From Italian domination in lexicographic product graphs to w-domination in graphs - Cabrera Martinez, Abel (Ars mathematica contemporanea, 2022)
V članku pokažemo, da je mogoče indeks italijanske dominacije vsakega leksikografskega produkta grafov ?$G ° H$? izraziti s pomočjo petih različnih dominacijskih parametrov grafa ?$G$?. Te parametre se da definirati z naslednjim poenotenim pristopom, ki zajema definicijo več dobro znanih dominacijskih parametrov, vpelje pa tudi nove. Naj ?$N(v)$? označuje odprto okolico vozlišča ?$v \in V(G)$? in naj bo ?$w = (w_0, w_1, …, w_l)$? vektor nenegativnih celih števil, pri čemer je ?$w_0 ≥ 1$?. Pravimo, da je funkcija ?$f: V(G) → \{0, 1, …, l\}$? ?$w$?- ominirajoča, če je ?$f(N(v)) = f(N(v)) = \sum_{u \in N(v)}f(u) ≥ w_i$? za vsako vozlišče ?$v$?, za katero je ?$f(v) = i$.? Teža funkcije ?$f$? je definirana kot ?$ω (f) = \sum_{v \in V(G)}f(v)$?, ?$w$?-dominacijski indeks grafa ?$G$?, označen z ?$γ_w(G)$?, pa je minimalna teža vseh ?$w$?-dominacijskih funkcij na grafu ?$G$?. Pokažemo, da je ?$γ_I(G ° H) = γ_w(G)$?, kjer je ?$w\in{2} × \{0, 1, 2\}^l$? in ?$l\in \{2, 3\}$?. Če takšna enakost velja za specifične vrednosti ?$w_0, …, w_l$?, je odvisno od vrednosti dominacijskega indeksa grafa ?$H$?. Ta članek prinaša preliminarne rezultate v zvezi z ?$γ_w(G)$? in zastavlja izziv za podroben študij te teme.
Keywords: Italian domination; italijanska dominacija; k-dominacija; k-domination; k-kratna dominacija; k-tuple domination; leksikografski produkt grafov; lexicographic product graph; w-dominacija; w-domination