i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
POMNOŽITEV HIPERKOCKE
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
Antični geometrijski problem podvojitve kocke lahko posplošimo na problem njene
poljubne pomnožitve. Še več, problem lahko razširimo na pomnožitev hiperkocke. V ta
namen bomo uporabili primerno posplošeno cisoido.
MULTIPLYING THE HYPERCUBE
The ancient geometric problem of doubling the cube can be extended to a problem
of an arbitrary multiplying. Moreover, the problem can be extended to multiplying the
hypercube. To this purpose we will use a suitable generalized cissoid.
Uvod
Podvojitev kocke je klasični grški geometrijski problem, ki se ga ne da rešiti
evklidsko, to je samo z neoznačenim ravnilom in šestilom, kar so dokazali šele
v 19. stoletju. Problem zahteva določiti rob kocke, ki ima prostornino enako
dvakratniku prostornine dane kocke. To pomeni, da je treba za dano daljico
a konstruirati tako daljico b, za katero je b = a 3
√
2. Problem podvojitve
kocke so Grki znali rešiti na več načinov. Eden od njih je možen s posebno
ravninsko krivuljo, z Dioklovo cisoido (več v [1, 4, 6, 8]).
Povsem smiselno se je vprašati, kako bi pomnožili s faktorjem λ > 0 po-
ljubno r-razsežno hiperkocko z robom a. Njena prostornina je ar, zato je
b = a r
√
λ rob hiperkocke, katere prostornina je λ-kratnik prostornine hiper-
kocke z robom a. Dva primera sta trivialna. Za r = 1 imamo daljico, njena
»prostornina« je kar njena dolžina a, za r = 2 pa kvadrat, čigar »prostor-
nina« je kar njegova ploščina a2. Za r = 3 imamo opraviti z običajno kocko
z običajno prostornino a3. V prvih dveh primerih množenje s faktorjem λ
ni problematično, saj ga ob izbiri enote 1 geometrijsko lahko opravimo s
podobnimi trikotniki in z vǐsinskim izrekom v pravokotnem trikotniku.
Za r ≥ 4 si r-razsežno hiperkocko teže predstavljamo, ker je ne moremo
realizirati z običajno geometrijo. To pa ni ovira pri pomnožitvi take hiper-
kocke s številom λ, ker moramo znati geometrijsko pomnožiti samo njen rob
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
a s številom
r
√
λ, kar pa lahko naredimo v običajni ravnini. V matematični
analizi je r-razsežna hiperkocka z robom a na primer kar r-kratni kartezični
produkt intervala [−a/2, a/2] s samim seboj, to je množica
[−a/2, a/2]r = {(x1, x2, . . . , xr) ∈ Rr ∶ ∣x1∣ ≤ a/2, ∣x2∣ ≤ a/2, . . . , ∣xr ∣ ≤ a/2}.
V nadaljevanju se bomo omejili na enotske hiperkocke, ki imajo rob 1 in
prostornino 1. Če namreč znamo le-te geometrijsko pomnožiti s faktorjem
λ, znamo geometrijsko pomnožiti s tem faktorjem tudi hiperkocke z robom
a. Za to je treba uporabiti podobne trikotnike. S tem se ob izbrani enoti 1
in konstruktibilnim številom λ ves problem zreducira na konstrukcijo števila
r
√
λ. To pa ne gre vedno evklidsko, zato privzamemo obstoj posebnih kri-
vulj, ki to omogočajo. Število λ je konstruktibilno, če lahko daljico dolžine
λ evklidsko konstruiramo v končno mnogo korakih iz daljice z dolžino 1.
Števila
r
√
λ so konstruktibilna v razširjenem smislu, namreč po potrebi tudi
ob pomoči teh posebnih krivulj.
S konstrukcijo tretjega korena so se ukvarjali že v antiki, na primer
Nikomedes (3. stol. p. n. št.), Diokles (3.–2. stol. p. n. št.) in Papos (3.–4.
stol.) (glej na primer [3, 5, 7]).
Na splošno ne delajo težav razsežnosti r = 2p, kjer je p ≥ 2 naravno
število, ker je tedaj
r
√
λ rezultat p-kratnega zaporednega kvadratnega ko-
renjenja števila λ, kar lahko geometrijsko realiziramo na primer s p-kratno
uporabo vǐsinskega izreka v pravokotnem trikotniku. Če je r = 2pq1q2⋯qk,
kjer je p naravno število, q1, q2, . . . , qk pa liha praštevila, ne nujno med seboj
različna, lahko uporabimo zvezo
r
√
λ =
qk
√
qk−1
√
. . .
q1
√
2p
√
λ
in postopoma konstruiramo δ0 = 2
p√
λ, δ1 = q1
√
δ0, δ2 = q2
√
δ1,. . . , δk = qk
√
δk−1
in nazadnje je
r
√
λ = δk.
Cisoide
Do ravninskih krivulj pridemo na različne načine. Eden od njih je cisoidni
način. Do nove krivulje pridemo z uporabo znanih krivulj K1 in K2 ter
točke O, ki ležijo v isti ravnini. Pri tem sta K1 in K2 taki krivulji, da vsaka
premica p skozi O, ki seka K1 v neki točki T1, seka tudi K2, recimo v točki
2 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
T2 (slika 1). Za vsak T1 označimo na p točko T tako, da velja
Ð⇀
OT = ÐÐ⇀T1T2.
Ko T1 potuje po K1, T opǐse krivuljo C, ki jo imenujemo cisoida krivulj K1
in K2 glede na točko O. Definicije take cisoide se nekoliko razlikujejo od
vira do vira, zgornja je povzeta po [2]. Ime krivulje C bomo obrazložili v
nadaljevanju.
Slika 1. Krivulja C je cisoida krivulj K1 in K2 glede na točko O.
V nadaljevanju je, če ni drugače rečeno, r vedno liho število, večje ali
enako 3. Dovolj bi bilo sicer obravnavati le liha praštevila, kot smo videli
v uvodu, da bi konstruirali r-ti koren, toda konstrukcija bi lahko zahtevala
veliko zaporednih korenjenj. Cisoide, ki jih bomo pri tem potrebovali, bomo
obravnavali z metodami analitične geometrije v ravnini. V ta namen posta-
vimo ravninski pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxy. Krivuljo, ki
ima v tem koordinatnem sistemu enačbo
xr−1 + yr−1 = xr−2, (1)
označimo s Hr. To je algebrska krivulja stopnje r − 1. Če vstavimo v (1)
y = tx, dobimo parametrični enačbi krivulje Hr:
x(t) = 1
1 + tr−1 , y(t) =
t
1 + tr−1 . (2)
KrivuljaHr je sklenjena, leži v prvem in četrtem kvadrantu, poteka skozi
točke O(0,0), A(1,0) in D±(1/2,±1/2) (slika 2). Točko A doseže za t = 0,
točki D± za t = ±1, točko O pa v limiti ∣t∣→∞. Iz (2) izračunamo
dy
dx
(t) = (r − 2)t − t
2−r
r − 1 ,
dx
dy
(t) = (r − 1)t
r−2
(r − 2)tr−1 − 1 . (3)
1–9 3
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 2. Krivulja H5.
Iz prvega izraza v (3) ugotovimo, da ima krivulja vodoravni tangenti za
t = ±1/ r−1
√
r − 2 v točkah
M
(r)
±
⎛
⎝
r − 2
r − 1 ,±
r−1
√
(r − 2)r−2
r − 1
⎞
⎠
.
Z rastočim r se točkiM
(r)
± pomikata proti asimptoti krivulje (slika 5). Račun
pokaže, da točke M
(r)
± ležijo na nealgebrskih krivuljah L±, ki imata enačbi
y = ±xx(1 − x)1−x in sta simetrični glede na premico x = 1/2. Pri tem je
0 < x < 1. Absolutni vrednosti ordinat točk M (r)± sta manǰsi kot 1 za vsak
r ≥ 3.
Iz drugega izraza v (3) izračunamo dxdy (0) = 0, kar pomeni, da ima Hr v
točki A za tangento premico x = 1. Ker pa dxdy (t) → 0, ko ∣t∣ → ∞, ima Hr
za tangento v točki O ordinatno os x = 0, kar sicer na sliki 2 ni očitno.
Poiskali bomo cisoido Cr krivulj Hr in x = 1 glede na točko O(0,0)
(slika 3). Premica p skozi O naj ima enačbo y = tx. Krivuljo Hr preseka v
točkah O in T1(1/(1 + tr−1), t/(1 + tr−1)), premico x = 1 pa v točki T2(1, t).
Koordinati točke T iskane cisoide Cr sta potemtakem
xT = 1 −
1
1 + tr−1 =
tr−1
1 + tr−1 , yT = t −
t
1 + tr−1 =
tr
1 + tr−1 .
4 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
Slika 3. Nastanek cisoide stopnje 5.
To pomeni, da smo našli parametrični enačbi cisoide Cr:
x(t) = t
r−1
1 + tr−1 , y(t) =
tr
1 + tr−1 . (4)
Če vstavimo v prvo enačbo t = y/x, dobimo po poenostavitvi enačbo cisoide
Cr še v implicitni obliki:
x(xr−1 + yr−1) = yr−1. (5)
Krivuljo Cr, ki je algebrska krivulja stopnje r, je smiselno imenovati
cisoida stopnje r. Ker se krivulja Cr da parametrizirati s parom racionalnih
funkcij, jo uvrščamo med racionalne krivulje. Prav tako je krivulja Hr
racionalna.
Cisoida C3 je cisoida krivulje H3, ki ni nič drugega kot krožnica z enačbo
x2 + y2 = x, in premice x = 1 glede na točko O. Krožnica ima sredǐsče v
točki S(1/2,0) in polmer % = 1/2. Cisoida C3 je znana že iz antičnih časov.
1–9 5
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Imenuje se Dioklova cisoida. Besedo cisoida so začeli uporabljati tudi za
krivulje, ki nastanejo na prej opisani cisoidni način z dvema krivuljama
glede na neko točko. Beseda cisoida izvira iz grške besede kissós, kar pomeni
bršljan. Del kroga med H3 in cisoido ima namreč obliko bršljanovega lista.
Diokles, po katerem se krivulja imenuje, je bil starogrški matematik, ki je
z njo znal podvojiti kocko. Spoznali bomo, da se z njo da kocko ne samo
podvojiti, ampak tudi potrojiti, početveriti in celo pomnožiti s poljubnim
konstruktibilnim številom λ.
Ideja, zakaj za Hr vzeti ravno krivuljo z enačbo (1), izvira iz enačbe
x2 + y2 = x, ki pomaga konstruirati Dioklovo cisoido. V izrazu x2 + y2 je
eksponent 2, kar je za 1 manj kot 3, to je od razsežnosti običajne kocke, ki jo
znamo podvojiti. Na desni strani enačbe pa je eksponent 1, kar je za 2 manj
kot 3. Zato smo za naš namen, kot se bo izkazalo, pravilno predvidevali,
da sta za r-razsežno hiperkocko res dobra ravno eksponenta r − 1 in r − 2 v
enačbi (1).
Krivulja Cr je simetrična glede na os x, definirana je nad intervalom
[0,1), poteka tako kot krivulja Hr, skozi točko O(0,0), ki jo doseže pri
t = 0, in skozi točki D±(1/2,±1/2) pri t = ±1. Ko ∣t∣ narašča proti ∞, se
x približuje vrednosti 1, y pa gre v ∞. To pomeni, da je premica x = 1
navpična asimptota krivulje Cr. Iz (4) izračunamo še
dy
dx
(t) = rt + t
r
r − 1 ,
iz česar ugotovimo, da ima cisoida Cr v točki O, ko je t = 0, ost z vodoravno
tangento, kar na slikah sicer ni očitno.
Pomnožitev hiperkocke
Poglejmo, kako lahko z uporabo cisoide Cr konstruiramo r
√
λ. Izberimo na
osi y točko B(0, λ) in načrtajmo premico skozi A in B. Tu je potrebna
konstruktibilnost števila λ, sicer točke B ne bi znali vedno geometrijsko
določiti, na primer za λ = π. Poǐsčimo presečǐsče P cisoide Cr s to premico.
Če prepǐsemo (5) v obliko (1−x)yr−1 = xr, premico skozi A in B pa izrazimo
v obliki 1 − x = y/λ, takoj dobimo enačbo xr = yr/λ. Ordinata in abscisa
presečǐsča P sta zato v razmerju
r
√
λ. Premica skozi O in P ima enačbo
y = x r
√
λ in preseka asimptoto cisoide Cr v točki C(1, r
√
λ). S tem smo
konstruirali število
r
√
λ, kar omogoča konstruirati še rob b = a r
√
λ hiperkocke,
6 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
Slika 4. Geometrijska konstrukcija petega korena.
Slika 5. Krivulje Hr (levo) in Cr (desno) za r = 3,5,7 v prvem kvadrantu.
katere prostornina je λar. Če izberemo λ = 2,3,4, . . ., lahko hiperkocko
podvojimo, potrojimo, početverimo itd. Na sliki 4 je predstavljen primer za
r = 5.
1–9 7
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Za vsa liha števila r ≥ 3 lahko torej z uporabo cisoide Cr konstruiramo
r
√
λ za vsak pozitiven λ. To omogoča pomnožitev r-razsežne hiperkocke.
Za konec
Lepo se dajo izračunati ploščine likov pod krivuljami Cr in Hr nad inter-
valom [0,1] za r ≥ 3. Označimo ploščino pod Cr s Pr, pod Hr pa s Sr.
Izrazimo ju lahko prek Eulerjevih funkcij Γ in B. Za r ≥ 3 dobimo:
Pr = ∫
1
0
x
r
r−1 (1 − x)
1
1−r dx = 1
2
Γ(2r − 1
r − 1 )Γ(
r − 2
r − 1) =
πr
2(r − 1)2 sin πr−1
,
Sr = ∫
1
0
x
r−2
r−1 (1 − x)
1
r−1 dx = 1
2
Γ(2r − 3
r − 1 )Γ(
r
r − 1) =
π(r − 2)
2(r − 1)2 sin πr−1
.
Točke, ki ustrezajo posameznim parametrom t racionalnih krivulj Hr in
Cr, se v načelu da konstruirati evklidsko. Točke krivulje Hr pa lahko eno-
stavneje konstruiramo evklidsko z uporabo vǐsinskega izreka v pravokotnem
trikotniku, cisoide Cr pa še s podobnostjo trikotnikov, če je r za 1 povečana
potenca števila 2, to se pravi, če je r = 2n + 1, kjer je n naravno število, na
primer r = 3,5,9,17.
Oglejmo si primer r = 5. Krivulja H5 ima enačbo x4 + y4 = x3. Konstru-
irajmo jo po točkah v prvem kvadrantu. Enačbo preuredimo v y4 = x3(1−x).
Za 0 ≤ x ≤ 1 vpeljemo geometrijsko sredino y1 =
√
x(1 − x) in dobimo y4 =
x2y21, kar še korenimo: y
2 = xy1. Ordinata y, ki ustreza x, je geometrijska
sredina za x in y1. Geometrijske sredine pa evklidsko realiziramo z vǐsinskim
izrekom v pravokotnem trikotniku.
Prav tako delamo s krivuljo C5, ki ima enačbo x(x4 + y4) = y4. Kon-
struirajmo jo po točkah v prvem kvadrantu. Enačbo preuredimo v x6 =
y4x(1 − x). Za 0 < x < 1 vpeljemo geometrijsko sredino y1 =
√
x(1 − x)
in dobimo x6 = y4y21 in s korenjenjem še x3 = y2y1. Pomnožimo z x, da
dobimo: x4 = y2xy1. Nato vpeljemo geometrijsko sredino y2 =
√
xy1 in
dobimo x4 = y2y22. Korenimo in dobimo x2 = yy2, kar zapǐsemo v obliki
sorazmerja: y/x = x/y2. Očitno do y pri danem x pridemo z dvakratno upo-
rabo vǐsinskega izreka v pravokotnem trikotniku, sorazmerje pa realiziramo
s podobnimi trikotniki in dobimo y.
Kako pa je v primerih r = 1 in r = 2? Za 0 < x < 1 dobimo iz (1) v
prvem primeru x0+y0 = x−1, kar je poenostavljeno isto kot x = 1/2, iz (5) pa
8 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:35 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Pomnožitev hiperkocke
x(x0+y0) = y0 oziroma x = 1/2. Krivulji H1 in C1 imata isto enačbo, x = 1/2,
ki predstavlja premico. Rezultat je v soglasju s konstrukcijo
1
√
λ = λ.
Za r = 2 in 0 < x < 1 dobimo za H2 del premice x + y = 1, za C2 pa del
hiperbole x(x + y) = y, ki ima asimptoti x = 1 in x + y = −1 ter sredǐsče v
točki (1,−2). Točke krivulje C2 najlaže konstruiramo, če enačbo x(x+y) = y
zapǐsemo najprej v obliki x2 = y(1 − x), nato pa v obliki sorazmerja y/x =
x/(1 − x). Točke krivulje konstruiramo s podobnimi trikotniki. Seveda pa√
λ najlaže konstruiramo z vǐsinskim izrekom v pravokotnem trikotniku, ne
pa s krivuljo C2.
Če je r sodo število, sta krivulji (1) in (5) »grši« kot za lihi r, sta
brez simetrije in segata v področja zunaj pasu (0,1) × R. Edino v prvem
kvadrantu lepo potekata med ustreznima krivuljama za r − 1 in r + 1.
Kot zanimivost poglejmo, kaj se zgodi, če v enačbi (1) za r formalno
dopustimo katerokoli celo število in opazujemo ustrezne krivulje Hr in Cr
nad intervalom (0,1) v prvem kvadrantu. Če nadomestimo r z 2 − r v (1),
dobimo
x1−r + y1−r = x−r.
Množenje obeh strani te enačbe s faktorjem xryr−1 nas privede do
x(xr−1 + yr−1) = yr−1.
Formalno to pomeni enakost H2−r = Cr.
LITERATURA
[1] P. Eymard in J.-P. Lafon, The number π, AMS, Providence, Rhode Island, 2004.
[2] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen, Springer Spektrum, Wiesbaden,
2017.
[3] T. Heath, A history of Greek mathematics, Vol. 2, Dover Publications, New York,
1981.
[4] J. D. Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, New York,
2014.
[5] G. E. Martin, Geometric constructions, Springer, New York, 1998.
[6] U. C. Merzbach in C. B. Boyer, A history of mathematics, John Wiley & Sons, Ho-
boken, New Jersey, 2011.
[7] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg, 2012.
[8] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.
1–9 9