E G LIST ZA MLADE MATEMATIKE OO FIZIKE ASTRONOME IZDAJA DMFA SRS P R E S E K list za mlad e matemat i ke , fizi ke i n astro nome 2 . ( 1 974 / 7 5 ) š t evi l k a 1 , stra ni 1 - 64 KAZ ALO UVODNIK 1 PISMA BRALCEV 2 , 44 POGOVORI 4 , 9 MATEMATIKA 1 2 1 6 20 24 26 28 KRIŽANKA 32 FIZIKA 34 37 MATEMATiČNO 38 RAZVEDRILO 4 0 4 3 4 5 47 PREMISLI IN REŠi 4 8 NOVICE - ZANIMIVOSTI 5 0 MLADI RAZISKOVALEC 51 KROŽKI 54 NALOGE- TEKMOVANJA 56 5 9 63 64 Pi s ans k i T . , Ka j l ahko rečemo o Pre seku Pisma br a l c e v Mi koš B. , Po govo r s prof . J . Stalc e m Po tisek M. , Ste f ano v nagradn i nateč aj Ko r e s A. , Kako računam Va d nal A. , Začetn i po jmi no mo grafi j e Rakovec J . , Kako p remica del i ravni no Male š ič J . , O f ormul i z a v s oto prv ih n na ravnih števi l Pe t e k P . , O pr a vokotnih tr i ko t nik i h in pr ibl ižkih z a ko ren iz dva Po n i ž D. , Računalniki , j e zi ko slo v j e Fortuna T . , Ei n s t e i n - Pl emel j Fortuna T . , Termično g iban je Gabrš ček S . , Ko l i ko Arhimeda je v te b i ? Ve l ko vrh C., Re snični dogodek Ba t age l j V. , Pe ntomino Bat a g e lj V., Pro b l em iz igr e SIM Vaš pr of . " Cifra" , Vesel a ge ometrija Bez ek D. , Reš e t o po s e bne vrs t e Dover J ., Na g r a d n i r a zpis Snoj R. , Kohoutko v ko me t Re po v š D. , Krožk i Re po vš D. , Zv ez no te kmo v a n j e f i z i ko v Go j kov ič M. , Rep ub l i š ko tekmovanje matematikov Kot n ik J . , Sr e b r n a Ve gova pr izn a n j a Ba t age l j V . , Kr i p t a r i tm i - po p r a vk i i n re š i tv e l . s t r a n ovit k a : Ba t a g e l j V. , I z Pento mina l a h ko s e s t a vimo plašč kocke s s t ranico Vl;. 4 .str an ovi tka : Zakrajš e k E . , Al i znaš po kr i t i šahovsko de s~o z dominarr.i? UVODNIK--_.~ KAJ LAHKO REtEMO O PRESEKU ? Nihče od nas ni popoLnoma zadovoLjen s Presekom - in prav je tako. Zakaj, brž ko bomo z njim povsem zadovoLjni, bo postaL ne- zanimiv, oLeseneL bo. K sreči temu zdaj ni tako. Mnenja, k a j naj Presek daje, o čem naj piše, kakšen naj se kaže, so deLjena in se ves čas spreminjajo, dopoLnjujejo. Upajmo pa , da bo naš Li st vedno bo l i š i t Vsebina p rav gotovo ne ustreza vsakomur. Zagrizen matematik žeLi več matematike , fizik več fizike, astronomaetronomije. Za tekmovaLce je naLog premaLo, drugim so naLoge odveč. ŠestošoLec se zgrozi nad prispevkom, v katerem m~oLi formuL, maturant pa zmiguje nad čLanki za otročaje. Kaj hočemo, ko pa Presek v res- nici ni presek, ampak unija. V Preseku žeLimo objavLjati prispev ke, ki so umLjivi osnovno- š o Lc u in kLjub temu zanimivi za srednješoLca. Take ga branja pri nas skorajda ni. Seveda pa Presek n i i n ne more biti nadomestiLo aLi dopoLniLo učbeniku. Od braLca pa tudi ne zahtevamo, da poza- bi kar s e je morda ob branju Preseka naučiL. Priporočamu mu, da starih izvodov Preseka ne zavrže. Lah ko se zgodi, da bo šeLe pro - ti koncu šoLskega Leta znaL toLiko matematike aLi fizike , da bo z veseLjem prebraL 'in razumeL kakšen čLanek iz prve števiLke. Za razumevanje nekaterih prispevkov pa bo potrebno počakati še dLje. En sam Presek je časopis, ves Le t nik pa j e že majhen priročnik - - res ne preveč urejen, vendar kLjul temu .z a n i mi v in uporaben . Lani smo začeLi s Presekom na štiriinšestdesetih straneh , kon - čaLi pa na dvaintridesetih. Letos spet začenjamo v poLnem obsegu. Od marLjivosti piscev je odvisno , aLi bomo ta obseg tudi obdrža- Li . Finančne probLeme premagujemo s subvencijami, ki smo jih do - sLej dobivaLi od KuLturne skupnosti SLovenije, repubLiške in te- meLjnih izobraževaLnih skupnosti ter iz skLada Borisa Kidriča. Z naročnino pokrivamo Le stroške tiskanja. Zavedamo se, da moramo marsikatere nepraviLnosti odpraviti, aLi vsaj omiLiti . Sem sodijo predvsem neLjubi tis karski škrati, pa tu- di nobenih zakasnitev v izhajanju ne sme biti. To je o Preseku rekeL Tomo Pisanski 1 PISMA BRALCEV Marta Ar har Spoštovani urednik, v prvi številki Pre seka mi je bi l a zelo všeč zgodba Ne na va d n i hotel in menim, da bi lahko še naprej objavljali take zgodbe. Tu- di s seznanjanjem z velikimi o s e bno s t mi matematike, fizike in as- tronomije ste nam mladim, zelo u stregli. Veselilo b i me , če bi nam predstavili še kakšne tehnične do- sežk e , ko t so praktični izdelki fizikalne teorije itd. S tem mi- slim na robote, različne stroje, rakete, priprave v astronomiji itd. Darko VeseL Tvoji žeLji bomo skušaLi ustreči. HvaLa aa tvoje misLi o Preseku. Darko, piši nam še! ALi si morda vkLjučen v fiaikaLni krožek na šoLi? " * '* fc Spoštovani l Se m dijakinja 8. razreda OS Peter Kavč ič v Podlubniku. Za n i ma m s e za napre de~ z na no s t i , tehnike, kn j i ž e vno s t i , sodobne umetnosti. Na j bo l j me z ? nimajo fizika, atoms ka fizika in astronomija. Za fi- ziko me je navdušil naš profesor tov . St e f a n 2a r g i . On te pri svo- ji uri povleče v svet fizi ke; čudovite vede znanosti. Za t o tudi ž e l i m postati članica DMFA in naročiti vašo revijo Obi o r nik za ma- t e ma t iko in fiziko. Pohvaliti moram vašo revl.Jo za mlade "Pre s e k". Vendar pogrešam č l anke iz fizike in atomske fizike. Mislim, da bi mlade posebej pri t e g n i l i . Sama se ž e l i m posvetiti študiju fizike. S spoštovanjem Draga "Marta, veseLi smo, da si nam aaupaLa svojo odLočitev aa na- daLjni študij. Tudi ti žeLiš v našem Preseku več čLankov ia fiai - ke in atomske fiaike. Ze iščemo avtorje, ki bi napisaLi čLanke, da bi ugodiLi tvojim žeLjam. ALi bi tudi ti kaj napisaLa aa Pre- sek? VeseLi bomo, če boš še pisaLa. 2 {: ~'; * Spoštovani! Hčerka - g i mn a z i j k a je p r i ne s l a domov "Pros e k". Pregledam ga, č eprav sem laik, kar s e tiče ma t e ma t i ke. Ta k o sem zasledila v 1 . š tevi lki p r obl em 81 zlatnikov. Probl em se mi zdi dokaj enostaven. Ni k a r se ne smejte . 2elela bi, da mi odgovorite, če se motim, in kje je napaka. Problem sem poskusila rešiti takole: zlatnike razdelim na tri dele po 27 zlatnikov. Dv a dela položim na tehtnico, tretji del o- stane ob strani . 27 2 7 Ce o stane tehtnica izravnana, je težj i zlatnik na k Upu ob stra- ni. Ce tehtnica potegne na eno stran, je na težji strani iskani zlatnik. Težjo stran ( 27 zlatnikov) delim s 3, tako dobim tri s ku- p ine po 9 zlatnikov, k i jih teht a m po e nakem principu, kot prej 27 zlatnikov. 9 potem delim s 3, 3 pa š e enkrat s 3. 81 3 27 3 27 27 2 7 27 3 9 3 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 l ' 1 1 Tehtanja so š t i r i ! Lepo pozdravljeni! Frančiška CeLarc Spoštovana mamica. vašega pisma smo biLi še posebno veseLi. saj vidimo. da tudi starši segajo po Preseku. PosLaLi smo vam knjigo prof. Ivana Vidava: REŠENI IN NEREŠENI PROBLEMI MATEMATIKE. ki je izšLa v knjižni zbirki SIGMA. Prepričani smo. da boste v njej po- Leg razLičnih načinov reševanja zastavLjene naLoge našLi še mno- go zanimivega. Tovariško vas pozdravLjamo; hčerki pa žeLimo veLi- ko uspeha pri njenem šoLskem deLu in veseLja pri prebiranju Pre- seka. MatiLda L e n a rč i č 3 POGOVORI51'----__ POGOVOR S PROFESORJEM IVANOM STALCEM Tud i , če ga š e niste srečali, ga dobro poznate . Prof. Ivana Š t a l c a r es ni treba posebej predstavljati, znan je p redvs e ru kot avtor š tev i l n ih učbenikov matematike in fizike. Uč i te l j i ga po- znate ko t svojega men t o r j a , p r o f e s o r j a met od i k e , ki vam je iz svo- j i h bogatih izkušenj nudil vedno tudi to, česar ni mogoče najti v knjigah. Nj e go v a ž i v a , ne po s r e d n a , prep rič l j iva in prisrčna bese- da je pre~agovala mnoge d vome , kako postati dober učitelj. Prof. Št a l e c klj ub rah lemu zdravju še vedno vztra ja pri delu z mladimi . ~ijaki I.gimnazije v Ljub l jani, ki jih poučuje, dose- g a j o že vrsto let izje~,e uspehe na tekmovanjih iz mat~~atike, ka- k o r tudi po zne j e pri visokošolskem študiju . V pogovoru nam je rad odgovoril na nekaj vprašanj in najprej nas je zanimalo: v e em je skrivnost vaše ga usp eha? "Skrivnosti ni, glavno je de lo, Učenec mora svoj o ma~ematično kulturo pridobivati , oblikovati in razvijati z lastnimi napori, torej z vztrajnim samostojnim de l on . Na l og a učitelja pa je, da učenca do tega p r i p r a v i . Za to pa ni dovolj samo strokovno znan- je uč i te l j a . Uči te l j mora b i t i pri svoj e m delu vz traj en, z a h t e v e n in d o s l eden . Pomembno je t u d i , da se učitelj zna prilagajati učen­ c u ali k a ko r jaz temu pravim, učenca mo r a učitelj ujeti na pravi stopnici . Za vsako uro sem do pod r obno s t i p r ipr a v l j e n. Pri razlagi upo- rablj~~ diskusijsko me t odo s programiranim gradivom. Navadno zač­ nem z nazornimi s reds tvi, nato pa prei dem v abst rakcije in p o s - p l o š i t e v , najprej tor e j indukcija , nato pa dedukcija. Učenci zelo radi aktivno s odelu jejo , ko s e tega načina navadi j o . Učno gradivo obravnavam po načelu: ne preveč , le t o liko , kolikor učenci zmore- jo. Posebno pozornos t posvečam o s novam , glede t eh sem tud i p r i oce nj e v a nju oste r. Učno gradivo u t r j u jem s prime r i, k i povez u jej o novo g r adi vo z že p rej p r ede l a n im in zlasti s tistim, k i je najbrž 4 že pozabljeno. Tako se v vsakem višjem razredu prepleta vse učno gradivo. Učenec tako pridobiva pregled in povezavo učne snovi. Sestavljanje takih nalog je seveda za vsak razred drugačno in vzame pri pripravi največ časa." Menite. da je matematika "težek" predmet? Lahko pouk matemati- ke naredimo privZaaen? " ~latematika je bila, je in bo "težek" predmet, ker zahteva od učenca vztrajno in redno delo, od učitelja pa domiselnost, stalno iskanje novih metod in vživljanje v učenčevo miselnost. Če bi u- čitelj znal "prebrati" učenca, bi bilo lahko učiti vsakega učenca posebej. Čim bolj je razred miselno homogen, tem več in v krajšem easu je mogoče naučiti učence. Tako pa se dogaja, da se nekateri v razredu dolgočasijo, drugi pa le za silo ali pa sploh ne doha- jajo sošolcev. Tako doživljamo v razredih pri pouku matematike nekakšen maratonski tek, ki je za učitelja nerešljiv p robLem ; pr- ve je treba b r zd a t i , zadnje pa vleči s seboj . Ni čudno, da marsi- kdo omaga, včasih je to tudi učitelj. Nisem prepričan, da je mogoče napraviti za vsakega učenca pouk matematike privlačen, ker je to odvisno od značaja učenca, učenci pa so navadno pisana množica najrazličnejših značajev. Zati tudi ni enotne metode in sredstev, ki bi napravili pouk za vse privla- čen, pač pa je mogoče za vsakega učenca posebej to napraviti vsaj v neki meri . Prepričan pa sem, da se more skoraj vsak, če hoče, naučiti v dvanajstih letih toliko matematike, kolikor jo danes zfu~tevajo fakultete, na katerih je matematika uporabna (ne glavna) v e d a . II Verj &Je mo mu . ~ridobil si je bogate iZkušnje, ko ga je pot živ- ljenja vodila iz kotička prelepe Selške doline po Sloveniji. Pou- čeval je različne predmete, spoznal, učil in vzgajal je kmečke ot- roke Prekmurja, sinove rudarjev v TrboVljah in ljubljanske gimna- zijce. V aem je po vašem mnenju bistvo reforme pouka matematike v os- novni šoZi oziroma kaj si obetamo od nove matematike? "l·'atematika naj vzgaj a učence k logičnemu mišlj enju in naj za- to ne bo samo računstvo. ~ačunske operacije naj bodo abstrakcije dogajanj v Življenju. Ma t e ma t i k a ni nova, nov je SwuO pristop k mat.e amt.Lč n.i. ra problemom. Z novim pristopom Upa.'1LO doseči boljše ra- zumevanje, večji smisel za abstrakcijo in posploševanje. Ali bo smoter dosežen, je odvisno p redvs era od uči~eljev mate:aatike." 6 Za kaj je znanj e ma tema t i k e med učenai o z i r oma di j a k i tako skromno ? "Vzrokov je mnogo, glavni vzrok pa je v tem, da je matenatika kot veriga. Če en člen verige popusti, veriga nina več lastnosti verige. V letih učenja ma t ema t i k e nastajajo v znanju luknjice kot v nogavici. Če teh lUknjic sproti ne zakrpamo, jih je kr:talu toli- ko, da nogavica ni več uporabna." Od kod izvira vaše nag n j e n j e do pisanja matematii5nih in fizi - kaZnih učbenikov? Kaj vam pisanje pomeni ? Se tudi v matematii5ni kn jigi z r aa Zi osebnost avtorja? "Pisati sem začel zelo pozno . Leta 1951 sem prvič sodeloval ko t soavtor učbenika za fiziko. Pred tem sem opravil več recen- zij rokopisov za šolske knjige iz matematike in fizike. V sode- lovanju s starejšimi recenzenti sen se v tem času precej naučil. Do danes sem recenziral kakih 40 rokopisov. Za pisanje učbenikov se nisem odločil sam, vedno sen bil za to naprošen. Ma r s i k a j sem sicer napisal za svoje učence, v šoli pa sem drugače razlagal, ker so mi učenci s svojim sodelovanjem narekovali drugač en način in to v vsakem oddelku razreda drugače. Razlaga v šoli ni pisa- nje učbenika. Zato sem z večjim veseljem sestavljal zbirke nalog. P r vo zbirko sem napisal v 4. razredu nižje ginnazije, v unikatu so jo uporabljali mo j i i nstruiranci. Tudi v učbeniku se zrcali osebnost avtorja, vendar ne tako kot v literaturi, saj je pisec učbenika vezan na učni načr~, na obseg in š e na marsikaj." PrišeZ bo čas, ko se bodo osmošoZai odZoi5aZi za pokZia aZi na- daZjnje šoZanje . Lahko tistim, ki jih "v Ze i5e" matematika, pomaga- te? Na j s e odZočijo za šoZanje v matematičnem oddeZku gimnazije? "Kogar vleče ma t e ma t i k a , naj se ji le preda, imel bo veliko dela in osebnega zadovoljstva, kasneje mu bo lahko zraven druge zaposlitve tudi konjiček. Šo l a n j e v matemati čnem oddelku gimnazi- je rau zagotavlja vsaj nekaj znanja in to ne samo iz ma t e ma t i k e . " Po doZočiZih novega statu ta bodo i meZi dijaki svojo deZegaai - j o v svetu loZe . Ka j bi jim svetova Zi, za ka j naj se z a v z e maj o ? "Ineli so jo že doslej, v novem statutu bo ta množica imela večjo moč v matemat ičnem in splošnem pomenu besede, Če bodo di- jaki p r a v i sw~oupravljalci, kar po dosedanjih skušnjah ne dvomim, jim ne bo treba ničesar svetovati." Vas špor t še n avdušuje? tesa se na j ra je sp omi n j ate i z i5asov 'portne aktivnosti? Za k og a zdaj " na v i j a t e " ? 7 "šport me še vedno privlači, čeprav že dolgo nisem več aktiven: atletika (teki), nogomet, telovadba, vse to in še marsikaj rad gledam na televiziji: Navijam vedno za tistega, ki se bolj vztraj- no in bolj športno bori, pa čeprav je tehničnoL.slabši. "Navijam" tudi za dijaka, ki se vztrajno bori za znanje pa tudi, kadar mo- ra pokazati znanje.- Njegovi sedanji dijaki pravijo , da jih prof. Štalec veliko ·nauči in da jim daje ne le solidne osnove, ampak tudi širok vpogled v matematiko in da je s svojimi včasih ~ar pre- cej strogimi pedagoškimi metodami dosegel, da so si pridobili de- lovne navade in da se učijo sproti. Ob vsem tem pa pouk ni .suho- paren, ker ga profesor povezuje s številnimi problemi iz življe- nja in ga popestri z duhovitimi domisliaami. Nas, njegove nekda- nje študente, pa je vedno privlačevala njegova predanost delu, stalna pripravljenost za skupno reševanje strokovnih problemov in njegova skromnost, hkrati pa tudi objektivna ostrina in kri- tičnost do samega sebe in drugih. Razgovor pripravila: Biserka Mikoš s ~TEFANOV NAGRADNI NATEČAJ+ V listih za mlade matematike z osnovnih ali srednjih šol bere- mo o različnih, bolj ali manj zahtevnih tekmovanjih. V tej zvezi me je začelo zanimati vprašanje, kdaj srno v Sloveniji začeli s takimi tekmovanji. Spomnila sem se, da sem kmalu po koncu vojne sodelovala pri teknovanju. Pobrskala sem po svojem arhivu in res našla nekaj številk "Pionirskega lista" iz leta 1950. V 35~ šte~ v LLk L 't e g a lista z datumom 23 . novernbr a 1950 sem zasledila vest o "Stefanovem nagradnem natečaju" za mlade fizike in matematike. Ne k a j profesorjev in uČiteljev ljubljanskih šol je na poziv ured- ništva "Pionirskega lista" začelo sestavljati lažja in težja vpra- šanja s področja fizike in matematike. Obenem je uredništvo pova- bilo pionirje in pionirke, naj se vključijo v natečaj, začnejo re- ševati naloge in pošiljati rešitve. V navedeni številki lista je izšla že prva skupina sedmih vprašanj in v kasnejših številkah še dve skupini. V vmesnih številkah časopisa so bili objavljeni od- govori na vprašanja, pa tudi nekaj zanimivih nepravilnih sklepov tekmovalcev. Ob zastavljenih nalogah smo namreč zaprosili tekmo- valce, naj narr. pri odgovorih tudi zapišejo, kako so prišli do re- šitev. Eno prvih vprašanj je bilo: kakšno temperaturo ima led? In odgovori? Led ima vedno temperaturo OOc. - Led nima nobene tempe- rature, ker se pri OoC že tali. Natečaj je bil zaključen proti koncu šolskega leta, vest o na- gradah tekmovalcem je bila objavljena 2. junija 1951. Na g r a d i l i smo tri matematično-fizikalnekrožke, med njimi je prvo nagrado dobil krožek na osnovni šoli Šmartno pri Litiji, in 9 posamezni- kov. Prvi iZl!'ed pos~~eznikov je bil Janez Pilgrarn, tedaj učenec 4. razreda osnovne šole Vič - Ljubljana, drugi je bil Držanič Franc iz Artič, tretjo nagrado pa sta dobila brata Janez in Tomaž Terček iz Višnje gore. Vsi so dobili šestila, kar je bilo za te- danje razmere kar lepo darilo. Zanimalo me je, koliko se tistih časov spominja prvonagrajenec, tovariš Janez Pilgram, sedaj inže- nir v tovarni "Sava" v Kranju. Prijazno mi je odgovoril na nekaj vprašanj . - Morda še veste, kakšne so se vam zdele zastavljene naloge in ka- ko ste jih reševali? 9 - "P i o n i r s k i list" je b i l v tistem času , ko še ni bilo raznih "Zvitorepcev", "Zabavnikov" in podobnih "poučnih" revij, edi- n i list za učence. Zato smo ga požirali od prve do zadnje črke. Prav go t ovo bi lagal , če bi VMa napisal, da sem na tekmovanju s o de l ov a l zaradi ljubezni do @a t ema t ike in f izike, k a j t i pozna- v anj e o beh področ i j je bilo našim letom primerno. List je pač objavil vprašanja in dovolj je bilo, da sem poskušal nanje od- govoriti. Vsebine nalog se ne spominjam več, vem pa še, da so me pritegnile zato, ke r niso b i l e izbrane samo i z suhoparnega računstva, kakršno so poučevali takrat na osnovni šoli, ampak je b i l o potrebno ma l o napeti svoje otroške možg ane. Mi sl i m pa, da naloge n iso bile preveč težke. - Kako ste sprejeli novico o prvi nagradi? Dobro se š e spominjam veselja ob tej nagradi, saj smo o takih pripomočkih v tistem času lahko samo sanjali. Šestilo kdaj pa kdaj š e vedno rabim, predvsem pa mi veliko pomeni kot drag spomin. - Al i je tekmovanje in vaše zanimanie za fiziko in' matematiko tu- di vplivalo na vaš študij? - Prav go t ov o j e tudi veselje do realnih predmetov, pri katerih j e bilo treba več mi s l i t i ali logično sklepati , usmerilo moje š o l a n je na univerzi . Tudi svojim otrokom bom priporočil siste- matično delo in izpopolnjevanje v ma t e ma t i k i , saj mi s l i m, da i ma p r a v i l n a usmeritev na tem področju pomembno vlogo pri men- talne m razvoju ml ad e g a č loveka . To var išu P i lgr amu hvala z a odziv! Na j p ovem š e , da smo člani komisije France Ahli n , Ma r i j a Medič, Milica Potisek, Lojze Sivec, France Šuš terš i č , Rudi Završnik in Jože Žabkar za " Pi o n i r s k i lis t " napisali tudi nekaj č l ankov o slo- venskih ma t ema t iki h in fizikih, o p omenu in načinu š t e t j a nekoč, o pis avi š tevi lk . . Za s t av i l i s mo tudi nekaj šaljivih vprašanj, na pri mer tole : Iz Lj ub l j a ne o dpelje v Ma r i bo r brzi vlak s hitros tjo 55 km n a uro, istočasno pa odpelj e iz Maribora v Ljubljano tovor- ni v l ak s h i t rost jo 1 8 km n a uro. Ka t e r i od o b eh v l akov bo bliže Ma r i bo r u , ko s e bos t a srečala? Al i pa d r ugo: Kako s premeni š 666 v več je š tevi l o , ne d a b i k a j dod al? Tudi na taka šaljiva vpraša- n j a s o p r i h a j a li p r a v i l n i , pa tud i nepravilni odgovori. Mo r e b i t i b i b i l o zanimivo vede t i , kako težke so bile naloge . Ve l i k o težav je povzročilo reševanje vprašanja, koliko jabolk do- 10 biš, če smeš vzeti od 8 jabolk tretjino, pa še polovico tretjine. Tisti, ki so preveč. hiteli , so dobili 3,8 jabolka, ali pa eno ja- bolko in eno tretjino, ali pa celo štiri in pol jabolka. Ze lo za- nimivi so bili opisi naporov, kako dobiti sedem zaporednih lihih števil, ki dajo vsoto 77. Dobri so bili o d go vo r i na vprašanje, za- kaj električni tok ne ubije ptic, ki sede na žici daljnovoda, med- tem ko včasih ubije človeka na tleh, če prime žico . V celoti smo videli, da so povzročala reševalcem več težav vprašanja iz fizike. To je bilo razumljivo, saj smo posvečali vprašanju "zakaj" pri pouku fizike tedaj le malo pozornosti. Mogoče opisano tekmovanje ni bilo prvo na naših slovenskih ali mogoče celo jugoslovanskih š o l ah ? Kdo bi to vedel? Milica Potisek "JOŽEF STEFAN (18 35-1893) je bil eden najpomembnejših f iziko v de- v etnajstega stolet ja. Ro dil se je slovenskim staršem v Svetem Petru pri Celovcu na Koroškem. Ko t dija k celovške gimnazije i n slušatelj matematike in fizik e na Dunaju ter še kot docent na dunajski univerzi je s pesmimi in poljudnoznanstvenimi spisi sodeloval pri raznih s l ovens ki h časopisih i n listih. Diplomiral je na Dunaju. Poučeval je fizi ko na dunajs ki univerzi od leta 1 8 58 do svoje smrti. Postal je direk- tor Fizikalnega inštituta, pod- predsedni k duna jske a kademije znanosti i n član različnih znan- stvenih ustanov v Evropi . Nj ego - vo delo ga je vodilo skoraj na vsa področja f i z i ke, kot so hidrodinamika, optika, akustika, e - lekt rika in magnetizem. Najpomembnejše področje njegoveg a z n an - stvenega delo v anja zajema kinetično teo rijo plinov, nj i hovo di- f uzijo in p r e va jan je t o plo t e. Odkri l j e zak on, p o ka t ere m j e s vetlobni t ok, ki g a izseva popolnoma črno telo , sora zmeren s čet rto poten co svo je absolutne tempe r atu re . Stefanov zak o n je bi l eden p r vih po me mbn i h k o rakov k raz umeva n ju s evanja črn e ga te l es a , o d kode r j e v z n i kn i l a k vant na teo rija se van j a . I me Jo - ž efa S te fana nosi slo ven ska znanst ven a ust anova , ki j e ena na j- večji h v J ugo s lavi j i . 11 101 MATEMATIKA KAKO RAeUNAM UVOD I \ DmM St Dt T S D E Računam na navadni tablici, ki ima 8x4 polj, lahko vzame- mo tudi pol šahovnice . Uporab- ljam enote, ki so lahko kamen- čki, fižoli ali kakršnikoli drugi podobni predmeti. Ta pisava številk je me š a n i - ca desetiškega in dvojiškega zapisa. Tak zapis uporabljajo nekateri računalniki. tablica polje 8 4 2 1 enota To napišem z enotami tako: 12 Na papirju je narisana neka manjša tab- lica. V vrsti E, ki pomeni enice, je predstavljena številka 3 (1+2). V vrsti desetic D je številka 5 (1+4). V tabli- ci je torej napisano število 53. ; :• 2• • 1 S D E Na podoben način lahko napišem katerokoli število npr.: 28 tp 73~ ~ 81~ ~ .17 = ~tE tffij tE tffij Torej, čim daljša je tablica, večmestno število lahko napi- šem. To je recimo 2343589 • • • • • • • • • • • 8 4 2 1 M St D t T SD E S E Š TEV ANJ E Če poznamo to pisavo, se lahko lotimo seštevanja. Vzamem pre- prost primer: Ta račun sem izvedel po pre~ prostem pravilu: 1 + 1 2 (1) - Če sta venem polju dve enoti, damo eno enoto v polje, ki je višje, drugo enoto pa uničimo. p ra vil o (1) ~ 13 Pravilo (1) lahko uporabimo tudi v nasprotni smeri: (2) - Če je venem polju ena enota, jo damo v polje, ki je niže ter pristavimo še drugo enoto. •• pravilo (2) ~•To se pokaže še lepše, če imate pred sabo pravo tablico s pravimi enotami. Delajmo vedno težje račune 2 + 3 + 3 Na tablici se lahko še sešteje na enak način: 4+5, 4+7, 2+2, 7+6 ••• Tu pa nastane majhna težava. Imam dvomestno število, ki je napisano v enicah. 8 Torej je zgornji rezultat (Il) napisan samo' v enicah, zato mo- ram to spremeniti v dvomestno število (lIE ID lE) Pravilo (3) se glasi: deset enic spremenimo v eno desetico tako, da drugo in četrto polje (2,8) spremenimo v eno desetico. Pa seštejmo 8 in 12 I t4 Najprej naredim operacijo po pravilu (3) (spremenim deset enic v eno desetico), nato pa še operacijo po pravilu (1) (obe enoti venem polju uničim in dam enoto v polje, ki je višje) • I~ ~I r=l~- + Il 1- ~ I l---L I- l 4 ~: -..- (2 H-;-I rl ~t:jti 178 + 923 Operacijo začnemo z desne proti levi: • • ••.. •• • • (3) [1 (1)•• •••• • •••• ) 17 + 923 J~~~ft71~f1=f1~~~ffiE ~~~tfr@~ 110 Videti je zelo zamotano, kajne? Pa v resnici ni! Že prej sem na- pisal, naj vse zakone spoznavamo na pravi tablici s prav~m~ eno- tami (pol šahovnice in fižoli). Čez čas vam bo šlo tako gladko, da se boste čudili. Andrej Kores 15 ZAeETNI POJMI NOMOGRAFIJE 1. Uvod Pri numeričnem računanju po predpisanem obrazcu si marsikdaj radi pomagamo s kakimi grafičnimi metodami. Med posebno zanimive in praktično uporabne grafične metode računanja spadajo nomograf- ske metode, ki so v zadnjih sto letih prerasle v posebno panogo geometrije, ki se imenuje nomografija. Beseda nomografija je grškega izvora in jo sestavljata besedi nomos = zakon in grafo = pišem. Bistvo nomografije je, da nek po- seben geometričen način ponazarja z aritmetičnimi obrazci formu- lirane zakonitosti. Od prvih začetkov nomografije je minilo že skoraj 200 let. Pr- vi nomogram je izdelal leta 1795 francoski matematik Pouchet (pu- še) in sicer mrežni nomogram za množenje dveh števil. Francoski inženir Lalanne (lalan) je skonstruiral leta 1843 Logaritemsko skaLo, ki je osnova logaritemskemu računalu, in Logaritemsko mre- žo, ki jo dandanes lahko kupimo pod imenom Logaritemski papir. Za razvoj nomografije so med drugim še pomembni Cauchy (koš!), Mobius, Massau (maso) in zlasti d'Ocagne (dokanj), ki te objavil v letih 1884-1931 nad 80 publikacij s področja nomografije, in ki ga mnogi štejejo za znanstvenega utemeljitelja nomografije. Ime nomografija je bilo za to panogo geometrije sprejeto leta 1890 na mednarodnem matematičnem kongresu v Parizu. Dandanes je nomograf- ska metoda računanja splošno razširjena in se uporablja zlasti v tehniki. Bistvo nomografije bomo v naslednjem prikazali z nomogra- mom za procent ni račun. 2. Lestvasti nomogram za procentni račun Pri procentnem računu nastopajo tri količine in sicer: a osnovna vrednost, p procentna mera (%) in o procentni delež. Pri procentnem računu velja obrazec o = ~o~ . Ce sta dve ko- ličini znani, lahko izračunamo po tem obrazcu tretjo. Za grafično računanje po tem obrazcu uporabljamo nomogram na sliki 1. Tu nas 16 PROCENTNI RAČUN Obrazec: a ·p 0= 100 100 100 a : osnovna vrednost 100 90 90 80 p: procentna mera 8 0 70 50 procentni delež 70o: 60 40 60 30 20 10 1 1 5 1 20 4 20 3 <\1 2 Q ~.... .~ <\1 Ql 0,4 QlQ U U:: Q Q dozo ion . za argon vezniksevanja amer . nikalnic,moško Tr efaltime tuj e pravo 100 - 1 del podjetje (l at . ) lo m obraza ~ 10 6 ton del T snovi O 33 FIZIKA TERMiČNO GIBANJE Nalij mo v epruveto nekaj etilnega alkohola . Sko z i lijak, k i s e poda l jš u j e v tanko cevko, spustimo na d no e pruvete jodo vo .tinktu- r o . Ce delamo previdno in epruveta miruje, je spočetka ostra meja med obarvano in neobarvano tekočino . Kma l u pa se mej a razmaže in p oma k ne navzgor, v nekaj urah s e dvigne za kak centimeter. Približ- no po 24 urah je v vsej epruvet i enakomerno obarvana tekočina . Ta pojav imenu jemo difuzija. Di f u z i j a je posledica g iba n j a molekul alkohola i n joda. Molekule v tekoč ini se neprestano neurejeno - pravimo termično - gibljejo. Pri t e m zadevajo druga ob drugo in spreminjajo smer gibanja in h itrost. Molekule tud i spreminjajo svo jo lego in sčasoma prepotuj ejo vso posodo. Pri našem po s ku s u so se molekule joda enakomerno pomešale po vsej posodi. Po sku s i mo p reso di t i iz tega, kar vemo o g i ba n j u molekul, v ko l ikš ne m č asu se to zgodi ! Opa zu jmo pijanca, k i sloni na drogu cestn e s vetil Ke s r edi veli- kega trga. Ka ko je prišel tja, nas n e zanima . Ko se odloč i, da o d- i de, ga zanese najprej nekaj korakov v e no smer, na t o p a spet ne- k a j ko r akov v drugo in tako naprej. Nepr e s t ano spreminja s mer gi- b a nj a i n t udi premiki n iso enako do lg i . Nj e govo giba n j e j e podob- no g i ba n j u mo l eku l e v tekočini. Kako daleč od dro ga bo p i j a n c a z ane s l o po večjem š t e v i l u ko r ako v? Popolnoma natančno res ne mo - remo po ve da t i , kje bo p i j a ne c n p r. po stotih ko r aki h, lah ko pa napovemo najbolj ve r j e t no odda l j e no st od droga s ve t i l k e . Na po ved je tem zaneslj ivejša, čim večje je število pre mi kov. Postavimo koordinatni sistem, kot kaže slika in vzemimo, da je pijanec po N korakih pri š el do točke s koordinatama X o i n YO ' Po Pitagorovem iz r e k u j e kvadrat oddaljenosti 2 2 2 l' xO +YO (1) Poskusimo določit i X o in YO ' Pol juben premik p ijanca ~sn razsta- 3 4 enačbo imo vsa - (4 ) ijane~, šalo l ~h­ do 300 ~ b i po - LIN 2r r = v vimo n a Ko dobimo Vid imo, da je ra z da °a, do sorazme rna s kvadratnim &t~~~~~'~~lpt ko i zračunaš, ko l iko premiko v b i mora l oddal jenega roba t rga , č e j e en korak 0'7 m i n 35 rabil za pot, če se premika s hitrostjo 1 mis. Z zgornjim razmišljanjem smo določili le najverjetnejšo razda- ljo, do katere pride pijanec: Ce vzamemo več pijancev, ki odidejo hkrati od droga, bodo po večjem številu premikOV razporejeni tako, da bo njihova popr,ečna oddaljenost od cestne svetilke t o l i k š na , kot smo jo izračunali. Poglejmo sedaj molekule joda v poskusu, ki smo ga naredili na začetku. Poprečni premik molekule med zaporednima trkoma, to je popreč~a prosta pot molekule, je v tekočini okoli 10- 8 cm. Veli- kost hitrosti molekule pri sobni temperaturi je v poprečju 100 mis, tako, da molekula veni sekundi trči okoli 101 2 krat. Smer gibanja molekule se prav tolikokrat spremeni. Ce vstavimo poprečno prosto pot molekule in število trkov v našo enačbo, dobimo za poprečni odmik od izhodišča vrednost 1 cm. Tudi premik barvne meje v posku- su, ki smo ga opravili na začetku, je približno take velikosti. Mnogo hitrejša je difuzija v plinih. Med tem, ko so hitrosti molekul v plinu približno enake hitrostim molekul v tekočini, pa je poprečna prosta pot okoli tisočkrat večja. Tomaž Fortuna N ALO G E 1. Meteorit zgori , ko pri~eti v atmosfero. Kaj se zgodi z njego- vo giba~no koLičino? 2. Kako ~ahko i z me r i mo te~esno temperaturo, če ima oko~ni zrak temperaturo 42 0 C ? 3. Zakaj je senca spodnjega de- ~a droga e~ektrične nape~jave ostrejša od sence zgornjega de- ~a, če ga osvet~juje cestna sveti~ka od strani? 4. Skozi prosojen papir čitamo ~ahko tekst ~e, če po~ožimo pro- sojen papir neposredno na papir z besedi~om. Zakaj? 5. Kako določiš maso ravnila, če i ma š na voljo le ravnilO, mizo z ostrim robom in kovanec za 2 dinarja, ki tehta 4 grame? Opiši uporabljeni način! Dobljeni rezultat preveri tako, da na koncu ravnilo stehtaš na tehtnici. Ravnilo naj bo enakomerno debelo in če mogoče , brez luknjice. Tomaž Fortuna 36 ALI VEŠ, KOLIKO ARHIMEDA JE V TEBI? :·:is l im , d a v am Ar-hi.me da ni t r eba pose bej predstavljati . Vs al<- do iz:;,e d vas je ž e slišal z a t e g a največ je ga raet c raa 't i.ka antične dobe . Vsi po z na te nj e govo z narnc n i, to d ogodivšči no , ko se j e , ne u a hi upoš teval Arhime~ov zakon , vsede l v do rob a n apolnj eno k a d , ne- k a j č asa zač udeno o pazo va l vodo , k i j e v d robn em potočku c urlj ala v stanovan je , nato pa skoč i l i z k a d i, ves i z s e~e t eka l po me s t u in v~il : ~eQreka : Ljud je so f a z ačud eno g l e d a li in premi š l jeva l i , kakšne d e mo n s t r a c ij e so spet na s po ~edu ( Se daj vemo , I2)==> ==> 1201 (n S-5n 3+4n)! 3. Potnik se vozi z avtomobilom enakomerno iz kraja A v kraj C. Na poti leži kraj B. Ob osmi uri je potnik prevozil četrtino poti med A in B. Ob deseti uri je prevozil tričetrt poti med B in C. Kakšna je razdalja med A in C, če je hitrost avtomobila 90 km/h? 4. Načrtaj trikotnik, če je dan obseg 0=10 cm in kot y=750, kot a pa je polovica kota y. 5. Dokaži, da je v pravokotnem trikotniku simetrala pravega ko- ta hkrati simetrala kota med vi- šino in težiščnico na hipotenuzo! A c . B 2. razred 3. Izračunaj: l0932 • log54 ••• log9 99 8 ! + ! + ! = 1__ x Y z x+y+z yrO. zrO. x+y+zrO ! a,bE:R! 3. Reši enačbo: a sinx+b _ a cosx+b b cosx+a - b sinx+a 2. Danih je n realnih števil : al, a 2, ••• ,an. Pri kateri vred- nosti argumenta doseže funkci- ja [(x) = (x-a 2)2 + (x-a2)2 ++ ••• + (x-an) najmanjšo vred- nost? 3. razred 4. Kakšne vrste (pravokoten, ostrokoten, topokoten) je tri- l. V trikotniku ABC so težišč­ nice ta' t b in tc. Na njih le- Ž i j~ vektorji t a=AA1 , t b =BB1 in t c=CC1, kjer so Al' Bl in Cl razpolovišča stranic BC, CA in AB . Izračunaj vrednost izraza: tatb + tbtc + tcta 4. Dokaži, da če so v pravokot-~ nem trikotniku vse stranice na- ravna števila, potem je tudi polmer včrtane krožnice naravno številol 113+3013+212 l. Dokaži, da je 6 5 12 -'6 2' 2. Dokaži veljavnost enakosti 1 + L + L -=1~~ x m ym zm xm+y m+zm ee je m liho naravno število in če je 61 kotnik ABe , če v njem za neko naravno število n> 2 velja med dolžinami stranic zveza an + b n = en . Ali tak~ trikotniki obstajajo za vsako naravno število n >2 ? 5. Izračunajte: tg9° - tg27° - tg630 + tg81 0 4. razred 1 + cosx - 2sin2x 3. Izračunaj limito: x cos 2' - sin:r 4. Med zaporednima členoma za- poredja y(n) je zveza y (n+1) = y (n) - y2 (n) Prvi člen zaporedja je y(l)= =1 / 2 . Dokaži, da je za vsako naravno število n y(n )