TO ŠTEVI LKO PRE S E KA POSVEČAMO 200 . OBLETNICI IZIDA PRVEGA VEG O VEG A LOGARITMOVNIKA VSEBINA 65 . . II, III, 128 ' " o • •• •• o • • IV NOVE KNJIGE Karikature slovenskih mateMatikov in fizikov (Ciril \J Knjigi o Juriju VEGI (TomažPIsanski) . NA OVITKU M.Sternen, JURIJ VEGA, olje, 1938 (University of Pittsburg ZDA) I MATEMATIKA Krog in kocka (Ivan Pucelj) 67 Pitagorejske n-terice (Edvard Kramar) 73 NALOGE Neka trisekcija daljice (Dragoljub D.M iloševi6, prev. Emil Beloglavec) 79 Eulerjev izrek o štirih kolinearnih točkah (Alojzij Vadnal) 80 Posplošitev nekega problema iz deljenja daljic o rešitev st . 127 (Dragoljub D.Miloševi ', prev. Mitja Lakner) . . . . . '..•.. .. .. .. . 82 BISTROVIDEC Ugotovi pravilo (V ladi 82 FIZIKA . Nihanje atomov v rnolekula f (Božidar Casar, prir. Tom Kranjc) 83 Plavajoče in potopljene kapljice (Franci Demšar) ',' oo •• • , 86 PISMA BRALCEV (Ciril Velkovrh) o , •• •• • • • • •• • • •• 94 KRIŽANKA JURIJ VEGA (Pavel Gregorc) - rešitev iz P'XI /l - str. 126. . . 96 TEKMOVANJA-NALOGE 24. zvezno tekmovanje srednješolcev iz matemati ke (Gorazd Lešnjak, Dean Mozetič) . o • • o o • o o • • • • • •• • •• o •• •• • o o • ••• •• •• " 98 7. republiško tekmovanje srednješolcev iz računalništva (Iztok Tvrdy) ... 101 19. repub liško tekmovanje osnovnošolcev iz matematike za VEGOVO priznanje (Pavle Zajc) - rešitev str . 124 (Gorazd Lešnjak, Pavle Zajc) .. 110 PREMISLI IN REŠi (Peter Petek).. o • •• •• • ••••• ' 0 o • ••• • • • • • • 112 NOVICE Čestitka (Foto Ciril Velkovrh) 113 V spomin na Jurija VEGO in njegova dela (Cir il Velkovrh) . . o • •• ••• • 114 MATEMATiČNO RAZVEDRILO Šahovska uqanka- rešitev str, 126 (Izidor Hafner) .. o •• o • • o ••••••• 118 Kako pr iti do zaklada (Iz idor Hafner) " o • • o • • •• 119 Kratkočasne vžigalice - rešitve str. 121 (Roman Rojko) o • • 85,109 PRE S E K LIST ZA MLADE MATEMATIKE , FIZIKE IN ASTRONOME 11. letnik, šolsko leto 1983/84, številka 2, stran i 65 :128. UREDNiŠKI ODBOR : Vladimir Batagelj (bostrovidec). Danijel Bezek, Andrej Čadež (astronomija) , Jože Dover, Franci Forstner ič, Bojan Golli (tekmovanja - naloge iz fizike). Pavel Gregorc, Marjan Hribar, Metka l.uzar-Vlachv, Andrej Kmet . Jože Kotnik , Edvard Kramar (glavni in odgovorn i urednik ), MatiIda Lenarčič, Gorazd Lešnjak [tekmovanja-naloqe iz matematike). Andrej Likar (Presekova knjižn ica· fizika). Norma Mankoč·Borštnik, Franci Oblak, Peter Petek (naloge bralcev, premisli in reši, pisma bralcev), Tomaž Pisanski (mate - matika) , Tomaž Skulj, Ivanka Šircelj (jezikovni pregled), Miha Štalec (risbe). Zvonko Trontelj (fizika). Marjan Vagaja, Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige , novice) . Dopise pošiljajte in list naročajte na naslov: Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS · Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c. 19,61111 Ljubljana, p .p. 6, tel.št. (061) 265-061/53, št. žiro računa 50101- 678;47233. Naročninaza šolsko leto 1983/84 je za posamezna naročila 150.- din, za skupinska naročila pa 120.·din . List sof inancirata Izobraževalna in Raziskovalna skupnost Slovenije. Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje DELO, Ljubljana. (c) 1983 Društvo matemat ikov , fizikov in astronomov SRS - 647 NASE NEBO o Astronomske efem.eride ZA LETO 1 984 LAHKO NAROČITENA NASLOV DRUŠTVO MATEMATIKOV; FIZIKOV IN ASTRONOMOV SRS 61111 Ljubljana, Jadranska c. 19, PP 6. Cena 125.-din (100:·din) 66 . - MATEMATIKA KROG IN KOCKA 1 Predmet našega razmišljanja sta nalog i: A) Kako dolgo okroglo pal i co debeline d lah ko še spravimo v kocko z robom a? B) Kol ik šna je ploščina največjega kvadrata (kroga, šestkotnika, romba) , ki se da včrtati v dano kocko z robom a ? ~ Pri tovrstnih vprašanjih rabimo Pitagorov iz rek in njegove posle dice. Ponovimo: : e je tri kotnik ABC ob og lišču B pravokoten , je AB2 + JC2 = CA2 • O z nač i mo AB = x, BC = y , CA = d , pa imamo x 2 + y 2 = d2 • Posl edi ce . Di agonal a d kvadra t a s stranico a j e d = vZa. V ena kostraničnem t r i kot ni ku s stran ico a je V1 Slna v = v~ a , pol me r očrtanega kroga P O = V3 1 • t k /Z 1 Š·· V3 2= -3- a , po me r vcr anega " roga P v = PO ' P o c i na p = - 4- a . Sl i ka 1 Posta vimo skozi oglišče C na ravnino trl kotnik a ABC pravokotnico CD = z . Potem je x 2 + y 2 + Z 2 = AD 2 • Posledi ce. Tel esna diagona la d kvadra z robovi a , b , c ustreza enakost i a 2 + b 2 + + c 2 = 'd2 (Sli ka 1). Tel esna diagona la kocke z robom a pa j e d = 13a . ~ Zdaj se lotimo naloge A) pri pogoju, da je pali ca tan ka! Pal i co debeli- ne d spravimo v kocko v smeri te lesne diagonale , saj domnevamo , da je lahko v tem primeru dolžina h pal i ce najda ljša ! Iz s l i ke Z preberemo zveze : 1 dV" - . - ,rsa - ,'Z' • , v3 - - IZ - , ~- = - --6 - a , OZlroma a = Y ; a ~ v a , r o = -3- a , a = v s ln 67 r~ = d, s ' = v3d/ v2 = v6d/ 2; končno v · 2 = 8 , 2 - r~2 = 2d2/4 . v · = v2d/ 2. Od tod dobi mo za dol žin o h palice h = v3a - 2v'. ali h = v3a - v2d. To velj a pri pogoju. da j e a' ~ v2a . torej J3d ~ v2a. al i d ~ v: a = o .a l7a . 4 O· k " P ' • ./2 d bi d ' , d V3 ./2' V6 . dlS US1 Ja . rl a = v a O lmo . a Je --2-- =---6- v a =---6- a ln = = v: a . Tore j j e h = v3a - v2 v: a = v~ a . Vtem primeru je dolžina h enaka tretji ni teles ne di agonale kocke . I I I I I I I I I I I I I I : . }:'~ . : ----- / / / / / / / / / / 51 i ka 2 4,1 Pogl ej mo. kol ikšna je la hko debelina pali ce. če je naj vecJa dolžina h v mejah a ~ h " v3a in smo pal ico spravili v kocko "diagona lno". Imamo a ~ ~ v3a - v2d " v3a. oziroma O ~ v2d ~ (v3 - l )a. Sl edi 68 v'3 - 1 v'3 - 1 . v'2O :;; d:;; ------'-- a =----- a = v'2 v'2 v'2 v'6 - 2 2 a ;, O,5l8a Debelina d je v teh primer i h v me jah med ° in v'2av'3/ 3 = v'6a13 ;, O,8lla. ~,~ Lotimo se možnosti v'3a13 < h < a . Potem je zarad i omejitve d :;; v'Ga13 in ' "2 3 " v'3a - h d bl ' d . h v'3 - 1 dzarad, v' d = v' a - h , d = v'2 e e ,na v meJa -~- a < < < ~6 a, al i O,5l8a < d < O,8l l a. V teh primerih lah ko spravimo palico kar "naravnost" ( t o pomeni pravokotno na stransko ploskev kocke) v kocko! !5 Pa denimo, da je zdaj debelina d palice večja od v': a . Kako določimo največ j o dolžino h v teh primerih? Proučimo možnost, da j e palica "vlože na" v smeri telesne diagonale (tako, da je središčnica palice v teleSni diagon~ li; s re d i š č n i ca je dal ji ca, ki veže središ či mejn ih krogov pal i ce) ! Ozna č i mo v kocki ABCDEFGH njeno središče S in poglejmo ravnins ki presek skQ zi S , vzporedno z ravninama t ri kotnikov BED in CFH (sl ika 3). Opazimo, da je ta presek šestkotnik z ogli šči A " A 2 , A 3 , A4 , A5 , A6 • Ta šestkotnik ima vse stranice enake v'2aI 2, to pa je polovi ca diagonale kvadrat a največjega H \ \ \ \ \ \ \ \ Au--- - - - - __....::::.~ B Sl i ka 3 G Sl i ka 4 , 69 kvadrata na povrsJ u kocke . Tudi vse diagonale te ga šes tkot ni ka so si med s~ boj enake , namreč po Pitagori dobimo za vsako iz raz V2a. Sledi , da j e ta šestkotnik pravilen ! Polmer včrtanega kroga je v tem šes t kot ni ku zato enak v6a/ 4 , ~remer pa je potem v6a/ 2 = 1,225a . Torej je mogoča večja debelina d palice od vrednosti v6a/ 3 = O,8l7 a, namreč vrednost v6a/ 2 = l,225a . Kol i k- šna pa je v tem primeru največja dolžina h? Premislimo : Če ravnino šestkot- nika A,A:>A3A"A 5A6 malo vzporedno premaknemo v lego A ;A;A;A ~A,;A ; , se vidi, da se diagonale šestkotni ka po dolžinah prav nič ne spremene, vse so še ve!! no enake v2a , spremenijo se pa dolžine stranic šestkotnika, saj očitno ve- l j a npr . A;A; < A,A:> , A"A5 < A ~A 5' . Od tod z nazornostjo lah ko domnevano, da ima med vsemi ravninskimi preseki z ravninami, ki so vzporedne tri lA 3 A"A,.A 6. če je debelina d v mejah - v~ a < d < v~ a , ali približno v mejah O.8l7 a< < d < 1,225a, je dolžina najdaljše "diagonalne" pal i ce v mejah O < h < <~ a , ali O < h < O,577a . 3 Vaja. Dani debelini d določite pri zgornji omej itvi ustrezno najdaljšo dol- žino h! El Ogledali si bomo še nekaj včrtan ih krogov kocke. Poglejmo na sliki 4 v kgcki ABCDEFGH štirikotnik PQRS' , pri čeme r so točke P, Q, R, S ' po vrsti na robovih AB , FG, GH, DA, ta ko da je PB = QF = RH = = S 'D = a/ 4. Po Pitagori dobimo, da je potem S 'P = 3v2a/4, PQ = 3v2a/4 . Nadalje je PR = = 3a/2 in tudi $ 'Q = 3a/2. Od tod sledi, da je štirikotnik PQRS ' kvadrat s ploščino p(PQRS' ) = :: a2 = 1,125a2 , kar pomeni, da se da v kocko včrtati večji kvadrat, kot je osnovna pl oskev kocke ! El.1 Ploščina kroga, ki je včrtan v ta kvadrat, j e enaka 70 torej znatno večja kot prejšnja! še vedno pa je odprto vprašanje, ali se da v kocko včrtati še večji kvadra~ kot smo našl i v 6 , in al i se da v kocko včrtati še .večji krog, kot smo ga našli v omenjenem šestkotniku . Ei.~ Videli bomo, da se da v kocko včrtati romb, ki ima večjo ploščino , kot jo ima kvadrat iz 6 Slika 5 Oglejmo si namreč . tale ravninski presek , ki poteka skozi telesno diagonalo DF ko~ ke ABCDEFGH in seče robova AB, GH v sre- diščih U, v: (prim. sliko 5). Zaradi skladnosti pravokotnih trikotnikov UAD , 'VGH, VHD , UBF sklepamo, da je UD = VF = = UP = VV . ro Pitagori je 1~2 = (a/2)2 + + a2 = 5a2/4 , torej VD = v5a/ 2. To pome- ni, da je štirikotnik UFVD romb, njegovi diagonali sta DF, UV. Ker je DF = v3a in UV = v2a , je ploščina tega romba enaka , ~ ~ , V6 2 2 2 - DF. UV = ,.- vs«. v2a = ~ a ,,1 .225a , to je pa res malo večje od ploščine kva- drata PQRS' , saj je ta enaka 1,125a2, kot smo dognali zgoraj . Včrtajmo rombu UFVD krog! Njegov premer je enak višini romba; to pa določi­ DO kot količnik med plošč ino in stranico . Račun da v30a/ 5. Potemtakem je ploščina v romb včrtanega kroga enaka n( v30a/10)2 = 3na2/10. Ker je 9/32 manjše od 3/10, je ta drugi krog večji od kroga, ki smo ga konstruiral i v 6.1 . Toda je manjši od kroga, ki je včrtan v šestkotnik A,A2A3A4AsA6' saj je 3/10 manjše od 3/ 8. Ei.3 V prejšnjih odstavkih smo v 5 i n v 6 opazili tudi dva šestkotnika, ki sta včrtana v kocko: - v 5 je šestkotnik A,A2A3A4AsA6 pravilen, - v 6 pa označimo presek med ravnino kvadrata PQRS' in robom EF z W, pres~ č išče med tem kvadratom in robom DH pa z z ; tako dobimo tudi šestkotn ik PWQEZS' (ta seveda ni pravilen) . 71 Kat er i od nji ju ima vecJo p loščino? Plošč ina prvega je enaka 3v3a2/4 = = 1. 299a2. Pl o š č i n o šes t kot ni ka PWQRZS ' pa dobi mo tako. da p lošč i ni kvadra - ta PQRS' pr i š t ej emo ploščini t r iko tn ikov pWQ in S 1?z. Najp rej dobimo Pw2 = = (a/4)2 + (a/2)2 = 5a2/16 . potem vi š ino v iz W na strani co PQ. v2 = pw2 - _ (PQ/2)2 = 2a2/64 . v = v2a/ 8. Končno dobimo za plošč ino p(PWQRZS ' ) = PQ2 + + PQ.v = 21 a2/ 16 = 1. 31 25a2. Torej je šestkotni k PWQRZS' r l o š č i n k s o večji od pravi lnega šestkot ni ka A,A2A3A4AsA6' medtem ko j e vč rt a n i krog v prvem primeru ma njš i kot v drugem primeru! Povzetek. Nal og A) . B) smo se lotili s kar se da preprostimi ma tema ti čn im i pripomočk i . Rešili smo ju pa del no. Dodaj mo t ema nalogama še: C) Kol ikš en je v dani kocki ravninski prerez z naj v ečjo p loščino? Morda bodo zgornje vr st i ce spodbuda. da se boste lotili t eh problemov. Opomba. Ana lo gne probleme la hko postav imo pri drugih geometri j skih t el es ih (pri kvadru, pravi l nem četvercu, pr i pravilnih poli edr i h al i pa pr i okro- ~ l i h geometrijskih te lesih) . Zanimiva bi bi la tud i računa lniška obravnava prob1ema C) . ir S poznavanjem osnovni h geometrijskih zakonitosti iz srednješolskega te - čaja se da pokazati, da je drugi od krogov v 6 . 1 v kocki z robom a največ ­ j i ( taki krogi so pa šti rje). Eden od dokazov j e opi san v dvanajs te m zvezku zbirke matematičnega krožka Univerze v Moskv i : š k Larskij, Čencov, JagLom: Geome tričeskie neravenstva i zadači na maksimum i minimum , str . 77-80 . To delo je tu di v angle škem prevodu . Dokaz pa teče tako : ~ ajp rej pokažemo, da pri haj ajo v poštev za "maks i mal ne" kroge le krogi s sredi ščem S (sredi šče kocke); potem konstruiramo obl o s sredi ščem S in pol merom r = V6a/ 4 ; ta i z- seče iz šes t i h me jnih kvadratov kocke šest krožnic; če povežemo sredi šče S s t oč k a mi te h krožnic, dobimo šes t p la ščev s tožcev; pot em pokažemo, da bi morala imeti ravnina kroga K(S ,R) , ki ima polmer R večj i od r . s temi šes t ! mi p lašči samo skupno točko S (z vsemi!); končno pokažemo, da t aka ravnina· ni mogoča ! Ivan PuceLj 72 PITAGOREJSKE N-TERICE Pitagorejsko troji co imenujemo t ro j i co narav nih števi l (X"X2 ,X3) , ki reš i - j o e n a č b o Bral ec gotovo ve , da se i menuj e po Pitagor i zat o, ker imamo k oli č in e x " x 2 in x 3 l ahko za dolž ine stran i c pra vokot nega tri kotni ka . Vse re š i tv e zgornje e načbe v okvi r u nara vni h števi l dobi mo po znanih for mul ah x , ( 1) kje r so p , q i n K polj ubna narav na števila in p > q . Č e vzamemo K = 1, od p in q pa eno l iho i n eno sodo štev i lo , dobi mo t ako imenovane pr imitivne p it~ gorejs ke t roj ice , to j~ t ake , pr i katerih števila x " x 2 i n x 3 nimajo s kup- nega fakt or ja (gl ej npr. Prese k 1977(78 , s t r . 196) . Namesto t reh bi la hko iskal i š t i r i na ravna šte vi la , ki imaj o l as t nos t , da je vsot a kvadratov prvi h treh enaka kvadratu četrtega št evi la Loti mo se še sp lošnejšega probl ema. Vzemimo pol jubno naravno število n ~ 3 i n i menuj mo pi t agorejsko n- t ePico nabor n narav ni h števi l (x " x 2 , •• • ,xn ), ki re ši jo enačb o (2) Na ša nal oga bo naj t i kakšno pi ta gorejsko n- t er i co. Na prvi pogl ed j e vi deti, da smo s i zas tav i l i te žko nal ogo , vendar bomo vi del i , da se da sorazmerno lah ko najti kar precej reš i tev . Zgornjo enačbo bomo naj pre j nekoli ko preobl i koval i . Namest o k o l i č in x " x 2 ' x 3 ' • . . , xn vpelj imo k o l ič i n e u" u2 , .• • , un _2 , V i n z t ako, da vel ja 73 ( 3) Xn = U , + U 2 + . . . + Un_2 + V + z Vsaki n- t er i ci (X " X2 , . .. ,Xn ) ustreza nata nko ena n- t er i ca (U" U2 , · .. ,un_2' v ,z) , kaj t i brž l ahko izrazi mo nazaj nove ko li či ne s st ari mi : v (n- 2)xn - (n-3)xn_1 - xn_2 o čeme r se ni t ežko prepriča t i . Pri t em j e treba povedat i , da kakšna od ko- li či n u " u2 ' • • • , un_2 ' V in z l ahko t udi ni pozit ivno št evi lo , č e p rav so x , ' x 2 ' • • • , xn vsa pozitivna števila. Č e sedaj zveze (3) vstavim o venačbo (2) . ~o krajšanju dobimo 2vz = u~ + u~ + . . . + U~_2 + (n-3)z2 Namesto enač be (2) moramo torej reši ti t o en ačbo v okvi r u cel i h š tev i l . Ker morajo biti x " x 2 ' oo • • xn poziti vna š t evil a . se omeji mo na to. da t udi kg ličine u " u 2 , .. .. un_2 , V in z vzamemo za pozitivna cela št evi la , s č imer zaradi (3 ) zgornj o zahtev o goto vo i zpol nimo. Rešitve , ki bi jih dobili ta ko, da bi bil a kakšna od ko l ič i n u , • u2 • • • • • un_2 • v al i z negativna ali nič, nas ne bodo zanimale. Saj nam ne gre za to, da bi naš li prav vse rešitve . Zgornjo enačbo l ahko pi šemo tu di v obl i ki v = ( u~ + u ~ + . . . + U~_2 + ( n -3) z ~/(2z ) ( 4) Vide li bomo, da l ahko dobi mo veli ko re ši tev te en ačbe . č im več j i j e n , t em bogatej ša j e mn oži ca re šitev . Ogl ej mo si samo nekatere od možni h poti do ne kat er i h reš itev enačbe (4) in s t em pot em do rešitev prvotne enačbe (2) . Izber imo naj prej z = 1; tedaj imamo 74 L v = (u" + U 2 + , 2 + U~ _ 2 + (n-3)) /2 i n vi dimo, da moremo ko l iči ne u, ' u 2 , . . • in u n _ 2 izb rat i č isto ro lj ubno, le da je vsota v oklepaj u sodo število. To pa dosežemo na pr ime r t ako. da izberemo za u , sodo število, števi la u 2 , u 3 , o o o , u n _ 2 pa so vsa l i ha , si - cer pa čisto poljubna . N amre č če je n sodo število, j e u~ + . .. + U~_2 kot vsota lihega števila l ihih št evi l tudi sama liho število, tako pa je tu di števi lo n- 3. če pa j e n l i ho števi l o, j e u~ + ' 0 o + U~_2 sodo števi lo , kakr šno pa je t udi št evi lo n-3. Iz zvez (3) dobimo pote m i skane n- t eri ce . X, u , + 1 x u + 1 2 2 x u + 1 n -2 n-2 xn-, u + u +, 2 + u + (u 2 + . . . + u2 + n- 3)/ 2 n-2 1 n-2 x = x + 1 n . n- 1 če uvedemo parametre qi u i + 1, za i = 1,2, o • • , n-2 , dob imo preg lednej - še obrazce X , X 2 (5) Xn_2 = q n_ 2 Xn_, = ( q~ + q~ + . . o + q~-2 - 1)/ 2 xn = (q~ + q~ + . . o + q~- 2 + 1)/2 (q, - l ih o število, q2' . o o, qn- 2 na soda števila , ve č j a od 1) Dobili smo n- 2 parametri čno rešitev, ker števila q" . o. , qn- 2 lahko pol j ub- no i zbi ramo, paziti moramo le na dogovor o parnosti. Na podoben n a č in bi l ahko odbi l i še druge rešitve, ena je na pr imer t ale : za u, vzamemo naravno števi lo naspro tne parnosti. kot je števi lo n , za u 2 ' 75 " 3 ' . . . , un_ 2 Da vzame mo števil a i ste pa rnosti , kot je n . P repr i č a j se sa m, da j e ted aj zopet v nar avno št evil o, in ses t avi obra zce za x " . . . , xn' Iz doblj eni h i zr azov (5) l ahko naredimo enostavnej še , vendar manj s pl ošne reš i t ve. Ena ta ki h mož nost i je , č e i zberemo q , ~ 2k + 1, 'l z ~ q3 ~ . . . ~ ~ qn-2 ~ 2k , k ~ 1, 2 , . . . , t edaj dobi mo nas le dnje pi tago rejs ke n- t er i ce x , 2k + 1 x = X 2 3 2(n - 2 )k 2 + 2k ~ 2k (k ~ 1 , 2 , 3, . . . ) (6) Xn = 2(n - 2) k 2 + 2k + 1 Dobi l i smo torej enopa rame t rično družino rešitev , saj l ahko samo štev ilo k izbiramo še pol ju bno. Z nekoliko domiš l j ije la hko zopet sam dob iš še kakšne posebne obrazce. Zgo rnj e rešitve smo dobil i pr i privzetku, da je " 1. Na podoben na čin do- bi mo reš i t ve t udi za pr imere , ko post avimo " ~ 2, z ~ 3, itd . Oglej mo si še eno zelo s pl ošno reš i tev , ki j o dobi mo tako, da postav imo v (4): z = 2m2 in ui = 2m1"i ' za i = 1, 2, . . . , n - 2. Pri tem so m i n 1"" 1"2 ' 1"3' . . . , 1"n _2 polj ubna nara vna št evi la. Za par ameter v dobimo izraz v = r~ + r~ + . . . + r~_ 2 + (n-3)m2 katerega vre dnos t j e gotovo naravn o števi lo . Zaradi lažjega pi sanj a uvedimo oznake Pi = 1"i + m; ,; = 1, 2, n - 2 , nakar preko zvez (3) dobimo X , 2mp , 76 Xn_:z 2mPn _2 2 2 2 2 x n = P , + P 2 + . . . + Pn - 2 + m (7 ) kjer so P " P2 , •• • , Pn-2 in m pol j ubna naravna št evi l a , le da j e Pi ~ m+l , za i = 1, 2, . . . , n - l (glej, kako smo vpel ja li kol i č i n e Pi ) ' Za pitagore jske n- t e r i ce smo to rej dobi li reš itve, v kat e r i h l ahko n - l parametrom izbiramo še polj ubne vrednosti . č e pa upoštevamo dejstvo, da vse te količ i ne l ahko še pomnožimo s skupnim faktorjem K, dobimo cel o n parametri čno re š i t ev, to - rej zares bogat o množico. Og lejmo si še nekaj posebni h pr imerov zgornjih rezu l ta tov . č e je n 3, gre za ob i č aj ne pi t agorej s ke t roj i ce . Zanj e dobimo i z (7) X , = 2mp, 2 2 X 2 = P - m , 2 2 X 3 = P + m kjer smo pisali P = p , ' Pri te m sta P i n m poljubna , le P > m. č e te zveze pomnož i mo še s skupnim fa kt or j em K, dobimo na začetku omenjene reš i t ve (1) . Iz (6) pa dobimo nas le dnje t roj ke: X , = 2k + 1, x 2 = 2k 2 + 2k, x 3 = 2k2 + 2k + 1; k = 1, 2, .. . ki so naj brž tudi že komu poznane. Iz njih dobimo na pr imer tro jke (3 ,4,5), (5, 12, 13) , (7 ,24,25) , i td. Vendar seveda ne vseh, npr. trojk e (8 , 15 ,17) ne dobi mo na ta n a č i n . Vzemimo še pr imer n 4. Iz zvez (5) dobimo nas l ednj e pi t agorej ske četvorke x , q , x 2 q2 (q~ 2 1) / 2x 3 + q2 - ( q ~ 2 1 )/2x 4 + q2 + kj er je q , l ih o št evil o, q2 pa sodo al i obratno . Zveze (6) nam dajo reš itve, ki jih l ahko pi šemo v obliki x , = k k 1 , 2, 3 , . . . x 3 k (k + 1) x 4 = k (k + 1) + 1 saj s t a števil i k i n k +l nasprotn e parnost i . Dob i l i smo zelo preprost obra - 77 zec , ki nam da če t vo r k e (1,2 ,2 ,3 ) , (2,3 ,6 ,7) , (3 ,4 , 12, 13) , itd. Zapiš i mo še obrazec , ki ga dobimo iz (7) X , 2mp x 2 2mq 2 2 2 (p > m, q > m) x 3 = p + q - m 2 + q 2 + m 2 x 4 = P kj e r smo pisal i p = P, in q = P 2 . Za števi la p , q i n m l ahko i zbi ramo p o lj ~ bna nara vna št evil a , l e na pogoj na desni moramo paziti . Problem i skanj a pitagorejsk i h če tvo rk l ahko tu di geometr ijsko obarvamo . Iš- č emo t ake kvadre, ki imaj o za dol žine strani c naravna štev i la a = x " b = = x 2 , C = x 3 ' pr i kat e ri h ima t udi t e l esna di agonala cel oš t evi l sko dolži no d = x 4 " Sic er pa tu di pri drugih geome t r i j ski h probl em i h pogost o nastopajo i zrazi obl ike vx~ + x~ + x~ i n zl asti ses t avl ja lc i raz ni h nal og pogosto r~ di i zberej o za x " x 2 i n x 3 ta ka " ce ~a . š te v i l a , da j e t udi koren celo števi - l o. Tak pr imer j e na pr imer v 12 + 22 + 22 • Zapiš i mo nazadnje nekaj pitagorejsk i h če t v o r k , ki jih dobimo i z nekat erih zgornj i h obra zcev . Zara di bol j še preg lednosti so urejene v smi s l u: x , $ x 2 : " $ x 3 $ x 4 • Bra lec si bo sam naredil podobne t abel e za nekaj pi t agorejsk ih pete rk , šesterk , itd. X x 2 x 3 x 4 X X X X, , 2 3 4 1 2 2 3 2 6 9 11 1 4 8 9 6 6 7 11 2 3 6 7 3 4 12 13 2 4 4 6 2 5 14 15 4 4 7 9 • O o . o o •• • o o . oo • • o O • • • • 3 6 6 9 • • 0 • • o o . 0 •• • • • • • • • o o o o 78 Edvard Kramar NALOGE EULERJEV IZREK O ŠTIRIH KOLINEARNIH TOČKAH Leonard Eu ler ( 1707 - 1783) spada med najbolj plodovite matematike vseh ča ­ sov . Z devetnajst imi let i j e objav il svoja prva, vendar že zelo pomembna d~ l a ; s šestdesetimi l et i je oslepel , kar pa ni prav n ič škodi lo njegovi us- tvarjalni dejavnosti. Njegova odkritja srečamo na števi l ni h matemat ičn ih PQ dročjih, zlasti v matematični anal izi. V naslednjem bomo obravnava li neko po njem i menovano enačbo . Kol inearno st točk. Točke, ki leže na i st i premlcl, so ko linearne. Dve po lj ~ bni točki sta vedno kol iriearn i, saj d o l o č u j e t a premico, ki gre skozi t i dve točk i. če je š tevi lo točk večje od 2, so toč ke l ahko kol inearne, lahko pa tudi niso. 51 ika 1. Točke A, B in C so kolinearne; leže na premici p . Točke A , B in C niso kolinearne. Eule pj eva enačba . Vzemimo štiri poljubne kolinearne točke A, B, C in D, ki leže na premici p . 7J o A 8 C O-= : : : : pSl i ka 3. O o b c d Za vsako tako četve r i co toč k velja Eulerj eva enačba: AB.CD + BC.AD + CA.BD = D Enačb o bomo dokazali na dva načina . Aritmetični dokaz . Na premi ci p vzamemo ka rte z i č n i koordi natni s i stem z za- č e t kom v točk i O; v tem koordin atnem s istemu i maj o točke A , B , C i n D zapo- redoma koordinate o , b , c i n d . Dal ji ce v Eu l er j evi en ačbi i maj o, upošteva - joč usmerj enos t. naslednje dolž ine: AB = b - o CD = d - c BC = c - b AD = d - o CA = -(c -a) BD = d - b č e vstavimo te dolž i ne v Eu l erjevo enačbo , dobimo : (b - a ) (d - c ) + (c - b ) (d - a) - ( c - a ) (d - b ) D Lahko je izračun ati, da je leva stran te enačbe enaka O, in s te m j e dokaz končan. Geometrični dok az . V Eulerj evi enačb i naj pre j prenesemo z 1eve s t ran i tret- j i č len na desno stran i n dobimo Eulerj evo enačbo v obl i ki : AB.CD + BC.AD = AC.BD C' U S Q i 1 I I I I I I I I I I 8 ' >----Tr---Rt----- -- -- p I I I I I I A 8 c o Pravokotno na da1j i co AD nari šemo da1j i co AC", pr i čeme r je AC" AC i n do- l oč i mo na njej to č k o B" ta ko, da je AB = AB". Iz točk A . B, C. D , B " i n C' ;:;0 poteg nemo vzpore dni ce ta ko. da dobimo pravokot no mrežo kot kaže s l ika . Na lev i s t rani Eu l erjeve en a čbe je vsota p loš č in pravokot ni kov CDPR' in B"PQC " , torej p lošč ina l i ka B"RCDQC ", na desni s t ra ni enačbe j e p lošč i na pravokotnika BDQU . P loš č i n i te h dveh l ikov s t a enaki, ker je li k iR(:DQUT skupen i n ker s ta pravokot ni ka S "TUC ' i n TSCR skladna . S tem pa j e dokaz končan . Obra vnaval i smo samo možnost , ko s i s l ede kol inearne točke v zaporedju A , S , C, D. Vseh ra zli čnih možni h t akih zapore dij pa je 24; p repri ča j se o t em! Eulerj eva e n ačba ve lja za vsako od teh možnih zaporedi j . P repri č aj se o te m! Pazi pr i tem na usme rje nost dalji c! Aloj zij Vadnal POSPLOŠITEV NEKEGA PROBLEMA IZ DELJENJA DALJIC Na nekem tekmovanju učencev osnovnih šol je bila ena od nalog: Dokaži, da vsota poljubnih pe t i h zaporednih naravn ih števil ni prašt evil o! Nalogo posplo š i mo ta kole: Vsota poljubnih n (n ;. 3) zaporednih naraimih š t ev il ni praštevilo . Dragoljub M. :nloševid pl'ev . Emil Be l.oqlaveo 81 BISTROVIDEC UGOTOVI PRAVILO Januarja 1983 sem se z nekat er im i ko legi matemat i k i udeležil te čaj a iz teoret i čn ih osnov računalništva , ki je potekal v Du brovn i ku . Eno izmed predavanj je bilo tud i o induktiv - nem sk lepa nju , k i se ukvarja z naslednjim vprašaniern : Obstaja neko pravilo (pojav) , po katerem dobivamo člene zaporedja (rezultati po - skusov) . Iz nekaj znanih začetnih členov po sku ša] spoz nati pra vi lo . Seveda lahko po potreb i "zahtevaš" nasledn j i člen . Predavat elj Daley iz Združeni h dr žav A me rike nam je za raz miš lja nje v odmorih nap isal naslednja zapo redja : M , S2 , <5 , M, es , CO , o , ? O, T, T, F, F, S, ? 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ? pri drugem zaporedju je pot rebn o znati nekaj angleščine (vsaj za eno šolsko leto) ; pri tre - tjem zaporedju pa vemo, da nasledn j i č len ni 21. Udeleženec tečaja iz Norveške je d odal še zapor edj e: 4, 8, 21, 52, 65, 96, ? pr ofesor Scott iz Združeni h držav Amerike pa nas je spo mnil na nasledn je Po ly ajevo za- po redj e: 1 2 4 8 16 ? kjer je št evi lo pod po sameznim krogom najve č j e štev ilo ko sov kroga, na katere ga z vsemi di agonalami z ogli šč i na krožni ci razre že n-ko tnik , Kako bi nadalje val gornja zaporedja? Ali znaš (razen za zadnje zaporedje) napi sat i pra vi - lo? Ka j bi napisal za naslednj i čl e n zad njega zaporedja , če bi poz nal samo zapored nje šte- vi l? P o i šč i obrazec za tekoči čl en zadnjega zaporedja! Vl adimir Batagelj 82 FIZIKA NIHANJE ATOMOV V MOLEKULAH A t omi se l ahko zdr už uj e jo v gru če, ki ji h i me nuj emo molek u le . V molekule so lahko povezani enaki a l i raz lični atomi . Kis ik v zraku npr. sestavljajo mo lekule 02' v katerih s t a povezana po dva (enaka) at oma kisika, klorvodikova kis l ina pa j e ses tavlje- na i z mo leku l HC 1, v kateri h sta zvezana atom vodika i n atom k l o ra . Atomi v mo leku lah niso togo povezan i . Si le, ki jih drže skupaj, so e l ek t x- i čn e , vendar deluje jo s kor a j tak o, kakor da bi bi 1i atomi spet i med sa bo z zelo l ahki mi vzm etmi . Vzmeti se l ahko raztezajo i n krč ijo . če je vzmet, ki spenja dva atoma , razteg - njena, ju v leče skupaj, če je st isn jena, ju potiska narazen . Ko sta atoma v rav novesni razdalj i, pa je vzmet neraztegnj ena. Vse to na m j e že od prej znano . Morda pa bi se vendarle znaš li v zadregi, če bi dobi li nalogo, da i z r a č u n a m o , s kolik šno frek - ven co nihata okrog ravnovesne razdalje a tom vodika ( H) in klora (Cl ) v mo lekuli klorvodikove kis l ine (HC 1) . Poglejm o, kako bi se lahko lotili te naloge! Vze l i bomo, da sta a t oma vodik a in klora togi kroglic i z masama m, in m2 . !zgodišče za merjenje njuni h leg - označi li ju bomo z x , in X 2 - si l ahko poljubno izberemo . Ke r nas zan ima le , ka- ko nih ata atoma drug glede na drugeg a, bomo vze l i, da tež i šče mol ekule glede na to izhodi šče mir uje. Atoma naj bosta povezana z bre z težn o vzme tjo s koefi cientom K, dolžina neraz te gnjene vzmeti pa naj bo lo 83 Iz s l i ke je razv i dno , da je raz t ez ek vzmeti x e na k ( 1 ) Gibanje a to mov bomo opi sal i s po m o č jo 2 . Newtonovega zakona , ki ga bomo zapis a li posebej za vsak at om v molekuli . Na a toma de- luje l e sil a vzmet i , ki je sor az me r na z raztez kom. č e upoštev a- mo, da j e posp e šek e na k drugemu odvodu lege po času, lah ko za- pi šemo ( gl e j sli ko! ) .. - F m, ( d2x,/ dt 2) m2( d 2x2 /d t 2) -F - Kx Kx . (2 a) ( 2b) Enač b i (2) bomo preobliko vali, t a ko da nam ju ne bo težko re ši - ti. Delimo prvo enačbo z m, , drugo z m2 in od štejemo drugo od prve! Dob imo Le va stran je enaka ravno d 2x ld t 2, saj je d 2x ld t 2 = d2 ~ (X, - - X2) - l ~/ dt 2 = d2x, /dt 2 - d 2x2 /d t 2 . Na desni strani pišimo 11m, + 1/m2 = l/ fJ, kjer imenujemo u r educi rana mas a. Enačbo (3) lahko sedaj zapišemo (4 ) V (4) spoznamo enačbo za harmo ni čno ni ha n je. Splošna rešitev ta ke enačbe je x = xocos ( wt + o) , kjer je X o amplituda nihan ja , o fazn i kot , w pa k ro žna f rekven - ca ni hanja , ki je enaka w =~, oz i roma 'J = 1. {. [J..-- + J..--] (5 )"irNR m1 m2 84 Fr ek ve nc o , s ka t e r o niha ta vodi kov i n kl or ov ato m v mo l eku l i He l l a hko i z r ae una mo , ee pozn amo kon stanto vz me t i K. I z tabe l dob imo , da je ena ka 500 N/ m; ma sa vod i kove ga at oma je 1 , 6 7 · 1 0 - ~ 7 kg , masa klorove ga , ki i ma r e l a t i vno a tomsk o ma s o 35 , pa 5 , 85' . 10- 2 6 kg . S te mi podatk i dobi mo za f r e kve nco ( 5) vrednost 8 ,83 ' 10 ' 3 S - 1 . Pris t avi mo naj , da kons t ant a nami šljene vzmet i, s ka tero s i mi - s l i mo z ve za ne a tome v mo le kula h , obiea j no še l e i š e emo . S spe k- tro sko p skimi ~e ri t v ami l ahko i zm e r i mo f r ek ven co n ih an j a v , po- t e m pa i z en aeb e (5) po i šee mo K. Na ta nae in z ve mo nek aj o elek - t ro sta t i en ih s i lah , ki v re s n ic i de l uj ej o me d a tom i . Povej mo še t o , da so ampl i t ude , s kater imi niha j o a t om i v mo le - ku lah za ra di termi čnega gibanja , n a v a dn o ze lo ma j hne i n ne pr e - se ga jo des e t i nke pr emer a pos a me zne ga a toma. LITE RATURA _ Ha l l i day - Re s ni c k : Ph u s i c e , J ohn Wi l ey & Sons , New Yo r k 1967 . _ Pr e se k I X/ 3 ( 198 1/82) : Na l og e z r e pu bl i š ke ga t e kmovanj a mla - di h f iz i ko v . Bo ž i d a r Gasa r ( Pr ire dil Toma ž Kr an j c ) KRATKOCASNE VŽiGALICE 18 . Iz desetih vžigalic sestavi tri enake kvadrate. Odstrani vžigalico in naredi tr i paralelograme! 19. .Iz enajstih vžigalic sestavi pročelje grškega sve- tišča! Prestavi dve vžigalici, da dobiš enajst kvadratov! Prestavi štiri vžigal ice, da dobiš 15 kvadratov! 85 PLAVAJOCE IN POTOPLJENE KAPLJICE V oda nam je zelo domača , saj jo s rečujemo vsak d an po večkrat. Č e jo skrbno opazujemo, nam nud i nešteto p re se nečenj. pa bodi da je v trdnem, tekočem al i plinastem stanju . V šol i smo sl išali, da se površje kap ljevin vede kot kaka prožna opna in m orda še to, da je to zaradi površinske napetosti. Vemo t udi, da imajo t e koč i n e gladino in lah ko tvor ijo kaplje. In prav pri kap ljah se bom o ustavil i, saj so nadvse zanimive. Pogledali si bom o dva pojava: plava/oče in potopljene kapljice. a) PLAVAJOČE KA PLJ ICE P l a v ajoč e kaplj ice opaz imo, č e odpremo pipo v um ivaln iku al i v banji , ki sta polna vode . V endar so te kap lj ice p recej redek pojav, saj v glavnem nastanejo mehurčki . P l av ajoč e kaplj ice sem opaz il tud i pri vesla- nju, ko so hitele st ran od vesel v vseh smereh . S plavajoč imi mehurčki ji h ni mogoč e zam enjat i, ker se pri kaplj icah vidi vdrt a gladina . V son- čn i svet lobi imajo znači l e n lesk. L oč im o j ih tudi po izraz it i obliki , ki je t em bo lj sp lošče na , č i m v eč j e so kapl jice. (Sl ika 1 in 2) SL IKA 1. Pl a v a jo ča kapljica 86 SL IKA 2. V ečj a kapl j ica je bolj sploščena Plavajoče kapljice najlažje dob imo tako, da kap l jevino st iskamo iz plastične posodice s približno 0,5 cent imetrov široko odprtino cevke. Mi ru joč e kap lj ice, ki jih dobimo na ta na č i n , lahko spravimo tudi v giba- nje, če ob pladenj pritrdimo fen, tako kot na sliki 3. SL IKA 3. Naprava za opazovanje p lav ajoč ih kaplj ic 87 Življenjski čas kap ljic je odvisen od prašnosti površine in od tega, ali se kapl j ica giba ali pa m iruje. Večino posku sov sem opravil l vodn i- m i kapl j icami . Kap lj ica živi kake po l sekunde, če na vodni gladini p lava- jo smeti , ki kapl j ico predrejo. Za tov rst no opazovan je sem vodo zapraši l z otroškim pudrom . Na čisti gladin i se kap l j ice zl i jejo z gladino dobro sekundo po tem, ko se ustavijo . Če kapljica m iruje, s svojo težo priti ska na zračno blazino pod se- boj. tako da se b lazina neprenehoma t~'njŠa . -Pri tem zra'k teče tako, kot kaže slika 4. ---~O~--- SLI KA 4. Odtekanje zrakapri mirujoč i kapljici --....~~--- SLI KA 5. Gibanjezrakapod kapljico, če se kapljica giblje proti desni Kap ljica se ne zl ije i gladino pod njo tol iko časa, dokl er je limes- na plast dovolj debe la. Življenjsk i čas g ibajoč ih se kapl jic je povprečno pet sekund, kar je bistveno več kot pri m irujočih. P lavajoča kapljica namreč med giba- njem spredaj zajema zrak, zadaj pa ga pušča za seboj, tako kot kaže sli ka 5 . Njeno gibanje lahko pr imerjamo z gibanjem voz i l na zračno bla- zino. Celotna kol ičina zraka pod kap ljico se torej le počasi zmanjšuje al i pa sploh ne, kar gibajočim se kap lj icam podaljša živl jenjski čas. Tre- nje na zračn i blazin i, po kateri se kapljica gib lje, je zelo majhno, zato se kapljica počasi zaustavi . Poskuse s plavajočimi kap ljicami je najl epše delati, č e vod i, iz ka- tere nastajajo kapljice, in vod i v pl adnju dodamo malo detergenta . Živ - ljenjski ča s mirujočih kapljic je potem v povprečju dve sekund i, življ enj - ski čas gibajbčih" sepa ' :kaCdeset sekund . Nekatere žive t ud i č ez minuto in dosežejo pr emer par cent im et rov . Pojasnilo najd emo v dejst vu, da je det ergent površ insko akt ivna snov in se konc ent ri ra na površ in i kap ljevi- ne. T a pl ast je zelo visko zna, če ne celo pla stična, t ako da tvor i skoraj trdno sko rjo na površini kapljevin e. K o izpod č ist e kapljice odteka zrak , se gib lje tud i p last kap ljevine pod in nad njim, t ako kot na sliki 6 . Za- radi velike viskozn osti se pla st d etergent a ne giblje in je zato h it rostn i profi l spremenjen. Slika 7 kaže h it rost ni profi l pri odtekan ju zraka na č i st i površini in na površini z doda t kom det ergent a. 88 al bl SLIKA 6. Gib anje zraka in vode v kapl j ici SLI KA 7. Spremenjeni hitrosti profi l od tekanje zraka al č i st a vod a b) Voda zdetergentom De tergent tudi bolj omoči smet i ko t č isto vodo, zato smeti težje pr edrejo gladino kapljice , kar dod atn o p risp eva k daljšemu življe njsk em u času ka pl jic . Za nimivo je opazovat i zlitje kapljic z vod o pod njimi . Kapljica se bodisi poma njša, bod isi razde li a li pa izgine. V prvem prim eru, ko iz večje kapl jice nastane manjša , ta ponavad i od brz i v p ol jubno smer. Do- mnevam, d a se zračna pl ast m ed ka p ljico in glad ino n i p red rl a na sred i, ampak p ri st ra ni. Nast al je ne s im etri čen val in iz nj ega je nast ala nov a kaplj ica , ta ko kot na kazuj e slika 8 . -A~ J -~ SLIKA 8. Nastan ek m anjše kapljice iz več je Če na staneta iz en e kapl jice dv e ka pl jici ali več, je hitrost vsa ke v splošnem m anjša, kot če nast ane ena sa m a. s Zlitje kapl jice z vodo je t ako hitro , da ga s prostim očesom ne moremo opazovat i. Da je čas zl itja kra jši od šest na jst ink e sekunde, sem razbra l iz filmskega posnetka . Na sli ki 9 je pl avajoča kapl jica , na sliki 10, ki je nas led nja na film skem tra ku s šestna jst posnetki na sekundo, pa se vidi le še vdr ta glad ina. 89 SLIKA 9 . Fotografija plavajoče kapljice, na rejena po film skem posnetku SLIKA 10 . Šestnajstinko se ku nd e za sliko 9 je osta la le še vd rt a gladi na Posnetek na sliki 11 kaže, kako se je plavajoča kapljica iz črnila zlila z vodo pod seboj . S f ilmskega t raku sem spet razbral, d a je čas za nastanek takšne gobe krajši kot šestnajst in ka sekunde. SLIKA 11 . Hip zatem, ko se je ka- plj ica zli la z vod no gla - dino P l avajo ča kap ljica lahko raz- pade na manjše tudi takrat , ko se vanjo za feti druga . Če je sunek manj silovi t, se kapljici odbijeta, največ­ krat pa se združi ta v večjo, kot ka- žeta sliki 12. in 13. Način d ru ževa - nja kapljic je najbrž podoben kot pr i zlitju kap ljice z gladino pod njo, kar kaže tud i kratek čas zdru ževa - nja . S filmskega posnetka sem raz- bral enako zgornjo mejo za ta čas , kot v obeh prejšnj ih primerih . 90 SLI KA 12, 13. Združevanje manjših p l avajoč ih kapljic v večje 91 92 b] POTOPLJENE KAPLJICE Kaplj ice se pod posebnimi pogoji lahko pot ope pod vodno gladino, pri čeme r kap lj ico ob kroža tanka z ra čna pl ast . T akšne kapljice so torej nekakšni "antimehurčki " . Pri mehurčkih je kapljevina okrog plina, pri poto pljenih kaplj icah pa p lin ob kr oža kapl jevi no . Za opazovanje je primerna ista stisljiva posodica ko t za opazovanje p l avajočih kapl j ic. Posod ico dvignemo za cent imeter nad pov ršino vod e, jo napolnim o z vodo z dodatkom dete rgenta in jo stisnemo. Če ne sti- snemo nit i preveč niti premalo, se ob li ku je kap ljica, ki se po top i pod vodno gladino . Slike 14 do 17 kažejo, kako kaplj ica nastane. Ker kaplji ca kma lu zat em, ko se dot akn e površja, poč i , dodamo vodi, ki jo nat akarno iz stis l j ive posodi ce, malo soli in tako poveč amo gostoto kap lj ic. Da kap lj ica ne pade na dno , kjer bi njen ovoj pr av ta- ko poč i l , pa d amo na dno čaše žlič ko m edu .· Z d if uzijo nastane pl ast z neenakomerno gostoto, ki deluje ko t nekakšna mehk a podlaga. Kap lj i- ca se od nje nekaj krat odb ije in nato ob sedi, Za čudo pa se ta kšna kapl jica po nekaj m inutah spet dvigne. Po- jasni lo najd emo v dejstvu, da vsebu je vod a razt op l jen zrak. Iz vode se ga nekaj iz loč i , tako da se po vršinska pl ast odebeli. Ko se povprečna gost ota kapl j ice z zrakom izena č i z gosto to okolišnje kap l jevine, se kap- ljica dvi gne. N ajdelj se kap lj ice obdrže na dnu, če j ih potopimo v pre- kuhano v odo. v kater i je ma lo raztopl jenega zraka , najmanj pa, če j ih pot op im o v kozarec z radensko . V primeru , da kapljico nared im o v stekl en ici , jo lah ko obdržimo dl je č asa . Č e se hoč e kapl jica vzd ignit i , p ritis nemo na zamašek in tako . stisnemo zrak, ki jo ob kro ža. S tem ji povečamo povp rečno gostot o, t a- ko da se začne spet spu ščati, podobno kot Kartezij ev pl av a č . Franci Demšar Povzeto iz diplomskega dela (1982) na V TOZ D, Oddelek za fiziko Fak u ltete za naravos lovje in tehnologi jo U niverze E. Kardelja , Ljub ljana . SLI KE 14 do 17 . Nastajanje potopljene kap ljice 93 PISMA BRALCEV Učenci, zbrani v matema tičnem krožku na osnovni šoli Velika Poljana, se vam oglašamoprvič. Na naši šoli deluje matematičen krožek redno že drugo leto. V tem času smo dosegli lepe uspehe na tekmovanjih. Nimamo dosti gradiva za poglabljanje matematičnega znanja, zato te prosimo, da svetuješ . od kod naj ta gradiva dobimo , iz katerih revij ali knjig in kje naj jih nero či­ mo? - radi bi tudi izvedeli kaj več o življenjepisih znanih matematikov. Ne vemo od kod zvedeti kaj več o tem. Radi bi torej, da nam pomagaš in svetuješ pri našem delu. Presek tudi redno prebiramo in izvemo dosti zanimivega. Lepo te pozdravljamo! -, 9 4 Sporočate nam o uspešnem delovanju vašega matematičnega krožka. Zanima- lo nas bi, ali krožek vodite sami ali vam pri tem pomaga vaš učitelj matemati- ke . Poleg pisma smo veseli tudi vaših uspehov na tekmovanjih. Knjig in revij, ki so primerne za vas, je dandanes pri nas in v svetu zelo veliko : Poleg Preseka objavlja naloge in druge zanimivosti iz matematike še Proteus, ki ga izdaja Slovensko prirodoslovno društvo, Ljubljana, Novi trg 4, Matematički list za učenike osnovnih škola (Društvo matematičara i fizičara SR Srbije, Beograd, Knez Mihailova 35), Numerus : popularno matematičko spisanie za učenici na osnovnoto uči liste (Društvo matematičaraNRM, Pedagoška akademija Kli- ment Oh ridski , Partizanski odredi b.b ., Skopje), Mladi matematičar (Gimnazi- ja Valjevo) in Matematičko-fizički list (Društvo matematičara i fizičara SRH , Zagreb, pp 258) . Med knjigami pa vam priporočamo nekatere brošure, ki so izšle v Presekovi knjiž nici (glejte seznam v Preseku) t nekatere knjige iz Knj ižnice Sigma (Druš- tvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 61111 Ljubljana, p.p. 6): V idav l., Rešeni in ne rešeni problemi matematike; Vidav l., števila in ma- tematične teorije; Prijatelj N., Osnove matematične logike, 1. del, ter knjige iz zbirke Matematička biblioteka (školska knjiga, Zagreb). Če poznate kak sve- tovni jezik, vam bomo lahko postregli še z mnogimi naslovi revij in knjig. Tudi domačih knjig bi lahko dobili še nekaj deset. Sprašujete nas tudi, kje bi lahko izvedeli kaj več o življenjepisih znanih mate- matikov . Nekaj smo o tem pisali tudi že v Preseku. Pri našem društvu lahko dobite tudi starejše številke Preseka. Katere številke so objavile zaželjene pris- pevke, lahko ugotovite tudi sami po brošuri Desetletno kazalo Preseka, ki jo imajo na vsaki šoli. V lanski peti številki, ki se imenuje Presekov koledar, so bili objavljeni krajši življenjepisi štirih znamenitih slovenskih matematikov. V Knjižnici Sigma smo prevedli in izdali knjigo Kratka zgodovina matematike . Večina . astronomov in mnogi fiziki so se veliko ukvarjali tudi z matematiko. V isti zbirki sta letos izšli še Kratka zgodovina astronomije in Kratka zgodovina fizike . Ob stoletnici rojstva največjega slovenskega matematika je profesor dr. Ivan Vidav izdal knjigo o Josipu Plemlju. Pri SLovenski akademiji znanosti in umetnosti pa so izšle že tri knjige prof. Jožeta Povšiča: Biografije in bibliogra- fije Jurija Vege , Franca Močnika in Franca Hočevarja. Isti avtor je pred krat- kim pr i Založbi Obzorja izdal d robno brošuro o Juriju Vegi, novinar Sandi Si - tar pa dve knjigi o istem matematiku, prvo pri Mladinski knjigi in drugo pri Partizanski knjigi v zbirk i Znameniti Slovenci. Vse te knjige lahko dobite pri našem društvu z 20% popustom , ki velja za člane društva in naročnike Prese- ka . Ko boste prebrali te knjige , vam bomo lahko postregli še z drugimi. Lepe pozdrave in veliko užitkov pri branju domače literature . Ciril Velkovrh 95 1783- 198 3 CEVOVOD POLETN A Z A PLI N S LAStlCA ODISEJEVA L ENA PRSI LO VEt JI RIB ISK I to LN AN ICA ZNA MEN JE ZODlAKA R USKO M. IME TRAVNIK OB VODI NASI VEK NA UNIFORMI IME SLOV SKLADAT. JEN KA 96 GOS LI VAS J OD LJUB LJANE DEL PARTITURE LIDI JA OSTERC ZOI N 3 CRKA ABEC ErE VK~Nt(f ZDRUL ENI VEJI KATRAN BLI St PTICA PEVK A MERE ZA ZLATO CLOVEK Z VELIKIMI O t M I M, IME (V ANC) GERMAN TI TOV DIAMETER SPOJ PRI SI VA NJU NAUK O ATOMIH PA VE L SI VIC SE ~ P, GRI A i:2', / ' x - ID f ( x) = L f(f( x + l l)) , Dokaž ite, da je za x S 100 : f( x) = 91 3) Naj bo P takšna točka v not ranjost i trikotnik a ABC, da je ~PAC = ~PBC, M i n L pa nOZISCI pra vo ko tn ic i z toč ke P na s tran ic i AC Qzi roma Be . Ce j e D s red iš č e s t ra n ice AB . dok až it e . da j e DL = DN ! 4) Zapo re dj e naravn ih š te v i I I.xn ) j e de f i ni ran o t a ko l e : 99 X 1 2, x n+ 1 = [_ 3_ x ] 2 n (n = 1 , 2, .. . ) Dokaž it e , da j e v zaporedju {xn } neskončno mnogo li hi h i n nes končno mno- go sod i h š tev i l ! ( [x ] je naj večje celo š tev i l o , k i ni več j e od x) S temi na log ami s e j e v nedel j o, 24 . ap ri l a, od 9h do 13h ukva rj a lo ka r 109 d ija kov i z vš e Jug oslavij e . Po t ekmovanju so s i t e kmoval c i ogleda l i Prišti - no , tekmova lna kom isija, ok rep l jena s s p remljeva lci ekip, pa se je lot i l a preg l e dovanj a r eš i t e v . Pr vi rezultati so bi l i znani ok rog l8 h in so p r e se n ~ t i l i mars i ka terega dij aka , sa j so bi l e oč i t n e velike razI ike med p r ič a kov a ­ ni mi in ob javljeni mi uvr sti tvami . Razlogi so bi 1 i i sti kot že večkrat do- sl ej : p redvs em časovna s ti s ka , ne us k l a j en i krit er iji , pov r šno opra vl j e n i p reg led i , nep ozna vanj e jezi kov drugih na rodov, . .. Pri t em so bili oškodov~ n i tud i nekater i naš i te kmova lci , nekomu j e na pr i mer komi s i j a ob ponovnem pr eg ledu priznala še 35 točk (od 100 ~ož n ih). Pritožb je b i l o ze lo ve l i ko i n k l j ub napo rom komisije l e - t a do 22 ni uspela vseh t emeljito obravnavati. 2a radi p r i tožb se j e tu d i s veča nos t ob raz glasit vi re zult ato v zavl e kl a poz - no v noč . Naš i dijaki na pode l i t ev nag rad in pohva l n iso mag I i č aka ti : še pred po lnočjo j ih je odpelja l v lak prot i dom u, kamor so prispe l i na s l ednj i veče r. Več časa so potrebova l i o rga ni za to r j i: p r i zna nj a , pohva l e in nag ra de so na posebno proš njo poslal i šele junija ... 'ja ši dijaki so se v Pr ištini odi i čno odreza l i: eki pno s o se uvrsti 1 i takoj za ek ipo Srb i j e . V opomb o: nj i hova ek ip a j e š t e l a 24 di j akov , ek ipa Bos ne i n Her cegovine pa kar 28 srednj e šo lce v . Le iz Č rne go re i n s Kosova j e bilo manj di j akov . Tako je za os vo j e no : 2 . -3 . mesto v 1. ra z redu Jož e FABČIČ prejel il . nag r ado ; 2 . ~es to v 2 . razredu Roman DRNOVŠEK pr ej el I I. nag ra do; 2. - 3. mesto v 3 . razredu vla do ROBAR preje l II I. nag rado; 5. -9 . me s t o v 4. ra zredu Dean MOZETIČ pre j e l pohva lo . Mo ramo zapisat i, da so tudi vsem osta l im pohva le ušle ie za las! V ekipo za 0 1 impiado, ki j e bil a letos od 1. do 12. julija v Parizu, so se uvrst i li trije drugošol ei (med nj imi Roman Drnovšek) . en t retje šo l ec in dva čet rto ­ šo l ea. Do tak šnega izbora je pri šlo za radi ze lo s labih re zu l tatov (g lede na največj e mo žno števi 10 točk) v 3 . i n 4. razre du , kar je pre dvsem od raz ne- prime r no izbranih nal og z a to s kupi no i n pa za ra d i mis l i , da j e na o l imp ia- d i važ ne je sode lovat i ko t pa za vs ako ce no dos eči či mbo l jš i rezul t a t . Za konec še ne kaj vti sov s Kosova : živ l j e nj e teče spet normalno i n tudi re v ščine ni opaz i t i . Pri šti na, gos poda r sko i n pol i ti čno sred i š č e Kosov a , de l u: je kot mla do mesto. Po eni stran i zato, ke r je v mestu mnogo novih razkoš - n ih pa lač, k i so v ost rem nasprotj u s sta r imi de l i mes t a , predv sem pa zara - di ve l i kega števi la mladih . V mestu j e namreč veliko s re dnje šo lce v in š t u- dent ov . Z večer mesto zaži v i. Tedaj s re di šče mes t a za pro za prome t , g l avn a ul ica pa postane prava promenada mladi h , ki j o napo ln ij o tako rekoč do zad - nje ga koti čka . Goraz d Lešnj ak, Dean Moze tič 100 7. REPUBLIŠKO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IZ RAČUNALNIŠTVA leto~nje t e kmov a n j e , ki je bi lo ~e sedmo ~epub li~ko tekmovan je s~ednje~ol ce v iz ~a~unalni~tva in in fo~matike, j e o~gani z i~ alo Slovensko d~u~tv o Info~matika v sodelovanjU s Fakulteto za elekt~otehni k o , Institutom Jo~ef Stef an i n D~u~tvom matem ati- kov, f izi kov in a st ~ o n o m ov SRS . Tekmovanje j e bilo v soboto , 16. aprila 1983 na Fa kulteti za elekt~o tehni k o v ljubljani . Kv a l i t eta z n a n j a , k i jo k a ! e j o mlad i t ek mov a l ci (ne kateri c elo i z osno vn ih ~ ol ), nam j e n a r e kav a l a, da smo ~e p~ed tekmova- n jem r az de l i li tekm o va lce v t~ i tekmov a l ne skupine . Skupi ni po p~v~m i n po d ru ge m l etu po u k a ra~una l ni~t va sta osta li v b i st v u ne s prem enj eri i I v t r e t j i s kupi ni I ki jo imenujem o s kup i na za iz ku l e ne j =e te kmo v a lce , p a so te kmova li t e kmov a l ci , k i se ~a eu n a l n i ~ tv o m uk v Q~jajo ~e vee le t . Vse sp ~emembe ~ a z v~ = ~a n j a i n pl:"' e haj a n ja te k mova l c ev med t ekm o val nimi sk up i- na mi bod o ob jav lj en e ven i od na sled n j i h ~t e v i lk P~eseka skupaj ~ a zp i 50m z a os mo ~ epubli! k o tekmov anj e . Re~ im tekmo v ~ nja os t a j a ne sp~ eme n je n , kac po men i, d a i ma jo t ekmo val - ci vseh t~eh s ku p i n z a r 8~e v b nje na l og n a volj o po dve u ~ i i n p o l ~a 5 a i n d a pr i t e m s me jo up0l:"' abl j ati poljub no l i t e ~ atu ~ o . 7 p pn i kalk u I atorj i so dovol jeni. U~ a d n i p~ o g ~amski j ez ik i te kmov a n j a s o pasca l, fo ~ t r a n, b asic i n Pl / 1. Nalo g e so bi le tak~ne: a) za t e k m o v ~l c e (]I ) enem l e t u po u ka ~ a ~un al niYtva 1 . Za por e dje A j e de fini rana t ak ol e: j z [' aČ:! l..n"ldiflo t a ko, da A (k) + 4 ob r n e mo d ps et j~ke m zap i s u. Pr i mer za a = 4 : A(O ) = v r s t. n i a , r e d A(k+ll pa cife~ v Napi= i PRO GRAM, ki iZ l:"' a ~ u n a kate~i ~l e n zapo~edja je en a k 1 (v na =em pl:"' i mel:"' u iz ~ a eu n a to~e j k 6 ). P~og~am p ~ ebe~e pod ;i l:(:? k a , 2. C ~ nobe la f o t o g ~ a f i j a j e p ~edsta vl jena kot dv o d imenz iona ln a t~ b e la 5 12 x 5 12 to~k , p ~ i 6 e m e~ je s ve t lo s t v vsa k i to~ k i ce lo~te v ilsk a vre dn ost med O in 1 27 . Ra d i bi sp~emenili sliko t ako , rla ne bi imela po lt ono v ( s iv i h t on ov ) \ in t o po mo ~no st i tako , da bo pol ovica to~k i mela v ~ ed n ost O, po l ov ica pa v red n ost 127 . Napi li DEL PROG RAM A, ki na j p r ej po i~ ~e mej no 101 j := 1 ; end ; end ; = 'l) and ( dy 1) i c(' edno s t pod k at e ~o bo d o t Q~ ke ~ ~ n e, n ato v ~ e d n o s t , nad k a t e ~ o b0 do b e l e , na to p a 5li~o u s t ~ e z " o obd e l a . 3: Ka j i z p i~e pc og~a ffi? Odgo . c c p c i ffi e~no ut eme lj i. p~ ogcam zogic 3 (out put) j C01l 5t xma x = 31; Y l11 a~-( = 2 3 ; vs r X , y : i n t e q e r ; d x , dy: int e gec j j ; i r,t ~"' ge l"' ; begi n " : = 1 ; y : =1 ; d x := , ; dy := '1 ; (-e pe "t x : = ': + d x ; Y : = Y + d y ; l( Cr. < 1) o r ( x > xma x ) t h e n [:. (~ CJ in d x : = ym a x) t.n e n ~ e g in rt j := - dYi Y := Y + dYi j : = j ~ 1; -. nt. i 1 (x = 1) and ( y 1 ) and ( d x '-'i db, l n ( j) j ''-'-' '- ·l d . r pr ogca m Zog i c a i ntege c Xmax , Ymax i nt-eg e r- x , y , d x, dy , j Xm ar, = 3 1 Ymax = 23 -{ = 1 4 102 y ,--=: -~ d ~ " '1 c y ~ '1 j , 1 Gon t i nue x = x -l- d x Y = Y -l- dy if «1.le. x) .and. (x.le.Xma x)) goto 2 dx = - d x X = x + dx c o nt i nu s ir « 1. 1e . y ) . and . ( y . l e . Ymax )) goto 3 d y = - dy 1'"1 + d1 o o n t Lnu e j c . j + 1 i f «x . n e . 1) . o ~ . ( y . n e . 1 ) . o ~ . ( dx . ne . 1) . o [" .( dy . ne . 1 » goto \-Jd t e ( 3 , 4 ) j . fa cmatCIS ) e nd 4 V n e ~ p. m skladi~~u u p o ~ a b l j a j o avtomatske vili~a~je. Poti ~ l i ~ a~jev so na~isane na tla z enakome~no debelo ~rno ~rto. V li~a~ ima n a spod nji st~ani dva opti~na senzo~ja . Razdalja med senz orjema je manj~a od de belin e ~~te. Viliearja se veda k ~mili ra~unalnik, ki ima na vo l j o f unk c ij o SENZOR ( s t r a n) , ki vr ne vr e d nos t O, ~ e senzo~ ne v i di ~~te, i n v ~ e d n o s t 1, ~e j o v i d i . A ~g u m e n t f unkc i j e ( s t ~ a n ) im a lah ko s a mo dve vr e d nos t i : L za l e v i i n O za de sn i se n zo r. Raze n t eg a ima rae una l nik n a vol jo t ud i podpro q r am ZAV IJ ( s tr a n ) , k i po ve v Ll L č a r j u , na j za vi je na l ev o , desn o a l i naj gre na r a vnost . A ~ gu ~ e nt ( s t r an) i ma t u lah ka vr e dn os t i L, O a l i N. A. Nap iKi POSTOPEK, s kate ~im b i vod i l v i l i Ba rj a po ~ r t i . B. Napi ! i POSTOPEK, s ka t er i m bi v i l i ~ a r i z b r a l le vi ( a l i de- sni) k r a k ~ az v e ji~ B a ~ r t v oblik i e~ ke Y. b l za tekmo v a lc e po dveh l etih po u ka r aeunaln i~t va 1 . N a p i~i PROGRAM , k i i z r aeu n a vs a taka petmest na ~tevila n , ~a k ate ~ a ve l j a , d a na s t op a jo v de set i~kem z a p i s u ~te vil n in 2 . n vs e des ~ t i ~k e c i f ~ e , vs ak a na tan ko en krat. Pc j. lTi er-· : n 1]932 7 20 6 7 9 1865 4 4 13 5 8 9730 2 ~ . V nek e m l ab i r i n t u s o vs a ~ a zp ot j a ozn ae ena s pOZiti vni mi rie li mi ~ t e y i li ( ~ a z l i ~n~ ~ a zp ot j a so ra z li eno o~tevil~ena). Spreh od pa lab i ~i n t u smo zaeeli na nek e m ~a z po t j u in na~ li po t rlo ko nt ne g a r ~ ipotj a . P ~ i te m s mo si ve stno zap i s oval i vs e ;tevi lk e r a z poti j , k i s mo j i h p ~ehodili. Napi~i PROGRA M, k i i z t ak eg J opi s a sp~eh oda iz ~ ae u n a opis poti, k j e~ ni v e ~ n e p ot~ e b n i h zan k ( t o~ e j t ~k ~ n i h delo v poti, k i se z ae n e j o in k.Citll!<1 jo n a i s te m r a z po t j u ) . 3 . I mamo r obo t a , k i na d zi~ a po l nj e n j e sodo v v neki po l ni ln i ci . V po l n i l n i c i j e N po l n i l n i h me s t . Robot mo ~ a na polni l no mest.o p ~ d st a v it i sod , v k l j u ~ i t i po l n j e n j e , iZ kl j ue iti pol n j e - 103 nj e i n sod ods ta v it i . Po l nje nje s odo v g pe z ne e n ak o me pno h it ~ ostj o , ve nd a r je hi t~ o st na v zgo~ omejena. N a p i ~ i POSTOPEK za vo d e n j e ~ o b o t a . P ~j te m lah ko up o cab i ~ n a s le dn j e ope p ac i j e ( pov sod j e i me d 1 i n NI : O[IPRI (il ZA PRI< i l ODSTAVI ( i l PODST AVI( i ) KOL H ;O( j ) o dpc e dotok v sod n a palnilnem mestu ij izvede ~ e tako j ; za p ce dot ok y s od n a pol nil ne m me s t u i j iz ve d e ~e tak o j ; odst av i sod i z polnilneg a mesta i; opepaci ja t~ a j a t pi ~ a s o v n e e no t e i n med t o o p e ~ ac i jo p obot ne mo re p o ~ e ti ni ~ e s ap d ~ugeg aj pod st a vi s o d n a pol nil nem mest u i; ope~acija t p aj a dve ~dso v ni e not i i n me d t o opepac ij o ~Qb ct ne mope p o ~ e t i n i~e s ap d ~u ge g aj po ve , ~ ez najma n j ko li ko ~ as a v nih eno t bo sod na po ln i ln e m mes t u j pa ! n ; ~e vr ne v r e dno s t O, pomeni , d a j e sod poln, ~e vp ne vp e d nos t - 1, na po lniln em mes t u ni so d a ; od govop do bi mo ta ko j. Ro bot a je t r e b a vod i ti t ak o , d a s e n i ko l i ne bo zgodi l o , d a bi pol n il i ~e p ol t" : s od , i n se veda tud i t ako , da i zko r i s t i mo p~ ln j l n a mest a ka p s e da o p tima l no . St e v il o po l nilnih mest in mini ma l ni ~as po l n j e n j a p r a zne g a s o d a n i s ta zna n a vn a p ~ ej. 4 . Kaj p o~ n e pr o gram z a po z i ti v ne po d atke a in b? Odgo v or p r j.n~! r n o lJt e me!ji ! r ~ G]r a m Pu z z l e ( j np ut, out p ut l ; r _·11.... a , b: i ntl::'Je t' ; F :: li ct .i Orl Ma c; ( c , b : jnt E'g E> l' ): i n t e q e r ; V 3C x) c : i n t e q e r ; t eJ i n f * Ma c * ) r : '- i ; r.; : = O; ~'h i I 2 ( 3 <> O) O l' ( b <> O) do be' ,"i ~I i ~ odd( a+bl t hen c := C + Xj x : ;;: 2* x ; a : =: adi v 2; b : = bdi v 2; end ; Mac : = e j E ;",:! ~ w-t1ac -I ) ; begin [~ Puc z l e *) t: p ~~ d Jn ( a , b ) ; ; : .= M čl G ( a , b ) j b : = Mac (a, b ) j a : = Mac (b,a l j 1": v- .;.t p. J rt ( a ,b) ; ',nd O PeJZ Z 1e* ) . '., pr oq r em Pu z z le i n tp.ge c a , b ,"", a d (2 , 1 1 a, b foC'm at ( 2 1 10 ) A :;:; Ma c.: (ri , b) 104 f; ~ M.-1C( a , b ) ~ = M;o" ( b , a ) wri t ,~ ( 3 , 2 ) a, b 2 ! o r ma t ( 2 I1 0 ) e nd f unction Mac( u , vI int....ege r U t V , C , at b , x , s ,~ 1....1 il '" v >( C O tr « a . e q . OI .and. ( b . e q . O)) goto 2 s = ( a +bl - ( a+b )/ 2* 2 it ( s . ne . OI c = c + K X 2 * K a -= a /2 b = b 1 2 goto 1 I~ O i'l t j . n u e Mac " c r~ t-. · .J cn . : ) • ·-1 ~ z--'h i; C '-/ a l e e t l~ e t je s ku p i n e 1 . <- e je M c e lo po z it i vno ~tevi lo, j e 11 M p e ~ i o d i e no decim ain o ~ ~ e v i lo . N~p i~ i PROG RA M, ki i z~ aeuna za po ljuben M med 1 i n 1000 ne pe riodi e ni i n p e ~ io d ie n i d e l de cim a l ne ga ~tevi l a . Pr i mi-: c: 117 0 . ( 142 85 7) 1 /1 000 .01(0 ) 1 / 2 2 0.0 ( 45 ) ( ~ t e v i l o v o k l e p a j u s e p e ~i o d i e n o po n a v lj a ) , 7 . I ma mo t ~be lo ve l i kos t i N x N, vs a k el e me n t tabe l e pa i ma lahko s amo v ~ e d n o s t i O al i 1 . V te j t ab e l i j e zen i cami "n a p i5~ n a" s l i ka , ki j e s e s t avl jena i z ve e de l o v . N a pi ~i d e l PROGR AMA , ki d ob i kot podat e k p o lo~a j nek e t o e ke n a s l i k i i n z b ~ i~e s s like vs e , ka~ je s podan o t o~ k o po vez a no . T o~ka j e po veza n a s ~ t i~ imi (i n ne z osmim i) s os e d i . Sli ke v tabel i s o qes t a v l j e ne pr ete ~n o iz e ~ t in im ajo ma l o ali n i~ poba~v anih p o vrš i n . 105 Ko o r d ina ti zaeetne toe ke: (3,4) Pl'imel': ( t ab e l a 10 x -lO) Ori g inalna slika 1234567890 0000 --- -0 -- - ::: O -- 0-- 0 - 0 0 0 ~ 0 '0 0 -0 -- -0 4 000"-00--0 S 0-00- -00-0 t , - 0 - 0 ' - - 0 - 0 7 -0 ' -00000-0 8 000------00 9 0-0 0 00000- O 0 - -C --0 - 0- -' Re zu ltat 1234567890 - ------0- - 2 - - - - - - - 0 0 0 3 - -·--- --- -0 4 ·· .. - - -- - --0 5 - - - - - - - - - 0 6 - 0 - - - - - - - 0 7 ··0 -- -- - --0 8 000-----00 9 0 ,,0000000- O 0---0 - 0-0-- 3 . Zelo dolga vr s t i c a teks ta je bil a v ve~ i zvodi h natisnjena n a list pap i rja. Loe e no s mo na lli v e e kopij t ega lista , ven d ar 5 0 bile vse r aztrgane na d r o bne kosce. Opili POSTOPEK, po katerem bi iz teh informacij lahko l' e ko ns t l' u i l' a l i original - li C' vrstico A. ob upaltevan ju, da noben koleek ni bi l izgub ljen in da so zn a k i na preteganih mestih enolieno eitljivij B. v primeru, da pogoj A ni i zp o l n j e n . Posto p 8k naj i Zl'a~una vsaj eno relitev, ee jih je vee. Stevilo raz l i~nih kop ij , ki smo jih nalli , je poljubno ( najmanj dve ). Kopije smo nalli tako, da zagotovo ve mo, k a t e r i ko~~ki spadajo k eni kopiji . 4. Na ne k i ra~unalnik je p ciklju~enih N tratnih enot (ali eesa dvug e g al. V t e m ra~unalniku s e (navide zno) hkrati izvaja ve~ r [og ramo v. Kadar !e li pr og r am uporabljati tratno enoto, jo maca pr iklju~iti. Pcikljuei jo tako, d a pokl i~e podprogram P ci k lj u~ i, ko pa t c a ~ n e enote ne potrebuje ve~, po k l i t e podpr ogca m Sprosti . Oba podp rogeama sta del operaci jskega s is t e ma in zanju je posk~bljeno, d a se ved no izvedeta od >a ~ et k a do ko no a brez prekinitev. Podprogram a upo rabljata s kupno g lob alno sp ~emenl ji vko (na nivoju s is t e ma l It_enot . Podp ,ograma delu j eta t a kol e: P l"i 1\ljul~i: ~~ e je ~t_eno t )= n potem pos ta v i pr og e a m, ki n as je poklical, v ~akalno vesto 106 .~ t _e po v e pr a t po ve ~aj z a 1 ; pc ogra mu, ki na s j e poklic al, da je klj u ~e n n a en oto ~ t _ e n o t. Sp eosti : gt_enot zmdnj~dj za 1; d e je v ~akalni v~sti kak~en p~og~dm, mu dodeli p~avka~ s ~lro ~ ~ en o etl0to in ga po~eni. n . Al i lah ko ~ oka~e~ situ acijo, v kate~i nas ta na~in dodelje- v an ja ~not s p ~ a vi v nep~ijeten polo~aj? Ali ima~ p~edlog za i zb olj~ a vo n a ~ i n a dodelje vanja enot? B. Ce b i v e ~ ~a eunal ni~kih sistemo v upo~abljalo istih N enot , bi lahko n a v s ake m za dodeljevanje enot upo~abljali podp~o­ g ra ma P~iklju~i in S p~ o s t i , le spremenlji vka ~t_enot bi mor al a b iti s kup n a vs e m p~og~amom (bila bi np~. v skupnem d.? lt' sp omi n a ) . Al i bi to delo v alo? f(je je p r-ob l em? ~( t e kM OV ~ (l ju se je p~ijavi lo 16 0 uCe nC9V i z 2S ~Ql , udele~ilo p a s e ga je 137 u~encev iz 23 Ke l, k a ~ pa je za dob~o t~etjino ve e kot p ~e j ~ n j a leta. P~i sp opadu s t e kmov alnimi nalogami so bil i na ju spe~nej~i nasled n ji . t e kmo v a l c i : ~ ) o c v' l.: ~ ") ~; u p i n e n -1 9 l.-.a d.] ~ t. t.e~; 11\ o v a l ec Lotl k ~(Jla ROfnan Dr'n o v .gek Sr e d n j a n a ~ a v o s l o v n a ~ o l a Lj Ubljana Be!ig~ad l zl dor Seli~kaC' Sredn j a naravoslovna ~ o la Ljubljana Be !ig~ad Min' ko Po kor n S ~ed nja na~a voslovna ~ola Ljubljana Be~ig~ad Mal' ti n J uva n S re d nja na ,a v osl o vna ~ola Ljubljana Be~ig~ad Uro š Habit Sce dnj a ~ ol a z a ~a~unalni~ t vo Ljubljana Vi~ ~1ack o Pi ~c Sr ednja na ~ a vo slovna ~ ola Ljubljana Be!ig~ad L . 94 1 . 9 ') 1. 9 ·1 Il . 8 8 I l . 8 2 II. 8 1 II I. 79 II 1 . 80 I I I. 7 8 St ank o Gr ud eri Se l sk i c e n t e ~ Id ~i ja .V Ll j ell\ ~\ L~i ~ lTIan S e e d n j a d r u a b o s t o v n a s o l e , Se~ana Mati j a oro b ru c Sr ed nj a n a rav o s l o vna ~ ola Ljubljana Be!igC'ad 107 bl d r uge skupi ne n i: ·-------~· 4) Ce ima prvi del pa l ice dolžino d, ima drugi del dolžino d/2 in tre tji d~ d/ 4. V triko tnik u je vsota dol ž in dveh s tranic večja od dolžine t retje st r~ nice, za to iz teh de lov ne moremo se stavit i trikotnika tako, da bi kraji šča t eh delov bi la ogl išč a. Drugi i n tre tj i del sta n am r eč prekra tka: d/ 2 + + d/ 4 = 3d/4 < d l 5) e rt kani l i k dob imo iz pra vokotni ka tako, da odstranimo četrt ini dveh krg gov spoIme rom a, zato j e p l o š č i n a 1ika (32 - 8TI)cm2 = 2a.a - 2 . TIa2/~ = = a 2 (4 - TI)/2. Torej je a2 = 16cm2 in a = 4cm . Lik je omej en z da l j i co dol- ž ine 2a in z dvema kro žnima lo koma, katerih vsak meri četrtino obsega kroga s po Ime rom a . Zato je obseg tega li ka enak 2a + ·2.2 TIa/4 = a( 2 + TI ) = = (2 + TI ) . 4cm ~ 20, 57cm. 8. ra z red 1) Enačbo 9u2 + 16v2 + 6u - 24v + 10 = O najpre j preob l ikujemo tako , da združ imo č l en e , ki vsebuj ej o isto sp remenl ji vko: 124 9u2 + 6u + 16v2 - 24v + 10 = O Prva dva č l e n a dopo lni mo do popo lnega kvadra t a i n isto ponovi mo z drug ima dvema č lenoma: (9u2 + 6u + 1) + (16v 2 - 24v + 9) - 1 - 9 + l O. = O Dobimo: (3u + 1)2 + (4v - 3) 2 = O Vsota kvadratov je enaka O le , če s t a ob a kvad ra t a enaka O, tedaj pa je 3u + 1 = O in 4v - 3 = O al i u = - 1/ 3 in v ' ~ 3/4. 2) Cifre i skanega števila naj bodo a , b i n e. O njih vemo: a + b + e = 15 , e = a - 5 in 100a + lOb + e = 2. (lOOe + lOb + a ) + 228. Drugo zvezo upošte- vamo v prv i : b = 15 - a - e = 20 - 2a, vse t o pa upoštevamo v tretji: 100a + 200 - 20a + a - 5 2 (100a - 500 + 200 - 20a + a) + 228 k i j o ured i - mo : 567 = 8l a in re šimo: a = 7. Is kano š tev i lo je 762 . 3) Sk ica : c A B Pra vokotnika iz M na AC naj t o stran i co seka v točk i D, oravokot n i ca na - s t r an i co BC pa seka BC v toč ki E. MD i n ME sta v i š i n i enako st raničnih tri - kot nikov 6AMG in 6MBF (AD = DG in BE = EF) . Ce označi mo: b = DM , e = ME in d = AM, ve l j a: v3 v3 v3b + e = d - 2- + (a - d) -2- = a -2- Vidimo, da je vso t a razda l j enaka v i - š i n i enakost ran ič nega trikotnika in zato neodvi sna od l ege točke M na stran ic i a . 4) Iz zaht eve + (n 2) = +(n~) + +( 1Tr~ ) + +(n~ ) + +(n~ ) izlu ščimo : r 2 r~ + r~ + r~ + r~ . Od tod sled i : r 2 + r 2 a 2, 2 a 2 + r 2 b 2 3 b 2 + r 2 r 2 4 Z be sedami : a j e hi pot enuza p ravokot~ nega tri kotn i ka S ka tetama r , in r 2 , b j e hipotenuza pravokotnega t r ikotnl ka s ka t e tama r 3 in a in r je hipot e- nuza pravokotn ega trikotnika S kat et~ ma b in r 4 " 125 5) Nastalo telo je prisek~ na p iramida . Njeno prostor nino la hko izr ačunamo tak~, da od pi ramide (glej oz na- ke na s1 iki) PI J KL odvzame mo njej podobno p i r amido - PEFGH. torej (2a)2.2a/3 - a2 . a/ 3 = = 8a3 /3 - a3/3 = 7a3/3 Lahko pa jo tud i i zračuna ­ mo iz prostornin "ses t a v- nih" delov : kocke s stra- nica a , šti r ih trikot nih prizem (npr . FENOBA) in š ti ri h " s t ransk i h p i ra mid L (npr . EMINA) . Tedaj se ra- čun "gl as i : a 3 + 4 . a . (a.a / 2)/2 + GOY'Qzd Lešnjak in Pav l e Zajc šAHOVSKA UGANKA - rešitev s strani 11 6 V omenjeni knj i gi je podana tale rešitev : Kl j uč do rešitve je v analizi potez, ki so pripeljale do te PozlclJe . č rn i v svoji zadnji potezi ni mogel premakniti kralja, ker bi bil ta v šahu, ne glede na potezo belega (razmisli!). Prav tako ni mogel premakniti kmetov na štartnem položaju, niti tekača. Zadnja poteza J e bila s kmetom G5. Toda ~ta . kmet ni mogel priti s G6, ker bi bil v tem primeru beli v šahu. Se pravi, da je bila zadnja poteza kmet s G7 na G5. Torej beli zmaga, : e vzame kmeta na G5 s kmetom na 85 (en passant) in z njim šahira črnega. Izidor Haf ne r 120 POSPLOšITEV NEKAGA PROBLEMA IZ DELJIVOSTI šTEvIL rešitev s strani 82 (Dragoljub D.Miloševič, prev. Mitja Lakner) Vzemimo n zaporednih naravnih števil in označimo prvo število s k. Potem ve lja : k + (k+l) + (k+2) + . .. + (k+n-I) = k + k + ... + k + (1 + 2 + ... + n-I) '---_ _ ._ .,~ . ,J n-krat Vsota prvih n-I naravnih š t ev i 1 je enaka n(n-l)/i. zato je k + (k+l) + (k+2) + .. . + (k+n-I) = nk + n(n-I)/2 Ločimo dva primera: (a) Ce je n 1iho število, je n-I sodo število in zato deljivo z 2, .t o rej je vsota enaka n (k + (n -1) /2 ) in je deljiva z n. ' (V oklepaju imamo naravno število, večje od i . ) (b) Ce je n sodo števi lo, torej n = 2p, je nk + n(n-I)/2 = 2pk + 2p(2p-l)/2 = p(2k + 2p - 1) Torej je vsota deljiva s p, pri čemer je p različen od 1, ker je n ~ 3. S tem je naloga rešena. KAI2:ANKA "GRSKAABECEOA" - Adite'fizP/ XI-I .nr.32 127 NOVE KNJIGE KARIKATURE SLOVENSKIH MATEMATIKOV IN FIZIKOV V lanski 5. številki Preseka, ki je bila pripravljena kot Presekov koledar za le- tošnje leto, smo med dvanajstimi simboli, ki smo jih potrebovali za nove znač­ ke, objavili tudi karikature znamenitih slovenskih matemat ikov in fizikov. Med njimi je bila izjema karikatura grškega matematika in f iz ika Arhimeda. Ing. Borut Pečar je za naš list upodobil naslednje slavne može: 1. Jurij VEGA 2. ARHIMED 3. Lavo ČERMELJ 4. Ignac KLEMENČiČ 5. Jožef STEFAN 6. Franc MOČNIK 7. Franc HOČEVAR 8. Josip PLEMELJ Originali visijo na stopniščin oddelka za matematiko in oddelka za fiziko f a- kultete za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani, Jadranska c. 19. Ker so se nekateri kolegi s srednjih in osnovnih šol zanimali za te slike v želji , da bi z nj imi opremili tudi svoje šolske kabinete, smo z dovoljenjem avto rja pripravili nekaj kopij, ki jih lahko dob ite pri Komisiji za tisk DMFA SRS. Cena posa- meznega izvoda je So.vdin, za člane društva in naročnike Preseka pa 40.-din. Zaradi velikega formata 30 x 40 cm slik ne moremo poŠiljati po pošti. Intere- sente prosimo, da jih prevzamejo osebno. Pomanjšane kopije objavljamo na naslednjih dveh straneh. Ciril Ve lkovrh 128 ZNAM.~ITLSLOV Nel-----o