formulo
upoštevanjem zadnjega rezultata izrazimo takole :
1/(1 + h/R ) / 1 - (V/ R)2 = 11 - (3 n/ 2h)2
/1 - (3 n/ 2R) 2 (R/h ) 2
Postavimo a 3n /2 R in x = h/R , pa moremo zapisati
1/(1 + x) = 11 - a 2/ x 2
To je enačba z eno neznanko x, ki pa jo š e nekol iko preuredimo .
če kvadriramo in odpr avimo ulomke, dobimo x 2 = (' + x )2(x 2-a 2 )=
= (1 + x( x + 2))( x 2- a 2) = x 2 - a 2 + x (x + 2)( x 2- a 2 ), oziroma po
kraj ša nju
če bi iz te enačbe mogli neznanko x natančn o i zr ač u n a t i , bi bilo
seveda lepo (potem bi poznal i tudi h = Rx ) , toda to žal ne gre.
Vemo pa nekaj: število a je zelo majhno (manjše od ( 3/2) .(10- 3 /
/6.10 6 ) = 2,5.10- 9 ) in zato mora biti tudi x pr ecej majhen, č e
naj bo rešite v zgornje enačbe. števil a a s e veda ne s memo kar za-
nemariti, s a j bi v primeru a = O dobili x 3( x + 2) = O in od tod
x O. Pri v o šč imo pa s i lah ko naslednjo poenosta vitev. V enačbo
vstavimo x
Z a 2 · os t a ne
y ~, tak o, da nam po krajšanju na obe h straneh
y ( y :VCi2 + 2) ( y2 - 'VCi2) = 1
Za vsako realno re šitev y te enačbe mora ve l j a t i 1/ 2 < y < 1.
Res: iz y ~ 1 bi takoj sledilo, da je le va s t ra n ve čja od 1; iz
y s 1/ 2 pa bi dobil i, da je lev a s t r a n manjša od 1/2 . To so se-
veda zelo grobe ocene, kljub temu pa nam povedo , da je a V pri-
meri z re šitvijo y z anemarljivo majhn o š t ev i lo . V z adnji ena čbi
tor e j pOV Sodi z pus tim O 3/{i2 i n dob imo 2y 3 = 1 Oz iro ma y = 1/ ff,
kar je dovolj dober približ ek za rešitev. Potem pa lahko posto-
poma izračunamo še
158
x = :VQ2T2 = ( 1/2 ) Y9 n21 R2
h x R = (1 /2) :}'9"i)2R
v = (3 /2) (Rn/ h) = ~
Seveda so to le pribli žne formule, toda njihova natančnost je
pre cej šnja. Za to čno oce no napa ke bi spet potreb ovali malo več­
j e znanje.
Pr ipomb a . Iz formule za h in v lahko eliminiramo n in tako do-
bimo še zvezo v =~, ki nam pri dani višini h ' d o l o č a razda-
ljo do obzorja, saj je v našem pri meru v skoraj do milimetra
natančno enako d . Primerjajte tudi čl ane k [ 1 ] !
Sedaj pa k ončno izra čunajmo numerične vrednosti za h in v ter
odgovori mo na vprašan je, zastavljeno v začetku! Upoštevajmo, da
je R = 6 , 37 . 106 m in n = c / 2 = 10- 3 m, pa je pred nami rezul-
tat
h (1 / 2) :V9.10- 6 m2 . 6 , 37 . 106 m
3 ,8 6/2 m = 1,93 m
(1 /2)~m
v'121 ,73 . 103 m
4,96 km
Odgovor j e torej lahe k: Odrasel človek v bližino podpore brez
težav preide z ene strani na drugo (če ni posebno visoke rasti,
se mu še skloniti ni treba). še več, hkrati bi lahko pod vrvjo
prestopilo ekvato r okrog 1330 do 1, 8 m vi so kih ljud i ali pod njo
prev ozi lo t o č r t o okrog 1100 voz il, viso kih do 1,5 metra ( vze-
li smo, da vsak človek zavzame pol metra ekvatorja, č e stoji na
njem, vsako vozilo pa dva metra) . Presenetljivo , kajne? Pa naj
š e kdo reče, da dva milime t ra ne pomeni t a dost i !
Mil-an Hl- adnik
[1 ] K. Bajc, Kako da l- eč j e do obz orja? , Presek 6 (19 78/79)
s tr. 4
159