i
i
“1278-Domajnko-0” — 2010/7/23 — 8:59 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 6
Strani 355–357
Vilko Domajnko:
VERIGA
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1278-Domajnko.pdf
c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
V mviji Mathematics in School (maj, 1994) je angIdki matematik AIan 
Pam apical mnbivo matemtrtibo igro veriga Na pmi pogled precej 
spomisjana 5nimi msshmind, ali panab b b  doxw&pokp.li~eia~&ie, 
vend= LT laskO0, da je pramprav nekaL matematkkmikriitlllec med 
njima. 
Ips je nameqjena dvems igmbma. Na 
saOethr h a  d pred ~ b a j  m j o  hubatno 4 
tabdo velikmti 4 x 4, b o r  vp& v obliki ve- 
rige namvna &Vila od 1 do 16. V d  bibere $ 
seveds svojo verigo, Id oatme Bkrimast sa na- 
eprotnika. Veriga lahko h t e  po tabeli b r -  3 
koli v vodaravni ali na@iCni smeri, le %vija" 
8e lahlro samo pod pravim kotom. 1 
Oposoriti je treba tndi, ds morajo biti po- 
Eja omaEena, tako krrkor k&e risba na sliki 1, 
kjer vidimo kdi  primer pravilne verige. SUka 1. 
Zanimivosti - Ra zvedrilo I
1716~0!J±;;;#==;i
3 4 5 :6......:- .....
2 9 S l 7
1 10 11 12
16 15 14 13
d
d
160
c
c
,
- -'
b
720 :,
Slika 2.
a
Po začetni razpostavitvi obeh verig v ta-
beli igralca izmenoma uganjujeta razporeditev 4
števil v nasprotnikovi tabeli. Zmaga tisti , ki jo 3
uspe prvi uganiti. Igralec, ki je na vrsti , lahko
ali napove celotno verigo v nasprotnikovi tabeli 2
ali pa soigralca vpraša, kolikšen je produkt vseh
št evil v nekem kvadratu velikosti 2 x 2, ki ga v 1
nasprotnikovi tabeli po svojem preudarku sam
izbere . Tako bi , na primer , igralec na vprašanje,
kolikšen je na sliki 2 produkt voznačenem kva-
dratu v zgornjem desn em kotu , moralodgovo-
riti 1680.
Oglejmo si potek igre na izbranem primeru. 4
Denimo , da bi eden od igralcev verige po t reh
vpr ašanjih zvedel, da je produkt št evil v zgor- 3
njem levem kvadratu nasprotnikove tabele
17160, v srednjem 720, v kvadratu na desni pa 2
160. Odgovore ponazarja slika 3. Izkaže se, da 1--4-==~~t=:::!.I
bi lahko z nekoliko računanja že v svoji nasle - 1
dnji , četrti "potezi" nasprotniku povedal pravi- ...._"'-_"'-_L-.....
len razpored vseh 16 števil v njegovi razpredel- a lJ
nici in tako seveda tudi zmagal. Slika 3.
Pogl ejmo. Najprej je treba razstaviti vsa tri št evila na vse možn e
produkte, v katerih nastopajo samo faktorj i od 1 do 16, vsak samo enkrat:
17160 = 23 . 3 . 5 . 11 . 13 = 8 . 11 . 13 . 15 = 10 . 11 . 12 . 13
720 = 24 .32 · 5 = 1 · 8 · 9 . 10 = 2 · 4 · 9 . 10 = 3 ·4·6 . 10 = .. .
160 = 24 . 5 = 1 . 2 . 5 . 16 = 1 . 2 . 8 . 10 = 1 . 4 . 5 . 8
Iz razcepov števila 17160 sledi, da sta v
zgornj em levem kvadratku tabele zagotovo šte- 4
vili 11 in 13, saj nastopata v obeh razcepih .
Zaradi lastnost i številske verige ne moreta biti 3
sosednji niti v vodoravni niti v navpični smeri ,
zato ležit a v tem kvadratku diagonalno. V ve- 2
rigi ju povezuje število 12, kar pomeni, da sta
v tem kvadratku tudi 12 in 10 (14 pač ne more 1
biti, saj to število ni delite lj št evila 17160) .
S preverjanjem vseh možnih situacij brez
težav ugotovimo, da je razporeditev na sliki 4
edina možna.
12 11
13 10 1
9 8
alJe
Slika 4.
cl
Zanimivosti - Ra zvedrilo
Naprej sklepamo podobno. Upo rabimo podatek o produktu v dru-
gem kvadratu. Razcepov števila 720 na štiri naravne fak torj e je kar pet-
najst , vendar zadošča, če med njimi poiščemo t iste, ki vsebuj ejo faktor
10, hkrati pa ne vsebujejo faktorj a 12. Po preprosti poti , spet s pomočjo
preverjanja različnih možnih leg verige v srednj em kvadratu ta bele, nada-
lje ugotovimo, da so v njem števila 1, 8, 9 in 10. In tako naprej - dokler
ne izpolnimo vse tabele oziroma sestavimo verige.
Poskusite za vajo dokončati verigo izbranega primera kar sami. Zares
ni težko.
Če pa se vam zdi veriga le prezah tevna, jo lahko za začetek skrči te
tako, da jo igrate na manjših tabelah. Denimo na kvadratni tabeli 3 x 3,
ali pa na pravokot ni 3 x 4. Na kvadratni tabeli sest avljate verigo iz števil
od 1 do 9 ali pa iz poljubno izbranih , vendar vnaprej dogovorj enih (ali
pa tudi ne!) deveti h zaporednih naravnih števil. Podobno velja tudi za
verig o na tabeli 3 x 4.
Morebiti pa se boste v igranju osnovne var iante verige že to liko izur ili,
da se vam bo zazdela prelahka. Tedaj se lahko odločite za zahtevnejši nivo
in jo igrate na večjih tabelah: 4 x 5, 5 x 5 ali celo še večjih.
V vsakem primeru pa veliko zabave!
V p r a šanj a:
1. Koliko je vseh različnih verig v tabeli 3 x 3?
2. Ali obstaja veriga v tabeli 3 x 3, ki se začne in konča v dveh sosednih
poljih al in bl?
3. Ali obstaja veriga v tabeli 4 x 4, ki se začne in konča v diagonalno
ogliščnih poljih al in d4?
4. Koliko je vseh raz l ičnih verig v tabeli 4 x 4?
5. Poskusit e pois kati verigo , ki jo lahko nasprotni igralec z got ovostjo
napove kar najhitreje. Z gotovostjo napovedati verigo naj pomeni , da
igralec verige ne napove na slepo srečo , pač pa ima za svojo napoved
trdne argumente.
Očitno j e ni verige, ki bi jo lahko nasprotnik z gotovostjo napovedal
že v svoj i prvi potezi. Za tak sklep zadošča že krat ek premisl ek .
Podobno se prepričajte , da tudi veriga, ki bi jo lahko nasprotnik z
gotovostjo napovedal že v svoji drugi potezi (torej z enim samim
predhodnim vprašanjem o produktu), ne obstaja.
Ali obs taja veriga, ki jo lahko nas pro tni igral ec z got ovostjo napove
že v svoji tretji potezi?
Vilko Domajnko