Maximal order group actions on Riemann surfaces - Zimmerman, Jay (Ars mathematica contemporanea, 2022)
Kako določiti, za vsako vrednost celega števila ?$g \ge 2$?, največji red grupe, ki deluje na Riemannovi ploskvi rodu ?$g$?, je zelo naraven problem. Naj bo ?$N(g)$? največji red grupe avtomorfizmov Riemannove ploskve rodu ?$g \ge 2$?, ki ohranjajo orientacijo ploskve, ?$M(g)$? pa tistih, ki orientacijo morda obrnejo. Osnovne neenakosti, ki primerjajo ?$N(g)$? in ?$M(g)$?, so: ?$N(g) \le M(g) \le 2N(g)$?. Dobro znane so družine razširjenih Hurwitzevih grup, iz katerih dobimo neskončno mnogo celih števil ?$g$?, ki zadoščajo enakosti ?$M(g) = 2N(g)$?. Lahko je tudi videti, da obstajajo rešljive grupe, iz katerih dobimo neskončno mnogo takih primerov. Dokažemo, kar morda preseneča, da obstaja neskončno mnogo celih števil ?$g$?, za katera je ?$N(g) = M(g)$?. V primeru, da je ?$p$? praštevilo, ki zadošča ?$p \equiv 1 (mod 6)$? in ?$g = 3p + 1$? ali ?$g = 2p+1$?, obstaja grupa reda ?$24(g - 1)$?, ki deluje na neki ploskvi rodu ?$g$?, pri čemer ohranja njeno orientacijo. Za vse vrednosti ?$g$?, ki so večje od neke fiksne konstante, ne obstajajo grupe z redom večjim od ?$24(g - 1)$?, ki bi delovale na ploskvi rodu ?$g$?.
Keywords: delovanje grupe; genus; group action; močni simetrični rod; NEC group; NEC grupa; Riemann surface; Riemannova ploskev; rod; strong symmetric genus