LIST Z MLADE
MATEMATIKE
OO FIZIKE
ASTRONOME
12DAJA DMFA SRS
A.
1.
~--I--=\---7IA
Rešitve na loge PIP - 2 ,
ka te re na~ j e pos lala
Nad a Si r c a i z slovenske
gi~ndzije v Kopru .
PISMA BRALCEV
Uredništvu Preseka!
v zadnji številki se m b r a l a , da vaš položaj ni rožnat , da je
morda celo ogrožen vaš obstoj. t a t o mi dovolite nekaj kritičnih
p ripomb , vendar le z namenom, da b i pomagala ,nam vsem obdržati
svoj matematični l.i e t :
Učim matematiko na osnovni šoli in menim , da bi moral prav tu
najti P~esek največ bralcev . Vendar pa moja " reklama" zelo malo
z al.e ž e , ·u č e n ci 6 . ra z reda v njem ne najdejo skoraj nič, le eno ,
dve nalogi , v 7. raz redu je podobno , v 8. razredu je nekoliko
bolje , a opažam, da ·t u d i tu naročajo list nekate ri učenci, ki
ga potem s p l o h ne prebe rejo . "-
Kaj v am t~ rej želim po vedati? Da bi si morali najprej med slo-
venskimi srednješolci in osnovnošolci iz računati p rocent možnih
naročnikov. S sedanjo ~težavnostjo" je Presek namenjen predvsem
srednješolcem od 2 . raz reda dalje - ti bi ga lahko b rali množič­
no. Med mlajšimi ust reza le redkim ljubiteljem . Ali vam de i e t vo i
da za nekatere naloge ne dobite nič rešitev , ne da nič misliti?
Presek bi moral biti tak list , da bi ga lahko brali vsi učenci,
če naj ima dovolj naročnikov in če naj nosi ~aziv "list za os -
novnololce i~ s rednješolce" . Poleg tega pa velik~prepisujete
iz revi j~ Matematički list, ki ,a učenci že poznajo. Vsebinsko
se v glavnem ujemata . Vendar paje Presek zdaj v svojih začetkih
vsebinsko le le veliko skromnejši od Matematičkega lista ali Ar-
himedesa . Če že kaj prepilete , dajte r a j e iz tujih časopisov, ki
našim šola rjem niso dostopni .
Seveda nočem zahtevati , naj Pr e s e k zniža svoj nivo , nasprotno ,
t rdim, da mora imeti tudi naloge sedanje težine . :oleg tega pa
p redlagam:
1) Dajte nam tudi kaj poljudno matematičnega (matematične zablode
iz z q o do o i ne , življe njepisi in zanimivosti iz ž{vljenja mate-
o •
matiko v , fizikov , ast ronomov ; kako naj se učimo matematiko s
129
Draga t o va r i š i c a Reboljeva !
Takoj, k o smo preje l i Vaše pismo , smo v uredništvu skleni li:
tole b o p a za uvodnik. Tako obširnega kritičnega in hkrati spod-
b udn e ga p i s ma še nismo do bili . Za ve d a mo se , da je Presek vč as ih
pretežak in radi bi ga približali tudi mla jšim b ralcem . Vaši
predlogi bodo izziv a vtorj em, da bodo napisali t o, kar naročn i k i
ž e l i j o brati. Uredni štvo ne de la č l ankov , l e zberemo jih , uredi -
mo , tehnično opremimo. Za to smo tembol j ve s e l i Vaše pripravljeno-
s ti za delovno s od e lova n j e . č impre j nam po š l j i te k a j zanimivega !
Se enkrat h va l a za p ismo. Kol iko so se nas kritike prijele, boste
s a mi presodi li po n asle dn jih številkah Pr e seka.
Tomo Pisanski in Pete r Petek
130
Spo š t o v a n i !
Tudi l e t o s deluje na naši šo l i matematičn i k ro žek . Naš mentor
je tov. prof. Višnja Davide .
Težišče našega programa j e reševanje zan imivih in tež j ih n a log;
tako se bomo počasi pripravljali na tekmovanja. Po leg tega smo
sklenili, da bomo vsako uro popestri li s k ratkim predavanjem iz
različnih področij matematike. Gradivo za naše delo bomo iskali
v različnih matematičnih zbirkah, revijah in l s i t i h ( Sigma , Mate -
matičko -fizički list , Presek , . . . ) .
V našem krožku se je porodila zamisel, da bi ses t av i li matema-
tično križanko in jo poslali v Presek. Na l o ge smo sestavljali vsi
č l an i krožka, zato so i z različnih področij in za vse štir i raz-
rede gimnazije.
Pozdravlja vas in vam že li še mnogo uspehov pri i z d a j a nju
lista
Mat emat ičn i krožek Sl o ve n s k e gimnazi je
Koper
Dragi krož karji,
vaše pismo nas je razveseLiLo. Prepričani smo, da bo vaše deLo
v k r o ž ku ob r o di l o dobre sadove. Kot kaže , je vaš program .p r e c e j
pisan. Za n i ma n as, k a t e r a pogLavja ste dosLej že obravnavaLi in
k a j i mat e v načrtu. Vi de t i je, da se ne bojite odvečnega matema-
tičnega znanja, ki ga ne boste mogLi neposredno vnovčiti na tek-
movanjih - in prav je tako!
Kr i ž anke , k i s te nam jo posLaLi , v taki obLiki ne moremo obja-
v i ti , saj je za večino srednješoLcev in seveda osnovnošoLcev pre-
t e žk a . Menimo , da b i biLa križanka boLj zanimiva, če bi biLa ges-
La s iaer težavna, vendar za reševanje ne bi biLo pot rebno znanje
e re dn ij e š o l-e k:e al.i. ce l o višje matematike. Upamo, da nam boste po-
prav Lj e no kri~anko k maLu p o s La l i in vas Lepo pozdravLjamo!
Spoš t o va no uredništvo!
Mate ma t i k a , f izika i n astronomija me zanimajo že odkar mi je
mama p red sedmimi leti kupi la sodobno i l ustrirano encikl oped i j o
" Znanost" . Od t edaj tudi s a m iščem manj zahtevno l i t era t u r o in
š i r im s voje ibzorje. Pose bno me privlačujeta a toms ka fizika in
astrofizika. Zato sem se ž e l a n i razveselil Preseka in sem vaš 131
redni br ale c . Rad pa bi t udi sam sode loval v n jem. Pošil j am vam
s es t avek o Presekovem znamenj u.
Pre j mi t e lep pozdrav
Andre j Grob~e r
, Dra~i AndreJ',
strinjamo s e s teboj. da je moderna [ia.ikai aredno priv~ačna
ananost. Nj eni uspe hi se kažejo na vseh področjih o~ovekove~a
udejstvovanja . Res pa je, da je aa pog~obtjen študi j moderne fi-
zike potrebno teme~jito poznati k ~ asi on o f i ziko in vetik kos ma-
temati ke.
Tvoj prispevek o Prese kove m znamenju j e zanimiv . Namer avamo
~a objaviti. t at pa bo morat počakati, dOK~er ne dobimo nasted-
njih podat kov : točnega nast ova, starosti. ime na šo~e, ki jo obi-
sKuješ, i aj ave, da nimaš žiro raču n a (a ti števi~ke žiro računa) .
To potrebu j emQ za vsa k prispeve k, ki ga v Preseku objavimo . Pro-
simo te, da nam poda t ke čimprej javiš in te ~epo pozdravtjamo .
.spoš to'Jani uNdnik!
V šol i - na naš i gi mna zi j i , pravzaprav 'J našem razredu, s i
sošolci zelo radi po s tavl jamo probl eme , ki jin zasledimo v tujih
in naš i h č asopi s ih. Tako j e neke ga dne "pr-i š.e L na danil tale pro-
bl e m; Z dVema premi Qama razreži pravokotnik , tako da dobiš dva
četverokotn i ka in dva trikotnika. Problem mi je zelo ugajal, za-
to sem se odloči l , da ga pOŠljem uredništvu . Ce se vam bo zdel
vreden i n nepoznan, ga boste lahko po s re do va l i še dr ug i m bralcem
našega Preseka .
Dra~i Dorjan,
skoraj vsi prob~emi, ki jih objav~ja Presek, so snani, saj je
tudi pitagorov iarek star že več kot 2000 t e t . Ke r pa so vsako
teto v sedmem raaredu drugi uaenai, je sanje noV. Gotovo bo tudi
tvoj pl'Qb~em aa mnoge l>ralqe pr·e$eka še neana>! in za>!imiV. E;na
od natog Preseka je tudi ta, da tahko vsak uaeneq ali dijak za-
stavi rrol>~em tisočem l>raloev .
13 2
MATEMATIKA
ZAČETNI POJMI NOMOGRAFIJE
5. Mreže
!@)\
V tret jem razdelku (Presek rr-1974/75, št.2 , str.6? ) smo
spoznali mrežni nomogram za procentni račun. Bistve~i sestavni
del tega, pa tudi d r u g i h nomogramov istega tipa, je mreža. V tem
razdelku si bomo ogledali nekaj posebno enostavnih mrež.
Kvadratna mreža. Kvadratno mrežo sestavljata dve družini pra-
vo ko t no se sekajočih vzporednih premic; v njej so presledki med
vzporednicami enaki. Papir karo, ki ga trgovine prodajajo v polah,
je pravzaprav k v a d r a t n a mreža, v kateri so presledki med vzpored-
nicami široki 5 mm. Nadalje prodajajo v trgovinah mi l i me t r s k i pa-
pir, k i je t udi kvadratna mreža ; v njej so pres ledki med vzpored-
nicami široki 1 mm.
Pravokot ~a mreža. Pravokotno mrežo sestavljata dve družini
pravokotno se sekajočihvzporednihpremic; v njej presledki med
vzporednicami prve družine niso enaki presledkom r e d vzporedni-
cami 'druge druž ine. Papir visoki karo , ki ga prodajajo trgovine
v polah, je pravzaprav primer pravokotne mreže.
Poleg teh najbolj e nostavnih tipov mrež uporabljamo v nomogra-
fiji še mreže raznih drugih tipov. Navajamo nekaj posebno pogosto
uporabljanih tipov mreŽ i n to takih, ki jih dobimo v trgov i nah.
Slika 1 kaže po l logaritemsko mrežo, ki jo prodajajo pod ime nom
pollogaritemsk i papi r. Slika 2 kaže logaritemsko mrežo, ki se 'pro-
daja pod im enom logaritemski papir . Slika 3 k a ž e polarno mrežo,
slika 4 pa trikotniško mrežo. V osnovi 1 35. strani j e na r isana
mreža štirih družin vzporednic.
Teh in podobnih mrež pa ne uporabljamo samo v nomo g r a f i ji , am-
pak tudi drugod, zlasti npr. v tehniki za risanje diagramov, v
statistiki za nazorno prikazovanje podatkov itd ..
13 3
Sl.1 Pollogaritemska mreža
-.
~~
"'"
,,-- \;
-'--, 7
L-O-
j ~ ~ II
I I;-
/ I." I-- -- / /./
Sl . 3 Polarna mreža
:±=-_ "g="~~~~*~1:0~ ~ r-tr- -~ - : • ~ •
u 1- -ti . I ~ •
~? t, Tlj
-Li
!-nI
ji
Sl.2 Log aritemska mreža
1'.
51.4 Tr ikot n i š ka mr e ža
Se d a j , ko poznamo mr e že , s konstruirajmo nek posebno enostaven
mre žni nomogram in sicer nomo gram za seštevanje dveh 8um andov .
Vzemimo obrazec :
x + y = z
134
REBUS
Alojzij Vadnal
REBUS
135
NEKAJ O RAZDALJI
Pojem r azdalje ima za različne l judi in o b razl ičnih p r i ložno -
s tih.različne pomene . Za p i lota je razd a l ja med toč kama zračna
razdalja, se pr a v i dolžina njune zveznice . Ce pa u s tav i mo a vto
ob cesti in vprašamo mimoidočega, kolikšna j e razdal ja med Ljub -
ljano in Ma r i bo rom, nam bo vsak odgovori l , d a j e od Ljubljane do
Ma r ibora 1 3 5 kilometrov . Teh 135 ki lometrov je precej več , kot je
z račna razda l ja med Ljub lj ano in Mariborom .
Tak i h p r imerov je mnogo . Denimo , da st a n u jemo v mes tu , v kate -
r e m so vse ulice r a vn e in se s ekajo le pra vokotna . Za prebivalce
tega mes ta dolžina zveznice med točkama (razen v primeru , ko toč ­
k i le ž ita na i sti ul ici) ni ustrezno merilo za r a zdaljo . Zanje je
razdalj a med točkama dolž ina n a jkrajše povezave med n j ima. Vsi ve -
mo, d a j e tak i h n a jkrajših povezav med danima točkama l ahko več.
Na sl . l j e n a r i s a n de l ulične mreže take ga mesta i n najkra jši po -
vezavi med križiščema A in B.
~tjBBD
B ·
C
[
I ~Jc:::J1 .JICJC
A I In IlIli
5 1. 1 5 1. 2
q
p
To le mesto i n njegove prebivalce sem navedel le zato, da bi la-
že razumeli nas l edn j o s i t uac i jo . I ma mo r a vn i no in na n j ej p remi c i
p in q , k i s e s ekata p ravoko t na . Na ravni n i i mamo š e točkas t de -
lec. Ta del e c i ma pose bno l astnost : iz rav ni n e ne more , po ravni -
ni pa se lahko p remi ka le vzporedno premici p ali premi ci q. Si -
cer pa lahko počne k a rko l i. Po dobnost z mes t om in ljudmi v n j e m
je očitna : pre bivalec mesta, ·k i n ima ravno h e l i kopt e r j a , mora pač
ho d i t i po ulicah . (Pra v tako dobr a je p r i mer j a va s trdn javo na
š aho vsk i deski.)
136
Narišimo s i s liko ! Na l i s t u p aplr]a po tegnimo premi c i p i n q .
Z ačetno l e go delca označ imo z A . Poskus imo se vž ive t i v po lo ž a j
naš ega de l c a . Ce j e B po l j ubna to čka na r avnini , j o d e lec goto vo
lah ko obišče . To lah k o s tori celo na neskončno načinov . Den imo ,
da je kdo d e lcu, k i se je odp r a v i l na pot o d to čke A do t očke B ,
nas k r ivaj obesil na hrbet pre l ukn jano vrečko s kašo - tako kot
kraljičn i v Ande rsenov i p ravl j i c i . Ko dele c p r ide v točko B, j e
za s abo pustil sled , k i ji pravimo ti r de lca med točko A i n toč ­
ko B .
Ti r de lca med t o čko A in točko B j e v sploš nem ne k a ve čkrat
pravokotno pre lomljena črta ( g l e j s l.2) .
Pojavi se vpraš a n je, kolik š na je do lžina na jkrajšega t i r a de l -
ca med dan im a točkama. Po t e g nimo skozi točko A vzporednico premi-
c i p i n s ko z i B vzporednico p r e mi c i q. Presečišče dob l jenih pre-
mic o značimo s C. (s l .3 ) Trdimo , da za de lec ni mogoče naj ti ti r a
med A in B , ki bi bil k rajši , kot je tir, sestavljen iz dalj ic AC
in CB. (Seveda pa v sploš nem t i r, sestavl jen iz daljic AC i n CB,
ni edin i najkrajš i t ir med A i n B. )
Vzemimo pol juben ti r na še ga de lca med točkama A i n B. Vsota
do lžin tis t ih d a lj i c v tiru, k i so vzporedne p remic i p, je očit ­
no večja ali kvečjemu enaka dolžini dal jice AC . Prav tako ugo to -
vimo , d a j e vsota do lž in da l jic , k i so v zpo redne premic i q, večja
a li kvečjemu enaka do lž ini dal jice CB. Sp lošno bomo dolž ino dalj i-
ce T 1T 2 ( kj e r st a T I ' T2 po ljubni točki na ravnini) označili s
~2' Tako l a h ko reč emo, da je dolžina najkrajšega tira za de lec
med točkama A in Benaka AC+CB. Delec z vso upravičenost jo trd i ,
da j e z a n j razd a l j a med dvema t o č kama do lž i na n a jkraj š e ga t ira
med njima. Da ne bo priš lo do zmešnjave, se dogovor imo takole :
" ra z da~ j a" ( v narekova j i h ) na j pome ni razdal jo , kot j o ra zume de-
lec ; razda ~ja b rez narekova jev pa navadno razdal jo med točkama
( dol ž i no zveznice) .
" Ra z dal j o " med t o čk ama A i n B bomo označil i z r(A ,B ), r a z dal j o
med istima točkama pa , kot smo že r e kl i , z AB . Situacijo na sl.3
l a h ko na kratko povz amemo tako le:
r (A ,B) = AC + CB
Denimo, da je naš delec int e li ge ntno bit je , ki ve nekaj o a rit -
metik i , nič pa o geometri ji. Delec ž ivi v ravn i n i. Za t o mu posku-
simo razložiti neka j po jmov iz ravninske geometri je, in to kar na
137
ravnini, po kate r i se g ib l je . Ker de lec vsakič , ko re čemo b e s edo
razdalja, razume " razdalja", na stanej o prav z a bavni nesporazumi.
Začn imo s k ro ž nico . Gotovo b omo delcu rekli : krožnica s sredi-
ščem v to čki A in polmerom a j e mno žica ( ge ometrijs ko mesto) točk
na ravnini, ka te r i h razdalja o d A je e naka a. Delec nam e sto razda-
lja sliši "razdalja" i n se l oti risanja " krožnice ". Po s ku s i mo u-
go t o v i t i , kakšna bo nj ego va slika. Nič h udega ne bo, č e pre mici p
in q vzporedno prema k nem o , tako d a se s e kata v t očki A ( sl.4).
I š č emo vs e tiste točke B , za kat ere je r(A,B)=a. Za točko B, ki
l eži na premici p ali na p r e mi c i q, j e o č itno r(A, B)=A B. Ce t orej
od točke A odmerimo na premicah p in q r a zd a l j o a, dobimo štiri
točke P, Q, P: Q: ki l eže na naši "krožnici" .
q
p
Q'
SI. 3 SI. 4
Na j bo zda j B poljubna to č k a , ki l e ž i desno od q i n nad p i n
za katero j e r(A ,B) =a. Potegnima skozi B vzporednico premic i q.
Presečišče dobl jene premice spremico p označ imo s C. Kot smo v ide-
l i , je r( A, B) = A~ +CB = a . Ker je t u d i AC+CP = a , j e CP=CB. Vemo ,
da je AP=AQ. Zato sta t rik o t n i k a PAQ i n PCB podobna . Od tod s kle -
pamo , da l e ž i t o č k a B n a zveznic i točk P in Q. " Ra z dalja" vsake
točke na dal j ic i PQ od točke A j e očitno enaka a . Tore j je tis ti
del "krožnice " , ki l e ž i desno od q i n nad p , natančno dal jica PQ.
Od tod takoj vidimo, da j e delčeva " k r o ž ni c a" ravno rob kvadrata
PQP' Q' (sl . 5) .
Te hniki bodo rekli , da je bi l naš poskus razložiti d c l c u , k a j
je krožn ica , čista polomija . Za tehnika res ni vseeno, a li so ko-
lesa pri avtomobi lu okrogla al i kvadrat ična. Hatematik pa se za
138
q
Q
p'
Q/
S lo 5
p
p
svinčnik
EE!P
~/
buciki
slo 6
t a ke ma lenkos t i vč asih ne zme n i . Ra vno na sprotno, vsakega p r a vega
ma t emat ika bo t a primer s po d bod e l , d a bo po skušal ugo to v i t i , kako
s i de lec pre d s tavlja še ka j d rugega .
Za e lipso so bral ci verj e t no ž e s lišal i . Ti s t im , k i j e n e po z-
n a jo , bern poveda l , kako j o na r iš emo . Lis t p a p i r j a po ložimo n a pod-
l a go i n z abodemo skoz e n j d ve buei k i . Po tem i z k o sa niti na p r av i mo
z a nko , j o na pnemo n a o b e bu e i k i in s v i nč n i k ter r išemo (sl . 6) in
p a z imo , da os tane nitka ve s čas nape ta . Do b i mo o v a l e n lik , k i g a
i me nu jemo eZ i psa .
Točki , v kat e r i h s ta zapičeni b u e i k i , i me nuj emo g o rišč i e lipse .
Odš t e j e mo o d do lž i ne n i t i do lž ino z ve z n i ce med go riščema . Po l o v i -
c a dob l jene ga št e vi la se im enuje ve Lik a poZos el i pse . Rečemo lah-
ko : e lipsa z gorišč ema Gi ' G2 in ve l i ko po l o sjo a j e množ ica točk,
z a k a te re je vsot a r a z dal j od točk Gi i n G2 enaka 2a . Ug an imo , k a j
bo n a podl a g i t e g a stavka nari s al d e lec ( ki besedo razd alja r a zu -
me ko t "razdalj a ") . Tis temu , k a r bo nar i sal , rec i mo "eZi psa". Da
bo stvar lažja , i z b e r i mo gorišč i Gi i n G2 t a ko, d a l e žit a n a pre-
mic i p i n d a p r emica q po t eka s ko z i Gi ' Oz nač imo G1G2 = 2e . I š č e­
mo t o r e j t a ke točke A , da j e r( G
1,
A ) + r ( G
2,
A) = 2a . Vz e l i bomo
tudi , da je a>e . ( Če j e a<e , l ahko h i t r o po kaže š , da n i no be ne toč­
ke A , za kate r o b i b i l a izpo l n jena e n a ko s t r (~l ,A ) + r( G2,A) = 2a . )
Sko zi to čko G
2
potegnimo vzporedn ico premic i q i n jo o z načimo
s q ? (s 1 .7) .
Na j bo B po l j ubn a toč ka , k i l e ž i n ad p te r med q i n q' i n z a -
došča enačbi r( G
1,
B) + r( G
2
, B) = 2a . Po tegn imo sko z i B vzpo re d nico
139
premi c i q i n p resečišče dobljene p remice spremico p označ imo s
C. Takoj vid imo , d a j e r ( Gl , B) = G1C + CB in r ( G2, B ) = CG 2 + CB.
Ker j e G1C + CG 2 = G1G2 = 2e , j e 2a = r(G l , B) + r ( G2 ,B) = 2e +
+ 2CB. Ta ko j e CB = a - e . Del " elips e" , ki l ež i med q i n q > i n n ad
p, j e t o re j dal j i ca , k i je v z po r e d na da l j ic i G1G2 i n j e za a-e nad
njo .
Na j bo A to čka naše " e Li p s e " , k i Le ž i, d e s no od q' i n nad p
( sl. 7) . Spus t i mo i z A p ra voko t n ico na p r emico p i n preseč išče obeh
pre mic o z nač imo z D. Potem j e r ( Gl, A) = G1D + DA = G1 G2 + G2D +
+ DA = G1G2 + r ( G2 ,A) . '.lako j e 2a = d Gl' A ) + r (G2 ,a) = G1G2 +
+ 2r ( G2 ,A ) = 2e + 2r (G2 ,A ) . Od tod v id imo , d a j e r( G2 ,A) = a -e .
Točka A l e ž i to r e j na " kro žni c i" s sred iš č em v G
2
i n polmerom a- e.
De l " k r o ;:n i c e " , k i l ež i desno o d q ' i n nad p , p a z n amo na risati.
Odme r i mo od t oč ke G2 po premic i q > navzgor raz d al j o a -e t e r o d G2
po p na desno e nako r azd a lj o i n dob l jen i točk i zve;:emo . l d a j igr a -
j e l a hko nari š e mo ce l o " e l ipso " .
q q'
q q'
~ --
l!______
1', A
a -e r'-,
45~
G j C G2 D P P
51. 7 51. 8
Dokončno po do bo naš e e l ipse l ahko vidit e na s l iki 8.
Tr et j a s tva r , s kate ro se bomo s popri j e l i , je parabo l a. Ime j mo
na n as~ ravn in i premico s in tOČko F , k i ne l e ži na p r emi ci s . Pa-
r ab o La z go riščem F i n v odnico s j e množi ca to čk ( na r a vn i n i ) , k i
s o e nako odd a l jene od p remice s i n t OČke F . T ip ič no parabo lo i ma-
mo na s l i k i 9.
Za naš dele c j e "ra zdalj a " med točko A i n p remi co s dolžina n a j -
kra jšega tira , ki se začne v A in konča na s . O z nač i mo "raZda l jo "
med p remico s i n t očko A z r ( s , A ). Dele c bo d e f i nic i jo parabol e
r a z ume l t a kol e: " p a r a bo l a " z vod nico s i n gorišč em F j e mno ž ica
tak i h točk A , d a j e r( s ,A) = r( F, A). Poj dimo gl eda t , k a j p ravz a -
140
prav j e ta " p a r a bo l a" . Vzemimo , da je premi ca s kar premica q i n
d a premica p poteka skozi točko F .
Presečiš če premic p i n q označ imo z R . Sko z i F potegnimo vzpo -
r e d n i c o premici q in j o označimo s q'. Naj bo T razpo l o v iš če da -
ljice RF. Točk a T go t ovo leži na " p a r a boli", s a j je r (s, T) = r (F ,T ) .
Označ imo TF = e . Naj bo A točka na " para bo li" i n na j A l e ži med
q in q' te r nad p . Spu s t i mo sko zi A vzporedn i c o premici q . Presek
do b l j ene pr e mi ce s p označimo z D ( s lo 10) . •
Ker je r(s, A) RD in r(F,A) DF+DA, mora biti RD DF+DA.
Upo š t e va j mo , d a j e RD +DF = 2e i n da . j e RD = e + TD , pa v idimo , d a
- l-j e 1'D = 2" DA. Naj bo P t ista t oč .ka na premici q' , ki l e ži n ad F
s
R
q q'
p
A
I
/
I
/
I
T D F
TF :FP = 1' 2
RT=TF
p
S lo 9 5 1. 1 0
s
F
S lo 11 Slo 12
141
i n Zq kqte ro j e PF = 2a. Ker j e r qzmer je TF: FP = 1: 2 TD:DA , stq
t rikotnikq TDA i n TFP podobnq . Od t od sklepqmo, dq A l e ži nq dq-
ljici TP . VSqk q t očkq dq l j ic e TP j e se vedq nq "pqrqbo l i ". Tist i
de l " pqrqbole", ki l e ži desno od q' i n na d p , Pq j e kqr po l t r qk ,
ki je vzporeden p in se začne v P . (To bodo bralci zlahka ugotovi l i )
Pqr qbo l q j e nqri s anq nq s l ik i 11 .
Zq konec š e dve nqlogi.
1) Nqj bost q A in B rqzlični to čki nq nqš i rqvni ni in a neko po -
zit ivno št evi lo . Poi š čimo vse t iste t oč ke C nq rqvn i ni , Zq kqte -
r e je IC = BC = a l Nqjdemo l qhko dve točk i, eno točko ql i Pq no-
bene t qke t očke (o t em s e lqhko t qkoj prepri čaš). Kqkšne ob l ike
Pq je vs e lahko množica taki h točk C na ravn i ni, da je r (A ,C ) =
l'( B, C) = at
2 ) (Ta na loga je pr ime rna p red vsem za srednješolce . ) HiperboZa z
90ri '~ema G1 i n G2 in veliko po lo sjo a j e množ ica točk , za ka-
tere j e razli ka razdalj od točk G1 in G2 (zmera j odš tevamo
man j š o r azdal j o od večje ) enaKa 2a. Tipična hipe rbola j e nari-
sana na sl i ki 12. Po sku s i ugot ovit i, kaj bo namesto hi pe r bole
nqri sal na š del ec (ki je na mesto razda l j a r a zumel "raz dalja").
Razdal jo med goriščema o znači z 2e. Da bo s tvar lažj a, privz e -
mi , da goriš č i G
1
i n G2 l e žit a na prem i c i p i n da je a<e.
Pe ter Leg ii1a
NA.RIŠI Z ENO POTEZO
Sli~o, ~i te spominjq na ge-
ometrijski pomen Pitagorovega
izreka, nariši z eno potezol
142
o DELJ I VO S T I NEKATERIH ŠTEVIL
Do s t i k r a t s e vp r aš amo , če j e n e ko nara vno š t e vi l o de l j i vo z
nek im dr ugim naravnim š te vi lom . Ali j e npr .
35 . 47 . 93 - 1
de l j ivo z 8 ? Nihče nam ne brani , d a zgornje š t e vi l o re s iz računamo
35·47 · 9 3 - 1 = 1 529 84
i n nato r ezu l t at de limo z 8 . Ke r se d e l jenje iz ide , j e š tevi lo
r e s de l j i vo z 8 . To pa b i l a hk o ugotovili tud i d ru gače , ne da bi
š te vi l o s p l o h iz računali. Ka ko ?
Na jpr e j delimo število 35 z 8 , r ezultat j e 4 , os tanek pa 3 ,
torej j e 35 = 8 · 4 + 3. En a ko dobimo 47 = 8 · 5 + 7 i n 9 3 8 ·11 + 5 .
O z nač imo a=4 , b=5 in e=ll , p a dobimo
I zračunajmo
35 = 8a + 3 47 = 8b + 7 9 3 = 8e + 5
35· 4 7 = ( 8a+ 3 ) ( 8b+7) = 6 4a b +24b +56a +2 1 = 8d + 5.
Pri tem smo' o z nač il i d = 8ab +3b +7 a +2 . Končno dobimo
35 ·47· 9 3 - 1 = ( 8d +5 ) ( 8e +5 ) - 1=
6 4d e +4 0e +4 0d +2 4 = 8e
Pri t e m s mo o z nač i l i e = 8de +5 e +5d +3. Ta ko s mo ugot ovi l i , d a je
dano š te vi l o r es de l j i vo z 8. Preve rimo še na i sti nač in , d a je
š te v i l o 2 1 9 2 _ 1 de l j ivo s 7 ! Očit no je
Ke r je 8 =7 +1 , j e 8 2 = 7 2 + 2·7' 1 + 1 2 = 7a + li nada l j e je
(8 2 ) 2 = (7a+l)2 = 7 2a 2 + 14 a + 1 = 7b + 1
Br a le c na j sam n a pravi na sle dnjih ne kaj k o rakov , dokler ne dobi
(((( 8 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 = 7 e + 1
i n končno
Za va j o p r e ve r i , d a j e:
a ) 55; 34 ·26 - 5 de l j i vo s 3 i
b ) 38 ·39 ·41 · 4 2 + 1 de ljivo s 5;
c ) 2 1 6 + 2 de l j i vo z 9 ;
č ) 3 3 2 - 1 de ljivo s 4 .
Ma t j aa Om l. adi č
143
OB STODVAJSETLETNICI SM R TI K. F. GAUSSA
Pre d stodvajs e timi leti je umrl
eden naj več j ih ma tema tikov vseh ča­
s ov K. F.Ga us s. Rodi l s e je 30. apri -
la 1777 v Brauns c hwe i gu v Nemčij i ,
kot s i n siromaš n i h s tarš ev . Svo jo
iz r e dno nada r jenost j e pnkazal že
~elo z goda j . Pri dveh l e t i h je že
z nal brati in računat i. Ko je neko
soboto n j e go v oče delal tedenski
obračun za delavce, je nj e govo ra-
čunanje budno s premljal mali Gauss .
Tako j , ko j e oče nare d il napako ,
g a je nan j o opozoril sin, k i tedaj
še ni d opo l n i l tri leta . I z r e dno
spo sobnost računanja na p ame t j e
o bdržal vse življ enj e .
V o s nov no šolo j e z ačel hoditi,
ko je do po l n i l sedem l et Nekoč je
njego v učitelj Butt ne r v r uzred u zast&vil tol e na logo : Po išč it e
v soto 1+2+ 3+ . . . +3 9+40! Mladi Gauss , k i t e daj še n i . vede l z a arit-
metično zapore d j e , s i j e v glav i z a mislil t o l e s hemo :
1 + 2 + 3 +
+ 40 + 39 + 38 +
41 + 41 + 41 +
+ 18 + 19 + 20 +
+ 23 + 22 + 21
+ 41 + 41 + 4 1 = 20x4 1 820
Na svojo tabl ico, t akrat v osnovn i šol i š e riiso upo rabl j a l i zvez -
ko v , j e z ap isa l eno s amo š t e v i l o : 820 ! S tem j e seveda d ale č
prekos i l vs e s vo je sošo lce in prese netil učitelja . Ta dogodek mu
j e od prl vrata v matematični svet . But t ne r mu je pok l o ni l ne kaj
tedaj najboljših aritmetičnih knj ig , k i jih j e ml ad i Gau s s k a r
po ž i r a l . Pri t em br an j u se mu j e os t r i l in r azvij al kr i t ičn i ma~
t ematični duh . Ml ad i Gauss p a j e pokazal tud i vel iko z a n im a n je
i n nadarjenost pri u čenju klasični h j e ziko v. Kas ne je j e svoj~ naj-
večj a de l a napisal prav v l atinš čini. V s tar os ti od petna js t do
osemna j s t let j e prede l a l naj v a žnej ša dela, k i so jih napisali
Newton, Euler, Laplace in La grange. Ko se je l eta 17 95 vpisoval
na univerzo v Gč tt inge nu , se še v edno ni mogel od loč i t i , ali bo
144
mat er..ati k ali filolog . Ko pa se mu j e 3 O. marca 1796 posrečilo do-
kazati, kda j j e mogoče ko nstruir a ti pr av i l n i mno go ko t n ik zlihim
š t ev i lom s t r an i c z u porabo r a vn i la in šes t i l a , se je dokončno o d -
ločil za ma tema t iko. Tr ideset i ma rec j e b i l pre lomni dan v nj ego-
vem življ enju. Istega dne je tudi z ač el voditi s voj z n a ns t v e n i
dnevnik, k i j e e d e n naj dragoc e ne j ših d o kume nt o v v zgo do v i n i ma -
tematike. Vanj je vp i s o val k r a tke be l ežke o rezultatih svojih raz-
isk o vanj . Ob j avl j a l pa je l e povsem d og na n a in t ehtna d e l a , vse
dr ugo j e ostalo v njegovi b e l ežk i ozir oma v njegovi gl avi . Ce b i
ob j av i l vs e , k a r je vede l, bi bi l a mat ema t ika prehitela svoj raz-
voj za kakih pe tde s e t l et. Vel ikima matema t ikoma Abe l u in Jacobi-
ju s e ne bi bilo treba trLdit i, da b i odkr i l a ti sto, kar je Gauss
vedel že pre d njun im rojstvom. Leta 17 98 je dovršil svo)e veliko
delo s področj a teorije š t ev i l DISQUI SI TIONES ARITHMETICAE , ki je
š e danes ena najimeni tnej ših matematičnih k n j i g. Dot iskana je bi-
la leta 1 801 v Leipzigu. Svo je dru go veliko delo je objavil l ~ta
1809 z naslovom: Teori ja gibanja ne be snih teLes, ki krožijo okrog
sonca . Ce bi bil Gauss objavil odkritje, ki ga j e zaupal v pismu
svojemu prijatelju astronomu Be s s e l u leta 1811, bi bilo to leto
za razvoj matematike prav tako pome mbno , kot je bilo leto 1 8 01 ,
ko j e i z šla Disquisitiones arithmeticae. Ko je veliki Gauss v po -
polnosti doumel kompleksna š tev i l a , se je namreč lotil problemov
o funkciji komp l eks n e spremenljivke. Odkril je marsikaj na tem
področju , k ar j e po njego vi smrti razkril njegov dnevni k in k a r
s ta morala ponovno odkriti Cauchy in Weierstrass. Naslednje leto
je objavil veliko razpravo o hipergeometrijskih vr s t a h .
Gauss je veliko prispeval k razvoju geometrije, uperabi mate-
matike v geodeziji, Newtonovi gravitacijski teoriji in elektro-
magnetiz mu. Bil p a ni samo velik teoretik, temveč tudi spreten
e ksperimentator in izumitelj. Mej jrugim je leta 1833 izumil
električni brzojav.
Z znanostjo se je ukvarjal ~se življenje. Njegove ustvarjalne
strasti ni mogla prekiniti niti težka bolezen. Umrl je 23.febru-
arja 1855 v Gčttingenu zaradi srčnega obolenja in vodenice .
V matematičnem svetu bo zaradi svojih del ostal nesmrten , v
zgodovino matematike pa je prišel z nazivom princeps mathemati -
corum - vladar matematikov.
Marijan Vagaja
145
PRE S E K - list za mlade matematike, fizike in astronome
(1974/75) številka 4., strani 129 - 192.
VSEBINA
P IS~ffi BRALCEV - (Vanda Rebol j, And r e j Grobler, Dorjan Marušič -
'l'Ol'lO Pi s a ns k i , Peter Petek , Jože Ko t.n Lk ) 129
111\ 'l'El1ATlKA - z ače tn i pojmi no n-oqra f i j e 5 .d . (Alojzij Vadnal) 133
Nekaj o razdalj i (Peter Legiša) 13 6
Na r i š i z eno potezo (Franci Oblak) 142
O de l j ivos t i (Matjaž Om l adi č ) 143
Ob 120 l etnici s mrti K. F .Ga us s a (Marijan Vagaj a) 144
FIZ IKA - Jurčkova radovednost in s vetloba (Rudi Klaanik) 147
ASTRONOMIJA - Sodobn a astronomi ja (Andrej Čadež) 151
BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES - Rebusi (Pavel Gregorc) 160, 162
Obračanje končnih z ap o r edij (Vladimir Batagelj) 166
Halce neresno (Dušan Re povš ) . 16 8
Zrcalce, zrcalce na s t e n i ... (Danijel Bezek) 169
PRElUSLI I N REŠI - (Jože Dove r ) 170
Kda j bo ura s pet ka zala natančen čas?(Jože Dover) 171
RA ZGOVORI - Razgovor s prof.Kladnikom (Dušan Repovš) 172
NALOGE - TEKMOVANJA - Zvezno tekmovanje mladih matematikov in
r ešitve na l og - Tuzla 74 (Bogomila Kolenko) 175, 177
Še nekaj kratkočasnic (Dušan Repov š ) 17 6
Na loge za osmošolce (Biserka Miko š ) 17 9
Dve vprašanji (Dušan Re povš ) 181
š t i r imes t no število (KOD ) 181
MATEl1A'l'IČNO RA ZVEDRIL O - St anko in Peter se lovi ta ("Cifra") 182
Naloga o p r ome t u (Franci Oblak) 184
Kak o dokažemo, da je vsak t r i ko t n i k enakos tran ičen
(Vladi mir Batagelj) 186
Matema ti čna izpolnjevanka (Pavel Gregorc) 187
Pr ob l em s kartami (Andre j Kuzma n ) 188
Vabimo vas v društvo (Ciril Velkovrh) 18~
Občni zbor društva (Bogomila Kolenko) 189
Stvarno kazalo Pr e s e k a .!. (1973/74) (Ciril Velkovrh) 190
Ob 85 letnici p r o fe s o r j a dr. Lava Čermelja (Marijan Vagaja) 19 2
Jože Povšič, Bibliografija Jurija Vege (Ciril Velkovrh) 192
Na ov i t k u : l.str.: Rakova meglica je ostanek zvezde, ki je eksplo-
dirala. Eksplozijo so opisali kitajski astrono-
mi, ki so jo opazovali leta 1054. Zvezda je sve_
tila nekaj tednov tako močno, da so jo lahko o-
pazovali celo podnevi. V sredini oblaka je vid-
na neznatna zvezda, ki je ostanek sredice prvot-
ne zvezde. I~kazalo se je, da je to pulsar (nev-
tronska zvezda), katerega svetlobna moč utripa
s frekvenco 30k r a t v sekundi.
2.str.: Rešitev naloge PIR - 2 (Nada Širca)
3 .str.: Pode l i t e v diplome prof.dr.Lavu Čermelju
Bib l iogra fi j~ Jurija Vege
4.str.: Trdi kvad r a t i (Matjaž Omladič)
146
FIZIKA I I
JURČKOVA RADOVEDNOST IN SVETLOBA
Jurček j e rado veden fant. Ce se zapiči v kakšno stva r , ~i nih-
če varen pred njim . Vse hoče z vedet i , z lepa ne odneha . Že nek a j
časa ga muči vp rašan je, k a j j e s ve t l o ba. Vpraš a mamo : Mama, kaj
je s ve tL oba ? Kako nas tane svet Lob ni žare k? Mama po z n a Jurčka. Ve,
da mu mora odgovorit i .
" S v e t Lob a j e tis to, k a r prihaja od Son c a. S ve t Lob a omogoJa,
da Lahk o vi di mo p r edmete iz okoLice . S ve t Lob a nas t udi gre je . Če
ni sve t Lobe , rast Li ne n e more jo rast i. Toda JurJe k , raje povpra-
laj oJe t a, on t i bo veJ p o veda L! "
" OJ e, p r osim, r ae l.o ž i. mi, kaj je e ve t l.ob a t Tako rad b i z ue de l.,
ka k o nas t ane svet Loba! In . . . " Toda oče ne utegne . "Sine , tu imal
k n jigo , v njej j e vs e r a z Ložena o s ve t Lobi . Pre Listaj jo in po-
ilJi v nje j , ka r te zani mal Se dajL e nimam č aS a , da b i s e na doL-
go pogova r j a L s tab o. V e l.u žb o moram!" Jurček j e hotel ugovarja-
t i, pa j e bilo že p r e pozno . Vrata s o se že zapr l a za očetom.
Jurček je ž e spoznal , da s o starej š i ljud je vč asih č udn i in da
s e ne radi pogovarjajo z o t roki . Tud i tovariš v š ol i večkrat po z a -
b i , d a j e bi l tudi s a m o trok. A Jurč ek ne bi bil Jurček, če b i
do lgo vzd i hova l . Kor a jžno se je l otil kn jig e . Listal je po njej
in si o g ledoval sl ike . Končno j e naše l n e kaj stavkov o s vetlobi,
k i s o pritegni l i n j e go vo pozor nos t. To so bil i kra t ki , suhoparni
s t avk i , napi sani b re z ljub e z ni. Avtor p r av got ovo ni mislil, da
bo do izpostavljeni rado vednim otroškim očem . Jurč ek je bral po -
časi in p o zorno :
. . . . . . . . • Svetlob a j e posebna obl ika e nerg1 Je ("Energija ?? Aha ,
to je t i s t o , k ar Lahk o n ekaj napravi!") , k i po t u je s kozi brez-
zrač n i p ro s to r s hitrostjo 30 0 . 000 krn/ s . ("Fant, to je brzina!
Ve ni s e kun di s ve t Lob a n apravi 300.0 00 kiLometrov doL go pot, sko-
r a j toLikš no k ot j e od Zem Lje do Lun e ! " ) Sn o v , k i vs rk a s ve t lobo ,
se se gre je ; lahko se tudi kemično s p reme n i . Klor o f i l v z elenih
rastlinah vsrka s vetlobo in s tem omogoča s p a j a n j e moleku l vode
in moleku l ogljiko ve ga d i oks ida v mole kule o rga n ski h s nov i . Svet -
147
loba porjavi človeško kožo, uničuje drobne bacile in mikrobe.
Svetloba odriva telo, ki ga obseva. V fotoelementu se svetloba
deloma pretvarja v energijo električnega toka. Različni pojavi
tako kažejo, da se svetloba lahko spreminja v različne energije,
da je torej svetloba neka oblika energije.
Veliki fizik Isaac Newton je sklepal, da je svetloba sestav-
ljena iz majhnih kroglic, ki se zelo hitro gibljejo. Energijo
svetlobe je imel za energijo gibanja kroglic. Drugi fiziki so
raje verjeli, da je svetloba valovanje. Poznali so zvočno valo-
vanje, ki je ravno tako potujoča energija, le da se ne more ši-
riti skozi brezzračni prostor. Energija se lahko prenaša tudi z
valovanj em. S predpostavko, da je svetloba valovanje, so lahko
razložili vse pojave v zvezi s svetlobo. V začetku niso vedeli,
kakšno valovanje je svetloba. Kasneje so odkrili elektromagnetne
valove. ("E-eZektromagnetni vaZovi?? Le kaj Je to?" Jurček je
vedel, da elektrika trese, da magnet privlačuje druge magnete in
da se valovi širijo, toda o elektromagnetnih valovih še nikoli
ni slišal. Ker nikakor ni mogel razumeti, kaj beseda elektromag-
netni valovi pomeni, se je odločil, da jo bo preskočil. Tega mu
niti ne smemo zameriti; mnogi starejši in bolj učeni ljudje kot
Jurček delajo enako.) James C.Maxwell je teoretsko raziskal elek-
tromagnetne valove. Ugotovil je, da se vsi elektromagnetni valo-
vi širijo enako hitro kot svetloba. Ker imajo elektromagnetni
valovi in svetloba podobne značilnosti, je kmalu prevladalo pre-
pričanje, da svetloba ni nič drugega kot elektromagnetno valova-
nje.
Poznamo več vrst elektromagnetnih valov, ki se razlikujejo v
valovni dolžini. ("VaZovna doZžina? Aha, v radiu večkrat sZišim,
da Radio LJubZJana oddaja na vaZovni doZžini 327 metrov!"). Elek-
tromagnetni valovi z največjimi valovnimi dolžinami so radijski
valovi in mikrovalovi; njihova valovna dolžina meri od več kilo-
metrov do milimetra. Nekaj manjšo valovno dolžino imajo toplotni
valovi ali infrardeče sevanje: od milimetra do 0,8 mikrona (1 mi-
kron je milijonti del metra). Svetloba so tisti elektromagnetni
valovi, ki jih človeško oko lahko vidi; to so valovi z valovno
dolžino od 0,8 mikrona do 0,4 mikrona. Oko razlikuje svetlobne
elektromagnetne valove različnih valovnih dolžin kot barve. Svet-
loba z valovno dolžino okrog 0,8 mikrona je rdeča. Oranžna svet-
loba ima nekoliko manjšo valovno dolžino, rumena še manjšo; slede
148
zelena in mod r a s ve t l oba . Od vseh svetlob i ma vi j ol ična sve t loba
n a jm anjšo valovno dolž ino , ok r o g 0,4 mikrona. Pole g svetlobe po-
zn amo še ultravijolično s e v an je z valovno dolž ino , k i j e man] sa
od 0,4 mi krona . Se manjšo valovno do l žino ima r e nt gensko sevanje
i n sevanje ga ma .
Č e obravnavamo s vetlobo kot e lektromagnetno va lov a n j e, lah ko
po jasnimo , k ak o sve t loba p re haja s koz i s nov, kako se odb i j a in
lomi, kako s e uklanja na ovirah, kako se s vetlobni curki sest av-
ljajo in tako dalje . Toda Narava je i zdal a še neka j znači l nos ti
svetlobe, k i jih ne mo r e mo razložiti s tem prepros t im pr ivzetkom.
Sve t l ob a i z bi j a i z ko v i ne e lektrone ( n p r . v fotoce l i c i) . Podrob-
nost i v zvezi s t em pojavom lahko po j asn imo le , če vz a memo, d a
s ve t lob a pada na površ ino kovine v ločenih energi jski h k a p l j i cah,
k i posamično izbijajo elektrone iz kovine. Torej energi ja svet lo-
be p r i h a j a v dro bcih , v paketkih energije. Drobci, k i s e s tavl ja-
jo sve t l obo in drugo elektromagnetno sevanj e, se imenu je jo f o t o-
ni . Predpostavljamo, da svetlobo določene valovne do lžine s e stav -
ljajo enaki f otoni, to j e, da je svetloba določene barve sestav-
ljena iz e nakih e ne rg i jski h drobcev. Več sve tlobe pomen i več fo -
tono v . Ene rgi j a pos a me z n i h fotonov je o dvisna o d valovne do lž i ne
svetlobe oziroma elekt r omagnetne ga va l o v a n j a ; je tem več ja , čim
kraj ša je valovna dolžina. Fotoni vijolične svetlobe imaj o pri -
bližno dvakrat t olikšno energijo kot fotoni rdeče svet lobe. Fo -
ton i elektromagnetnih valov z z e lo ve l iko valovno dolžino (npr .
fotoni radij s kih val o v ) im a j o zelo ma j h no energijo. Nasprotno j e
energij a fotonov velika, če je valovna dolžina valovanj a maj h na,
kot n a primer pri s evanju gama .
Fotoni ko t delc i energije elektromagnetnega valovanj a pot uj e-
jo le s svetlobno hitrost jo 300.000 krn/s, mirujočih f o t o no v ni.
Brž ko s e foton ob oviri ustav i , preneha obs tajat i; njegovo e-
nergijo prejme o v i r a .
Zakaj lahko s vetlobo predst avimo kot elektromagnet no v a lova-
nje in kot tok fotonov, bo j asno šele, ko bomo raz iska li , kaj so
f otoni, iz česa so narejeni . .........• . .. •... ..... .. .. • ...... •.
J urček se je z muko p r ebi j a l od s t a vk a do stavka . Težk i s t a vk i
so t lači l i nj egovo radovedno st in j o ub i j ali , ž e j e mis l i l odne -
hati. Zadnj i pre brani s t a ve k pa je znova pre budi l n jegovo zanima-
nje . Znans tve n ik i to re j še ne poznaj o f otono v, čeprav so že ve li-
149
.-. .... .. . '.. , . . ..' . ,. . . . '.,: .. . . . '.' ...' : ·t·· '': ·
ki i n p ame tni! Sp loh ne vedo , ka j j e pravz ap ra v sve t loba! On s a m
bo t o r a zi s kal! !
Ve s o d ločen j e s t e k e l k mami: " Mama. k a jn e . da t u d i o~e ne v e.
k a j so fo ton i ?" Ma ma je b i l a ž e ut r u j e na.
" Le kje stakn e š t ako ~ u dn e b es ede ! Še zb oLe L boš . Poj di v so-
bo in s pravi s e k doma~ i naL o gi! Dane s s e sp Loh še ni s i u~i L ."
" S a j s e m se r avno k ar u~iL !"
"P a p ovej . k a j je p rese~na mnoli c a ! "
" No dob ro . le g r em . "
Odše l j e v sobo i n odpr l t e žk o a ktovko . Raz vrst i l j e zvezke
po mi z i t e r s e l ot i l n a l og , ki jih je mora l naprav i ti do n a s l e d -
n jega dn e. Toda f o toni so s e mu s t a l no motali po g lavi , da se j e
p r i na logah ve č krat z mot il. Le kakš n i so f otoni?
Zvečer j e v postelji še vedno razmiš l j a lo foton ih . Gledal j e
v z ve z dn o no č, ki j e skozi odprto okno si lila na n jegovo postel jo .
Ka j pa , če so f oton i zelo , ze lo majhni ptički , ki švig a jo sem ~ er
tja? J určkova domiš lji j a se j e počas i os voba jal a, zdrkni la j e sko-
zi okno in vs a sproščena švignila proti nebu .
Jurčku s e j e san j a lo , o f o t on i h , se veda .
Rudi KLadnik
150
ASTRONOMIJA
SODOBNA ASTRONO MIJA
2e od nekdaj so imeli l j u d j e zvezde za del svojega sveta . Ve-
čina opazovalcev je postala pozorna na nespremenlj iv r azpored
zvezd . Spočetka so videl i v nj e m delo bogov. Mis lili so tudi, da
bi razkrili univerzalno h armoni j o sveta, če bi razvozlali razpo -
r ed zvezd. Kome t e , sončne mrke in p odobne redke dogodke so veči­
noma imeli za posebna sporočila bogov . Zato so začeli l j u d j e ze lo
zgodaj opazovati nebo. Prva ohranjena sporočila izhajajo iz t r e t -
jega tisočletja pred našim š tet jem.
Te melj a strono mi ji ko t znanosti pa je p ostavil šele Nikol a j
Ko pe r nik . Ce p rav n e gre s pregl eda t i velikih us peho v starih k u l -
tur, j e bil Koperni k verj etno prv i , ki j e trdno povezal e k speri -
mentalne podatke o zapo r e dni h l e gah p l a n e t o v s t eori jo o zgradbi
ve s olja. S tem je omogoč il raz voj as t r o n omi je , ki je k mal u s t op i -
l a v svo j o zlato dobo. Na kon cu 16 . i n v z ačetku 1 7 . sto l etja so
de lo vali Tycho de Br ahe, Gal ile o Galilei in J ohann e s Kep l er . Spo-
zna l i so z a kone o gibanj u planetov , de l zakono v mehanike in do mn e -
vali s o , d a ve l jajo enaki z akon i v ve so l j u kot n a Ze ml ji . A na j p o -
membne jša j e b ila u~edba novih eksperimentaln i h in t eoretičnih me -
tod . Z njimi so postavi li t rdne temelje ast ronomije , n a katerih
s o gr adi l i kas ne jši z nanst ven iki . I saa c Ne wt on je na t ej osno v i
p r iše l do zakonov din a mi k e i n pot r dil , d a so uni verzalni. Sledil a
so z anes l j iva o p a zovanj a , izbo l j šave instrumen to v i n teo r i jskih
prlJemov, kar j e pri vedlo do novih spoznanj . Potrdi l i so Newtono -
ve zakone in domnevo o njihovi univerzalnosti .
Do danes je pre ho di l a astronomija do lgo i n uspešno pot . Sodob-
n a a s t r ono mija j e zato iz r edno razno l ičn a znanos t , k i go j i ce lo
vrs t o opazoval n ih in teoretičnih vej .
151
Opazo valna a s t r o nomlJ a se je v zadnj ih deset le t j ih t a ko r a z-
š i r i la , da jo razdel imo n a optično, infrarde č o, radi jsko , r ent-
gensko , ne vtrinsko ast ronomijo , ast r o n omijo ko zmičnih delcev in
a stronomij o gravit acij sk i.h valov .
Opt ičn i astronomi opazuje j o z ve zdno s ve t lobo v vi dn e m de l u s pek-
tra e l ekt ro magne t nih va lov . Iz redno izpopolnj ena t ehnik a daj e mo ž -
nost , da dobi jo veliko ve č podatkov kot n e koč ( sl.l).
Sl.l Brušenje t e l esk o p s ke pa zrc ala s premerom 4 m
Za nimiva ve j a op t ične ast ronomije je s pekt r os kop i j a . Svet lobo ,
ki p r ihaja od z vezde, r azkl onimo s p r iz mo i n do b i mo mavri co ( s pek-
t er). V nje j se po j avi jo n e k a t e r e zelo o zke s p e k t r a l ne č rte , k i
so s ve t le jše ( e mi s i j s k e ) ali temnejše ( a b s orpcij s ke) o d oko l ice.
V a t mo s f e ri z vezd so atomi, k i se gibl je jo z e lo hi t r o zaradi vi -
soke t e mpera ture . Pr i t rkih se hitri a t omi r a zlet ij o n a s e st a vn e
de le - na j e dra i n na e lekt rone. Zato j e v at mo sferi vedno dos t i
go l ih jeder in p rost ih elekt rono v . J e dro i n elektron se l ahk o s pe t
zdr užita , pre s e že k energije p a odnese p r i t em f oton s vet l obe. Fr ek-
venca fo ton a j e podana z razl iko ene rgije W med začetn im i n konč ­
n i m s tan j em a toma:
v = W/h
h j e Plancko va konstanta , h = 6 ,6 '10 - 3 ' Js . Atom i ma omej eno šte -
vi lo ene rgijskih stanj, t ako da ima jo f o t o ni, ki se emit irajo pri
p rehodih e lektronov med energijskimi s tanj i , samo omeje no število
n at ančno določenih fre k ve n c . Lestvica fre k ve n c je odvis na o d a to -
ma , ki seva in je značilna z a element p rav tako , kot so prstni od-
tisi značilni za č loveka. Z opazovanjem s pektra l a hk o določ imo se-
15 2
stav zvezde, se pravi utežna razmerja elementov, temperaturo in
včasih še vrsto drugih podatkov. Po teh podatkih lahko z raznimi
modeli ocenimo maso zvezde, nj eno absolutno sveti lnost in s tem
oddaljenost od Zemlje, njen notranji sestav, starost .
Po spektru lahko večkrat izračunamo še, s kolikšno hitrostjo
s e z ve z d a o ddaljuj e ali približuje. Sp e ktralne črte z oddaljujo-
č e z ve z de se nam namreč zdijo premaknjene proti rdečemu delu spek-
tra, tiste z bližajoče zvezde pa proti modremu delu . Premik take
vrste dobro poznamo pri zvoku kot Dopplerjev pojav.
Pomembni spoznanji, k i so ju o dkr i l i z merjenji pomikov spe k-
t r a lnih č rt , sta odk ritje, da se veso l j e š i r i in odkritje kvazar-
j ev . V dvajsetih l etih našega s tol e t j a je Edwin Hubbl e opazoval
n e bo z ve l ika n s k i m palomarskim teleskopom . Videl je veliko števi-
lo zvezdnih gruč , k i ne dvomno vs e b u j e j o veliko zvezd. Zelo pazlji-
va o pazovanja so po kazala, da s o te "gruče" ga l a k s i j e , ki so bolj
ali man j ~odobne naši Rimsk i c e s ti. Uspe l i s o tudi oceniti, kako
daleč s o nekatere od galaksij. Hu bb l e je premeril še spektre ga-
laksij. Op a z i l j e, da s o č rt e v vseh spektrih premaknj ene proti
rdeč emu delu in v nobene m proti mo dr e mu . Ugo t o vi l je, da je po mik
p r o t i rdeč emu delu spekt r a večj i za bo l j o d da l jene galaksije. I z
tega je sklepal , d a se odda l ju je jo gal ak s i j e tem h i t r e j e , čim bo l j
s o odda l j e ne. Predstavljamo s i , da so ga l ak s i j e papirčki, ki s o
n a lep l j e n i na gumij a st e m b a lo n u . Če b a l on napihuj emo, se papirčki
o d da lj u je j o dr ug o d d r ugega. Re l a t i vna hitrost dveh papirčkov je
so razmerna z oddalj e no stjo, če napih uj emo b a lon enakomerno. Hubble-
ovo o dkritje tedaj pove, d a se ve solj e ši r i . Če si predstavl jamo,
da je b i l o ve solj e najprej zelo ma j hen "balonček" , ki se je odtlej
e n ak omer no š i r i l, lahko i z Hubbleovi h podatkov izračunamo, da je
da nes ve s o l j~ staro do brih de s e t milijard l et.
Pr i razporej a nju s pekt r ov ne besnih t e les s o našli ne katere ob-
j ekte , katerih s pe ktro v s i nikako r ni so z nali r azložiti . Te ob j ek-
te so i me no vali k vazarj e . Še le po neka j l etih je Maarten Sc hmi t
us pe l pojas niti spe kt re kvazarj ev z velikim rdečim premikom. Me-
nil j e, da se kv az a r j i odda l j u je jo od nas z veliko hitrostj o in
so ve r j e tno zelo oddal jen i. Sk rivnost kvazarjev s tem še ni r e š e-
na . Če so namreč k vazarji r e s zelo daleč , sta tudi iz navi de zne
s vetil nosti izračunana a b s o l utna s ve tilnost in e ne r g i j s k i t ok ze -
lo ve l i k a. Svet ilno s t j e mnogo več j a kot svetilnost katerekoli
g a l aks i je. Da j e mer a pol na , kvaz a r j i š e mež i k a j o . V nekaj dneh
•s e spremeni njiho v ene rgijski tok , i z česar sklep a mo , da so do s t i
153
ma n j š i kot galaksije . Od ko d kvazarjem velika e ne r g i j a , če so res
t a ko svetli? Ali pa je v zgornjih sklepih napaka? Zaenkrat je u-
g a nka š e nerešena .
Opazo va n j e spekt ro v da toliko podatkov o zvezdah, da g a kaže
razširiti na dele s pektra, ki jih ne ~aznamo z očmi. Zato se je
iz 'opazovalne astronomije v zadnjem desetletju razvila infrarde-
ča astronomija. Zemeljsko ozračje absorbira skoraj vso infrarde-
čo svetlobo in je treba dvigniti instrument vsaj kakih 13 km n ad
atmosfero. To možnost pa nam daje samo zelo izpopolnjena tehnika.
Za opazovanja uporabljajo letala (n.pr. francosko-angle š ko l e t a -
lo Concorde), a vtomatsko vodene ba l o ne in umetne satelite.
Ta veja omogoča dve posebno z a n i mi v i vrsti opazovanj. Na j z a n i -
mi ve j š i deli pri opa z o va n j u oddaljenih galaksij s o njihova jedra,
k j e r j e snov naj go stej ša. Tam verjetno nastaja in umira mnogo
zvezd in tam s e odloča usoda galaksije. Jedra naše Galaksij e-Rim-
ske ceste ne more mo videti, k e r ga zakrivajo oblaki med zvezdnega
prahu, k i pa na s rečo dovolj prepuščajo infrardečo svet lobo. Iz
opazovanj v infrardeči svetlobi bo mogoče bolj natančno oceniti
maso Galaksije, go s t o t o snovi v jedru in ugotoviti, koliko je tam
s t a r i h in koliko mladih zvezd, itd .. Ti podatki so potrebni za
razumevanje razvoja Galaksije.
As t r o nome zelo zanima, k ako nastajajo zvezde; Verjetno se me d-
zvezdni p l i n počasi z go šča o kro g s poč etka le malo go s t e j š ega jed-
ra. Plin se o b tem počasi gr e j e n a račun zmanjšanja gr a vi t a c i j s k e
potencialne energije . Dok l e r je razmeroma hladen, ne oddaja s koraj
nič vidne svetlobe, ampak predvs em infrardečo svet lobo, ki jo za-
znamo z infrardečimi tele skopi . š t ud i j zarodkov zvezd pa lahko ve-
liko pove o kas nej šem razvoju z ve z d .
Radi o a s t r o no mi ja je podalj šek infrardeče a stronomij e. Radioas -
tronomi op a z u j e j o e l ekt r o ma gnetne valove., k i prihajajo k nam iz
ve s o l j a in ima j o va l ovn e dolž ine o d ne kaj me t ro v do nekaj mili-
metrov . Venda r so mer i l n i načini v radioastronomiji p rec e j dru-
gačn i ko t v infrardeči a s tronomiji. Zeme l j sko ozračj e j e n a s re -
čo p rozorno za radij s k e valove in j ih lahko zazn a v amo c e lo v o b-
l ač nem vremenu in po dn e vi . Fre kve nca radijsk ih va l o v je t ako ni z -
ka, da morej o poveza t i več odda l jen i h anten v s k up i no , s katero
i zredno natančno določijo polo žaj in zgr a d bo radijskih i z virov.
N at ančnosL j e sko r a j tisočkrat večja kot natančnost opt i č n ih t e-
l e s ko pov.
154
Gradnja r adijske antene je manj zahtevna kot gra dnj a ve likega
optičnega teleskopa. Radioteleskopi so zato l ahko zelo veliki .
Naj več j i r a diote leskop v Are c ibu pokriva dno p r e c e jšn j e dol ine
in nje govo "ogledalo" im a premer 300 m. S t ako vel ikim instrumen -
tom j e mogoče zaznati izredno šibke s ignale i n z ato lah ko z ra-
dio teleskopi vidijo mnogo dlje kot z optičnimi. Z n jimi so našli
najbolj oddaljene k va z a r j e in prve pulzarje - nevtronske z vezde ,
k i u t r i p a j o neka jkrat v sekundi. Z njimi l ahko merijo go sto to
pl inov med oddalj en imi galaks ij a mi, itd. V k r a t k o va l o vn e m r adij -
skem spektru so spektralne črte nekaterih na j z a nimi ve jših mole-
kul. Posebno z nana je črta vodi ko ve mo l e k u l e z valovno do l ž i no
21 cm. V eč s kupin radioastronomov s e ukvarja samo s to črto in
z raz n imi merjenji določajo velikos ti zvez d, hitrosti p l i nov med
galaksijami, gostoto teh plinov in vrsto drugih zanimivih podatkov.
Najzanimivejši prispevek radioastronomije je Odk ri t j e p raseva-
nja . Ugotovili so, da izpolnjuje vesolje elektromagnetno valova-
nje, k i ust reza s e va n ju č rne ga telesa s temperaturo 2,7 K. Veso -
l je je moralo b i t i pred nekaj milijardami l e t precej goste jše in
precej toplej š e. Da ne s zaz na j o radioastronomi le zelo razpet in
ohlaj en plin fotonov začetnega sevanja. Sedanja t emp e r a tura 2 ,7 K
daje d r ago cen po d a t e k o s t a n j u vesolja na začetni stopnj i razvo j a.
Pred k r a tkim s ta se r odili ultravij olična in rentgenska a st ro-
n omija . Ze meljs ko o z rač j e je popolnoma neprozorno za to svetlo bo
in j e t r e ba name stiti detekto rje na umetne satelite. Ta vej a je
zato izključno domena Zd ruže n i h d r ž a v in Sov j e t s k e zveze . Zn an a
s t a ameriška raziskovalna načrta Uhuru in Kope r n i ku s , ki sta i -
mela za n a logo k a t a l ogizi r an je r e nt genskih izvirov v vesolju.
Ugotovili so, da so r e n tge n s k i i z v i r i spremenljivi, iz česar s kl e -
pajo, da so z elo ma j h ni. Z opt i č nimi teleskopi so uspeli identi-
fic i rati precej r entgenskih izvirov i n potrdili so , da so i z vi ri
majhn i . Re ntge n s k e izvire s o r a zdelili na d ve s kup i n i . Na izvire,
ki močno utripaj o, a n ikda r ne ugasnejo, in na izvire, ki trenut -
no zablestijo v rentgenski svetlobi, nato pa ugasnejo. Vsi re nt -
ge n sk i izviri s o s koraj zagotovo izredno goste zvezde z gos toto
okrog 10 1 • g/cm 3 • Kr a t e k in močan s unek rentgenske sve t lobe je
verjetno "labodji s pe v" take zvezde. V notranjos ti ze lo goste
z vezde j e tlak z aradi g r a vi t a c i j e ze lo velik. Ce t lak preseže
določeno mejo, se zvezda " sesuje vase" v zelo kratkem času. Ve-
lik del g r a vi t a c i j ske potencialne energije prevzame kratek, zelo
močan sunek rentgenske svet lobe. Preost ane le morda nevtronska
15 5
zvezda ali črna luknj a, ki ima p r e me r neka j de s et kilometrov in
maso nekaj sončnih mas. Tako pritlikavko lah ko v primeru, da s e
naha ja v paru z rdečo orjakinjo, opazimo kot stalen r ent genski
i zvir . Velika kol ičin a p l i nov , k i i zhlape va s po v rš ja orjakinj e,
se ujame v močnem g ra vi t a c i j skem polju pritlik a vk e in se tako
močno segreje, da oddaja r ent gens ko sve t l obo . Tako d anes po j as-
n j ujemo s t a l ne r ent gens k e i zvire.
As t ro nomi j a kozmičn i h de lcev je tudi zelo ml ada i n tudi ve za-
na na umetne s a t e l i te , me r iln ike na površ ju Mese ca in na veso l j -
ske laboratorij e . Na Zem l jo p r iha j a od Sonca izdaten t o k raznih
de l cev . Ta " sonč n i ve t e r " d a j e po da tke o naravi i z bruhov na So n -
cu in o sončnem in zemelj skem magnetnem po l j u . Po leg tega p a pri -
h a j a j o na Ze ml jo še razni de l c i iz glob i n vesolj a. I zviro v teh
delcev za se daj še ne po zn a j o . Ti de lci se o dk l a n j a j o v magnet-
nem polju v medzvezdne m prostoru, kat ere ga narave t~di š e ne ra-
zumemo . Zanimivo pa je, da s o ti de lci prav takšni kot de l c i na
Ze ml j i . Tud i to podpira domnevo o uni ve r z a l no s t i f izikalnih za-
konov .
Nevt r i n s k a a stronomija in a s t r o no mi j a gravitaci jskih va lov
pravzaprav še nista zare s r oj eni, čeprav s o vanju vložili že pre-
c e j dela. Obe po skušata razi skovati po jave, ki j ih je z elo, zelo
težko zaznati.
Ne vt r i n i so delci, k i no sijo e nergij o s h itrost j o svet lobe in
nimajo lastne mas e. So i z redno uspe šni tatovi e ne rgi j e , ker j i h
s koraj nič ne ustav i . Od e ne ga milijona nevtrinov, k i p a de j o n a
Ze ml j o , le ede n ali dva obtičita v Zeml j i , po tem ko t rčita s pro-
tonom ali nevt r ono m. Pr i j e drs kih r eak c ijah, za k a te re meni jo , d a
t e čejo v s r-e d i c i, Sonca , nastane o gromn o nevtrino v . 11er j e n j e ne v-
trins ke ga t o k a s Sonc a bi po j as n i l o ali i mamo p r ay i l no s l iko o
do gajanjih v središč u So nc a . Ed i ni do sedan j i poskus še ni da l p r i -
čakovanih r e zultatov. Kaže , da p r iha j a s So nca vs a j še s tk r a t manj
ne vt r i nov , ko t s o napovedova li. Kj e j e n a p a k a ? Po s k u s je izredno
zahteve n, saj moraj o v r e z ervoarju s pro stornino 400 m3 ( s l .2)
z a zn a t i ti stih nek a j atomo v, k i s o se v več dn evih s premenili za-
r a d i trkov z nevtrini . To j e z a go t o vo teže, kot najti š i v a nko v
kop i c i sena . Ali p r ide pri poskusu do nepre dvidene ga pojava? Al i
je Son c e za nekaj č as a ustavilo svojo atomsko peč, kar b i pokaza-
l a sprememba površin s k e t emperat ure š e le če z več milijonov let?
Teoretični d e l a stronomij e s o nekoliko po si l i razde lili na
156
Sl .2 Ba z e n za " l o v l j e n j e" sončevih nevtrino v okoli
1 000 m p od p o vrš j e M Zem l je
as trofiz iko in kozmologijo . Ast rofiz ika je b i l a rojena nekako na
koncu pre j šnje ga stolet ja, k o se j e utrd i lo s po z n a n j e , da ve l jajo
na zvezdah isti fizi kslni z ako n i - ne samo me h a n sk i - ko t na Zem-
lji. Eno izmed prvih vpra šan j Je bilo, od kod zvezda m ene r gl ja,
k i jo sevajo . Kmalu so ugotovi l i, da bi kemi j s ko go r-e n j e premoga
a li česa podobnega bi l o premal o i zdatno . Sonce bi lahko ž ive lo
le nekaj deset tisoč l e t , č e b i izkori š čalo kemijs ko ene r gijo . Tu -
di i z koriščanje gravitaci jske po t e n c i a l ne e nergij e p r i krčenj u " j e
p r ema l o izdatno , saj bi z njo So nc e svetilo l e k a k ih trideset mi li -
jonov l et. Še l e v našem s t o l e t j u s o s po z n a l i , da -le j e d r s k e r e a k -
cij e dajejo dovolj energij e, da ž ivi So n c e nekaj dese t mi lijard
let. To s poznanje j e bi l o prvi ve liki u speh a stro fiz ike. Kma l u s o
157
ugotovili, k a te re j edrsk e r eakcije so pomembne v notranjosti zve zd,
izračunali so hitrost teh reakcij, lastnosti plinov v zvezdah. Na
osnovi teh p odatko v so napravili modele z ve z d , k i se do bro uj ema-
jo z o pazovanji. To je b i l triumf astrofizike, ki do kazuj e, da so
fizi kalni zakoni r es univerzalni.
Seveda so naleteli na nekaj problemov. Na š l i so zvezde, za ka-
t ere niso znali napraviti ustreznega modela, ali pa je model na-
povedal tipe zvezd, ki jih niso opazili. I zpopolnjene teoretske
in eks pe r i me n t a l ne metode počasi polnij o vrzeli. Našli so nevtron-
s ke z ve z de , k i jih je teorija napovedala pred dobrimi š t i r i de s e-
timi l e ti. Us pel i so po j a s ni t i lastnosti be l ih pritlikavk. Ra z vo -
z l a li so s krivnost k e f e i d - zvezd , k i periodi čno utripajo . ..
Se ve da š e nismo n a k on c u pot i . Odp i r a j o s e vse širša in l epša o b-
z o r j a i n postavljajo s e vedno zanimivej ša vprašanja .
Drugo področj e t eoretske a stronomij e, ko zmo l o gi j a , poskuša po-
jasnit i nastanek vesolja. To področje je š e razmeroma mlado in
težavno, ker ima l e malo zanesljivih podatkov. Prvi po da t k i so
Hubbleov zakon, odkritje prasevanja in podatek, da sestavlja v
vesolju približno 3/4 snovi vodik, 1/4 helij, težjih elementov
p a j e samo 1 %. Ka že , da j e ve solje nastalo z veliko e ksplozijo
al i vel i ki m pokorn (an gl. b ig b a ng ) . Koz mo l ogi se s prašujejo, k a -
ko je pote kal pok , k a k o s e je sp reminjala t e mperatura, k da j so
z ače le n a s ta j at i ga l a k s i j e , zaka j j e veso l je tak o e nak o merno .
Ei n s t e i no va t e o r i ja gravitac i je ( sploš n a t e orija r e l ativn ost i)
l e po popiše š i r j e n j e ve s ol j a in daje mož nos t , da iz opazovan j o d -
dalj enih ga l aks i j izluščimo podatke o n jihovih lastnost i h. Spra-
š u jemo pa se , ali se bo veso l j e ve dno š i r i l o ? Al i se bo morda š ir-
j enj e ustavilo i n s e bo ve s ol j e z ače lo krčiti? Odgo vo r na to vp ra-
š a n j e b i dob i l i i z Ei ns te i nove t e o r ije , č e bi poznali povprečno
gos t o t o sno vi v ve s olju. Te go stote za zdaj š e ne pozn amo . Močno
s i j o p r iz ade va j o določit i, ve ndar o bsta ja možno s t , da je k je v
ve s olju snov v obliki , ki j e š e ne moremo z azna t i. Po skušaj o č im
nat ančnej e preveri t i Hubbleov zakon . Ali s e izme d dveh i z branih
ga l ak s i j t i s t a, k i j e od nas v d vo j n i razdalji , v vsakem pri me ru
odda l j u je z dvo jno h i t rostj o? Mer jen ja so t e žavna, ke r j e zelo
težko določiti razda l j o ze lo o dd a l jenih galak s i j in ke r n aj de mo
pri ze lo velik i h r azdaljah l e k vaz a r je , k i jih za zda j š e ne ra-
z umemo . Nekateri r ezul tati kaž e jo , da Hubb leov zak on prene h a ve-
l jati, ko se p r ibl ižujemo meji vidnega ve s o lj a . Mogoče post a ja h i t -
158
rost širjenja za vse oddalj enejše obj e kt e manJ sa, k o t b i pričako­
vali iz lIubbleove ga zak ona . Če je tako, je go s t o t a s no v i v veso-
lju večja , ko t k aže jo zač etna mer j e n j a in obs t a j a snov v obl i ki ,
ki je ne mor e mo z a znati. Taka možnost s o na p r i mer nevtronske z ve-
zde ali črne luk nj e. Vel iko vp r ašan j o staja š e odprtih, ve ndar
bo do ljudj e vztra j no i s kal i odgovore nanje . Dos e da n j i razvoj ka-
že, da njihova prizadevanja n e bo do zaman.
Andrej Čadež
P R E S E K list za ml a de matematike, fizike in astronome .
2. l etnik, šolsko leto 1974/75, 4. številka, maj 1975, str.1 29-19 2 .
IZdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenij e.
Uredniš k i odbor: Vladimi r Batagelj, J ože Dove r , To maž Fortun a,
f1a r j an Hr iba r (urednik za fi ziko), Andr e j Kme t , Jože Kot n ik
( organizacijski uredn ik ) , Ma t i Ida Lenarčič, Biserka Miko š , Fran -
c i Obl ak (urednik za matematiko), Jože Pavlišič, To maž Pi sans ki
(odgo vorni urednik), Dušan Re po vš , To maž Sk u l j , Gabrijel Tomšič
(rlavni urednik), Ma r i j a n Vag aja in Ciril Velkovrh (tehnični
urednik) .
Roko pis je natipkala Anu ša Rode, j ezikovno je pregledala Sa n dr a
Obl ak , opremila p a Bo r ut De l ak in Vi šnja Kovač ič , s l ike so n a ri -
sali : Ber t o 2i tko , Da vo r i n Tomažič, Pavel Gre f o r c , Vladimir Ba-
tagelj, Božo Ko s in Bo r ut Pečar.
Dop i se pošiljajte in list naročajte na naslov: Kowisija za ti sk
pri Društvu matematikov, fizikov in astronomov SRS - PRESEK,
Jadranska 19, 61 001 Ljubljana, p . p . 227, tel. 6 1- 564 / 53 , š t.
ž i r o računa 501 01 -678- 4 83 63, devizni račun pri Lj ubljans ki b a nk i
številka 50100- 62 0-107-9 00. Naročn ina za šolsko leto je z a posa-
mezn a naročila 2 0 .- din, za s k up i n s k a pa 18.- din , za inozemstvo
2 ~ = 34.- din, 2400. - Lit, 56.- Asch. Po samezna š t e vi l k a stan e
5.- din.
List sofinancirajo Rep ub l i ška in t emeljne izo braževalne skupno-
sti v Sl oven ij i ter Ra z isko val n a .s k upno s t Sl o ve n i je .
Ofse t t isk č as op isno in rrafično p o d jet je " DELO", Ljubl j ana .
Li st i zhaja št iri k r at l etno v nakladi 14 .0 00 iz vodov.
@) 1974 Društvo matematikov, fizikov in a stronomov SRS.
159
REBUS
REB U SI
( Pavel Gre gorc)
Sko raj vse o reb usih
boste lah k o pr eb rali
na st raneh od 16 2 do
16 5, reiHtve pa na 166
REBUS
PALlNDROMNI REBUS
RARE8US
REBUSOlD
160
RAREBUS
REBUS
PALlNDROMNI REBUS
REBUSOlD
PALINDROMNI REBUS
161
BOLJ ZA ŠALO
KOT ZARES~---
REBUS-
Beseda "rebus" je šesti sklon množine latinske besede "res"
(stvar), pomeni torej "s stvarmi". Izražanje z r ebusom pomeni
izražanje s stvarmi.
Rebus je verjetno ~astal ob koncu iS.stoletja v Franciji. V
Pikardiji, pokrajini v severovzhodni Franciji, so se v času kar-
nevala študentje posmehoval i aktualnim dogodkom s š a l j i vi mi opaz-
kami v obliki ugank. Imenovali so jih "de rebus quae gerentur"
(o stvareh, ki se dogajajo). Po teh Lgankah je dobil ime rebus
in kmalu postal priljubljen v vsej Evropi.
Ko analiziramo rebus, ugotovimo, da je rebus pravzaprav šifri-
rano sporočilo. Vlogo črk oziroma besed sporočila prevzamejo ris-
be, sličice. Risbe so lahko čiste ali pa so označene s črkami.
Ko uganemo, kaj predst'avljajo posamezne risbe, smo odkrili "š Lf'r-o ".
Da preberemo sporočilo, moramo le pravilno povezati ugotovljene
besede ali črkovne skupine. Načinov povezovanja je več in po njih
ločimo različne vrste rebusov.
Preden na kr a t ko razložimo osnovna pravila reševanja in osnov-
ne vrste rebusov, omenimo najvažnejše pravilo za sestavljanje re-
busov. Sestavljalec rebusa razbije besedo, rešitev rebusa, na več
delov (besed ali črkovnih skup~n), ki jih lahko likovno predstavi.
Podobno kot za vse uganke, tudi za rebus velja "korensko pravilo" .
To pravilo pravi, da nobena beseda, ki sestavlja rebus, ne sme
imeti istega korena (ali pomena) kot rešitev rebusa. Na ta način
sestavljeni rebusi namreč niso uganke, ampak zgolj ilustracije
besed. Primer: v rebusu "dimnikar" ne sme biti narisan "dim" ali
162
celo "dimnik" , saJ J.majo vse tri besede isti koren (-dim od gla-
gola dimiti). Podobno v rebusu "podmornica" ne sme nastopati kom-
b i nacija "pod M O" , ker je predlog "pod" že v rešitvi rebu sa .
Osnovna pravila za reševanje rebusa so naslednja.
Ce r isbice rebusa niso o z nač ene s črkami , zadostuje, da ugane -
mo besede, ki jih risbice predstavljajo in jih povežemo po pravi -
lu za določeno vrsto rebusa .
V p r i me r u , ko je risbica označena s črko (ali v izjemnih pri-
me r ih z dvema č rkama ) , jo pri reševanju poimenujemo s to črko .
Pr i t e m st a vedno dve možnosti : d a črko postavimo pred ali za be-
sedo, ki jo predstavl la r i s ba . Primer: narisana je "ura" in o zna-
čena s črko " K" . Mož ni komb i na ci j i sta "ura K" in "K ura". Ved n o
j e pravilna l e e n a kombinacija, v go rn j em primeru je to druga, k i
da r eš i tev rebusa - " kura" . Pri poimenovanju risbic s črkami j e
treba upoštevati t udi "imen a " črk . Cr ko K npr. lahko beremo kot
"K" ali ko t " Ka", črko R kot " R" ali ko t "eR" . V gornj em pri mer u
obstajata še dve kombinac i j i - " u ra Ka " i n "Ka ura". Re ševalec
mora v t ake m pr i me r u v e dno po i skati v se št iri kombinacije, k r e-
š i tv i pa vo di l e ena.
Le go e l e mentov re bu sa op i sujemo s predlogi. La hko j e en e l e -
ment v drugem, na drugem, pod d r ug i m, med d v ema eleme ntoma , ses-
tavlj en iz dr ugega el ementa in podobno. Predlog je torej skr i t v
narisani kombinaciji e lement o v in ga reševalec odkrije tako, da
pravilno raz vozla narisana komb i na c i j o . Tudi za vrstni r ed pred-
loga v komb i n a c i j i sta v selej dve možnos~i, pravilna pa j e le e na.
Pr edloga "na" i n "pod " prikazuj e mo v rebusih na" e nak način - tako,
da med e l e me n ta narišemo črto. Tako kombinacijo lahko opiše r e š e -
valec na št~ri načine. (Dodati pa je treba , da je uporaba predlo-
ga "pod" manj ·pogosta.) Primer: i . Možnosti reševanja so :
1 . po d Z (c ) K( a ) , 2. K(a ) pod Z(e), 3. na K(a) Z( e) in 4. Z ( e ) na
K(a). (V okleFajih s o navedene ko~binacije, v katerih upoštevamo
"imena" črk.) Rešit e v predstavlja četrta kombinacija - "znak"
(Z na K) .
Pri kombiniranju s črkami upo števamo slovnično pravilo , ki pra-
vi , da črk n e sklanjamo. Torej je p r a v i l no "Z na K" in ne "Z na
Kaju" ! Kadar pa so s predlogi povezane samostojne besede, jih mo-
rareo obvezno sklanjati.
Ce je risbica rebusa postavlj ena na glavo, potem upoštevamo
obr n j e n i "pomen" besede ali kom~inacije črk, ki jo risbica prika-
163
zuje. Primeri: obrnj ena ~rka "eR" je "Re" , o brnjena kombinacija
"na K S" je "s kan" , o brnjena "miš" j e "šim" , itd ..
Če je element rebu sa pre~rtan z dv ema sekajočima s e črtama,
pomeni , da ga "ni ". Primer : prečrtana ~rka T - n i T - nit .
S ~rtkano ~rto narišemo tiste dele e leme n t o v r ebus a, ki z a
rešitev niso pomembni, pomagaj o pa reš e valcu, da lažj e ugane, kaj
prikazuj e del elementa, k i j e narisan s po l no ~rto .
Dejanje ali stanje tudi v rebusu ozna~ imo z glagolom. Glagol
je podobno kot predlog skrit v risbi rebus a . Re ševalec ga mora
uganiti in pravilno povezati z ostalimi elementi rebusa. Pri re-
busih, ki vsebujejo glagol , je poudarek na glagolu in z njim kom-
biniramo le ~rke ( a l i znake), ne pa tudi besed, k i jih ~rke o zna-
čujejJ. To je v~asih, posebno za začetnike, nekoliko t ežj e, zato
je treba biti pri reševanju "glagol skih" rebusov posebno pozoren.
Primer : rebus prikazuje "žensko, označeno s črko S, ki lika peri -
lo R" . Pri reševanju ne upoštevamo besed "ženska" in "perilo",
ampak l e ~rki, s katerima sta ti d ve risbici označeni, povežemo
z ustreznim glagolom, torej "S lika R" - slikar .
Praviloma s e s t a v l j a mo le ~iste rebuse, to j e r ebuse brez po-
prav. Pod popravo razumemo spremembo ~rke (npr . A = O), o d v z e m
~ rk e , zamenjavo dveh črk in vstavek ~rke. S š t e vi l n i mi popravami
lahko iz vsake besede naredimo rebus . To pa ni namen uganke, zato
se pri kvalitetnih rebusih poprav izogibamo . Izjemoma jih uporab-
ljamo ~ri rešitvah z ve~jim š t e v i l om ~rk ali pri kako drugače kva-
litetnem rebusu. Le pri rarebusu in r e bu s o i d u ima o d v z e m črk po-
sebno kompozicijsko vrednost .
Ogl e j mo si nekaj najbolj znanih vrst rebusov!
Rebus ali natan~neje navadni rebus. Rešujemo ga tako, da prave
besede in ~ rko vne skupine, k i jih predstavljajo risbice , prebe-
remo od leve proti desni.
PaLindromni rebus(palindrom - gr. palindromos, nazaj teko~, - je
b e s e d a , ki se enako bere naprej in nazaj ali pa ima, brana nazaj,
druga~en pomen). Palindromni r ebus r e šuj emo enako kot navadnega.
Rešite v pa dobimo tako, da u gotovljene besede in ~rkovne skupine
pr3 b e r e mo nazaj - od desne proti levi.
Rebus v stripu. Se s t a v l j a g a ve~ risbic . Obi~ajno prikazujejo gla-
go l , k i o zn a~ u j e trajajoč e ali ponavljajo~e s e dejanje ali posle-
di co kakega dejanja.
PoLirebus . Re bu s , ki ima pri isti risbi tri ali ve~ r e š i t e v , ime-
164
nujemo polirebus. Rebus z d vema rešitvama je direbu G.
Ra reb ue , (Pr-av i.Lno bi se moral imenovati "rer ebus" - re, lat. spet,
znova - vendar s e j e verjetno zaradi lažje izgovarjave uveljavilo
ime rarebus). Pri rarebusu namreč č rke , k i jih od besed odvzamemo,
znova do damo v ist e m vr stnem redu na ko n c u za vsemi elementi rebu-
sao Ka te r e črke mor a mo v u gotovljenih besedah ali črkovnih s kupi -
nah najprej prečrtati ih jih nato dodat i na koncu za vsemi e l e me n -
t i rebusa, povedo vejice (apostrofi) pred ali za risbico ali pa
šte vi l a ( ki so p r avz a p r a v vrs t i I n i števniki) v oklepaju pod ris-
bico . Šte v i l o vejic ust rez a šte vilu črk , ki jih je t reba odvze t i ,
š tev i l a v o k l e pa j u pa velja jo za vsako ko mb i nac i j o (ri s bico) po-
seb e j . Rešitev rarebusa dobi mo t a ko , da črke p r e ber e mo od leve
p r o t i de s n i.
Rebusoid. (Tudi to i me je nepravilno, sa j j e grška pripona - oid,
k i I z r a ž a po do bnost s čim , doda na latins k i besedi r e bus. Bese da
r e busoid naj b i torej pomenila uganko, podobno r e busu). Pr i rebu-
s oid u pa črke, ki jih od be s e d odvzamemo (prečrtamo), d odamo v
istem vrstnem redu takoj z a elementom (risbico), od katere ga smo
j ih o dvz e l i in ne na ko n c u za vsemi elementi ko t pri rare busu.
Reš i te v prav t a ko preberemo o d leve proti des n i .
Komb i n ac i j e r ebusov. Možne so tudi ko mb i na c i j e p a l i nd r omnega r e-
bu s a in rarebusa ali rebusoida. Tako poznamo palindromni rarebus
in palindromni rebusoid. Palindromni r arebus (rebusoid) r ešuj e mo
najprej kot rarebus (rebusoid), rešitev pa do b i mo z b r a njem nazaj,
o d d e sne pro t i levi.
Op i s ni rebus. Po sebno s t med rebusi j e o pisni rebus. Uporabimo ga
v p r ime r i h , ko je k a ko kombinacijo te ž ko ali nemogoč e lik o vno
v re d s t avi t i . Za t o jo opiš emo v verzih. Primer:
OPISN I REBUS
Neko črko vse bol i ~
~ z ure v uro bo l j sl a bi,
pot re bu jemo z dravi~
zato t ole s por o či l o
Reš i tev: d epe ša - De p e ša .
Poz namo še precej vrst rebusov in ko mbi naci j z rebus i , venda r
bodi za z ačetek dovolj . Rebusi spada jo med " t e žj e" uganke , sa j
~ aht e va j o logi č no mi š l j e n j e i n s k l e p a n j e in ne l e p re prostega ob-
na vljanja b e s e dn e g a zak l ad a . žel imo v am v e l i ko z a bave pri "mož -
ga nsk i te lovadbi " !
Pavel Grego rc
165
REŠITVE REBUSOV s strani 160
Navadni rebuDi:
1. MEHANIKA (ali MEHANIK) - (2) meha; ni (črke) Ka .
2. KOSITER - kosi (kmet) T (travo) eR .
3 . MN02ICA - Množica.
PaLindromna rebusa:
4. SONCNI MRK - krmi (ženska) N (prašiča) C; nos - brano nazaj .
5. ARISTOTEL - leto; (2) T sira - brano nazaj .
Rarebusa:
6. PIRAMIDA - pi; (da)r; ami - črki (da) se preneseta na konec.
7. ARHIMED - (med) (črkama) A R (črka) hi - črke (med) se prene-
sejo na konec.
Rebusoida :
8. ELIPSOID - (lip)e; so(d)i - črke (lip) se prenesejo za E in
črka (d) za črkovno skupino SOl.
9. PERSPEKTIVA - perCe) (ženska) S(perilo) P; k(i)t (vA) - črka
(e) se prenese za PERSP in črke (i), (va) za KT.
Rebus v stripu:
10. VENERA - vene (roža) RA.
PaLindromni rebus:
11. METEORIT - tir O; (tem)e - črke (tem) se prenesejo na konec
in vse beremo nazaj .
PaveL Gregorc
OBRAČANJE KONČNIH ZAPOREDIJ
Pravimo, da smo zaporedje števil obrnili, če člene zap iš emo
v obratnem vrstnem redu. Tako je na primer obrat zaporedja
3,7 1 5 8
zaporedj e
8 5 1 7 3 .
Obračanje zaporedij je osnova naslednji nalogi, k i mi jo je ne-
davno zastavil nek znanec.
Dano je zaporedje
8 3 1 4 5 27 9 6
Z njim lahko storiš dvoje:
- ali zaporedj e razdeliš na dva dela i n prvi del obrneš
- ali pa celotno zaporedje obrneš.
166
Tako dobiš novo zaporedje. Postopek nadaljuješ tako dolgo, dokler
ne dobiš zaporedja
1 2 3 4 567 8 9
Rešitev: Naloga ni posebno težka in hitro odkrijemo postopek, ki
vodi do rešitve.
1) 8 3 1 4 5 2 7 ef] 6
2 ) [lJ 7 2 5 4 1 3 8 6
3 ) 6 m 3 1 4 5 2 7 9
4) ~ 6 3 1 4 5 2 7 9
5) []J 2 5 4 1 3 6 8 9
6) m 3 1 4 5 2 7 8 9
7) 2 IT] 4 1 3 6 7 8 9
8 ) ru 2 4 1 6 7 . 8 9
9) 3 1 [ij 2 S 6 7 8 9
10) [ij 1 3 2 S 6 7 8 9
11) 2 [lJ 1 4 S 6 7 8 9
12) [lJ 2 1 4 S 6 7 8 9
13) 1 2 3 4 S 6 7 8 9
Pazljiv bralec je najbrž že sam opazil pravila postopka. Za-
poredje razdelimo na levi neurejeni in desni ur-e j erd, del. Spo-
četka je lahko celo zaporedje neurejeno. Urejeni del je označen
z debelej šim tiskom. Največji člen v neurejenem delu (označeni
so s kvadratkom) obrnemo na ·začetek zaporedja in od tu, v nasled-
njem koraku, na začete~ urejenega dela .•. To ponavljamo toliko
časa, dokler ni vse zaporedje urejeno.
Naloga postane zanimivejša, če se vprašamo: Koliko najmanj
obračanj je potrebnih za ureditev tega zaporedja?
Poskusite urediti še zaporedje
3,6,2,7,4,8,1,9,5
Možni sta tudi varianti z nekoliko spremenjenimi pravili:
1 .varianta: pravili sta: ali zaporedje razdeliš na dva dela in
oba dela obrneš ali pa celotno zaporedje obrneš.
2.varianta: pravilo je: obrneš lahko poljuben del (podzaporedje)
danega zaporedja.
VLadimir Batagelj
167
MALCE NERESNO
Lansko jesen je med bruci fizike in matematike krožil mini -
inteligenčni test. Ker so bila vprašanja precej duhovita, s om
sklenil, da vam jih napišem . Kdo je njihov avtor , bi bilo težko
povedati, saj so nekatera med njimi že dolgo znana. Vseeno pa mi-
slim, da nikomur ne bodo škodi la, saj je zelo koristno, če vča­
sih ma l o pobrskamo po našem "podstrešju".
l. Če greste zvečer ob osmih spat in si navijete budiiko za deve-
to uro zjutraj, koliko ur boste spali?
2. Ali imajo tudi v .Angliji 29 . november?
3 . V škatlici imate samo eno vžigalico. Vstopite v zatemnjeno so-
bo, v kateri so karbid, peč na olje in petrolejka. Kaj boste
najprej prižgali?
4. Ne k a t e r i meseci v letu imajo 30, nekateri 31 dni. Koliko jih
ima 28 dni?
5. Zdravnik vam da tri tablete in vam naroči, da jih morate jema-
ti na vsake pol ure. Koliko časa boste jemali tablete?
6. Kaj piše na robu bankovca za 50 par?
7. Delite 30 z 0,5 in dobljenemu številu prištejte 10. Koliko ste
dobili ?
8 . Neki arheolog se hvali, da j e naŠel kovanec z letnico 33 let
pred n a š Lm štetj em, Ali mu verj amete?
9. Po cesti gredo tri gosi: ena ho~i pred dvema, ena med dvema
in ena za dvema. Koliko gosi hodi po cesti?
10. Nek kmet je imel 27 ovac. Vse razen šestih so mu poginile. Ko-
liko ovac je ostalo živih?
11. Ali zakon dovoljuje, da se nekdo poroči s sestrično svoje vdove?
12. Ali se lahko človek, ki živi na Aljaski, pokoplje v Kongu?
13. Ti si moj sin, jaz pa nisem tvoj oče! Kdo je to rekel?
14. Ali lahko nočni čuvaj dobi pokojnino, če umre podnevi?
15. Letalo strmoglavi na državni meji. Kje (v kateri državi) bodo
pokopali preživele?
16. V desnem kotu kravjega hleva so krave. Kje so potemtakem biki?
17. Koliko rojstnih dni ima lahko človek?
18. Opeka tehta eno kilo in pol opeke. Koliko tehtata dve opeki
(v kg)?
19. Če znese ena kura in pol eno jajce in pol venem dnevu in pol,
koliko jajc znesejo tri kure v "tr e h dneh?
168
20. Ko je šel Janezek v puščavo, je vzel s seboj jabolko za ob-
rambo pred levi. Ka k o si to razlagate?
REŠITVE:
1 . Eno uro. h
2 . Zak a j pa ne? Samo tam mu pravijo 29 t No v embe r.
3 . VžigaUco.
4. Vseh 1 2 mesecev. V vprašanju smo namreč izpustili besedico
"samo" in to s eve da namenoma .
5. Dokler n e bomo ozdraveli.
6. Danes nič, ker imamo samo še kovance za pare.
7. 30/0,5 + 10 = 70
8 . Nikar . Kako p a so mogl i t ak ra t , k o so vt i s ni l i let n i co , p red-
vi deva ti , k da j bomo p riče l i z no v im štetjem ?
9 . Tri.
10 . Šest .
1 1 . Zak on ne bi imel nič proti, če ne bi bil "n ekdo" le po d rušo.
Drugače pa tudi njegova lena ne more b i t i vdova.
12. Samega s e b e je očitno nemogoče p o k op a t i .
13 . Mat i.
14 . Ne, ker j e le mrtev.
15. Na srečo vsaj še nekaj časa nikjer, ker s o p r e l i ve l i .
16 . Tega očitno ne vemo. Verjetno v hlevu za bi ke .
17. Samo enega. Praznujemo ga pa seveda -kolikorkrat hočemo - ne-
kateri nikoli, drugi sp et vsako soboto.
18. Štiri kg .
19. Ena k u r a potrebuje za en o jajce e n dan i n pol. Torej bodo tri
kure v treh dn e h znesle 6 JaJc.
20 . Ko bo Janezek srečal l eva, bo odvrgel jabol ko. Ke r jab olko ni-
k o l i ne pade daleč od drevesa, bo v blilini jablana, splezal
bo nanjo in s e s kril pre d z verjo .
OCENE:
l. 20 točk - goljufali ste ali pa že po znate test
2 . 15-19 točk - znate misliti
3. 10-15 točk - učite se misliti
4. 5-10 točk - neuspešno se učite misliti
5. 0-5 točk - ne učite se misliti
6. O točk - brez komentarj a Duš an Re p ovš
c
+-:::!.:-_--- ~ 7-
Il.
Danje l Bez e k
ZRCALCE , ZRCALCE NA STEN I . . .
( Pr e s e k 2 (1 97 4175 ) st r. 1 24 )
Re ši t e v : Zar a d i laž j e ga r azmiš ljanja po stavimo
k up cu na v,l a vo k lob uk . V opazovalčevo o k o mo ra - -
ta p r i t i žarka i z vrha k lobuk a in r o b a čevlj a ,
po t em k o se po odb oj ne m z a konu odb ij e t a na ra v-
n em zrcal u . Os t a l o po ve s k i c a .
- -:;-:---...,..-
169
PREMISLI IN REŠi10 1 _
PREMISLI IN REŠi
Za nal ogo KO LIKO TRI KO TNIKOV JE NA SLIK I?, k i j e b i l a o bj av-
l j ena v Pre s e ku 2 (1974/75) š tev .2, smo p re jeli 37 pra v i l nih i n
34 nepravi l n ih r e šitev. Pravil ne re š itve so n am pos l al i :
J a s na Bel c , o. š. F . Rozma n-St a n e , Maribor ; Vik i Beze k, TES , Ljub-
lj ana; Emi l Bez go vš e k, gim n . Ce l j e ; Ste fka Borčnik , GPS , Ljublja-
na; Jan ko Ca f u t a , o. š . I.celj ske č e te , Ce l je ; Bernarda Drg anc,
Ivančna Gorica; Br ig i t a Dr ga n c , Ljubljana; Franci Forstnerič,
V.gi mn . , Ljubljana; Barbara Gradi š e k, gimn. R. Ma ist r a , Kamnik;
Mar j etka Hovn ik , o . š , F. Vrunč , Sloven j Gr adec ; Son j aJenič, o . š •
M. Soba r , Novo mesto; Marko Ko go j , gimn . J e s enice; Zd enka Kojnik ,
g i mn . Ce l je ; Kr ožek "PITAGORA", o .š . Br a to v PO lanč ičev , !1ar ibor;
Branka Levačič , gimn . Brež ice ; Ta n ja Ma jaron , I. gimn. !1aribor ;
Ma r j a n Ma r kun , g imn . Kran j ; Po lona No va k , o. š. Z .Runka , Lj ubljana ;
Lj ubo Petko vi č , gimn . Piran ; Ti ne Petko vš e k, o .š . Prule, Ljublja-
na; Franc Pribožič, gim n . Br e ž i c e ; Magda Re ja , o .š . Dobrovo v Br -
dih; Marko Re j a , g i mn . Tolmi n ; Dian a Sa jovec , Žalec ; Rado Se ko l o -
nik, TSS, Ve l en je ; Duš a n Se l j a k , gimn. Skof ja Loka; Da r j a Span-
ring , g imn . Poljane, Ljublj a na; Nada š i rca , s l .gimn. Kope r ; Sne -
žan a š va jge r , o. š. Br a to v Riba r jev , Brežice; I zto k Trebušak , g i mn .
Brež ice ; Lučka Vnuk , o.š. Ange l Besedn j ak , Mar ibo r ; Val te r Valen-
čič, o . š. Vi da Pr egarc , Lj ubl jana; Nika Veronek , o .š . žalec ; Mi n -
k a Za v r l , Pe da go š ka g imn . , Ljubljana; Danica Zma jšek , g im n . Vele-
n je ; Ta t jan a Žaberl , o .š . Se nt j u r , Celje; Mi r a n že l j ko , TSS z a
stroj niš t vo , Ljublj ana.
Obj avl j amo r ešit e v, ki nam j o je poslal~ Nada Si r c a ( 17 l et),
d i j a k i n j a iz 3 . b raz reda s loven ske gim na z i je v Kopru :
1) Dobimo 5 trikotnikov ( sl.l) ( ena kokrak t r ikotnik, a = b = d s
in C = B S )
2 ) 10 trikotnikov (s l .2 i n 3 ) ( e nako krak trikotnik , a = b B S
in c = d s )
3 ) 5 t r ikot n ikov (sl.4) ( e na k o krak t r ikotnik , a = b (d s - B s )
in o = (2Bs - d s ))
4) 1 0 trikotnikov (sl.5 i n 6 ) (enakok r ak t r ikot n i k , a = b = B s
in c = (d s - Bs ) )
5) 5 trikotnikov ( sl .7) ( e nakokr a k trikotnik , a = b (d s - Bs )
in c = B s)
170
če petero kotniku včrtamo vse d i ago n a l e , je v njem 35 diagonal .
( Slike smo obj a v i l i na drugi s t r a n i ovitka .)
Izžrebani so b i l i : Ma rko Re j a , g im n . To lm in ; Barbara Gradi š e k,
gimn . Ka mn ik ; Janko Ca f u t a , o .š. I .ce lj s ke čete , Ce l je i n prej me-
jo za nagr ado k n j igo I. Adler: Fizika . Nagr a de je pri spevala Držav-
n a z a lož ba Sloven i j e .
Jož e Dove r
KDAJ BO URA SPET KAZALA NATANČEN ČAS?
Ura ( glej sl iko ) j e b i la v
s r e do , 1 . januarja natanko dese t !
V eni uri p rehite va 7 5 s e kund.
Ka t e r e ga dne i n meseca bo ob de -
setih spet točna in bo kazala
pravi d a n i n datum, če j o samo
navi jamo in ne popravl jamo d a -
tuma i n d ne va .
(Vsak mesec pri uri ima 31 dn i!>
Rešitve s kuponom pošlj ite na
nas lov : PRESEK - Premisli in r eš i,
Jadrans ka 1 9 , p.p.22 7 , 61001 Ljub-
ljana.
J ože Dover
1974
PREMISLI
101 POGOVORI
RAZGOVOR S PROF. KLADNIKOM
Profesor Ivan Š t a l ec n am j e p r a vi l , d a ste bi li nje gov d i jak
in to ede n najboljših. Nekoč nam je v šali de j a l , da j e on " kriv" ,
da ste se usmeri li na študi j fizi ke: nekoč vas je poslal na t ek -
movanje iz fiz ike , kje r vas j e zmaga tako spodbudila , da ste po -
stali navdušen fizik. Ali ste res spremenili svoje z animanje ta-
korekoč v hipu ali pa ste s e za fizi k o zanimali že prej in vam je
bila t o samo nova spodbuda?
V p rvem r a z r e d u višj e g i mna z i j e sem bil navd ušen slavis t in
pri jatelj slovenske bes ede . Ka j kmalu sem s po z n a l, da lahko dobro
pi š e š le , č e tudi ve š o čem p i s a t i . Moje zan imanje j e zajadralo
v n aravos l ovje . V z ačetku sem se zanimal predvs em za k emijo. Po
vojni so p r i nas o bjavljali ve liko poljudno znanst vene l iterature,
naj več v s rbohrvaš čini. Bral s em vse po vr s ti. Sko z i po l j udno li-
t eraturo sem prišel do fi zike. Na gimn az i j i v Trbovljah j e t eda j
učil mat ematiko in fi z i ko p rof. I . Št a l e c . Bi l j e z a gn a n učite lj
mat e mati k e , fiziko pa je uč i l nerad. Fiz i ko smo s pre jemal i kot
z birko f ormul, z ako no v in p r o b l e mo v , ki se jih j e ~ač b i l o treba
nauč i t i . Sl u t i l sem , d a se z a zak oni in f ormul a mi s kri va o gromno
z nan je o poj avi h v svetu in ve solju , znan j e, k i bi ga bilo dobro
osvo jiti . Toda fi zika s e mi je zde l a težka. Bal sem se , da n e bi
zmo gel študija fizik e, č etudi me je privlačeval . Prof . š t a l e c nas
j e pe lj a l v Lj ubl j a no n a tekmovanj e i z mate ma t ike . Ti k pred zač et ­
kom me je po r i ni l v sobo , k je r so tekmo vali fiziki . Ni s em se s l a -
bo o drezal . Tak o j e odpadel z adn j i pomislek .
Ali st e i mel i k o t gimn a z i j e c š e kakšn e druge konjičke - astro -
no mijo , me t eorol o gij o ? Ali s t e ime li na v aši šo li krožek?
Gim na zijc i v p rvih po vo j n i h letih nismo imeli možnosti, da bi
delal i p o s kus e a li va j e . Na šo l i s mo na l a s tno inici a t i vo usta-
no vili fi zik a lni k rožek. Pomaga l i smo d r ug dru ge mu in o r ga n i z i -
/
ral i nekaj e kskurzij . Po leg študija sem se zanimal le za šah i n
planine.
Katere knjige ste dosLej že napisaLi za srednješoLce? Katera
preda vanja ste že imeLi i n kaj še nameravate pripraviti za mLadi
svet? Kaj vas je napeLjaLo k temu, da ste se posvetiLi pedagoš -
kemu pokLicu - študentom in da niste raje odšLi na kakšen inšti -
tut? ALi najdete tudi na fakuLteti čas za znanstveno deLo?
Za srednj e šolsko mladino sem doslej nap isal učbenike fizi ke za
prvi razred srednj ih tehni š kih šo l . Konč uj e m učbenik z a d r ugi raz-
r e d. V t eh d veh stavkih so zaj e t a t r i l eta intenzivne ga i skanja,
p isan j a , po p r a v l j an j a i t d. Ze lo t ež k o j e p i s a t i za š o l o . V ečkrat
hoče pero teči , se razpisati ob kakšni zanimivi t e mi . Pa n e s me ,
ker b i b i l učbenik preobširen ali nezanimiv z a večino b r a lce v .
Komp romis i so s t a l n i spremlj e valci pisanja učbenikov. Pi s e c uč be ­
nika mora imeti zare s močan pedagoš ki č ut , da i ma stalno p re d oč ­
mi potre be uč encev , ki j i m je učbenik namenjen .
Svo j o pot v fizik i sem začel na razi s ko valnem institutu "Jo žef
Stefan", kjer sem več kot des et l et akti vno de la l na področju re -
aktorske fizike . Večletno razi skovalno de lo na ozkem razi s koval -
ne m področju s icer gomili z nanstvene č l anke i n afirmira č love ka
v mednarodnem s t r oko vnem svetu, a o b enem zapel je v oz ko s peciali-
z a c i j o . Ni sem že le l i z g ub i t i s t ika s fiziko, pa tudi p e d a goš ka ži -
l i c a mi n i dala mi r u . Večletno asistentsko delo, predavanja in p i -
sanje univerznih učbenikov s o s t esali i z mene fakult e t n e ga peda-
goga . Na fakulteti je vedno p r i l ika za raziskovalno delo . Ra z i s -
kovalno de lo črpam večinoma iz pedago ških probl emov . Le čas a pri-
manjkuje.
Vsako Leto se zeLo maLo dijakov vpiše na pedagoško smer mate -
matike aLi fizike . Čemu tako nezanimanje? ALi imate kakšen pred-
Log , kako mLade navdušiti tudi za ta študij?
Zaniman je al i nezanimanje za pedagoški pok l ic je v veliki meri
pos ledica do b r e ga a l i s l abe ga vtisa , k i ga učitelji dajejo dija-
kom . Sr e dn j eš o l s k a mlad ina s e z gleduje na svo j ih učitelj ih ; ze lo
je občutljiva in dobro zazna vsako malenkost v uč i t e l j e vem odno -
su do s troke . Učite lj , ki je svo j i s trok i predan , ki z veseljem
i n ljub e z nij o poučuje mladino, lahko navduš i mlade za pedago ški
poklic. Bit i pedagog fizike , mat e matike a l i drugih naravoslovnih
ved , se pravi, vse živ l jenj e p po u č e vat i naravn e po jave i n skriv-
no sti ter s e o njih r a z gova rj a t i z mlad im i ; r a do ve dn i mi možgani .
Kater i d r ug pok l ic j e tako bo gat?
173
Kaj menite o tekmovanjih iz fizike in matematike? Kaj b i vi
predlagali poleg tekmovanj in kviza znanja?
Dosedanj e izkuš nj e k a ž e j o , da t ekmova nja bi s tveno n e po vecuJe-
j o z an imanja za š t u d i j matematike ali fi z i k e. Mo rda j e tekmovan je
iz ma t e ma t ike še smiselno , i z fizi ke pr a v go t ovo ni . Tekmovanj a
pripelj~ jo do drugačnih c i lj ev , kot jih ž e l imo doseči pri pouku
n aravoslovnih p r e dmet o v . Tekmovan ja al i kvi z e bi bilo umestno na -
do me stiti z l etn i mi š o lami , tabo r j en j i , da l jš irn i e ksku rz i jami,
kje r bi s e ses ta jal i in se n e formalno raz govarjali s t a r ej š i fi -
z i k i ter mladi , potencial ni fi z iki.
Kaj menite o delu fizikalnih krožkov in kako bi po vašem mne-
nju povečali zanimanje dijakov za to dejavnost? Kaj bi lahko pri
krožku delali?
Fizika l n i k rožk i s o v šolah z e lo ko r ist ni in pot rebni. Venda r
mora n jihov nas tanek in nj i h o vo de lo iz vi rati iz di jaških pobud.
Uč ite l j ne more bit i n a dzornik de la v k r o ž k i h . Predvsem so krožki
idealna priložnost za medsebo jno pomoč dijakov pri razumevanju uč ­
ne snovi. Sku pn o p rebi ranje z anim ive ga čtiva (t udi zgodovinske
teme i n z nans tve no fant a s t i ko ), skupno izvrševan je po skus o v , eks -
kurzij e v naravo, razgovori s pov ab l j e n imi znanimi f i ziki (ne pre-
davanja ! ), so lah ko zelo vz po dbudni .
Ali se spomnite kakšne anekdote iz fizikalnega ali matematič­
nega sveta , kakšne šaljive pomote z izpita, kakšnega zabavnega
dogodka?
Po p rve m l e t n i ku študija fiz ike s e m s e potepal po Kamnišk ih
p l an ina h . V Ro b a no ve m k o tu sem n a lete l n a s t a r e ga pasti rja, ki
j e tam same val s k r avami . Be seda j e da l a be sedo . Kma l u s em mu v
začet ni š k em navdušenju p r i po ve do v a l o čudovitih prednos t ih atom-
ske energij e , o a vtomatizaciji , kako bo živl jen j e o la jšano i t d .
Mo žaka r me je z zanimanjem, anekam hudomušno poslušal . Ko s e m
končno z a j e l sapo , me je potrepljal po rami in reke l nekako ta-
ko le : " Mo r da bo vs e res, k a r pripove dujete . Tod a , z apomn i te si,
i
vse to b o t r e b a pl ač at i . Kol ikor večja udobnost, to l iko več je
tre ba p lačati . Narava j e v r a vn o ve sj u. ~e ji na en i stran i ne k aj
vzame te , d a si o la jšate ži vl j en je , vam t o na drugi strani škod i .
Vs a k a spre memba r odi p r o t i s pr e membo . . . " Tudi on se je razgovori l.
Pomi s l i t e, možakar je poznal zakon o ohra n i t v i energi je , zakon
o o hranitvi gibalne ko lič ine, zakon o meds ebo jnem učinkovanju!
Njego vo "predavanje " me je sp reml jalo v s a k a s ne j š a leta .
Hvala !
Razgovor pripravil Dušan Repovš
174
NALOGE-TE K MOVAN"'A___mJ
ZVEZNO TEKMOVANJE MLADIH MATEMATIKOV
Organizator zveznih tekmovanj učencev osnovnih šol je že od
vsega začetka Matematički li st iz Beograda (finančna plat) s po -
močjo Saveza matematičara, fizičara i astronoma Ju go s l a v i j e (stro-
ko vna pomoč). Na predlog kolegov iz BiH, konk retno iz Tuzle, so
letošnje z vezno tekmovanje premaknili iz glavnega mesta prvič v
provinco. Namen takih tekmovanj je tudi ta , da se zbližajo otro-
ci iz različnih krajev naše države in z njimi vr e d tudi spremlja-
joči jih učitelji. Obe nem naj bi se naši bodoči s trokovnjaki se-
znanili tudi s tehničnimi novostmi in do sežki posameznih repub -
lik in pokrajin. Seveda pa terja organizacija taki h srečanj veli-
ko dela in priprav od domačih članov DMFA . V Beogradu smo bili
navajeni , da je v s e teklo po že ustaljenem r e du - brezhibno. V
Tuzli ni bilo v tem pogledu najboljše , saj je razuml ji vo, da so
organizatorji kljub dobri volji naredili nekaj začetniških spodrs-
ljajev . No, p redsednik tekmovanja in glavni urednik Matematičkega
lista profesor Plato n Dimič je s s vo j o organizacijsko sposobnost-
jo vse uredil, tako da so bili na koncu vsi zadovoljni. Slovence
(7 učencev in dva spremljevalca) so domačini še po sebej povabili ,
da os tanej o do torka njiho vi gos tj e . V ponede lj ek so povabi li vse
udeležence tekmovanja na ogled koksa rne v Luko vcu. Kolektiv to-
varne je poskrbel za st rokovno v ods t v o pri ogledu in z a svečan
sprejem pri di rektorju tovarne . T rem najboljšim tekmova lcem so
podelili spominska da rila' koksarne . Ker je k.ok s a rn a t re nut no naj -
večji obrat te v r s t e v J u go s l av i j i (predelujejo uvože ni p remog iz
, Če š k e , Amerike in Rusije v koks in koksni p lin za p ridobivanje
visokih tempe ratur p ri ž e l e z arn a h in so mladi ve r jetno prvič vi-
deli tak gigant v obrat u , so bili se veda navdušeni. Učenci SO pra-
vilno razumeli pomen taki h t ova r n z a b ližnjo in daZ j njo okolico
ter za skupnost. To se je dobro v i de l o po po samezni h p ripombah in
vprašanjih, ki ,s o jih postavljali p o s ame z n i učenci v r a z go v o r u z
vodstvom tovarne. Potem so n a s pel jali še V solarno v Tuzli, kje r
smo videli, kako kopljejo in nato p rečiščujejo sol. Opozorili so
nas tudi na posledice tega kopanja - svet okoli živalskega vrta
v Tuzli se nevarno pogreza .
Sedaj pa še o naših in splošnih uspehih n a tekmovanj u. Kot v e d -
no smo bili Slo venci zastopani samo v tekmovan ju osmih ra zredov,
ke r v naši republiki nimamo republiškega tekmovanja učencev za
sedme raz rede. Tok rat so nas zastopali : Helena Trontelj in Edmond
Rusjan iz osn.šole Pr e ž i ho v Voranc - Ljubl j ana , An d r e j Kores i z
175
osn.šoLe PruLe - Lj ub Lj ana, Mat jaž Mi k oš iz os n . šo Le Le dina - Ljub-
Ljana, Eva Kenda iz osn.šoLe A. T.L inh art - RadovLji ca, Dejan ŽLaj -
pah iz II.osn.šoLe CeLje ,in Vanda Fiege L iz osn .šoLe M.ŠtrukeLj -
Nov a Gorica. Torej sedem osnovnošo Lcev in od teh kar štirje iz Ljub-
Lj an e. Na repubLiškem t ekmovanju so ti tekmovaLci do s egLi od 25
možnih 20 in več točk. Na zve znem te kmovanju pa so se uvrs tiLi ta-
ko Le : Rusjan 20 točk i n tret ja nagrada, Tronte Lj 1 8 t o č k i n tretja
na grada , ŽLaj pah 16 točk - poh vaLa, Fieg L 16 t očk - pohvaLa. Od
vs e h te kmovaLcev ni 2 5 točk dos e ge L nihče, najbo LjJi je biL MLa-
din Bes t r i na i z Os i jek a (23), drugi j e biL Tamaš Ker e pe s ( 22) i z
os n .šo Le Novi grad i z Subo t ice . Uv r s t i t ve o s ta Li h tekmov aLcev bo-
mo Lahk o prebraLi v Ma t ema t i č kem Lis tu . Vse h na graj enih in pohva-
Ljen i h j e biLo 22 (10 + 1 2), k i s o dose gLi do 1 3 od 25 mož nih točk.
DobiLi so Le pe spomins k e na grade in di p Lome . Des etim učencem, ki
s o do s eg Li prve, druge i n tretje nagrade, pa so raz deLiLi š e po-
sebn e spominske nagrade z a njihove učiteLje. Lepo je, da srečamo
tok r a' nagrajence i z zeLo razLičnih mest JugosLavije. Šk o da Le,
da j e biL dostop do Tu zL e z eL o t ežaven z ar adi sLabih prometnih
z vez, zato so biLi tekmovaLci precej utrujeni po doLg i vožnji. To
j e tudi verjeten razLog z a maLo sLabši uspeh naših tekmovaLcev.
Za t o bo treba v prihodnje misLit i tudi na take stvari. Vsak pos-
k us na s nauči nekaj nove ga.
BogomiLa KoLenko
ŠE NEKAJ KRATKOČASNIC
lo vstavi cifre od 1 do 9: Rešitev:
al K O S E C bl 1 T al npr. 27698 bl npr. 34
K O S O 1 S 2767 35
II 1 G II 30465 5328
B R U S 1 T 1 M E 4316
+ 1 + 3
9716
CA M E Še prevod:
bl Skrajni č as je že bil, da
sem prišel.
2. Vstavi cifre od O do 9:
al T II E bl w II y Rešitev:
C R E A 11 A R E
+ \~ E R E Y O U al npr. 584 bl npr. 482
+ S O 21407 107
G R E A T + 9414 234
SAD 31405 + 93ru
176
Dušan Repovš
Še prevod:
al Cream(znana ameriška beat
skupina) so bili odlični.
bl Zakaj si tako žalosten?
P.S.: Ostale možne rešitve
naj poiščejo še bralci sami
in naj nam jih pošljejo.
RESITVE NALOG ZA OSMI RAZRED NA ZVEZNEM TEKMOVANJU V TUZLI 1974 :
1. P 2/3k 2
P k 2 ==> V = k, f = k
P (cf)/2 (ek)/2 = 2/3 k 2
e = 4/ 3k
a 4/9k 2 + k 2 /4 = 5/6 k
V 2/3k 2 ' k = 2/ 3k 3
P 2·2/3k 2 + 4a'v
P (4/3 +20/ 36)k 2 14/3k 2
14/3k 2 = 2/3k 3 , k 7
e
v
2. BM + CM AM
Do ka z : Na AM prene s emo MC ME
( ~ AMC) = 600 , ker je to o bo dn i
kot nad istim loko m AC. ~ EMC j e
enakokrak MC = ME, z a t o s t a tudi
~ CEM in MCE enaka, torej v ~ak
po 60°. Trikotn i k EMC j e torej
enakostraničen CE = CM. ( ~ AEC) =
= 120° = ( ~ AMB). Se d a j je treba
le š e dokazati , da je AE = MB. I z
~ AEC ~ CMB (po Ss k skladnost-
nem izreku) sledi tud i e nakos t
AE = MB in izrek j e do k a z a n.
c
3. VI X mimin x + y = 1650
V2 Y mimin llx - lly = 1650
VI 900 mimin x + y = 1650 y =1650-900
V2 750 mImin x - y = 150
2x = 1800 x =900
VI (900km ·60)/l000·lh = 54km/h
V2 (750km ·60)/l000h = 45km/h
177
x = - 2, y ~ - 2-4 - 6, T ( -2 , -6 )
V V - V r= 2s 1 s 2
vl= 4, v2= 2
V = (lIr 2v l ) / 3 - (lIr2v 2 )/ 3
V = ( lIr 2 ) /3 ( v l - V2 ) = (11 4. 2)/ 3 =
( 811)/ 3 cm'
4, P I = y = x - 4
P2 = y = 2x -
P ABa - Deo
P = ( 4 '4)/2 -
T x - 4 = 2x - 2
2
( 2 '1) / 2 = 7 cm"
1/
x
5. ( 8xl l0-1/ 2) 2 + (6 xl l0- 13 / 10 ) 2 = 4( 5xll0-7/1 0)( 5xll0+7/10) -
- 6 ( 15x l l0 0+8/ 100 )
(8x-5)2 /100 + (6x-1 3) 2/1 00 = 4( 25x 2/100-49/ 100) - 6 ( 15x +8 )/ l 00
(8x-5)2 + (6x-1 3)2 = 100x 2-19 6-90x-48
64x 2-8 0x +25+36x 2- 156x+169 = l 00x 2- 90x- 244
90x -2 36x = - 244- 1 94
-14 6x = -4 38
x = 3
Pre izkus: · (2, 4-0,5 ) 2 + ( 1, 8-1, 3)2 = 4( 1, 5- 0, 7)( 1, 5+ 0,7) -
- 6(0, 45 +0 ,08 )
1,9 2 + 0,5 2
3 ,61 + 0,25 =
. 3,86 = 3,86
3 ,86 4 '2 ,2 '0 ,8 - 6·0 ,53
7, 04 - 3 ,18 3 ,86
178
BogoIlila Ko l enko
NALOGE ZA OSMOŠOLCE
1 . 5 kos ce v bi mo r a lo pokositi tra vnik . Ker s ta dva zbole l a , j e
moral vsak · izmed ostal ih kosce v pOkos i ti 5 1/2 a več . I zračunaj
ve l ikost travnika !
2 . Posoda , ki drž i 10 l itrov, j e na po l nj en a z vodo . 1 li t er vode
odl ijemo i n do l i jemo 1 l itQr a lkohol a . Dobro preme~amo i n odlij e-
mo 1 l it e r mešanice , nato pa spe t do li jemo 1 lit e r č istega alko-
ho la. Kol iko l i trov vode je ostalo v posod i in kol iko procentna
je mešanica?
3. Skozi oglišče C enakost ran ičnega trikotnika ABC je n ač rtana
premica p,ki j e vzporedna s simet r a lo kota B. Premica p seka po -
daljšek s t ranic~AB v točki D. I ~računa j obseg trikotnika ABC,
če j e razdalja CD = 17 cm, obseg trikotnika BDC pa 37 cm !
4 . Izrač una j plošč i no enakokr akega trapeza ABCD, če merit a st ra-
nici AB = 11 cm, CD = 5 c m in kot o = 1350 !
5. Vlak hi mo ral pre vozit i 720 km v 14 ur a h l n 24 minutah . Ko je
prevozi l 3/4 pot i , j e mora l zaradi okvare na progi čakati 16 mi -
nut. S kol ikšno hi trostjo mora vlak nadal j eva t i vožn jo , da bo
pravočasno pr ispe l na cilj?
6a) Za katere vr edno s t i spremenl jivke x ima števi lski i z r a z
7 - (x- 4 ) največjo vre dno s t ?
b) Za ka te re vrednost i x j e številski iz raz ( x- 2 ) /( x 2+ 5 ) nega tiven?
7) Kate ta pravokot nega trikotnika meri 6 cm, hipotenuza 10 cm. Iz-
računaj velikost p loskve pravokotne ga trikotnika , ki leži zunaj
včrtanega kroga !
8 ) Enakokrak i trapez (a = 37,5 cm, b = 17 cm, v = 8 cm) je de l
enakok rakega trikotnika , s katerim ima skupno osnovnico . Izraču ­
naj višino enakokrakega trikotnika!
9 ) št irist rana pirami da ima za osnovno ploskev kvadrat . Ede n i z-
med stranskih robov j e pravokoten na osnovno ploskev i n enak os -
novnemu r obu . Izrazi z osnovnim robom:
a ) volumen p i r amide ,
b ) do lžino na j da l j š e ga stranskega roba ,
c) ve l ikos t pr&seka, ki nastane , če presekamo piramiL!o z ravn ino
skez i vrh in diagonalo osnovne ploskve!
Rešitve
1 . 3 kosci pokos i jo še 5 ~ a . 3 = 16 ~ a travnika. Vsak izmed
obo le lih koscev bi moral pokositi 16 ~ a . 2 = 8 * a . Travnik
meri 8 ~ a . 5 = 41 ~ a.
2. V vode V alkohola
od l i jemo 1 t vode 9 t
dolij emo 1 .e alkohola 9 .t 1 .t
odli jemo 1 .t mešanic.e 8 , 1 .t 0 ,9 .t
dolijemo 1 .t a lkohola 8 ,1 .t 1, 9 .t
Mešanica je 19%.
179
3 . Tri kotni k BDC j e e nak okrak . BC 1 0 C I;} , o bseg ABC mer i 3 0 cm.
4 . D C f- ADE = 45 0
11 \ AE ED = vAB - CDAl:: 2
A E B v = 3 cm P 2 4 c m
2
5 . v = S t; km/ h
6 . a ) x = 4 b ) x < 2
7 . b 2 c 2 - a 2 b 8 '::m
a·b
Pt - 2-
a ' r b ' r c , r
Pt - 2- + -- + --2 2
l' b c ) 2Pt 2 (a + + l' = c m
Pt 24 cm
2
P Pt - Pkb A
P 11 , 4 4 cm
2
8 , v , = a x 2 b 2 - v 2V 2 x =
VI 1 0 c m x = 1 5
E
A a B
s, a ) V a
3
3
V.
b ) al3s =
c ) Pt;
a 2 12
ACV - 2-
C
d)
a 2 13
Pt; BDV - 2-
Bis e rk a Mikoš
180 "
DVE VPRAŠANJI
1. Ciga re t a , i z ka tere s mo p r avk a r
pos rk a l i dim, se kadi na obe h s t r a ne h .
Iz tl eče ga krajišča se vije modrikast
dim, d i m na drug i strani pa j e be l .
Ka ko r az lož i mo t o r azli ko v barvi?
Odgovo r : Raz Li k a v ba r vi nas tan e z ara -
di s i pan ja sve tL obe. De Lc i dima , k i s e
d vigajo iz tLeč e ga k rajišča , so namre č
manj š i od t is ti h iz us t nega . Ustn i deL
ci ga r e t e je v Lažen in v Laga s e konden-
zira na de Lc ih di ma . Ta ko nastanej o
kapLjice v o d e , ki so večje o d de Lce v
dima, svetLoba, k i jo s ipajo, je beLa .
Manj ši deLci s tLeče strani močneje
sipajo sve tLobo z manjšo vaL ovno do L-
žino . Dim je zat o modre barve. (GLej
še PRESEK x/s ,»
2 . Na š kri pcu , ki j e vrtlji v b rez
trenja, visi vrv z zane marlj ivo maso .
Na vrvi j e obeš eno zrcalo , na d r ugi
strani p a se v i s ti v i šini drži z a
vrv opica, k i se opazuj e v zrcalu. Vrv,
op i c a in zrcalo mirujej o. Ali s e lahk o
opica pre makn e g l e d e na svojo sliko v
zrcalu , če začne plezati navzgor ali
n a vzdo l ?
Odgo v o r : Ne , o p i c a se n e mo r e premak ni-
t i g Lede na s vo j o s Li k o . Nj e n a sLi ka
potuje z njo go r in do L, dokL e r se n e
bo zrcaLo p ri padc u na tLa r a z b i Lo .
Vrv je Lahko v ra v no ve sj u Le , če je
masa opice enaka masi zrcaLa. · V tem
p r ime r u i n V prime r u , če je šk ripec
vrtLjiv b r ez t r enja, pa b rez zunan j ih
siL, s amo z n o t r a n j i mi si Lami v s is-
t e mu, k i ga s es tavLjajo zrcaL o , op i -
c a , vrv in š k r i pe c , ni mogoče doseči
p remik a ~p ice g Le d e na zrcaLo.
Dušan Repovš
ST I RIMESTNO STEVILO
Do loč i štirimestno število ·a b c d, če veš, da je kvadrat in
da je c = O in a = b + d
KOD
Odgovor: 9 801 9 92
181
MATEMATiČNO
RAZVEDRILOI ~l _
STANKO IN PETER SE LOVITA
Naga znanca s t a ž e l e to dni s t a r e j ga i n poč i t~ i c e sta prež i-
vel a med taborniki. Svo j i m tovarigem sta ob ognju pripovedovala
zgo dbo iz star e Grč i j e o Ah i l u in žel v i. Tudi pri k r o žku sta nam
jo pripovedova la in prepričan s e m, . da bo va m t ud i všeč , zato s e m
j o z a p i s a l . V z godbi j e Ah i l a , najhitre j š e ga t ckača antične Grči ­
j e, z ame n j a l k a r dol gonog i Peter , St a nko p a j e nastopal v vlogi
počasne že lve , a to j e bi lo le na t a bo rj e nj u . Pri krož ku s t a s e
bo l j d r ž a l a izvirne ga i zroč ila grgke ga matematika in filo zofa Ze -
nona (480 do 435 pred našim štet jem) .
Počasni Stanko j e trdil, da g a Pe t e r ne more nikdar ujeti, č e
sta v začetku - pred star t om - za do l o fe no r a zda l jo na ra z e n . " Naj
bo razdal ja med nama v začetku 1 km i n naj bo Peter la-krat hit-
r ejši." - "To s e ve da ne drž i " , j e dodal, " a tako si bomo laž je
preds t a v l j a l i naji n tek, k i bo zame prav po č asen sprehod . "
" Bomo ž e videli , kako s e boš i zmu z n i l " , mu j e v s koč i l v be s e do
Pe t e r in dodal :" Ce te dohi t i m, t i jih nalo ž im, ž e l v a počasna l"
St a nko se ni pr e s t r aš i l i n j e nadalj eval:" Ko prid e Pe t er do mes -
t a , k jer s em b i l j a z v začetku teka, preteče 1 000 metrov , j a z pa
lO -kra t ma n j , to j e, sprehodim se 100 metrov naprej in Pe te r me
ne mo re doh ite t i . "
"Le dalje, dalje", ga je vzpodbujal Pe t er . In Stanko je nadalje-
val : "Ko bo Pe te r preteke l še t eh 1 00 metrov , se mu bom j a z odmak-
ni l z a 1 0 met rov. Pe t er bo pr e t e kel še t e h 1 0 met rov , j a z pa bo m
še ve dn o 1 meter pre d n j im in t ako se l a h ko l o v iva v n e do gl e d. "
" Pet e r s e t i bo v na s l e d n j em koraku približal že na dec imeter
in t edaj t i j i h bo nalo ž i l" , so s e Stanku z a s me j al i tovariši . Stan -
ko p a se ni da l ugnati in j e o dvr n i l :" Pe te r mor~ priteči najpr ej
182
do točke, kjer sem bil jaz prej. Medtem pa se mu jaz odmaknem na-
prej. Tako lahko nadaljujeva postopek v nedogled." Nato pa je pro-
blem prevedel v matematičn : jezik in povedal, da gre za pojem raz-
dalje oziroma za daljico, sestavljeno iz neskončno mnogo daljic -
odsekov Petrove poti, ki jih je zapisal takole:
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 +
Prvi odsek hitronogega Petra je dolg 1 km, drugi odsek le še de-
setino kilometra, to je 100 metrov, tretji odsek meristotino ki-
lometra, to je 10 metrov, četrti tisočino, to je 1 meter, peti
desettisočino, to je 1 decimeter in tako naprej. Odseki se torej
. manjšajo in vsak naslednji je desetkrat manjši od prejšnjega, od-
sekov je čedalje več, rekli bi neskončno mnogo sumandov mora Pe-
ter sešteti, da bo dohitel počasnega Stanka.
Iz izkušnje so tovariši vedeli, da se tako tekmovanje v resnici
kmalu konča in bo Peter brata dohitel. Seštevanje neskončne vrste
ulomkov pa se jim je med počitnicami upiralo.
Pri krožku so Petrovi sošolci predlagali rešitev z enačbo. O-
značili so pot, ki jo preteče Stanko od začetka do konca teka, z
x. V istem času preteče Peter pot 10·x, saj teče desetkrat hitre-
je od brata. Celotna pot, ki jo preteče Peter, je za 1 km daljša
od Stankove, enaka je x+l. Po izenačenju obeh poti so izračunali,
da preteče Stanko 1/9 km, Peter pa 1 1/9 km poti.
Tudi Stanku je bila ta rešitev razumljiva, vendar me je še ved-
no spraševal, kako bi se dalo sešteti neskončno vrsto ulomkov, ki
jih je zapisal. Prepričan sem, da mu boste, dragi bralci, radi po-
magali, sedaj, ko rezultat poznamo, bo to gotovo lažje.
Stanko je še dodal, da mu je sosedova Pika, ki hodi v gimnazi-
jo, že nekaj pripovedovala o geometrijski vrsti, a rešitve si ni
zapomnil, zato prosim, da mu jo pošljete kar na Presekov naslov.
Nikar predolgo ne seštevajte, ker boste popisali ves papir in
"zgrizli" vse svinčnike, pa še osiveli boste povrhu in še vedno
ne boste uspeli sešteti neskončno mnogo naslednjih členov v vrsti ,
v kateri je vsak naslednji člen desetkrat manjši od prejšnjega.
Poskusite z razmislekom izpeljati splošno rešitev problema.
Veliko uspeha in lep pozdrav.
"Cifra"
183
NALOGA O PROMETU
V mestu je predel, za katerega velja naslednje:
l. Poljubni dve ulici tvorita vsaj e no križišče.
2. Poljubni dve ulici tvorita največ eno križišče.
3. Poljubno križišče je vsa j na dveh ulicah.
4. Poljubno križišče je največ na dveh ulicah.
5. Ulice so štiri.
Zaradi ureditve prometa ob prometni konici v tem mestnem pre-
delu pošlje komandant milice v vsako križišče po enega milični­
ka. Vprašanja, na katera je treba odgovoriti (in odgovore ute-
meljiti), so naslednja:
l. Ali je kakšna ulica v tem predelu, kjer ni miličnika?
2. Koliko ulic hkrati nadzoruje vsak miličnik?
3. Koliko miličnikov je za to potrebno?
4. Koliko miličnikov je v vsaki ulici?
5. Koliko miličnikov vidi vsak izmed miličnikov, ki stoje v
križiščih, če so ulice ravne, tako da ima vsak miličnik pregled
samo po ulicah, v križišču katerih stoji?
6 . Koliko miličnikov pa ne vidi vsak izmed njih?
7. Katerega miličnika ne vidi vsak izmed njih?
8. Kakšen je načrt tega mestnega predela in kako so v njem
postavljeni miličniki?
REŠITEV
l. Na vsaki ulici je vsaj en miličnik. Iz točk l. in 2 nam-
reč sledi, da tvorita vsaki dve ulici natanko eno križišče, a
komandant je poslal v vsako križišče po enega miličnika.
2. Vsak miličnik nadzoruje hkrati natanko dve ulici. Iz za-
htev 3. in 4. točke sledi, da je vsako križišče natanko na dveh
ulicah.
3. Za ta predel je potrebno 6 miličnikov. Iz zahteve 5. toč­
ke namreč sledi, da so štiri ulice, ki jih označimo 1, II, III
in IV. Ker imata vsaki dve ulici natanko eno križišče, kjer je
miličnik, lahko označimo miličnike, ki so v križišču 1 in II u-
lice z Ml ' 1 in III ulice z M 2' 1 in IV ulice z M 3' II in III
184
ulice z M4, II in IV ulice z MS in I I I in IV ulice z MG' To p a
j e edi n a možnost, ker po zahtevi točke 2 poljubni u l ic i tvor i t a
na j več eno križišče, vsako križi šče pa j e največ na dveh u l i c a h .
4. V v s aki uli c i so nat a n k o t ri križišča z miličniki. Po pre-
jšnjem odgovoru so miličniki v križiščih: 1 in II , 1 i n III, 1
in IV, II in III, II in IV, III in IV. Na cesti 1 s o torej mi li č ­
n i k i Ml ' M2 , M3, na cesti II miličniki Ml ' M4 , MS' na c e s t i III:
M2, M4 , MG' in na c e s t i I V miličniki M3 , MS in MG '
S . Vs a k miličnik vidi na tanko š tiri mi l ičn i ke. Ker je namreč
v križišču nata n ko dveh ul ic, ima pre g led nad nj ima in vidi v
vsaki še po dve križišči: 2 x 2 = 4.
G. Vs ak od miličnikov t orej n e vidi nata nko e nega. Po o dgo -
voru točke S vid i namreč 4, on sam j e peti, v seh miličnikov pa
je G.
7 . Ml ne vid i MG' M2 ne vidi MS' M3 ne v idi M4 in o b r a t no .
8 . N ačrt mestnega predela pa j e tak:
Fr an c i Ob l a k
KAKO DOKAŽEMO , DA JE VSAK TRIK OTNIK ENAKOSTRANIČEN
Na r iš i mo pomožno s l i ko ! ( 51 .1) Dokaž imo n a jprej trditev
AB . I z oboj e-
S1.1
AC = AR + RC = BQ + QC = BC
Na po do ben način bi lahko po kaz a l i tudi, da j e CB
ga sledi
CR = CQ in SR = SQ
Podobno po kaže mo tudi, da j e
RA QB. Tr iko t n ika RSA in QSB s ta namre č pr avokotna i n se u jema -
ta v d veh stran icah. Zato sta s kladna. Potemt ak em tud i t a enakos t
ve lj a . Nare dimo še končni skl ep
V t a namen nar i š e mo s i metralo 8
k o t a pri C in s imetral o p stra-
nice A B. Ce je p I I 8, premi ci p
in s sovpadata in je triko tnik
ABC e n akokrak . To r e j t rdi t e v z a
ta p r ime r ve l j a . V nasp rot nem
primeru (p I I s) pa s e premi c i
seka t a. Pre sečiš č e označimo z S.
Iz Spo t egnemo pravokotnic i n a
strani ci AC i n BC. Ta~o dobi mo
t očki R in Q. Ke r se trikotnik a
RSC in QSC ujemata v dveh kotih
i n eni s tranici, st a skl adna .
Zato veljata e n akos t i
CB BA
in dokaz j e končan.
Kje j e napak a? Morda bo k do re k e l , da se premi ci p i n s s e k a -
t a zunaj trikotnika. Vendar tudi v t em pri meru lahko t r di te v do-
k a ž e mo podob no kot p re j. Op iš imo n a k r a t ko pot e k dokazo van j a :
Iz skl adnos t i t r iko tnikov RSC in SQC dobimo enak o st RC =' QC ,
iz sk l adnos t i trikotniko v RSA in SQB p a enakos t RA = BQ. Od t u
s le d i
k a r j e bilo t reb a dokazati .
186
Slo 2
Ka j s eda j ? Ali je ka j n a robe z
g eorne t r -i j o ?
Pr i podr o b nej š i anali z i "dokaza"
b i u got ovil i, da s mo napako napra-
vili zato, ker s mo se pri sklepanj u
opirali na nemogoče s like. Izkaže
se namre č , d a j e preseč išče S vedno
zuna j trikotnika i n da je točka Q(R) ~~~-----i~1-------~~
me d točkama B(A) i n C, če je BC(AC) ~L
daljša o d stranic AC in BC
No , k l jub temu naš " do k a z" ny1)reZ
vsak e vrednosti, k aj ti spozna li s mo :
- pri dokazovanju s pomoč jo s l ik mo-
ramo biti pazljivi ,
- profesorj i i ma j o l e prav, ko zahte-
vajo natančno naris ane po možne
slike .
Vladimir Batagelj
MATEMATIČNA IZPOLNJEVANKA
Vpiš i v vs a ko po lj e po eno č rko tako, d a dobiš skupaj z ime-
ni vpisanih matematičnih poj mov v prv i vrs ti lika, v sto l p c i h
besede nasledn jeg a p ome na:
\
~, - 10 0 n i= L\.. 5 3-
0 ,
O r>.oO..1
""'\ ) '\o~
--- ....-
1 2 3 4 5 6 7 8
l . krajevna posebnost, kra-
jevni izraz, 2. ruski lirič­
ni pesnik (Sergej, 1895-1925),
3. storjeno dejanje, oprav-
l j e no delo, 4. vzmetne kle-
ščice z a prijemanje d robnih
pre dme t o v , 5 . rek a na me j i
med ZDA in Kanado, ki pada
z znamenitim slapom, 6. zad-
nja jugoslovanska železniška
postaja v Medjimurju ob pro-
gi, ki pelje iz Slovenije
preko Čakovca v Madžarsko,
7. velik i t al i j a n s ki pe snik
in h umanis t, mojster soneta
(Francesco), 8. jedilnica
starih Rimljanov.
Črke na pol jih s k r o g c i
d a j o krajše ime za v r s t o
računa v višji matematiki.
Pa vel Gr egor c
187
PROBLEM S KARTAMI
Na Loga :
Imaš 32 kart ( n. p r . z a p refe r ans ) . Kar te s s l iko na j ima jo
vre dnos t 2 , o s t a le pa t oli ko, ko l i kor z na kov i maj o . Ta ko im a as
vredno st 1 , scdmica vrednost 7, de s etka vred no st 1 0 i t d . Vz e mi
po l j ubno kar to . Nan j o nalo ž i t oliko kar t , da bo vsota števila
teh kart i n vrednos t i p r ve kar te 1 0 . Primer : Ce j e prva karta
sl ika z vre dno stjo 2 , dodaš še 8 kart , n a sedmico do daš tri kar -
t e , Ila de s etko pa nobene . i, a ta način s es tav i polj ubno š t e v i Lo
kup6ko v . Nek a j kart pona vad i os t a ne n eupo r a bl jenih, t o j e o s ta-
nek . Ce po veš , ko l iko kupčkov s i s e s t a vi l i n ko l i k o kart je os-
talo , ti pove m, ko l i k a j e v s o t a v rednos t i vseh spod n j ih kar t !
Rešitev :
Z n označimo število kupčkov , p naj bo število ka r t v ostanku ,
xl' "'2 ' X 3 ' · · · , "'n pa so vrednosti s podn j i h k a rt .
V prvem kupčku j e 1+10-x 1 kart , to rej l l-x 1 . Do d a n ih ka r t j e
naP.1reč lO -x l' Po tem je v d rugem kupčku l l- x 2, tretjem 11 -x 3 k a r t
itn . Ce sešte j emo karte v kupčkih in dodamo še os t a ne k , moramo
dobiti 32 :
1 1-"' 1 +11- x 2+11-x 3+· ·· +ll -"'n +p=32
n.l l-( x 1+x 2+x 3+· ··+xn )+p=32
I šč emo v s o t o x 1+x2 +"' 3+... +xn' označimo jo s s :
lln- S+p=32, to re j
s = lin + p - 32
=========== =====
Bral e c se lahk6 sam , p re p r i č a , da ve lja naloga i n reši tev t udi
za poljubno š tevilo kart . V r eši t v i namesto 32 pi š emo to št e v i l o .
,1n d r e j Ku z man
1SS
IIOJ\.IA ORU$lVO MJ\H MATlKOV, FIZIK.O\, Ui AS1RGNUa.mV SR SlOVE~UE
OBZORNIK
lA MATEMATIKO IN FIZIKO
1975
leln,k 22
1
OBlQR~I( 'dAl m • U\l~lJ A 't A • lil'l' n . Si l . Slfll_ 12 , JAJrlI,:AR 1 91 ~
Od 13 . do 15 , XII, 1914 j e
Dr uš t vo mat ematikov, fi ziko v in
astronomov Sl o ven i j e organiz i r a-
lo v Portorožu posve tova nje o
nov ih učnih me t o dah in načrtih
za f iziko in matemat iko zd r uže -
no z občn im zbo rom društ va , Po-
s ve t o vanj a s e je udeležil o okol i
150 č l anov , občnega . zbora pa pri
bl i žno 200 č l anov , V progr amu je
bi l t udi obi s k in ogle d tova r ne
Tomos v Kopr u . Predstavni ki pod-
j etja so pod vodstvom prof , J ,
Žumr a - člana r az vo jneg a i ns t i -
tuta podj et ja Tomos- r a zKazali
č l anom druš t va najzanimive jše
de le t ovarne, Tovarna Tomos j e
že več l et podpor n i č l an na še
pod ružn i ce v Ko pr u ,
Naš i h pos ve t ovanj so se l etos
ude l eži l i mnog i učit elji, k i po-
uč uje jo na slovens ki h šolah v ~
za mej i tvu te r č l ani druš t va Ma -
t he si s iz sosedn j e Italije s
predsedn ikom dr , A, Stei ndl erjem
na če l u , Udel e ženc i občnega iba -
ra pa so s i v soboto ~Qpoldne
o ?l ed al i v Trs t u I nst~tut HOber-
d;:;n" in Sl o vens ko gi mnad jo
" France Preše r en" ,
VABIMO . VAS V DRUŠTVO
Na jpre j bi se radi ponovno
za hva l i l i za vaše sode lova nje
pri š i r j en j u PRESEKA - lista za
mlade ma tema t ike , f i zike in as -
tronome. Cepr a v je letos šte vi -
l o naroč n i ko v nekoliko manjš e
kot lani , je 12,5 00 š e ve dno raz-
vese ljiva šte vi lka , Ce imat e kak-
š ne teža ve ali vprašanja , vas
prav lepo pros imo , da se oglasi-
t e os ebno , po telefonu a l i pis-
me no , Odgovor bos t e zagotovo
pre jel i ! Kdo va m bo od govoril:
odgovorn i urednik , sekre ta r ko-
misije za t is~ , predsednik druš t -
va ali kdo dr ug , je odvisna ·l e
od t ega, ka kšna bo vpr aš an j e .
Do vo l i t e nam še , da po vabimo vs e
tiste , ki še nist e č lani našega
druš tva , s š i r j e nj em st r okovne
l ite rat ure pa vam to mesto pr i-
pada , da nam poš lje te prij avo
za č l anst vo v na šem dr ušt vu , v
kat e ri na ved i te tud i šo l sko iz -
ob r azbo i n k je ste zapos leni .
Let na č lanarina i n naročni na na
društ ve na glasi lo OBZORNIK ZA
MATEMAT IKO IN f IZ IKO znaša 60 ,-
din , ka r nam nakažite na naš
žiro rač un,
Skupi na č l anov Dr uš t va ma t.ema-
U kov . h zikov Ln astronomov
pre d vhodom v t ova r no Tomos .
1
STVARNO KAZALO PRESEK 1 (1973/74)
Kot smo vam obljubili v uvodniku prve š t e v i l k e l e t o š n j e ga
Preseka, vam da n es prinašamo k a z alo vseh prisp e vkov, ki s mo j ih
v Preseku ob javi l i v š t i.r-Ln š t e v i l k a h lan s k e ga š o l skega l e ta.
UVODN IK I - Dr agi di jaki ( Mil o š Pol j anšek ) 1; Dragi b ralc i (To maž
Sk ulj ) 2 ; Ob s toletnici ro j st va mat ema tika J o s i p a PI~mlja (Marijan
Vagaja) 65; Mladi in ma , fi , as (Tomaž Skulj) 129; Dragi bralci
( Mar jan Hr ibar ) 1 61.
MATEMAT I KA - Začetn i pojmi geomet r i je (franci Obl ak ) 4, 69,1 31,1 62;
Nen a va dn i hot e l ( N. Ja . Vil e nkin, p re v. Ma r i j a n Vag a j a ) 10; Neka j o
mnogoko tn i ki h - reš i tve n a l og (Janez Rako vec ) 72,158; Ne k a j o šte-
vil skih sestavih - r e šitve vaj (franci Oblak) 77,121.
fI ZIKA - Sipanje s ve t lobe ( Rudi Kladnik) 1 7 ; 10+111=1 001 (Jože
Paho r ) 81 ; Kako r ešiš . f i z i k a l no na logo ( To maž Sk u l j) 8 7 ; fi z i ka
trk o v (Pe t er Gos a r ) 16 5 .
ASTRONOM I JA - Nikol a j Kop~rn i k ( Marijan Prosen) 2 3 ; Sonč e v in
zvezdni čas - r ešitve nalog (I1a rijan Prosen) ' 2 5 , 1 2 0 ; Kome ti ( Ma-
r ij a n Prosen) 92 ; O severnici (MariJan Pro s en) 146; Na o b s ervato -
r iju " Colina k ap a " s o o pazovali komet ( ~uhamed Muminov i č ) 17 8.
SLOVARC EK - Pre seko v slovarč ek ( Marijan Pro s e n ) 30; Sl ovarček
( Marijan Pro s e n) 1 2 3 .
STRI P - V r a zmi s l e k ( Tomaž Pisanski ) 32 ; Te ž a ( Toma ž Sk u l j ) 96.
PREMISL I I N RESI - Na loga o Pre s e ku ( fr a nci Oblak ) i n razpi s 4 5,
56 ; Rez ul t a t i p rve ga nagr a dnega r a zpi s a .. . in druga n a lop,a 1 02 ;
Dopo lnilo '. . . te r tretja nalo ga (Jože Dove r , Tomo Pisan sk i ) 1 6 0;
Rez u l t a ti drugega nagradnega ra zp i sa ... in četrta ·naloga (Jo ž e
Dove r ) 1 82 .
NALO GE - TEKMOVANJA - Dv e nalogi i z ge o me t r i j e (franci Oblak, Jo -
ž e Do ve r ) 9; Os no vno š o l s k a t e kmovanja z a Vego vo p r i z nan je v l e t u
1 97 2 (Pavle Za j c ) 36 ; III .zvezno t e k movanj e ml ad ih mat ema t iko v ,
uč encev 7. in 8 . raz redo v osnovnih šo l , Beograd 19 72 ( Bogomila
Kolenko ) 39 ; Re p ub l iško tekmovanje mladih matemat iko v , Ma r ibo r
19 72 ( Mari ja Munda ) 41; ~ XIV . medna rodn i matematični o limpiadi
(Tomo Pisans ki) 4 4; Republ iško t ekmovanje mladih f izikov, No v a
Gor i c a 1972 (franc Perne ) 48 ; Nalo ge za ml a de a stronome - r e šitve
( Marijan Prose n) 52 , 1 20 ; Osnovnoš o lsko tek mo vanj e za Vegovo p r i -
znan je v šolsk e m letu 1 972 /73 - reši tve nalog (Pavie Za j c ) 113;
Te k movanje slovens kih s r edn j e š o l c e v v Ko p r u 7 .4. 1973 ( Bo go mila
Kolenko ) 136 ; V dese t litersk i posodi ( Vl a d i mi r Batagelj) 136 ;
IV .zvezno tekmovanje mladih matematiko v osnovnih šol j e b i l o 17.
junija 1 973 v Beog r a d u ( Bogo mila Kolenko) - rešitve (Jane z Ple š ko)
14 2 ,152 ; Za naj mlaj še b r a l c e (Pa vl e Za j c ) 14 3; Koleda r t e k movanj
(Pa vl e Za j c ) 1 55; Republ iško tek~ovanj e mladih fi zi ko v v Ce l ju
1 97 3 ( DUšan Re povš , And a To mec) 186 ; fizi kalni kviz (Dušan Repovš )
190.
190
KRO ŽKI , PREDAVANJA I N LETNE' SOLE - Poročila o matemat ičn em , fi -
zikalnem in a st r o nomskem k r o žku na I. g i mn a z iji v Lj ubl jani v š ol.
l etu 1971 / 72 ( J a ne z Ce r a r , Duš a n Rep o vš , Ma rko St a ri č ) 53; Le tna
šola mladih matema t iko v Jugoslavi j e ( Dušan Repo vš ) 55 ; Predavanja
z a s r edn ješo l ce ( Duš a n Repo vš ) 11 2; Op a z o va n j e prehoda Me r k ur j a
če z Sonč e vo ploskev ( l1arko St ar ič ) 1 34; Po ročilo o de l u fi z i k a l-
n e ga in matemat i čnega k ro žka na I . r:i mn a z iji v Lj ub l j a n i v š o lskem
l e t u 19 72/ 7 3 ( Dušan Re po vš ) 1 84; Letna šo la ml ad i h mat emat i kov ,
Pr i mo š t e n 1 973 (Dušan Repo vš ) 4/ 111.
I Z LABORATORI JA - Opazujmo i ztekan j e vode (Jan ez Ferba r ) 57 ; Ste h-
t ajmo las ( J ane z Ferbar ) 1 05 .
MLADI RAZISKOVALEC - Raz i s kovalna naloga " Ko ho ut ko v kome t " 1 24 ;
Raz iskova l n a naloga " Koho u t kov kome t " (Ha r-ko Starič ) 1 79 .
t1ATEI1AT ICNO RAZVEDRI LO - SIt1 ( Ro bert R. Korshage , p re v . Tomo Pi s a n-
ski ) 1 75 .
ALGORI TEM - Ulamova spira la (Vladi mir Batagelj ) 1 0 8; Er a tosteno vo
reše t o (F ranci Obiak ) 1 09 .
BISTROVI DEC - Se stavl jenka - r e š i t e v ( Fr a n ci Obl ak ) l/ IV , 12 2 ; Tež -
k e ko cke ( Tomo Pisanski ) i n reš itev 2 /IV ,15 6 ; Pre kop i c u j mo k va -
d r a t , p ravoko tnik . .. ( Fr a nci Oblak ) in rešitev 3/IV ,4/ IV .
BO LJ ZA SALO KOT ZARES - Tr i k s k a rtami "( Vl a d i mi r Batage l j ) 6 4 ;
Pro s t i pad ( To ma ž Sk ulj ) 128 ; Kr iptari t mi - r e š i tve ( Vladi mi r
Ba t a ge l j ) 15 0 ,1 74, 1 77 .
REBU S I , ZANKE - Jos i p Plemel j 71 ; Zanke ( Vladimi r Batagelj ) 15 7 .
UTRIN KI - Iz tek a n j e vo de ( Toma ž Sk ul j , Ci r il Ve l ko vr h ) 59; O č e se
pelje .. . (C iril Ve l ko vr h ) 1 07 ; Nekoč po p rvi s ve t o vn i vojn i ...
( I va n Vida v ) 1 07 ; Takoj po o p r a vl jenem dokto r a t u .. . ( Ivan Vidav )
111 ; Mo dr os t s t a r e g a Se jka ( Duš a n Repo vš ) 1 3 3; Koliko jP. 2 x 2 ?
( Vl a dimi r Ba t age l j ) 15 1 .
P I SMA BRALCEV - Dr agi bral c i ( Fr a n c i Obl ak ) 1 5 9 ; Pro f e so r d r . Fran
Do mi nko med učenci o s novne šole Po l je (MatiId a Le narčič) 1 7 3 .
POGOVORI - Ra z go vo r v Cerkne m (Jože Dove r , J o ž e Ko t n ik ) 34 ; Raz -
go vo r s prof . Kri ž aničem (Tomaž Pisanski ) 98 .
NOVE KNJIG E - Knj i ž n ica Sigma (Iva n š t a l.e c , Ciri l V elkov~h) 61 ;
Pub l i k a c i j e Druš t va ob s to l e t n i c i r o jstva p ro f. d r. J. Pleml ja ( Ci -
r il Velko v r h ) 1 17 ; S .Uršič , Zb i rka rešeni h na log i z matemat ike s
t e kmo va n j uč e nce v o s mi h r a z r edov osemletnih šol ( Ci r il Ve l kovrh )
1 55 . .
FI LATELl J A - (Ciri l Ve l kovr h ) 3 /1 11 .
POEZI JA - Oda k vadr a t n i enačbi z baladnim p r i okusom ( To maž Pi s a n -
s k i ) 141.
PORTRETI - J .Vega - razgledn ica 4 0 ; F . Kri ž an ič ( Božo Pečar) 1 00;
F. Dominko ( Božo Pečar ) .173 .
IZ UREDNIšTV A I N UPRAV E PRESEKA - (To ma ž Sk u l j ) 1 26 , 1 85 .
cc-ci Vel.k o v r h
19 '
')~Ob 85 "'nlet prof-Ja d. Laua Č.,m"'}a
rt'rrI:~~t::;tlI'1;;~~ se je rodil 10. oktobra v Tr stu , ki je
Po maturi je š tudiral fi ziko in mat ema-
zi , k je r je t udi dok t or i r a l . Leta 1914 s e
v prosvetno službo. Ko so po prvi sve-
lijani in zače l i pregan jati Slovence,
j. Začel j e preda vati , pi sati in bu-
avest. Zar adi svoj e de j avnost i je bil
pred aretacijo pr i bež al v Ljublja-
gr adi va napi sa l več delo preganj a-
so l ct~ 1941 Ljubljano okupi r ali
aretir.1n i n na t r-ža škem pro ce su ob-
na to spremenili v dosmr t no ječo.
je , se j e prikl j uči l borcem za svobodo
v oč evs zni h od bor ih v zvez i s Sl ovensk i m
Primorj em ~ n sodelo val na miro vni konf er enc i
kot tovrstni g vel ike zavzetosti za sloven sko
manjšino v I t rmelj še našel čas za obilno u-
dej st vovanj e ro J • Napi sal j e precej polj udno-
znans tven ih kn n šol skih učbenikov. Nje govi pr i spev-
ki so bili vedn r so sledili razvoju znanos t i. Dol-
ga leta j e bil i k r evi je Proteus. Zar adi svojih velikih
zaslug ~u je Dr u matikov, fiz ikov i n ast ronomov SR Sl ove-
ntj# . ro~ i , Q 30 let po nj egovem drugem ro j stvu" na
l~~m o~čnem zb~~u , dne 14. XI I. 1974, podel i lo nas l ov č astnega
č lana druš tva.
Mari j an Vagaja
NOVE KNJ!GE
~POVŠ~ČI Bibl{ograf(ja Jurija ""ge, l,jubljana, Slovensk a ak a-
demija &nanosti i n umetnos ti 19?~ , 8~ str. + ~O st r. slik .
Cena 70. - di n .
Pričujoča knjiga vsebuje naslednja pog lavja: aris živl jenj a i n
de la J ur ij a Vege , Seznam knjig, v katerih je J.Vega ob j avil s vo-
j a matematična predavanj a , Seznam razl ičnih Logar itemskih t abli c
v ve č j ih i zda jah , Raz~rave in spisi, Pre vodi Vegovih de l v 9 je-
zikov (ang leški , češk~, danski , f r anco ski, holandski , i t alij ans -
ki , norveŠki, r uski in špansk i) , Seznam de l J .Vege v so mi n t e r
Natisnjeni in nen atisnjeni vid. Na koncu knjige j e 40 stNni sli-
kovnega materiala posvečenega de l u in življenju J ur ija Vege . Na
začetku kr as i kn j igo barvna fotografij a portret a Jurij a Vege , ki
ga je nas lika l M.Sternen . Kot posebno zanimi vost naj navedemo , da
je del o Logarithmisc:h-trigonometri s ches Handbuch doživela lQZ h-
da ji, v ruskem prevodu pa j e iZ$ l a 4 . i zdaja še l eta 19? 1 . Šole
i n posamezniki lahko dobe knjigo pr i ek speditu SAzU v Lj Ubl jani,
Trg :revoludje 7; aU p,a pr i Dr uš tvu matematLkov , fi :d l<,ov in astw-
nOmOV SRS , LjUbljana, pp. ~~ 7; .
1
ClflUSTVA MATf MAT!KOV. FIZIKOV
lN ASTRONOMOV SR SLOVEN-UE
YJ\"'P: SIIOJ '''VoSl UG ZA R"lVO J
.....n .....n«E, J !Z' Kf lO<AS'M ONOM IJ [
""' S\.O;. f .. s«E...
;( Bil .. '" Zli cec..t M lBOIW
't pOI'HOIl:02V oOlt , . OH:tM fl'U. 19:74
IMENOV"''' V.
DRU$TVO MATEMATIKOV. FIZIKOV
IN ASTRONOMOV ·SR SLOVENIJE
Jr.12avo Cermel;
...... .- _ , ... "'!~
CASTNEGA CLANA
,-_._----------....
i
I
I
I
Podpresdnik Dr u š t v a ma t ema t i k o v , fi ziko v i n as t ronomov SR Sloveni je
Dušan Mo d i c p o de l j u j e p rof.d r . Lavu Če rme l j u d i p lomo č as tnega člana
Ma t e j Sternen , Ju r i j Vega ,
19 38. (Origina l je s h r a n j e n
v jugoslo va n s k i dvoran i
un i ver z e Pit tsb u rg , ZDA
SLOVENSKA AKADUlJ)A ZNASOSTlIN UMEDlOST1
.ACADEMIA Sc IES'T!.....nuM sr ARnC M SLOVENICA
II.AZ1U:J) lA llA1UlAl1croE. I'IZJKAL" [ IS TF.:l'i !CSE v rnE
cu,SSlS III: MATlIEl.lATlCA. PlIlSICA. TEO! SICA
DE LA · O PERA
"
j oa e eo vs tc
BIBLlOGHAFIJA
JUHljA V~:GE
JURIJ VEGA - BlBLtOGRAPHY
t
LJUBLJANA
J9U
BISTROVIDEC
TRDI KVADRATI
D .-- -"C
oo e
0 00
000
f--- - - 1O cm - - - --1
000
000
00 0
I I : I
: 1 1 :d_b
I I 1 I
L---J ---l:--
2cm lem
S1. 1
Lz r-c ž i i z k a rton-a ne p r-e ma j hc n
kva d rat , iz n j ega pa s i me t rično
de vet kro r,ov . Iz k a rto na izre ž i
š e t ri ena ko vel i k e k rope . [ne ga
po barvaj rd eč e , d r uga dva p a mod -
ro CsL . 1 ) .
Te t r i k r-o ge v s t a v Lj o j v p r <:l z -
na me s t a v k v edr-e t u . Jla ko l iko n a -
či nov j i h lahko r a z po r e di š ? Pr i
t e m štej vse po loža je , ki j i h d o -
bi š z vrt e n j e r.1 k vad rat a , ko t e n
način razpo r e di tve . Tako š teješ
np r . v s e po lo ža je n a 5 1 .2 kot en
način r a zpored i tve .
A .--- -..., D
0 00
000
O e
C.-- ...,B
A
S1. 2
B
000
.0
e o o
c
B
A
D
B
D
e O
000
O O
c
A