     
P 49 (2021/2022) 6 5
Parabola med stebričkoma –
ali res?
I K U
Profesorica matematike na gimnaziji je želela
svojim dijakom popestriti ure matematike. Name-
sto pouka v učilnici je organizirala matematični
sprehod po mestu. Dijaki so reševali kratke ma-
tematične naloge v povezavi s predmeti, ki so jih
videli:
Katere like opazite v oknu na cerkvi?
Kolikšna je razlika dolžin poti dveh polžev, če je
prvi lezel čez te tri stopnice, drugi pa po klančini
ob robu stopnic?
Kolikšen kot pravkar oklepata urni in minutni
kazalec ure na rotovškem stolpu?
Ob koncu sprehoda je profesorica vzpodbudila di-
jake, da še sami poiščejo kakšen matematični pri-
mer, ki ga lahko vidijo z njihove zadnje postaje s
sprehoda v parku. Janu se je pogled ustavil na ve-
rigi, ki je omejevala cono za pešce (slika 1).
SLIKA 1.
Veriga med stebrǐcki
»Profesorica, poglejte, lep primer parabole!« Pro-
fesorica je malo pomislila in dejala: »Jan, mislim, da
si mi dal dobro idejo za našo naslednjo uro matema-
tike.« Pa poglejmo, o čem bodo govorili naši dijaki
pri naslednji matematični uri.
Opomba. Številne ideje za opazovanja na različnih
matematičnih sprehodih najdemo v [1].
Funkcije delimo na algebraične in transcendentne.
Pravimo, da je funkcija f algebraična, če odvisna
spremenljivka y = f(x) zadošča enačbi oblike
an (x)y
n + an−1 (x)yn−1 + · · ·
+ a1 (x)y + a0 (x) = 0,
kjer so koeficienti a0 (x) , . . . , an (x) polinomi spre-
menljivke x. Tako med algebraične funkcije sodijo
polinomi, racionalne funkcije, koreni ter njihove
vsote, razlike, produkti, kvocienti, potence in kom-
pozitumi. Funkcije, ki niso algebraične, so transcen-
dentne. Med transcendentnimi funkcijami najpogo-
steje uporabljamo logaritemsko in eksponentno
funkcijo, kotne in ciklometrične funkcije, v to sku-
pino funkcij pa sodijo tudi hiperbolične funkcije.
Osnovni hiperbolični funkciji sta hiperbolični sinus
(sh) in hiperbolični kosinus (ch), z njunima predpi-
soma pa izpeljemo še predpisa za hiperbolični tan-
gens (th) in hiperbolični kotangens (cth).
Najprej bomo spoznali predpisa za funkciji sh in
ch, zapisali njuni definicijski območji in zalogi vre-
dnosti, navedli nekaj osnovnih lastnosti ter narisali
njuna grafa. Funkcijo hiperbolični sinus definiramo
s predpisom
sh : R→ R, sh(x) = e
x − e−x
2
.
Pri tem smo z e označili število, ki predstavlja osno-
vo naravnega logaritma (e = 2,71828 . . .). Ker sta
funkciji ex in e−x definirani za vsa realna števila,
     
P 49 (2021/2022) 66
predstavlja ta množica tudi definicijsko območje
funkcije sh. Funkcija sh je na celotnem definicijskem
območju strogo naraščajoča, saj je vsota strogo nara-
ščajočih funkcij e
x
2 in −
e−x
2 . Funkcija sh je liha funk-
cija. Hitro se namreč prepričamo, da je sh(−x) =
− sh(x) za vsako realno število x. Graf funkcije sh
bo potekal skozi izhodišče koordinatnega sistema,
ker je sh(0) = 0. Najprej narišemo graf za x > 0. Ko
gre x →∞, se graf funkcije obnaša podobno kot graf
funkcije e
x
2 , saj postanejo v tem primeru vrednosti
funkcije − e−x2 zanemarljivo majhne. Tako poznamo
desni del grafa funkcije sh. Ker pa je funkcija liha,
dobimo levi del grafa tako, da desni del prezrcalimo
preko izhodišča koordinatnega sistema. Graf funk-
cije sh pa lahko dobimo tudi z grafičnim seštevanjem
grafov funkcij e
x
2 in −
e−x
2 (slika 2). Ugotovimo tudi,
da je zaloga vrednosti funkcije sh celotna množica
realnih števil.
SLIKA 2.
Graf funkcije sh
Funkcijo hiperbolični kosinus definiramo s pred-
pisom
ch : R→ [1,∞) , ch(x) = e
x + e−x
2
.
Podobno kot pri hiperboličnem sinusu ugotovimo,
da je definicijsko območje hiperboličnega kosinusa
tudi celotna množica realnih števil. Ker je ch(0) = 1,
bo graf funkcije sekal ordinatno os pri točki 1. Hi-
perbolični kosinus je soda funkcija, saj je ch(−x) =
ch(x) za vsako realno število x. Graf funkcije hiper-
bolični kosinus je torej simetričen glede na ordina-
tno os. Podobno kot pri hiperboličnem sinusu ugoto-
vimo, da se bo graf hiperboličnega kosinusa obnašal
enako kot graf funkcije e
x
2 , ko gre x →∞. Spet lahko
najprej narišemo desno polovico grafa, levo pa do-
bimo z zrcaljenjem desne polovice preko ordinatne
osi. Tudi v primeru hiperboličnega kosinusa lahko
pridemo do grafa funkcije z grafičnim seštevanjem
grafov funkcij e
x
2 in
e−x
2 (slika 3). Za funkciji hiperbo-
lični tangens in hiperbolični kotangens navedimo le,
da sta analogni ustreznima trigonometričnima funk-
cijama.
SLIKA 3.
Graf funkcije ch
Med hiperboličnimi in kotnimi funkcijami obstaja
poleg imena še veliko drugih podobnosti. Ena izmed
njih so zveze med hiperboličnimi funkcijami, ki nas
spominjajo na analogne zveze med kotnimi funkci-
jami. Oglejmo si najpogostejšo med njimi. Neposre-
dno iz definicije hiperboličnega sinusa in hiperbolič-
nega kosinusa sledi zveza
ch2(x)− sh2(x) = 1,
o čemer se lahko bralec hitro prepriča sam. Z upo-
rabo te zveze lahko pojasnimo izvor imena hiperbo-
lične funkcije. Oznaka hiperbolični izhaja iz dejstva,
da lahko hiperbolo z implicitno enačbo
x2
a2
− y
2
b2
= 1
zapišemo v parametrični obliki
x = ±a ch(t), y = b sh(t), t ∈ R,
     
P 49 (2021/2022) 6 7
pri čemer predznak + velja za desno, predznak − pa
za levo vejo hiperbole. Iz zgornjega zapisa namreč
sledi
(
x
a
)2
−
(
y
b
)2
= ch2(t)− sh2(t) = 1.
Opomba. Definicije in lastnosti obravnavanih
hiperboličnih funkcij najdemo npr. v virih [2] in [4].
Zadnji del prispevka bomo namenili hiperboličnim
funkcijam v realnem življenju. Čeprav morda ne bi
pričakovali, srečamo hiperbolične funkcije na različ-
nih področjih človekovega življenja: oceansko inže-
nirstvo, optika, kemija . . .
Najpogostejša in najbolj znana je uporaba krivu-
lje, ki predstavlja graf hiperboličnega kosinusa. To
krivuljo imenujemo verižnica in v nadaljevanju
prispevka jo bomo nekoliko podrobneje opisali. Vze-
mimo verigo ali nit ter jo podprimo (obesimo) v dveh
točkah tako, da prosto visi. Zaradi težnosti bo za-
vzela obliko krivulje – verižnice. Angleška beseda
za verižnico catenary izhaja iz latinske besede ca-
tena, ki pomeni veriga. Galileo Galilei (1564–1642) je
menil, da opisana viseča veriga zavzame obliko para-
bole. V to sta kasneje podvomila Christiaan Huygens
(1629–1695) in Joachim Jungius (1587–1657); slednji
je upravičenost dvoma potrdil z eksperimentom. Ko
je bil na razpolago infinitezimalni račun, pa so Jo-
hann Bernoulli (1667–1748), David Gregory (1659–
1708) in Gottfried W. Leibniz (1646–1716) ugotovili,
da je verižnica krivulja z enačbo
y = b + a ch
(
x − c
a
)
,
kjer so a,b, c ∈ R, a > 0. S primerno izbiro koor-
dinatnega sistema dosežemo, da je enačba verižnice
preprostejše oblike y = a ch
(
x
a
)
. Pri tem je a po-
zitivna konstanta, odvisna od dolžine verige, njenih
fizikalnih lastnosti in od lege obesišč. Enačbo izpe-
ljemo z upoštevanjem sil, ki delujejo na mirujoči del
verige, ki je podprta v dveh točkah, sicer pa med
njima prosto visi. Z nekaj znanja odvajanja in inte-
griranja (med drugim uporabimo obrazec za dolžino
loka krivulje) rešimo navadno diferencialno enačbo
2. reda. Izpeljavo najdemo npr. v [3]. Na sliki 4 sta
v istem koordinatnem sistemu prikazani parabola z
enačbo y = 1+ x22 in verižnica z enačbo y = ch (x).
Iz slike razberemo, da se v bližini koordinatnega iz-
hodišča krivulji praktično prekrivata, sicer pa ordi-
nate točk verižnice za večje |x| rastejo hitreje kot
ustrezne ordinate točk na paraboli.
SLIKA 4.
Parabola z enačbo y = 1+ x22 in verižnica z enačbo y = ch (x)
Verižnico srečamo velikokrat tudi v vsakdanjem
življenju: njeno obliko zavzamejo električni kabli
med daljnovodi, preprost viseči most ali veriga med
stebričkoma, ki na primer omejuje pot za pešce. Pri-
sotna pa je tudi v gradbeništvu in arhitekturi. Oboki,
zgrajeni v obliki narobe obrnjenih verižnic, so na-
mreč zelo trdni, saj gradniki, ki jih tvorijo, podpi-
rajo drug drugega in tako se obok pod lastno težo ne
zruši. Prav tako je oblika verižnice dobrodošla tudi
pri jeklenih konstrukcijah (mostovi, nosilci kupol).
Na koncu ure je Jan dvignil roko: »Profesorica, to-
rej . . . na sprehodu smo videli lep primer verižnice!«
Profesorica mu je z nasmehom pritrdila.
Literatura
[1] J. A. Adam, Matematični sprehodi v naravo, Knji-
žnica Sigma (številka 94), DMFA – založništvo,
Ljubljana, 2012.
[2] J. N. Bronštejn, K. A. Semendjajev, Matematični
priročnik za inženirje in slušatelje tehniških viso-
kih šol, 8. ponatis, Tehniška založba Slovenije,
1984.
[3] R. T. Smith, R. B. Minton, Calculus, McGraw-Hill
Companies, Inc., 2002.
[4] I. Vidav, Višja matematika I, 9. nespremenjena iz-
daja, DMFA – založništvo, Ljubljana, 1987.
×××