i
i
“Lavric-kongruenca” — 2010/6/1 — 9:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 4
Stran 193
Boris Lavrǐc:
OGREJMO SE ZA KONGRUENCE
Ključne besede: matematika, analiza.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/902-Lavric-Euler.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
/""-'-/"'' -''/'''" 1CI" 1"",
OGREJMO SE ZA KONGRUENCE
Lani je bil božič v petek in ker ni bil dela prost dan, poglejmo, če bo morda
letos drugače . Pri reševanju tega problema si bomo pomagali s pojmom
kongruenca (ujemanje, skladnost) .
Rekli bomo, da sta dva dneva kongruentna. če imata isto ime (nedelja ,
ponedeljek, ...). Na isto ime naletimo vsakih sedem dni, zato je število dni
med dvema kongruentnima dnevoma večkratn ik števila 7.
Zdaj pa k uvodni nalogi! Od lanskega božica do letošnjega bo preteklo
366 dni (letos je prestopno leto! 1. število 366 pa pri deljenju s 7 da ostanek 2.
Oba božiča tedaj nista kongruentna, pač pa je drugi dan (torej prva nedelja)
po lanskem božiču kongruenten letošnjemu, ki bo potemtakem v nedeljo in bo
seveda dela prost dan.
Problem smo rešili, kongruence pa zanj prav gotovo ne bi bilo treba uvaja-
ti. Toda ali se ne znajdemo marsikdaj v podobnem položaju? Pri določanju ure
v dnevu, merjenju kota pri vrtenju itd. Zakaj ne bi tedaj razmišljali bolj na
široko?
V vseh naštetih primerih smo šteli (dneve, ure Oo .) in se zato znašli v svetu
števil - celih, če priznamo tudi štetje nazaj. Torej ne bi bilo napak kongruence
vnesti v množico celih števil. Kako? Spomnimo se: drugi dan je bil kongruenten
tristošestinšestdesetemu . Zato bi rekli: števili 2 in 366 sta kongruentni . Pri
štetju ur pa ti dve števili ne bi bili kongruentni , saj njuna razl ika ni deljiva s 24 .
. Primera moramo torej ločiti. Mera za določanje kongruentnosti je bil v prvem
primeru teden (7 dni), v drugem pa dan (24 ur). Latinsko ime za mero je
modulus, zato bomo rekli: število 2 je kongruentno številu 366 po modulu 7,
zapisali pa 2 == 366 (mod 7). V drugem primeru zapišemo 2 't 366 (mod 24).
Ponovimo bolj splošno. Naj bo m celo število. Tedaj rečemo, da sta celi
števili i in j kongruentni po modulu m, če je njuna razlika deljiva z m, to pa
zapišemo krajše: i==j (mod ml.
Za konec snov utrdimo še z nalogami.
1. Lojze je ob treh popoldne sporočil Maji, da jo bo obiskal natanko čez
200 ur. Bo to popoldanski obisk?
2. Število 1987 je kongruentno 57 po modulu m, večjem od 200 in manjšem
od 900. Kolikšen je m?
3. Najprej sem bil obrnjen točno proti vzhodu, nato pa sem se nekajkrat
zavrtel za kot 10000 okrog navpične osi in obstal. Sem lahko zdaj obrnjen
točno proti zahodu?
Boris Lavrič 193