i
i
“1268-Ambrozic-newtonova” — 2010/7/22 — 14:16 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 5
Stran 290
Milan Ambrožič:
NEWTONOVA METODA IN LEPI FRAKTALI
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, kompleksna ana-
liza, iteracije, fraktali.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1268-Ambrozic.pdf
c© 1996 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Zanimivosti - Razvedrilo I
NEWTONaVA METODA IN LEPI FRAKTALI
Enačba zn = 1, kjer je n naravno št evilo, ima n kompleksnih rešitev. Za
vsak n je ena od rešitev z = 1. Vse rešitve leže na enotski krožn ici v
kompleksni ravnini in so razporejene tako, da dele krožnico na enake dele.
Rešitve torej poznamo , zanimivo pa je vprašanje, h kateri izmed n
rešitev nas pripelje kakšn a iteracijska metoda, če začnemo iteracijo s po-
lj ubnim kompleksnim začetnim približkom.
Izbrali smo si Newtonovo metodo , ki jo na kratko opi šimo . Če iščemo
rešitve enačbe f( z) = O in je za začetni približek, dobimo naslednje pri-
bližke s formulo:
f(zr)
Zr+l = Zr - f ' (zr ) '
kjer je f' odvod funkcije f po spremenlj ivki z. V našem primeru je f( z ) =
=zn - 1, od kode r dob imo:
Če je začetni približek dovolj blizu kakšni od rešitev , potem se nas lednji
približki k njej hitro bližaj o. V splošnem pa ne moremo vnaprej vedeti, h
kateri od rešitev se bodo st ekali.
Lahko pa začetne pr ibližke sortiramo glede na to, h kateri od rešitev
nas je pr ipe ljala Newtonova metoda . Če v kompleksni ravnini z enako
barvo pobarvamo točke, ki kot začetni približki vodijo k ist i rešitvi, in z
raz ličnimi barvami tiste, ki vodijo k različnim rešitvam, dobimo čudovit
vzorec. Ta im a fra ktalno st rukturo , kar pomeni , da se njegova razvejanost
ne neha pri še tako majhnih merilih . Če vzamemo pod drobnogled del
vzorca z veliko barvno raznolikostj o in ga povečamo , se raznolikost ohrani
pri poljubni povečavi .
Na zad nj i strani ovitka so prikazani vzorci za n = 3,4,5 in 6. Sami
jih lahko dobi te tako , da napišete program in ga poženete na svojem
računalniku. Še pod atek o približni zahtevnosti : Na računalniku pe 386
(40 MHz) z matematičnim koprocesorjem nariše program v turbopascalu
celotno sliko v pr ibližno pet najstih minutah .
Milan Ambrožič