P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 1 Strani 18-20
Marija Vencelj:
KOMBINATORNO PRAVILNA TELESA
Ključne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1075-Vencelj-telo.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KOMBINATORNO PRAVILNA TELESA
Pravilno telo je konveksen poiieder, katerega stranske ploskve so sami skladni pravilni večktoniki, ki v ogliščih oblikujejo skladne prostorske kote. Mednje očitno sodita pravilni tetraeder in kocka, pa tudi pravilni oktaeder, dodekaeder in ikozaeder, katerih skice si lahko ogledate na začetku članka V. Domanjka Platonovi poliedri v tej številki Preseka. V omenjenem članku boste v zvezi z njimi našli tudi marsikatero zgodovinsko zanimivost.
2e stari Grki so vedeli, da poleg navedenih petih poliedrov drugih pravilnih teles ni. Oglejmo si dokaz te trditve!
S konveksnimi poliedri smo se srečali že v članku Eulerjeva poliedrska formula v tej številki Preseka. Tam smo pokazali, da za vsak konveksen poiieder velja zveza
V -R+S = 2
(1)
kjer je V število oglišč, R število robov in 5 število stranskih ploskev poliedra. Iz posameznega oglišča poliedra izhaja končno mnogo robov. Njihovo število imenujemo red oglišča poliedra.
Definicija, Kombinatomo pravilno telo tipa (m, n) je konveksen poiieder, katerega stranske ploskve so sami m-kotnik i, vsa oglišča pa imajo red
Slika 1.
Na sliki 1 je nekaj kombinatorno pravilnih teles, pokončna tristrana prizma in nogometni žogi podoben poiieder na sliki 2 pa nista kombinatorno pravilni telesi. Med kombinatorno pravilna telesa sodijo očitno tudi vsi pravilni poliedri.
Števili m In n sta seveda enaki najmanj 3, vendar to ni edina omejitev. Različnih tipov kombinatorno pravilnih teles je namere presenetljivo malo. Velja:
Izrek. Obstaja natanko pet različnih tipov kombinatorno pravilnih teles. To so tipi (3,3), (4,3), (3,4), (5,3) in (3,5).
Dokaz. Naj bo X poljuben kombinatorno pravilen polieder tipa (m, n). Kot običajno označimo z V, R in S število njegovih oglišč, robov in stranskih ploskev.
Ker iz vsakega oglišča izhaja n robov in ima vsak rob dve oglišči, velja
2 R = nV
Nadalje ima vsaka stranska ploskev m robov in posamezen rob pripada dvema stranskima ploskvama. Zato velja
2 R = mS
Vstavimo
V =2 R/n in 5 = 2R/m v Eulerjevo poliedrsko formulo (1). Dobimo
(2/n - 1 + 2/m)R = 2
od koder sledi
R = 2mn/(2m + 2n - mn) Število robov Rje seveda pozitivno število. Torej mora biti
Z razstavljanjem dobimo
(m — 2)(n — 2) < 4 (2)
Ker sta m in n naravni Števili, enaki najmanj 3r sledi iz (2), da tudi nista večji od 5. Stranske ploskve kombinatorno pravilnega telesa so torej lahko le trikotniki, štirikotniki ali petkotniki in v posameznem ogii-šču se lahko stika največ pet robov. Natančnejši pogled pove, da pridejo v poštev le pari
(3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5)
Posamezne tipe kombinatorno pravilnih teles podrobneje predstavlja sosednja tabela:
Očitno vsakemu tipu kombinatorno pravilnih teles ustreza natanko eno pravilno telo. Torej je pravilnih teles res pet: tetraeder, heksa-eder (kocka), oktaeder, dodekaeder in ikozaeder. Njihova imena so grška in pomenijo število stranskih ploskev poliedra: tetraeder ima 4, heksaeder 6, oktaeder 8, dodekaeder in ikozaeder pa 12 oziroma 20 stranskih ploskev.
m	n	V	R S
3	3	4	6 4
4	3	8	12 6 3	4	6	12 8
5	3	20	30 12 3	5	12	30 20
Marija Ven cel j