     
P 50 (2022/2023) 38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
aZ
aK
bZ
bK
aZ
aK bZ
bK
SLIKA 6.
Prepoznavanje presečišč s pomočjo ciklǐcnega sprehoda. Levo:
sprehoda 9-1-2 in 9-8-2 sta razlǐcno dolga, torej se poti sekata.
Desno: sprehoda 3-1-8 in 3-6-8 sta enako dolga, torej se poti
ne sekata.
Če z mod(x,n) pišemo pozitivni ostanek x po de-
ljenju z n, potem se poti ne sekata, če in samo če
velja enačba
mod(bZ − aZ , n)+mod(aK − bZ , n) =
= mod(bK − aZ , n)+mod(aK − bK , n).
To pa je nekaj, kar računalnik lahko preveri brez
znanja geometrije.
Videli smo, da s pomočjo teorije grafov lahko sis-
tematično opišemo možne semaforne cikle in izbe-
remo tistega, ki najbolje ustreza naši situaciji. To-
vrstno analizo lahko naredimo za poljubno križišče,
na primer za križišče petih cest, pri čemer ugoto-
vimo, da imamo 32 možnih 5-stopenjskih semafor-
nih ciklov, če prepovemo zavijanje na isti izhodni
pas. Tako kompleksna križišča so nepraktična in za
voznike nepregledna, predvsem pa imajo nizko pre-
točnost. V takih primerih raje uporabimo dve za-
poredni križišči, najraje pa kar krožišče. Krožišča
nimajo težav s križanjem poti, še vedno pa imamo
poti, ki se zlivajo v isti vozni pas – vozila se vključu-
jejo na pas, po katerem z leve lahko prihaja vozilo,
ki je že v krožišču.
Bralce vabim, da med čakanjem pri rdeči luči opa-
zujejo, katera različica semafornega cikla velja, kako
se razvrščajo v pasove, in kako se razrešujejo zavoji,
ki jih semafor mogoče ne regulira ločeno. S tem bo
tudi čakanje mogoče postalo nekoliko manj nadle-
žno.
×××
Tri lastnosti
števila 2023
M R
1. Število 2023 je petkrat pohlevno, ker se ga da
izraziti na pet načinov kot vsoto nekaj zaporednih
naravnih števil, denimo x,x+1, . . . , x+n−1. Pri tem
sta števili x in n naravni. Veljati mora torej relacija
x + (x + 1)+ . . .+ (x +n− 1) = 2023.
Vsoto na levi strani znamo poenostaviti, tako da do-
bimo
n(x + (x +n− 1))
2
= 2023
oziroma
n(2x +n− 1) = 2 · 7 · 172.
Desno stran te relacije lahko zapišemo na pet nači-
nov kot produkt dveh faktorjev: 2 · (7 · 172),14 ·
172,34 · (7 · 17),17 · (14 · 17),7 · (2 · 172). Zato
lahko izberemo n = 2,2x+n−1 = 7·172 in dobimo
x = 1011. Podobno sledi za n = 14,2x+n−1 = 172
še x = 138 itd. To pomeni, da veljajo zapisi
2023 = 1011+ 1012 = 138+ 139+ . . .+ 151
= 43+ 44+ . . .+ 76
= 111+ 112+ . . .+ 127
= 286+ 287+ . . .+ 292.
2. Število 2023 je kongruentno, kar pomeni, da ob-
staja pravokoten trikotnik, ki ima za stranice racio-
nalna števila in ploščino 2023.
Ker je 2023 = 7 · 172, je dovolj pokazati, da je 7
kongruentno število. Ni vsako naravno število kon-
gruentno. Najmanjše kongruentno števolo je 5, kar
je vedel že Fibonacci.
Pravokotne trikotnike, ki imajo za stranice a,b, c
(a2 + b2 = c2) naravna števila, to je pitagorejske tri-
kotnike, znamo poiskati s formulami
a =m2 −n2, b = 2mn,c =m2 +n2.
     
P 50 (2022/2023) 3 9
Pri tem sta m in n naravni števili in m > n. Če
sta m in n tuji si števili različnih parnosti, potem
a,b, c nimajo skupnega faktorja in pitagorejski tri-
kotnik se imenuje primitiven. Ploščina trikotnika je
p = ab/2 = (m−n)(m+n)mn. Poiskati moramom
in n tako, da bo p sedemkratnik nekega popolnega
kvadrata. S poskušanjem ugotovimo, da za m = 16
in n = 9 dobimo
a = 175, b = 288, c = 337, p =
ab
2
= 7 · 602.
Pravokoten trikotnik s stranicami
a′ = a/60 =
35
12
, b′ = b/60 =
24
5
,
c′ = c/60 =
337
60
ima ploščino p′ = 7, zato je 7 kongruentno število.
Pravokoten trikotnik, ki ima 17-krat daljše stranice,
to se pravi
a′′ = 17a′ =
595
12
, b′′ = 17b′ =
408
5
,
c′′ = 17c′ =
5729
60
,
ima ploščino p′′ = 172p′ = 7 · 172 = 2023. Zato je
število 2023 res kongruentno.
3. Število 2023 je za 1 manjše od 22. tetraedrskega
števila. To pomeni, da lahko 2023 enakih kroglic zlo-
žimo v tetraeder, ki mu manjka vrh. V k-ti plasti,
šteto od vrha navzdol, je Tk = k(k+1)/2, to je triko-
tniško število kroglic.
Tetraedrsko število Tn, n-to po vrsti, je vsota pr-
vih n trikotniških števil:
Tn =
n∑
k=1
Tk =
1
2
n∑
k=1
(k2 + k)
=
n(n+ 1)(2n+ 1)
12
+
n(n+ 1)
4
=
n(n+ 1)(n+ 2)
6
.
Lahko ga zapišemo tudi kot
Tn =
(
n+ 2
3
)
.
Ker je
2023+1 = 2024 = 8·11·23 =
1
6
·22·23·24 = T22,
lahko zapišemo 2023 = T22 − 1.
×××
Križne vsote
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s
števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za-
porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih
enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na
začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem
morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu)
različne.
11 10
6
17 12
12
10 15
14
10
9
24
14
4
×××