i
i
“1127-Strnad-ornamenti” — 2010/7/14 — 14:17 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 20 (1992/1993)
Številka 2
Strani 104–110
Milena Strnad:
ORNAMENTI IN GRUPE
Ključne besede: matematika, grupe.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1127-Strnad.pdf
c© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
li),'-'-/i)eme"'" ICI,' 1"",
ORNAMENTI IN GRUPE
Ornamentov, te neizčrpne zakladnice umetnosti , smo se lotili že veni prejšnjih
štev ilk Preseka . Spoznali smo, kako zornamentom napoln imo neskončno dolg
trak, definicijo ornamenta in njegove lastnosti pa smo oprli na študij izometrij.
Tudi z ravninskimi ornamenti ni dosti drugaee . Vendar za njihov natančnejši
študij potrebujemo še en matemati čni pojem: grupo.
Grupo so uvedli v matematiko okoli leta 1830. Raziskovanja Lagrangea,
Chauchyja, Galoisa , Cayleya in drugih matematikov so se vlekla skoraj stoletje,
preden je definicija dobila ob liko:
Grupa je množica 9 skupaj z dvomestno operacijo o, ki zadošča pogojem:
• Operacija je zaprta . To pomeni, da operacija o vsakemu paru elementov
iz 9 priredi neki element samo te množice:
'Va, bEg : (a, b) J-+ ao bEg.
• Operacija je esoctettvne. To pomeni, da so oklepaji pri združevanju
poljubnih treh elementov prestavljivi :
'Va, b, cE g : (a o b) o c = a o (b o c).
• V množici 9 obstaja enota , označimo jo z e , za katero velja
'VaEg: aoe=eoa=a .
• Vsak element iz množice 9 ima inverzni element, ki ga simbolično ozna-
čimo z eksponentom -1:
'VaEg, :Ja-lEg: a-loa =aoa-l=e.
Včasih uporabimo za operacijo (o) znak plus (+). Takrat inverzni element
označimo s predznakom minus (-) .
Inverzni element k a- l je kar a , to je (a- l )-1 = a. Poten ca an je krajši
zapis za fi o a o a . . . o a/ Poten ca a- n je seveda (a-lt .
v
n
Le je operacija o še komutativna , to je , ce za vsaka dva elementa a ln
b iz 9 velja: a o b = boa, govorimo o komutativni grupi.
Grupa je lahko končna ali neskončna , pač glede na to , ali je osnovna
množica 9 končna ali neskončna .
105
Napravimo nekaj zgledov :
1. Aditivna grupa celih števil.
To je množica celih števil Z = {O, =f1, =f2, =f3, .. .} skupaj z operacijo
običajnega seštevanje . Cela števila so za seštevanje zaprta , saj je vsota
poljubnih dveh celih števil vedno celo število. Grupni aksiomi so kar
ra čunski zakon i za vsoto:
(a+ b)+ c = a+(b+ c)
a+O=O+a=a
a+(-a)=(-a)+a=O .
Ta grupa je komutativna (a + b = b + a) in neskončna, ker je pa č celih
št evil neskončno mnogo. Enota je število O, inverzni element k n pa -:-n .
2. Aditivna grupa vektorjev ravnine je množica vseh vektorjev ravnine , to je
usmerjenih daljic z začetkom v izbrani točki , skupaj z operacijo seštevanja
vektorjev po paralelogramskem pravilu . Operacija je zaprta . Je asocia-
tivna . Enota za seštevanje je vektor O, inverz k vsakemu vektorju pa
je njegov nasprotni vektor (slika 1) . Tudi ta grupa je komutativna ln
neskončna . Podobno obstaja aditivna grupa vektorjev v prostoru.
-o
o
o
a
Slika 1. Vektorju a nasprotni vektor -a.
3. Kot primer za transformacijsko grupo vzem imo mno žico vseh vrte žev
ena kostraničnega trikotnika okrog njegovega središča , pri katerih se za-
vrteni trikotnik popolnoma prekrije s prvotnim . Pravimo, da taki vrteži
tr ikotnik ohranjajo ali, da je trikotnik na take vrteže neobčutljiv. Imamo
le tri take vrteže : trikotnik lahko zavrtimo za poljuben cel večkratnik
kotov 120° , 240° in O° (identiteta) . Označimo prvi vrtež z a, drugega z
b in tretjega z e . Vrteži a , b, e tvorijo grupo z operacijo sestavljanja
106
teh vrtežev .
Operacijo v končni grupi lahko podamo s tabelo , ki ji rečemo tudi grupna
poštevanka. Za zgled sestavimo tabelo za grupo iz primera 3:
o e a b
e e a b
a abe
b b e a
Zapis je uporaben za končne grupe , katerih množice vsebujejo le malo ele-
mentov. Sicer pa se nepreglednosti izognemo tako , da poiščemo kar se da
malo elementov, s katerimi lahko "izr azimo" vse elemente grupe.! Množici
takih elementov rečemo reduciran sistem generatorjev grupe. Le tak nabor
sestoji iz enega samega elementa, rečemo grupi grupa z enim generatorjem;
če obstaja nabor z dvema elementoma, gre za grupo z dvema generatorjema
it d .
Grupo z enim generatorjem smo srečali v zadnjem prim eru . Že samo
z elementom a lahko izrazimo vse elemente grupe : b = a o a = a2 , enota
pa je e = boa = a o b = a3 . Iz te zveze tudi sledi , da sta elementa a in
b drug drugemu inverzna. Za dano grupo reducirani sistem generatorjev ni
enolično določen. Grupo iz našega primera lahko generiramo na primer tudi
z elementom b.
Primer neskončne grupe z enim generatorjem je na primer grupa celih
števil. Generator je število 1.
Poglejmo še grupo iz štirih elementove , a , b, c in z grupno poštevanko
o e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Iz tablice preberemo, da lahko vse elemente grupe izrazimo že z a in b:
1 Pokazati se da , da za vsako grupe tak minimalen nabor elementov obstaja in ni
nujno en sam .
I 107
e = a 2 (= b2 ) in c = a o b (= boa).
Z enim samim generatorjem te grupe ne moremo opisati . Za vajo se o tem
prepričajte sami.
Grupam z enim generatorjem rečemu tudi ciklične grupe. Le je c i k l i č n a
grupa kon čna, obstaja med elementi e , a , a2 , . . tudi taka potenca ar , da
je ar = e. Grupo {e, a, , a2 , . . .ar-1 ; ar = e} označujemo s Cr(a). Le
je cikli čna grupa neskončna, so vse potence med seboj različne; tako grupo
označimo s Coo(a) .
***
Vzemimo zdaj za množico 9 množico transformacij (to je povratno eno-
ličnih preslikav) neke množice X, za operacijo pa sestavo preslikav. Take
grupe imenujemo transformacijske grupe . Primer take grupe je grupa vseh
izometrij ravnine (Evklidova grupa ravnine) , pa grupa translacij (vzpored-
nih premikov) ali grupa vrtežev (rotacijska grupa ravnine) . Podobno lahko
govorimo tudi o izometrijah trirazsežnega prostora ter o Evklidovi grupi tri-
razsežnega prostora .
Preslikavo dveh grup, pri kateri se elementi ene preslikajo povratno eno-
lično na elemente druge in preide operacija prve v operacijo druge, imenujemo
izomorfizem.
Poglejmo si najprej primer : logaritemska funkcija je izomorfizem
ln : (n+,o) f--; (n ,+). Enakost In( xoy) = Inx + Iny, ki jo lahko za-
pišemo tudi v ob liki xy = In-1(1nx + ln v) . pove kako ra čunamo produkt :
logaritmiramo, seštejemo , antilogaritmiramo.
Prav lahko se je prepričati , da je grupa vseh premikov v ravnin i izomorf-
na grupi vektorjev ravnine. Grupa vrteževokrog dane točke pa je izomorfna
aditivni grupi kotov . Tudi ciklični grupi Cr(a) in Cr(b) sta izomorfni. Zaradi
izomorfizma ju včasih sploh ne razlikujemo. Tedaj označimo cikli čne grupo
kar s Cv, neskončno cikli čne grupo pa s Coo.
Definirajmo še podgrupo. Le je množica 1i podmnožica g, 1i C 9 in je
'H grupa za isto operacijo kot g, rečemo , da je grupa 1i podgrupa grupe g.
Grupa C2 = {e, a2 } je na primer podgrupa grupe C4 = {e, a, a2 , a4 } .
Zdaj smo dovolj pripravljen i, da si pobliže ogledamo Evklidovo grupo
ravnine. Posebej nas bodo zanimale njene podgrupe.
Vzporedni premiki v ravnini sestavljajo podgrupo Evklidove grupe, prav
tako tudi vsi vrte ži okoli izbrane točke . Ker za vzporedne premike lahko
108 I
L
C A
L
C B
A
6
8 C
L
A 8
L
B C
L
B C
A
D
B C
I
A C
/3' 6
"8 C 8 A
A 8
'~ 6
8 C' A C
Slika 2. Simetrijska grupa enakostrani-
čnega trikotnika
izberemo različne smeri , za središče vrteža pa vsako točko ravnine, je takih
podgrup Evklidove grupe neskončno. Vse translacijske grupe kot tudi grupe
vrtežev so seveda med seboj izomorfne.
Kako pa je z zrcaljenji? Zrcaljenje Zp čez dano premico in identiteta
1 tvorita grupo . Ker ima samo dva elementa (Zp o Zp = 1), je izomorfna
(2 . Takih podgrup je v Evklidovi grupi spet toliko , kot je različnih premic
v ravnini , torej neskončno . Sestava zrcaljenj preko dveh premic je vzporedni
premik, če sta premici vzporedni, in
vrtež , če se premici sekata . Ker
torej množica vseh zrcaljenj ni za-
prta za sestavo , ni podgru pa Evkli-
dove grupe.
Za nas bodo posebno zanimive
podgrupe Evklidove grupe z lastno-
stjo, da vsi njihovi elementi ohran -
jajo kakšen izbrani lik. Bralec se
lahko sam prepriča, da množica vseh
izometrij ravnine, s katerimi se iz-
brani lik preslika nase , zares tvorijo
podgrupo. Imenujmo jo simetrijska
grupa lika. Simetrijske grupe likov
so odvisne od oblike lika. Tako ima-
jo podobni liki iste simetrijske gru-
pe.
l.e je lik popolnoma nesime-
tričen, vsebuje njegova simetrijska
grupa le identiteto . Simetrijska gru-
pa črk E in A je izomorfna (2; ge-
nerator je zrcaljenje čez simetralo
2 Več o tem lahko bralec izve iz knjige I.Grossman, W.Magnus, Grupe i njihovi grafovi,
Školska knjiga, Zagreb 1975.
109
črke . Simetrijska grupa črke N je tudi izomorfna C2; generator je vrtež za
180° okrog njene srednje točke.
V abstraktnem smislu gre torej za isto grupo , čeprav imata različno
geometrijsko vsebino. Simetrijska grupa enakostraničnega trikotnika ima 6
elementov, generatorja sta zrcaljenje čez eno simetralo in vrtež za kot 120°
okrog središča lika (slika 2) .
Simetrijske grupe pravilnih večkotnikov imenujemo diedrske grupe. Za-
znamujemo jih z On, kjer je n število oglišč pravilnega večkotnika. Gene-
ratorja sta zrcaljenje preko ene od simetral in vrtež za kot 211" / n okrog središča
trikotnika .2
Končno omenimo še simetrijsko grupo ravninske mreže. Ravninsko
mrežo dobimo tako, da si najprej izberemo par nevzporednih vektorjev ain b
z izhodiščem O , nato pa nosilki vektorjev premaknemo s translacijsko grupo,
ki jo generirata translaciji Ta in T b (slika 3). S tem povemo, da lahko vse
elemente te grupe izrazimo samo z njima . Vozlišča mreže , to so preseki teh
premic, so določena zvektorji
na + mb n , mE Z .
• Slika 3. Ravninska mreža
Rečemo tudi : vozlišča dobimo tako , da delujemo s translacijsko grupo
na izhodišče O. Simetrijska g rupa ravninske mreze vsebuje kot podgrupo vsaj
simetrijsko grupo , ki jo generirata Ta in T b , pa tudi rotacijsko grupo , ki jo
generira vrtež za 180° . Le redke so mreže , ki jih ohranijo tudi druge rotacijske
grupe ; a še te so kvečjemu take , ki j ih generirajo vrteži za kote 360° / n , kjer
je nI , 2,3 ,4 ali 6.
S to ugotovitvijo smo se že dotaknili kristalografskih grup , ki ohranjajo
mrežo . Omenimo le, da so na neskončnem traku našteli 7 , na ravnini 17 in
v prostoru 230 takih grup. Ime so dobile po tem, ker ohranjajo prostorsko
razporeditevatomov v kristalih . Zakaj jih obstaja prav toliko, je mogoče
ugotoviti r rahtevnejSm in globljim pogledom v tcorijo grup. 
Spomnimo st, da smo stalno ponavljajd st na neskonEnem traku 
v eni prejjnjih gtevilk Preseka imenovali ornament no trakrr. Analogno lahko 
imtnujcma ornament na ravninivsak, na posehen naBn ponavljajot se VzMec, 
ki izpolnjuje ravnino. 
Tako kot smo natanhejio dtfinicijo ornamsnta na traku oprli na izomet- 
rijt, poskusimo njegovo dtfinicijo na ravnini opreti na tcorijo grup, saj smo 
spoznali, da simetrijska grupa zazetni vzorec ohranja. Torej lahko rdemo: 
Simttriiska grupa ornaments v ravnini je  grupa vseh iromstrc ravhe,  ki 
ornament ohranjajo. 
KO zaslutimo, da je to v tesni zvui s simetrijsko grupa mrd, smo dovolj 
pripravljeni, da se v naslednji Jtevilki Pnstka lahko lotimo ornamentov na 
ravnini.