
P50(2022/2023)6
5
Roˇ cnokorenjenje
V Kˇ ˇ 
Danes v šoli kvadratne korene števil veˇ cinoma
raˇ cunamo s pomoˇ cjo žepnih raˇ cunal, vˇ casih pa so
se že v osnovni šoli uˇ cili doloˇ citi kvadratni koren
roˇ cnopoposebnempostopku,kigalahkonajdemo
vstarihuˇ cbenikih,uporabljalpagajetuditudiNa-
pierov mehanski raˇ cunski stroj v 17. stoletju. V
ˇ clanku bomo ta postopek predstavili in utemeljili,
hkrati pa bomo nakazali njegove posplošitve in ga
primerjali z drugimi metodami za korenjenje.
Predstavitevalgoritmazaraˇ cunanje
kvadratnegakorena
Algoritem za roˇ cno korenjenje bomo najprej prika-
zali na konkretnem primeru števila 189225.
Številko razdelimo na tri razdelke po dve števki:
18|92|25. Najprej doloˇ cimo najveˇ cje naravno šte-
vilo, katerega kvadrat je manjši ali enak najbolj
levemu razdeleku. To je jasno število 4, saj je
4
2
≤ 18. Desno od enaˇ caja zapišemo 4, pod prvi
razdelek pa vrednost 4
2
= 16, ki jo odštejemo in
podˇ crtozapišemoostanek2,kimupripišemona-
slednji razdelek.
p
18|92|25=4
16
2 92
Dobljeno število je 292, dvakratnik dosedanjega
rezultata pa 2· 4 = 8. Zdaj s poskušanjem do-
loˇ cimo najveˇ cjo števko, ki jo lahko zapišemo na
ˇ crtici, da velja neenakost 292≥8 · .
Z nekaj raˇ cunanja ugotovimo, da je 292≥83·3=
249in292<84·4=336, torejjeiskanaštevka3,
ki jo napišemo naˇ crtici in še pri novem vmesnem
rezultatu 43. Vrednost 249 odštejemo od 292 in
dobljenemu ostanku 43 pripišemo naslednji raz-
delek 25, da dobimo 4325.
p
18|92|25=43
16
2 92≥83·3
2 49
43 25
Zdaj ponovimo prejšnji korak. Dvakratnik dose-
danjegarezultataje2·43=86. Naˇ crticizapišemo
najveˇ cjo števko, za katero velja 4325 ≥ 86 · .
Tokratjetoštevka5,sajje865·5=4325≤4325.
Števko 5 dodamo tudi v vmesni rezultat, da do-
bimo 435. Ker velja 865· 5 = 4325, dobimo pri
odštevanju ostanek 0, kar pomeni, da smo s kore-
njenjem zakljuˇ cili. Konˇ cni rezultat je torej 435.
p
18|92|25=435
16
2 92≥83·3
2 49
43 25≥865·5
43 25
0
Kvadratni koren decimalnega števila doloˇ cimo po-
dobno, le z nekaj izjemami. Korenjenec razdelimo
na razdelke po dve števki od decimalne vejice proti
levi in proti desni. Preden obravnavamo prvi razde-
lek desno od vejice, v rezultat za enaˇ caj postavimo
decimalno vejico.
ˇ
Ce ima razdelek na skrajni desni
leenoštevko,mupripišemošeštevko0. Poglejmosi
ta postopek na primeru števila 1,5129.
√
1|,51|29=1,23
1
0 51≥22·2
44
7 29≥243·3
7 29
0
Ker smo dobili ostanek 0, je algoritem konˇ can. Is-
kani rezultat je 1,23, kar je natanko kvadratni koren
števila 1,5129.
Postopek lahko strnjeno predstavimo s koraki:


P50(2022/2023)6
6
Številorazdelimonarazdelkepodveštevki,odde-
cimalne vejice levo in desno. Najbolj levi razdelek
je v primeru lihega števila števk enomesten.
ˇ
Ce
je potrebno, decimalna števila z niˇ clo dopolnimo
tako, da ima sodo decimalk.
Poišˇ cemo najveˇ cje enomestno število, katerega
kvadrat je manjši ali enak številu v prvem raz-
delku. To je prva števka korena. Njen kvadrat od-
štejemo od števila v prvem razdelku ter ostanku
pripišemo drugi razdelek. Dobljenemu številu
bomo rekli zahtevek.
Poišˇ cemo najveˇ cjo tako števko, ki je lahko dopi-
sanadvakratnikudosedanjegarezultata,dabodo-
bljenoštevilo,pomnoženostoistoštevko,manjše
ali enako zahtevku. Dobljeno števko zapišemo za
enaˇ caj kot drugo števko rezultata. To števko po-
množimo s številom, ki ima to isto števko pripi-
sano, dobljeni rezultat pa odštejemo od zahtevka
in dobimo nov ostanek.
Novemu ostanku pripišemo števki v naslednjem
razdelku in postopek nadaljujemo.
ˇ
Ceporabimovserazdelkeinvzadnjemkorakudo-
bimoostanek0,smoizraˇ cunalitoˇ cnovrednostko-
rena zaˇ cetnega števila. V nasprotnem primeru pa
lahko postopek nadaljujemo do želene natanˇ cno-
sti,takodazadnjemuostankuinvsemnaslednjim
pripisujemopodveniˇ cli,kinamdoloˇ catadodatno
mesto v rezultatu.
Utemeljitevalgoritma
Za utemeljitev algoritma definirajmo posplošeni de-
setiški sestav. Vsako naravno število N ∈N lahko v
posplošenem desetiškem sestavu izrazimo kot
N=a
1
a
2
...a
n−1
a
n
=10
n−1
·a
1
+10
n−2
·a
2
+...+10
1
·a
n−1
+
10
0
·a
n
,
kjer veljaa
i
∈N∪{0} zai∈{1,2 ... n}.
Posplošeni desetiški sestav se torej od obiˇ cajnega
razlikuje v tem, da lahko za števke vzamemo po-
ljubna naravna števila (vkljuˇ cno z 0), ne pa le cela
številaod0do9. Sevedataksestavneomogoˇ caeno-
liˇ cnegazapisaštevila,vendargabomoprisamemdo-
kazu potrebovali.
Poskusimo algoritem najprej utemeljiti na
primeru korenjenja kvadrata dvomestnega naravne-
ga številax
1
x
2
:
(x
1
x
2
)
2
=(10x
1
+x
2
)
2
=100x
2
1
+20x
1
x
2
+x
2
2
,
=100x
2
1
+x
2
·(20x
1
+x
2
),
=100x
2
1
+x
2
·(2x
1
)x
2
.
Zadnji izraz razjasni algoritem, ki v tem primeru se-
stoji iz dveh faz. V prvi fazi je treba poiskati eno-
liˇ cno doloˇ ceno števko x
1
, ki predstavlja desetice re-
zultata korena. Nadalje je treba doloˇ citi enice, tj.
števkox
2
, ki nastopa v drugemˇ clenu izraza, s kate-
rimsmozapisalikorenjenec,torejvx
2
·(20x
1
+x
2
)=
x
2
·(2x
1
)x
2
. Zapis desno od enaˇ caja utemeljuje po-
stopanje iz algoritma; to, kar imamo v dozdajšnjem
rezultatu (v tem primeru je tox
1
), množimo z 2, po-
tempaišˇ cemotakoštevkox
2
,kijomoramodopisati
števki 2x
1
, da bo dobljeno število, pomnoženo s to
isto števko x
2
, dalo število, ki bo zajelo ostanek, ki
ga nismo zajeli s prvimˇ clenom, tj. 100x
2
1
.
Utemeljitev algoritma zdaj posplošimo na kore-
njenje kvadrata n-mestnega števila. V tem primeru
sebomosklicalinanaslednjoenakost,kiveljazapo-
ljubnarealnaštevilainjolahkobralcipreverijospo-
moˇ cjo matematiˇ cne indukcije:
(x
1
+x
2
+···+x
n
)
2
=
n
X
i,j=1
i<j
2x
i
x
j
+
n
X
i=1
x
2
i
=
n
X
i,j=1
x
i
x
j
.
S pomoˇ cjo zgornje enakosti lahko kvadrat poljub-
neganaravnegaštevilapreoblikujemovnaslednjiza-
pis.
Izrek 1. (Enakost za roˇ cno korenjenje) Naj bo
x
1
x
2
...x
n−1
x
n
poljubno naravno število, zapisano
s števkami v desetiškem sestavu, kjer velja
x
i
∈{0,1,...,9} inx
1
6=0. Potem velja
(x
1
x
2
...x
n−1
x
n
)
2
=
=10
2n−2
x
2
1
+10
2n−4
x
2
·(2x
1
)x
2
+10
2n−6
x
3
·
·(2·(x
1
x
2
))x
3
+···+
+x
n
·(2·(x
1
x
2
...x
n−1
))x
n
.


P50(2022/2023)6
7
Dokaz. Levo stran izraza najprej preoblikujemo s
pomoˇ cjo prejšnje enakosti:
(x
1
x
2
...x
n−1
x
n
)
2
=

10
n−1
·x
1
+10
n−2
·x
2
+...+10
1
·x
n−1
+x
n

2
= 10
2n−2
·x
2
1
+10
2n−4
·x
2
2
+···+10
2
·x
2
n−1
+
+x
2
n
+2·10
2n−3
x
1
x
2
+2·10
2n−4
x
1
x
3
+···+
+2·10
n−1
x
1
x
n
+2·10
2n−5
x
2
x
3
+
+2·10
2n−6
x
2
x
4
+...
+2·10
n−2
x
2
x
n
+···+2·10
1
x
n−1
x
n
Sedaj moramo spretno združevati in izpostavljati.
ˇ
Clene združujemo tako, da izpostavimo enako dese-
tiško potenco. Poleg tega v i-tem koraku združimo
ˇ clene,kivsebujejox
1
,x
2
,...,x
i
. Natanaˇ cindobimo
desno stran izraza, kot smo želeli.
= 10
2n−2
x
2
1
+10
2n−4
x
2
·(20x
1
+x
2
)+
+10
2n−6
x
3
·(200x
1
+20x
2
+x
3
)+···+
+x
n
·

2·10
n−1
x
1
+2·10
n−2
x
2
+···+
+2·10·x
n−1
+x
n
)
= 10
2n−2
x
2
1
+10
2n−4
x
2
·(2x
1
)x
2
+10
2n−6
x
3
·
·(2·(x
1
x
2
))x
3
+···+x
n
·
·(2·(x
1
x
2
...x
n−1
))x
n
.
Iz dokazane trditve zdaj neposredno sledi pravil-
nost algoritma za korenjenje naravnih števil, ki so
popolni kvadrati. Ta algoritem lahko posplošimo na
algoritem za korenjenje realnih števil, katerih koren
ima konˇ cen decimalni zapis. Tako decimalno število
D pomnožimo z desetiško potenco 10
2k
za dovolj
velik k ∈N, da dobimo naravno število N, ki ga že
znamo koreniti. Da dobimo koren prvotnega deci-
malnega števila, torej
√
D, moramo
√
N le še deliti
z 10
k
. S tem smo utemeljili postopek za korenjenje
decimalnih števil, opisan na zaˇ cetkuˇ clanka.
Pozorni bralec je seveda opazil, da s tem nismo
utemeljili njegove pravilnosti tudi za iskanje približ-
kov kvadratnih korenov tistih števil, katerih koreni
nimajo konˇ cnega decimalnega zapisa.
Kotzanimivostpovejmo,dalahkonapodobenna-
ˇ cin izpeljemo tudi algoritem za kubiˇ cne ali višje ko-
rene. Postopekzakubiˇ cnikorenjedenimopredstav-
ljen tudi v Moˇ cnikovih uˇ cbenikih, algoritmi za ko-
rene višjih stopenj pa so za praktiˇ cno rabo prezah-
tevni.
Zakljuˇ cek
Poleg opisanega algoritma obstaja še precej drugih
metod za raˇ cunanje (približkov) korenov števil. V
dobi brez žepnih raˇ cunal so imele veliko vlogo (Ve-
gove) logaritemske tablice. Z njimi si lahko poma-
gamo tudi pri iskanju približka n-tega korena da-
nega števila s pomoˇ cjo obrazca
n
√
a = e
1
n
lna
, pri ˇ ce-
mer vrednost lna razberemo iz logaritemskih tabel.
Poleg metode z neskonˇ cnimi verižnimi ulomki in
Taylorjevega razvoja je zanimiva tudi Newtonova
numeriˇ cna metoda. Slednja sloni na iskanju niˇ cel
funkcije in temelji na odvodih, torej vsebini iz višje
matematike.
ˇ
Ceišˇ cemoniˇ clefunkcijef(x)=x
2
−a,
v resnici korenimo število a. Ta primer Newtonove
numeriˇ cne metode se imenuje Babilonska metoda,
tudi Heronova metoda, saj jo je grški matematik He-
ronvsvojemdeluMetrikaobjavilževprvemstoletju
našega štetja.
Pri metodi najprej ugibamo vrednost korena x
0
.
Natanˇ cnejšo vrednost korena dobimo iz izraza:
x
i+1
≡
a
x
i
+x
i
2
.
Dobljen približek nato ponovno vstavimo v zgornjo
enaˇ cbo, da dobimo še boljšega, in tako naprej do is-
kane natanˇ cnosti.
Zgoraj navedene metode korenjenja so bodisi ma-
tematiˇ cno zahtevnejše, saj temeljijo na vsebinah iz
višje matematike (neskonˇ cne vrste, limite, odvodi),
bodisi podajo zgolj približek. Algoritem, obravna-
van v ˇ clanku, pa operacijo korenjenja zreducira na
osnovni operaciji množenja in odštevanja, hkrati pa
je vsaka števka, ki jo na podlagi algoritma dobimo,
toˇ cna. Zavedati pa se moramo, da je algoritem v pri-
merjaviznpr. Taylorjevimrazvojemalinumeriˇ cnimi
metodami poˇ casnejši, zato sta slednji ustreznejši za
sodobna raˇ cunala.
Naj zakljuˇ cim, da je prispevek nastal na osnovi
raziskovalne naloge z naslovom Roˇ cno korenjenje,
ki sem jo v šolskem letu 2019/20 napisal pod men-
torstvommojeganekdanjegaprofesorjamatematike
TilnaŠetine, kijessvojiminasvetiinpredlogipripo-
mogel tudi pri nastajanju tegaˇ clanka.


P50(2022/2023)6
8
Nalogebralcu
1. Roˇ cno koreni:
(a)
√
2989441
(b)
p
9,8596
(c)
8
√
5764801
2. Poišˇ ci prvih 5 decimalnih mest
√
2.
3. Dana števila zapiši v obiˇ cajnem desetiškem se-
stavu.
(a) 1(23)4(56)7(89)
(b) (123)(45)(6789)
(c) (12)345(67)89
Literatura
[1] »Ruˇ cno« izraˇ cunavanje kvadratnog korena,
dostopno na http://forum.matemanija.com/
viewtopic.php?f=46&t=317, ogled 19. 5. 2023.
[2] Methods of computing square roots, dostopno na
https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_
of_computing_square_roots, ogled 19. 5.
2023.
[3] F. Moˇ cnik, Aritmetika za uˇ citeljišˇ ca, Kleinmayr &
Bamberg, Ljubljana, 1885.
×××
SLIKAKMATEMATIČNEMUTRENUTKU.
×××
EDMO 2023
A M D  L H
VPortorožujeod13.do19.aprila2023potekala
12. Evropska dekliška matematiˇ cna olimpijada
(EDMO). Na tekmovanju je sodelovalo 213 tekmo-
valk iz 54 držav (do 4 najboljša srednješolska de-
kletaizvsakedržave). Vkljuˇ cnozvodjiekip,koor-
dinatorji (ocenjevalci), prostovoljci, organizatorji
ipd. je bilo udeležencev dogodka 504. To je bil
najveˇ cji tovrstni dogodek v Sloveniji od leta 2006
naprej, ko smo v naši državi gostili Mednarodno
matematiˇ cno olimpijado.
Organizacija,potek
Evropska dekliška matematiˇ cna olimpijada (EDMO)
je namenjena spodbudi deklet k pripravi in udeležbi
namatematiˇ cnihtekmovanjih,sajjerazmerjespolov
nadrugihtekmovanjihzeloneuravnoteženo–deklet
je na olimpijadah, kot je Mednarodna matematiˇ cna
olimpijada,leokoli10%. EDMOdekletomdamotiva-
cijozapripravonatekmovanjanavišjiravnitersluži
kot dogodek, kjer si lahko dokažejo, da so sposobne
reševanja olimpijskih nalog. Poleg tega olimpijada
tudi pripomore k ustvarjanju prijateljstev med de-
kleti s podobnimi interesi, kar dekletom, ki na svoji
šoli med ljubitelji matematike morda vidijo le fante,
pokaže, da niso edine s tem hobijem. Poleg tega pa
lahkonaEDMOdekletaspoznajotudiuspešnemate-
matiˇ carke, ki jim lahko služijo kot vzornice.
Slovenija na EDMO sodeluje vsako leto od leta
2013. V teh letih je Slovenijo zastopalo 28 deklet,
nekatera celo trikrat ali štirikrat.
LetosjeEDMOorganiziralaSlovenijapodokriljem
DMFA Slovenije.